anreg hiperbola
Post on 26-Jul-2015
1.107 Views
Preview:
DESCRIPTION
TRANSCRIPT
ANALISIS REGRESI NON LINEAR
MODEL HIPERBOLA
MAKALAH
Untuk memenuhi tugas matakuliah
Analisis Regresi
Yang dibina oleh Bapak Hendro Permadi
Oleh: Kelompok 4
Anita Hermaningtyas 408312408019
Umi Qoiriah 408312409125
Rachmadania Akbarita 408312409133
Elvira Firdausi N. 408312411952
UNIVERSITAS NEGERI MALANG
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
JURUSAN MATEMATIKA
Oktober 2010
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Salah satu teknik analisis data yang sedang ngetrend belakangan ini adalah
regresi. Regresi adalah salah satu metode peramalan yang dikenal dalam statistik.
Regresi dalam statistika adalah salah satu metode untuk menentukan hubungan
sebab-akibat antara satu variabel dan variabel yang lain. Dalam dunia pendidikan,
regresi sangat sering digunakan oleh mahasiswa yang sedang menyelesaikan tugas
akhir.
Analisis regresi berguna untuk mengetahui pengaruh antara variabel bebas
(yang juga dikenal dengan prediktor) yang disimbolkan dengan dan variabel
terikat (yang juga dikenal dengan kriterium) yang disimbolkan dengan .
Istilah variabel bebas dan variabel terikat berasal dari matematika. Dalam
penelitian:
Variabel bebas adalah variabel yang dimanipulasikan oleh peneliti. Misalnya
seorang peneliti di bidang pendidikan yang mengkaji akibat dari berbagai
metode pengajaran. Peneliti dapat menentukan metode (sebagai variabel
bebas) dengan menggunakan berbagai macam metode. Dalam bahasa yang
lebih lugas, variabel bebas adalah variabel yang meramalkan sedangkan
variabel terikat adalah variabel yang diramalkan.
Variabel terikat adalah akibat yang diduga mengikuti perubahan dari variabel
bebas. Contoh, misalnya kita mengkaji tentang hubungan antara kecerdasan
dan prestasi sekolah, maka kecerdasan adalah variabel bebas dan prestasi
sekolah adalah variabel terikat. Jika kita meneliti hubungan antara merokok
dan penyakit kanker, maka merokok adalah variabel bebas dan penyakit
kanker adalah variabel terikat.
Meskipun terdapat banyak sekali bentuk regresi non linear yang biasa
digunakan tetapi di sini hanyalah akan ditinjau beberapa saja yang penting dan
termudah. Untuk regresi non linear atas yang akan ditinjau di sini, antara lain
berbentuk lengkungan :
a. Parabola kuadratis dengan persamaan:
b. Parabola kubis dengan persamaan:
c. Logaritmis dengan persamaan:
d. Hiperbola dengan persamaan:
Dalam makalah ini akan dibahas lebih mendalam mengenai bentuk regresi non
linear hiperbola
B. Rumusan Masalah
1. Bagaimana persamaan umum regresi non linear model hiperbola dan
bentuk linear dari persamaan tersebut?
2. Bagaimana menganalisa model regresi yang telah diperoleh?
3. Bagaimana aplikasi regresi non linear model hiperbola?
C. Tujuan
1. Menuliskan persamaan umum regresi non linear model hiperbola dan
bentuk linear dari persamaan tersebut.
2. Menganalisa model regresi yang telah diperoleh.
3. Mengetahui aplikasi dari regresi non linear model hiperbola.
BAB II
PEMBAHASAN
1. Persamaan Umum Regresi Non Linear Model Hiperbola dan Bentuk
Linear dari Persamaan Tersebut
Persamaan regresi hiperbola (lengkung cekung) ada dua model, yaitu:
A.
( ) di mana garis persamaannya akan memotong sumbu , ini
berarti bahwa nilai ada yang negatif, atau bahkan keduanya (nilai
maupun ) sama-sama negatif.
Jika tidak ada berharga nol dapat ditulis menjadi:
Dan bentuk tersebut sudah linear terhadap
dan
B.
di mana garis persamaannya akan memotong sumbu , ini berarti
bahwa dalam persamaan ini penyebaran nilai ada yang negatif.
Model hiperbola ini jarang dipakai pada penelitian pendidikan karena nilai-
nilai yang dihadapi dalam dunia pendidikan sifatnya positif. Walaupun terjadi
maka model ini pun dapat digunakan, sedangkan perhitungan koefisien regresinya
tidak berbeda dengan yang telah dibahas di muka (regresi linear sederhana), hanya
seluruh nilai diganti dengan
. Dengan demikian maka untuk menghitung
koefisien regresi digunakan rumus:
(∑ )(∑
) (∑ ) (∑ )
∑ (∑ )
Sedangkan untuk menghitung koefisien regresi digunakan rumus:
∑
(∑ ) (∑ )
∑ (∑ )
2. Menganalisa Model Regresi yang Telah Diperoleh
Jika telah diperoleh model regresi yang linear maka kita dapat melakukan
analisa sebagai berikut:
1. Untuk menguji model regresi digunakan uji F, dengan hipotesis sebagai
berikut
: model regresi tidak berarti
: model regresi berarti
Dengan alat bantu minitab, diperoleh nilai dari Anova, dan dari tabel
dapat diperoleh . Terima jika dan tolak jika
.
2. Uji Koefisien regresi
Untuk menguji koefisien regresi menggunakan uji T, dengan hipotesis sebagai
berikut
, artinya variabel bebas tidak berpengaruh terhadap variabel terikat.
, artinya variabel bebas berpengaruh terhadap variabel terikat.
Dengan alat bantu minitab, diperoleh nilai dari Anova, dan dari tabel
dapat diperoleh . Terima jika dan tolak jika
.
3. Uji asumsi analisis regresi
a) Normal residual
Untuk menguji kenormalan residual kita gunakan alat bantu minitab dan
uji Anderson Darling dan mencari nilai P_value, dan dengan hipotesis
sebagai berikut:
: Residual berdistribusi normal.
: Residual tidak berdistribusi normal.
Untuk menentukan menolak atau menerima , dilakukan perbandingan
P_value dengan suatu nilai (taraf kepercayaan) dengan ketentuan
sebagai berikut:
, jika data diperoleh dari penelitian di lapangan.
, jika data diperoleh dari penelitian di laboratorium.
, jika data diperoleh dari penelitian terhadap manusia atau
binatang.
, dalam bidang kedokteran.
Terima jika P_value ,
Tolak jika P_value .
b) Kebebasan residual
Untuk menguji kebebasan residual dilihat dari autokorelasi fungsi untuk
residual. Homogenitas residual bersifat homogen atau tidak saling bebas
jika ada korelasi antar sisa.
c) Homogenitas
Untuk mengetahui apakah sisa antara variable terikat dengan variable
bebas mempunyai keragaman yang homogen, atau tidak menunjukkan
kecenderungan tertentu. Jika standar sisa 95% berada diantara (-2,2) secara
merata maka sisa dikatakan berada dalam sebaran sehingga mempunyai
keragaman yang tetap.
Jika asumsi kehomogenan ini terpenuhi maka secara otomatis asumsi
normalitas akan dipenuhi, jika sumsi ini tidak dipenuhi maka dilakukan
cara untuk mengatasi salah satunya dengan cara melakukan transformasi
terhadap data tersebut.
3. Aplikasi Regresi Non Linear Model Hiperbola
Toko Maju Makmur pada hari pertama pembukaan memiliki jumlah
pengunjung yang berbeda pada setiap menitnya. Pada menit-menit pertama
pembukaan, terdapat banyak pengunjung yang tertarik untuk melihat-lihat dan
membeli di toko tersebut. Data pengunjung diberikan sebagai berikut:
= menit setelah toko dibuka
= jumlah pengunjung toko
X Y X Y
20 150 500 97
35 125 800 62
60 105 1200 58
100 100 1300 40
150 92 1500 38
300 97 1600 35
Dengan minitab, didapatkan plot sebagai berikut:
Data di atas dianalisis dengan regresi model hiperbola yang ditransformasi
menjadi bentuk linier.
Nilai-nilai yang diperlukan untuk mencari parameter adalah sebagai berikut:
X Y
20 150 0.0066667 400 0.1333
35 125 0.0080000 1225 0.2800
60 105 0.0095238 3600 0.5714
100 100 0.0100000 10000 1.0000
150 92 0.0108696 22500 1.6304
300 97 0.0103093 90000 3.0928
500 97 0.0103093 250000 5.1546
800 62 0.0161290 640000 12.9032
1200 58 0.0172414 1440000 20.6897
1300 40 0.0250000 1690000 32.5000
1500 38 0.0263158 2250000 39.4737
1600 35 0.0285714 2560000 45.7143
Jumlah 7565 - 0.178936 8957725 163.143
Diperoleh ∑ , ∑(
)
∑ , ∑
dan
sehingga didapat:
( )( ) ( )( )
( ) ( )
( ) ( )( )
( ) ( )
Jadi persamaan regresi model hiperbola dari data di atas adalah
(( ) ( ) )
Keterangan grafik:
Dari minitab diperoleh grafik yang menunjukkan taksiran garis regresi yang
linier dengan koefisien determinasi ( ) sebesar 92.7% dan sisanya sebesar 7.3%.
Ini menunjukkan bahwa keragaman variabel mempengaruhi
sebesar 97.2%,
sedangkan 7.3% dipengaruhi oleh variabel lain yang tidak masuk dalam model.
Grafik di atas memperlihatkan taksiran intersep sebesar 0.00733 dan
taksiran parameter sebesar 0.000012. R-Sq berkisar antara 0.1 sampai 0.5,
dengan catatan semakn kecil nilai R-Sq, semakin lemah hubungan antara kedua
variable (begitu juga sebaliknya).
Model regresi linear telah diperoleh maka kita dapat menganalisis sebagai berikut:
1) Menguji model regresi
Data di atas diperoleh dari data lapangan maka
Dari minitab diperoleh Anova sebagai berikut:
Dari AnovA di atas diperoleh nilai
Untuk menguji model regresi digunakan uji F, dengan hipotesis sebagai
berikut:
Terima jika dan tolak jika .
: model regresi tidak berarti
: model regresi berarti
Dari tabel didapat
Karena maka menolak . Tanpa mencari dapat
diketahui dari ( ) ( ) yang berarti sehingga
dapat disimpulkan bahwa model regresi
signifikan
dengan kata lain data sangat mendukung adanya hubungan antara menit ( )
dengan pengunjung ( ) dengan persamaan
. Adanya
hubungan ini dapat diidentifikasi dengan tingginya nilai koefisien determinasi
sebesar 0.927 atau 92.7%.
2) Menguji koefisien regresi
Untuk menguji koefisian regresi digunakan uji T, dengan hipotesis sebagai
berikut:
Terima jika dan tolak jika .
artinya variabel bebas tidak berpengaruh terhadap variabel
terikat.
artinya variabel bebas berpengaruh terhadap variabel terikat.
Dengan alat bantu minitab, diperoleh
Hasil uji koefisien kemiringan garis regresi menunjukkan adanya pengaruh
menit ( ) terhadap pengunjung ( ) dengan nilai , jadi
. Tanpa mencari dapat diketahui dari ( ) ( ). Karena
maka menolak dengan kata lain hipotesis
artinya variabel bebas berpengaruh terhadap variabel terikat diterima. Jadi
variabel bebas ( ) sangat mempengaruhi variabel tak bebas ( ).
3) Uji asumsi analisis regresi
a) Normal residual
Untuk menguji kenormalan residual kita gunakan alat bantu minitab dan uji
Anderson Darling dan mencari nilai P_value, dan dengan hipotesis sebagai
berikut:
: Residual berdistribusi normal.
: Residual tidak berdistribusi normal.
Untuk menentukan apakah menolak atau menerima , P_value dibandingkan
dengan suatu nilai .
Dari minitab diperoleh nilai P_value beserta grafiknya sebagai berikut:
Terima jika P_value ,
Tolak jika P_value .
Nilai P_value = 0.96 > 0.05 terima (memenuhi asumsi kenormalan
sisaan), jadi residual berdistribusi normal.
b) Homogenitas
Untuk mengetahui apakah sisa antara variabel terikat dengan variabel bebas
mempunyai keragaman yang homogen, atau tidak menunjukkan kecenderungan
tertentu. Jika standar sisa 95% berada diantara (-3, 3) secara merata maka sisa
dikatakan berada dalam sebaran sehingga mempunyai keragaman yang tetap.
Dari minitab diperoleh scatterplot hubungan antara sres1 dengan fits1.
Berdasarkan gambar diketahui bahwa standart sisa 95% berada antara (-3, 3)
secara merata. Dengan kata lain sisa dikatakan berada dalam sebaran sehingga
keragamannya tetap (homogen).
c) Kebebasan residual
Untuk menguji kebabasan residual dilihat dari autokorelasi fungsi untuk
residual dengan menggunakan alat bantu Minitab:
Karena garis hitam (data) tidak melebihi garis merah maka dapat dikatakan
saling bebas atau tidak ada korelasi antar sisaan.
BAB IV
PENUTUP
Ada dua macam regresi, yaitu regresi linear dan non linear. Regresi linear
merupakan regresi yang datanya membentuk persamaan linear dan grafiknya
mendekati garis lurus, sedangkan regresi non linear merupakan regresi yang
datanya membentuk persamaan garis non linear, yang terdiri dari beberapa
bentuk, yaitu eksponen, eksponen khusus, geometri, logistik, hiperbola, power,
compound, sigmoid, dan logaritmik.
Regresi non linear r tidak dapat di analisa secara langsung, melainkan harus
dilinearkan terlebih dahulu dengan menggunakan transformasi yang sesuai.
Untuk regresi non linear model hiperbola
( ) . Misalkan
maka
diperoleh persamaan dan dapat diduga parameter untuk persamaan
tersebut sehingga diperoleh model regresinya.
top related