課文 amec.math.ntnu.edu.tw/wp-content/uploads/2016/10/花蓮_第二章_合併.pdf · 1...
Post on 04-Feb-2020
4 Views
Preview:
TRANSCRIPT
目 錄
單元一:平方根與近似值......................................................................................... 1
課文 A:根號的意義 ......................................................................................... 1
課文 B:根號的值 ........................................................................................... 11
課文 C:平方根的意義 ................................................................................... 28
單元二:根式的運算............................................................................................... 36
課文 A:根式的乘除 ....................................................................................... 36
課文 B:最簡根式與分母有理化 ................................................................... 43
課文 C:根式的加減 ....................................................................................... 55
課文 D:根式的四則運算 ............................................................................... 67
單元三:畢式定理................................................................................................... 75
課文 A:畢式定理 ........................................................................................... 75
課文 B:平面上兩點間的距離 ....................................................................... 88
1
單元一:平方根與近似值
(一)課文 A:根號的意義
這個全新的單元我們要學根號還有畢氏定理!
什麼是根號呢?
我們現在用一個例子來討論一下。
如果有人問你:有一個正方形,它的面積是 1,請問他的邊長是多少?
我們會馬上知道它的邊長是 1,因為 1 × 1 = 1。
又有另一個人問你:有一個大一點的正方形,它的面積是 4,請問他
的邊長是多少?
我們也可以算出它的邊長是 2,因為 2 × 2 = 4。
那你心裡會不會想:在正方形面積從 1 到 4 中間,有沒有一種正方形
它的面積是 2?或是有沒有一種正方形它的面積是 3?
當然有!我們先把它畫出來。
那你會不會好奇,它們的邊長分別會是多少呢?
我們來做一點簡單的觀察,你會發現當正方形面積為 1 時邊長為 1,
2
當正方形面積為 4 時邊長為 2,面積 2 和面積 3 的正方形夾在面積 1
和面積 4 中間。
所以面積為 2 和 3 的正方形,邊長應該夾在 1 和 2 中間。
我們可以大膽的猜測,邊長是 1 和 2 中間的一半,也就1.5。
而當邊長為1.5時,正方形面積為1.5 × 1.5 = 2.25。
這代表在面積為 2 和面積為 3 的正方形間,還夾有一個正方形,它的
邊長是 1.5,面積是 2.25。
由於面積2.25 的正方形比我們要求的面積 2 的正方形還要大。
所以我們要試試比 1.5 小一點的邊長。
我們來試試邊長 1.4 的正方形吧!
邊長 1.4 的正方形面積,等於1.4 × 1.4 = 1.96 。
所以我們可以發現邊長 1.4 的正方形面積1.96 比 2 來得小!
這代表在面積 2 的正方形前面有一個正方形的面積是 1.96。如下圖,
3
因此,我們又可以知道面積 2 的正方形,邊長應該夾在 1.4 到 1.5 中
間。
我們繼續來試一下邊長 1.45 。算一下 1.45 × 1.45 = 2.1025,又比面
積是 2 的正方形大一點點。
接著再試邊長 1.41,算一下1.41 × 1.41 = 1.9881,那我就知道面積
為 2 的正方形夾在邊長為 1.41 和 1.45 的中間。
1.41 和 1.45 的中間是什麼數字?
我們猜一下數字1.413,面積等於1.413 × 1.413 = 1.996569,越來越
接近 2 了!
雖然我們可以這樣一直做下去,讓面積越來越接近 2。
但事實上,不管怎麼找,我們其實找不到一個曾經學過的數,它所圍
4
成的正方形面積會剛好等於 2!
那麼,面積為 2 的正方形邊長究竟是什麼呢?
於是數學家們利用〝 √ 〞(唸作根號)這個符號,創造出一種新的
數來解決這個問題。
例如,正方形面積為 2 ,我們就將邊長直接表示為„ √ 2 ‟,唸作
「根號 2 」;
同樣的,正方形面積是 3,那我們就將邊長直接表示為〝 √ 3 〞,
唸做「根號 3 」。
我們將√ 2 和√ 3 這樣的數,稱做「根號數」。
有了這個符號„ √ ‟,表示一個正方形的邊長就輕鬆多了。我們連
算都不用算!只要在前面掛一個 √ 就好。
正方形面積為 2 的邊長是 √2 ,正方形面積為 3 的邊長是 √3 。
所以,我們可以將正方形面積和邊長的關係寫出下面的等式:
√正方形面積 =邊長。
我們都知道正方形面積算法是「邊長2=邊長×邊長 =面積」。
因此,如果√2 代表正方形面積為 2 的邊長,那麼 (√2)2 就會是在算
5
這個正方形面積,也就是 2,我們就可以寫出下面的等式
(√2)2 = √2 × √2 = 2。
從這個等式,我們可以觀察到兩件事,第一、√ 2 的平方會等於 2,
也就是(√ 2 )2 = 2,第二、√2 × √2 = 2。
所以,當我們看到某一個根號數的平方時,就可以直接求出答案,如
(√ 7 )2就可以馬上知道(√ 7 )2 = 7,同樣的道理(√ 11 )2 = 11。
而當兩個相同的根號數相乘時,我們同樣也可以直接求出答案,如
√ 7 × √ 7 = 7,√ 11 × √ 11 = 11。
接著,我們就來做一些題目,練習上面這些觀念。
Ex1.正方形面積為 5 ,則邊長為 ;
正方形邊長為 √7 ,則面積為
解:我們利用〝 √ 〞這個符號,來表示一個正方形的邊長。所以
正方形面積為 5 ,則邊長就會是 √ 5 ;
那麼正方形邊長為 √ 7 ,則面積就會是 7。
Ex2.計算下列各式.
6
(1) (√ 11 )2 =
(2) (√ 4.9 )2 =
(3) (√ 2
3 )2 =
解:
(1) (√11)2= √11 × √11 = 11 ,
(2) (√4.9)2 = √4.9 × √4.9 = 4.9 ,
(3) (√2
3)2 = √
2
3×√
2
3=2
3
既然我們利用√ (根號)來表示一個正方形面積的邊長的話,它就
會有一些限制!
想一下,前面說的„ √正方形面積 =邊長‟。
我們知道正方形面積與邊長不會有負值,所以根號內的數和根號本身
的值也不可以為負。
例如,因為不會有正方形的面積是 −3,所以在國中階段不會有 √−3
這種數。
而因為也沒有正方形的邊長會是 −3,所以也不會有一個數 a的根號
值是 −3,也就是不會有√ a = −3。
接下來我們要來談一談,如何比較兩個根號數的大小。如√2 和√ 5
3 。
7
當我們要比較 √2 和√5
3 的大小時,我們可以利用根號的定義來想一下。
√2 表示正方形面積為 2 的邊長,√5
3 表示正方形面積為
5
3 的邊長。如
下圖,
很明顯的知道面積為 2 的正方形比面積為 5
3 的正方形還要大,所以正
方形面積為 2 的邊長 √2 當然比正方形面積為 5
3 的邊長 √
5
3 還要大。
Ex3.試比較 √99 和 10 的大小。
解:
我們想比較這兩個數值時,直接比較是很困難的,所以我們就借
用以這兩個數為邊長所圍成的面積來比較,也就是將這兩個數分
別平方:(√99)2 = 99、(10)2 = 100。
平方後的值就是以其邊長所圍成的正方形面積,當正方形面積越
大,其邊長自然越大。我們很明顯可以知道 100 > 99 ,因此
10 > √99 。
2 5
3 √2
5
3
8
重點提問
1. 請問在上面的課文中,「√ 」唸成什麼?請你用自己的話解釋
什麼是「√ 」?
2. 從上面的課文中,我們利用到根號來表示正方形邊長的大小,也
就是√正方形面積 =邊長,請問這會產生什麼限制?
3. 要如何比較 √7 和 √8 的大小?為什麼可以這樣比較?
9
A.隨堂練習:
1. 以下都是正方形,請填寫它的邊長。
2. 以下都是正方形,請填寫它的面積。
3. 請算出以下的值。
(1) √6 × √6 =
(2) √11 × √11 =
(3) (√15)2 =
(4) (√23)2 =
? 面積=12
面積=6 面積=8 ?
?
?
面積=15
面積= √5 面積= √11
10
4. 比較下列各小題中,兩數的大小關係:(在空格中填入>、=、<)
(1) √8 √11
(2) √25 5
(3) √17 4
(4) √11
4 √3
(5) √0.1 0.1
還是不太懂,請看下面影片(1)
https://www.youtube.com/watch?
v=VVDCF--actE
還是不太懂,請看下面影片(2)
https://www.youtube.com/watch?
v=egPP9W_Hk7w
11
單元一:平方根與近似值
(一)課文 B:根號的值
從課文 A 我們知道根號(√ )可以用來表示正方形的邊長。
所以我們知道正方形面積為 2 的邊長是 √2 ;正方形面積為 3 的邊長
是 √3 ;正方形面積為 4 的邊長是 √4 。
而這個 4 剛好是 2 的平方(22) ,甚至知道面積為 4 的正方形邊長其實
就是 2 ,所以我們就知道 √4、√22、2 這三個是相等的,也就是:
√4 = √22 = 2
就可以將√4的值算出來。那麼,除了√4以外,還有沒有其他數的根
號數可以算出一個準確的值?
當然有!
例如:√9 = √32 = 3、√16 = √42 = 4、√25 = √52 = 5...
你有沒有發現這些可以直接算出根號值的數,剛好都是某一個數的平
方,如9 = 32、16= 42、25= 52,像這樣恰好是另一個數的平方的數,
我們稱作「完全平方數」。
只要根號內的數是「完全平方數」,就可以直接算出根號數的值,如
√9 = √32 = 3、√16 = √42 = 4、√25 = √52 = 5。
12
接著,我們利用以下例題來練習上面的觀念。
Ex1.計算下列各數
(1) √81 (2) √441 (3) √784
解題思維:
我們要算出一個根號的值,要試著去看看根號內的數是否為「完
全平方數」。例如 81 我們一下就知道是 9 的平方了。
但是如果那個數比較大,沒辦法直接看出來,那就要先將那個數
做因數分解,再將結果兩兩配對成某個數的平方,例如 441 這個
數字就稍微大了一些,所以我們利用短除法做因數分解,
會發現 441 = 32 × 72 ,有 2 個 3 、2 個 7 ,
所以 441 = (3 × 7)2。接下來就可以直接算出根號的值了!
13
解:
(1) 81 = 92,所以 √81 = √92 = 9。
(2) √441 = √32 × 72
= √(3 × 7)2
= 3 × 7 = 21
441 = 32 × 72
(3) √784 = √42 × 72
= √(4 × 7)2
= 4 × 7 = 28
784 = 42 × 72
除了正整數以外,有些分數也可以利用同樣的想法去計算!
14
Ex2.計算下列各數
(1) √81
121 (2) √
100
441
解題思維:
在計算分數根號的值時,其實是跟整數的道理是一樣的,我們也
是試著將分數處理成某個分數的平方,例如 81
121 ,分子分母分別
利用短除法來因式分解,像是 81 = 92、121 = 112 ,因此
81
121=
92
112= (
9
11)2。接下來就可以直接算出根號的值了!
解:
(1)
81
121=
92
112= (
9
11)2
√81
121=
9
11
(2)
100
441=
102
32×72=
102
(3×7)2= (
10
21)2
√100
441=10
21
441 = 32 × 72
15
當遇到帶分數時,要怎麼處理呢?
Ex3.計算 √19
16=
解題思維:
我們在計算帶分數的根號時,我們必須要先化成假分數,19
16=25
16 ,
然後再處理成某個分數的平方,25
16= (
5
4)2 。接下來就可以直接算
出根號的值了!
解:
19
16=25
16=52
42= (5
4)2
1 9
16 =
25
16= (
5
4)2 =
5
4
16
有些同學會以為,在計算 √19
16 時,認為根號內的 1是12、9是32 ,
而 16是42。所以就將√19
16 誤認為會等於 1
3
4 。
如果,√19
16 真的等於 1
3
4 ,那代表1
3
4 平方後會等於1
9
16。
我們試著來做一下13
4 的平方,看看它會不會真的等於1
9
16。
(13
4)2 = (
7
4)2 =
49
16= 2
17
16
你有沒有發現13
4 平方後,並不會等於1
9
16。
換句話說,√19
16 並不等於 1
3
4 。
所以千萬記得,在計算帶分數的根號值時,必須要先化成假分數
才可以喔!
常見的錯誤...
17
如果是要算小數的根號時,要怎麼做呢?
Ex4.計算下列各數
(1) √0.04 (2) √20.25
解題思維:
在計算小數的根號時,如果這個小數一眼就可以看出是什麼數的
平方的話,就可以直接算出來,例如 0.04 = (0.2)2 。但是有一些
稍微複雜點,就要先化為分數,例如 20.25 =2025
100 。
在小數化成分數當中有一個小秘訣,就是看這個小數的最小位數,
像 20.25 的最小位數是 5 ,它在百分位,所以分母就是 100 ,而
分子就是 2025 。化為分數後,就可以繼續算下去了!
解:
(1) 0.04 = (0.2)2
√0.04 = 0.2
(2) 20.25 =2025
100=52×92
102= (
5×9
10)2
√20.25 =5×9
10=45
10= 4.5
18
當根號內的數值是某個整數或是分數的平方時,我們可以輕易的把結
果算出來,例如 √4、√64、√4
9 、√0.25 等…。
但是像是 √2、√3 這類不是某個整數或是分數的平方的,我們就沒辦
法準確得算出大小,所以我們必須透過一些方法估算出 √2 或 √3 的
近似值,那這些方法包括哪一些呢?
包括十分逼近法、查表法及使用計算機。
方法一:十分逼近法
我們用一個例子來說明十分逼近法是什麼:
EX5.請以十分逼近法計算出 √2 的近似值到小數點後第 2位。
解題思維:
要算到小數點第二位,我們就要算小數點第三位,然後針對小數
點第三位四捨五入才有辦法算出來。
我們要找出 √2 的近似值,什麼叫作 √2 的近似值,就是我要去
找到一個 𝑎 ,它平方會等於 2。
什麼數平方以後會是 2呢?讓我們大膽的猜一下。
12 = 1、22 = 4,仔細觀察剛剛這裡的數,這個數的平方是夾在
1~4 之間,所以這個數可推測是夾在 1~2 之間。
19
那 1~2 之間我們把它 10 等分,得到 1.1、1.2、1.3、1.4、1.5…
一直到 1.9。
我要的是哪一點呢?
假設用 1.3,1.32 = 1.69 還不到 2 ,所以繼續下去;1.42 = 1.96,
很接近 2 了,再繼續下去 1.52 = 2.25 ,超過 2 了。而因為我們知
道 2 在 1.96~2.25 之間,所以平方等於 2 的這個數也會在
1.4~1.5 之間。
那我再繼續把它 10 等分分成 1.41、1.42、1.42、…、1.49 。
那我們猜 1.41 好了, 1.412 = 1.9881、1.422 = 2.0164,發現 2 在
這兩數之間,因此平方等於 2 的這個數會在 1.41~1.42 之間。
我們可以繼續分成 1.411、1.412、…、1.419 。
那要猜哪一個?比方說猜 1.4112 ≒ 1.990921 還不到 2,所以繼續
1.4122 ≒ 1.9937 也還不到 2,1.4132 ≒ 1.9965 也不到 2,
1.4142 ≒ 1.9993 很接近了,1.4152 ≒ 2.0022 超過 2 了,所以知
道此數在 1.414 和 1.415 中間。
而這兩數中間有 1.4141、1.4142、1.4143、…、1.4149,所以又
2 1
4 1
√2
2
20
可以 10 等分繼續算下去。
像這樣子每個段落都給它 10 等分,慢慢地逼近 √2 的值,這種方
法就稱為十分逼近法。
算到最後,我們可以得到 √2 = 1.414… 一直下去,不過這題目沒
有到這麼多位,只要求到小數第二位,所以算到 1.414 再對第三
位四捨五入就可以了。
解:
第一步:
12 = 1
22 = 4
√2 介於 1 和 2 之間,
√2 = 1.…
第二步:
(1.1)2 = 1.21
(1.2)2 = 1.44
(1.3)2 = 1.69
(1.4)2 = 1.96
(1.5)2 = 2.25
√2 介於 1.4 和 1.5 之間,
√2 = 1.4…
第三步:
1.412 = 1.9881
1.422 = 2.0164
√2 介於 1.41 和 1.42 之間,
√2 = 1.41…
第四步:
1.4112 ≒ 1.990921
1.4122 ≒ 1.9937
1.4132 ≒ 1.9965
1.4142 ≒ 1.9993
1.4152 ≒ 2.0022
√2 介於 1.414 和 1.415 之間,
√2 = 1.414…
經過小數點第三位四捨五入後,√2 ≒ 1.41
2
2
2
2
21
方法二:查表法
接下來要介紹求根號數的近似值第二種方法:查表法。
既然叫「查表法」,那麼就會有一張表,這張表叫「乘方開方表」。
𝑁 𝑁2 √𝑁 √10𝑁 14 196 3.7416 11.8321 15 225 3.8729 12.2744 16 256 4.0000 12.6491 17 289 4.1231 13.0384
既然叫做「乘方開方表」,表上當然可以看到有乘方也有開方。
例如當 𝑁 = 14 時,𝑁2 也就是 142 會等於 196 ;
√𝑁 也就是 √14 , √14 會接近 3.7416 (這個是近似值, 3.74162 不會
剛剛好等於 14 );√10𝑁 也就是 √140 會接近 11.8321 。
利用這張表,就可以計算相關數字的根號了!
那我們利用例題來看一下應該要怎麼使用。
22
EX6.利用乘方開方表,查出下列近似值。
(1) 172 (2) √15 (3) √160 (4) √324
𝑁 𝑁2 √𝑁 √10𝑁 14 196 3.7416 11.8321 15 225 3.8729 12.2744 16 256 4.0000 12.6491 17 289 4.1231 13.0384 18 324 4.2426 13.4164
(1)172:查 𝑁 = 17 ,對到 𝑁2,得到 172 = 289。
(2)√15:查 𝑁 = 15 ,對到 √𝑁,得到 √15 ≒ 3.8729。
(3)√160:查 𝑁 = 160 ,對到 √10𝑁,得到 √160 ≒ 12.6491。
(4)√324:在 𝑁 這欄當中,發現沒有324,但是整張表可以看到
𝑁 = 18 ,對𝑁2,得到 182 = 324,所以可以知道
√324 = √182 = 18。
23
方法三:使用計算機
除了十分逼近法和查表法之外,我們還可以使用計算機,雖然通常考
試中不能使用,但是在生活中就是一個很好的幫手喔!
我們在計算機上大部分都可以找到 √ 鍵,我們就是利用這個鍵
來計算根號的近似值。
例如計算√3
第一步:輸入數字 3
第二步:按下 √ 鍵
第三步:就可以得到答案了
√3 ≒ 1.7320508075
可以驗證一下,用計算機計算
1.7320508075 × 1.7320508075
發現非常接近 3 !
24
重點提問
1. 請舉出一個可以準確計算出根號值的數字。這類數字有什麼樣的
特性?
25
B.隨堂練習:
1. 計算下列各數
(1) √100 =
(2) √324 =
(3) √576 =
2. 計算下列各數
(1) √16
25=
(2) √225
784=
(3) √441
121=
3. 計算下列各數
(1) √111
25=
(2) √313
81=
(3) √125
144=
26
4. 計算下列各數
(1) √0.25 =
(2) √1.96 =
(3) √6.76 =
5. (1) √5 會介於哪兩個正整數之間?
(2) √8 會介於哪兩個正整數之間?
(3) √20 會介於哪兩個正整數之間?
6. 請利用十分逼近法計算出 √14 的近似值到小數點底下第 2位。
27
7. 利用乘方開方表,查出下列近似值。
𝑁 𝑁2 √𝑁 √10𝑁 17 289 4.123 13.038 18 324 4.242 13.416 19 361 4.358 13.784 20 400 4.472 14.142 40 1600 6.324 20.000
(1) 182 (2) √19 = (3) √170 = (4) √361 = (5) √400 =
還是不太懂,請看下面影
片
(十分逼近法)
https://www.youtube.com/
watch?v=g7nrMiqiC3U
還是不太懂,請看下面影
片
(查表法)
https://www.youtube.com
/watch?v=PUsmj3pG_cg
還是不太懂,請看下面影
片
(計算機)
https://www.youtube.com/
watch?v=1wkpVssJH0E
還是不太懂,請看下面影
片
https://www.youtube.com/
watch?v=MAnymh61HQc
還是不太懂,請看下面影
片
https://www.youtube.com/
watch?v=gcYNaIoJ5l8
還是不太懂,請看下面影
片
https://www.youtube.com/
watch?v=lr9GJ5U7RFk
28
單元:平方根與近似值
(一)課文 C:平方根的意義
接下來我們來看一下「平方根」的意義。
我們以前學過平方的概念,當𝑏2 = 𝑎 時,我們會說 𝑎 是 𝑏 的平方,例
如 32 = 9,我們會說 9 是 3 的平方。
現在我們也可以相反地過來說。也就是,當𝑏2 = 𝑎 時,我們除了可以
𝑎 是 𝑏 的平方外,也可以相反地說 𝑏 是𝑎的「平方根」。
比方說,
32 = 9,我們可以說 9 是 3 的平方,也可以相反地說 3 是9的「平方
根」。
所以我們可以這樣來解釋什麼是平方根?某個正數 a的平方根 m,就
是指 m平方後會等於 a,也就是m2 = a。
因此,我們在判斷一數是否為另一數的平方根時,只要將它平方後確
認是否相等,如果真的相等,它就是另一數的平方根。
例如判斷 15 是否為 225 的平方根,只要算出 15 的平方(即152),確
認是 225 後,就可以確定 15 是 225 的平方根。
29
那麼一個正數的平方根只有一個嗎?
我們知道3是9的平方根,因為32 = 9 。而(−3) 的平方也會等於 9 ,
即(−3)2 = 9,所以 (−3) 也會是 9 的平方根。
因此,我們知道一個正數的平方根會有兩個,一個是正數、另一個是
負數。
以 7的平方根來說,我們要去找到 7的平方根,就是要找到某一個數
平方後會等於 7。
我們知道 (√7)2 = 7 ,所以 √7 是 7 的一個平方根。
那麼 7的另一個平方根是多少?
因為一個正數的的平方根會有兩個,一個是正數、另一個是負數。
所以 7的另外一個平方根會是負數,也就是−√7,因為(−√7)2 =
(−√7) × (−√7) = 7
從上面的討論中,我們可以知道一個正數的平方根都會有兩個,一正
一負,正的就稱為正平方根、負的就稱為負平方根,兩個互為相反數!
接下來我們來做一些例題來練習。
30
Ex1.求下列各數的平方根
(1) 17 (2) 64 (3) 25
81 (4) 1
9
16 (5) −169
解:
(1) 17 不是完全平方數,所以直接就知道正平方根 √17 ,但是
平方根有兩個且互為相反數,所以負平方根就是 −√17 。
(2) 64 是 8 的平方,所以就知道 64 的平方根是 8 和 −8 。
(3) 25
81 的正平方根是√
25
81= √
52
92=5
9 ,但是平方根有兩個且互為相
反數,所以負平方根就是 −5
9 。
(4)要求 19
16 的正平方根 √1
9
16= √
25
16= √
52
42=5
4 ,但是平方根有
兩個且互為相反數,所以負平方根就是 −5
4 。
(5)不會有一個數的平方會是負的,所以不存在。
31
Ex2.回答下列問題
(1)若 𝑎 的正平方根為 √31 ,則 𝑎 = ,又 𝑎 的負平方根為何?
(2)若 𝑏 的負平方根為 −3 ,則 𝑏 = ,又 𝑏 的正平方根為何?
解:
(1) 𝑎 的正平方根為 √31,代表 √31 的平方為 𝑎 ,所以
𝑎 = (√31)2 = 31 ,而 𝑎 的負平方根為 −31 。
(2) 𝑏 的負平方根為 −3 ,代表 −3 的平方為 𝑏 ,所以
𝑏 = (−3 )2 = 9 ,而 𝑏 的正平方根為 3 。
Ex3.已知 −7 是 2𝑘 + 3 的負平方根,則 𝑘 =
解題思維:
−7 是 2𝑘 + 3 的負平方根,所代表的意思是 2𝑘 + 3 是−7 的平方,
2𝑘 + 3 = (−7)2 ,所以 2𝑘 + 3 = 49 ,就可以解出 𝑘 了。
解:
2𝑘 + 3 = (−7)2
⇒2𝑘 + 3 = 49
⇒2𝑘 = 46
⇒𝑘 = 23
32
Ex4.回答下列問題
(1)若 𝑚2 = 225 ,則 𝑚 = 。
(2)若 𝑛2 = 51 ,且 𝑛 < 0,則 𝑛 = 。
解:
(1) 𝑚2 = 225 ,指的意思是 𝑚 是 225 的平方根。 225 是 15 的平
方,所以 𝑚 為 15 或 −15 。
(2) 𝑛2 = 51 ,且 𝑛 < 0,指的意思是 𝑛 是 51 的負平方根,所以 𝑛
為 −√51 。
33
重點提問
1. 依據課文的解釋,請你說明一下什麼是「平方根」?
並舉一個例子來解釋。
34
C.隨堂練習:
1. 求下列各數的平方根
(1) 100
(2) 324
(3) 25
144
(4) 121
100
(5) 1.96
2. 回答下列問題
(1)若 𝑎 的正平方根為 8 ,則 𝑎 = ,又 𝑎 的負平方根為何?
(2)若 𝑏 的負平方根為 −√24 ,則 𝑏 = ,又 𝑏 的正平方根為
何?
35
3. 已知 6 是 3𝑚 + 3 的正平方根,則 𝑚 =
4. 已知−9 是 2𝑛 − 1 的負平方根,則 𝑛 =
5. 回答下列問題
(1)若 𝑥2 = 576 ,則 𝑥 = 。
(2)若 𝑦2 = 68 ,且 𝑦 > 0,則 𝑦 = 。
還是不太懂,請看下面影片(1)
https://www.youtube.com/watc
h?v=xuN_L-nF3p0
還是不太懂,請看下面影片(2)
https://www.youtube.com/watch
?v=10dh6PpomdA
36
單元二:根式的運算
課文 A:根式的乘除
在這個單元中,我們要學根式的運算!
什麼是根式呢?
根式就是指含有根號的數或式子,像是 √5、√2 × √5、√12 ÷ √2 、
√27 − √12…等都叫根式。
回想一下,我們在國一學代數式時,有一些簡記的方式,而在根式
當中,也可以利用這些簡記規則去簡記一些根式。
例如:
2 × 𝑥 簡記成 2𝑥;2 × √3 就可以簡記成 2√3。
(−1) × 𝑥 簡記成 −𝑥;(−1) × √7 就可以簡記成 −√7。
4
5× 𝑥 簡記成
4
5𝑥 或是
4𝑥
5;4
5× √3 簡記成
4
5√3 或是
4√3
5。
接下來,我們要看根式的乘法運算。
√3 × √7 這個式子會等於什麼?
我們先將它平方後變成整數,再開根號還原回來比較看看!
(√3 × √7)2 = (√3 × √7) × (√3 × √7) = √3 × √7 × √3 × √7
= (√3 × √3) × (√7 × √7) = (√3)2 × (√7)2 = 3 × 7
有兩個 √3 、兩個 √7!
我們換位置乘一下!
37
我們將 √3 × √7 平方後,發現 (√3 × √7)2 = 3 × 7;
再將 (√3 × √7)2 開根號還原回去 √3 × √7 ,而等號右邊 3 × 7 開根
號就會是 √3 × 7。
所以就會得到 √3 × √7 = √3 × 7。
從上面的這個例子,我們可以得到一個結論:
若 𝑎、𝑏 均大於等於 0,則 √𝑎 × √𝑏 = √𝑎 × 𝑏
我們來試試看其他題:
Ex1.計算下列各根式的乘積:
(1) √7 × √13 (2) √6 × √5
2 (3) √
9
10×√
5
2
解:
(1) √7 × √13 = √7 × 13 = √91
(2) √6 × √5
2= 6
3 5
2 = √15
(3) √9
10× √
5
2=
9
10 2
5
2= √
9
4
注意!√9
4 還可以繼續化簡,√
9
4= √(
3
2)2 =
3
2
38
Ex2.計算下列各根式的乘積:
(1) 2√7 × 5√3 (2) √7
5× 8√5 (3)
2
5√11 ×
3
4√3
解題思維:
這題根式乘積的計算已經跟上題有些不一樣了,每個根號前面
多了一個數。
我們來想一下,從前面根式的簡記可以知道:2√7 = 2 × √7 ;
5√3 = 5 × √3。
所以我們計算 2√7 × 5√3 時,
2√7 × 5√3 = 2 × √7 × 5 × √3 = 2 × 5 × √7 × √3
= (2 × 5) × (√7 × √3) = 10 × √21 = 10√21
仔細看這個計算的過程,其實會發現這個根式乘積的計算就是
“根號外面乘根號外面,根號裡面乘根號裡面”,例如在計算
2√7 × 5√3 時,根號外面乘根號外面就是 2 × 5,根號裡面乘
根號裡面就是 7 × 3,所以 2√7 × 5√3 = (2 × 5)√7 × 3 =
10√21。
解:
(1) 2√7 × 5√3 = (2 × 5)√7 × 3 = 10√21
(2) √7
5 其實就是
1
5√7,根號外面就是
1
5 ,根號裡面就是 7。
√7
5× 8√5 =
1
5√7 × 8√5 = (
1
5× 8)√7 × 5 =
8
5√35
39
(3) 2
5√11 ×
3
4√3 = =
3
10√33
看完根式的乘法運算後,來看一下根式的除法運算。
我們如果要計算√11 ÷ √2 這個式子呢?
回憶一下,我們之前有學過除法與分數的關係,例如 3
4 可以想像成
有兩種唸法,一種是由下往上唸,唸成「4 分之 3」;而另一種就是
由上往下唸,唸成「3 除以 4」。
這個用來除法運算換成分數或分數換成除法運算都非常好用,所以
√11 ÷ √2 其實就是 √11
√2。
這個分數會等於什麼?
我們先將它平方後變成整數,再開根號還原回來比較看看!
(√11
√2)2 =
√11
√2×√11
√2 =
√11×√11
√2×√2=(√11)2
(√2)2=11
2
我們將 √11
√2 平方後,發現 (
√11
√2)2 =
11
2;
再將 (√11
√2)2 開根號還原回去
√11
√2 ,而等號右邊
11
2 開根號就會是 √
11
2。
所以就會得到 √11
√2= √
11
2 。
而 11
2 其實就是 11 ÷ 2 ,所以 √11 ÷ √2 =
√11
√2= √
11
2= √11 ÷ 2
40
所以我們得到一個結論:
若 𝑎 ≥ 0、𝑏 > 0 ,則 √𝑎 ÷ √𝑏 =√𝑎
√𝑏= √
𝑎
𝑏= √𝑎 ÷ 𝑏
我們來試試看其他題:
Ex3.計算下列各式:
(1) √48 ÷ √12 (2) √4
3÷√
2
9 (3) √12 ÷ √
4
5
解:
(1) √48 ÷ √12 = √48 ÷ 12 = √4 = 2
= √6 (2) √4
3÷√
2
9= √
4
3÷2
9=
= √15 (3) √12 ÷ √4
5= √12 ÷
4
5=
√4還可以化簡為 2 !
41
重點提問
1. 請問根式的乘法怎麼運算?
請用這個運算規則計算 5√6 × 3√5。
2. 請問根式的除法怎麼運算?
請用這個運算規則計算 √36
7÷ √7。
42
A.隨堂練習
1.計算下列各根式的乘積:
(1) √6 × √35 (2) √14 × √3
7 (3) √
6
5× √
10
3
2.計算下列各根式的乘積:
(1) 3√5 × 2√2 (2) √2
3× 9√3 (3)
3
2√5 ×
4
9√7
3.計算下列各式:
(1) √98 ÷ √2 (2) √7
15÷√
7
30 (3) √18 ÷ √
6
5
還是不太懂,
請看下面影片(1)
https://www.youtube.com/
watch?v=vbbYeHt0BLk
還是不太懂,
請看下面影片(2)
https://www.youtube.com/
watch?v=kR5DsEqRqgo
43
單元二:根式的運算
課文 B:最簡根式與分母有理化
在根式的運算中,我們常常會希望式子可以盡量的簡單清楚而且有
一致性,所以我們就會借用最簡根式來做化簡處理。
什麼是最簡根式呢?就是指根式已經化簡到無法再化簡的根式!
像是 √8 是可以繼續化簡的:
√8 = √22 × 2 = √22 × √2 = 2 × √2 = 2√2
2√2 已經無法再化簡了,所以我們就稱 2√2 是 √8 的最簡根式。
又像是 √12:
√12 = √22 × 3 = √22 × √3 = 2 × √3 = 2√3 ,
2√3 已經無法再化簡了,所以我們就稱 2√3 是 √12 的最簡根式。
我們來練習看看!
8 可以拆成 22 × 2
根式的乘法運算:√𝑎 × √𝑏 = √𝑎 × 𝑏;
這個等式反過來看,即√𝑎 × 𝑏 = √𝑎 × √𝑏
44
Ex1.將下列各式化為最簡根式:
(1) √72 (2) √80 (3) √360
解題思維:
我們在化簡根式的時候,只要是完全平方數就可以再往外提出
去,目標就是要提到不能再提為止。所以我們在對根號內的數
因數分解時,可以盡量用完全平方數去分解。
解:
√72 = √4 × 9 × 2 = √4 × √9 × √2 = 2 × 3 × √2
= 6√2
而第(2)小題
√80 = √4 × 4 × 5 = √4 × 4 × √5 = 4 × √5 = 4√5
(3) √360 = √36 × 10 = 6√10
剛好兩個 4 !
45
Ex2. 將下列各式化為最簡根式:
(1) √22 × 33 × 5 (2) √24 × 35 (3) √24 × 54
解題思維:
跟上一題一樣,我們在化簡根式的時候,只要是完全平方數就
可以再往外提出去,這一個過程我們可以利用「集滿兩個換出
去」這個口訣記。
這個口訣是什麼意思呢?
像是 √22 × 33 × 5 = √22 × 32 × 3 × 5 = √22 × √32 × √3 × 5
= 2 × 3 × √15 = 6√15
我們利用這個口訣,可以這樣想:
√22 × 33 × 5 = 2 × 3 × √3 × 5 = 6√15
再例如 √24 × 35 :
√24 × 35 = 22 × 32 × √3 = 4 × 9 × √3 = 36√3
根號裡面有 2 個 2、3 個 3、1 個 5
原本裡面 2 個 2,
換出去外面變成 1 個 2
46
47
解:
(1) √22 × 33 × 5 = 2 × 3 × √15 = 6√15
(2) √24 × 35 = 22 × 32 × √3 = 36√3
(3) √24 × 54 = 22 × 52 = 100
Ex3.計算下列各式,並將結果化為最簡根式:
(1) √6 × √8 × √12 (2) √10 × √14 × √98
解:
(1) √6 × √8 × √12 = √6 × 8 × 12 = √6 × (4 × 2) × (2 × 6)
= √6 × 4 × 4 × 6 = 6 × 4 = 24
說明:
√6 × √8 × √12 根據根式的乘法運算就是 √6 × 8 × 12 ,
而我們要化簡這個根式並不需要乘出來後再分解,我們只要朝
著「集滿兩個換出去」去進行分解就可以了。
√6 × 8 × 12
從分解當中可以發現有 2 個 6 ,其他 4 × 2 × 2 可以湊成 2 個 4,
「集滿兩個換出去」,所以換出去變成 1 個 6 、1 個 4,也就是
6 × 4 = 24。
48
想一想有沒有其他分法呢?
(2) √10 × √14 × √98 = √10 × 14 × 98
= √(5 × 2) × (2 × 7) × (7 × 14) = 2 × 7 × √5 × 14 = 14√70
說明:
√10 × √14 × √98 根據根式的乘法運算就是 √10 × 14 × 98 ,
而我們要化簡這個根式並不需要乘出來後再分解,我們只要朝
著「集滿兩個換出去」去進行分解就可以了。
√10 × 14 × 98
從分解當中可以發現有 2 個 2、2 個 7,可以集滿兩個換出去,
而其他 5 × 14 = 70 不能拆成一對一對。
所以換出去根號外面變成 1 個 2 、1 個 7,70 留在根號裡面不能
換出去,也就是2 × 7 × √5 × 14 = 14√70。
除了上面那種「根號內仍有可以提出到根號外的因數」的根式可以
繼續化簡以外,還有兩大類可以繼續化簡:
(一) 分母有根式,例如:2
√3、
√3
√50 等…。
(二) 根號內仍有小數或分數,例如:√2
3、√0.2 等…。
這兩類在化簡的時候,我們的目標是想將分母的根式消去,讓它成
49
為有理數,這個過程我們稱為分母有理化。
最簡單的方法就是,我們可以利用「 √𝑎 × √𝑎 = 𝑎」將分母有理化。
舉例來說,2
√3 的分母是 √3 ,那我們知道 √3 × √3 = 3,所以我們分
母再乘一個 √3 就可以將分母的根式消掉了。但是不能只單單乘以
分母,我們要維持分數的相等,因此分子分母應該要同時都乘以 √3 。
所以 2
√3=
2×√3
√3×√3=2√3
3 。那麼
2√3
3 就是
2
√3 的最簡根式了!
來看一題範例吧!
Ex4. 將 √3
√50 化為最簡根式。
解題思維:
√3
√50的分母是 √50 ,那我們知道 √50 × √50 = 50,所以分子分
母應該要同時都乘以 √50 。
√3
√50=
√3×√50
√50×√50=√150
50
=5 6
50 10
=√6
10
除了這樣算以外,
我們知道分母是 √50 = √52 × 2 ,所以其實只要再乘 √2 就可
以將分母有理化了!
√3
√50=
√3×√2
√52×2×√2=
√6
5×2=√6
10 會發現答案一樣!
50
解:√3
√50=
√3×√2
√52×2×√2=
√6
5×2=√6
10
如果根號內仍有分數怎麼辦呢?
Ex5. 將下列各式化為最簡根式:
(1) √2
3 (2) √
5
18
解題思維:
其實就是利用分母有理化的方式去進行化簡。
像是 √2
3 可以化成
√2
√3 ,然後要消除分母的根式就是分子分母同
乘以 √3 ,就可以繼續算下去了!
解:(1) √2
3=√2
√3=√2×√3
√3×√3=√6
3
(2) √5
18=
√5
√18=
√5×√2
√32×2×√2=√10
6
如果根號內仍有小數怎麼辦呢?
Ex6. 將下列各式化為最簡根式:
(1) √0.2 (2) √3.2
解題思維:
我們只要將小數化成分數,就可以繼續算下去了!
解:(1) √0.2 = √2
10=
√2×√10
√10×√10=√20
10
==√5
5
51
(2) √3.2 = = √16
5=√16
√5=
4×√5
√5×√5=4√5
5
52
重點提問
1. 從上面的課文中,大致上有三類的根式仍然還不是最簡根式,請
問是哪三類?
2. √108 是不是最簡根式?為什麼?
如果不是的話,請用上面課文中化簡的技巧將它化為最簡根式。
3. √7
12 是不是最簡根式?為什麼?
如果不是的話,請用上面課文中化簡的技巧將它化為最簡根式。
53
4. 3
√11 是不是最簡根式?為什麼?
如果不是的話,請用上面課文中化簡的技巧將它化為最簡根式。
B.隨堂練習
1.將下列各式化為最簡根式:
(1) √108 (2) √128 (3) √450
2. 將下列各式化為最簡根式:
(1) √23 × 32 × 52 (2) √26 × 53 (3) √33 × 77
54
3.計算下列各式,並將結果化為最簡根式:
(1) √10 × √20 × √8 (2) √18 × √12 × √44
4. 將 √8
√27 化為最簡根式。
5. 將下列各式化為最簡根式:
(1) √6
7 (2) √
9
50 (3) √0.9 (4) √5.6
55
單元二:根式的運算
課文 C:根式的加減
我們接下來要說的就是根式的加減。
先回憶一下,二元一次式的化簡。
今天如果要化簡 5𝑥 + 3𝑦 + 2𝑥 − 5𝑦 這個二元一次式的話,
因為同類項才可以合併,所以可以先將同類項標記出來:
然後知道含有 𝑥 項的是 5𝑥 和+2𝑥 合併化簡得到 7𝑥,
含有 𝑦 項的是+3𝑦 和 −5y 合併化簡得到−2𝑦。
所以 5𝑥 + 3𝑦 + 2𝑥 − 5𝑦 = 7𝑥 − 2𝑦。
而根式的加減也有類似的規則,
那就是「同類方根能進行合併,非同類方根不能合併」。
什麼是同類方根呢?
𝑎, 𝑏 均為正數,若將 √𝑎 與 √𝑏 化為最簡根式後,根號內的數相同,
我們就稱為它們為同類方根。
舉個例子,√12 與 √27。
先化簡成最簡根式:√12 = √4 × 3 = 2√3,√27 = √9 × 3 = 3√3。
56
像這樣子,√12 的最簡根式 2√3 與 √27 的最簡根式 3√3 的根號部
分都是 √3 ,我們就稱 √12 與 √27 是同類方根。
同類方根在根式的加減非常好用,因為我們只要把同類方根進行合
併就好,不是同類方根就沒辦法合併。
我們來看個例題。
Ex1.計算下列各式,並將結果化為最簡根式。
(1) 5√3 + 2√3 (2) 7√2 − √2 (3) √5 + 5√5
解題思維:
5√3 + 2√3 所代表的是 5 個 √3 加上 2 個 √3 ,那加完之後就
是有 (5 + 2) 個 √3 ,也就是 (5 + 2)√3 = 7√3。
7√2 − √2 所代表的是 7 個 √2 扣掉 1 個 √2 ,那扣完之後就是
有 (7 − 1) 個 √2 ,也就是 (7 − 1)√2 = 6√2。
解:
(1) 5√3 + 2√3 = (5 + 2)√3 = 7√3
(2) 7√2 − √2 = (7 − 1)√2 = 6√2
(3) √5 + 5√5 = (1 + 5)√5 = 6√5
Ex2.計算下列各式,並將結果化為最簡根式。
57
(1) 5√3 − 2√2 + √3 + 3√2
(2) 2√11 + 2√6 + 2 − 3√11 + √6
解:
(1)
5√3 − 2√2 + √3 + 3√2
= 6√3 + √2
說明:
這題有不同類型的同類方根。
一類是與 √3 有關的同類方根。有兩個,分別是 5√3 和 +√3,
兩個合併化簡後會得到 6√3 。
另一類是與 √2 有關的同類方根。也有兩個,分別是 −2√2 和
+3√2,兩個合併化簡後會得到 +√2。
所以 5√3 − 2√2 + √3 + 3√2 合併化簡出來的結果是
6√3 + √2。
58
(2)
2√11 + 2√6 + 2 − 3√11 + √6
= −√11 + 3√6 + 2
說明:
我們要先分組: 2√11 + 2√6 + 2 − 3√11 + √6
與 √11 有關的同類方根有兩個,分別是 2√11 和 −3√11,兩個
合併化簡後會得到 −√11。
與 √6 有關的同類方根也有兩個,分別是 +2√6 和 +√6 ,兩個
合併化簡後會得到 +3√6。
另外有一個+2 ,沒有跟它同類的。
所以 2√11 + 2√6 + 2 − 3√11 + √6 合併化簡出來的結果是
−√11 + 3√6 + 2。
省思:
當我們遇到有多組不同類型的同類方根要進行加減時,我們必
須先將同類方根分為同一組,再把同組的同類方根進行合併。
59
Ex3.計算下列各式,並將結果化為最簡根式。
(1) √63 − √75 (2) √48 + 5√12
解題思維:
在遇到還沒化為最簡根式的根式加減計算時,會比較難以看出
同類方根,所以我們會先把各個根號化成最簡根式,再利用「同
類方根進行合併,非同類方根不能合併」去合併化簡。
解:
(1) √63 − √75 = 3√7 − 5√3
說明:
√63 與 √75 不是最簡根式,換成最簡根式:√63 = √9 × 7 =
3√7、√75 = √25 × 3 = 5√3,化簡後發現這兩個根式不是同
類方根,所以不能合併,所以 √63 − √75 = 3√7 − 5√3 就已經
是化到最簡了!
(2) √48 + 5√12 = 4√3 + 5√22 × 3 = 4√3 + 10√3 = 14√3
說明:
√48 與 5√12 不是最簡根式,先換成最簡根式:
√48 = √16 × 3 = 4√3;5√12 = 5√4 × 3 = 5 × 2 × √3 = 10√3,
發現這兩個都是與 √3 有關的同類方根,所以合併後就是 10√3。
Ex4.計算下列各式,並將結果化為最簡根式。
60
(1) √63 − 3√28 + √175 (2) √20 + √80 + √125 + √180
解:
(1) √63 − 3√28 + √175 = 3√7 − 6√7 + 5√7 = 2√7
說明:
√63 、 3√28 與 √175 都不是最簡根式,先換成最簡根式:
√63 = √9 × 7 = 3√7、3√28 = 3√4 × 7 = 3 × 2 × √7 = 6√7、
√175 = √25 × 7 = 5√7,
發現這三個都是 √7 有關的同類方根,
√63 − 3√28 + √175 = 3√7 − 6√7 + 5√7 = (3 − 6 + 5)√7
所以合併後就是 2√7。
(2) √20 + √80 + √125 + √180 = 2√5 + 4√5 + 5√5 + 6√5 =
17√5
說明:
√20 、 √80 、 √125 與√180 都不是最簡根式,先換成最簡根
式:
√20 = √4 × 5 = 2√5、√80 = √16 × 5 = 4√5、
√125 = √25 × 5 = 5√5、√180 = √36 × 5 = 6√5,
發現這三個都是 √5 有關的同類方根,
√20 + √80 + √125 + √180 = 2√5 + 4√5 + 5√5 + 6√5
= (2 + 4 + 5 + 6)√5 = 17√5
所以合併後就是 17√5。
61
Ex5.計算下列各式,並將結果化為最簡根式。
(1) 1
√2+√2
2 (2) √
5
4−√
4
5
解:
(1) 1
√2+√2
2=
1×√2
√2×√2+√2
2=√2
2+√2
2= √2
說明:
1
√2 分母有根號,所以不是最簡根式,先換成最簡根式:
1
√2 分子分母同乘√2,
1
√2=√2
2。
而 √2
2 其實等於
1
2√2 ,也就是所謂的
1
2 個 √2。
發現這兩個都是與 √2 有關的同類方根,1
2 個 √2 加上
1
2 個 √2
就是有 1 個√2,所以合併化簡後就是 √2。
(2) √5
4−√
4
5=√5
√4−√4
√5=√5
2−2√5
5= (
1
2−2
5)√5 =
1
10√5
說明:
√5
4 與 √
4
5 根號裡面有分數,所以不是最簡根式,先換成最簡根
式:
√5
4 其實就是分子開根號分母開根號
√5
√4 ,分母 √4 就直接是 2 ,
所以 √5
4=√5
2 就是最簡根式了!
√4
5 其實就是分子開根號分母開根號
√4
√5 ,分子 √4 就直接是 2 ,
所以 √4
5=
2
√5 ,分母還有根式,所以不是最簡根式,還要再化
62
簡。
分子分母同乘 √5 ,所以 2×√5
√5×√5=2√5
5 結果就是最簡根式了。
而 √5
2 等於
1
2√5 ,也就是所謂的
1
2 個 √5;
2√5
5等於
2
5√5 ,也就是
所謂的 2
5 個 √5。
發現這兩個都是與 √5 有關的同類方根,1
2 個 √5 減掉
2
5 個 √5
就是有 (1
2−2
5) 個√5,(
1
2−2
5) 同時通分母後 (
5
10−
4
10) =
1
10 。所
以合併後就是 1
10√5。
63
重點提問
1.請用自己的話解釋什麼是「同類方根」?
2. 連連看,將同類方根連在一起。
√2 √24 √5
2 3√7
√2
√12
‧ ‧ ‧ ‧ ‧
‧ ‧ ‧ ‧ ‧
3
√3 √5 2√6 2√2
1
7√7
3. 請問根式的加法怎麼運算?
請用這個運算規則計算 2√5 + 5√2 − √5 − 3√2 。
4. 「4√8 + √3 − √2 + 2√3 − √5」
64
(1)上面根式當中,請問有幾類同類方根?
(2)計算上面根式,並將結果化為最簡根式。
C.隨堂練習
1.計算下列各式,並將結果化為最簡根式。
(1) 3√3 + 2√3 (2) 6√6 − √6 (3) √7 + 3√7
65
2.計算下列各式,並將結果化為最簡根式。
(1) 6√2 + 4√3 + √2 − 2√3
(2) 6√13 + 3√7 − 5 − 6√7 − √13
3.計算下列各式,並將結果化為最簡根式。
(1) √27 − √24 (2) 2√75 + √108
4.計算下列各式,並將結果化為最簡根式。
(1) √363 − 2√27 + 4√48
(2) √5 + √45 + √125 + √245
5.計算下列各式,並將結果化為最簡根式。
66
(1) 2
√3+√3
2 (2) √
8
9−√
9
8
67
單元二:根式的運算
課文 D:根式的四則運算
接下來我們要來看根式的四則運算,既然是四則運算,當然有加減
跟乘除還有括號都存在。
我們先來看一下分配律的題目!
Ex1.計算 √3(√15 + √21),並化為最簡根式。
解:
√3(√15 + √21) = √3 × √15 + √3 × √21 = 3√5 + 3√7
說明:
這其實是分配律,括號中的 √15 跟 √21 其實共同擁有外面的
√3,我們將 √3 乘進去 √3(√15 + √21) = √3 × √15 + √3 ×
√21
我們可以用「集滿兩個換出去」,15 拆成 3 × 5、21 拆成 3 × 7
√3 × √15 + √3 × √21
所以 √3 × √15 = 3√5、√3 × √21 = 3√7,
答案就是 3√5 + 3√7。
68
Ex2.計算 (3√5 − 2)(4√5 + 3),並化為最簡根式。
解:
(3√5 − 2)(4√5 + 3) = 3√5 × 4√5 + 3√5 × 3 − 2 × 4√5 − 2 ×
3
= 60 + 9√5 − 8√5 − 6 = 54 + √5
說明:
這是兩個根式乘以兩個根式,就是利用分配律分別相乘,
(3√5 − 2)(4√5 + 3)
第一個箭頭:3√5 × 4√5,外面乘外面3 × 4 = 12、裡面乘裡面
√5 × √5 = 5,所以第一個就是12 × 5 = 60。
第二個箭頭:3√5 × 3 = 9√5。
第三個箭頭:−2 × 4√5 = −8√5。
第四個箭頭:−2 × 3 = −6。
所以就是 60 + 9√5 − 8√5 − 6 ,
同類方根可以合併,60 − 6 = 54、9√5 − 8√5 = √5,
因此 54 + √5 就是答案。
69
接下來我們來看一下跟乘法公式有關的題目!
Ex3.計算下列各式,並化為最簡根式。
(1) (3 − 2√7)2
(2) (2√5 + 3√2)2
(3) (√5 + 1)(√5 − 1)
解:
(1)
(3 − 2√7)2= 32 − 2 × 3 × 2√7 + (2√7)
2
= 9 − 12√7 + 28 = 37 − 12√7
說明:
這一小題其實就是利用差的平方公式:(𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 +
𝑏2
把 (3 − 2√7)2 括號內的 3 當成 𝑎,2√7 當成 b 。
所以 (3 − 2√7)2= 32 − 2 × 3 × 2√7 + (2√7)
2
( 𝑎 − 𝑏 )2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2
= 9 − 12√7 + 28 = 37 − 12√7
70
(2)
(2√5 + 3√2)2 = (2√5)2 + 2 × 2√5 × 3√2 + (3√2)2
= 20 + 12√10 + 18 = 38 + 12√10
說明:
這一小題其實就是利用和的平方公式:(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 +
𝑏2
把 (2√5 + 3√2)2 括號內的 2√5 當成 𝑎,3√2 當成 b 。
所以 (2√5 + 3√2)2 = (2√5)2 + 2 × 2√5 × 3√2 + (3√2)2
( 𝑎 + 𝑏 )2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2
= 20 + 12√10 + 18 = 38 + 12√10
(3)
(√5 + 1)(√5 − 1) = √52− 12 = 5 − 1 = 4
說明:
這一小題其實就是利用平方差公式:(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2
√5 當成 𝑎,1 當成 b 。
所以 (√5 + 1)(√5 − 1) = √52− 12
( 𝑎 + 𝑏 )( 𝑎 − 𝑏 ) = 𝑎2 − 𝑏2
= 5 − 1 = 4
71
看完一些根式的四則運算後,我們來看個奇怪分數:2
√5:1。
請問一下這個奇怪的分數:2
√5:1 是不是一個最簡根式?
當然不是啊!看它的分母:√5 + 1 ,含有根式,而且實際上它還可
以繼續化簡,化簡到分母不含有根式。
文本 B當中有提到,當分母為一個 √𝑎 時,再乘一個 √𝑎 就會使得
「√𝑎 × √𝑎 = 𝑎」,分母的根式就會消除。
如果我們 2
√5:1 分子分母同乘以 √5 ,會發現 (√5 + 1) × √5 = 5 +
√5,分母一樣會有根式。
那該怎麼辦呢?
我們就利用平方差公式:(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2 來解決這個問題。
分母是 (√5 + 1) ,就把它當成是 (𝑎 + 𝑏) ,那還需要乘以一個
(𝑎 − 𝑏) 來湊成平方差公式,也就是還需要乘以 (√5 − 1)。
(√5 + 1)(√5 − 1) = (√5)2 − 12 = 5 − 1 = 4 ,這樣分母就成功消
除根式了。
分母乘以 (√5 − 1),要維持分數的相等,當然分子也要乘以(√5 − 1)。
所以 2
√5:1=
2(√5;1)
(√5:1)(√5;1)= =
(√5;1)
2 ,
(√5;1)
2 就是
2
√5:1 的最簡根式。
我們來看一題練習題。
Ex4.將下列根式化為最簡根式
72
(1) 7
√13;√6 (2)
2
√21:5
解:
(1) 7
√13;√6=
7(√13:√6)
(√13;√6)(√13:√6)=7(√13:√6)
√132;√6
2 =7 ( 13 6)
7
= √13 +
√6
說明:
分母是 (√13 − √6) ,要利用平方差公式將分母有理化,所以
將它分子分母同乘以 (√13 + √6)。
分母 (√13 − √6) × (√13 + √6) = √132− √6
2= 13 − 6 = 7;
分子就是 7 × (√13 + √6)。
發現分子分母可以同時約掉 7 ,7 ( 13 6)
7
= √13 + √6 。
(2) 2
5:√21=
2(5;√21)
(5:√21)(5;√21)=2(5;√21)
52;√212 = =
5;√21
2
說明:
分母是 (5 + √21) ,要利用平方差公式將分母有理化,所以將
它分子分母同乘以 (5 − √21)。
分母 (5 + √21) × (5 − √21) = 52 − √212= 25 − 21 = 4;
分子就是 2 × (5 − √21)。
發現分子分母可以同時約 2, =5;√21
2。
73
重點提問
1. 請問如何化簡一個分母為 √𝑎 − √𝑏 的根式呢?
請利用這個方法將 1
√7;√6 化為最簡根式。
D.隨堂練習
1.計算 √10(√15 + √6),並化為最簡根式。
2.計算 (2√7 + 3)(√7 − 4),並化為最簡根式。
3.計算下列各式,並化為最簡根式。
(1) (5 + 3√2)2 (2) (5√2 − 2√3)2 (3) (4 + 3√7)(4 −
3√7)
74
4.將下列根式化為最簡根式
(1) 11
√15;√4 (2)
9
√18:6
75
單元三:畢式定理
課文 A:畢式定理
我們國小學過,一個三角形當中如果有一個角是直角,那麼我們就
稱那個三角形是直角三角形。這單元當中,直角三角形很重要!
如右圖,在直角三角形當中,
直角的兩個旁邊,我們都稱為「股」;
不是直角的旁邊,是直角的對面,我們稱它為「斜邊」。
而在中國著名的古代數學著作《九章算術》中,直角兩旁較短的邊
為「勾」、較長的邊為「股」;直角的對面,稱為「弦」。
那這兩股與斜邊之間有什麼關係呢?
我們從下面的圖來試著觀察看看!
在圖中,有 4 個直角三角形跟 1 個正方形甲,合成一個大正方形。
而且這 4 個三角形其實都是一樣的。
所以 正方形甲的面積 = 大正方形 − 四個直角三角形面積
= − 四個
𝑐2 = (𝑎 + 𝑏)2 − 4 ×𝑎𝑏
2
76
= 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 − 2𝑎𝑏
= 𝑎2 + 𝑏2
從上面的說明,我們就可以知道:𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2,
而 𝑎, 𝑏, 𝑐 其實就是直角三角形的三邊長,
𝑐 就是這個直角三角形的斜邊,𝑎, 𝑏 就是這個直角三角形的兩股,
所以 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 代表的就是
「直角三角形中,斜邊平方等於兩股平方和」,
這種關係我們就稱作畢氏定理或勾股定理。
我們來練習一下題目!
Ex1.已知下列各直角三角形的兩股長,求斜邊長。
(1) (2)
解:
(1) 假設斜邊為 𝑥 ,根據畢氏定理「斜邊平方等於兩股平方和」,
𝑥2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169
𝑥 = ±√169 = ±13
因為斜邊長 > 0,所以斜邊長= 13。
(2) 假設斜邊為 𝑦 ,根據畢氏定理「斜邊平方等於兩股平方和」,
77
𝑦2 = 72 + 242 = 49 + 576 = 625
𝑦 = ±√625 = ±25
因為斜邊長 > 0,所以斜邊長= 25。
上面這題是我們知道兩股長,利用畢氏定理求斜邊長。
接下來我們知道斜邊及其中一股長,要利用畢氏定理求另一股長。
Ex2.已知下列各直角三角形的斜邊及一股長,求另一股長度為何?
(1) (2)
解:
(1)設要求的股長為 𝑥 ,根據畢氏定理「斜邊平方等於兩股平方和」,
𝑥2 + 32 = 52 ⇒ 𝑥2 + 9 = 25⇒ 𝑥2 = 25 − 9 = 16
𝑥 = ±√16 = ±4 ,股長必為正的,所以另一股為 4 。
(2) 設要求的股長為 𝑦 ,根據畢氏定理「斜邊平方等於兩股平方和」,
𝑦2 + 82 = 172⇒ 𝑦2 + 64 = 289 ⇒ 𝑦2 = 289 − 64 = 225
𝑥 = ±√225 = ±15 ,股長必為正的,所以另一股為 15 。
78
Ex3.求出下列各矩形的對角線長。
(1) (2)
解題思維:
我們如果有直角三角形,就可以利用畢式定理了,
所以我們要想辦法做出直角三角形。
因為矩形四個是直角,所以將對角線畫起來,
連起來後就有直角三角形了!
這個直角三角形裡,
剛好矩形的長跟寬就是直角三角形的兩股,
對角線就是直角三角形的斜邊。
接下來就可以利用畢式定理「斜邊平方等於兩股平方和」,求
出矩形的對角線長了!
解:
(1) 將對角線令為 𝑥 ,
根據畢氏定理可以列式:𝑥2 = 82 + 132
𝑥2 = 82 + 132 = 64 + 169 = 233,
𝑥 = ±√233 (因為對角線長是長度,所以負不合)
79
所以對角線長= √233。
(2) 將對角線令為 𝑦 ,
根據畢氏定理可以列式:𝑦2 = 62 + 42
𝑦2 = 62 + 42 = 36 + 16 = 52,
𝑦 = ±√52 = ±√4 × 13 = ±2√13(對角線長是長度,故負不合)
所以對角線長= 2√13。
好,再來我們看一些畢氏定理的應用!
Ex4.如圖直角三角形邊長為 5、12、13,
求斜邊上的高。
解題思維:
我們先看一下要求的東西,斜邊上的高是哪一個咧?
這是直角三角形,直角在 ∠C,
所以斜邊在 13 這段(也就是𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ),
所以斜邊上的高指的就是 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ 。
那這要怎麼求呢?
我們來想,一個三角形的面積有幾種算法。
先隨便畫一個三角形,讓這個三角形的三邊長為 𝑎、𝑏、𝑐。
我們可以先用 𝑎 當底,三角形的面積是 底×高
2 ,
80
高就是藍色這段,先叫做 ℎ𝑎 ,代表這是以 𝑎 為底的高,
所以面積的第一種算法為 𝑎×ℎ𝑎
2 。
第二種算法我們以 𝑏 當底,這樣的高就是橘色這段,
我們叫做 ℎ𝑏,所以面積的第二種算法為 𝑏×ℎ𝑏
2。
那我可不可以以 𝑐 當底?當然也可以,它的高是誰?
就是下圖綠色的那段,我們叫做 ℎ𝑐,
因為它是以 𝑐 為底的高,這樣面積就是 𝑐×ℎ𝑐
2。
這樣三角形的面積就有三種算法啦!但是我們算的是同一個三角形,
因此不管我用哪種算法,算出來的面積都要一樣!
𝑎 × ℎ𝑎2
=𝑏 × ℎ𝑏2
=𝑐 × ℎ𝑐2
接著我們就可以用這個方式找出斜邊上的高。
在這個直角三角形裡面,它的面積算法有兩種:
第一種,我可以用 𝐴𝐶̅̅ ̅̅當底,因為 ∠C 是直角,所以 𝐵𝐶̅̅ ̅̅̅ 就是他的高,
這樣第一個三角形面積算法就是 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ ×𝐵𝐶̅̅ ̅̅
2 。
第二種,我也可以用斜邊 𝐴𝐵 ̅̅ ̅̅ ̅ 當底,這時候的高就是 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ ,而面積
81
就是 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ×𝐶𝐷̅̅ ̅̅
2 。
那這兩個算的是同一個三角形的面積,所以會一樣。
然後就可以解出斜邊上的高 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ 了!
解:
從圖中我們可以知道三角形面積=5×12
2
設斜邊上的高為 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ ,則三角形面積=13×𝐶𝐷̅̅ ̅̅
2,
5 × 12
2=13 × 𝐶𝐷̅̅ ̅̅
2
兩邊都有 2 ,所以把 2 約掉,
5 × 12
2=13 × 𝐶𝐷̅̅ ̅̅
2
要求 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ ,所以把 13 移過去,
𝐶𝐷̅̅ ̅̅ =5 × 12
13=60
13
省思:
當然你可以把這個公式化,
如果有一個直角三角形,兩股分別為 𝑎、𝑏,斜邊為 𝑐。
那斜邊上的高 ℎ 就會等於 𝑎×𝑏
𝑐。
為什麼?因為 𝑎×𝑏
2=𝑐×ℎ
2,所以 ℎ =
𝑎×𝑏
𝑐,也就是兩股乘起來除以斜
邊。
82
Ex5.
如圖,放著一把 5 公尺的長梯於牆上,
梯腳離牆角 1.4 公尺,求:
(1)梯頂離地面多少公尺?
(2)若欲將梯頂降低 80 公分,則梯腳須向後移動多少公分?
解:
(1)
首先,我們先看紅色這把梯子。
梯腳離牆角 1.4 公尺,梯子長 5 公尺,
要求梯頂距離地面的高度,也就是下圖中棕色這段的長度,
這裡就形成一個直角三角形。
這個紅色直角三角形,斜邊是 5,其中一股長 1.4,
就可以假設要求的為 ℎ。
ℎ2 = 52 − 1.42 = 25 − 1.96 = 23.04
ℎ = ±√23.04。那 23.04 怎麼開根號呢?
先把 23.04 化成分數,再來上面開上面,下面開下面:
83
√23.04 = 2304
100=√2304
10
接著 2304 利用短除法算一下:
2304 = 42 × 122 4 2304
4 576
12 144
12
知道 2304 開出來是 48,因為有兩個 4,和兩個 12。
所以
√23.04 = 2304
100=√2304
10=48
10= 4.8
因此 ℎ = ±4.8,那因為是高度,所以負不合。
所以梯頂離地面 4.8 公尺。
(2)
如果要將梯頂降低 80 公分,也就是 0.8 公尺。
原本高度 4.8 公尺,降低了 0.8 公尺,變成 4 公尺。
再想想看樓梯的長度會不會隨著它降低而改變?
看圖,樓梯掉落(藍色變紅色)長度依然不變,還是維持 5 。
所以這裡形成新的直角三角形。
看綠色直角三角形,斜邊 5,一股長為 4,就可以假設所求為 𝑎 。
84
𝑎2 = 52 − 42 = 25 − 16 = 9
𝑎 = ±√9 = ±3(負不合)
但題目是問梯腳後移多少?
原本梯腳離牆角為 1.4,但後來的梯腳離牆角為 3,所以要後移多少?
當然就是 3 − 1.4 = 1.6,所以後移 1.6 公尺。
85
重點提問
1. 請問什麼是「畢氏定理」?
請根據上面的課文用自己的話解釋這個定理。
2. 根據上面的課文,一個直角三角形斜邊上的高如何計算?
請利用這個方法計算直角三角形邊長為 7、24、25 斜邊上的
高。
A.隨堂練習
1.已知下列各直角三角形的兩股長,求斜邊長。
(1) (2)
86
2.已知下列各直角三角形的斜邊及一股長,求另一股長度為何?
(1) (2)
3.求出下列各矩形的對角線長。
(1) (2)
4.如圖直角三角形邊長為 3、4、5,求斜邊上的高。
5.平安拿一鋁梯在離牆 6公尺處斜放在牆邊,此時梯頂剛好離地面
6公尺(如圖所示),求:
87
(1)鋁梯有多長?
(2)今移動此鋁梯使它在離牆 2公尺處斜放,則梯頂離地面多少公
尺?
88
單元三:畢式定理
課文 B:平面上兩點間的距離
接下來我們來看平面上兩點間的距離。
首先,先來看兩點在同一水平上。
兩點在同一水平上會發生什麼事情呢?
舉個例子,如右圖,有兩點 A(1,2)、B(4,2),
這兩點是水平的,而它們之間的距離就是藍色的那段,
那要怎麼算呢?數一下,會發現距離就是 3 。
但當數字很大的時候就很難用數的就可以數的出來了!
所以我們分析一下,距離 3 還可以怎麼算出來?
A、B 兩點的 y 坐標都是 2 ;
而 A 的 𝑥 坐標是 1 ,B 的 𝑥 坐標是 4。
會發現在同一水平上的這兩點距離其實就是它們 𝒙 坐標的差,
所以其實就是 4 − 1 = 3。
Ex1.如右圖,坐標平面上有 P(5,2)、Q(−3,2) 兩點,
求 P、Q 兩點之間的距離 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ =?
解:P、Q 的 y 坐標都相同,P、Q 在同一水平上,
所以它們的距離會是它們 𝑥 坐標的差 5 − (−3) = 5 + 3 = 8。
89
再來我們來看一下在同一鉛垂線上的兩點間距離。
舉個例子,如右圖,有兩點 B(4,2)、C(4,6),
這兩點是鉛直的,而它們間的距離就是粉紅色的那段,
那要怎麼算呢?
我們來看一下 B、C 兩點的 𝑥 坐標都是 4 ;
而 B 的 𝑦 坐標是 2 ,C 的 𝑦 坐標是 6。
會發現在同一水平上的這兩點距離其實就是它們 𝒚 坐標的差,
所以其實就是 6 − 2 = 4。
Ex2.如圖,坐標平面上有 P(1,2)、Q(1,−3) 兩點,
求 P、Q 兩點之間的距離 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ =?
解:P、Q 的 𝑥 坐標都相同,P、Q 在同一鉛直上,
所以它們的距離會是它們 𝑦 坐標的差 2 − (−3) = 2 + 3 = 5。
最後一種就是不在同一水平也不是在同一鉛垂線上的兩點距離。
舉個例子,如右圖,有兩點 A(1,2)、C(4,6),
A、C 兩點的 𝑥 坐標不相同,而且 𝑦 坐標不相同,
所以不在同一水平上也不在同一鉛垂線上。
那該怎麼求出它們的距離呢?
90
這時候就要利用到畢氏定理了!
畢氏定理是指直角三角形的三邊關係:「斜邊平方等於兩股平方
和」,
所以必需要製造一個直角三角形,怎麼製造呢?
我們畫一條通過 A 的水平線、一條通過 C 的鉛直線,
兩條線會交一點,我們先稱它為 B 。
B 與 A 在同一水平上,所以 𝑦 坐標與 A 的 y 坐標一樣是 2 ;
B 與 C 在同一鉛垂線上,所以 𝑥 坐標與 C 的 𝑥 坐標一樣是 4 。
因此 B 點坐標就是 (4,2) 。
這樣我們就有一個直角三角形 ABC 了,
𝐴𝐵̅̅ ̅̅、𝐵𝐶̅̅ ̅̅ 是這個直角三角形的兩股,A、C兩點間距離 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 則是斜邊。
B 與 A 在同一水平上,𝐴𝐵̅̅ ̅̅ ,就是 𝒙 坐標的差: 4 − 1 = 3;
B 與 C 在同一鉛垂上,𝐵𝐶̅̅ ̅̅ ,就是 𝐲 坐標的差: 6 − 2 = 4。
根據畢氏定理 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 2 = 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 2 + 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ 2,
𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 2 = 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 2 + 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ 2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25,
因為 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 是距離,所以為正,因此 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ = 5。
每次都要這麼麻煩嗎?其實可以不用那麼麻煩。
我們看一下式子 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 2 = 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 2 + 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ 2,
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 2 其實就是 (4 − 1)2。括號中的 4 是 B 點的 𝑥 坐標,也是 C 點的
91
𝑥 坐標;括號中的 1 是 A 點的 𝑥 坐標。
𝐵𝐶̅̅ ̅̅ 2 其實就是 (6 − 2)2。括號中的 6 是 C 點的 𝑦 坐標;括號中的 2
是 B 點的 𝑦 坐標,也是 A 點的 𝑦 坐標。
所以 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ 2 = 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 2 + 𝐵𝐶̅̅ ̅̅ 2
= (𝐵的𝑥坐標− 𝐴的𝑥坐標)2+ (𝐶的𝑦坐標− 𝐵的𝑦坐標)
2
= (𝐶的𝑥坐標− 𝐴的𝑥坐標)2+ (𝐶的𝑦坐標− 𝐴的𝑦坐標)
2
所以我們可以得到一個結論,
平面任意兩點的距離= √(𝑥坐標差)2 + (𝑦坐標差)2,
即兩點 A(𝑥1, 𝑦1)、B(𝑥2, 𝑦2) 的距離為
𝐴𝐵̅̅ ̅̅ = √(𝑥1 − 𝑥2)2 + (𝑦1 − 𝑦2)
2。
我們舉一個例子。
Ex3.如圖,坐標平面上有 P(−2,5)、Q(4,−3) 兩點,
求 P、Q 兩點之間的距離 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ =?
解:
P、Q 的 𝑥 坐標、𝑦 坐標都不相同,它們是斜的,
所以可以利用兩點間的距離公式: √(𝑥坐標差)2 + (𝑦坐標差)2
𝑃𝑄̅̅ ̅̅ = √(−2 − 4)2 + [5 − (−3)]2
= √(−6)2 + 82
92
= √36 + 64
= √100 = 10。
重點提問
1. 請問如何計算兩點的距離?
請利用這個方法計算 (4,−2)、(7,1) 兩點間的距離。
93
B.隨堂練習
1.已知坐標平面上有 A(5,2)、 B(5,6) 兩點,求 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 的長。
2.已知坐標平面上有 A(3,−4)、 B(3,5) 兩點,求 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 的長。
3.已知坐標平面上有 A(2,2)、 B(6,6) 兩點,求 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 的長。
原本裡面
1 個 5,
集滿兩個
才能換出
去,
所以繼續
留在裡
面。
原本裡面
3 個 3,
其中 2 個
3 換出去
外面變成
1 個 3;
根號裡面
留下 1 個
3。
根號裡面
有 4 個
2、5 個 3
原本裡面
4 個 2,
換出去外
面變成 2
個 2
原本裡面
5 個 3,
其中 4 個
3 換出去
外面變成
2 個 3;
根號裡面
留下 1 個
3。
4 × 2 6 × 2 5 × 2 7 × 14 2 × 7 分子
√150 =
√25 × 6 =
5√6 ,
所以還可
以化簡。
注意!
√20 可以
繼續化
簡,
√20 =
√22 × 5 =
2√5。
還是不太
懂,
請看下面
影片(1)
https://w
ww.youtu
be.com/w
atch?v=Pd
9e865QaN
w
還是不太
懂,
請看下面
影片(2)
https://w
ww.youtu
be.com/w
atch?v=RC
WjcpGJCo
g
還是不太
懂,
請看下面
影片(3)
https://w
ww.youtu
be.com/w
atch?v=A
NEKsnygR
uU
還是不太
懂,
請看下面
影片
https://w
ww.youtu
be.com/w
atch?v=IO
kWt2x8W
hU
3 × 7 3 × 5 1 2 3 4 1 2 3 4 (2√7)2
= 2√7
× 2√7
= 4 × 7
2 × 3
× 2√7
(3√2)2
= 3√2
× 3√2 = 9 × 2
(2√5)2
= 2√5
× 2√5
= 4 × 5
2 × 2√5
× 3√2
還是不太
懂,
請看下面
影片(4)
https://w
ww.youtu
be.com/w
atch?v=A
NEKsnygR
uU#t=04m
57s
還是不太
懂,
請看下面
影片(2)
https://w
ww.youtu
be.com/w
atch?v=GF
Q9STVpq4
E
還是不太
懂,
請看下面
影片(1)
https://w
ww.youtu
be.com/w
atch?v=io
mMCSYed
nY
還是不太
懂,
請看下面
影片(3)
https://w
ww.youtu
be.com/w
atch?v=Pd
9e865QaN
w#t=03m2
3s
股 股 斜邊 對角線 13 8 𝑥 4 6 y 4 5 𝑎 𝑎 還是不太
懂,
請看下面
影片(1)
https://w
ww.youtu
be.com/w
atch?v=yA
DZ1P2n8z
Q
還是不太
懂,
請看下面
影片(2)
https://w
ww.youtu
be.com/w
atch?v=IV
oKpc5I_t0
還是不太
懂,
請看下面
影片(4)
https://w
ww.youtu
be.com/w
atch?v=N6
hbfGJwXT
U
還是不太
懂,
請看下面
影片(3)
https://w
ww.youtu
be.com/w
atch?v=H8
60kIDaw0
E
C A B 還是不太
懂,
請看下面
影片
https://w
ww.youtu
be.com/w
atch?v=qq
EiJfBzF4g
top related