equações algébricas e transcendentes - método da bisseção - @professorenan

Equações Algébricase

Transcendentes

Equações Algébricase

Transcendentes

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Zero Reais de Funções ReaisZero Reais de Funções Reais

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Sendo P(x) um polinômio em C, chama-se equação algébrica à igualdade P(x) = 0.

O que é uma Equação Algébrica?

Portanto, as raízes da equação algébrica, são as mesmas do polinômio P(x) .

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

Uma equação transcendente é uma equação que contém alguma função que não é redutível a uma fração entre polinômios, e cuja solução não pode ser expressa através de funções elementares.

O que é uma Equação Transcendente?

Zeros de Funções Reais

1. Introdução

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Para se calcular uma raiz de uma equação algébrica ou

transcendente, algumas etapas devem ser seguidas:

1) Isolar a raiz, ou seja, achar um intervalo [ a ; b ], o

menor possível, que contenha a raiz;

2) Melhorar o valor da raiz aproximada, isto é, refiná-la até

o grau de exatidão requerido pelo problema.

Alguns livros, trazem essas etapas de forma análoga, da

seguinte maneira:

3) Utilizar programas que traçam gráficos de funções

disponíveis em algumas calculadoras ou softwares

matemáticos.

Zeros de Funções Reais

1. Introdução

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Zeros de Funções Reais

Fase II: Refinamento de Raiz

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• Existem vários métodos numéricos de refinamento de raiz.

• A forma como se efetua o refinamento é o que diferencia os métodos.

• Todos eles são iterativos. Isto é segue uma sequência que são executadas “passo a passo”, algumas das quais são repetidas em ciclos.

• Métodos iterativos fornecem uma aproximação para a solução.

• Execução de ciclo recebe nome de iteração.

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Fase II: Refinamento de Raiz

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• Método da Bisseção;

• Método de Newton-Raphson (Tangentes);

• Método da Iteração Linear.

• Método da Secante (das Cordas ou Falsa Posição);

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• Método da Bisseção

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Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção.

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O princípio fundamental do método da bissecção consiste em

localizar a raiz em um intervalo [x1, x2], onde a função é

estritamente crescente ou estritamente decrescente e considerar

a raiz aproximada como o ponto médio desse intervalo, ou

seja, a raiz será (x1 + x2)/2 ou (a+b)/2.

Para que a raiz pertença a tal intervalo, nas condições

citadas, devemos ter f(x1). f(x2) < 0.

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Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção.

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Nesta consideração o erro cometido será menor ou igual à metade

da amplitude do intervalo [x1, x2].

Isto é: erro = < |x2 - x1| ou < |)|. Veja figura abaixo.

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Para tornar o erro menor, pode-se dividir o intervalo em dois

intervalos de amplitude igual à metade da amplitude do intervalo

anterior. Para isso, tomemos x3 = (x1 + x2)/2.

Veja a figura a seguir:

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A raiz estará no intervalo [x1, (x1+x2)/2] se f(x1).f((x1+x2)/2)

< 0, caso contrário ela estará no intervalo [(x1+x2)/2, x2].

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Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção.

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A repetição do processo fará com que, a cada iteração o ponto

médio do intervalo se aproxime cada vez mais da raiz.

Assim, o processo deverá ser continuado até que se obtenha uma

aproximação com erro inferior ao solicitado.

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Para se aproximar de uma raiz, o princípio da bisseção consista em

reduzir o intervalo inicial testando o sinal de f(x) para o ponto

médio do intervalo.

Considerando o intervalo [a,b]:

• Se , o novo intervalo é [a,(a+b)/2]

• Se , o novo intervalo é [(a+b)/2,b]

( ). ( ) 02

a bf a f

( ). ( ) 02

a bf b f

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xa = a0

f(x)

b = b0

x1 = (a + b)/2

x1

xa = a1

f(x)

x1 = b1

x2 = (a + x1)/2

x2

x

f(x)

x1 = b2

x3 = (x2 + x1)/2

x2 = a2

x3

Repete-se o processo até que o valor de x atenda às condições de parada.Repete-se o processo até que o valor de x atenda às condições de parada.

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Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção.

• Exemplo 1: Encontrar duas raízes da função , por meio do

método da Bisseção, adotando uma tolerância de ε = 0,001 e

um numero máximo de iterações de

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Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção.

• Solução: Começamos traçando o gráfico da função ou tabelando

e analisando a mudança de sinal. Vamos ver os dois:

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Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção.

• Solução: Começamos traçando o gráfico da função ou tabelando

e analisando a mudança de sinal. Vamos ver os dois:

Claramente vemos que existe uma raiz no intervalo [-3,5 ; -

3,0], uma segunda raiz no intervalo [0 ; 0,5] e uma terceira

raiz no intervalo [2,5 ; 3].

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Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção.

• Solução: Agora pela tabulação e análise de sinais para

determinar os intervalos iniciais.

X -3,5

-3 -2,5

-2 -1,5

-1 -0,5

0 0,5

1 1,5

2 2,5

3

f(x)

- + + + + + + + - - - - - +

𝜉1 𝜉2 𝜉3

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• Solução:

Vamos adotar o intervalo [0,0 ; 0,5], portanto, para a iteração i=1

temos:

𝑥𝑎=0𝑒𝑥𝑏=0,5

Observem o algoritmo do método. O próximo passo é dividir o

intervalo ao meio.

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• Solução:

𝑥𝑚=0,25

¿ 𝑓 (𝑥¿¿𝑚)∨⇒|𝑓 (0,25 )|=¿ (0,25 )3−9. (0,25 )+3∨¿¿

¿ 𝑓 (0,25 )∨¿0,765625 ¿ 𝜺

Critério de parada! ¿ 𝑓 (𝑥¿¿𝑚)∨¿ ε ¿

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• Solução:

Agora temos dois intervalos. O primeiro é [0 ; 0,25] e o segundo é

[0,25 ; 0,5]. Vamos verificar se a raiz se encontra no primeiro

intervalo fazendo:

𝑓 (𝑥¿¿𝑎). 𝑓 (𝑥¿¿𝑚)= 𝑓 (0 ) . 𝑓 (0,25 )=(03−9.0+3 ) .(0,253−9.0,25+3)¿¿

𝑓 (𝑥¿¿𝑎). 𝑓 (𝑥¿¿𝑚)=2,296875⇒>0¿¿

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• Solução:

Como o produto foi positivo, o intervalo onde se encontra a raiz

não é [0 ; 0,25] e sim [0,25 ; 0,5].

Devemos continuar já que e que não ultrapassamos o número

máximo de iterações .

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Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção.

• Solução:

Vamos agora adotar o intervalo [0,25 ; 0,5], portanto, para a

iteração i=2, temos:

𝑥𝑎=0,25𝑒𝑥𝑏=0,5

Observem o algoritmo do método. O próximo passo é dividir o

intervalo ao meio.

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Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção.

• Solução:

Quadro!

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• Exemplo 2: Encontrar uma raiz da função , por meio do método

da Bisseção, adotando uma tolerância de ε = 0,02 e um numero

máximo de iterações de

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• Solução:

Quadro!

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Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção.

• Exemplo 3: Encontrar uma raiz da função , por meio do método

da Bisseção, adotando uma tolerância de ε = 0,01 e um numero

máximo de iterações de

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• O método exige pouco esforço computacional.

• A convergência é lenta. Notadamente se o intervalo inicial tiver

um tamanho, b – a, muito maior que uma precisão, ε.

• O método sempre gera uma sequência convergente.

Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção.

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• Raiz(f,a,b,tol)o Enquanto (|a-b|>tol)

• x=(a+b)/2• Se f(x).f(a)<0

o b=x• Senão

o a=xo Resultado=(a+b)/2

Implementação do Método da Bisseção.

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Algoritmo

k := 0; a0 := a; b0 := b; x0 := a;

xk+1 := (ak + bk)/2;

while critério de convergência não satisfeito and k Lif f(ak)f(xk+1) < 0 then /* raiz em [ak , xk+1] */

ak+1 := ak; bk+1 := xk+1;

else /* raiz em [xk+1, bk] */

ak+1 := xk+1; bk+1 := bk ;

endifk := k +1; xk+1 := (ak + bk)/2;

endwhileif k > L

convergência falhouendif

Implementação do Método da Bisseção.

Zeros de Funções Reais

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Ideia: Reduzir o intervalo que contém a raiz, dividindo-o ao meio a cada iteração.

Implementação do Método da Bisseção.

Exercícios

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Fase II: Refinamento de Raiz – Método da Bisseção.

1) Encontrar duas raízes da função , por meio do método da

Bisseção, adotando uma tolerância de ε = 0,005 e um numero

máximo de iterações de

2) Encontrar uma raiz da função , por meio do método da

Bisseção, adotando uma tolerância de ε = 0,003 e um numero

máximo de iterações de

Trabalho

Prof. Renan Gustavo Pacheco Soares

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• Método da Iteração Linear.

• Método da Secante (das Cordas ou Falsa Posição);

Pesquisa em dupla sobre os seguintes

métodos:

A pesquisa deve conter:

• Descrição de cada método;

• Seguir a ABNT quanto à formatação.

• Escolher um desses métodos e mostrar uma aplicação na

Engenharia;

• Comparação entre os métodos;

Data de Entrega: Dia da prova!

Zeros de Funções Reais

Fase II: Refinamento de Raiz

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Método de Newton-

Raphson (Tangentes)