数学Ⅲ 積分公式集 -...

のとき　　

１

のとき　　

２

【分数関数

の不定積分】　　

において，３

（１）分母がやの形になっていたら，有理化してみる。

（２）分母が因数分解された形になっていたら，部分分数にしてみる。

　　　つまり，分数式の和や差の形にする。

（３）（分子の次数）（分母の次数）ならば，

　　　（分子の次数）＜（分母の次数）となるまで分子の次数を下げてみる。

　　　つまり，（仮分数）＝（多項式）（真分数）という形に変形する。

　　　真分数式は部分分数にわける。

　　（例　

）

（４）

（５）

･

　

【三角関数の不定積分における考え方】４　次数を下げる。そのためには，次の方法を行ってみる。

　（１）半角の公式より

　

（２次から１次へ）

　　　　２倍角の公式より（とを掛けた２次からの１次へ）

　　　　３倍角の公式より

　

　　　　（やの３次からの１次へ）

（２）積和公式（積を和に変える）利用

　　　

　　（とを掛けた２次からとの１次へ）

　　　

　　

　　　その際他の三角関数の公式も利用する

　　　

　　　　

数学Ⅲ　積分　公式集

-1-

　　　　など

（例）

　　（ととを掛けたの２次からの１次へ）

５

（１）

（２）

（３）

（４）

６

（１）

（２）

（３）

（４）

（５）

７

･

　　　　

８


-2-

９

　（　

　より）10

　（　

　より）11

12

（１）

（２）

13

14

【の不定積分】15

　のとき　　

　（例）とする。

　　　①　

　（とする）

　　　②　

　　　　（①の左辺ののときである）

　　　③　

　　　④　

　　　⑤　

　　　⑥　


-3-

不定積分の置換積分法　　　　　

ただし …①と置換されている。

16

①の両辺をで微分して　ここで

は分数ではないが便宜的に分数のように扱い，分母を払って

とし，のかわりににのかわりにと置き換えるとよい。

つまり　となる。

また，上の公式の　　の部分は，あたかもと約分をしたようになっている。

（注）やの形のものを「微分形式」という。

不定積分の置換積分法の別な表現　　ここでと置く

（１）一般に「」形になっているものは，と置くとよい。

（例）･ならこの形でとしてみると，が出てくるから，

　　　が使えそうである。

　　　と置く。この両辺をで微分してこれから

の分母を

　　　払ってとなる。

　　　次にをと定めると･と表せ，

　　　よって　　･

（例）

ならとしてみると，が出てくるからと置く。

　　　この両辺をで微分して

　　　

　　　　

（例）･ならこの形でとしてみると，よって

が出てくるから，

　　　が使えそうである。と置く。この両辺をで微分して

　　　

　　　となる。

　　　次にをと定めると　･･

と表せ，

　　　よって　･

　　　このパターンは次のように公式化できる。


-4-

　　　　　　　

　　　同様に　　　

　　　　　　　

　　　これを使うと次のような問題は簡単に計算できる。

　　　と変形して　

とみると，より

　　　

　　　

と変形して

とみると，より

　　　

（注）連続関数の不定積分は必ず存在する。ただし，簡単な関数でもその不定積分が高校で習う範囲の関数では

　　　表すことができないことがある。例えば上で出てきた･において，たったがない形の

　　　はどう頑張っても高校で習う範囲の関数では表すことができないことが知られている。

　　　そのようなものとして他に次のようなものがある。

　　

　　

　　

（楕円積分）　　

（確率積分）　

（指数積分）

　　

　　

（対数積分）　　

　　　　

（積分）　

　　　　

　　　　　　

　　

「」形を一般化した公式

　　のとき　　

（例　①）

　（　とおくと

より

で公式適用してみる。

　　　

より）

（例　②）のとき　　･

　とおくとで公式適用

（例　③）のとき　　･


-5-

（例　④）において，　　とおくと

　　　　　となるから　

　　　　　

と表せるから公式適用

（例　⑤）において，　　とおくと

　　　　となるから　

　　　　

と表せるから公式適用

（例　⑥）･

より　　とおくと

より

　　　　･

と表せるから公式適用して

　　　　

（例　⑦）

（例　⑧）

（例　⑨）

【無理関数不定積分】

（１）を含む関数の積分は，またはと置いてみる。

17

　（例）

のような場合，とおくととなり

　　　　

･

のようにして求める。

（２）を含む関数の積分は，と置いてみる。

　（例）

のような場合，とおくと

となり

　

のようにして求める。

（３）

を含む関数の積分は，

と置いてみる。

　（例）

のような場合，

とおき両辺を２乗して

　　　　

これより

となり


-6-

　　　　

　　　　

…のようにして求める。

（４）を含む関数の積分は，と置いてみる。

　（例）

のような場合，とおくと　…①

　　　より　また

　これより

となり

　　　

（絶対値が付かない理由は①の条件からである）

　　　　ところで，この場合はいろんな置き方ができます。参考までにいくつか紹介します。

　　　　

とかとか

など

（５）を含む関数の積分は，


　（例）


とおくと

で

　　　　これよりとなり

･

（６）を含む関数の積分は，と置くか


　（例）

のような場合，とおくと

となり

　　　　

（７）を含む関数の積分は，または


　（例）


とおくととなり，

　　　　

特殊な置換積分法

（１）

18

　　とおく。

　　次に，部分積分法を使うと

　　

　ここで

と変形すると


-7-

　　

　　ところで

である。

　　したがって，

　…④　ここで①を④に代入して

　　

　　（例　

）

（２）

　この場合 …⑤とおく。

　　（分母にが入っているとき，

と置いてみる）

　　　⑤の両辺をで微分しその後変形するととなるので

　　　･

･

置換積分の準公式

　

19

（例　①）　

（例　②）

（例　③）

　　（　

の分母分子にを掛けると

　　　　分母をで微分するとまたより

　　　　

）

消える

（例　④）

　　（　

　　　　　

　　　　　　）

（例　⑤）･

（注　ここで微分の公式

を使用してい


-8-

　　　　　るが，なぜ絶対値記号がはずれるかというと与えられた問題で分母にが使われているから，

　　　　　最初から真数条件　が成立しています。）

　　　　　

「置換積分法」と「置換積分の準公式」

　を利用した例20

（１）

　　　ここで　とおくととなるから

　　　

　　　　

　　　　＝

　（別解） …①とおくと，

となる。

　　　　

…②

　　　　①の両辺をで微分する　

　

　　　　

（②より）

　　　

　（参考）とおくと，

より

　　　　　

などを求めるときに使用できる。

（２）

　　　ここで　とおくととなるから

　　

　　　　　　　

のとき21

　　①　


-9-

　　②　

　　③　

【不定積分と漸化式】22関数の乗の不定積分には，漸化式によって次数を下げられるものがある。

（１）とおくと　

　　（･として部分積分法

　　　　　を使用する。

　　　　　として当てはめると

　　　　　

より）

（２）とおくと　

　　（･として（１）同様にできる）

（３）とおくと　

　　（

　　　　として部分積分法を使うと

　　　　

　　　　

　　

　）

（４）

とおくと　

　　（

･

　）

不定積分の部分積分法　 23

次のように，積の形になっている関数を部分積分法を用いて計算するとき，　　の部分を

微分する側に割り当てるとよい。

（１）多項式（指数関数）

（例なら

とみる。答）

　　　（１）を発展させた公式

　　　　

…

　　　どこまで続けるかは，となるところまで求め，その前のまで使う。


-10-

　　（例）のときは，

とおけば

　　　　　より　　

　　　　　よって　

（２）多項式（三角関数）

　　（例ならとみる。

　　　　（答）

）

（３）多項式（対数関数）

　　（例ならとみる。

　　　さらに，

とみることがコツ。をそのまま積分した形

　　　

だと計算が面倒である。（答）

）

（４）（指数関数）（三角関数）（１回目にこのように部分積分を行ったなら，この計算を継続している途中で

　　　　２回目の部分積分を行うときも同じ置き方をする。）この（４）を使うと次の式も導ける。

　　（例　①）なら

とみる。

　　　　　　　

　　（例　②）

　　（例　③）

　　（例　④）

　　（例　⑤）において，とおくとより

　　　　　　　･

　この後（例　①）を使って

　　　　　　

定積分の部分積分法　　

24

定積分の基本式25

（１）上端下端の交換　

　　特にのとき

（２）積分区間の分割　

（の大小は問わない）


-11-

（３）【絶対値のついた関数の定積分】

　　　

　ならば　

（４）【微積分学の基本定理】の関数

は微分可能で，　

（５）

（５）

（６）

（７）

（８）

の図形的意味は，原点を中心とする半径１の円の面積のであるから，定積分を計算しないで

　　　結果のをいきなり使用してよい。これを一般化して　

も定積分を計算しないで

　　　結果の

をいきなり使用してよい。

【偶関数奇関数の定積分】26

が偶関数が成立ならば　

が奇関数が成立ならば　

（参考）は偶関数は奇関数　　は偶関数は奇関数は偶関数

　　　　は奇関数偶関数どうしの和や差は偶関数奇関数どうしの和や差は奇関数

　　　　偶関数どうしの積は偶関数奇関数どうしの積も偶関数偶関数と奇関数の積は奇関数

定積分の置換積分法

　

　　ただし　

を求める

27

一般に　

形になっているものは，と置くとよい。

（例）

　　　ここで，

とおくと　

　　　

　　

　これより


-12-

　　

･･

（１）は正の整数とする　

のとき

のとき28

　　　三角関数の積和公式より

（２）は正の整数とする　

のとき

のとき


（３）は正の整数とする　


　　　 29

右端型

左端型

区分求積法の基本式

右端型　　

…

左端型　　

…

30

（例）

のとき，を求めるには，

　　分子分母をで割った

　　この例は「区分求積法の基本式の右端型」としての例である。

　とみてのとき

でのとき

となるから


-13-

【リーマン和（一般に

　の形の和のこと）の計算】

　　　

（注　上の「区分求積法の基本式」は

　　　この公式でとしたものです。）

（例）

のとき，

を求めるには，

　　

はがとなると

となり

　　がとなると

　　

なっている。

　　よって，とおいて

　　右図を考える。

　　となるから

　

は右図の塗られた１つの長方形の縦の長さを

　表し，はその長方形の横の長さになっているから

　塗られたつの小さな長方形の面積横縦

と表せる。

　これよりは図の塗られた部分の全体の長方形の面積を表している。

　　よって．は曲線と軸の間のからまでの部分の面積である。

　　

　（　　より　）

区間でならば　　

31

　　　　等号は，常にであるときに限り成り立つ。

【積分における平均値の定理】32

関数が区間で連続のとき，

　を満たすが存在する。

【定積分と極限】33

とおくと　


-14-

（例）極限値

を求めよ。

　（解）とおくと

　　

ここでとおくとでのときであるから

　　　　　　　　　　　

･

･

･

曲線と軸および２直線で囲まれる部分の面積Ｓは，34

　　　　　　　　　　

２曲線と２直線で囲まれる部分の面積Ｓは，35

　　　　　　　　　　

立体の体積36（１）１つの立体において，適当に軸をとり軸に垂直に立てた平面で立体を切ったときの切り口の断面積を

　　　とし，軸上の座標で軸に垂直に立てた２平面の間にある部分の体積は

　　　

　（ただし）

回転体の体積

【曲線と軸とで囲まれた部分を軸回転した場合】

（２）曲線と軸および２直線で囲まれた部分を軸の周りに１回転させてできる回転体の

　　　体積は　


（３）曲線と軸および２直線で囲まれた部分を軸の周りに１回転させてできる回転体の

　　　体積は　


-15-

Δ

軸回転

Δ

体積Δ･･Δ

どの幅もΔの厚み

のバームクーヘン

を上から見た図


右図のように，曲線と

軸および直線

とで囲まれた部分を

軸のまわりに１回転してでき

る回転体の体積を求めるため

次のように考える。

１回転してできる立体を幅Δの

円筒形に分割する。円筒形の体積の集合

（バームクーヘンの体積を連想できる）

が求める体積である。

いま半径，高さ，幅Δの円筒形

（曲線ゆえ上の部分は斜めになっているが，それを平らにして円筒形にしたものである）

を上の右図のように切り開くと縦，横，幅Δの直方体と見ることができる。この円筒形の体積Δは

Δ･･Δとなる。はで変化するので，

求める体積Ｖは　

Δ

【バームクーヘン分割による軸回転体の体積】

（４）区間でのとき，曲線と軸および直線とで囲まれた部分を

　　　軸のまわりに１回転してできる回転体の体積Ｖは　

（例）

のグラフのに対応する部分，２直線および軸で囲まれ

　　　た部分を軸のまわりに１回転してできる回転体の体積を求めよ。

　（解）図の四角形ＡＢＥＤを軸回転させると円柱より体積とおくと

Ｄ：

Ｅ：

Ａ

ＢＣ

　　　（　半径高さ

より）図の塗られた図形ＡＢＣを軸回転させた体積

　　　とおき，「バームクーヘン分割による軸回転体の体積」の公式より

　　　

ここで

　　　　

　　　　

　よって　求める体積とおくと　


-16-

Ｐ

Ｒ

【斜めの直線のまわりの回転体の体積】

　直線上の点Ｐを原点からの距離にとる。点Ｐを通る傾きの

　直線と曲線（ただし曲線は原点を通り図のように

　直線と交わるものとする。）との交点をとし

　図のＲはとなる。（点Ｐを通る傾きの直線と

　直線は垂直）点と直線との距離より

　

37

（の座標がの座標より上）

Ｒ

　また三角形ＯＲは直角二等辺三角形より　三角形ＰＱＲは直角二等辺三角形より

　　　

　とおくと　

　

　直線を軸として，ＱＰを軸のまわりに１回転してできる回転体の

　断面積はより求める体積Ｖは

　･

（例）直線と曲線により囲まれる部分を，直線のまわりに１回転してできる

　　　回転体の体積Ｖを求めよ。

（解）を解くとより，【斜めの直線のまわりの回転体の体積】の公式で

　　　と置けばよいから　よって

･

　　　

【２曲線で囲まれた図形の回転体の体積】38（２曲線で囲まれた図形の回転体の体積）＝（外側の回転体の体積）（内側の回転体の体積）

一般に，回転体の体積について，次の「パップスギュルダンの定理」が成り立つ。

　　　　（回転体の体積）＝（面積）（重心の移動距離）

シュワルツの不等式　39

　　　

曲線の長さ40

（１）のの範囲の曲線の長さ　


-17-

（２）

　の範囲の曲線の長さ　

【簡単な微分方程式】41

　や

のように，未知の関数の導関数を含む等式を「微分方程式」という。

　微分方程式を満たす関数をその「微分方程式の解」といい，解を求めることを「微分方程式を解く」という。

　の形をした微分方程式を「変数分離形」という。

【変数分離形（）の解放】

　両辺をで積分して　　

これから　（左辺の不定積分をとし，右辺の不定積分をとおく）

これからについて解き，の式とすれば求める解となるが，この解には任意定数Ｃを含みこのような解を

「一般解」という。

（例）微分方程式　のとき（これを初期条件という）を解け

　（解）（ⅰ）のとき，となるが，が定数関数

であると与えられた条件のとき

　　　　　　　とはなれないので定数関数

は解とはならない。

　　　　（ⅱ）のとき，与式を変形して

この両辺をで積分して

　　　　　　　ゆえに　

　　　

　　　　　　　

　ここでとおく。（は以外の任意の値をとる）

　　　　　　　よって　

（これが一般解です）のときであるから，

　　　　　　　　　したがって　

（これを「特殊解」という）


-18-

Δ

【ガウス－グリーンの定理】

と媒介変数表示された曲線Ｃがあり，

点がの増加とともに原点Ｏのまわりを左まわりに回る

とするとき，からまで線分の通過する面積Ｓは

である。

（例）

と媒介変数表示された曲線Ｃと

42

　　　２線分の囲む部分の面積を求めよ。

（解）においては，

　　　であるから，の動きは座標が負の方向へ進みそれに伴い座標が正の

　　　方向へ進むから　　の方向に進んでいる。これは左まわりに回っている。よって求める面積Ｓは

　　

　　

　　


-19-

数学Ⅲ 積分 公式集 -...

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