giới thiệu chung về hệ spin frustrationnvthanh/thesis/tuan/thesis_tuan.docx · web...
Post on 01-Jan-2020
6 Views
Preview:
TRANSCRIPT
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
Chương 1. Giới thiệu chung về hệ spin frustration
Chương này sẽ giới thiệu một cách tổng quan về hệ spin frustration, trình
bày một số tính chất cơ bản về hệ spin này nhằm giúp độc giả có thể làm quen
với đối tượng sẽ được nghiên cứu. Ngoài ra, một số dữ liệu thực nghiệm liên
quan đến hệ spin frustraion sẽ được trình bày ở phần cuối của chương.
1.1 Frustration
Xét hai spin Si và Sj với hằng số tương tác J. Năng lượng tương tác là
. Nếu J là dương (tương tác sắt từ) thì năng lượng nhỏ nhất là
−J tương ứng với cấu hình mà trong đó Si là song song với Sj. Nếu J là âm
(tương tác phản sắt từ) thì năng lượng tối thiểu tương ứng với cấu hình mà Si
đối song với Sj. Dễ dàng nhận thấy rằng trong một hệ spin với tương tác sắt từ
lân cận gần nhất (NN), trạng thái cơ bản (GS) của hệ tương ứng với cấu hình
mà tất cả các spin song song với nhau: sự tương tác của mỗi cặp spin hoàn
toàn được thoả mãn. Điều này luôn đúng cho mọi cấu trúc mạng tinh thể. Nếu
J là tương tác phản sắt từ, cấu hình spin ở trạng thái cơ bản phụ thuộc vào cấu
trúc mạng tinh thể:
i) Xét mạng không chứa các ô mạng tam giác, tức là mạng chỉ có các
cạnh song song (như mạng vuông, lập phương đơn giản, ...), cấu hình cơ bản
là cấu hình mà trong đó mỗi spin đối song với các spin lân cận của nó, tức là
mọi liên kết hoàn toàn được thoả mãn.
ii) Xét mạng tinh thể có chứa ô cơ sở hình tam giác như mạng tam giác,
mạng lập phương tâm mặt (FCC) và mạng lục giác xếp chặt (HCP), ta không
thể thiết lập được bất kỳ một cấu hình cơ bản nào mà tất cả các liên kết đều
được thoả mãn (xem Hình 1.1). Các cấu hình cơ bản không tương ứng với
năng lượng tối thiểu của mỗi cặp tương tác giữa các spin. Trong trường hợp
này, ta nói rằng hệ này là hệ “frustration”.
1
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
Xét một trường hợp mà hệ spin bị frustration: đây là trường hợp có sự
xung đột giữa các loại tương tác khác nhau, GS không tương ứng với cực tiểu
của từng loại tương tác. Ví dụ, xét một chuỗi spin mà sự tương tác NN J1 là
sắt từ, trong khi tương tác J2 giữa các spin lân cận gần nhất kế tiếp (NNN) là
phản sắt từ. Với điều kiện , GS là sắt từ: thì mỗi liên kết NN được
thoả mãn nhưng những tương tác NNN thì không. Tất nhiên, khi |J2| vượt quá
giá trị tới hạn nào đó thì các GS sắt từ không còn đúng nữa: cả hai liên kết
NN và NNN đều không thoả mãn.
Một cách tổng quát, chúng ta có thể nói rằng một hệ spin là frustration
khi ta không thể tìm thấy một cấu hình của spin có thể đáp ứng hoàn toàn các
tương tác (liên kết) giữa mỗi cặp spin. Nói cách khác, cực tiểu năng lượng
không tương ứng với cực tiểu của từng cặp liên kết. Trạng thái này phát sinh
khi có sự cạnh tranh giữa các loại tương tác khác nhau tác động lên một spin
bởi các spin lân cận của nó hoặc khi dạng hình học của mạng tinh thể không
cho phép thoả mãn tất cả các liên kết cùng một lúc. Với định nghĩa này, chuỗi
tương tác NN sắt từ và tương tác phản sắt từ NNN vừa trình bày ở trên chính
là hệ frustration, ngay cả trong trường hợp cấu hình spin sắt từ ở trạng thái cơ
bản ( ).
Hệ frustration lần đầu tiên được nghiên cứu trong những năm 1950 là
mạng tam giác với spin Ising tương tác với nhau thông qua một tương tác NN
phản sắt từ [50, 51]. Đối với spin vector, cấu hình spin không đồng tuyến có
sự cạnh tranh tương tác được phát hiện lần đầu vào năm 1959 một cách độc
lập bởi Yoshimori [12], Villain [96] và Kaplan [33, 168, 169]. Hệ spin
frustration đã được mở rộng nghiên cứu trong 35 năm qua sau khởi đầu từ các
nghiên cứu của Villain [97] và Toulouse [56], lúc đó khái niệm “frustration”
lần đầu tiên đã được đưa ra. Xét một ô nguyên tố của mạng tinh thể, ô nguyên
tố này là một đa giác được hình thành bởi các mặt cắt gọi là các "plaquette".
2
??
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
Ví dụ, Ô cơ sở của các mạng tinh thể lập phương đơn giản là một khối lập
phương với sáu plaquette vuông, ô cơ sở của các mạng tinh thể FCC là một tứ
diện hình thành bởi bốn tam giác đều. Giả sử Ji,j là tương tác giữa hai spin NN
trên plaquette này, theo định nghĩa của Toulouse thì plaquette này là
frustration nếu các tham số P dưới đây là âm
[Beginning of the document]101[Automatic section break]
111()
trong công thức trên, phép lấy tích được lấy trên tất cả các tương tác Ji,j xung
quanh plaquette này. Hình1.1 là hai ví dụ về plaquette frustration: một hình
tam giác với ba liên kết phản sắt từ, một hình vuông với ba liên kết sắt từ và
một liên kết phản sắt từ. Trong cả hai trường hợp, P đều bé hơn 0. Ta thấy là
nếu đặt các spin Ising vào những plaquette này, thì có ít nhất một liên kết
trong plaquette sẽ không được thoả mãn. Đối với spin vector, chúng ta thấy
rằng ở trạng thái năng lượng thấp nhất, mỗi loại liên kết chỉ được phép thoả
mãn một phần.
Hình 1.1 Ví dụ plaquette chứa các spin bị frustration: đoạn thẳng đơn thể hiện tương
tác sắt từ J và đoạn thẳng kép thể hiện tương tác phản sắt từ , các spin Ising ↑ và ↓
bởi các vòng tròn đặc và rỗng. Dấu ”?” thể hiện sự bất định về trạng thái của spin,
nghĩa là cả hai trạng thái ↑ và ↓ của spin đều làm cho một trong số các liên kết của nó
với các nút mạng lân cận không được thoả mãn (liên kết frustration).
Ta thấy rằng trong plaquette hình tam giác độ suy biến là ba, và độ suy
biến là bốn đối với plaquette vuông. Ngoài ra, độ suy biến liên quan đến sự
3
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
quay của tất cả các spin. Vì vậy, độ suy biến là vô hạn đối với mạng tạo bởi
vô số các plaquette đó, nó trái ngược với trường hợp không bị frustration.
Chúng ta lưu ý rằng mặc dù trong những phần đã được trình bày ở trên,
người ta đã sử dụng biểu thức cho năng lượng tương tác giữa hai spin có dạng
, nhưng khái niệm frustration còn có thể được sử dụng một
loại tương tác khác, đó là tương tác Dzyaloshinski-Moriya .
Một hệ spin frustration khi mà cực tiểu năng lượng của hệ không tương ứng
với cực tiểu của tất cả các tương tác cục bộ dưới mọi hình thức tương tác.
Chúng ta lưu ý rằng định nghĩa về frustration này tổng quát hơn so với định
nghĩa sử dụng phương trình (1.1).
Trong phần sau, chúng ta sẽ trình bày các GS của hệ spin XY và
Heisenberg.
1.2 Hiệu ứng của frustration
Hiệu ứng frustration rất phong phú và có những tính chất dị thường. Cho
đến nay, nhiều tính chất của chúng vẫn chưa được nghiên cứu.
Trên thực tế, vật liệu từ thường bị frustration do nhiều loại tương tác
khác nhau, hệ spin frustration có đặc điểm riêng quan trọng trong cơ học
thống kê. Có khá nhiều phương pháp thống kê được xây dựng, tuy nhiên
những lý thuyết đó đã gặp không ít khó khăn khi áp dụng cho hệ frustration.
Trong một số trường hợp hệ frustration, phương pháp mô phỏng là một sự lựa
chọn tuyệt vời cho việc kiểm chứng các phép tính gần đúng và để hoàn thiện
cho các mô hình lý thuyết.
Cơ chế của nhiều hiện tượng vẫn chưa được hiểu rõ trong các hệ thực
(các hệ mất trật tự, các hệ tương tác tầm xa, hệ 3 chiều...). Cũng may là mô
hình lý thuyết cho hệ spin Ising 2 chiều có thể giải một cách chính xác cho
trưởng hợp tổng quát. Kết quả chính xác này giúp chúng ta có thể xác định
4
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
một cách định tính về các thuộc tính của hệ thực mà trên thực tế thì nó phức
tạp hơn rất nhiều.
Hiện nay, có rất ít hệ có thể giải được chính xác, và cũng chỉ dừng lại ở
giới hạn một hoặc hai chiều. Một vài hệ đã biết cho thấy rõ những tính chất
khác thường ví dụ như mạng vuông tâm khối và các mạng tạo ra từ nó, mạng
Kagomé [108], mạng tổ ong tâm khối bất đẳng hướng, và một vài mạng
vuông tâm loãng tuần hoàn. Mô hình cụm phức tạp và riêng với trường hợp 3
chiều đã được giải quyết. Biểu đồ pha trong mô hình frustration thể hiện
nhiều thuộc tính phong phú. Ta đề cập đến một số hệ quả đáng chú ý của
hiệu ứng frustration. Độ suy biến của trạng thái cơ bản là rất cao và thường là
vô hạn. Ở nhiệt độ hữu hạn, độ suy biến trong một số hệ bị giảm, sự thăng
giáng nhiệt động tiến tới trạng thái có entropy là lớn nhất. Hiện tượng này gọi
là “trật tự bởi mất trật tự”. Trong trường hợp của spin véctơ, sự thăng giáng
lượng tử và thăng giáng nhiệt động có thể hình thành cấu hình spin đặc biệt.
Một hiện tượng đáng chú ý khác đó là hiện tượng cả hai pha trật tự và mất trật
tự cùng tồn tại của ở trạng thái cân bằng: một số spin trong hệ mất trật tự ở
mọi nhiệt độ cho dù chúng ở trong pha trật tự. Frustration cũng là nguồn gốc
của hiện tượng tạo góc (reentrance). Một pha reentrant có thể được xem như
một pha mất trật tự tầm xa hoặc hoàn toàn không trật tự, pha này xuất hiện
trong vùng phía dưới pha trật tự trên thang nhiệt độ. Hơn nữa, frustration
cũng có thể tạo nên các đường mất trật tự trong biểu đồ pha của nhiều hệ.
Trong nhiều mô hình spin khác với mô hình Ising, thuộc tính của các hệ
frustration vẫn chưa được hiểu rõ. Có nhiều công trình gần đây nghiên cứu hệ
spin lượng tử frustration, các hệ spin XY và Heisenberg frustration, mô hình
Potts frustration,... Nhiều công trình thực nghiệm cũng đã thực hiện đối với
các vật liệu frustration (xem tài liệu tham khảo [63]).
Chúng ta sẽ đề cập đến một số chủ đề đang được tranh luận gần đây:
5
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
Bản chất về chuyển pha trong hệ frustration với các spin véc tơ (N-thành
phần).
Khi mà không thể tìm được lời giải chính xác, người ta thường sử dụng
các phương pháp tính gần đúng và các phương pháp mô phỏng số để xác
định bản chất chuyển pha xảy ra trong các hệ này. Hầu hết mô phỏng số
đã được thực hiện khá nhiều trên các hệ có số chiều d = 2 và d = 3 với
N=2 (XY) và N = 3(Heisenberg). Người ta có thể tổng kết lại những vấn
đề đã được nghiên cứu hiện nay dựa trên những mô phỏng này. Người ta
đã tìm thấy các thông số luỹ thừa tới hạn (critical exponent) mà chúng
không tuân theo những quy luật thông thường. Một ví dụ điển hình đó là
mạng tam giác xếp 3 chiều (d = 3) với các spin Heisenberg: một số nhóm
nghiên cứu đã tìm thấy , ,
[26]. Kết quả này khác xa so với kết quả tìm được trong
thực nghiệm (ví dụ đối với vật liệu VCl2 thì
[68] và với VBr2 thì
[99]).
Hầu hết các nghiên cứu lý thuyết đều sử dụng lý thuyết nhóm tái chuẩn
hoá. Trong trường hợp ba chiều, với N = 2 và N = 3 dự đoán về một quy
luật mới được đưa ra bởi H. Kawamura dựa vào phép khai triển một
vòng = 4 – d. Dự đoán này đã và đang được tranh luận trong
suốt hai thập niên vừa qua. Một cách tiếp cận khác là sử dụng phép khai
triển = 4 + d trong một mô hình phi tuyến sigma [63] và phép khai
triển 3 vòng = 4 – d [163] đã mở ra những viễn cảnh mới. Tuy nhiên,
những kết quả đó lại mâu thuẫn với các kết quả thu được bằng phương
pháp mô phỏng số. Mới đây, một số nghiên cứu sử dụng phương pháp
không nhiễu loạn cho thấy rằng với N = 3 có sự tồn tại số chiều tới hạn
dc = 2.87, với số chiều lớn hơn số chiều tới hạn đó thì chuyển pha là
6
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
chuyển pha loại I [115]. Phát hiện này cho thấy rằng với d = 3 (rất gần
với dc), thì sẽ tồn tại chuyển pha loại I yếu. Các luỹ thừa tới hạn tìm thấy
bằng mô phỏng Montre Carlo có thể giải thích bằng lý thuyết như là luỹ
thừa tới hạn hiệu dụng của chuyển pha loại I yếu.
Sự thăng giáng lượng tử của hệ frustration thấp chiều: Chúng ta đã biết
rằng, theo lý thuyết sóng spin thì tương tác phản sắt từ là nguyên nhân
của thăng giáng lượng tử ở nhiệt độ thấp (thậm chí tại T = 0) trong hệ
spin không bị frustration. Trong hệ frustration, người ta suy đoán rằng sự
thăng giáng đó trở nên mạnh hơn, đặc biệt là trong trường hợp thấp
chiều. Với d = 1 một số hệ trở nên mất trật tự kể cả tại nhiệt độ T = 0, sự
co spin về điểm 0 mạnh đến mức trật tự tầm xa không thể tồn tại. Một
câu hỏi đặt ra đó là liệu có thể tồn tại hay không tồn tại pha trật tự tại
nhiệt độ T = 0 trong hệ 2 chiều d = 2, câu hỏi đó đã trở thành một chủ đề
nóng bỏng cho các nghiên cứu gần đây.
Một câu hỏi mở đó là ngoài mô hình spin Ising, pha reentrance có thể
xuất hiện trong các mô hình spin khác hay không?
Ngoài mô hình spin Ising, liệu pha trật tự và pha mất trật tự có thể luôn
luôn cùng tồn tại trong các hệ spin hay không? Một số nghiên cứu gần
đây đã đưa ra câu trả lời khẳng định cho câu hỏi này [157].
Trật tự bởi mất trật tự:
Trật tự bởi mất trật tự là một khái niệm rất thú vị [17], người ta đưa ra
giả thuyết rằng trong số các trạng thái GS suy biến, hệ chọn một trạng
thái GS mà nó có số trạng thái kích thích lớn nhất ở vùng năng lượng
thấp. Hay nói cách khác, hệ chọn trạng thái có Entropy lớn nhất. Độ trật
tự được thiết lập trên thông số Entropy (mất trật tự). Giả truyết này đã
được kiểm chứng trong một số hệ frustration. Chú ý là việc lựa chọn
7
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
theo Entropy này cũng được áp dụng cho hệ lượng tử tại T = 0, ở đó dao
động lượng tử thay thế cho dao động nhiệt.
1.3 Từ tính bề mặt
Phần này sẽ trình bày một số khái niệm cơ bản với một số định nghĩa cần
thiết để có thể hiểu được những hiệu ứng bề mặt khác nhau, đặc biệt là trong
các domain từ mà nó được ứng dụng rộng rãi trong thực tế.
1.3.1 Giới thiệu chung
Đặc tính của một vật liệu trải qua sự thay đổi lớn khi kích thước của nó
trở nên vô cùng bé (khoảng cỡ nano-met) như là phim siêu mỏng (chỉ chứa
một vài lớp nguyên tử) và hạt siêu nhỏ (chứa một vài nguyên tử cho đến vài
trăm nguyên tử). Những vi hệ này trở thành đề tài được quan tâm nghiên cứu
trong suốt bốn thập niên vừa qua. Công nghệ sử dụng các vật liệu có kích
thước bé cỡ nano-met gọi là “công nghệ nano”.
Trên phương diện thực nghiệm, có nhiều phương pháp mới nghiên cứu
hiệu ứng bề mặt (ví dụ như trong công trình nghiên cứu của Zangwill [11] và
Heindrich [80]). Có rất nhiều hiệu ứng đặc biệt đã được tìm thấy và ứng dụng.
Đặc biệt là lý thuyết về phim từ đơn lớp và đa lớp đã trở nên đề tài được quan
tâm nghiên cứu trong hai mươi năm vừa qua [80]. Những quan tâm nghiên
cứu này một mặt là do những ứng dụng to lớn đáng ghi nhận của nó, mặt khác
nó cũng chính là đối tượng của nghiên cứu cơ bản nhằm tìm hiểu rõ hơn cơ
chế vật lý của các hệ có kích thước bé, và tìm hiểu sự khác nhau so với các hệ
khối. Một đặc điểm quan trọng của hệ đa lớp đó là hình dạng của đường từ trễ
dưới tác dụng của từ trường. Một đặc tính thú vị khác của hệ đa lớp tạo bởi
các phim từ siêu mỏng đó là tính bất đẳng hướng từ vuông góc. Đặc biệt,
người ta đã quan sát thấy rằng độ từ hoá của phim từ vuông góc với bề mặt
phim ở nhiệt độ thấp có thể chuyển sang cấu hình song song ở nhiệt độ T
8
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
trung gian trước khi trở nên mất trật tự ở nhiệt độ cao hơn. Sự “định hướng lại
của độ từ hoá” đã được chứng minh là do sự cạnh tranh giữa tính bất bẳng
hướng vuông góc và tương tác lưỡng cực tầm xa.
Trên phương diện lý thuyết, cũng đã có rất nhiều đóng góp nỗ lực trong
việc nghiên cứu về vật lý bề mặt. Những lý thuyết và những phương pháp tính
gần đúng mới được đề xuất để giải thích các kết quả thực nghiệm và dự đoán
những hiện tượng mới [101]. Đặc biệt là đối với các hệ phim từ, người ta đã
phát hiện ra từ khá lâu kiểu bề mặt định xứ tại vùng năng lượng thấp đóng
một vai trò quyết định cho những tính chất nhiệt động của các hệ phim mỏng
tại nhiệt độ thấp. Một trong những hiệu ứng của kiểu bề mặt này là độ từ hóa
bề mặt thấp hơn so với bên trong khối [60]. Tính chất này cũng tìm thấy khi
nghiên cứu các hệ này bằng các phương pháp tính giải tích cũng như phương
pháp tính số.
Do dạng hình học của các hệ có kích thước bé (chấm, phim mỏng,...) và
trạng thái bề mặt là rất phức tạp, không thể giải quyết bằng các phương pháp
tính giải tích. Mà cần phải sử dụng phương pháp mô phỏng số để nghiên cứu
đặc tính nhiệt động của các hệ này.
1.3.2 Hình học bề mặt và tương tác bề mặt
Do sự tồn tại bề mặt mà một số thay đổi khác nhau có thể được quan sát
Bề mặt sạch: đây là trường hợp mà ở đó không có sự thay đổi cấu trúc
mạng ở lớp bề mặt.
Bề mặt mất trật tự: có các bậc, các đảo, các khoảng trống...
Bề mặt có chứa các loại nguyên tử khác nhau như nguyên tử tạp, các
nguyên tử hấp thụ hoá học, các nguyên tử hấp thụ bề mặt...
Sự thay đổi của các thông số tương tác: mật độ trạng thái bề mặt (cấu
trúc vùng điện tử), mô men từ bề mặt, sự bất đẳng hướng bề mặt (độ
lớn, dấu, sự định hướng), tương tác trao đổi bề mặt...
9
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
Sự tái thiết lập bề mặt trong cấu trúc tính thể: sự co giãn của hằng số
mạng, cấu trúc từ (cấu hình spin có thể là không đồng tuyến ở gần bề
mặt).
Trong việc nghiên cứu các hệ phim mỏng, chúng ta cần phải để ý đến
những khác biệt vừa trình bày ở trên. Hiển nhiên là vấn đề càng trở nên khó
giải quyết khi mà có nhiều tham số cùng đóng góp vào trong quá trình.
1.3.3 Sự kích thích bề mặt cơ bản, sóng spin bề mặt
Chúng ta thấy là sóng spin (SW) phía dưới bề mặt có ảnh hưởng rất lớn
đến tính chất từ của phim mỏng[60].
Để có mô hình SW bề mặt lý tưởng, ta xét hệ phim sắt từ mỏng tạo bởi
NT lớp. Bề mặt tương ứng với chỉ số n = 1 và lớp cuối (bề mặt đáy) với n=NT.
Trục Oz vuông góc với bề mặt phim.
Ở các vật liệu khối, SW có biên độ không đổi trong không gian. Trong
các phim mỏng, có thể tồn tại trạng thái bề mặt tương ứng với trường hợp
biên độ SW giảm từ bề mặt vào bên trong (xem Hình 1.2).
Có thể biểu diễn biên độ của trạng thái bề mặt bằng hàm
ở đây n là chỉ số của các lớp và là vị trí của nút mạng nằm dọc
theo lớp thứ n, các thành phần của nó theo trục Oz là z = na, a là khoảng cách
giữa hai lớp kế tiếp hướng theo trục z. Trạng thái bề mặt tương ứng một véc
tơ sóng phức k = k1 + ik2. Biên độ của nó giảm trong quá trình
truyền vào các lớp trong (n tăng).
Dễ dàng tính được phổ sóng spin cho các tinh thể bán vô hạn hoặc phim
mỏng. Đầu tiên, sử dụng phép tính gần đúng bao gồm việc viết phương trình
chuyển động cho các toán tử S+ và S− cho spin ở bề mặt và cho các spin ở các
lớp phía dưới để thu được một hệ các cặp phương trình. Tiếp theo, sử dụng
10
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
phép biến đổi Fourier cho các cặp phương trình này. Sau khi giải ra, ta thu
được tần số và biên độ của sóng spin.
Các mốt bề mặt định xứ nằm ngoài vùng sóng spin liên tục phía trong
khối và biên độ của sóng spin này bị giảm nhanh từ bề mặt vào bên như đã
nói ở trên. Thông thường, tần số mốt bề mặt phụ thuộc vào tương tác trao đổi
bề mặt, sự bất đẳng hướng bề mặt và các mô men bề mặt.
Hình 1.2 Trạng thái sóng spin tại bề mặt (phía trên) và bên trong khối (phía dưới).
1.3.4 Một ví dụ: phim sắt từ mỏng
Chúng ta trình bày một ví dụ dưới đây mà trong đó mốt bề mặt có ảnh
hưởng đến các tính chất nhiệt động của phim sắt từ mỏng(TFF), thậm chí cả
trường hợp bề mặt sạch không sự thay đổi về các thông số bề mặt. Những
hiệu ứng đáng chú ý đó là độ từ hoá bề mặt là bé nhất so với độ từ hoá của
các lớp bên trong. Một hiệu ứng khác là nhiệt độ tới hạn bề mặt thấp hơn so
với bên trong khối. Hơn nữa, nó còn phụ thuộc vào bề dày của phim.
Xét một TFF chứa NT lớp với các spin Heisenberg. Hamilton có dạng
11
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
112()
ở đây Jij > 0 và Dij > 0 là hệ số bất đẳng hướng. Khi Dij rất lớn so với Jij, thì
spin thể hiện như là spin Ising. Hệ số 2 được đưa vào chỉ có ý nghĩa lịch sử
mà thôi. Sử dụng phương pháp hàm Green (GF), chúng ta thu được phổ sóng
spin và độ từ hóa cho từng lớp mạng phụ thuộc vào nhiệt độ. Chú ý là, khác
với lý thuyết sóng spin (Holstein-Primakoff theory), phương pháp GF cho
phép chúng ta tính toán gần đến điểm nhiệt độ tới hạn.
Phổ spin sóng
Hình 1.3 Phổ sóng spin của
phim sắt từ SC là hàm của số sóng
với NT= 8 và D/J= 0,01.
Hình 1.4 Phổ sóng spin của
phim sắt từ BCC là hàm của số sóng
với NT= 8 và D/J= 0,01.
Các nhánh bề mặt được ký hiệu bởi MS.
Trên Hình 1.3 và Hình 1.4 là phổ SW của TFF mạng lập phương đơn
giản (SC) và lập phương tâm khối (BCC) để so sánh, với tổng số lớp NT = 8.
Giả thiết rằng mọi tương tác đều là J. Hệ số bất đẳng hướng là như nhau và
bằng 0,01J. Ta thấy là phim SC không có nhánh bề mặt trong khi phim BCC
12
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
có 2 nhánh. Mỗi nhánh tương ứng với một bề mặt. Nếu độ dày của phim khá
lớn thì hai nhánh này sẽ trở thành suy biến.
Độ từ hóa từng lớp
Hình 1.5 cho thấy kết quả thu được cho độ từ hóa của hai lớp đầu tiên
với NT = 4, đối với mạng SC (hình a) và BCC (hình b). Quan sát cho thấy từ
hóa bề mặt nhỏ hơn so với lớp thứ 2. Sự khác biệt này thấy rất rõ trong trường
hợp mạng BCC bởi vì có sự tồn tại của các nhánh bề mặt. Người ta cũng quan
sát thấy trong cả hai trường hợp SC và BCC, nhiệt độ tới hạn Tc tại bề mặt
thấp hơn nhiều so với lớp bên trong khối. Hơn nữa, nhiệt độ tới hạn Tc giảm
mạnh hơn trong trường hợp mạng SC nguyên nhân là do mốt bề mặt.
Hình 1.5 Phim sắt từ SC (a) và BCC (b). Độ từ hóa cho từng lớp là hàm của nhiệt độ
T với NT = 4, D = 0,01J và J = 1. Đường cong phía dưới (trên) tương ứng với chỉ số
lớp n = 1(2).
1.3.5 Chuyển pha bề mặt
Sự chuyển pha bề mặt có thể nghiên cứu bằng nhiều phương pháp tính
số, khai triển tại vùng nhiệt độ thấp hoặc cao, ví dụ như lý thuyết nhóm tái
chuẩn hoá [76]. Nói tóm lại, do sự khác nhau của thông số tương tác giữa bề
mặt và bên trong khối, các spin trên bề mặt trở nên mất trật tự tại nhiệt độ
thấp hơn so với những spin bên trong.
13
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
1.4 Nghiên cứu thực nghiệm
Có rất nhiều dữ liệu thực nghiệm quan trọng đối với các hệ có cấu trúc
từ siêu mỏng thu được bằng nhiều kỹ thuật khác nhau.
Trong phần này chúng ta sẽ trình bày một số kết quả thực nghiệm cho
các phim từ mỏng và các hệ từ đa lớp.
1.4.1 Liên kết trao đổi trong các hệ từ đa lớp
Liên kết trao đổi phản sắt từ có thể xảy ra giữa hai hoặc nhiều phim sắt
từ siêu mỏng (ví dụ Fe) phân cách bởi một lớp không có từ tính (ví dụ Cr) nếu
như bề dày của lớp phân cách được chọn một cách hợp lý. Cơ chế của hiện
tượng này là do tương tác gây ra từ tương tác Rudermann-Kittel-Kasuya-
Yosida (RKKY) giữa các phim sắt từ. Sự thăng giáng của tương tác RKKY
phụ thuộc vào khoảng cách và đã được quan sát rõ bằng thực nghiệm ở nhiều
hệ như: Fe/Cr/Fe, Fe/Cu/Fe, Co/Cu/Co,…[190]. Liên kết phản sắt từ này làm
nảy sinh hiện tượng gọi là siêu kháng từ. Hiệu ứng này đã được ứng dụng
rộng rãi trong việc chế tạo sensor từ có khả năng ghi nhớ mật độ cao [191].
Mặc dù đã có một số lượng lớn số liệu thực nghiệm về hiện tượng
này[190] và nhiều lý thuyết nghiên cứu về nguồn gốc của liên kết RKKY
[190], nhưng lại không có những nghiên cứu bằng lý thuyết cũng như thực
nghiệm về bản chất của hiện tượng chuyển pha trong những hệ này. Kết quả
thực nghiệm đáng chú ý khác đó là dạng của đường cong từ trễ trong hệ đa
lớp Fe/Mo/Fe (xem Hình 1.6) [193].
14
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
Hình 1.6 Đường cong từ trễ của hệ 3 lớp Fe(14ML)/Mo/Fe(14ML) hình thành trên
Mo(1 0 0). Giá trị trung bình của bề dày của lớp phân cách đã được chỉ ra. Các vòng
biểu diễn các liên kết sắt từ và phản sắt từ dọc theo lớp phân cách Mo có dạng hình
nêm. Chuyển mạch từ trường Hs được định nghĩa cho trường hợp phản sắt từ như
khoảng cách thẳng góc với đường chính từ điểm zero đến trọng tâm của vòng.
1.4.2 Tính bất đẳng hướng từ của hệ phim siêu mỏng.
Các phim từ siêu mỏng thể hiện độ bất đẳng hướng mạnh theo một trục
mà trục đó dễ vuông góc với bề mặt phim [194]. Ví dụ, ở Co/Pd có độ bất
đẳng hướng trực giao mạnh khi bề dày của lớp phân cách Co nhỏ hơn 8 lớp
mạng đơn, với Co/Ni thì nó xuất hiện khi bề dày của Co ít hơn 3 lớp đơn. Sự
thay đổi độ bất đẳng hướng từ theo bề dày phim được thể hiện ở Hình 1.7 và
Hình 1.8 (trích dẫn từ tài liệu tham khảo [196, 197]). Chú ý là kí hiệu dương
của độ bất đẳng hướng tương ứng với tính bất đẳng hướng trực giao. Những
giải thích được giới thiệu trong phần này với giả thuyết là các spin vuông góc
với bề mặt phim.
15
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
Hình 1.7 Mật độ bất đẳng hướng từ phụ thuộc vào bề dày của Co đo trên các lớp Co
dạng hình nêm đặt trên Pd(1 1 1) sử dụng hiệu ứng Kerr(vòng trong đặc). Các hình
vuông rỗng là kết quả đo bằng phương pháp FMR trên các mẫu riêng biệt theo bề
dày của Co đồng nhất.
Hình 1.8 Mật độ bất đẳng hướng từ phụ thuộc vào chu kỳ các đa lớp được đo trên
hợp chất Co/Ni với tỉ lệ không đổi .
16
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
1.5 Kết luận
Trong chương này chúng ta đã trình bày một số tính chất đáng chú ý của
hệ frustration. Trong đó, một trong những vấn đề quan trọng là độ suy biến
bậc cao của GS, reentrance, sự tồn tại đồng thời của pha trật tự và mất trật tự
ở trạng thái cân bằng, các đường mất trật tự,…Tất cả những hiệu ứng đặc biệt
này được tìm thấy bằng cách giải một cách chính xác mô hình Ising 2 chiều.
Vẫn còn nhiều câu hỏi mở trong các hệ frustration. Một trong những câu hỏi
đó là hiệu ứng frustration trong phim mỏng là gì?
Chúng ta cũng trình bày trong chương này một số khái niệm cơ bản về
hiệu ứng từ bề mặt. Lĩnh vực này đã được phát triển một cách nhanh chóng
trong suốt 40 năm gần đây do có nhiều ứng dụng rộng rãi các vật liệu phim từ
mỏng trong công nghiệp. Trong chương tiếp theo ta sẽ trình bày một số lý
thuyết về các phương pháp mô phỏng Montre Carlo ứng dụng trong việc
nghiên cứu các hệ spin từ.
17
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
Chương 2. Nguyên lý của phương pháp Monte-Carlo
Trong một vài thập niên gần đây phương pháp mô phỏng trên máy tính
đã được khai tâm như một cuộc cách mạng trong khoa học: sự phân chia
ngành vật lý theo cách cũ (cũng như trong các ngành hóa học, sinh học,…)
thành các lĩnh vực thực nghiệm hoặc lý thuyết không còn là cách chia duy
nhất. Mô phỏng trên máy tính đã trở thành lĩnh vực nghiên cứu vật lý thứ ba
bổ sung cho hai lĩnh vực trước kia.
Mô phỏng phỏng trên máy tính cho biết thông tin chính xác về các hệ
mô hình mà nó được mô tả một cách chính xác (ngoại trừ sai số thống kê,
nhưng về mặt nguyên lý thì ta có thể làm giảm thiểu sai số như ta mong
muốn). Trong các bài toán của vật lý thống kê, thường thì các tham số mô tả
bởi Hamiltonian đã được xác định một cách biết rõ ràng và tường tận.
Trái lại, những thông tin được đưa ra bởi lý thuyết giải tích chỉ chính xác
trong một số ít trường hợp, trong khi đó thì hầu hết các trường hợp còn lại đều
phải sử dụng các phép tính gần đúng. Ví dụ, các bài toán trong vật lý thống kê
trong không gian hình học 3 chiều chỉ có thể giải được cho trường hợp lý
tưởng như khí lý tưởng, dung dịch lý tưởng, hoặc là các cặp dao động tử điều
hoà… Với các mô hình rất đơn giản như mô hình Ising 3 chiều thì cơ học
thống kê cũng không thể giải được một cách chính xác, nó cũng chỉ giải quyết
được rất ít các mô hình với thế năng thực tương tác giữa các bậc tự do của
nguyên tử. Bởi vậy, phương pháp mô phỏng trên máy tính là một phương
pháp thích hợp để kiểm chứng độ chính xác của một số phép tính gần đúng
trong tính toán giải tích các mô hình.
Tương tự, những thông tin thu được bởi thực nghiệm hầu như vẫn chưa
được mô tả chính xác, chính vì Hamiltonian của một mẫu trong thực nghiệm
đã cho chỉ là Hamiltonian hiệu dụng cho dù là nó đã được biết chính xác. Đôi
18
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
khi, cho dù vẫn còn đang tranh cãi thì một số hiện tượng quan sát được trong
thực nghiệm là do bản chất nội tại của nó hoặc là do sự ảnh hưởng của các tạp
chất lạ. Chú ý là, cấu trúc hoá học của các mẫu trong thực nghiệm chỉ là gần
đúng. Đó chỉ là một vài ví dụ cho thấy rõ rằng việc so sánh giữa lý thuyết và
thực nghiệm không phải lúc nào cũng cho cùng một câu trả lời, chính vì vậy
mà mô phỏng số trở thành cầu nối giữa hai lĩnh vực đó. Hơn nữa, việc so sánh
trực tiếp giữa mô phỏng trên mô hình và thực nghiệm không bị cản trở bởi
các phép tính gần đúng thiếu chính xác, mà nó thường mắc phải trong lý
thuyết giải tích, và do đó mà nó có thể mô tả tốt hơn cho các mô hình cho dù
đó là hệ thực hay hệ lý tưởng.
Tất nhiên, đây không phải là lý do duy nhất để mô phỏng trên máy tính
trở nên hấp dẫn đến vậy. Nên chú ý là mô phỏng trên máy tính đem lại nhiều
thông tin chi tiết về các hệ mô hình, và kể cả về mặt định lượng thì người
nghiên cứu có thể tính toán bằng phương pháp mô phỏng tính khả thi trước
khi chế tạo mẫu. Ví dụ, kỹ thuật tán xạ áp dụng cho các hệ thực thường thu
được các thông tin về hàm tương quan hai hạt, nhưng lại gặp phải rất nhiều
khó khăn để có thể thu được những thông tin trực tiếp từ thực nghiệm trên các
hàm tương quan bậc 3 hoặc có bậc cao hơn. Ngược lại, về nguyên tắc thì mô
phỏng có thể dễ dàng thực hiện được với các hàm tương quan có bậc cao hơn.
Trong khi những nhà thực nghiệm có thể dễ dang thay đổi nhiệt độ và áp suất
của mẫu, nhưng lại gặp rất nhiều khó khăn trong việc đánh giá sự ảnh hưởng
của sự biến thiên thế tương tác trong nguyên tử. Trái lại, những biến thiên bất
kỳ của thế tương tác trong nguyên tử không gây khó khăn gì cho việc mô
phỏng trên máy tính. Cho đến lúc này, rõ ràng là phương pháp mô phỏng trên
máy tính có khả năng thu hút mạnh mẽ và nó là một phương pháp tiếp cận
đúng đắn trong khoa học để có thể hiểu những được những quy luật của tự
19
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
nhiên, tuỳ theo từng đối tượng nghiên cứu mà nó có thể hỗ trợ về mặt lý
thuyết hay thực nghiệm.
Trong chương này chúng ta sẽ giới thiệu những nguyên tắc lý thuyết cơ
bản của phương pháp Monte-Carlo [103] và ứng dụng của nó trong vật lý
thống kê, phương pháp nghiên cứu các đại lượng luỹ thừa tới hạn [1] và
phương pháp Wang-Landau.
2.1 Nguyên tắc lý thuyết cơ bản của phương pháp Monte-Carlo
Trong phần này, chúng ta giới thiệu định nghĩa cơ bản của phép thử
Monte Carlo, trình bày một vài chi tiết cách thiết lập các chương trình Monte-
Carlo, cuối cùng là thực hiện tính toán và phân tích các kết quả.
2.1.1 Mô hình
Vật lý thống kê thường giải quyết các bài toán của hệ với nhiều bậc tự
do. Vấn đề cơ bản trong vật lý thống kê là tính “trung bình” những đại lượng
vĩ mô quan sát được của hệ với giả thiết là đã biết Hamiltonian của nó. Ví dụ,
xét một hệ từ có tính bất đẳng hướng sắt từ mạnh, ta có thể mô tả hệ này
giống như mô hình Ising, Hamilton của hệ gồm N spin Si được viết dưới dạng
201[Automatic section break]
221()
ở đây spin Si tại nút mạng i có thể hướng lên trên hoặc xuống dưới (up hoặc
down) dọc theo trục z, năng lượng trao đổi J trong công thức 221() giới hạn
trên các lân cận gần nhất, H là từ trường ngoài (số hạng mô tả
năng lượng Zeeman của hệ). Tuy nhiên có thể xảy ra những trường hợp khác
nhau nếu vật liệu từ có tính bất đẳng hướng trong mặt phẳng (spin chỉ nằm
trên mặt phẳng xy, đó là mô hình XY) hoặc là bất đẳng hướng hoàn toàn (đó
là mô hình Heisenberg):
20
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
222()
223()
Tất nhiên, nhiều loại vật liệu thực khác nhau có thể chế tạo từ thực
nghiệm tạo nên những biến thể đáng chú ý từ các mô hình này: thay cho số
lượng tử spin S = 1/2 trong công thức 221() hoặc S trong các công thức
222() và 223() chúng ta có thể nghiên cứu các số lượng tử spin một cách tổng
quát; thay vì chỉ có các tương tác trao đổi lân cận gần nhất, ta có thể đưa vào
tính toán các năng lượng trao đổi giữa các lân cận gần nhất thứ hai, thứ ba,…
thay vì tính đẳng hướng đầy đủ trong công thức 223() chúng ta có thể đưa
thêm vào số hạng bất đẳng hướng theo trục hoặc theo mặt phẳng; thay vì hằng
số tương tác không đổi J hoặc là từ trường ngoài không đổi H trong công thức
221(), ta có thể thực hiện với hằng số tương tác ngẫu nhiên Jij và từ trường
ngẫu nhiên Hi, thực hiện với mô hình có sự đông cứng trong hệ mất trật tự
nhẫu nhiên. Bởi vậy, vật liệu từ rắn cung cấp cho ta sự đa dạng lạ thường của
các mô hình Hamiltonian, các công thức từ (2.1) đến (2.3) chỉ là những ví dụ
đầu tiên, và sự phong phú của các mô hình này chỉ là một phần rất nhỏ trong
những ứng dụng rộng rãi đem lại từ vật lý chất rắn.
Nhiệm vụ của vật lý thống kê là tính các đại lượng trung bình từ mô hình
Hamiltonian , nghĩa là năng lượng trung bình E, hoặc độ từ hoá trung bình
M theo bậc tự do.
224()
21
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
Ở đây trung bình nhiệt của một đại lượng quan sát được bất kỳ hàm [
, …] và véc tơ x trong không gian pha biểu diễn dưới dạng ký
hiệu tập hợp các biến mô tả bậc tự do đang xét, ví dụ x = (S1, S2, …, SN) trong
công thức 221() và x = (S1, S2, …, SN) trong công thức (2.3). Hàm được
định nghĩa trong hệ thuần nhất được viết dưới dạng
225()
Có thể xem đại lượng x tương tự như một tập hợp trong “vật lý thống
kê” bởi vì hệ số Boltzmann chuẩn hoá
226()
đóng vai trò mật độ xác suất mô tả trọng số thống kê mà cấu hình x xuất hiện
ở trạng thái cân bằng nhiệt động.
Bây giờ mặc dù công thức 226() đúng là có dạng của hàm phân bố xác
suất p(x), thì chúng ta vẫn còn một vài vướng mắc: một là chúng ta không thể
khảo sát được các thông tin chi tiết (trong ví dụ trên x đóng vai trò là một tập
các biến mô tả các bậc tự do của N spin) thứ hai là trong trường hợp tổng
quát, ta không thể lấy tích phân trên không gian nhiều chiều224() và 226().
2.1.2 Phép thử đơn giản
Phương pháp Monte Carlo trong cơ học thống kê cân bằng bắt nguồn từ
ý tưởng tính gần đúng phương trình 225(), ở đây ta lấy tích phân trên tất cả
các trạng thái của x với hàm trọng số phù hợp p(x), giả thuyết là chỉ sử dụng
tập hợp các điểm ngẫu nhiên {x1, x2,…, xM} giống như đã được sử dụng trong
mẫu thống kê. Rõ ràng, nếu như ta giới hạn M thì tổng đại lượng rời rạc
22
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
227()
sẽ xấp xỉ bằng 225() giống như trong phương pháp tính tích phân số bằng
cách thay thế tích phân bằng tổng (cho các bậc tự do rời rạc, tương tự như bài
toán mô hình Ising, trong công thức 225() được tính như phép lấy tổng
trên 2N trạng thái tổng rời rạc x = (S1, S2, …, SN), tất nhiên là chúng ta chỉ có
thể tính được công thức 227() với một tập hợp con các trạng thái ).
Khác với cách tính thông thường để giải tích phân , ở đây f(x) là
hàm của một biến thực x, trong không gian nhiều chiều, không có gì khác biệt
nếu như ta chọn các điểm tương ứng với các điểm trên một lưới đều, hay là
chọn các điểm ngẫu nhiên .
Để tìm hiểu chi tiết hơn về vấn đề này, chúng ta xét một ví dụ với mô
hình XY định nghĩa bởi công thức 222(). Do tại mỗi điểm
i, để cho thuận tiện hơn ta viết với góc
như là một biến đặc trưng cho bậc tự do. Sau đó đơn
giản hoá thành . Bây giờ chúng ta chia thành một lưới đều mà nó
được xác định bởi với , ở đây p là số nguyên
đặc trưng cho lưới. Hiển nhiên là tổng số các điểm trong lưới là pN, số này trở
nên rất lớn với N lớn, việc lấy tích phân vẫn không thể thực hiện được cho dù
giá trị của p là rất bé. Ngoài khó khăn này ra, thậm chí nếu chúng ta có thể
tính toán được với p lớn, thì chúng ta vẫn gặp phải vấn đề là tất cả các điểm
được nằm trên bề mặt của tích phân cầu phương và hầu hết trong chúng lại
không rơi vào bên trong nó. Vì trong mọi hướng mạng trên cầu phương có p
điểm nằm trên lưới, p − 2 điểm nằm bên trong hình lập phương, tỷ số toàn
phần các điểm nằm bên trong là
23
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
Để lấy tích phân tốt hơn, thay vì chọn lưới dưới dạng phân bố đều, ta chọn
điểm là ngẫu nhiên bằng cách sử dụng “các số ngẫu nhiên nhân tạo” tạo ra
từ một bộ số ngẫu nhiên có sẵn trên máy tính. Việc sử dụng các số ngẫu nhiên
này được lấy tên từ trò chơi đánh bạc (Monte Carlo). Thực ra thì phương pháp
mô tả trong công thức 227() là một trong những phương pháp Monte Carlo,
nó có tên là phương pháp Monte Carlo dùng phép thử đơn giản.
2.1.3 Trung bình nhiệt bằng phương pháp phép thử đơn giản
Một câu hỏi đặt ra là làm thế nào để định nghĩa thông số nhiệt độ trong
mẫu, xét bước đi tự tránh đường (self-avoiding walk - SAW) trong không
gian 3 chiều. Trong cấu hình với n tương tác lân cận gần nhất (khác với
những cấu hình dọc theo đường biên của chuỗi) trọng số Boltzmann là tỉ lệ
với . Vì vậy chúng ta cần ghi lại đường đi số lần n trong mỗi cấu
hình để sử dụng lại trong quá trình tính toán và xây dựng một hàm phân bố
thích hợp: tính trung bình nhiệt động các đại lượng mà ta muốn nghiên cứu tại
mọi điểm nhiệt độ. Riêng với phép thử Monte Carlo, ta cần phải thiết lập
được hàm phân bố[104] , nghĩa là số các cấu hình
SAW (chuẩn hoá) sau N bước với n tương tác lân cận gần nhất, và
, số các cấu hình sau N bước với n tương tác
lân cận gần nhất trong phạm vi của một véc tơ R. Lúc đó các đại lượng trung
bình mà ta đang quan tâm có thể được viết dưới dạng:
228()
24
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
229()
Nhiệt dung riêng trên mỗi liên kết của chuỗi có thể tính được thông qua
hệ thức thăng giáng
2210()
để tính (chú ý phương trình 2210() dễ dàng kiểm chứng từ phương trình 228()
và biểu thức định nghĩa của C mà không mất tính tổng quát)
2211()
2.1.4 Phép thử quan trọng
Cách chọn đơn giản nhất cho hàm xác suất đó là
, sau đó ta có thể viết biểu thức tính trung bình
các đại lượng dưới dạng số học đơn giản:
2212()
Tất nhiên, vấn đề là làm sao để tìm ra một phương thức mà nó có thể
thực hiện được phép thử quan trọng trên thực tế (importance sampling).
Metropolis và đồng tác giả đã đưa ra một ý tưởng là không chọn các trạng
thái liên tiếp { } độc lập với nhau, mà tiến hành xây dựng chuỗi Markov
trong đó mỗi một trạng thái { } được xây dựng từ trạng thái trước đó { }
với xác suất chuyển trạng thái khả dĩ . Người ta chỉ ra rằng
hoàn toàn có thể chọn được xác suất chuyển trạng thái W như trong giới hạn
M để hàm phân bố các trạng thái tạo nên bởi chuỗi quá trình
Markov này tiến đến phân bố cân bằng như mong muốn
25
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
. 2213()
Điều kiện đủ để thu được nó là sử dụng nguyên lý cân bằng chi tiết
2214()
Phương trình 2214() ngụ ý là tỉ số xác suất chuyển trạng thái cho mỗi dịch
chuyển từ và chuyển ngược lại chỉ phụ thuộc vào sự thay
đổi năng lượng ,
2215()
Rõ ràng phương trình 2215() không định rõ xác suất chuyển trạng thái
là duy nhất, ta có thể chọn W một cách tuỳ ý. Có hai cách chọn
xác xuất chuyển trạng thái thường dùng là:
2216()
hoặc
2217()
là một hệ số tùy ý mà nó có thể chọn bằng 1.
Trong khi đó người ta dễ dàng kiểm chứng được rằng các biểu thức
2216() và 2217() thảo mãn các phương trình 2214() và 2215(). Nó còn cho
thấy rằng một chuỗi các trạng thái … được tạo ra với sự trợ
giúp của hai biểu thức 2216() và 2217() có đặc tính là phân bố xác suất của nó
hội tụ về xác xuất chính tắc (công thức (2.13)). Ta xét đồng
thời một số lượng lớn các hệ giống như các chuỗi Markov, tại mỗi bước nào
đó của quá trình có Nr hệ ở trạng thái r, Ns hệ ở trạng thái s, v.v. và giả sử
26
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
rằng , sử dụng các số ngẫu nhiên, ta có thể tạo ra dịch chuyển
, như sẽ được trình bày dưới đây. Bỏ qua sự thay đổi năng lượng ,
xác suất chuyển trạng thái sẽ phải có dạng đối xứng, nghĩa là,
. Với xác suất chuyển trạng thái này
, người ta dễ dàng xây dựng được xác suất chuyển trạng thái tương ứng
với các công thức 2214() và 2215(), cụ thể là
2218()
2219()
Tổng số của các cách chuyển trạng thái từ xr đến xs tại một bước của
chuỗi Markov
2220()
trong khi tổng số các chuyển trạng thái ngược là
2221()
Tổng số các chuyển trạng thái cuối cùng trở thành
2222()
Phương trình 2222() là kết quả chính của tham số này cho thấy rằng quá trình
Markov có các đặc điểm mong muốn mà các trạng thái xuất hiện với xác suất
tỉ lệ thuận với xác suất chính tắc được đưa ra trong 2213(): Nếu
bé hơn so với tỷ số xác suất chính tắc thì chúng ta có ,
nghĩa là tỉ số tăng lên đến tỷ số xác suất chính tắc, ngược lại nếu
lớn hơn tỷ số xác suất chính tắc , lúc đó giảm
xuống đến tỷ số xác suất chính tắc. Cho giới hạn thì hàm phân bố tiến
27
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
đến trạng thái dừng, lúc đó có giá trị đúng bằng hàm phân bố chuẩn
2213(). Thay vì xem xét đồng thời nhiều chuỗi Markov, ta có thể cắt nhỏ
chuỗi Markov dài thành từng đoạn ngắn rồi áp dụng cùng một đối số cho từng
phần nhỏ của chuỗi.
Bây giờ ta thảo luận về một câu hỏi: việc chuyển có nghĩa gì
trong thực tế? Về nguyên tắc, có nhiều cách chọn tuỳ ý cho việc chuyển trạng
thái này miễn sao nó thoả mãn điều kiện đối xứng của ,
nghĩa là và kết quả là xác suất chuyển
trạng thái với thay đổi năng lượng phải có giá trị nằm
trong khoảng từ 0 đến 1. Bởi vậy, người ta thường thực hiện một sự dịch
chuyển chỉ với một vài bậc tự do bị thay đổi, vì nếu chúng ta thay đổi
bậc tự do một cách đồng thời, thì chúng ta mong là trong công thức
2216() hoặc 2217() có giá trị cùng bậc với , ở đây ε đặt theo đơn
vị năng lượng (như ε = J với Hamiltonian của hệ từ ở các công thức 221(),
222(), 223()). Vì nhiệt độ đang xét như trong hệ thức có bậc vào cỡ
đơn vị, những dịch chuyển sang điểm lân cận với ta có xác suất
chuyển trạng thái là vô cùng bé nếu như có sự mất mát năng lượng. Vì vậy mà
hầu hết các dịch chuyển thử không thể thực hiện được hết. Hệ cứ tiếp tục tiến
triển từ cấu hình trước đó của nó. Điều này rõ ràng là làm cho thuật toán
không thể thực hiện được trong nhiều trường hợp. Chính vì vậy, để khắc khắc
phục vấn đề này, người ta sử dụng thuật toán kết hợp gọi là thuật toán Monte-
Carlo-Langevin [13].
28
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
2.1.5 Số đo nhiệt độ TN
Có khá nhiều đại lượng quan sát được mà nó có các cực trị tại nhiệt độ
TN. Việc xác định chính xác nhiệt độ TN là bước đầu tiên trong việc nghiên cứu
các hiện tượng tới hạn. Ta có
độ cảm từ
2223()
nhiệt dung riêng
2224()
đạo hàm bậc nhất và bậc hai thông số trật tự theo nhiệt độ
2225()
2226()
đạo hàm bậc nhất và bậc hai logarit của thông số trật tự theo nhiệt độ
2227()
2228()
cumulant bậc 4 của năng lượng
2229()
cumulant bậc 4 của thông số trật tự
2230()
Đạo hàm bậc nhất cumulant bậc 4 của thông số trật tự theo nhiệt độ
29
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
2231()
Ứng dụng phương pháp Monte Carlo của tất cả các quan sát có thể thu
được nếu với mỗi trạng thái được lấy mẫu, các giá trị của E, O, O2 và O4 đều
được tính. Vì chỉ có duy nhất một thông số bên ngoài được xem xét đó là
nhiệt độ T, cho nên ta cần phải lưu lại các giá trị năng lượng dưới dạng biểu
đồ. Mỗi giá trị của O, O2 và O4 được lưu lại tại một giá trị năng lượng E đã
cho sau đó thì đơn giản là thực hiện phép tính tổng và tính trung bình. Với
cách tính tương tự, giá trị của các đại lượng và
cũng có thể tính được.
2.1.6 Tỷ xích kích thước hữu hạn
Các quy luật về tỷ xích kích thước hữu hạn được đưa ra bởi Fisher[122]
cho các chuyển pha liên tục hay chuyển pha loại II :
2232()
2233()
2234()
2235()
ở đây và TN là nhiệt độ chuyển pha của mạng có kích
thước L. Tại điểm chuyển pha, t = 0, ta có trường hợp đặc biệt của phương
trình 2232()-2235():
2236()
2237()
2238()
Một số hệ thức tỷ xích khác cho hệ chuyển pha loại II là
30
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
2239()
Mỗi một đại lượng quan sát được có nhiệt độ tới hạn khác nhau TN(L). Với L
rất lớn thì TN(L) có tỷ lệ như
2240()
Ta có thể áp dụng những biểu thức giải tích này cho các hệ có kích thước
mạng tương đối nhỏ. Tuy nhiên, ta cần phải đưa thêm vào một số hạng làm
khớp mới để tính toán sự ảnh hưởng của trường ngoài và sự phi tuyến
đối với các biến số tỷ xích. Thêm số hạng này vào, ta có
2241()
TN cho mỗi đại lượng quan sát được có giá trị khác nhau không phụ thuộc vào
CA và DA, nhưng có chung một giá trị θ .
Đối với chuyển pha không liên tục (chuyển pha loại I), các tỷ xích tuân
theo các quy luật sau:
2242()
2243()
2244()
2.2 Phương pháp biểu đồ (Histogram)
Ý tưởng sử dụng phương pháp biểu đồ để tăng lượng thông tin thu được
từ phương pháp mô phỏng Monte Carlo. Trong khoảng bốn mươi năm trở lại
đây, phương pháp này đã và đang được ứng dụng thành công để nghiên cứu
những hiện tượng tới hạn[8, 52].
2.2.1 Phương pháp biểu đồ đơn
Phương pháp Monte Carlo tiến hành ở nhiệt độ T = T0 tạo nên các cấu
hình của hệ với tần suất tỷ lệ với trọng số Boltzmann với
31
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
, và là Hamiltonian của hệ đang được nghiên cứu. Để đơn
giản, chúng ta xét mô hình Ising 3 chiều lân cận gần nhất với Hamiltonian:
2[Automatic section break] 2245()
Với nhiệt độ mô phỏng T0, tương ứng với hằng số liên kết , trọng số
Boltmann có thể viết lại dưới dạng , ở đây E là năng lượng của hệ.
Xác suất tìm thấy hệ với năng lượng E và độ từ hóa không thứ
nguyên có dạng
2246()
Trong đó W(E,M) là số các cấu hình (mật độ trạng thái) với năng lượng E và
độ từ hóa M, và Z(K0) là hàm chia của hệ. Bởi vì mô phỏng tạo ra các cấu
hình tương ứng với phân bố xác suất cân bằng, biểu đồ H(E, M) của E và M
giữ trong suốt quá trình mô phỏng gần đúng với hàm phân bố xác suất cân
bằng, càng trở nên chính xác nếu số lần mô phỏng tiến đến vô hạn. Với một
mô phỏng có thời gian hữu hạn, biểu đồ sẽ có sai số thống kê, nhưng đại
lượng H(E,M)/N, với N là số lần đo đã được thực hiện, vẫn chính xác đối với
xác suất trên khoảng giá trị của E và M được tạo ra trong suốt quá
trình mô phỏng. Từ đó ta có thể viết lại phương trình phương trình 2246() như
sau:
2247()
với là một xấp xỉ của mật độ trạng thái thực W(E,M). Từ sự giống
nhau về dạng của phương trình 2246() và 2247(), dễ dàng nhận thấy rằng nếu
như ta biết được hàm phân bố tại một giá trị nào đó của K là có thể xác định
32
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
các đại lượng tại các giá trị khác của K. Để thấy rõ điều này, chúng ta viết lại
hàm phân bố cho các giá trị bất kỳ của K có dạng giống như 2246()
2248()
Tiếp theo, để ý là vì chúng ta đã biết được hàm phân bố tại nhiệt độ K0, từ
biểu đồ H(E, M), chúng ta có thể viết ngược lại phương trình 2246() để xác
định
2249()
Nếu giờ ta thay W(E, M) trong 2248() bằng biểu thức cho trong
2249(), rồi lấy chuẩn hoá hàm phân bố, ta tìm được biểu thức liên hệ giữa
biểu đồ đo được tại K = K0 và hàm phân bố tại K bất kỳ.
2250()
với K = K − K0. Từ PK(E, M), giá trị trung bình của bất kỳ hàm nào của E và
M, f(E, M) có thể được tính như là hàm liên tục của K
2251()
Phương trình 2250() và 2251() được xem là các phương trình biểu đồ đơn.
Hình 2.2 biểu diễn kết quả một ví dụ của hàm phân bố xác suất cho năng
lượng trong trường hợp hệ Ising 2D, dữ liệu thu được bằng mô phỏng với
2500000 bước trên spin.
33
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
Hình 2.2 Hàm phân bố xác suất theo năng lượng E với kích thước mạng L= 64 đo ở
K= 0.1540.
Ưu điểm của phương pháp biểu đồ là có thể tính các đại lượng nhiệt
động như là một hàm liên tục của nhiệt độ K. Từ đó ta dễ dàng xác định được
các cực trị của chúng. Sử dụng 2251() ta cũng có thể tính được đạo hàm bậc
nhất hay các bậc cao hơn của các đại lượng nhiệt động theo nhiệt độ. Ví dụ,
đạo hàm của theo K có dạng
và đạo hàm bậc hai của nó là đơn giản
Các đạo hàm bậc cao hơn cũng có thể tính nếu cần. Khi một hàm, như
nhiệt dung riêng, đạt đến giá trị cực đại thì đạo hàm của nó theo nhiệt độ K là
bằng 0. Việc xác định các đỉnh này có thể chuyển sang việc tìm nghiệm của
một phương trình. Ví dụ, bằng việc sử dụng phương pháp Newton dưới dạng
các hàm tương quan giao nhau với năng lượng E như là hàm liên tục của K đã
34
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
được mô tả ở trên. Quá trình này có thể tự động tìm đỉnh của các hàm một
cách nhanh chóng với độ chính xác cao.
2.2.2 Phương pháp biểu đồ kép
Hầu hết các phương pháp mô phỏng Monte Carlo đều sử dụng thuật toán
Metropolis để tạo ra cấu hình spin mới ở một nhiệt độ cho trước. Sau đó
người ta tính toán trung bình nhiệt động của các đại lượng quan sát được.
Trong sự phát triển đáng ngạc nhiên gần đây, Ferrenberg và Swendson[8]
nhận ra là phương pháp này không sử dụng đầy đủ những dữ liệu có sẵn trong
hàm phân bố thực của trạng thái đã thử. Họ đã phát triển những biểu đồ đơn
của phương pháp Montre Carlo để tận dụng những lợi thế này nhằm thu nhận
thêm thông tin.
Khó khăn trong phương pháp biểu đồ đơn thực ra là do phân bố xác suất
năng lượng khá hẹp tại mọi nhiệt độ. Điều này đã được cải thiện bằng phương
pháp biểu đồ kép [1], cũng được đưa ra bởi Ferrenberg và Swendson[9], trong
đó dữ liệu thu được tại nhiều điểm nhiệt độ khác nhau kết hợp lại giúp cho
việc xác hàm phân bố chính xác hơn. Phương pháp biểu đồ kép cho phép xác
định chính xác hơn các đại lượng quan sát được trên khoảng rộng của nhiệt
độ.
Để nghiên cứu kỹ về phương pháp biểu đồ kép, chúng ta xét
Hamiltonian cho trường hợp tổng quát có dạng:
2252()
trong đó S() là toán tử năng lượng E hoặc là toán tử độ từ hoá M được xác
định trên cấu hình spin {i} của hệ, và K là nhiệt độ. Hàm chia của hệ có thể
được viết dưới dạng:
2253()
ở đây W(S) là hàm mật độ trạng thái.
35
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
Xét R lần mô phỏng bằng phương pháp Monte-Carlo. Chúng ta thực hiện
nth mô phỏng tại nhiệt độ Kn rồi lưu lại dưới dạng biểu đồ. {Nn(S)} là tổng số
các giá trị {nn}. Bây giờ chúng ta tính gần đúng hàm chia
2254()
hàm chia gần dúng này và hàm chia thực liên hệ với nhau qua biểu thức:
2255()
Ta lại có biểu thức năng lượng tự do
2256()
Hàm mật độ trạng thái liên hệ đến biểu đồ:
2257()
trong đó, fn = F(Kn) là tham số bằng năng lượng tự do tại Kn , và nó sẽ được
tính bằng phương pháp tự hợp. Chúng ta thực hiện mô phỏng trên tập hợp các
giá trị {Kn| n = 1, R}, chúng ta có thể kết hợp chúng lại thành một biểu thức
dưới dạng tổng quát cho W(S).
2258()
với
Nếu chúng ta thay thế các biểu đồ vào công thức 2258() và cực tiểu sai
số, chúng ta tìm được
2259()
Nếu chúng ta định nghĩa
36
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
ta thu được phương trình biểu đồ kép
2260()
ở đây
2261()
Giá trị trung bình của bất kỳ toán tử nào của S cũng có thể tính được như
là một hàm liên tục theo K:
2262()
trong đó
Giá trị của fn được tính bằng phương pháp tự hợp của hai phương trình
2260() và 2261(). Để tăng tốc độ hội tụ trong quá trình tính lặp, ta sử dụng
đạo hàm của giá trị mới fn theo giá trị cũ của nó.
Một số thuật toán xác định các số mũ tới hạn
Dưới đây chúng ta phác thảo các bước để tính các số mũ tới hạn bằng
phương pháp mô phỏng biểu đồ kép.
1. Xác định gần đúng vùng tới hạn , mô phỏng R lần quanh
nhiệt độ chuyển pha T, lưu giữ những giá trị đó vào biểu đồ H(Ti, E, L),
với L là kích thước mạng đang xét, đồng thời xác định thêm các biểu đồ
O(Ti, E, L), O2(Ti, E, L), O4(Ti, E, L).
2. Tính toán các giá trị của mỗi biểu đồ R ở mỗi kích thước mạng L. Tìm
những giá trị của quanh
điểm tới hạn T, và sử dụng những giá trị này để tính tất cả những quan
sát cho trong các phương trình 2223()-2231().
37
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
3. Để xác định loại chuyển pha. Nếu hàm phân bố PM(E) tại TN có đỉnh
kép, ta có thể áp dụng phương pháp của Lee và Kosterlitz hoặc phương
pháp Wang-Landau. Nếu hàm phân bố chỉ có một đỉnh và giá trị cực
tiểu của cumulant năng lượng bậc 4, tiệm cận đến hằng số
V*=2/3 khi L thì đó là chuyển pha liên tục (chuyển pha loại II), các
số mũ tới hạn có thể được xác định theo các bước theo sau:
4. Xác định từ tỷ lệ xích cho kích thước mạng hữu hạn từ giá trị cực đại
của , (phương trình 2239()). Nó được tính thông
qua phương pháp đồ thị lnL theo logarit các cực đại ln(maxima). Tương
tự xác định bằng đồ thị lnL theo lnmax.
5. Xác định tất cả các TN(L) từ các phương trình 2231()-2239() cho các đại
lượng quan sát được và vẽ đồ thị của chúng theo biến .
TN() có thể xác định bằng cách làm khớp dữ liệu theo biểu thức
và ở đây là giá trị trung bình
của B cho tất cả các đại lượng sự quan sát được.
6. Với kết quả đã tìm được của và ν và TN(), xác định từ đồ thị của
lnL theo . Sau đó ta có thể sử dụng các định luật tỷ lệ cho TTN
để kiểm tra các kết quả của và . Điều này được thực hiện bởi
phương pháp đồ thị và đối với , ở đây
. Nếu các số mũ tới hạn được chọn đúng, thì các kết
quả cho mỗi cặp đồ thị của từng kích thước mạng L sẽ nằm trên cùng
một đường thẳng.
7. Cuối cùng, tính gần đúng giá trị của thông qua các định luật
và kiểm tra các phép tính gần đúng bằng cách làm khớp dữ liệu với
phương trình 2236() sử dụng từ các hệ thức tỷ lệ.
38
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
2.3 Phương pháp Wang-Landau
Như chúng ta đã biết, hầu hết các thuật toán trong mô phỏng Monte-
Carlo đều được thực hiện tại một giá trị nhiệt độ xác định. Bởi vậy, các
phương pháp trước đây, hoặc là kém chính xác (phương pháp cổ điển), hoặc
là chỉ có hiệu quả cao trong việc tính các toán hiệu ứng kích thước hữu hạn
(phương pháp biểu đồ đơn và kép). Các phương pháp này được ứng dụng
rộng rãi và khá hiệu quả đối với chuyện pha loại II, nhưng lại gặp rất nhiều
khó khăn khi nghiên cứu các hệ chuyển pha loại I. Việc xác định đỉnh kép
trong hàm phân bố năng lượng cũng như xác định độ rộng latent heat giữa hai
đỉnh kép đó đòi hỏi phải thực hiện mô phỏng tại nhiệt độ rất gần điểm chuyển
pha, tức là phải tiến hành mô phỏng tại rất nhiều điểm nhiệt độ quanh điểm
chuyển pha với độ chính xác cao.
Mới đây, Wang và Landau đã đề xuất một thuật toán mới được gọi là
thuật toán biểu đồ “phẳng”, còn gọi là phương pháp Wang-Landau [C321].
Khác với các thuật toán mô phỏng Monte-Carlo trước đây, phương pháp
Wang-Landau mô phỏng trên không gian năng lượng nhằm xác định hàm mật
độ trạng thái. Từ đó, ta có thể xác định các đại lượng vật lý như là hàm liên
tục theo nhiệt độ tương tự như trong các phương pháp giản đồ đơn (kép). Tiếp
theo đây, chúng ta sẽ tìm hiểu chi tiết về thuật toán này.
Thuật toán này dựa trên quát sát thấy rằng, nếu như ta thực hiện một
bước di ngẫu nhiên trong không gian năng lượng với xác suất tỷ lệ với nghịch
đảo mật độ trạng thái , lúc đó biểu đồ phẳng được tạo ra từ phân bố
năng lượng. Quá trình này được thực hiện bằng cách điều chỉnh mật độ trạng
thái ước định theo phương pháp có hệ thống, nhằm thu được biểu đồ phẳng
trên toàn bộ vùng năng lượng cho phép và đồng thời làm cho mật độ trạng
thái hội tụ tiến dần đến giá trị đúng của nó. Ban đầu, giá trị của mật độ trạng
thái chưa được xác định, vì vậy ta có thể đặt cho tất cả các năng
39
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
lượng E. Sau khi đặt giá trị ban đầu cho mật độ trạng thái, ta thực hiện mô
phỏng theo bước đi ngẫu nhiên trong không gian năng lượng bằng cách lật
các spin một cách ngẫu nhiên. Trong trường hợp tổng quát, nếu như năng
lượng trước và sau khi lật spin tương ứng là E1 và E2. Xác xuất chuyển trạng
thái từ mức năng lượng E1 sang E2 có dạng:
3[Automatic section break] 2263()
Đây cũng chính là xác suất lật spin. Mỗi lần ta tìm thấy trạng thái của hệ có
năng lượng E, ta làm mới mật độ trạng thái ứng với năng lượng đó bằng cách
nhân mật độ trạng thái bởi hệ số điều chỉnh f > 1, nghĩa là
.
Hệ số điều chỉnh ban đầu được chọn khá lớn f = f0 = e1 = 2.71828. Nó cho
phép chúng ta tìm đến một cách nhanh chóng tất cả các mức năng lượng có
thể cho dù hệ ta đang xét có kích thước lớn. Chúng ta tiếp tục thực hiện các
bước ngẫu nhiên trong không gian năng lượng và điều chỉnh mật độ trạng thái
cho đến khi biểu đồ chồng chất là phẳng H(E). Lúc này, mật độ trạng thái hội
tụ đến giá trị thực tỷ lệ chính xác với . Sau đó chúng ta giảm dần hệ số
điều chỉnh theo cách , đồng thời điều chỉnh lại biểu đồ H(E) = 0.
Bước tiếp theo, ta tiếp tục mô phỏng với giá trị hệ số điều chỉnh bé hơn f1,
Tiếp tục làm như vậy cho đến khi biểu đồ lại phẳng, ta lại giảm tiếp hệ số
điều chỉnh . Rõ ràng là số bước Monte-Carlo càng ngày càng lớn
khi ta giảm hệ số điều chỉnh. Quá trình mô phỏng sẽ kết thúc khi hệ số điều
chỉnh bé hơn một giá trị cuối cùng cho trước nào đó (ví dụ: ffinal = exp(10-8) ~
1.000 000 01). Rõ ràng là hệ số điều chỉnh f trong các bước ngẫu nhiên đóng
vai trò là tham số điều chỉnh độ chính xác của mật độ trạng thái trong suốt
quá trình mô phỏng và nó cũng quyết định thời gian mô phỏng, nghĩa là tổng
số các bước lật spin trong toàn bộ quá trình mô phỏng.
40
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
Trên thực tế, chúng ta không thể đạt được biểu đồ tuyệt đối phẳng, ý
nghĩa “phẳng” ở đây khi mà biểu đồ H(E) cho tất cả các mức năng lượng có
thể có giá trị lớn hơn x% so với giá trị trung bình H(E), nghĩa là
,
với x% được chọn trong khoảng từ 80% đến 95%. Vì mật độ trạng thái được
điều chỉnh mỗi khi một trạng thái nào đó được xét đến, mật độ trạng thái
tương đối chỉ có thể thu được sau khi quá trình mô phỏng kết thúc.
Theo lý thuyết thống kê thì hàm chia có thể viết dưới dạng tổng các
trạng thái, đồng thời cũng có thể viết dưới dạng tổng các năng lượng:
. 2264()
Sau khi chúng ta tìm được mật độ trạng thái g(E), các đại lượng Vật lý như
năng lượng, độ từ hoá, nhiệt dung riêng, độ cảm từ … có thể tính được một
cách dễ dàng như là một hàm liên tục theo nhiệt độ:
, 2265()
trong đó, Z là hàm chia
.
Để có thể áp dụng thuật toán Wang-Landau một cách dễ dàng, ta viết lại
một cách ngắn gọn quy trình mô phỏng hệ spin Ising theo các bước như sau:
1. Đặt g(E) = 1, H(E) = 0; chọn hệ số điều chỉnh f0 = e1
2. Chọn một trạng thái ban đầu
3. Chọn nút mạng i bất kỳ, tính năng lượng E1
4. Thử lật spin và tính toán năng lượng mới E2
5. Tính tỷ số = g(E1)/g(E2)
6. Tạo một số ngẫu nhiên theo phân bố đều nằm trong khoảng 0 < r < 1
41
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
7. Xét điều kiện, nếu > r, cho phép lật spin
8. Làm mới các giá trị g(Ei) = g(Ei).f; H(E) = H(E) + 1
9. Nếu biểu đồ chưa phẳng, quay lại bước (3)
10. Nếu biểu đồ phẳng, đặt lại H(E) = 0 và giảm .
11. Lặp lại các bước từ (3) đến (10) cho đến khi fi 1.
2.4 Kết luận
Trong chương này chúng ta đã trình bày một cách có hệ thống về lý
thuyết mô phỏng Monte-Carlo ứng dụng trong nghiên cứu các hiện tượng
chuyển pha của của các hệ spin từ. Lý thuyết về hiệu ứng kích thước hữu hạn
và các biểu thức dùng để xác định các số mũ tới hạn.
Tuỳ thuộc vào đối tượng chúng ta quan tâm nghiên cứu, cũng như tuỳ
thuộc vào mỗi đại lượng mà chúng ta cần phải xác định, các thuật toán mô
phỏng cần phải được chọn một cách phù hợp để có hiệu quả cao, nghĩa là có
thể thu được các kết quả nhanh nhất và chính xác nhất.
Để phác họa bức tranh tổng quát cho mô hình, người ta sử dụng phương
pháp Monte-Carlo thông thường với thuật toán Metropolis. Đối với chuyển
pha loại II, người ta thường sử dụng phương pháp biểu đồ đơn hoặc biểu đổ
kép để tính toán các số mũ tới hạn với độ chính xác rất cao. Đặc biệt là đối
với chuyển pha loại I, ta cần phải áp dụng kỹ thuật mới nhất, đó là thuật toán
Wang-Landau để xác định đỉnh kép trong hàm phân bố năng lượng cũng như
latent heat. Chú ý là thuật toán Wang-Landau không chỉ áp dụng có hiệu quả
cao đối với chuyển pha loại I, mà còn có thể áp dụng cho cả chuyển pha loại
II. Tất nhiên là nó kém chính xác hơn so với phương pháp biểu đồ kép khi
tính toán các số mũ tới hạn.
42
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
Trong chương tiếp theo chúng ta sẽ trình bày những ứng dụng của một
sô phương pháp Monte-Carlo trong việc nghiên cứu các quá trình chuyển pha
của hệ spin glass nói chung và hệ hoàn toàn bị frustration.
43
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
Chương 3. Quá trình chuyển pha trong hệ spin glass
3.1 Giới thiệu chung
Trong chương này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp mô phỏng Wang-
Landau để nghiên cứu chi tiết quá trình chuyển pha trong các hệ spin glass
như hệ mạng vuông frustration hoàn toàn với spin XY và Heisenberg.
Việc nghiên cứu quá trình chuyển pha trong hệ spin glass cho đến nay
vẫn đang gặp rất nhiều khó khăn, nguyên nhân là do sự hội tụ rất chậm quanh
điểm chuyển pha, hay thời gian hồi phục rất chậm. Với phương pháp mô
phỏng Monte-Carlo thông thường, rất khó có thể xác định được độ từ hóa và
độ cảm từ. Hiện nay, người ta thường sử dụng phương pháp sao chép
(replication) để tính độ từ hóa và độ cảm từ, tuy nhiên phương pháp này vẫn
còn nhiều hạn chế.
Đối với hệ spin XY và Heisenberg frustration hoàn toàn, các nghiên cứu
bằng phương pháp mô phỏng vẫn chưa thể khẳng định được chuyển pha từ
của hệ là chuyển pha loại I hay loại II. Mới đây, một số nghiên cứu lý thuyết
bằng phương pháp tái chuẩn hóa hoặc là phương pháp trường trung bình đã
dự đoán rằng, chuyển pha của hệ này là chuyển pha loại I. Việc xác định
chuyển pha loại I gặp rất nhiều khó khăn khi sử dụng các phương pháp mô
phỏng Monte-Carlo thông thường, nguyên nhân là các phướng pháp cổ điển
có độ chính xác không cao và hệ chúng ta xét cần có kích thước khá lớn. Để
giải quyết vấn đề này, chúng ta cần phải áp dụng phương pháp mô phỏng có
hiệu quả cao, đó là phương pháp Wang-Landau (mục 2.3).
Xét trường hợp tổng quát, một hệ spin từ được mô tả bởi Hamiltonian có
dạng ngắn gọn và đơn giản:
340[Automatic section break] , 441()
44
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
trong đó, là véc tơ spin tại nút mạng thứ i, là hằng số tương tác trao đổi
giữa hai spin Si và Sj. Phép tính tổng được thực hiện trên tất cả các cặp spin,
trong thực tế, người ta thường chỉ tính cho các tương tác lân cận gần nhất,
hoặc là cả các tương tác lân cận tiếp theo.
Dựa vào tổng số thành phần của véc tơ spin mà người ta chia thành 3
loại chính như sau:
Spin Ising: véc tơ spin chỉ có thành phần theo phương z, nghĩa là có hai
trạng thái, trạng thái hướng lên trên (up) và trạng thái hướng xuống
dưới (down), tích vô hướng trong công thức 441() trở thành .
Spin XY: véc tơ spin có thể quay trên mặt phẳng (x, y): tích vô hướng
trong công thức 441() trở thành .
Spin Heisenberg: véc tơ spin có thể quay trong toàn bộ không gian 3
chiều (x, y, z): tích vô hướng trong công thức 441() trở thành
.
Tùy thuộc vào dấu của hằng số tương tác J mà ta có các loại tương tác
sắt từ (J > 0) và tương tác phản sắt từ (J < 0). Nếu như tất cả các tương tác
giữa các spin trong hệ cùng dấu với nhau, thì hệ đó được gọi là hệ thuần sắt từ
(J > 0) hoặc là hệ thuần phản sắt từ (J < 0). Đặc biệt, nếu như hệ có sự trộn
lẫn cả hai loại tương tác nói trên thì được gọi là hệ “spin glass”.
Chúng ta xét một cấu hình tương tác đặc biệt đối với mạng lập phương
đơn giản, trong đó các tương tác sắt từ và phản sắt từ đan xen lẫn nhau (xem
trên Hình 3.3). Tại mỗi nút mạng, tổng số tương tác lên mỗi spin bao gồm 2
tương tác phản sắt từ và 4 tương tác sắt từ, các spin này luôn luôn ở trạng thái
bị frustration, chính vì vậy mà hệ này được gọi là hệ spin frustration hoàn
toàn. Mặt khác, do có sự trộn lẫn hai loại tương tác sắt từ và phản sắt từ, cho
nên hệ này có thể xem như một trường hợp riêng biệt của hệ spin glass.
45
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
Hình 3.3 Cấu hình mạng lập phương đơn giản bị frustration hoàn toàn. Đường liền
nét là tương tác sắt từ (F), đường đứt quãng là tương tác phản sắt từ (AF).
Quá trình thực hiện phương pháp mô phỏng Wang-Landau được chia
thành hai bước chính (xem chi tiết ở mục 2.3):
Bước 1: Ta mô phỏng hệ theo các bước của quy trình từ (1) đến (11),
chú ý là đối với spin véc tơ (XY và Heisenberg) thì việc tạo ra một
trạng thái mới của spin trong bước (4) không phải là lật spin như trong
trường hợp spin Ising, mà ta tạo một trạng thái spin ngẫu nhiên:
o Đối với spin XY, ta tạo một góc ngẫu nhiên có giá trị trong khoảng
từ 0 đến 2 (rad), hai thành phần của spin được tính qua biểu thức
. Chú ý, độ lớn của spin .
o Đối với spin Heisenberg, ta tạo giá trị ngẫu nhiên cho hình chiếu A
của spin trên mặt phẳng (x, y) trong khoảng [-1, 1], các thành phần
của spin được tính như sau:
.
Sau khi chương trình mô phỏng kết thúc, chúng ta thu được dữ liệu
của hàm mật độ trạng thái g(E) và các đại lượng cần đo khác phụ
thuộc vào năng lượng (năng lượng E, trung bình của bình phương
46
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
năng lượng , độ từ hóa M và trung bình của bình phương độ từ
hóa ).
Bước 2: Sử dụng biểu thức (2.65) để tính các đại lượng cần đo theo
nhiệt độ:
o Năng lượng và bình phương của năng lượng:
.
o Độ từ hóa và bình phương của nó:
.
o Nhiệt dung riêng và độ cảm từ:
.
Trong các công thức trên, z(T) là hàm chia
.
3.2 Mô hình frustration hoàn toàn trong hệ mạng lập phương đơn giản với
spin XY
3.2.1 Mô hình
Xét mô hình spin XY bị frustration hoàn toàn với cấu trúc mạng lập
phương đơn giản được diễn tả trên Hình 3.3. Hamiltonian của hệ lúc này được
viết dưới dạng:
, 442()
47
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
với hằng số tương tác , để cho đơn giản chúng ta chọn giá trị của
hằng số tương tác J = 1. Độ lớn của spin cũng được chọn bằng đơn vị:
.
Như chúng ta đã biết, trạng thái cơ bản của hệ này có độ suy biến bội 12.
Để tính toán cấu hình của hệ ở trạng thái cơ bản, ta để ý rằng, tất cả các nút
đều có cùng trường địa phương . Bởi vậy ta có
443()
444()
445()
446()
Sử dụng các hệ thức và với , chúng ta thu được
các hệ các phương độc lập tuyến tính:
447()
448()
449()
Hệ 3 phương trình trên có 12 nghiệm (xem chi tiết trong tài liệu tham khảo
[C3.1, C3.2]). Ta xét trên mặt phẳng yz, các spin nằm đối diện nhau thì vuông
góc với nhau, nghĩa là . Mặt khác, 4 spin này được chọn sao
cho hai nhị diện trực giao và tạo với nhau một góc
. Tương tự đối với hai nhị diện và tạo với
nhau một góc . Chú ý là nhị diện quay một góc so với nhị
diện , vì vậy mà tổng đại số của các góc giữa các spin trên mỗi mặt
phẳng của hình lập phương là bằng 0.
48
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
Chúng ta có thể kiểm chứng lại kết quả tính toán này dựa trên hình vẽ
Hình 3.4. Áp dụng những tính toán tương tự cho hai mặt xy và xz, ta thu được
tất cả là 6 cấu hình cơ bản. Mỗi một cấu hình cơ bản có một cấu hình đối
xứng gương với nó, cho nên số cấu hình cơ bản toàn phần là 12, nghĩa là hệ
có suy biến bội 12.
(a) (b)
Hình 3.4 Hai cấu hình của hệ ở trạng thái. Hình (a) tương ứng với và hình
(b) tương ứng với .
3.2.2 Mô phỏngMonte-Carlo và các kết quả
Trong mô hình này, chúng ta xét Hamiltonian 442() với hằng số tương
tác được chọn là J = 1, và điều kiện biên tuần hoàn được áp dụng cho cả 3
phương x, y và z. Kích thước mạng của hệ là N N N với N = 24, 36, 48.
Áp dụng phương pháp Wang-Landau (đã được trình bày chi tiết trong
mục 3 của chương II) với độ chính xác rất cao: điều kiện phẳng x% = 95% và
hệ số điều chỉnh ffinal ~ exp(10-9).
49
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
Trên hình vẽ Hình 3.5 chúng ta thấy rằng, với kích thước mạng N = 24,
đồ thị năng lượng phụ thuộc vào nhiệt độ có vẻ là một đường liên tục (dấu
hiệu của chuyển pha loại II), bởi vậy mà những nghiên cứu trước đây đã nhận
định rằng chuyển pha của hệ này là chuyển pha loại II. Tuy nhiên, giá trị cực
đại của nhiệt dung riêng lại khá cao và đỉnh của nó khá nhọn (Hình
3.6), điều này mâu thuẫn với chuyển pha loại II với đỉnh của nhiệt dung riêng
là khá rộng.
Hình 3.5 Năng lượng của hệ phụ thuộc vào nhiệt độ tương ứng với kích thước mạng
N = 24.
50
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
Hình 3.6 Nhiệt dung riêng của hệ phụ thuộc vào nhiệt độ tương ứng với kích thước
mạng N = 24.
Tương tự với đồ thị năng lượng, nhìn vào hình vẽ Hình 3.7, chúng ta
không thấy sự gián đoạn trên đồ thị của độ từ hóa. Hình 3.8 thể hiện sự phụ
thuộc của độ cảm từ vào nhiệt độ.
51
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
Hình 3.7 Độ từ hóa của hệ phụ thuộc vào nhiệt độ tương ứng với kích thước mạng
N = 24.
Hình 3.8 Độ cảm từ của hệ phụ thuộc vào nhiệt độ tương ứng với kích thước mạng
N = 24.
Hình 3.9 Hàm phân bố năng lượng tương ứng với kích thước mạng N = 24 tại nhiệt
độ T = 0.6808.
52
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
Rõ ràng là nếu chỉ dựa vào đồ thị của các đại lượng như năng lượng và
độ từ hóa, thì chúng ta không thể khẳng định được loại của chuyển pha. Như
chúng ta đã biết thì điều kiện cần của chuyển pha loại I đó là hàm phân bố
năng lượng tại điểm nhiệt độ tới hạn phải có đỉnh kép. Hình 3.9 là đồ thị hàm
phân bố năng lượng tại điểm nhiệt độ T = 0.6808, mặc dù phân bố năng lượng
chỉ có một đỉnh đơn, nhưng bề rộng của đỉnh khá lớn, đây là dấu hiệu ban đầu
giúp chúng ta đoán nhận về hiện tượng chuyển pha loại I trong hệ này. Để
chứng tỏ chuyển pha của hệ là chuyển pha loại I, chúng ta tiến hành mô
phỏng hệ với kích thước mạng lớn hơn, N = 36 và 48.
Trên Hình 3.10 chúng ta có thể thấy rõ dạng đỉnh kép của phân bố năng
lượng. Hiện tượng chuyển pha loại I càng thấy rõ hơn khi kích thước của hệ
tăng lên N = 48 (xem Hình 3.11). Theo lý thuyết chuyển pha, đối với chuyển
pha loại I thì khoảng cách giữa hai đỉnh (latent heat) và độ lõm giữa hai đỉnh
tăng lên khi kích thước của hệ tăng. Để so sánh độ rộng và độ lõm giữa hai
đỉnh, chúng ta vẽ gộp các hàm phân bố năng lượng cho cả 3 giá trị kích thước
mạng N = 24, 36, 48 trên Hình 3.12.
53
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
Hình 3.10 Hàm phân bố năng lượng tương ứng với kích thước mạng N = 36 tại nhiệt
độ T = 0.67967.
Hình 3.11 Hàm phân bố năng lượng tương ứng với kích thước mạng N = 48 tại nhiệt
độ T = 0.679197.
54
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
Hình 3.12 Phân bố năng lượng của hệ được xác định tại các điểm nhiệt độ tới hạn
T = 0.6808, T = 0.67967 và T = 0.67919 tương ứng với các kích thước mạng N = 24,
36 và 48.
3.3 Mô hình frustration hoàn toàn trong hệ mạng lập phương đơn giản với
spin Heisenberg
3.3.1 Mô hình
Trên thực tế thì loại của chuyển pha không chỉ phụ thuộc vào cấu trúc
mạng, kiểu tương tác giữa các spin mà còn phụ thuộc vào cả vào loại của spin
(Ising, XY hay Heisenberg). Như đã được trình bày trong phần trước, chúng
ta đã có thể khẳng định được rằng chuyển pha của hệ frustration hoàn toàn đối
với spin XY là chuyển pha loại I. Một câu hỏi đặt ra là liệu mô hình spin
Heisenberg có thể tồn tại chuyển pha loại I giống như trong mô hình spin XY
hay không? Nếu tồn tại chuyển pha loại I thì nhiệt độ tới hạn và độ lớn của hệ
là bao là bao nhiêu? Để giải đáp câu hỏi này, chúng ta tiếp tục nghiên cứu với
cùng phương pháp đã áp dụng cho mô hình XY (phương pháp Wang-
Landau), nhưng với kích thước mạng lớn hơn.
Xét Hamiltonian 441() áp dụng cho mô hình spin Heisenberg:
, 4410()
trong đó, hằng số tương tác , để cho đơn giản chúng ta chọn giá trị
của hằng số tương tác J = 1. Độ lớn của spin cũng được chọn bằng đơn vị:
. Điều kiện biên tuần hoàn được áp dụng cho cả phương x, y và z.
Trong trường hợp spin Heisenberg, trạng thái cơ bản của hệ có độ suy
biến rất cao, tất cả các cấu hình cơ bản có tính toần hoàn theo chu kỳ mạng.
Theo kết quả nghiên cứu trước đây (xem trong tài liệu tham khảo [C3.2]), với
55
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
kích thước của hệ khá lớn thì độ suy biến trạng thái cơ bản là vô hạn, chính vì
vậy mà hệ này mang đặc trưng của spin glass rất mạnh.
3.3.2 Mô phỏngMonte-Carlo và các kết quả
Để có thể tìm thấy chuyển pha loại I, thì kích thước mạng của hệ spin
Heisenberg phải lớn hơn rất nhiều so với trường hợp spin XY. Tiếp theo đây
chúng ta thực hiện mô phỏng Monte-Carlo với kích thước mạng của hệ là
N = 54, 60, 70 và 90.
Tương tự như trong phần trước, chúng ta áp dụng phương pháp Wang-
Landau với điều kiện phẳng x% = 95% và hệ số điều chỉnh ffinal ~ exp(10-8).
Do kích thước của hệ rất lớn, cho nên thời gian mô phỏng trên máy tính lâu
hơn nhiều so vơi mô hình spin XY.
Tương tự như trong trường hợp spin XY, đồ thị năng lượng và độ từ hóa
phụ thuộc vào nhiệt độ vẫn không có dấu hiệu gián đoạn, mặc dù kích thước
mạng của hệ là khá lớn N = 60 (Hình 3.13và Hình 3.14).
56
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
Hình 3.13 Năng lượng của hệ phụ thuộc vào nhiệt độ tương ứng với kích thước mạng
N = 60.
Hình 3.14 Độ từ hóa của hệ phụ thuộc vào nhiệt độ tương ứng với kích thước mạng
N = 60.
57
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
Nhìn trên Hình 3.15 và Hình 3.16, ta thấy dấu hiệu gián đoạn của đồ thị
năng lượng và độ từ hóa với kích thước mạng của hệ là N = 90. Tuy nhiên, do
độ rộng vùng gián đoạn của năng lượng và độ từ hóa là rất hẹp, cho nên
chuyển pha của hệ là chuyển pha loại I yếu.
Hình 3.15 Năng lượng của hệ phụ thuộc vào nhiệt độ tương ứng với kích thước mạng
N = 90.
Hình 3.16 Độ từ hóa của hệ phụ thuộc vào nhiệt độ tương ứng với kích thước mạng
N = 90.
58
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
Theo lý thuyết chuyển pha loại I và loại II thì giá trị cực đại của nhiệt
dung riêng và độ cảm từ phải phụ thuộc vào kích thước mạng. Nghĩa là, các
giá trị cực đại đó tăng khi kích thước mạng tăng. Dựa vào kết quả vẽ trên
Hình 3.17 và Hình 3.18 cho nhiệt dung riêng và độ cảm từ phụ thuộc vào
nhiệt độ ứng với các kích thước mạng khác nhau N = 60, 70 và 90, ta có thể
khẳng định, trong hệ này thực sự tồn tại quá trình chuyển pha.
Hình 3.17 Nhiệt dung riêng của hệ phụ thuộc vào nhiệt độ tương ứng với kích thước
mạng N = 60, 70 và 90.
Hình 3.18 Độ cảm từ của hệ phụ thuộc vào nhiệt độ tương ứng với kích thước mạng
N = 60, 70 và 90.
59
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
Hình 3.19 Phân bố năng lượng của hệ được xác định tại các điểm nhiệt độ tới hạn
T = 0.44225, T = 0.44208, T = 0.44182 và T = 0.44164 tương ứng với các kích thước
mạng N = 54, 60, 70 và 90.
Cuối cùng, để kiểm chứng cho sự tồn tại chuyển pha loại I trong hệ này,
chúng ta vẽ đồ thị trên Hình 3.19 các hàm phân bố năng lượng tương ứng với
các kích thước mạng N = 54, 60, 70 và 90 xác định tại các điểm nhiệt độ tới
hạn T = 0.44225, T = 0.44208, T = 0.44182 và T = 0.44164.
Nhìn vào giá trị của điểm nhiệt độ tới hạn trên hình vẽ, chúng ta thấy sự
sai lệch là rất bé, vào cỡ 0.01%. Do đó, rất khó có thể xác định một cách
chính xác điểm nhiệt độ chuyển pha để hàm phân bố năng lượng có đỉnh kép
với độ cao của hai đỉnh bằng nhau. Ví dụ như với kích thước mạng N = 60,
hàm phân bố năng lượng chỉ có đỉnh kép trong một khoảng nhiệt độ rất hẹp
. Chính vì khoảng nhiệt độ rất hẹp như vậy, mà chúng ta
không thể áp dụng các phương pháp Monte-Carlo thông thường, kể cả các
phương pháp biểu đồ đơn và biểu đồ kép cũng mất quá nhiều thời gian tính
toán. Ngược lại, với việc sử dụng phương pháp Wang-Landau, thông qua hàm
mật độ trạng thái, các đại lượng cần đo có thể tính như là một hàm liên tục
60
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
theo nhiệt độ một cách nhanh chóng, có nghĩa là có thể tính tại mọi điểm
nhiệt độ mà chúng ta muốn. Đây chính là ưu điểm vượt trội của phương pháp
mô phỏng Wang-Landau so với các phương pháp khác.
3.4 Kết luận
Trong chương này của luận văn, chúng ta đã sử dụng phương pháp rất
mới và có hiệu quả cao trong việc nghiên cứu hiện tượng chuyển pha loại I,
đó là phương pháp Wang-Landau.
Đối với hệ spin frustration hoàn toàn trên mạng vuông đơn giản, chúng
ta có thể khẳng định một cách chắc chắn về sự tồn tại của chuyển pha loại I.
Đối vơi spin XY, dấu hiệu của chuyển pha loại I bắt đầu xuất hiện với kích
thước mạng vào khoảng N = 36. Trong khi đó, đối với spin Heisenberg thì
chúng ta phải mô phỏng hệ với kích thước rất lớn, dấu hiệu chuyển pha loại I
chỉ xuất hiện khi N 60.
61
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
Chương 4. Kết luận
Trong khuôn khổ luận văn này, chúng tôi đã trình bày trong chương 1
khái niệm cơ bản về hệ spin frustration, một số tính chất và hiệu ứng dị
thường của hệ này. Nguyên nhân chủ yếu dẫn đến hiện tượng frustration là do
có sự cạnh tranh tương tác giữa một spin và các lân cận của nó, hoặc là do
dạng hình học đặc biệt của mạng tinh thể. Đối với màng mỏng từ thì hiệu ứng
bề mặt trở nên quan trọng, đôi khi nó dẫn đến những loại chuyển pha mới.
Trong trường hợp hệ màng mỏng với các spin frustration thì độ từ hóa bề mặt
lại lớn hơn so với các lớp bên trong. Chú ý là chỉ có các tương tác phản sắt từ
mới gây nên hiện tượng frustration.
Chương 2 của luận văn trình bày những phương pháp mô phỏng Monte-
Carlo mới nhất và hiệu quả nhất trong việc nghiên cứu quá trình chuyển pha
trong các hệ spin. Phần đầu là nguyên lý cơ bản của phương pháp Monte-
Carlo. Tiếp theo là phương pháp giản đồ đơn (kép) thường được ứng dụng để
tính các tỷ xích tới hạn trong trưởng hợp chuyển pha loại II. Cuối cùng
phương pháp Wang-Landau ứng dụng rất có hiệu quả trong việc nghiên cứu
các chuyển pha loại I.
Chương 3 là kết quả nghiên cứu mới trong thời gian gần đây. Bằng
phương pháp mô phỏng Wang-Landau, chúng tôi đã chứng minh được sự tồn
tại của chuyển pha loại I trong hệ spin glass trong hệ mạng vuông đơn giản,
hệ này còn được gọi là hệ frustration hoàn toàn. Hiện tượng chuyển pha loại I
không chỉ tồn tại đối với spin XY, mà nó còn tồn tại trong hệ spin Heisenberg
cho dù độ suy biến ở trạng thái cơ bản là vô hạn. Các kết quả nghiên cứu mới
này đã đưa ra kết luận cuối cùng nhằm chấm dứt quá trình tranh cãi trong suốt
40 năm qua về loại chuyển pha trong hệ spin frustration hoàn toàn.
62
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
Mục lục
Chương 1. Giới thiệu chung về hệ spin frustration...................................1
1.1 Frustration.......................................................................................1
1.2 Hiệu ứng của frustration..................................................................4
1.3 Từ tính bề mặt.................................................................................8
1.3.1 Giới thiệu chung.......................................................................8
1.3.2 Hình học bề mặt và tương tác bề mặt.......................................9
1.3.3 Sự kích thích bề mặt cơ bản, sóng spin bề mặt......................10
1.3.4 Một ví dụ: phim sắt từ mỏng..................................................11
1.3.5 Chuyển pha bề mặt.................................................................13
1.4 Nghiên cứu thực nghiệm...............................................................14
1.4.1 Liên kết trao đổi trong các hệ từ đa lớp.................................14
1.4.2 Tính bất đẳng hướng từ của hệ phim siêu mỏng....................15
1.5 Kết luận.........................................................................................17
Chương 2. Nguyên lý của phương pháp Monte-Carlo............................18
2.1 Nguyên tắc lý thuyết cơ bản của phương pháp Monte-Carlo.......20
2.1.1 Mô hình..................................................................................20
2.1.2 Phép thử đơn giản...................................................................22
2.1.3 Trung bình nhiệt bằng phương pháp phép thử đơn giản........24
2.1.4 Phép thử quan trọng...............................................................25
2.1.5 Số đo nhiệt độ TN...................................................................28
2.1.6 Tỷ xích kích thước hữu hạn...................................................29
2.2 Phương pháp biểu đồ (Histogram)................................................31
2.2.1 Phương pháp biểu đồ đơn.......................................................31
63
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
2.2.2 Phương pháp biểu đồ kép.......................................................34
2.3 Phương pháp Wang-Landau..........................................................38
2.4 Kết luận.........................................................................................41
Chương 3. Quá trình chuyển pha trong hệ spin glass.............................42
3.1 Giới thiệu chung............................................................................42
3.2 Mô hình frustration hoàn toàn trong hệ mạng lập phương đơn giản
với spin XY.................................................................................45
3.2.1 Mô hình..................................................................................45
3.2.2 Mô phỏngMonte-Carlo và các kết quả...................................47
3.3 Mô hình frustration hoàn toàn trong hệ mạng lập phương đơn giản
với spin Heisenberg.....................................................................52
3.3.1 Mô hình..................................................................................52
3.3.2 Mô phỏngMonte-Carlo và các kết quả...................................53
3.4 Kết luận.........................................................................................58
Chương 4. Kết luận.................................................................................59
Mục lục....................................................................................................60
Tài liệu tham khảo...................................................................................62
64
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN
Tài liệu tham khảo
[1].
- TLTK mục 3 chương II
[C2.3.1] F. Wang and D. P. Landau, Phys. Rev. Lett. 86, 2050 (2001); Phys. Rev. E 64, 056101 (2001).
- TLTK chương III
C3.1 P. Lallemand, H. T. Diep, A. Ghazali, and G. Toulouse, J. Phys. (France) Lett. 46, 1087 (1985).
C3.2 H. T. Diep, A. Ghazali, and P. Lallemand, J. Phys. C 18, 5881
(1985).
65
top related