bÀi 3 tÍch phÂn ĐƯỜng -...

1v1.0013110217

BÀI 3TÍCH PHÂN ĐƯỜNG

Giảng viên: ThS. Nguyễn Hải Sơn

2v1.0013110217

TÌNH HUỐNG KHỞI ĐỘNG BÀI

• Chúng ta lăn một bánh xe trên một đường thẳng. Sau khi lăn được một vòng thì 2điểm A và B trên bánh xe sẽ có vị trí là A’ và B’.

Chu vi của đường tròn lớn có bằng đoạn AA’ không?

Có người cho rằng quãng đường điểm A đi được khi chạm điểm A’ bằng đoạn AA’hay chu vi của đường tròn ngoài. Theo bạn có đúng không?

Giả sử lập luận ở câu 2 đúng. Khi đó quãng đường điểm B đi được bằng BB’ haychu vi của đường tròn nhỏ. Vì BB’ = AA’ nên ta sẽ có chu vi đường tròn lớn vàđường tròn nhỏ bẳng nhau.

• Vấn đề là ở đâu?

Có

A A’

B B’

3v1.0013110217

MỤC TIÊU BÀI HỌC

Sau khi học xong bài này, sinh viên có thể:

• Trình bày được khái niệm tích phân đường loại I vàloại II và các ứng dụng của nó.

• Ứng dụng được các kĩ thuật tính tích phân đường.

• Làm được các bài tập liên quan đến tích phân đường.

4v1.0013110217

CÁC KIẾN THỨC CẦN CÓ

• Sinh viên cần có các kiến thức cơ bản về giảitích, đặc biệt là phép tính tích phân hàm mộtbiến số.

• Bên cạnh đó, sinh viên cũng cần có các kiếnthức hình học và cơ học.

5v1.0013110217

HƯỚNG DẪN HỌC

• Xem bài giảng đầy đủ và tóm tắt những nộidung chính của từng bài.

• Tích cực thảo luận trên diễn đàn và đặt câu hỏingay nếu có thắc mắc.

• Làm các bài tập và luyện thi trắc nghiệm theoyêu cầu từng bài.

6v1.0013110217

CẤU TRÚC NỘI DUNG

1. Tích phân đường loại I

2. Tích phân đường loại II

7v1.0013110217

1. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI I

1.1. Định nghĩa –Tính chất

1.2. Cách tính

1.3. Ứng dụng

8v1.0013110217

1.1. ĐỊNH NGHĨA – TÍNH CHẤT

Định nghĩa

• Cho f = f(x,y) xác định trên đường cong C.

• Chia C một cách tùy ý ra n đường cong nhỏ bởicác điểm A0, A1, …..An có độ dài tương ứng là L0,

L1, …..Ln .

• Trên mỗi cung lấy tuỳ ý một điểm

• Lập tổng tích phân:

0A1A2A 1nA

nA

1M

2M

nM

x

y

O

Cho sao cho , nếu , không phụ thuộc cách chia C, và

cách lấy điểm Mi thì I được gọi là tích phân đường loại một của f = f(x,y)

trên cung C, kí hiệu là

Khi đó, f được gọi là khả tích trên C.

n

n i ii 1

I f(M) L

i i iM(x ,y ).

i i 1A A

n ii 1,nMax L 0

C

I f(x,y)ds

nn

I limI

9v1.0013110217

1.1. ĐỊNH NGHĨA - TÍNH CHẤT

Tính chất

1. Hàm liên tục trên cung C, bị chặn, trơn tùng khúc thì khả tích trên C.

C C3. fds fds 2.

CL(C) 1ds

C C C4. (f g)ds fds gds

6. Nếu C được chia làm hai cung C1 và C2 không dẫm lên nhau:

1 2C C Cfds fds fds

7. C C

(x,y) C,f(x,y) g(x,y) fds gds

8. Định lý giá trị trung bình: Nếu f(x,y) liên tục trên cung trơn C có độ dài L. Khi đó tồn tại điểm M0 thuộc cung C, sao cho

0C

fds f (M ) L

5. Tích phân đường loại một không phụ thuộc chiều lấy tích phân trên C.

10v1.0013110217

1.2. CÁCH TÍNH

Trường hợp 1:y y(x)

C :a x b

b 2'

C a

f(x,y)ds f(x,y(x)) 1 y (x) dx

CI f (x, y)ds

2ds 1 y' dx

Ví dụ 1: Tính , trong đó C là cung parabol3

C

I x ds 2x

y , 0 x 32

33 2

0

58I x 1 x dx

15

22 2x

y y ' x ds 1 (y ') dx 1 x dx2

Ta có

(Đặt ) 2t 1 x

11v1.0013110217

1.2. CÁCH TÍNH (tiếp theo)

Ví dụ 2: Tính , trong đó C : x = y2, từ (0,0) đến (1,1)C

I 2yds

2x yC0 y 1

12

0

5 5 1I 2y 1 4y dy ...

6

d 2'

C c

f(x,y)ds f(x(y),y) 1 x (y) dy

Trường hợp 2: x x(y)C :

c y d

2ds 1 x' dy

Ta có

2 2 2x y x ' 2y ds 1 (x ') dy 1 4y dy

(Đặt ) 2t 1 4y

12v1.0013110217

1.2. CÁCH TÍNH (tiếp theo)

2

1

t 2 2' '

tI f(x(t),y(t)) x (t) y (t) dt

Trường hợp 3: Cung C cho bởi phương trình tham số: x = x(t), y = y(t), 1 2t t t

Viết phương trình tham số cung C.

Đặt x = rcost; y = rsint. Vì x2 + y2 = 1 nên r = 1.

Pt tham số của C:x cos t

; 0 ty sint

2 2 2 2ds (x ') (y ') dt (sint) ( cos t) dt dt

Ví dụ 3: Tính , với C là nửa trên đường tròn x2 + y2 = 1. 2

CI (2 x y)ds

10

1

2

0

2I (2 cos t sint)dt 2

3

13v1.0013110217

1.2. CÁCH TÍNH (tiếp theo)

Viết phương trình tham số cung C.

Ta cóx 1 cos t

C , t 2 2y sint

/22 2

/2I ((1 cos t) sin t)dt

y

1

0

2x

2 2 2 2ds (x ') (y ') dt (sint) ( cos t) dt dt

/2 /2

/2/2(2 2cos t)dt 2t 2sint 2 4

Ví dụ 4: Tính , với C là nửa đường tròn 2 2

CI (x y )ds

2 2x y 2x; x 1.

Chú ý: Tương tự, ta có cách tính tích phân đường trong không gian.f(x,y,z) xác định trên đường cong C trong không gian. C cho bởi phương trìnhtham số:

1 2

x x(t)y y(t), t t tz z(t)

2

1

t 2 2 2' ' '

C tI f(x,y,z)ds f(x(t),y(t),z(t)). x (t) y (t) z (t) dt

14v1.0013110217

1.3. ỨNG DỤNG

Phương trình tham số:

x t sintC : ; 0 t 2

y 1 cos t

Độ dài đường cong C được xác định bởi công thức:

C

l(C) ds

Ví dụ 1: Một điểm trên đường tròn đơn vị sẽ vạch lên đường cycloid khi lăn đườngtròn đó theo một đường thẳng. Hãy tính độ dài của một nhịp cycloid (độ dài điểmđó đi được khi lăn được một vòng).

Độ dài

2 2

0 0

tl(C) 2(1 cos t)dt 2sin dt 8

2

C

l(C) ds

15v1.0013110217

2. TÍCH PHÂN ĐƯỜNG LOẠI II

2.1. Định nghĩa –Tính chất 2.2. Cách tính

2.3. Công thức Green

2.4. Điều kiện để tính tích phân đường

không phụ thuộc vào đường đi

2.5. Ứng dụng

16v1.0013110217

2.1. ĐỊNH NGHĨA – TÍNH CHẤT

Trên mỗi cung lấy tuỳ ý một điểm k k kM (x ,y ).k k 1A A

Lập tổng tích phân: n

n k k k 1 k k k 1i 1

I P(M ) (x x ) Q(M ) (y y )

, không phụ thuộc cách chia C, và cách lấy điểm Minn

I limI

Được gọi là tích phân đường loại hai của P(x,y) và Q(x,y) trên cung C.

C

I P(x,y)dx Q(x,y)dy

P = P(x,y), Q = Q(x, y) xác định trên đường cong C.Chia C một cách tùy ý ra n đường cong nhỏ bởicác điểm

A0(x0, y0), A1(x1, y1),…, An(xn, yn)

Định nghĩa

0A1A2A 1nA

nA

1M

2M

nM

x

y

O

17v1.0013110217

2.1. ĐỊNH NGHĨA – TÍNH CHẤT (tiếp theo)

1. Tích phân đường loại II có các tính chất giống như tích phân xác định.

2. Tích phân đường loại hai phụ thuộc chiều lấy tích phân trên C.

3. Nếu C được chia làm hai cung C1 và C2 không dẫm lên nhau:

AB BA

Pdx Qdy Pdx Qdy

1 2C C C

Pdx Qdy Pdx Qdy Pdx Qdy

Tính chất

18v1.0013110217

2.2. CÁCH TÍNH

Trường hợp 1:

A B

y y(x)C AB : dy y (x)dx

x : x x

B

A

x

xI P(x,y(x))dx Q(x,y(x))y '(x)dx

C

I P(x, y)dx Q(x, y)dy

Ví dụ 1: Tính , trong đó C là cung parabol y = x2 đi từ A(1;1)

đến O(0;0).

2

C

I ydx x dy

02 3

1

I (x 2x )dx 0

3 4

1

x 2x 53 4 6

Ta có: 2y x C AB : dy 2xdxx :1 0

19v1.0013110217

2.2. CÁCH TÍNH (tiếp theo)

3 2x y y dx (3y 1)dyCy : ( 1) 1

12

1

I 2y(3y 1)dy ... 0

Trường hợp 2:

Ta có:

A B

x x(y)C AB : dx x (y)dy

y : y y

B

A

y

y

I [P(x(y),y)x '(y) Q(x(y),y)]dy

Ví dụ 2: Tính , trong đó C là cung parabol x= y3 + y đi từ A(-2;-1)

đến B(2;1). C

I 2ydx

20v1.0013110217

2.2. CÁCH TÍNH (tiếp theo)

Ví dụ 3: Tính , trong đó C là biên tam giác OAB,

với O(0,0); A(1,1); B(0,2), ngược chiều kim đồng hồ.

2

CI (x 3y)dx 2ydy

O

B

A

CI

0 0A AB B

12

10 0

17( 3 ) 2 16A

I x x dx x dx

Phương trình OA: y = x, x: 01

02

21( 3(2 )) 2 (2 ) ( 1)

ABI x x dx x dx

Phương trình AB: y = 2 – x, x:10

116

02

32(0 3 )0 2 4

BOI y y dy

Phương trình BO: x = 0, y:20

1 2 3I I I I 17 11 4 36 6

21v1.0013110217

2.2. CÁCH TÍNH (tiếp theo)

B

A

t

tI P(x(t),y(t))x '(t) Q(x(t),y(t))y'(t) dt[ ]

Trường hợp 3:

A B

x x(t) dx x'(t)dtC AB: y y(t) dy y'(t)dt

t : t t

Ví dụ 4: Tính , trong đó C là cung từ O(0,0) đến

A(1,1) theo chiều kim đồng hồ.

CI ydx xdy 2 2x y 2x

1 cos sinsin cos

: / 2

x t dx tdtC y t dy tdt

t

/2sin .sin (1 cos )cosI [ t t t t]dt

Ta có

/2cos cos2[ t+ t]dt

/2sin2sin 12

tt

22v1.0013110217

2.2. CÁCH TÍNH (tiếp theo)

Chú ý: Tích phân đường loại hai trong không gian

Các hàm P(x,y,z), Q(x,y,z) và R(x,y,z) liên tục trên tập mở D chứa cung trơn AB.

0 1lim ( ) ( ) ( )

k

n

k k k k k kmax l kABPdx Qdy Rdz P M x Q M y R M z

Cung AB có phương trình tham số: ( ), ( ), ( );x x t y y t z z t a t b

' ' '( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ( ), ( ), ( )) ( ) ( ( ), ( ), ( )) ( )b

aP x t y t z t x t dt Q x t y t z t y t dt R x t y t z t z t dt

' ' '( ) ( ) ( )b

aP x t Q y t R z t dt

ABPdx Qdy Rdz

23v1.0013110217

2.2. CÁCH TÍNH (tiếp theo)

C

I ydx zdy xdz

2

0sin ( sin ) ( cos ) cos ( )I a t a tdt bt a tdt a t bdt

Ví dụ 5: Tính với C là đường cong

cos , sin , ,0 2x a t y a t z bt t theo hướng tăng dần của biến t.

2

2 2

0sin cos cosI a t abt t ab t dt

2a

24v1.0013110217

2.3. CÔNG THỨC GREEN

• C là biên của miền D (C là đường cong kín).Chiều dương qui ước trên C là chiều mà đi theochiều này ta thấy miền D gần nhất ở phía bêntay trái. Chiều ngược lại gọi là chiều âm.

• Miền D được gọi là miền đơn liên nếu các biênkín của D có thể co về một điểm P thuộc D màkhông bị các biên khác cản trở. Ngược lại Dđược gọi là miền đa liên.

• Chú ý: Trong đa số trường hợp, chiều dương quiước là ngược chiều kim đồng hồ. Trong trườnghợp tổng quát điều này không đúng. Miền đa liên

Miền đơn liên

D

25v1.0013110217

2.3. CÔNG THỨC GREEN

Công thức Green

D là miền đóng, bị chặn trong mặt phẳng Oxy với biênC trơn từng khúc, có chiều dương.P(x,y), Q(x,y) và các đạo hàm riêng cấp 1 liên tụctrong miền mở chứa D.

C D

Q PP(x,y)dx Q(x,y)dy dxdy

x y

Điều kiện để sử dụng công thức Green:• C là cung kín.• P(x,y), Q(x,y) và các đạo hàm riêng cấp 1 liên tục trên miền D có biên C.

26v1.0013110217

2.3. CÔNG THỨC GREEN (tiếp theo)

Ví dụ 1: Tính , trong đó C là biên tam giác OAB, với

O(0,0); A(1,1); B(0,2), ngược chiều kim đồng hồ.

2

CI (x 3y)dx 2ydy

C D

Q PI Pdx Qdy dxdyx y

3

Cung C kín, có chiều dương

P(x,y), Q(x,y) và các đạo hàm riêng cấp 1 liên tụctrên miền D có biên C. Áp dụng CT Green, ta có:

/2

/

3( , ) 3( , ) 2 0

y

x

PP x y x yQ x y y Q

0 3D

dxdy 1 2

0( 3)

x

xdx dy

Đặt

Chú ý: 0 3 3 3 3DD D

I dxdy dxdy S

D A

B

0

27v1.0013110217

2.3. CÔNG THỨC GREEN (tiếp theo)

Ví dụ 2: Tính , trong đó

ngược chiều kim đồng hồ.

2x

CI e 2xsin y.dx cosy.dy

2 2: 4C x y

2 2 4

0x y

Q PI dxdyx y

2xP(x,y) 2xe sin y

22 cosxP xe y

y

22 cosxQ xe y

x

2xQ(x,y) e cosy

Đặt

Áp dụng công thức Green, ta có:

28v1.0013110217

2.3. CÔNG THỨC GREEN (tiếp theo)

Ví dụ 3: Tính , trong đó C nửa trên đường tròn

cùng chiều kim đồng hồ.

2 2

CI (x y) dx (x y) dy

1 2C C AO AO

I I I

2

Cung C không kín

2( ) 2( ) D

x y x y dxdy

02 2

22

( 0) ( 0) 0 I x dx x dx

2 2 2x y x

1

DC AO

Q PI dxdyx y

2cos/2

0 04 cos

d r r dr

83

1 2823

I I I

AO

29v1.0013110217

2.4. ĐIỀU KIỆN ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN ĐƯỜNG KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO ĐƯỜNG ĐI

Định lý 4 mệnh đề tương đương• Cho hàm P(x,y), Q(x,y) và các đhr cấp 1 của chúng liên tục trong miền mở

đơn liên D chứa cung AB.• Các mệnh đề sau đây là tương đương.

1. Q Px y

2. Tích phân không phụ thuộc đường cong trơn từng khúcAB

I Pdx Qdy

nối cung AB nằm trong D.

4. Tồn tại hàm U(x,y) là vi phân toàn phần của Pdx + Qdy, tức là

( , )dU x y Pdx Qdy

3. Tích phân trên mọi đường cong kín C, trơn từng khúc trong D bằng 0.

0C

I Pdx Qdy

30v1.0013110217

2.4. ĐIỀU KIỆN ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN ĐƯỜNG KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO ĐƯỜNG ĐI

Chọn thuộc miền xác định của P(x,y) và Q(x,y). 0 0( , )x y

• Cách 1

0 00( , ) ( , ) ( , )

yx

x yU x y P t y dt Q x s ds C

0 00( , ) ( , ) ( , )

y x

y xU x y Q x s ds P t y dt C hoặc

• Cách 2

/

/x

y

U P

U Q

Ta có ( , ) ( , ) ( ) ( , ) ( )U x y P x y dx g y H x y g y

/ / / ( ) ( , )y yU H g y Q x y

( ) ... ( , ) ...g y U x y

31v1.0013110217

2.4. ĐIỀU KIỆN ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN ĐƯỜNG KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO ĐƯỜNG ĐI

Ví dụ 1: Tính(2,3)

( 1,2)I ydx xdy

Cách 1

tích phân không phụ thuộc đường đi.

1Q Px y

AC CBI

2 3

1 22 2dx dy

8

Cách 2: Tồn tại hàm U(x,y) là vi phân toàn phần của Pdx + Qdy

0 0 0 0( , ) ( ;0) ( ; ) 0

y yx xU x y P t dt Q x s ds dt xds xy

(2,3) (2,3) (2,3)( 1,2)

( 1,2) ( 1,2)I Pdx Qdy dU U(x,y)

(2,3) ( 1,2) 8U U

Đặt P = y, Q = x

Chọn x0 = y0 = 0 ta có:

( 1,2)A

(2,3)B

(2;2)C

32v1.0013110217

2.4. ĐIỀU KIỆN ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN ĐƯỜNG KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO ĐƯỜNG ĐI

Ví dụ 2: Tính(6,8)

2 2(1,0)

xdx ydyIx y

Tồn tại hàm U(x,y) là vi phân toàn phần của Pdx + Qdy

'2 2

'2 2

( , )

( , )

x

y

xU P x y (1)x y

yU Q x y (2)

x y

(1) ( , ) ( , ) ( )U x y P x y dx g y

2 2( , ) ( )U x y x y g y '(2) ( ) 0g y ( )g y C

2 2( , )U x y x y C (6,8)(1,0)I U(x,y) (6,8) (1,0)U U 9

tích phân không phụ thuộc đường đi.

Q Px y

Đặt 2 2 2 2

x yP ,Qx y x y

Vậy

33v1.0013110217

2.4. ĐIỀU KIỆN ĐỂ TÍNH TÍCH PHÂN ĐƯỜNG KHÔNG PHỤ THUỘC VÀO ĐƯỜNG ĐI

Q Px y

a. Điều kiện cần để tích phân không phụ thuộc đường đi

2 2 sin 2 2 sinxy xy x xy xy xe xye e y e xye e y

1

xy x xy x

CI (2ye e cosy)dx (2xe e sin y)dy

a. Tìm hằng số để tích phân I không phụ thuộc đường đi.

b. Với ở câu a, tính I biết C là cung tùy ý nối A(0,) và B(1,0).

Ví dụ 3:

b. Với = 1 ta có tích phân:

(1,0)xy x xy x

(0, )I (2ye e cos y)dx (2xe e sin y)dy

Chú ý I không phụ thuộc đường đi.

AO OBI

0 1

0sin xydy e dx

1e

O

(0, )A

1 2

0, 0

xy y

1 2

01, 0

yx x

B(1,0)

34v1.0013110217

2.5. ỨNG DỤNG

Diện tích của miền phẳng D, có biên C theo chiều dương được xác định bởi công thức:

D

C C C

1S ydx xdy xdy ydx

2

Ví dụ: Tính diện tích của đường elip (E)2 2

2 2x y

1a b

Ta cóx acos t

C : y bsin t dy bcos t.dtt : 0 2

2 22

DC 0 0

S xdy acos t.b cos t.dt ab cos tdt

22

00

ab ab cos2t(1 cos2t)dt 1 ab

2 2 2

35v1.0013110217

TÓM LƯỢC CUỐI BÀI

Trong bài này chúng ta đã xem xét các nội dungchính sau:

• Khái niệm tích phân đường loại I và loại II.

• Cách tính tích phân đường loại I và loại II.

• Ứng dụng tích phân đường vào việc tính độ dàivà diện tích.