物理数学1b(後半部)...1 物理数学1b(後半部) 担当教員:山本貴博...
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物理数学1B(後半部)担当教員:山本貴博
第1回目講義:平面におけるグリーンの定理(線積分⇔2重積分)
第2回目講義:ガウスの定理 (面積分⇔体積分)
第3回目講義:ストークスの定理 (線積分⇔面積分)
(12月11日)
(12月18日)
(1月15日)
講義内容:講義内容:ベクトル場における積分定理ベクトル場における積分定理
第1回目講義:平面におけるグリーンの定理(テキスト p144-p149)
G.Green (1793-1841) グリーンの定理に関する原著論文
An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism (Green, 1828)
2
線積分⇔2重積分
■ 平面におけるグリーンの定理 (テキスト p.144-145)
■平面におけるグリーンの定理の証明
A
BR
単連結領域R内で
は、1価連続関数とする。
a b
左図の黄色の短冊部分に関してx軸にそってaからbまで積分
・・・・・・ (1.1), , ,
■ 証明(つづき)
E
F
R
d
c左図の黄色の短冊部分に関してy軸にそってcからdまで積分
単連結領域R内で
は、1価連続関数とする。 ・・・・・・ (1.2)
(1.1)式と(1.2)式を足し合わせて、平面におけるグリーンの定理
を得る。(証明終了)
・・・・・・・・・・・・ (1.3)
, , ,
3
■ 多重連結領域 (テキスト p.146)
単連結領域
2重連結領域
虫食い領域
※ 単連結領域:領域内の任意の閉曲線を連続的に縮めていくと点となる
※ 多重連結領域:領域内の任意の閉曲線を点に縮めることができない
C2
C1
C2
C1
閉曲線C1, C2とも、点に縮めることができる
虫食い領域を囲まない閉曲線C1は、点に縮めることができる
虫食い領域を囲む閉曲線C2は、点に縮めることができない
虫食いの数=N個: N+1重連結領域虫食いの数=N個: N+1重連結領域
■ 多重連結領域でのグリーンの定理 (テキスト p.146)
= + + +
A
B
A
BA A
BB
ステップ2: 積分経路の分解
ステップ1: バイパスの導入
A
B
CA
CB
経路CAと経路CBを結ぶ経路ABを導入
→ 領域Rは単連結領域と見なすことが
できる
→
単連結領域
キャンセル
∴
∴
∴
・・・・・・・・・ (1.4)
4
■ 平面上の線積分が経路に依らないための条件(テキスト p.147)
A
B
0
線積分が経路に依らないとき
一般的に、線積分の値は経路に依存する
(1.3)式に線積分の性質[C=C1+(-C2)]より
線積分が経路に依らない = 周回積分ゼロ
となる。したがって、
・・・・・・・・・ (1.5)
線積分
∴
が成立することである。
が積分経路に依存しないための必要十分条件は
ただし、単連結領域Rにおいて、 は1価連続関数
■ 証明
※ 十分条件
が経路に依存しないということは、
と等価である。したがって、平面におけるグリーンの定理を用いると
となる。この等式が成立するためには第2項の非積分が常にゼロでなければならない。
(証明終了)
, , ,
・・・・・・・・・・・・ (1.6)
5
R
を満足する点
■ 証明(つづき)
R0
領域R0の境界をC0とすれば、グリーンの定理より
C0
C
仮定と矛盾!!同様に、
の場合も矛盾を導く(証明略)
∴ R内で恒等的に (証明終了)
※ 必要条件
が成立するとし、 として矛盾を導く。
はR内で1価連続である。 R内で
を含む領域R0があるとする(下図を参照)。
を満たすような点
証明の手続き:
領域R(それを囲む経路C)内で が成立するならば、
,
■ 全微分条件
を満足するP, Qからなる関数:
を導入する。 Aは定点としているので U は(x,y)の関数である。
yを固定してx軸方向にΔxだけ並進させると、関数U(x,y)は
青線の経路 赤線の経路
赤線の経路においてdy=0
6
Δxが非常に小さいとすると、U(x+Δx, y)は
となる。また、 U(x+Δx, y)をΔxに関して1次までテーラー展開すると
・・・・・・・・・・・・ (1.7)
・・・・・・・・・・・・ (1.8)
である。(1.7)式と(1.8)式を比較すると、
を得る。
一方で、xを固定してy軸方向にΔyだけ並進させることを考えると、同様に
を得る。(1.9)式と(1.10)式から
・・・・・・・・・・・・ (1.9)
・・・・・・・・・・・・ (1.10)
・・・・・・・・・・・・ (1.11)
を得る。したがって、 は U(x,y) の全微分を表す。
■保存力場
力学概論で学んだように、保存力 は
によって、ポテンシャルUから導かれることを学んだ。逆に、保存力 に対して
ポテンシャル は
で与えられる。この線積分の値は、積分経路に無関係である。すなわち任意の閉曲線Cに対して
が成り立つ。いま、平面(2次元)運動を考え、保存力を
とすると、・・・・・・・・・・・・ (1.15)
・・・・・・・・・・・・ (1.12)
・・・・・・・・・・・・ (1.13)
・・・・・・・・・・・・ (1.14)
・・・・・・・・・・・・ (1.16)
7
(1.16)式に対して、平面におけるグリーンの定理を用いると
を得るので、全微分条件:
を得る。
・・・・・・・・・・・・ (1.6)
・・・・・・・・・・・・ (1.3)
保存力の回転(rotation)は
であることを、力学概論で学んだ。平面(2次元)運動の場合に力が
とする。全微分条件(1.6)式を導きなさい。
その場演習:保存力場
平面におけるグリーンの定理を用いて、次の線積分の値を求めよ。
ここで、積分路は
を反時計まわりにとる。
レポート課題:平面におけるグリーンの定理の応用
レポート提出に関する注意事項
・表 紙:指定のものを用いること(以下のHPよりダウンロード) http://www.rs.kagu.tus.ac.jp/~takahiro/math1B_07.html・ 提出期間:木曜日12:00~金曜日16:00まで・提出場所: 1号館8階渡辺研前のボックス
1
C.F.Gauss (1777-1855)
第2回目講義:ガウスの定理(テキスト p.151-157)
ガウス生誕の地(Brunswick)に建つガウスの像
面積分⇔体積分
■ ガウスの定理
■ガウスの定理 の(直感的)導出
P:
Q:
R:体積 の微小直方体を考える。
この微小直方体の表面
上での面積分:
を計算する。
ここで、n は積分面の単位法線ベクトルである。図2-1: 積分面(ガウス面)
2
直方体の体積 は非常に小さい ⇒ 各面 でのベクトル場を中心の値
で代表させる
平面 S1+S2の計算
n n
nn
は非常に小さいので、 のまわりで
テーラー展開を行い
となり、したがって
同様にして、平面 S3+S4と平面 S5+S6の計算を行うと、
,
を得る。以上をまとめると、微小直方体に対して
を得る。
0・
次に、任意の3次元体積V(左図)について考える。
体積 V(表面積S) を体積 のN個の微小直方体に分割する。
隣り合う2つの直方体の共有する面では面積分はキャンセルしあうので、ΔVl→0(N→∞)の
極限で
を得る(ガウスの定理)。
3
■ ガウスの積分 (テキスト p.155-156)
(原点Oが曲面Sの外)
(原点Oが曲面Sの内)
・・O O
nn
rr
原点Oが曲面Sの外原点Oが曲面Sの内
閉曲面 S 上の任意の点P の位置ベクトル r とするとき、次のガウスの積分が成立する。
P P
※ ガウスの定理を用いて証明
ベクトル公式:
を用いると、 原点Oが曲面Sの外の場合にはガウスの定理より
・・・・・・・・・・・・ (2.1)
次に、原点OがSの内の場合について考える。
. n
n
a
S’
S閉曲面内部に原点Oを中心とする半径aの空洞(球面S’)を作る(左図参照)
O閉曲面S+S’(左図の水色部分)を考えれば、原点OはS+S’の外にある。
したがって、
(2.1)式と(2.2)式をまとめると、任意の閉曲面Sに対してガウスの積分
(原点Oが曲面Sの外)
(原点Oが曲面Sの内)
・・・・・・・・・・・・ (2.2)
を得る。
4
物理例:点電荷の作る電場
+q
原点Oに置かれた点電荷(電荷q)がつくる電場は
・・・・・・・・・・・・ (2.3)
E
である。
n
左図の閉曲面S1とS2に対して電場Eを面積分すると
S1S2
(S1)
(S2)
ある領域内に電荷Qが存在すると、その領域から電荷Qと等しい大きさの電束密度( )という物理量が出入りする
ある領域内に電荷Qが存在すると、その領域から電荷Qと等しい大きさの電束密度( )という物理量が出入りする
n
もっと一般的には、任意の電荷分布に対して(積分型の)ガウスの法則:
が成立することを電磁気学(2年次)で学ぶ。ρは電荷密度を表す。
または
と表すことができる。ここで、 A (r,t)はベクトルポテンシャルと呼ばれる。
(問題) 任意の閉曲面S上での磁場B(r,t)の積分値は如何?
演習問題2: 磁場に対するガウスの法則
電荷と異なり、磁荷は単独で存在できない。そのため磁場B(r,t)は
に従う(磁場に対するガウスの法則:電磁気学で学ぶ)。したがって、磁場B(r,t)はベクトル場A (r,t)を用いて
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第3回目講義:ストークスの定理(テキスト p157-p167)
Sir George Gabriel Stokes(1819年- 1903年, アイルランド、数学者、物理学者)
流体力学の分野 粘性流体の式:ナビエ=ストークスの式 流体中を落下する粒子の速度:ストークスの式 水面波の「ストークス波」 粘度の単位ストークス
光学の分野 ストークス散乱
数学の分野 ストークスの定理
■ストークスの定理
線積分⇔2重積分
■ 2次元ベクトルに対するストークスの定理
2次元ベクトルAを
と書くと、ストークスの定理の左辺は
となる。一方、右辺は
となるので、
(平面に対するグリーンの定理)
を得る。
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■ストークスの定理の(直感的)導出
左図に示すような面積 の
微小長方形を考える。この長方形の周
に沿って、ベクトルAの線積分
を考える。
長方形の面積ΔSは非常に小さいので、各経路Ci (i=1,2,3,4)を横切るベクトル A を各経路の中心の値 A(i) で代表させることができる。したがって、各積分値は
, , ,
と近似できるので、
と書くことができる。
ΔxとΔyは非常に小さいので、
と書くことができる。したがって、微小長方形に対して
が成り立つ。ここで、nは面ΔSの単位法線ベクトル(今の場合はz方向の単位ベクトル)。
次に、任意の面積S(右図)の閉曲面について考える。右図のように、面積Sの閉曲面をN個の微小長方形(面積ΔS)に分割する。
この式の左辺は、N→∞の極限で
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一方、右辺に関しては
隣り合う微小長方形が共有する1辺での線積分は、
その積分路が逆向きのために互いにキャンセル (右図を参照)
するので、 N→∞の極限で
となる。こうして、ストークスの定理:
を得る。
■ 保存力とポテンシャル
ストークスの定理から導かれる次の2つの結果は、物理学を学ぶ上でたびたび用いられる重要な結果である。
(1) 全ての閉曲線Cに対して、 となるための必要十分条件は
恒等的に である。
(2) の必要十分条件は である。
(1)の証明
[十分条件] ならば、ストークスの定理より
[必要条件] 全ての閉曲線Cに対して
とする。証明方法としては、ある点Pで とし、上の仮定との矛盾を
見つけることによって必要条件を証明する。次ページ
18
ベクトル が連続であるならば、点Pのまわりで を満たす領域Rが
存在する。
領域R内で、単位法線ベクトル が と同じ方向をもつ曲面Sを考え、その周をCとする。このとき は
と書くことができるので、ストークスの定理より
となる。これは仮定 と矛盾するので、恒等的に
である。こうして、始点をP1, 終点をP2とする線積分
がP1からP2への路に依存しないための必要十分条件は である。
レポート問題3: 保存力とポテンシャル
の必要十分条件は
その場演習問題: 保存力とポテンシャル
(1) 力
であることを証明せよ。
が保存力であるかを
調べなさい。
(2) 中心力 が保存力であることを証明しなさい。
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