giới thiệu chung về hệ spin frustrationnvthanh/thesis/tuan/thesis_tuan.docx · web...

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHU ANH TUẤN

Chương 1. Giới thiệu chung về hệ spin frustration

Chương này sẽ giới thiệu một cách tổng quan về hệ spin frustration, trình

bày một số tính chất cơ bản về hệ spin này nhằm giúp độc giả có thể làm quen

với đối tượng sẽ được nghiên cứu. Ngoài ra, một số dữ liệu thực nghiệm liên

quan đến hệ spin frustraion sẽ được trình bày ở phần cuối của chương.

1.1 Frustration

Xét hai spin Si và Sj với hằng số tương tác J. Năng lượng tương tác là

. Nếu J là dương (tương tác sắt từ) thì năng lượng nhỏ nhất là

−J tương ứng với cấu hình mà trong đó Si là song song với Sj. Nếu J là âm

(tương tác phản sắt từ) thì năng lượng tối thiểu tương ứng với cấu hình mà Si

đối song với Sj. Dễ dàng nhận thấy rằng trong một hệ spin với tương tác sắt từ

lân cận gần nhất (NN), trạng thái cơ bản (GS) của hệ tương ứng với cấu hình

mà tất cả các spin song song với nhau: sự tương tác của mỗi cặp spin hoàn

toàn được thoả mãn. Điều này luôn đúng cho mọi cấu trúc mạng tinh thể. Nếu

J là tương tác phản sắt từ, cấu hình spin ở trạng thái cơ bản phụ thuộc vào cấu

trúc mạng tinh thể:

i) Xét mạng không chứa các ô mạng tam giác, tức là mạng chỉ có các

cạnh song song (như mạng vuông, lập phương đơn giản, ...), cấu hình cơ bản

là cấu hình mà trong đó mỗi spin đối song với các spin lân cận của nó, tức là

mọi liên kết hoàn toàn được thoả mãn.

ii) Xét mạng tinh thể có chứa ô cơ sở hình tam giác như mạng tam giác,

mạng lập phương tâm mặt (FCC) và mạng lục giác xếp chặt (HCP), ta không

thể thiết lập được bất kỳ một cấu hình cơ bản nào mà tất cả các liên kết đều

được thoả mãn (xem Hình 1.1). Các cấu hình cơ bản không tương ứng với

năng lượng tối thiểu của mỗi cặp tương tác giữa các spin. Trong trường hợp

này, ta nói rằng hệ này là hệ “frustration”.

1


Xét một trường hợp mà hệ spin bị frustration: đây là trường hợp có sự

xung đột giữa các loại tương tác khác nhau, GS không tương ứng với cực tiểu

của từng loại tương tác. Ví dụ, xét một chuỗi spin mà sự tương tác NN J1 là

sắt từ, trong khi tương tác J2 giữa các spin lân cận gần nhất kế tiếp (NNN) là

phản sắt từ. Với điều kiện , GS là sắt từ: thì mỗi liên kết NN được

thoả mãn nhưng những tương tác NNN thì không. Tất nhiên, khi |J2| vượt quá

giá trị tới hạn nào đó thì các GS sắt từ không còn đúng nữa: cả hai liên kết

NN và NNN đều không thoả mãn.

Một cách tổng quát, chúng ta có thể nói rằng một hệ spin là frustration

khi ta không thể tìm thấy một cấu hình của spin có thể đáp ứng hoàn toàn các

tương tác (liên kết) giữa mỗi cặp spin. Nói cách khác, cực tiểu năng lượng

không tương ứng với cực tiểu của từng cặp liên kết. Trạng thái này phát sinh

khi có sự cạnh tranh giữa các loại tương tác khác nhau tác động lên một spin

bởi các spin lân cận của nó hoặc khi dạng hình học của mạng tinh thể không

cho phép thoả mãn tất cả các liên kết cùng một lúc. Với định nghĩa này, chuỗi

tương tác NN sắt từ và tương tác phản sắt từ NNN vừa trình bày ở trên chính

là hệ frustration, ngay cả trong trường hợp cấu hình spin sắt từ ở trạng thái cơ

bản ( ).

Hệ frustration lần đầu tiên được nghiên cứu trong những năm 1950 là

mạng tam giác với spin Ising tương tác với nhau thông qua một tương tác NN

phản sắt từ [50, 51]. Đối với spin vector, cấu hình spin không đồng tuyến có

sự cạnh tranh tương tác được phát hiện lần đầu vào năm 1959 một cách độc

lập bởi Yoshimori [12], Villain [96] và Kaplan [33, 168, 169]. Hệ spin

frustration đã được mở rộng nghiên cứu trong 35 năm qua sau khởi đầu từ các

nghiên cứu của Villain [97] và Toulouse [56], lúc đó khái niệm “frustration”

lần đầu tiên đã được đưa ra. Xét một ô nguyên tố của mạng tinh thể, ô nguyên

tố này là một đa giác được hình thành bởi các mặt cắt gọi là các "plaquette".

2

??


Ví dụ, Ô cơ sở của các mạng tinh thể lập phương đơn giản là một khối lập

phương với sáu plaquette vuông, ô cơ sở của các mạng tinh thể FCC là một tứ

diện hình thành bởi bốn tam giác đều. Giả sử Ji,j là tương tác giữa hai spin NN

trên plaquette này, theo định nghĩa của Toulouse thì plaquette này là

frustration nếu các tham số P dưới đây là âm

[Beginning of the document]101[Automatic section break]

111()

trong công thức trên, phép lấy tích được lấy trên tất cả các tương tác Ji,j xung

quanh plaquette này. Hình1.1 là hai ví dụ về plaquette frustration: một hình

tam giác với ba liên kết phản sắt từ, một hình vuông với ba liên kết sắt từ và

một liên kết phản sắt từ. Trong cả hai trường hợp, P đều bé hơn 0. Ta thấy là

nếu đặt các spin Ising vào những plaquette này, thì có ít nhất một liên kết

trong plaquette sẽ không được thoả mãn. Đối với spin vector, chúng ta thấy

rằng ở trạng thái năng lượng thấp nhất, mỗi loại liên kết chỉ được phép thoả

mãn một phần.

Hình 1.1 Ví dụ plaquette chứa các spin bị frustration: đoạn thẳng đơn thể hiện tương

tác sắt từ J và đoạn thẳng kép thể hiện tương tác phản sắt từ , các spin Ising ↑ và ↓

bởi các vòng tròn đặc và rỗng. Dấu ”?” thể hiện sự bất định về trạng thái của spin,

nghĩa là cả hai trạng thái ↑ và ↓ của spin đều làm cho một trong số các liên kết của nó

với các nút mạng lân cận không được thoả mãn (liên kết frustration).

Ta thấy rằng trong plaquette hình tam giác độ suy biến là ba, và độ suy

biến là bốn đối với plaquette vuông. Ngoài ra, độ suy biến liên quan đến sự

3


quay của tất cả các spin. Vì vậy, độ suy biến là vô hạn đối với mạng tạo bởi

vô số các plaquette đó, nó trái ngược với trường hợp không bị frustration.

Chúng ta lưu ý rằng mặc dù trong những phần đã được trình bày ở trên,

người ta đã sử dụng biểu thức cho năng lượng tương tác giữa hai spin có dạng

, nhưng khái niệm frustration còn có thể được sử dụng một

loại tương tác khác, đó là tương tác Dzyaloshinski-Moriya .

Một hệ spin frustration khi mà cực tiểu năng lượng của hệ không tương ứng

với cực tiểu của tất cả các tương tác cục bộ dưới mọi hình thức tương tác.

Chúng ta lưu ý rằng định nghĩa về frustration này tổng quát hơn so với định

nghĩa sử dụng phương trình (1.1).

Trong phần sau, chúng ta sẽ trình bày các GS của hệ spin XY và

Heisenberg.

1.2 Hiệu ứng của frustration

Hiệu ứng frustration rất phong phú và có những tính chất dị thường. Cho

đến nay, nhiều tính chất của chúng vẫn chưa được nghiên cứu.

Trên thực tế, vật liệu từ thường bị frustration do nhiều loại tương tác

khác nhau, hệ spin frustration có đặc điểm riêng quan trọng trong cơ học

thống kê. Có khá nhiều phương pháp thống kê được xây dựng, tuy nhiên

những lý thuyết đó đã gặp không ít khó khăn khi áp dụng cho hệ frustration.

Trong một số trường hợp hệ frustration, phương pháp mô phỏng là một sự lựa

chọn tuyệt vời cho việc kiểm chứng các phép tính gần đúng và để hoàn thiện

cho các mô hình lý thuyết.

Cơ chế của nhiều hiện tượng vẫn chưa được hiểu rõ trong các hệ thực

(các hệ mất trật tự, các hệ tương tác tầm xa, hệ 3 chiều...). Cũng may là mô

hình lý thuyết cho hệ spin Ising 2 chiều có thể giải một cách chính xác cho

trưởng hợp tổng quát. Kết quả chính xác này giúp chúng ta có thể xác định

4


một cách định tính về các thuộc tính của hệ thực mà trên thực tế thì nó phức

tạp hơn rất nhiều.

Hiện nay, có rất ít hệ có thể giải được chính xác, và cũng chỉ dừng lại ở

giới hạn một hoặc hai chiều. Một vài hệ đã biết cho thấy rõ những tính chất

khác thường ví dụ như mạng vuông tâm khối và các mạng tạo ra từ nó, mạng

Kagomé [108], mạng tổ ong tâm khối bất đẳng hướng, và một vài mạng

vuông tâm loãng tuần hoàn. Mô hình cụm phức tạp và riêng với trường hợp 3

chiều đã được giải quyết. Biểu đồ pha trong mô hình frustration thể hiện

nhiều thuộc tính phong phú. Ta đề cập đến một số hệ quả đáng chú ý của

hiệu ứng frustration. Độ suy biến của trạng thái cơ bản là rất cao và thường là

vô hạn. Ở nhiệt độ hữu hạn, độ suy biến trong một số hệ bị giảm, sự thăng

giáng nhiệt động tiến tới trạng thái có entropy là lớn nhất. Hiện tượng này gọi

là “trật tự bởi mất trật tự”. Trong trường hợp của spin véctơ, sự thăng giáng

lượng tử và thăng giáng nhiệt động có thể hình thành cấu hình spin đặc biệt.

Một hiện tượng đáng chú ý khác đó là hiện tượng cả hai pha trật tự và mất trật

tự cùng tồn tại của ở trạng thái cân bằng: một số spin trong hệ mất trật tự ở

mọi nhiệt độ cho dù chúng ở trong pha trật tự. Frustration cũng là nguồn gốc

của hiện tượng tạo góc (reentrance). Một pha reentrant có thể được xem như

một pha mất trật tự tầm xa hoặc hoàn toàn không trật tự, pha này xuất hiện

trong vùng phía dưới pha trật tự trên thang nhiệt độ. Hơn nữa, frustration

cũng có thể tạo nên các đường mất trật tự trong biểu đồ pha của nhiều hệ.

Trong nhiều mô hình spin khác với mô hình Ising, thuộc tính của các hệ

frustration vẫn chưa được hiểu rõ. Có nhiều công trình gần đây nghiên cứu hệ

spin lượng tử frustration, các hệ spin XY và Heisenberg frustration, mô hình

Potts frustration,... Nhiều công trình thực nghiệm cũng đã thực hiện đối với

các vật liệu frustration (xem tài liệu tham khảo [63]).

Chúng ta sẽ đề cập đến một số chủ đề đang được tranh luận gần đây:

5


Bản chất về chuyển pha trong hệ frustration với các spin véc tơ (N-thành

phần).

Khi mà không thể tìm được lời giải chính xác, người ta thường sử dụng

các phương pháp tính gần đúng và các phương pháp mô phỏng số để xác

định bản chất chuyển pha xảy ra trong các hệ này. Hầu hết mô phỏng số

đã được thực hiện khá nhiều trên các hệ có số chiều d = 2 và d = 3 với

N=2 (XY) và N = 3(Heisenberg). Người ta có thể tổng kết lại những vấn

đề đã được nghiên cứu hiện nay dựa trên những mô phỏng này. Người ta

đã tìm thấy các thông số luỹ thừa tới hạn (critical exponent) mà chúng

không tuân theo những quy luật thông thường. Một ví dụ điển hình đó là

mạng tam giác xếp 3 chiều (d = 3) với các spin Heisenberg: một số nhóm

nghiên cứu đã tìm thấy , ,

[26]. Kết quả này khác xa so với kết quả tìm được trong

thực nghiệm (ví dụ đối với vật liệu VCl2 thì

[68] và với VBr2 thì

[99]).

Hầu hết các nghiên cứu lý thuyết đều sử dụng lý thuyết nhóm tái chuẩn

hoá. Trong trường hợp ba chiều, với N = 2 và N = 3 dự đoán về một quy

luật mới được đưa ra bởi H. Kawamura dựa vào phép khai triển một

vòng = 4 – d. Dự đoán này đã và đang được tranh luận trong

suốt hai thập niên vừa qua. Một cách tiếp cận khác là sử dụng phép khai

triển = 4 + d trong một mô hình phi tuyến sigma [63] và phép khai

triển 3 vòng = 4 – d [163] đã mở ra những viễn cảnh mới. Tuy nhiên,

những kết quả đó lại mâu thuẫn với các kết quả thu được bằng phương

pháp mô phỏng số. Mới đây, một số nghiên cứu sử dụng phương pháp

không nhiễu loạn cho thấy rằng với N = 3 có sự tồn tại số chiều tới hạn

dc = 2.87, với số chiều lớn hơn số chiều tới hạn đó thì chuyển pha là

6


chuyển pha loại I [115]. Phát hiện này cho thấy rằng với d = 3 (rất gần

với dc), thì sẽ tồn tại chuyển pha loại I yếu. Các luỹ thừa tới hạn tìm thấy

bằng mô phỏng Montre Carlo có thể giải thích bằng lý thuyết như là luỹ

thừa tới hạn hiệu dụng của chuyển pha loại I yếu.

Sự thăng giáng lượng tử của hệ frustration thấp chiều: Chúng ta đã biết

rằng, theo lý thuyết sóng spin thì tương tác phản sắt từ là nguyên nhân

của thăng giáng lượng tử ở nhiệt độ thấp (thậm chí tại T = 0) trong hệ

spin không bị frustration. Trong hệ frustration, người ta suy đoán rằng sự

thăng giáng đó trở nên mạnh hơn, đặc biệt là trong trường hợp thấp

chiều. Với d = 1 một số hệ trở nên mất trật tự kể cả tại nhiệt độ T = 0, sự

co spin về điểm 0 mạnh đến mức trật tự tầm xa không thể tồn tại. Một

câu hỏi đặt ra đó là liệu có thể tồn tại hay không tồn tại pha trật tự tại

nhiệt độ T = 0 trong hệ 2 chiều d = 2, câu hỏi đó đã trở thành một chủ đề

nóng bỏng cho các nghiên cứu gần đây.

Một câu hỏi mở đó là ngoài mô hình spin Ising, pha reentrance có thể

xuất hiện trong các mô hình spin khác hay không?

Ngoài mô hình spin Ising, liệu pha trật tự và pha mất trật tự có thể luôn

luôn cùng tồn tại trong các hệ spin hay không? Một số nghiên cứu gần

đây đã đưa ra câu trả lời khẳng định cho câu hỏi này [157].

Trật tự bởi mất trật tự:

Trật tự bởi mất trật tự là một khái niệm rất thú vị [17], người ta đưa ra

giả thuyết rằng trong số các trạng thái GS suy biến, hệ chọn một trạng

thái GS mà nó có số trạng thái kích thích lớn nhất ở vùng năng lượng

thấp. Hay nói cách khác, hệ chọn trạng thái có Entropy lớn nhất. Độ trật

tự được thiết lập trên thông số Entropy (mất trật tự). Giả truyết này đã

được kiểm chứng trong một số hệ frustration. Chú ý là việc lựa chọn

7


theo Entropy này cũng được áp dụng cho hệ lượng tử tại T = 0, ở đó dao

động lượng tử thay thế cho dao động nhiệt.

1.3 Từ tính bề mặt

Phần này sẽ trình bày một số khái niệm cơ bản với một số định nghĩa cần

thiết để có thể hiểu được những hiệu ứng bề mặt khác nhau, đặc biệt là trong

các domain từ mà nó được ứng dụng rộng rãi trong thực tế.

1.3.1 Giới thiệu chung

Đặc tính của một vật liệu trải qua sự thay đổi lớn khi kích thước của nó

trở nên vô cùng bé (khoảng cỡ nano-met) như là phim siêu mỏng (chỉ chứa

một vài lớp nguyên tử) và hạt siêu nhỏ (chứa một vài nguyên tử cho đến vài

trăm nguyên tử). Những vi hệ này trở thành đề tài được quan tâm nghiên cứu

trong suốt bốn thập niên vừa qua. Công nghệ sử dụng các vật liệu có kích

thước bé cỡ nano-met gọi là “công nghệ nano”.

Trên phương diện thực nghiệm, có nhiều phương pháp mới nghiên cứu

hiệu ứng bề mặt (ví dụ như trong công trình nghiên cứu của Zangwill [11] và

Heindrich [80]). Có rất nhiều hiệu ứng đặc biệt đã được tìm thấy và ứng dụng.

Đặc biệt là lý thuyết về phim từ đơn lớp và đa lớp đã trở nên đề tài được quan

tâm nghiên cứu trong hai mươi năm vừa qua [80]. Những quan tâm nghiên

cứu này một mặt là do những ứng dụng to lớn đáng ghi nhận của nó, mặt khác

nó cũng chính là đối tượng của nghiên cứu cơ bản nhằm tìm hiểu rõ hơn cơ

chế vật lý của các hệ có kích thước bé, và tìm hiểu sự khác nhau so với các hệ

khối. Một đặc điểm quan trọng của hệ đa lớp đó là hình dạng của đường từ trễ

dưới tác dụng của từ trường. Một đặc tính thú vị khác của hệ đa lớp tạo bởi

các phim từ siêu mỏng đó là tính bất đẳng hướng từ vuông góc. Đặc biệt,

người ta đã quan sát thấy rằng độ từ hoá của phim từ vuông góc với bề mặt

phim ở nhiệt độ thấp có thể chuyển sang cấu hình song song ở nhiệt độ T

8


trung gian trước khi trở nên mất trật tự ở nhiệt độ cao hơn. Sự “định hướng lại

của độ từ hoá” đã được chứng minh là do sự cạnh tranh giữa tính bất bẳng

hướng vuông góc và tương tác lưỡng cực tầm xa.

Trên phương diện lý thuyết, cũng đã có rất nhiều đóng góp nỗ lực trong

việc nghiên cứu về vật lý bề mặt. Những lý thuyết và những phương pháp tính

gần đúng mới được đề xuất để giải thích các kết quả thực nghiệm và dự đoán

những hiện tượng mới [101]. Đặc biệt là đối với các hệ phim từ, người ta đã

phát hiện ra từ khá lâu kiểu bề mặt định xứ tại vùng năng lượng thấp đóng

một vai trò quyết định cho những tính chất nhiệt động của các hệ phim mỏng

tại nhiệt độ thấp. Một trong những hiệu ứng của kiểu bề mặt này là độ từ hóa

bề mặt thấp hơn so với bên trong khối [60]. Tính chất này cũng tìm thấy khi

nghiên cứu các hệ này bằng các phương pháp tính giải tích cũng như phương

pháp tính số.

Do dạng hình học của các hệ có kích thước bé (chấm, phim mỏng,...) và

trạng thái bề mặt là rất phức tạp, không thể giải quyết bằng các phương pháp

tính giải tích. Mà cần phải sử dụng phương pháp mô phỏng số để nghiên cứu

đặc tính nhiệt động của các hệ này.

1.3.2 Hình học bề mặt và tương tác bề mặt

Do sự tồn tại bề mặt mà một số thay đổi khác nhau có thể được quan sát

Bề mặt sạch: đây là trường hợp mà ở đó không có sự thay đổi cấu trúc

mạng ở lớp bề mặt.

Bề mặt mất trật tự: có các bậc, các đảo, các khoảng trống...

Bề mặt có chứa các loại nguyên tử khác nhau như nguyên tử tạp, các

nguyên tử hấp thụ hoá học, các nguyên tử hấp thụ bề mặt...

Sự thay đổi của các thông số tương tác: mật độ trạng thái bề mặt (cấu

trúc vùng điện tử), mô men từ bề mặt, sự bất đẳng hướng bề mặt (độ

lớn, dấu, sự định hướng), tương tác trao đổi bề mặt...

9


Sự tái thiết lập bề mặt trong cấu trúc tính thể: sự co giãn của hằng số

mạng, cấu trúc từ (cấu hình spin có thể là không đồng tuyến ở gần bề

mặt).

Trong việc nghiên cứu các hệ phim mỏng, chúng ta cần phải để ý đến

những khác biệt vừa trình bày ở trên. Hiển nhiên là vấn đề càng trở nên khó

giải quyết khi mà có nhiều tham số cùng đóng góp vào trong quá trình.

1.3.3 Sự kích thích bề mặt cơ bản, sóng spin bề mặt

Chúng ta thấy là sóng spin (SW) phía dưới bề mặt có ảnh hưởng rất lớn

đến tính chất từ của phim mỏng[60].

Để có mô hình SW bề mặt lý tưởng, ta xét hệ phim sắt từ mỏng tạo bởi

NT lớp. Bề mặt tương ứng với chỉ số n = 1 và lớp cuối (bề mặt đáy) với n=NT.

Trục Oz vuông góc với bề mặt phim.

Ở các vật liệu khối, SW có biên độ không đổi trong không gian. Trong

các phim mỏng, có thể tồn tại trạng thái bề mặt tương ứng với trường hợp

biên độ SW giảm từ bề mặt vào bên trong (xem Hình 1.2).

Có thể biểu diễn biên độ của trạng thái bề mặt bằng hàm

ở đây n là chỉ số của các lớp và là vị trí của nút mạng nằm dọc

theo lớp thứ n, các thành phần của nó theo trục Oz là z = na, a là khoảng cách

giữa hai lớp kế tiếp hướng theo trục z. Trạng thái bề mặt tương ứng một véc

tơ sóng phức k = k1 + ik2. Biên độ của nó giảm trong quá trình

truyền vào các lớp trong (n tăng).

Dễ dàng tính được phổ sóng spin cho các tinh thể bán vô hạn hoặc phim

mỏng. Đầu tiên, sử dụng phép tính gần đúng bao gồm việc viết phương trình

chuyển động cho các toán tử S+ và S− cho spin ở bề mặt và cho các spin ở các

lớp phía dưới để thu được một hệ các cặp phương trình. Tiếp theo, sử dụng

10


phép biến đổi Fourier cho các cặp phương trình này. Sau khi giải ra, ta thu

được tần số và biên độ của sóng spin.

Các mốt bề mặt định xứ nằm ngoài vùng sóng spin liên tục phía trong

khối và biên độ của sóng spin này bị giảm nhanh từ bề mặt vào bên như đã

nói ở trên. Thông thường, tần số mốt bề mặt phụ thuộc vào tương tác trao đổi

bề mặt, sự bất đẳng hướng bề mặt và các mô men bề mặt.

Hình 1.2 Trạng thái sóng spin tại bề mặt (phía trên) và bên trong khối (phía dưới).

1.3.4 Một ví dụ: phim sắt từ mỏng

Chúng ta trình bày một ví dụ dưới đây mà trong đó mốt bề mặt có ảnh

hưởng đến các tính chất nhiệt động của phim sắt từ mỏng(TFF), thậm chí cả

trường hợp bề mặt sạch không sự thay đổi về các thông số bề mặt. Những

hiệu ứng đáng chú ý đó là độ từ hoá bề mặt là bé nhất so với độ từ hoá của

các lớp bên trong. Một hiệu ứng khác là nhiệt độ tới hạn bề mặt thấp hơn so

với bên trong khối. Hơn nữa, nó còn phụ thuộc vào bề dày của phim.

Xét một TFF chứa NT lớp với các spin Heisenberg. Hamilton có dạng

11


112()

ở đây Jij > 0 và Dij > 0 là hệ số bất đẳng hướng. Khi Dij rất lớn so với Jij, thì

spin thể hiện như là spin Ising. Hệ số 2 được đưa vào chỉ có ý nghĩa lịch sử

mà thôi. Sử dụng phương pháp hàm Green (GF), chúng ta thu được phổ sóng

spin và độ từ hóa cho từng lớp mạng phụ thuộc vào nhiệt độ. Chú ý là, khác

với lý thuyết sóng spin (Holstein-Primakoff theory), phương pháp GF cho

phép chúng ta tính toán gần đến điểm nhiệt độ tới hạn.

Phổ spin sóng

Hình 1.3 Phổ sóng spin của

phim sắt từ SC là hàm của số sóng

với NT= 8 và D/J= 0,01.

Hình 1.4 Phổ sóng spin của

phim sắt từ BCC là hàm của số sóng

với NT= 8 và D/J= 0,01.

Các nhánh bề mặt được ký hiệu bởi MS.

Trên Hình 1.3 và Hình 1.4 là phổ SW của TFF mạng lập phương đơn

giản (SC) và lập phương tâm khối (BCC) để so sánh, với tổng số lớp NT = 8.

Giả thiết rằng mọi tương tác đều là J. Hệ số bất đẳng hướng là như nhau và

bằng 0,01J. Ta thấy là phim SC không có nhánh bề mặt trong khi phim BCC

12


có 2 nhánh. Mỗi nhánh tương ứng với một bề mặt. Nếu độ dày của phim khá

lớn thì hai nhánh này sẽ trở thành suy biến.

Độ từ hóa từng lớp

Hình 1.5 cho thấy kết quả thu được cho độ từ hóa của hai lớp đầu tiên

với NT = 4, đối với mạng SC (hình a) và BCC (hình b). Quan sát cho thấy từ

hóa bề mặt nhỏ hơn so với lớp thứ 2. Sự khác biệt này thấy rất rõ trong trường

hợp mạng BCC bởi vì có sự tồn tại của các nhánh bề mặt. Người ta cũng quan

sát thấy trong cả hai trường hợp SC và BCC, nhiệt độ tới hạn Tc tại bề mặt

thấp hơn nhiều so với lớp bên trong khối. Hơn nữa, nhiệt độ tới hạn Tc giảm

mạnh hơn trong trường hợp mạng SC nguyên nhân là do mốt bề mặt.

Hình 1.5 Phim sắt từ SC (a) và BCC (b). Độ từ hóa cho từng lớp là hàm của nhiệt độ

T với NT = 4, D = 0,01J và J = 1. Đường cong phía dưới (trên) tương ứng với chỉ số

lớp n = 1(2).

1.3.5 Chuyển pha bề mặt

Sự chuyển pha bề mặt có thể nghiên cứu bằng nhiều phương pháp tính

số, khai triển tại vùng nhiệt độ thấp hoặc cao, ví dụ như lý thuyết nhóm tái

chuẩn hoá [76]. Nói tóm lại, do sự khác nhau của thông số tương tác giữa bề

mặt và bên trong khối, các spin trên bề mặt trở nên mất trật tự tại nhiệt độ

thấp hơn so với những spin bên trong.

13


1.4 Nghiên cứu thực nghiệm

Có rất nhiều dữ liệu thực nghiệm quan trọng đối với các hệ có cấu trúc

từ siêu mỏng thu được bằng nhiều kỹ thuật khác nhau.

Trong phần này chúng ta sẽ trình bày một số kết quả thực nghiệm cho

các phim từ mỏng và các hệ từ đa lớp.

1.4.1 Liên kết trao đổi trong các hệ từ đa lớp

Liên kết trao đổi phản sắt từ có thể xảy ra giữa hai hoặc nhiều phim sắt

từ siêu mỏng (ví dụ Fe) phân cách bởi một lớp không có từ tính (ví dụ Cr) nếu

như bề dày của lớp phân cách được chọn một cách hợp lý. Cơ chế của hiện

tượng này là do tương tác gây ra từ tương tác Rudermann-Kittel-Kasuya-

Yosida (RKKY) giữa các phim sắt từ. Sự thăng giáng của tương tác RKKY

phụ thuộc vào khoảng cách và đã được quan sát rõ bằng thực nghiệm ở nhiều

hệ như: Fe/Cr/Fe, Fe/Cu/Fe, Co/Cu/Co,…[190]. Liên kết phản sắt từ này làm

nảy sinh hiện tượng gọi là siêu kháng từ. Hiệu ứng này đã được ứng dụng

rộng rãi trong việc chế tạo sensor từ có khả năng ghi nhớ mật độ cao [191].

Mặc dù đã có một số lượng lớn số liệu thực nghiệm về hiện tượng

này[190] và nhiều lý thuyết nghiên cứu về nguồn gốc của liên kết RKKY

[190], nhưng lại không có những nghiên cứu bằng lý thuyết cũng như thực

nghiệm về bản chất của hiện tượng chuyển pha trong những hệ này. Kết quả

thực nghiệm đáng chú ý khác đó là dạng của đường cong từ trễ trong hệ đa

lớp Fe/Mo/Fe (xem Hình 1.6) [193].

14


Hình 1.6 Đường cong từ trễ của hệ 3 lớp Fe(14ML)/Mo/Fe(14ML) hình thành trên

Mo(1 0 0). Giá trị trung bình của bề dày của lớp phân cách đã được chỉ ra. Các vòng

biểu diễn các liên kết sắt từ và phản sắt từ dọc theo lớp phân cách Mo có dạng hình

nêm. Chuyển mạch từ trường Hs được định nghĩa cho trường hợp phản sắt từ như

khoảng cách thẳng góc với đường chính từ điểm zero đến trọng tâm của vòng.

1.4.2 Tính bất đẳng hướng từ của hệ phim siêu mỏng.

Các phim từ siêu mỏng thể hiện độ bất đẳng hướng mạnh theo một trục

mà trục đó dễ vuông góc với bề mặt phim [194]. Ví dụ, ở Co/Pd có độ bất

đẳng hướng trực giao mạnh khi bề dày của lớp phân cách Co nhỏ hơn 8 lớp

mạng đơn, với Co/Ni thì nó xuất hiện khi bề dày của Co ít hơn 3 lớp đơn. Sự

thay đổi độ bất đẳng hướng từ theo bề dày phim được thể hiện ở Hình 1.7 và

Hình 1.8 (trích dẫn từ tài liệu tham khảo [196, 197]). Chú ý là kí hiệu dương

của độ bất đẳng hướng tương ứng với tính bất đẳng hướng trực giao. Những

giải thích được giới thiệu trong phần này với giả thuyết là các spin vuông góc

với bề mặt phim.

15


Hình 1.7 Mật độ bất đẳng hướng từ phụ thuộc vào bề dày của Co đo trên các lớp Co

dạng hình nêm đặt trên Pd(1 1 1) sử dụng hiệu ứng Kerr(vòng trong đặc). Các hình

vuông rỗng là kết quả đo bằng phương pháp FMR trên các mẫu riêng biệt theo bề

dày của Co đồng nhất.

Hình 1.8 Mật độ bất đẳng hướng từ phụ thuộc vào chu kỳ các đa lớp được đo trên

hợp chất Co/Ni với tỉ lệ không đổi .

16


1.5 Kết luận

Trong chương này chúng ta đã trình bày một số tính chất đáng chú ý của

hệ frustration. Trong đó, một trong những vấn đề quan trọng là độ suy biến

bậc cao của GS, reentrance, sự tồn tại đồng thời của pha trật tự và mất trật tự

ở trạng thái cân bằng, các đường mất trật tự,…Tất cả những hiệu ứng đặc biệt

này được tìm thấy bằng cách giải một cách chính xác mô hình Ising 2 chiều.

Vẫn còn nhiều câu hỏi mở trong các hệ frustration. Một trong những câu hỏi

đó là hiệu ứng frustration trong phim mỏng là gì?

Chúng ta cũng trình bày trong chương này một số khái niệm cơ bản về

hiệu ứng từ bề mặt. Lĩnh vực này đã được phát triển một cách nhanh chóng

trong suốt 40 năm gần đây do có nhiều ứng dụng rộng rãi các vật liệu phim từ

mỏng trong công nghiệp. Trong chương tiếp theo ta sẽ trình bày một số lý

thuyết về các phương pháp mô phỏng Montre Carlo ứng dụng trong việc

nghiên cứu các hệ spin từ.

17


Chương 2. Nguyên lý của phương pháp Monte-Carlo

Trong một vài thập niên gần đây phương pháp mô phỏng trên máy tính

đã được khai tâm như một cuộc cách mạng trong khoa học: sự phân chia

ngành vật lý theo cách cũ (cũng như trong các ngành hóa học, sinh học,…)

thành các lĩnh vực thực nghiệm hoặc lý thuyết không còn là cách chia duy

nhất. Mô phỏng trên máy tính đã trở thành lĩnh vực nghiên cứu vật lý thứ ba

bổ sung cho hai lĩnh vực trước kia.

Mô phỏng phỏng trên máy tính cho biết thông tin chính xác về các hệ

mô hình mà nó được mô tả một cách chính xác (ngoại trừ sai số thống kê,

nhưng về mặt nguyên lý thì ta có thể làm giảm thiểu sai số như ta mong

muốn). Trong các bài toán của vật lý thống kê, thường thì các tham số mô tả

bởi Hamiltonian đã được xác định một cách biết rõ ràng và tường tận.

Trái lại, những thông tin được đưa ra bởi lý thuyết giải tích chỉ chính xác

trong một số ít trường hợp, trong khi đó thì hầu hết các trường hợp còn lại đều

phải sử dụng các phép tính gần đúng. Ví dụ, các bài toán trong vật lý thống kê

trong không gian hình học 3 chiều chỉ có thể giải được cho trường hợp lý

tưởng như khí lý tưởng, dung dịch lý tưởng, hoặc là các cặp dao động tử điều

hoà… Với các mô hình rất đơn giản như mô hình Ising 3 chiều thì cơ học

thống kê cũng không thể giải được một cách chính xác, nó cũng chỉ giải quyết

được rất ít các mô hình với thế năng thực tương tác giữa các bậc tự do của

nguyên tử. Bởi vậy, phương pháp mô phỏng trên máy tính là một phương

pháp thích hợp để kiểm chứng độ chính xác của một số phép tính gần đúng

trong tính toán giải tích các mô hình.

Tương tự, những thông tin thu được bởi thực nghiệm hầu như vẫn chưa

được mô tả chính xác, chính vì Hamiltonian của một mẫu trong thực nghiệm

đã cho chỉ là Hamiltonian hiệu dụng cho dù là nó đã được biết chính xác. Đôi

18


khi, cho dù vẫn còn đang tranh cãi thì một số hiện tượng quan sát được trong

thực nghiệm là do bản chất nội tại của nó hoặc là do sự ảnh hưởng của các tạp

chất lạ. Chú ý là, cấu trúc hoá học của các mẫu trong thực nghiệm chỉ là gần

đúng. Đó chỉ là một vài ví dụ cho thấy rõ rằng việc so sánh giữa lý thuyết và

thực nghiệm không phải lúc nào cũng cho cùng một câu trả lời, chính vì vậy

mà mô phỏng số trở thành cầu nối giữa hai lĩnh vực đó. Hơn nữa, việc so sánh

trực tiếp giữa mô phỏng trên mô hình và thực nghiệm không bị cản trở bởi

các phép tính gần đúng thiếu chính xác, mà nó thường mắc phải trong lý

thuyết giải tích, và do đó mà nó có thể mô tả tốt hơn cho các mô hình cho dù

đó là hệ thực hay hệ lý tưởng.

Tất nhiên, đây không phải là lý do duy nhất để mô phỏng trên máy tính

trở nên hấp dẫn đến vậy. Nên chú ý là mô phỏng trên máy tính đem lại nhiều

thông tin chi tiết về các hệ mô hình, và kể cả về mặt định lượng thì người

nghiên cứu có thể tính toán bằng phương pháp mô phỏng tính khả thi trước

khi chế tạo mẫu. Ví dụ, kỹ thuật tán xạ áp dụng cho các hệ thực thường thu

được các thông tin về hàm tương quan hai hạt, nhưng lại gặp phải rất nhiều

khó khăn để có thể thu được những thông tin trực tiếp từ thực nghiệm trên các

hàm tương quan bậc 3 hoặc có bậc cao hơn. Ngược lại, về nguyên tắc thì mô

phỏng có thể dễ dàng thực hiện được với các hàm tương quan có bậc cao hơn.

Trong khi những nhà thực nghiệm có thể dễ dang thay đổi nhiệt độ và áp suất

của mẫu, nhưng lại gặp rất nhiều khó khăn trong việc đánh giá sự ảnh hưởng

của sự biến thiên thế tương tác trong nguyên tử. Trái lại, những biến thiên bất

kỳ của thế tương tác trong nguyên tử không gây khó khăn gì cho việc mô

phỏng trên máy tính. Cho đến lúc này, rõ ràng là phương pháp mô phỏng trên

máy tính có khả năng thu hút mạnh mẽ và nó là một phương pháp tiếp cận

đúng đắn trong khoa học để có thể hiểu những được những quy luật của tự

19


nhiên, tuỳ theo từng đối tượng nghiên cứu mà nó có thể hỗ trợ về mặt lý

thuyết hay thực nghiệm.

Trong chương này chúng ta sẽ giới thiệu những nguyên tắc lý thuyết cơ

bản của phương pháp Monte-Carlo [103] và ứng dụng của nó trong vật lý

thống kê, phương pháp nghiên cứu các đại lượng luỹ thừa tới hạn [1] và

phương pháp Wang-Landau.

2.1 Nguyên tắc lý thuyết cơ bản của phương pháp Monte-Carlo

Trong phần này, chúng ta giới thiệu định nghĩa cơ bản của phép thử

Monte Carlo, trình bày một vài chi tiết cách thiết lập các chương trình Monte-

Carlo, cuối cùng là thực hiện tính toán và phân tích các kết quả.

2.1.1 Mô hình

Vật lý thống kê thường giải quyết các bài toán của hệ với nhiều bậc tự

do. Vấn đề cơ bản trong vật lý thống kê là tính “trung bình” những đại lượng

vĩ mô quan sát được của hệ với giả thiết là đã biết Hamiltonian của nó. Ví dụ,

xét một hệ từ có tính bất đẳng hướng sắt từ mạnh, ta có thể mô tả hệ này

giống như mô hình Ising, Hamilton của hệ gồm N spin Si được viết dưới dạng

201[Automatic section break]

221()

ở đây spin Si tại nút mạng i có thể hướng lên trên hoặc xuống dưới (up hoặc

down) dọc theo trục z, năng lượng trao đổi J trong công thức 221() giới hạn

trên các lân cận gần nhất, H là từ trường ngoài (số hạng mô tả

năng lượng Zeeman của hệ). Tuy nhiên có thể xảy ra những trường hợp khác

nhau nếu vật liệu từ có tính bất đẳng hướng trong mặt phẳng (spin chỉ nằm

trên mặt phẳng xy, đó là mô hình XY) hoặc là bất đẳng hướng hoàn toàn (đó

là mô hình Heisenberg):

20


222()

223()

Tất nhiên, nhiều loại vật liệu thực khác nhau có thể chế tạo từ thực

nghiệm tạo nên những biến thể đáng chú ý từ các mô hình này: thay cho số

lượng tử spin S = 1/2 trong công thức 221() hoặc S trong các công thức

222() và 223() chúng ta có thể nghiên cứu các số lượng tử spin một cách tổng

quát; thay vì chỉ có các tương tác trao đổi lân cận gần nhất, ta có thể đưa vào

tính toán các năng lượng trao đổi giữa các lân cận gần nhất thứ hai, thứ ba,…

thay vì tính đẳng hướng đầy đủ trong công thức 223() chúng ta có thể đưa

thêm vào số hạng bất đẳng hướng theo trục hoặc theo mặt phẳng; thay vì hằng

số tương tác không đổi J hoặc là từ trường ngoài không đổi H trong công thức

221(), ta có thể thực hiện với hằng số tương tác ngẫu nhiên Jij và từ trường

ngẫu nhiên Hi, thực hiện với mô hình có sự đông cứng trong hệ mất trật tự

nhẫu nhiên. Bởi vậy, vật liệu từ rắn cung cấp cho ta sự đa dạng lạ thường của

các mô hình Hamiltonian, các công thức từ (2.1) đến (2.3) chỉ là những ví dụ

đầu tiên, và sự phong phú của các mô hình này chỉ là một phần rất nhỏ trong

những ứng dụng rộng rãi đem lại từ vật lý chất rắn.

Nhiệm vụ của vật lý thống kê là tính các đại lượng trung bình từ mô hình

Hamiltonian , nghĩa là năng lượng trung bình E, hoặc độ từ hoá trung bình

M theo bậc tự do.

224()

21


Ở đây trung bình nhiệt của một đại lượng quan sát được bất kỳ hàm [

, …] và véc tơ x trong không gian pha biểu diễn dưới dạng ký

hiệu tập hợp các biến mô tả bậc tự do đang xét, ví dụ x = (S1, S2, …, SN) trong

công thức 221() và x = (S1, S2, …, SN) trong công thức (2.3). Hàm được

định nghĩa trong hệ thuần nhất được viết dưới dạng

225()

Có thể xem đại lượng x tương tự như một tập hợp trong “vật lý thống

kê” bởi vì hệ số Boltzmann chuẩn hoá

226()

đóng vai trò mật độ xác suất mô tả trọng số thống kê mà cấu hình x xuất hiện

ở trạng thái cân bằng nhiệt động.

Bây giờ mặc dù công thức 226() đúng là có dạng của hàm phân bố xác

suất p(x), thì chúng ta vẫn còn một vài vướng mắc: một là chúng ta không thể

khảo sát được các thông tin chi tiết (trong ví dụ trên x đóng vai trò là một tập

các biến mô tả các bậc tự do của N spin) thứ hai là trong trường hợp tổng

quát, ta không thể lấy tích phân trên không gian nhiều chiều224() và 226().

2.1.2 Phép thử đơn giản

Phương pháp Monte Carlo trong cơ học thống kê cân bằng bắt nguồn từ

ý tưởng tính gần đúng phương trình 225(), ở đây ta lấy tích phân trên tất cả

các trạng thái của x với hàm trọng số phù hợp p(x), giả thuyết là chỉ sử dụng

tập hợp các điểm ngẫu nhiên {x1, x2,…, xM} giống như đã được sử dụng trong

mẫu thống kê. Rõ ràng, nếu như ta giới hạn M thì tổng đại lượng rời rạc

22


227()

sẽ xấp xỉ bằng 225() giống như trong phương pháp tính tích phân số bằng

cách thay thế tích phân bằng tổng (cho các bậc tự do rời rạc, tương tự như bài

toán mô hình Ising, trong công thức 225() được tính như phép lấy tổng

trên 2N trạng thái tổng rời rạc x = (S1, S2, …, SN), tất nhiên là chúng ta chỉ có

thể tính được công thức 227() với một tập hợp con các trạng thái ).

Khác với cách tính thông thường để giải tích phân , ở đây f(x) là

hàm của một biến thực x, trong không gian nhiều chiều, không có gì khác biệt

nếu như ta chọn các điểm tương ứng với các điểm trên một lưới đều, hay là

chọn các điểm ngẫu nhiên .

Để tìm hiểu chi tiết hơn về vấn đề này, chúng ta xét một ví dụ với mô

hình XY định nghĩa bởi công thức 222(). Do tại mỗi điểm

i, để cho thuận tiện hơn ta viết với góc

như là một biến đặc trưng cho bậc tự do. Sau đó đơn

giản hoá thành . Bây giờ chúng ta chia thành một lưới đều mà nó

được xác định bởi với , ở đây p là số nguyên

đặc trưng cho lưới. Hiển nhiên là tổng số các điểm trong lưới là pN, số này trở

nên rất lớn với N lớn, việc lấy tích phân vẫn không thể thực hiện được cho dù

giá trị của p là rất bé. Ngoài khó khăn này ra, thậm chí nếu chúng ta có thể

tính toán được với p lớn, thì chúng ta vẫn gặp phải vấn đề là tất cả các điểm

được nằm trên bề mặt của tích phân cầu phương và hầu hết trong chúng lại

không rơi vào bên trong nó. Vì trong mọi hướng mạng trên cầu phương có p

điểm nằm trên lưới, p − 2 điểm nằm bên trong hình lập phương, tỷ số toàn

phần các điểm nằm bên trong là

23


Để lấy tích phân tốt hơn, thay vì chọn lưới dưới dạng phân bố đều, ta chọn

điểm là ngẫu nhiên bằng cách sử dụng “các số ngẫu nhiên nhân tạo” tạo ra

từ một bộ số ngẫu nhiên có sẵn trên máy tính. Việc sử dụng các số ngẫu nhiên

này được lấy tên từ trò chơi đánh bạc (Monte Carlo). Thực ra thì phương pháp

mô tả trong công thức 227() là một trong những phương pháp Monte Carlo,

nó có tên là phương pháp Monte Carlo dùng phép thử đơn giản.

2.1.3 Trung bình nhiệt bằng phương pháp phép thử đơn giản

Một câu hỏi đặt ra là làm thế nào để định nghĩa thông số nhiệt độ trong

mẫu, xét bước đi tự tránh đường (self-avoiding walk - SAW) trong không

gian 3 chiều. Trong cấu hình với n tương tác lân cận gần nhất (khác với

những cấu hình dọc theo đường biên của chuỗi) trọng số Boltzmann là tỉ lệ

với . Vì vậy chúng ta cần ghi lại đường đi số lần n trong mỗi cấu

hình để sử dụng lại trong quá trình tính toán và xây dựng một hàm phân bố

thích hợp: tính trung bình nhiệt động các đại lượng mà ta muốn nghiên cứu tại

mọi điểm nhiệt độ. Riêng với phép thử Monte Carlo, ta cần phải thiết lập

được hàm phân bố[104] , nghĩa là số các cấu hình

SAW (chuẩn hoá) sau N bước với n tương tác lân cận gần nhất, và

, số các cấu hình sau N bước với n tương tác

lân cận gần nhất trong phạm vi của một véc tơ R. Lúc đó các đại lượng trung

bình mà ta đang quan tâm có thể được viết dưới dạng:

228()

24


229()

Nhiệt dung riêng trên mỗi liên kết của chuỗi có thể tính được thông qua

hệ thức thăng giáng

2210()

để tính (chú ý phương trình 2210() dễ dàng kiểm chứng từ phương trình 228()

và biểu thức định nghĩa của C mà không mất tính tổng quát)

2211()

2.1.4 Phép thử quan trọng

Cách chọn đơn giản nhất cho hàm xác suất đó là

, sau đó ta có thể viết biểu thức tính trung bình

các đại lượng dưới dạng số học đơn giản:

2212()

Tất nhiên, vấn đề là làm sao để tìm ra một phương thức mà nó có thể

thực hiện được phép thử quan trọng trên thực tế (importance sampling).

Metropolis và đồng tác giả đã đưa ra một ý tưởng là không chọn các trạng

thái liên tiếp { } độc lập với nhau, mà tiến hành xây dựng chuỗi Markov

trong đó mỗi một trạng thái { } được xây dựng từ trạng thái trước đó { }

với xác suất chuyển trạng thái khả dĩ . Người ta chỉ ra rằng

hoàn toàn có thể chọn được xác suất chuyển trạng thái W như trong giới hạn

M để hàm phân bố các trạng thái tạo nên bởi chuỗi quá trình

Markov này tiến đến phân bố cân bằng như mong muốn

25


. 2213()

Điều kiện đủ để thu được nó là sử dụng nguyên lý cân bằng chi tiết

2214()

Phương trình 2214() ngụ ý là tỉ số xác suất chuyển trạng thái cho mỗi dịch

chuyển từ và chuyển ngược lại chỉ phụ thuộc vào sự thay

đổi năng lượng ,

2215()

Rõ ràng phương trình 2215() không định rõ xác suất chuyển trạng thái

là duy nhất, ta có thể chọn W một cách tuỳ ý. Có hai cách chọn

xác xuất chuyển trạng thái thường dùng là:

2216()

hoặc

2217()

là một hệ số tùy ý mà nó có thể chọn bằng 1.

Trong khi đó người ta dễ dàng kiểm chứng được rằng các biểu thức

2216() và 2217() thảo mãn các phương trình 2214() và 2215(). Nó còn cho

thấy rằng một chuỗi các trạng thái … được tạo ra với sự trợ

giúp của hai biểu thức 2216() và 2217() có đặc tính là phân bố xác suất của nó

hội tụ về xác xuất chính tắc (công thức (2.13)). Ta xét đồng

thời một số lượng lớn các hệ giống như các chuỗi Markov, tại mỗi bước nào

đó của quá trình có Nr hệ ở trạng thái r, Ns hệ ở trạng thái s, v.v. và giả sử

26


rằng , sử dụng các số ngẫu nhiên, ta có thể tạo ra dịch chuyển

, như sẽ được trình bày dưới đây. Bỏ qua sự thay đổi năng lượng ,

xác suất chuyển trạng thái sẽ phải có dạng đối xứng, nghĩa là,

. Với xác suất chuyển trạng thái này

, người ta dễ dàng xây dựng được xác suất chuyển trạng thái tương ứng

với các công thức 2214() và 2215(), cụ thể là

2218()

2219()

Tổng số của các cách chuyển trạng thái từ xr đến xs tại một bước của

chuỗi Markov

2220()

trong khi tổng số các chuyển trạng thái ngược là

2221()

Tổng số các chuyển trạng thái cuối cùng trở thành

2222()

Phương trình 2222() là kết quả chính của tham số này cho thấy rằng quá trình

Markov có các đặc điểm mong muốn mà các trạng thái xuất hiện với xác suất

tỉ lệ thuận với xác suất chính tắc được đưa ra trong 2213(): Nếu

bé hơn so với tỷ số xác suất chính tắc thì chúng ta có ,

nghĩa là tỉ số tăng lên đến tỷ số xác suất chính tắc, ngược lại nếu

lớn hơn tỷ số xác suất chính tắc , lúc đó giảm

xuống đến tỷ số xác suất chính tắc. Cho giới hạn thì hàm phân bố tiến

27


đến trạng thái dừng, lúc đó có giá trị đúng bằng hàm phân bố chuẩn

2213(). Thay vì xem xét đồng thời nhiều chuỗi Markov, ta có thể cắt nhỏ

chuỗi Markov dài thành từng đoạn ngắn rồi áp dụng cùng một đối số cho từng

phần nhỏ của chuỗi.

Bây giờ ta thảo luận về một câu hỏi: việc chuyển có nghĩa gì

trong thực tế? Về nguyên tắc, có nhiều cách chọn tuỳ ý cho việc chuyển trạng

thái này miễn sao nó thoả mãn điều kiện đối xứng của ,

nghĩa là và kết quả là xác suất chuyển

trạng thái với thay đổi năng lượng phải có giá trị nằm

trong khoảng từ 0 đến 1. Bởi vậy, người ta thường thực hiện một sự dịch

chuyển chỉ với một vài bậc tự do bị thay đổi, vì nếu chúng ta thay đổi

bậc tự do một cách đồng thời, thì chúng ta mong là trong công thức

2216() hoặc 2217() có giá trị cùng bậc với , ở đây ε đặt theo đơn

vị năng lượng (như ε = J với Hamiltonian của hệ từ ở các công thức 221(),

222(), 223()). Vì nhiệt độ đang xét như trong hệ thức có bậc vào cỡ

đơn vị, những dịch chuyển sang điểm lân cận với ta có xác suất

chuyển trạng thái là vô cùng bé nếu như có sự mất mát năng lượng. Vì vậy mà

hầu hết các dịch chuyển thử không thể thực hiện được hết. Hệ cứ tiếp tục tiến

triển từ cấu hình trước đó của nó. Điều này rõ ràng là làm cho thuật toán

không thể thực hiện được trong nhiều trường hợp. Chính vì vậy, để khắc khắc

phục vấn đề này, người ta sử dụng thuật toán kết hợp gọi là thuật toán Monte-

Carlo-Langevin [13].

28


2.1.5 Số đo nhiệt độ TN

Có khá nhiều đại lượng quan sát được mà nó có các cực trị tại nhiệt độ

TN. Việc xác định chính xác nhiệt độ TN là bước đầu tiên trong việc nghiên cứu

các hiện tượng tới hạn. Ta có

độ cảm từ

2223()

nhiệt dung riêng

2224()

đạo hàm bậc nhất và bậc hai thông số trật tự theo nhiệt độ

2225()

2226()

đạo hàm bậc nhất và bậc hai logarit của thông số trật tự theo nhiệt độ

2227()

2228()

cumulant bậc 4 của năng lượng

2229()

cumulant bậc 4 của thông số trật tự

2230()

Đạo hàm bậc nhất cumulant bậc 4 của thông số trật tự theo nhiệt độ

29


2231()

Ứng dụng phương pháp Monte Carlo của tất cả các quan sát có thể thu

được nếu với mỗi trạng thái được lấy mẫu, các giá trị của E, O, O2 và O4 đều

được tính. Vì chỉ có duy nhất một thông số bên ngoài được xem xét đó là

nhiệt độ T, cho nên ta cần phải lưu lại các giá trị năng lượng dưới dạng biểu

đồ. Mỗi giá trị của O, O2 và O4 được lưu lại tại một giá trị năng lượng E đã

cho sau đó thì đơn giản là thực hiện phép tính tổng và tính trung bình. Với

cách tính tương tự, giá trị của các đại lượng và

cũng có thể tính được.

2.1.6 Tỷ xích kích thước hữu hạn

Các quy luật về tỷ xích kích thước hữu hạn được đưa ra bởi Fisher[122]

cho các chuyển pha liên tục hay chuyển pha loại II :

2232()

2233()

2234()

2235()

ở đây và TN là nhiệt độ chuyển pha của mạng có kích

thước L. Tại điểm chuyển pha, t = 0, ta có trường hợp đặc biệt của phương

trình 2232()-2235():

2236()

2237()

2238()

Một số hệ thức tỷ xích khác cho hệ chuyển pha loại II là

30


2239()

Mỗi một đại lượng quan sát được có nhiệt độ tới hạn khác nhau TN(L). Với L

rất lớn thì TN(L) có tỷ lệ như

2240()

Ta có thể áp dụng những biểu thức giải tích này cho các hệ có kích thước

mạng tương đối nhỏ. Tuy nhiên, ta cần phải đưa thêm vào một số hạng làm

khớp mới để tính toán sự ảnh hưởng của trường ngoài và sự phi tuyến

đối với các biến số tỷ xích. Thêm số hạng này vào, ta có

2241()

TN cho mỗi đại lượng quan sát được có giá trị khác nhau không phụ thuộc vào

CA và DA, nhưng có chung một giá trị θ .

Đối với chuyển pha không liên tục (chuyển pha loại I), các tỷ xích tuân

theo các quy luật sau:

2242()

2243()

2244()

2.2 Phương pháp biểu đồ (Histogram)

Ý tưởng sử dụng phương pháp biểu đồ để tăng lượng thông tin thu được

từ phương pháp mô phỏng Monte Carlo. Trong khoảng bốn mươi năm trở lại

đây, phương pháp này đã và đang được ứng dụng thành công để nghiên cứu

những hiện tượng tới hạn[8, 52].

2.2.1 Phương pháp biểu đồ đơn

Phương pháp Monte Carlo tiến hành ở nhiệt độ T = T0 tạo nên các cấu

hình của hệ với tần suất tỷ lệ với trọng số Boltzmann với

31


, và là Hamiltonian của hệ đang được nghiên cứu. Để đơn

giản, chúng ta xét mô hình Ising 3 chiều lân cận gần nhất với Hamiltonian:

2[Automatic section break] 2245()

Với nhiệt độ mô phỏng T0, tương ứng với hằng số liên kết , trọng số

Boltmann có thể viết lại dưới dạng , ở đây E là năng lượng của hệ.

Xác suất tìm thấy hệ với năng lượng E và độ từ hóa không thứ

nguyên có dạng

2246()

Trong đó W(E,M) là số các cấu hình (mật độ trạng thái) với năng lượng E và

độ từ hóa M, và Z(K0) là hàm chia của hệ. Bởi vì mô phỏng tạo ra các cấu

hình tương ứng với phân bố xác suất cân bằng, biểu đồ H(E, M) của E và M

giữ trong suốt quá trình mô phỏng gần đúng với hàm phân bố xác suất cân

bằng, càng trở nên chính xác nếu số lần mô phỏng tiến đến vô hạn. Với một

mô phỏng có thời gian hữu hạn, biểu đồ sẽ có sai số thống kê, nhưng đại

lượng H(E,M)/N, với N là số lần đo đã được thực hiện, vẫn chính xác đối với

xác suất trên khoảng giá trị của E và M được tạo ra trong suốt quá

trình mô phỏng. Từ đó ta có thể viết lại phương trình phương trình 2246() như

sau:

2247()

với là một xấp xỉ của mật độ trạng thái thực W(E,M). Từ sự giống

nhau về dạng của phương trình 2246() và 2247(), dễ dàng nhận thấy rằng nếu

như ta biết được hàm phân bố tại một giá trị nào đó của K là có thể xác định

32


các đại lượng tại các giá trị khác của K. Để thấy rõ điều này, chúng ta viết lại

hàm phân bố cho các giá trị bất kỳ của K có dạng giống như 2246()

2248()

Tiếp theo, để ý là vì chúng ta đã biết được hàm phân bố tại nhiệt độ K0, từ

biểu đồ H(E, M), chúng ta có thể viết ngược lại phương trình 2246() để xác

định

2249()

Nếu giờ ta thay W(E, M) trong 2248() bằng biểu thức cho trong

2249(), rồi lấy chuẩn hoá hàm phân bố, ta tìm được biểu thức liên hệ giữa

biểu đồ đo được tại K = K0 và hàm phân bố tại K bất kỳ.

2250()

với K = K − K0. Từ PK(E, M), giá trị trung bình của bất kỳ hàm nào của E và

M, f(E, M) có thể được tính như là hàm liên tục của K

2251()

Phương trình 2250() và 2251() được xem là các phương trình biểu đồ đơn.

Hình 2.2 biểu diễn kết quả một ví dụ của hàm phân bố xác suất cho năng

lượng trong trường hợp hệ Ising 2D, dữ liệu thu được bằng mô phỏng với

2500000 bước trên spin.

33


Hình 2.2 Hàm phân bố xác suất theo năng lượng E với kích thước mạng L= 64 đo ở

K= 0.1540.

Ưu điểm của phương pháp biểu đồ là có thể tính các đại lượng nhiệt

động như là một hàm liên tục của nhiệt độ K. Từ đó ta dễ dàng xác định được

các cực trị của chúng. Sử dụng 2251() ta cũng có thể tính được đạo hàm bậc

nhất hay các bậc cao hơn của các đại lượng nhiệt động theo nhiệt độ. Ví dụ,

đạo hàm của theo K có dạng

và đạo hàm bậc hai của nó là đơn giản

Các đạo hàm bậc cao hơn cũng có thể tính nếu cần. Khi một hàm, như

nhiệt dung riêng, đạt đến giá trị cực đại thì đạo hàm của nó theo nhiệt độ K là

bằng 0. Việc xác định các đỉnh này có thể chuyển sang việc tìm nghiệm của

một phương trình. Ví dụ, bằng việc sử dụng phương pháp Newton dưới dạng

các hàm tương quan giao nhau với năng lượng E như là hàm liên tục của K đã

34


được mô tả ở trên. Quá trình này có thể tự động tìm đỉnh của các hàm một

cách nhanh chóng với độ chính xác cao.

2.2.2 Phương pháp biểu đồ kép

Hầu hết các phương pháp mô phỏng Monte Carlo đều sử dụng thuật toán

Metropolis để tạo ra cấu hình spin mới ở một nhiệt độ cho trước. Sau đó

người ta tính toán trung bình nhiệt động của các đại lượng quan sát được.

Trong sự phát triển đáng ngạc nhiên gần đây, Ferrenberg và Swendson[8]

nhận ra là phương pháp này không sử dụng đầy đủ những dữ liệu có sẵn trong

hàm phân bố thực của trạng thái đã thử. Họ đã phát triển những biểu đồ đơn

của phương pháp Montre Carlo để tận dụng những lợi thế này nhằm thu nhận

thêm thông tin.

Khó khăn trong phương pháp biểu đồ đơn thực ra là do phân bố xác suất

năng lượng khá hẹp tại mọi nhiệt độ. Điều này đã được cải thiện bằng phương

pháp biểu đồ kép [1], cũng được đưa ra bởi Ferrenberg và Swendson[9], trong

đó dữ liệu thu được tại nhiều điểm nhiệt độ khác nhau kết hợp lại giúp cho

việc xác hàm phân bố chính xác hơn. Phương pháp biểu đồ kép cho phép xác

định chính xác hơn các đại lượng quan sát được trên khoảng rộng của nhiệt

độ.

Để nghiên cứu kỹ về phương pháp biểu đồ kép, chúng ta xét

Hamiltonian cho trường hợp tổng quát có dạng:

2252()

trong đó S() là toán tử năng lượng E hoặc là toán tử độ từ hoá M được xác

định trên cấu hình spin {i} của hệ, và K là nhiệt độ. Hàm chia của hệ có thể

được viết dưới dạng:

2253()

ở đây W(S) là hàm mật độ trạng thái.

35


Xét R lần mô phỏng bằng phương pháp Monte-Carlo. Chúng ta thực hiện

nth mô phỏng tại nhiệt độ Kn rồi lưu lại dưới dạng biểu đồ. {Nn(S)} là tổng số

các giá trị {nn}. Bây giờ chúng ta tính gần đúng hàm chia

2254()

hàm chia gần dúng này và hàm chia thực liên hệ với nhau qua biểu thức:

2255()

Ta lại có biểu thức năng lượng tự do

2256()

Hàm mật độ trạng thái liên hệ đến biểu đồ:

2257()

trong đó, fn = F(Kn) là tham số bằng năng lượng tự do tại Kn , và nó sẽ được

tính bằng phương pháp tự hợp. Chúng ta thực hiện mô phỏng trên tập hợp các

giá trị {Kn| n = 1, R}, chúng ta có thể kết hợp chúng lại thành một biểu thức

dưới dạng tổng quát cho W(S).

2258()

với

Nếu chúng ta thay thế các biểu đồ vào công thức 2258() và cực tiểu sai

số, chúng ta tìm được

2259()

Nếu chúng ta định nghĩa

36


ta thu được phương trình biểu đồ kép

2260()

ở đây

2261()

Giá trị trung bình của bất kỳ toán tử nào của S cũng có thể tính được như

là một hàm liên tục theo K:

2262()

trong đó

Giá trị của fn được tính bằng phương pháp tự hợp của hai phương trình

2260() và 2261(). Để tăng tốc độ hội tụ trong quá trình tính lặp, ta sử dụng

đạo hàm của giá trị mới fn theo giá trị cũ của nó.

Một số thuật toán xác định các số mũ tới hạn

Dưới đây chúng ta phác thảo các bước để tính các số mũ tới hạn bằng

phương pháp mô phỏng biểu đồ kép.

1. Xác định gần đúng vùng tới hạn , mô phỏng R lần quanh

nhiệt độ chuyển pha T, lưu giữ những giá trị đó vào biểu đồ H(Ti, E, L),

với L là kích thước mạng đang xét, đồng thời xác định thêm các biểu đồ

O(Ti, E, L), O2(Ti, E, L), O4(Ti, E, L).

2. Tính toán các giá trị của mỗi biểu đồ R ở mỗi kích thước mạng L. Tìm

những giá trị của quanh

điểm tới hạn T, và sử dụng những giá trị này để tính tất cả những quan

sát cho trong các phương trình 2223()-2231().

37


3. Để xác định loại chuyển pha. Nếu hàm phân bố PM(E) tại TN có đỉnh

kép, ta có thể áp dụng phương pháp của Lee và Kosterlitz hoặc phương

pháp Wang-Landau. Nếu hàm phân bố chỉ có một đỉnh và giá trị cực

tiểu của cumulant năng lượng bậc 4, tiệm cận đến hằng số

V*=2/3 khi L thì đó là chuyển pha liên tục (chuyển pha loại II), các

số mũ tới hạn có thể được xác định theo các bước theo sau:

4. Xác định từ tỷ lệ xích cho kích thước mạng hữu hạn từ giá trị cực đại

của , (phương trình 2239()). Nó được tính thông

qua phương pháp đồ thị lnL theo logarit các cực đại ln(maxima). Tương

tự xác định bằng đồ thị lnL theo lnmax.

5. Xác định tất cả các TN(L) từ các phương trình 2231()-2239() cho các đại

lượng quan sát được và vẽ đồ thị của chúng theo biến .

TN() có thể xác định bằng cách làm khớp dữ liệu theo biểu thức

và ở đây là giá trị trung bình

của B cho tất cả các đại lượng sự quan sát được.

6. Với kết quả đã tìm được của và ν và TN(), xác định từ đồ thị của

lnL theo . Sau đó ta có thể sử dụng các định luật tỷ lệ cho TTN

để kiểm tra các kết quả của và . Điều này được thực hiện bởi

phương pháp đồ thị và đối với , ở đây

. Nếu các số mũ tới hạn được chọn đúng, thì các kết

quả cho mỗi cặp đồ thị của từng kích thước mạng L sẽ nằm trên cùng

một đường thẳng.

7. Cuối cùng, tính gần đúng giá trị của thông qua các định luật

và kiểm tra các phép tính gần đúng bằng cách làm khớp dữ liệu với

phương trình 2236() sử dụng từ các hệ thức tỷ lệ.

38


2.3 Phương pháp Wang-Landau

Như chúng ta đã biết, hầu hết các thuật toán trong mô phỏng Monte-

Carlo đều được thực hiện tại một giá trị nhiệt độ xác định. Bởi vậy, các

phương pháp trước đây, hoặc là kém chính xác (phương pháp cổ điển), hoặc

là chỉ có hiệu quả cao trong việc tính các toán hiệu ứng kích thước hữu hạn

(phương pháp biểu đồ đơn và kép). Các phương pháp này được ứng dụng

rộng rãi và khá hiệu quả đối với chuyện pha loại II, nhưng lại gặp rất nhiều

khó khăn khi nghiên cứu các hệ chuyển pha loại I. Việc xác định đỉnh kép

trong hàm phân bố năng lượng cũng như xác định độ rộng latent heat giữa hai

đỉnh kép đó đòi hỏi phải thực hiện mô phỏng tại nhiệt độ rất gần điểm chuyển

pha, tức là phải tiến hành mô phỏng tại rất nhiều điểm nhiệt độ quanh điểm

chuyển pha với độ chính xác cao.

Mới đây, Wang và Landau đã đề xuất một thuật toán mới được gọi là

thuật toán biểu đồ “phẳng”, còn gọi là phương pháp Wang-Landau [C321].

Khác với các thuật toán mô phỏng Monte-Carlo trước đây, phương pháp

Wang-Landau mô phỏng trên không gian năng lượng nhằm xác định hàm mật

độ trạng thái. Từ đó, ta có thể xác định các đại lượng vật lý như là hàm liên

tục theo nhiệt độ tương tự như trong các phương pháp giản đồ đơn (kép). Tiếp

theo đây, chúng ta sẽ tìm hiểu chi tiết về thuật toán này.

Thuật toán này dựa trên quát sát thấy rằng, nếu như ta thực hiện một

bước di ngẫu nhiên trong không gian năng lượng với xác suất tỷ lệ với nghịch

đảo mật độ trạng thái , lúc đó biểu đồ phẳng được tạo ra từ phân bố

năng lượng. Quá trình này được thực hiện bằng cách điều chỉnh mật độ trạng

thái ước định theo phương pháp có hệ thống, nhằm thu được biểu đồ phẳng

trên toàn bộ vùng năng lượng cho phép và đồng thời làm cho mật độ trạng

thái hội tụ tiến dần đến giá trị đúng của nó. Ban đầu, giá trị của mật độ trạng

thái chưa được xác định, vì vậy ta có thể đặt cho tất cả các năng

39


lượng E. Sau khi đặt giá trị ban đầu cho mật độ trạng thái, ta thực hiện mô

phỏng theo bước đi ngẫu nhiên trong không gian năng lượng bằng cách lật

các spin một cách ngẫu nhiên. Trong trường hợp tổng quát, nếu như năng

lượng trước và sau khi lật spin tương ứng là E1 và E2. Xác xuất chuyển trạng

thái từ mức năng lượng E1 sang E2 có dạng:

3[Automatic section break] 2263()

Đây cũng chính là xác suất lật spin. Mỗi lần ta tìm thấy trạng thái của hệ có

năng lượng E, ta làm mới mật độ trạng thái ứng với năng lượng đó bằng cách

nhân mật độ trạng thái bởi hệ số điều chỉnh f > 1, nghĩa là

.

Hệ số điều chỉnh ban đầu được chọn khá lớn f = f0 = e1 = 2.71828. Nó cho

phép chúng ta tìm đến một cách nhanh chóng tất cả các mức năng lượng có

thể cho dù hệ ta đang xét có kích thước lớn. Chúng ta tiếp tục thực hiện các

bước ngẫu nhiên trong không gian năng lượng và điều chỉnh mật độ trạng thái

cho đến khi biểu đồ chồng chất là phẳng H(E). Lúc này, mật độ trạng thái hội

tụ đến giá trị thực tỷ lệ chính xác với . Sau đó chúng ta giảm dần hệ số

điều chỉnh theo cách , đồng thời điều chỉnh lại biểu đồ H(E) = 0.

Bước tiếp theo, ta tiếp tục mô phỏng với giá trị hệ số điều chỉnh bé hơn f1,

Tiếp tục làm như vậy cho đến khi biểu đồ lại phẳng, ta lại giảm tiếp hệ số

điều chỉnh . Rõ ràng là số bước Monte-Carlo càng ngày càng lớn

khi ta giảm hệ số điều chỉnh. Quá trình mô phỏng sẽ kết thúc khi hệ số điều

chỉnh bé hơn một giá trị cuối cùng cho trước nào đó (ví dụ: ffinal = exp(10-8) ~

1.000 000 01). Rõ ràng là hệ số điều chỉnh f trong các bước ngẫu nhiên đóng

vai trò là tham số điều chỉnh độ chính xác của mật độ trạng thái trong suốt

quá trình mô phỏng và nó cũng quyết định thời gian mô phỏng, nghĩa là tổng

số các bước lật spin trong toàn bộ quá trình mô phỏng.

40


Trên thực tế, chúng ta không thể đạt được biểu đồ tuyệt đối phẳng, ý

nghĩa “phẳng” ở đây khi mà biểu đồ H(E) cho tất cả các mức năng lượng có

thể có giá trị lớn hơn x% so với giá trị trung bình H(E), nghĩa là

,

với x% được chọn trong khoảng từ 80% đến 95%. Vì mật độ trạng thái được

điều chỉnh mỗi khi một trạng thái nào đó được xét đến, mật độ trạng thái

tương đối chỉ có thể thu được sau khi quá trình mô phỏng kết thúc.

Theo lý thuyết thống kê thì hàm chia có thể viết dưới dạng tổng các

trạng thái, đồng thời cũng có thể viết dưới dạng tổng các năng lượng:

. 2264()

Sau khi chúng ta tìm được mật độ trạng thái g(E), các đại lượng Vật lý như

năng lượng, độ từ hoá, nhiệt dung riêng, độ cảm từ … có thể tính được một

cách dễ dàng như là một hàm liên tục theo nhiệt độ:

, 2265()

trong đó, Z là hàm chia

.

Để có thể áp dụng thuật toán Wang-Landau một cách dễ dàng, ta viết lại

một cách ngắn gọn quy trình mô phỏng hệ spin Ising theo các bước như sau:

1. Đặt g(E) = 1, H(E) = 0; chọn hệ số điều chỉnh f0 = e1

2. Chọn một trạng thái ban đầu

3. Chọn nút mạng i bất kỳ, tính năng lượng E1

4. Thử lật spin và tính toán năng lượng mới E2

5. Tính tỷ số = g(E1)/g(E2)

6. Tạo một số ngẫu nhiên theo phân bố đều nằm trong khoảng 0 < r < 1

41


7. Xét điều kiện, nếu > r, cho phép lật spin

8. Làm mới các giá trị g(Ei) = g(Ei).f; H(E) = H(E) + 1

9. Nếu biểu đồ chưa phẳng, quay lại bước (3)

10. Nếu biểu đồ phẳng, đặt lại H(E) = 0 và giảm .

11. Lặp lại các bước từ (3) đến (10) cho đến khi fi 1.

2.4 Kết luận

Trong chương này chúng ta đã trình bày một cách có hệ thống về lý

thuyết mô phỏng Monte-Carlo ứng dụng trong nghiên cứu các hiện tượng

chuyển pha của của các hệ spin từ. Lý thuyết về hiệu ứng kích thước hữu hạn

và các biểu thức dùng để xác định các số mũ tới hạn.

Tuỳ thuộc vào đối tượng chúng ta quan tâm nghiên cứu, cũng như tuỳ

thuộc vào mỗi đại lượng mà chúng ta cần phải xác định, các thuật toán mô

phỏng cần phải được chọn một cách phù hợp để có hiệu quả cao, nghĩa là có

thể thu được các kết quả nhanh nhất và chính xác nhất.

Để phác họa bức tranh tổng quát cho mô hình, người ta sử dụng phương

pháp Monte-Carlo thông thường với thuật toán Metropolis. Đối với chuyển

pha loại II, người ta thường sử dụng phương pháp biểu đồ đơn hoặc biểu đổ

kép để tính toán các số mũ tới hạn với độ chính xác rất cao. Đặc biệt là đối

với chuyển pha loại I, ta cần phải áp dụng kỹ thuật mới nhất, đó là thuật toán

Wang-Landau để xác định đỉnh kép trong hàm phân bố năng lượng cũng như

latent heat. Chú ý là thuật toán Wang-Landau không chỉ áp dụng có hiệu quả

cao đối với chuyển pha loại I, mà còn có thể áp dụng cho cả chuyển pha loại

II. Tất nhiên là nó kém chính xác hơn so với phương pháp biểu đồ kép khi

tính toán các số mũ tới hạn.

42


Trong chương tiếp theo chúng ta sẽ trình bày những ứng dụng của một

sô phương pháp Monte-Carlo trong việc nghiên cứu các quá trình chuyển pha

của hệ spin glass nói chung và hệ hoàn toàn bị frustration.

43


Chương 3. Quá trình chuyển pha trong hệ spin glass

3.1 Giới thiệu chung

Trong chương này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp mô phỏng Wang-

Landau để nghiên cứu chi tiết quá trình chuyển pha trong các hệ spin glass

như hệ mạng vuông frustration hoàn toàn với spin XY và Heisenberg.

Việc nghiên cứu quá trình chuyển pha trong hệ spin glass cho đến nay

vẫn đang gặp rất nhiều khó khăn, nguyên nhân là do sự hội tụ rất chậm quanh

điểm chuyển pha, hay thời gian hồi phục rất chậm. Với phương pháp mô

phỏng Monte-Carlo thông thường, rất khó có thể xác định được độ từ hóa và

độ cảm từ. Hiện nay, người ta thường sử dụng phương pháp sao chép

(replication) để tính độ từ hóa và độ cảm từ, tuy nhiên phương pháp này vẫn

còn nhiều hạn chế.

Đối với hệ spin XY và Heisenberg frustration hoàn toàn, các nghiên cứu

bằng phương pháp mô phỏng vẫn chưa thể khẳng định được chuyển pha từ

của hệ là chuyển pha loại I hay loại II. Mới đây, một số nghiên cứu lý thuyết

bằng phương pháp tái chuẩn hóa hoặc là phương pháp trường trung bình đã

dự đoán rằng, chuyển pha của hệ này là chuyển pha loại I. Việc xác định

chuyển pha loại I gặp rất nhiều khó khăn khi sử dụng các phương pháp mô

phỏng Monte-Carlo thông thường, nguyên nhân là các phướng pháp cổ điển

có độ chính xác không cao và hệ chúng ta xét cần có kích thước khá lớn. Để

giải quyết vấn đề này, chúng ta cần phải áp dụng phương pháp mô phỏng có

hiệu quả cao, đó là phương pháp Wang-Landau (mục 2.3).

Xét trường hợp tổng quát, một hệ spin từ được mô tả bởi Hamiltonian có

dạng ngắn gọn và đơn giản:

340[Automatic section break] , 441()

44


trong đó, là véc tơ spin tại nút mạng thứ i, là hằng số tương tác trao đổi

giữa hai spin Si và Sj. Phép tính tổng được thực hiện trên tất cả các cặp spin,

trong thực tế, người ta thường chỉ tính cho các tương tác lân cận gần nhất,

hoặc là cả các tương tác lân cận tiếp theo.

Dựa vào tổng số thành phần của véc tơ spin mà người ta chia thành 3

loại chính như sau:

Spin Ising: véc tơ spin chỉ có thành phần theo phương z, nghĩa là có hai

trạng thái, trạng thái hướng lên trên (up) và trạng thái hướng xuống

dưới (down), tích vô hướng trong công thức 441() trở thành .

Spin XY: véc tơ spin có thể quay trên mặt phẳng (x, y): tích vô hướng

trong công thức 441() trở thành .

Spin Heisenberg: véc tơ spin có thể quay trong toàn bộ không gian 3

chiều (x, y, z): tích vô hướng trong công thức 441() trở thành

.

Tùy thuộc vào dấu của hằng số tương tác J mà ta có các loại tương tác

sắt từ (J > 0) và tương tác phản sắt từ (J < 0). Nếu như tất cả các tương tác

giữa các spin trong hệ cùng dấu với nhau, thì hệ đó được gọi là hệ thuần sắt từ

(J > 0) hoặc là hệ thuần phản sắt từ (J < 0). Đặc biệt, nếu như hệ có sự trộn

lẫn cả hai loại tương tác nói trên thì được gọi là hệ “spin glass”.

Chúng ta xét một cấu hình tương tác đặc biệt đối với mạng lập phương

đơn giản, trong đó các tương tác sắt từ và phản sắt từ đan xen lẫn nhau (xem

trên Hình 3.3). Tại mỗi nút mạng, tổng số tương tác lên mỗi spin bao gồm 2

tương tác phản sắt từ và 4 tương tác sắt từ, các spin này luôn luôn ở trạng thái

bị frustration, chính vì vậy mà hệ này được gọi là hệ spin frustration hoàn

toàn. Mặt khác, do có sự trộn lẫn hai loại tương tác sắt từ và phản sắt từ, cho

nên hệ này có thể xem như một trường hợp riêng biệt của hệ spin glass.

45


Hình 3.3 Cấu hình mạng lập phương đơn giản bị frustration hoàn toàn. Đường liền

nét là tương tác sắt từ (F), đường đứt quãng là tương tác phản sắt từ (AF).

Quá trình thực hiện phương pháp mô phỏng Wang-Landau được chia

thành hai bước chính (xem chi tiết ở mục 2.3):

Bước 1: Ta mô phỏng hệ theo các bước của quy trình từ (1) đến (11),

chú ý là đối với spin véc tơ (XY và Heisenberg) thì việc tạo ra một

trạng thái mới của spin trong bước (4) không phải là lật spin như trong

trường hợp spin Ising, mà ta tạo một trạng thái spin ngẫu nhiên:

o Đối với spin XY, ta tạo một góc ngẫu nhiên có giá trị trong khoảng

từ 0 đến 2 (rad), hai thành phần của spin được tính qua biểu thức

. Chú ý, độ lớn của spin .

o Đối với spin Heisenberg, ta tạo giá trị ngẫu nhiên cho hình chiếu A

của spin trên mặt phẳng (x, y) trong khoảng [-1, 1], các thành phần

của spin được tính như sau:

.

Sau khi chương trình mô phỏng kết thúc, chúng ta thu được dữ liệu

của hàm mật độ trạng thái g(E) và các đại lượng cần đo khác phụ

thuộc vào năng lượng (năng lượng E, trung bình của bình phương

46


năng lượng , độ từ hóa M và trung bình của bình phương độ từ

hóa ).

Bước 2: Sử dụng biểu thức (2.65) để tính các đại lượng cần đo theo

nhiệt độ:

o Năng lượng và bình phương của năng lượng:

.

o Độ từ hóa và bình phương của nó:

.

o Nhiệt dung riêng và độ cảm từ:

.

Trong các công thức trên, z(T) là hàm chia

.

3.2 Mô hình frustration hoàn toàn trong hệ mạng lập phương đơn giản với

spin XY

3.2.1 Mô hình

Xét mô hình spin XY bị frustration hoàn toàn với cấu trúc mạng lập

phương đơn giản được diễn tả trên Hình 3.3. Hamiltonian của hệ lúc này được

viết dưới dạng:

, 442()

47


với hằng số tương tác , để cho đơn giản chúng ta chọn giá trị của

hằng số tương tác J = 1. Độ lớn của spin cũng được chọn bằng đơn vị:

.

Như chúng ta đã biết, trạng thái cơ bản của hệ này có độ suy biến bội 12.

Để tính toán cấu hình của hệ ở trạng thái cơ bản, ta để ý rằng, tất cả các nút

đều có cùng trường địa phương . Bởi vậy ta có

443()

444()

445()

446()

Sử dụng các hệ thức và với , chúng ta thu được

các hệ các phương độc lập tuyến tính:

447()

448()

449()

Hệ 3 phương trình trên có 12 nghiệm (xem chi tiết trong tài liệu tham khảo

[C3.1, C3.2]). Ta xét trên mặt phẳng yz, các spin nằm đối diện nhau thì vuông

góc với nhau, nghĩa là . Mặt khác, 4 spin này được chọn sao

cho hai nhị diện trực giao và tạo với nhau một góc

. Tương tự đối với hai nhị diện và tạo với

nhau một góc . Chú ý là nhị diện quay một góc so với nhị

diện , vì vậy mà tổng đại số của các góc giữa các spin trên mỗi mặt

phẳng của hình lập phương là bằng 0.

48


Chúng ta có thể kiểm chứng lại kết quả tính toán này dựa trên hình vẽ

Hình 3.4. Áp dụng những tính toán tương tự cho hai mặt xy và xz, ta thu được

tất cả là 6 cấu hình cơ bản. Mỗi một cấu hình cơ bản có một cấu hình đối

xứng gương với nó, cho nên số cấu hình cơ bản toàn phần là 12, nghĩa là hệ

có suy biến bội 12.

(a) (b)

Hình 3.4 Hai cấu hình của hệ ở trạng thái. Hình (a) tương ứng với và hình

(b) tương ứng với .

3.2.2 Mô phỏngMonte-Carlo và các kết quả

Trong mô hình này, chúng ta xét Hamiltonian 442() với hằng số tương

tác được chọn là J = 1, và điều kiện biên tuần hoàn được áp dụng cho cả 3

phương x, y và z. Kích thước mạng của hệ là N N N với N = 24, 36, 48.

Áp dụng phương pháp Wang-Landau (đã được trình bày chi tiết trong

mục 3 của chương II) với độ chính xác rất cao: điều kiện phẳng x% = 95% và

hệ số điều chỉnh ffinal ~ exp(10-9).

49


Trên hình vẽ Hình 3.5 chúng ta thấy rằng, với kích thước mạng N = 24,

đồ thị năng lượng phụ thuộc vào nhiệt độ có vẻ là một đường liên tục (dấu

hiệu của chuyển pha loại II), bởi vậy mà những nghiên cứu trước đây đã nhận

định rằng chuyển pha của hệ này là chuyển pha loại II. Tuy nhiên, giá trị cực

đại của nhiệt dung riêng lại khá cao và đỉnh của nó khá nhọn (Hình

3.6), điều này mâu thuẫn với chuyển pha loại II với đỉnh của nhiệt dung riêng

là khá rộng.

Hình 3.5 Năng lượng của hệ phụ thuộc vào nhiệt độ tương ứng với kích thước mạng

N = 24.

50


Hình 3.6 Nhiệt dung riêng của hệ phụ thuộc vào nhiệt độ tương ứng với kích thước

mạng N = 24.

Tương tự với đồ thị năng lượng, nhìn vào hình vẽ Hình 3.7, chúng ta

không thấy sự gián đoạn trên đồ thị của độ từ hóa. Hình 3.8 thể hiện sự phụ

thuộc của độ cảm từ vào nhiệt độ.

51


Hình 3.7 Độ từ hóa của hệ phụ thuộc vào nhiệt độ tương ứng với kích thước mạng

N = 24.

Hình 3.8 Độ cảm từ của hệ phụ thuộc vào nhiệt độ tương ứng với kích thước mạng

N = 24.

Hình 3.9 Hàm phân bố năng lượng tương ứng với kích thước mạng N = 24 tại nhiệt

độ T = 0.6808.

52


Rõ ràng là nếu chỉ dựa vào đồ thị của các đại lượng như năng lượng và

độ từ hóa, thì chúng ta không thể khẳng định được loại của chuyển pha. Như

chúng ta đã biết thì điều kiện cần của chuyển pha loại I đó là hàm phân bố

năng lượng tại điểm nhiệt độ tới hạn phải có đỉnh kép. Hình 3.9 là đồ thị hàm

phân bố năng lượng tại điểm nhiệt độ T = 0.6808, mặc dù phân bố năng lượng

chỉ có một đỉnh đơn, nhưng bề rộng của đỉnh khá lớn, đây là dấu hiệu ban đầu

giúp chúng ta đoán nhận về hiện tượng chuyển pha loại I trong hệ này. Để

chứng tỏ chuyển pha của hệ là chuyển pha loại I, chúng ta tiến hành mô

phỏng hệ với kích thước mạng lớn hơn, N = 36 và 48.

Trên Hình 3.10 chúng ta có thể thấy rõ dạng đỉnh kép của phân bố năng

lượng. Hiện tượng chuyển pha loại I càng thấy rõ hơn khi kích thước của hệ

tăng lên N = 48 (xem Hình 3.11). Theo lý thuyết chuyển pha, đối với chuyển

pha loại I thì khoảng cách giữa hai đỉnh (latent heat) và độ lõm giữa hai đỉnh

tăng lên khi kích thước của hệ tăng. Để so sánh độ rộng và độ lõm giữa hai

đỉnh, chúng ta vẽ gộp các hàm phân bố năng lượng cho cả 3 giá trị kích thước

mạng N = 24, 36, 48 trên Hình 3.12.

53



độ T = 0.67967.


độ T = 0.679197.

54


Hình 3.12 Phân bố năng lượng của hệ được xác định tại các điểm nhiệt độ tới hạn

T = 0.6808, T = 0.67967 và T = 0.67919 tương ứng với các kích thước mạng N = 24,

36 và 48.

3.3 Mô hình frustration hoàn toàn trong hệ mạng lập phương đơn giản với

spin Heisenberg

3.3.1 Mô hình

Trên thực tế thì loại của chuyển pha không chỉ phụ thuộc vào cấu trúc

mạng, kiểu tương tác giữa các spin mà còn phụ thuộc vào cả vào loại của spin

(Ising, XY hay Heisenberg). Như đã được trình bày trong phần trước, chúng

ta đã có thể khẳng định được rằng chuyển pha của hệ frustration hoàn toàn đối

với spin XY là chuyển pha loại I. Một câu hỏi đặt ra là liệu mô hình spin

Heisenberg có thể tồn tại chuyển pha loại I giống như trong mô hình spin XY

hay không? Nếu tồn tại chuyển pha loại I thì nhiệt độ tới hạn và độ lớn của hệ

là bao là bao nhiêu? Để giải đáp câu hỏi này, chúng ta tiếp tục nghiên cứu với

cùng phương pháp đã áp dụng cho mô hình XY (phương pháp Wang-

Landau), nhưng với kích thước mạng lớn hơn.

Xét Hamiltonian 441() áp dụng cho mô hình spin Heisenberg:

, 4410()

trong đó, hằng số tương tác , để cho đơn giản chúng ta chọn giá trị

của hằng số tương tác J = 1. Độ lớn của spin cũng được chọn bằng đơn vị:

. Điều kiện biên tuần hoàn được áp dụng cho cả phương x, y và z.

Trong trường hợp spin Heisenberg, trạng thái cơ bản của hệ có độ suy

biến rất cao, tất cả các cấu hình cơ bản có tính toần hoàn theo chu kỳ mạng.

Theo kết quả nghiên cứu trước đây (xem trong tài liệu tham khảo [C3.2]), với

55


kích thước của hệ khá lớn thì độ suy biến trạng thái cơ bản là vô hạn, chính vì

vậy mà hệ này mang đặc trưng của spin glass rất mạnh.

3.3.2 Mô phỏngMonte-Carlo và các kết quả

Để có thể tìm thấy chuyển pha loại I, thì kích thước mạng của hệ spin

Heisenberg phải lớn hơn rất nhiều so với trường hợp spin XY. Tiếp theo đây

chúng ta thực hiện mô phỏng Monte-Carlo với kích thước mạng của hệ là

N = 54, 60, 70 và 90.

Tương tự như trong phần trước, chúng ta áp dụng phương pháp Wang-

Landau với điều kiện phẳng x% = 95% và hệ số điều chỉnh ffinal ~ exp(10-8).

Do kích thước của hệ rất lớn, cho nên thời gian mô phỏng trên máy tính lâu

hơn nhiều so vơi mô hình spin XY.

Tương tự như trong trường hợp spin XY, đồ thị năng lượng và độ từ hóa

phụ thuộc vào nhiệt độ vẫn không có dấu hiệu gián đoạn, mặc dù kích thước

mạng của hệ là khá lớn N = 60 (Hình 3.13và Hình 3.14).

56



N = 60.


N = 60.

57


Nhìn trên Hình 3.15 và Hình 3.16, ta thấy dấu hiệu gián đoạn của đồ thị

năng lượng và độ từ hóa với kích thước mạng của hệ là N = 90. Tuy nhiên, do

độ rộng vùng gián đoạn của năng lượng và độ từ hóa là rất hẹp, cho nên

chuyển pha của hệ là chuyển pha loại I yếu.


N = 90.


N = 90.

58


Theo lý thuyết chuyển pha loại I và loại II thì giá trị cực đại của nhiệt

dung riêng và độ cảm từ phải phụ thuộc vào kích thước mạng. Nghĩa là, các

giá trị cực đại đó tăng khi kích thước mạng tăng. Dựa vào kết quả vẽ trên

Hình 3.17 và Hình 3.18 cho nhiệt dung riêng và độ cảm từ phụ thuộc vào

nhiệt độ ứng với các kích thước mạng khác nhau N = 60, 70 và 90, ta có thể

khẳng định, trong hệ này thực sự tồn tại quá trình chuyển pha.

Hình 3.17 Nhiệt dung riêng của hệ phụ thuộc vào nhiệt độ tương ứng với kích thước

mạng N = 60, 70 và 90.

Hình 3.18 Độ cảm từ của hệ phụ thuộc vào nhiệt độ tương ứng với kích thước mạng

N = 60, 70 và 90.

59


Hình 3.19 Phân bố năng lượng của hệ được xác định tại các điểm nhiệt độ tới hạn

T = 0.44225, T = 0.44208, T = 0.44182 và T = 0.44164 tương ứng với các kích thước

mạng N = 54, 60, 70 và 90.

Cuối cùng, để kiểm chứng cho sự tồn tại chuyển pha loại I trong hệ này,

chúng ta vẽ đồ thị trên Hình 3.19 các hàm phân bố năng lượng tương ứng với

các kích thước mạng N = 54, 60, 70 và 90 xác định tại các điểm nhiệt độ tới

hạn T = 0.44225, T = 0.44208, T = 0.44182 và T = 0.44164.

Nhìn vào giá trị của điểm nhiệt độ tới hạn trên hình vẽ, chúng ta thấy sự

sai lệch là rất bé, vào cỡ 0.01%. Do đó, rất khó có thể xác định một cách

chính xác điểm nhiệt độ chuyển pha để hàm phân bố năng lượng có đỉnh kép

với độ cao của hai đỉnh bằng nhau. Ví dụ như với kích thước mạng N = 60,

hàm phân bố năng lượng chỉ có đỉnh kép trong một khoảng nhiệt độ rất hẹp

. Chính vì khoảng nhiệt độ rất hẹp như vậy, mà chúng ta

không thể áp dụng các phương pháp Monte-Carlo thông thường, kể cả các

phương pháp biểu đồ đơn và biểu đồ kép cũng mất quá nhiều thời gian tính

toán. Ngược lại, với việc sử dụng phương pháp Wang-Landau, thông qua hàm

mật độ trạng thái, các đại lượng cần đo có thể tính như là một hàm liên tục

60


theo nhiệt độ một cách nhanh chóng, có nghĩa là có thể tính tại mọi điểm

nhiệt độ mà chúng ta muốn. Đây chính là ưu điểm vượt trội của phương pháp

mô phỏng Wang-Landau so với các phương pháp khác.

3.4 Kết luận

Trong chương này của luận văn, chúng ta đã sử dụng phương pháp rất

mới và có hiệu quả cao trong việc nghiên cứu hiện tượng chuyển pha loại I,

đó là phương pháp Wang-Landau.

Đối với hệ spin frustration hoàn toàn trên mạng vuông đơn giản, chúng

ta có thể khẳng định một cách chắc chắn về sự tồn tại của chuyển pha loại I.

Đối vơi spin XY, dấu hiệu của chuyển pha loại I bắt đầu xuất hiện với kích

thước mạng vào khoảng N = 36. Trong khi đó, đối với spin Heisenberg thì

chúng ta phải mô phỏng hệ với kích thước rất lớn, dấu hiệu chuyển pha loại I

chỉ xuất hiện khi N 60.

61


Chương 4. Kết luận

Trong khuôn khổ luận văn này, chúng tôi đã trình bày trong chương 1

khái niệm cơ bản về hệ spin frustration, một số tính chất và hiệu ứng dị

thường của hệ này. Nguyên nhân chủ yếu dẫn đến hiện tượng frustration là do

có sự cạnh tranh tương tác giữa một spin và các lân cận của nó, hoặc là do

dạng hình học đặc biệt của mạng tinh thể. Đối với màng mỏng từ thì hiệu ứng

bề mặt trở nên quan trọng, đôi khi nó dẫn đến những loại chuyển pha mới.

Trong trường hợp hệ màng mỏng với các spin frustration thì độ từ hóa bề mặt

lại lớn hơn so với các lớp bên trong. Chú ý là chỉ có các tương tác phản sắt từ

mới gây nên hiện tượng frustration.

Chương 2 của luận văn trình bày những phương pháp mô phỏng Monte-

Carlo mới nhất và hiệu quả nhất trong việc nghiên cứu quá trình chuyển pha

trong các hệ spin. Phần đầu là nguyên lý cơ bản của phương pháp Monte-

Carlo. Tiếp theo là phương pháp giản đồ đơn (kép) thường được ứng dụng để

tính các tỷ xích tới hạn trong trưởng hợp chuyển pha loại II. Cuối cùng

phương pháp Wang-Landau ứng dụng rất có hiệu quả trong việc nghiên cứu

các chuyển pha loại I.

Chương 3 là kết quả nghiên cứu mới trong thời gian gần đây. Bằng

phương pháp mô phỏng Wang-Landau, chúng tôi đã chứng minh được sự tồn

tại của chuyển pha loại I trong hệ spin glass trong hệ mạng vuông đơn giản,

hệ này còn được gọi là hệ frustration hoàn toàn. Hiện tượng chuyển pha loại I

không chỉ tồn tại đối với spin XY, mà nó còn tồn tại trong hệ spin Heisenberg

cho dù độ suy biến ở trạng thái cơ bản là vô hạn. Các kết quả nghiên cứu mới

này đã đưa ra kết luận cuối cùng nhằm chấm dứt quá trình tranh cãi trong suốt

40 năm qua về loại chuyển pha trong hệ spin frustration hoàn toàn.

62


Mục lục

Chương 1. Giới thiệu chung về hệ spin frustration...................................1

1.1 Frustration.......................................................................................1

1.2 Hiệu ứng của frustration..................................................................4

1.3 Từ tính bề mặt.................................................................................8

1.3.1 Giới thiệu chung.......................................................................8

1.3.2 Hình học bề mặt và tương tác bề mặt.......................................9

1.3.3 Sự kích thích bề mặt cơ bản, sóng spin bề mặt......................10

1.3.4 Một ví dụ: phim sắt từ mỏng..................................................11

1.3.5 Chuyển pha bề mặt.................................................................13

1.4 Nghiên cứu thực nghiệm...............................................................14

1.4.1 Liên kết trao đổi trong các hệ từ đa lớp.................................14

1.4.2 Tính bất đẳng hướng từ của hệ phim siêu mỏng....................15

1.5 Kết luận.........................................................................................17

Chương 2. Nguyên lý của phương pháp Monte-Carlo............................18

2.1 Nguyên tắc lý thuyết cơ bản của phương pháp Monte-Carlo.......20

2.1.1 Mô hình..................................................................................20

2.1.2 Phép thử đơn giản...................................................................22

2.1.3 Trung bình nhiệt bằng phương pháp phép thử đơn giản........24

2.1.4 Phép thử quan trọng...............................................................25

2.1.5 Số đo nhiệt độ TN...................................................................28

2.1.6 Tỷ xích kích thước hữu hạn...................................................29

2.2 Phương pháp biểu đồ (Histogram)................................................31

2.2.1 Phương pháp biểu đồ đơn.......................................................31

63


2.2.2 Phương pháp biểu đồ kép.......................................................34

2.3 Phương pháp Wang-Landau..........................................................38

2.4 Kết luận.........................................................................................41

Chương 3. Quá trình chuyển pha trong hệ spin glass.............................42

3.1 Giới thiệu chung............................................................................42

3.2 Mô hình frustration hoàn toàn trong hệ mạng lập phương đơn giản

với spin XY.................................................................................45

3.2.1 Mô hình..................................................................................45

3.2.2 Mô phỏngMonte-Carlo và các kết quả...................................47

3.3 Mô hình frustration hoàn toàn trong hệ mạng lập phương đơn giản

với spin Heisenberg.....................................................................52

3.3.1 Mô hình..................................................................................52

3.3.2 Mô phỏngMonte-Carlo và các kết quả...................................53

3.4 Kết luận.........................................................................................58

Chương 4. Kết luận.................................................................................59

Mục lục....................................................................................................60

Tài liệu tham khảo...................................................................................62

64


Tài liệu tham khảo

[1].

- TLTK mục 3 chương II

[C2.3.1] F. Wang and D. P. Landau, Phys. Rev. Lett. 86, 2050 (2001); Phys. Rev. E 64, 056101 (2001).

- TLTK chương III

C3.1 P. Lallemand, H. T. Diep, A. Ghazali, and G. Toulouse, J. Phys. (France) Lett. 46, 1087 (1985).

C3.2 H. T. Diep, A. Ghazali, and P. Lallemand, J. Phys. C 18, 5881

(1985).

65

giới thiệu chung về hệ spin frustrationnvthanh/thesis/tuan/thesis_tuan.docx · web...

Documents