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7/21/2019 LoperaEj

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Ejercicios propuestos

Daniel Cao Labora

Curso 2015-2016

Indice

1. Ejercicios preliminares 2

1.1. Tres ejercicios sobre fibrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2. Una vision general de los fibrados. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2. Ejercicios sobre grupos de Lie 6

2.1. Una condicion superflua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

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Ejercicios propuestos Geometrıa y Topologıa de Variedades

1. Ejercicios preliminares

1.1. Tres ejercicios sobre fibrados

Fibrado tangente. Sea M una variedad diferenciable C ∞ de dimension n con topologıa τ M y

sean (U, ϕ), (V, ψ) cartas de M . Sean (x1,...,xn) las coordenadas de ϕ y (y1,...,yn) las coorde-

nadas de ψ. Por la construccion de la estructura diferenciable sabemos que el cambio de cartas

ψ ◦ ϕ−1 : ϕ(U ∩ V ) ⊂ Rn −→ ψ(U ∩ V ) ⊂ Rn es un difeomorfismo C ∞. Tambien es un hecho

conocido que para cada p ∈ U ∩ V , mediante las cartas anteriores, tenemos inducidos dos iso-

morfismos de espacios vectoriales de Rn a T p(M ). Denotaremos dichos isomorfismos por θϕ p y

θψ p (y a sus inversos correspondientes usando la letra η ). Por ejemplo, θ

ϕ p : Rn −→ T p(M ) queda

definido por la imagen de la base canonica θϕ p (ei) = (∂ xi) p.

Consideremos ahora el fibrado tangente T M =

T pM . Definimos:

U (1) = p∈U

T pM ≡ T pU (al ser U abierto).

ϕ(1) : U (1) −→ ϕ(U ) × Rn como ϕ(1)(v p) = (ϕ( p), ηϕ p )

Notese que, de modo evidente, se tiene (U ∪ V )(1) = U (1) ∪ V (1) y (U ∩ V )(1) = U (1) ∩ V (1).

Bajo esa notacion es conocido que (U (1), ϕ(1)) es una carta de T M . Podrıamos pensar A =

{(U (1), ϕ(1)) : (U (1), ϕ(1)) es carta de T M } es un atlas que hace a T M variedad diferenciable.

No obstante, eso no es cierto pues T M no serıa Hausdorff al no poder separarse por abiertos

( p, v) de ( p, w). En cualquier caso, las cartas de la forma anterior estan en el atlas natural de

T M al que podemos llamar B .

Nos interesa estudiar la diferenciabilidad de los cambios entre dos cartas de la forma anterior

(U (1), ϕ(1)), (V (1) , ψ(1)). Es decir, tenemos que comprobar si ϕ(1) ◦ ψ(1)−1: ψ(U ∩ V ) × Rn −→

ϕ(U ∩V ) ×Rn es una aplicacion C ∞ (notese el abuso de notacion, pues mantenemos los nombres

de las aplicaciones de las cartas aun cambiando U o V por U ∩ V ). Entonces, hay que verificar

si es C ∞ la siguiente aplicacion entre espacios euclıdeos:

ϕ(1)◦ψ(1)−1( p, v) = ϕ(1)(ψ−1( p), θψ p (v)) = (ϕ(ψ−1( p)), ηψ p (θψ p (v))) = ((ϕ◦ψ−1)( p), T p(ϕ◦ψ−1)(v)).

Sabemos que es suficiente verificar que dicha aplicacion es C ∞ al componerla con cada una de

las dos proyecciones.

En primer lugar tenemos

π1 ◦ ϕ(1) ◦ ψ(1)−1 = ϕ ◦ ψ−1 ◦ π1

Geometrıa y Topologıa de Variedades 2 Daniel Cao Labora

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como aplicaciones definidas en (U ∩ V )(1). Evidentemente el miembro derecha es C ∞ y por tanto

lo es el de la izquierda.

Tambien sucede que

π2 ◦ ϕ(1) ◦ ψ(1)−1(v p) =ni=1

∂x j ◦ y j−1

∂ei | pvi pe j

es una aplicacion C ∞. Como argumentamos antes, basta verlo en cada una de las componentes.

Cada componente es una aplicacion C ∞ al consistir en sumas y productos de aplicaciones C ∞

entre espacios euclıdeos. Podemos detallarlo algo mas diciendo que si f i,j( p, v) = ∂xj◦yj−1

∂ei | pvi p

entonces f i,j es C ∞ al ser el producto de una derivada parcial de una funcion C ∞ por una proyec-

cion en una de las n ultimas componentes del par ( p, v). Se concluye argumentando que si cada

f i,j es infinitamente diferenciable, entonces su suma tambien lo es y aplicamos el razonamiento

en cada componente.

Fibrado cotangente. A continuacion, tratamos el caso del fibrado cotangente de un modo

totalmente analogo. Como comentabamos antes en cada punto p de la variedad diferenciable

M tenıamos el espacio vectorial T pM . Consecuentemente en cada punto p podemos hablar del

espacio vectorial dual de T pM que denotaremos por T ∗ p M . Si antes las (∂ xi) p con i ∈ {1,...,n}

constituıan una base de T pM ahora lo haran las (dxi) p respecto a T ∗ p M . Esa ultima afirmacion no

es necesario probarla pues como sabemos que (dxi) p(∂ xj) p = δ i j es automatico que {dx1,..., dxn}

es la base dual de la estudiada en T pM .

Hilvanando los espacios duales anteriores construimos T ∗M =

T ∗ p M . Definimos:

U (2) = p∈U

T ∗ p M ≡ T ∗ p U (al ser U abierto).

ϕ(2) : U (2) −→ ϕ(U ) × (Rn)∗ ≡ ϕ(U ) × Rn como ϕ(2)(v p) = (ϕ( p), (ηϕ p (v p))∗) donde

(ηϕ p (v p))∗ denota el elemento de (Rn)∗ que lleva a η

ϕ p (v p) en 1 y a cualquier otro vector

ortogonal en 0. La asociacion de Rn con (Rn)∗ se hace simplemente identificando coorde-

nadas.

De nuevo tenemos una situacion analoga a la anterior y, tal y como se define la topologıa en T ∗M

se tiene que (U (2), ϕ(2)) es carta. Tambien estudiamos la diferenciabilidad de cambios de cartas

de la forma (U (2), ϕ(2)), (V (2) , ψ(2)). Cometiendo el abuso de notacion ya citado, se obtiene

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ϕ(2) ◦ ψ(2)−1( p, ω) = ((ϕ ◦ ψ−1)( p), T −1 p

t(ϕ ◦ ψ−1)(ω))

de modo analogo al anterior y utilizando que dado un cambio de base en Rn el cambio de bases

dual viene dado por la traspuesta de la matriz inversa. Como ya dijimos antes, comprobar la

diferenciabilidad del cambio de cartas equivale a verificar que dicho cambio es C ∞ al componerlo

con cada una de las dos proyecciones. El caso de las n primeras coordenadas no lo hacemos pues

es exactamente el mismo que el de las n primeras coordenadas hecho anteriormente.

Para las ultimas n componentes argumentamos igual que antes, pero ahora toca considerar

π2 ◦ ϕ(2) ◦ ψ(2)−1(ω p) =ni=1

∂ (yi ◦ xi−1

∂e j | pωi pe j .

Los comentarios ya hechos en el caso del fibrado tangente garantizan que la aplicaci on a estudiar

es C ∞ al tratarse, en cada componente, de sumas y productos de aplicaciones C ∞.

Fibrado de referencia. Definimos (donde n es la dimension de la variedad) F pM = { j :

Rn −→ T pM lineal e inversible}, es decir, el conjunto de bases ordenadas en T pM . Con la

misma idea de siempre construimos F M =

F pM . Ademas cada carta (U, ϕ) permite dar

coordenadas en un abierto, pues en cada punto p ∈ M se tiene que ηϕ p transforma una base

de T pM en una de Rn. Recordemos que identificamos F U ≡ p∈U

F pM al ser U abierto. Como

indicabamos antes, dada una carta (U, ϕ) construimos una carta (U (3), ϕ(3)). Diremos que una

base ordenada B p verifica B p ∈ U (3) si B p es una base de T pM con p ∈ U . Si la base es

de la forma B p = (v1,...,vn) con vi ∈ T pM definimos ϕ(3) : U (3) −→ Rn+n2 como ϕ(B p) =

(ϕ( p), ηϕ p (v1),...,η

ϕ p (vn). Los calculos ya hechos en el caso del fibrado tangente demuestran que

el cambio de cartas entre (U, ϕ) y (V, ψ) en un sentido da lugar a

ϕ(3) ◦ ψ(3)−1( p, v1,...,vn) = ((ϕ ◦ ψ−1)( p), T p(ϕ ◦ ψ−1)(v1),...,T p(ϕ ◦ ψ−1)(vn))

que es trivialmente una aplicacion C ∞ entre espacios euclıdeos al serlo componente a componente,

pues ya lo verificamos en el caso del fibrado tangente.

1.2. Una vision general de los fibrados.

Ademas de los tres fibrados estudiados anteriormente se puede definir la siguiente noci on generica

de fibrado localmente trivial. Un fibrado localmente trivial es una cuaterna (E , B , π , F ) donde

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E , B , F son espacios topologicos, π : E −→ B es una aplicacion continua y sobreyectiva y se

tiene que para todo x ∈ B existe un entorno U y un homeomorfismo τ : π−1(U ) −→ U ×

F (denominado trivializacion) tal que π = iU ◦ π1 ◦ τ . Intuitivamente la definicion pretendetransmitir que para cada punto del codominio podemos obtener un entorno en el que la aplicaci on

π se comporta de un modo similar a una proyecci on.

Evidentemente, si esta definicion pretende ser una generalizacion de los ejemplos particulares de

fibrado dados hasta ahora, es logico pedir que los espacios estudiados anteriormente verifiquen

esta definicion de fibrado localmente trivial.

En el caso del fibrado tangente basta considerar (E , B , F ) = (T M , M ,Rn) donde n es la di-

mension de la variedad. Evidentemente la aplicacion π se corresponde con la proyeccion del

fibrado tangente en la variedad, definida por π(v p) = p, que es continua (la imagen recıpro-

ca de un abierto es un abierto ya que π−1(U ) = U (1)) y sobreyectiva (trivialmente). Ademas

sabemos que para cada x ∈ M hay un abierto U de una carta (U, ϕ) que lo contiene y que

ϕ(1) : π−1(U ) = U (1) −→ ϕ(U ) × Rn es un difeomorfismo por construccion de la estructura

diferenciable. Considerando ahora la composicion de difeomorfismos (y en particular homeo-

morfismos) τ = (ϕ−1 × id) ◦ ϕ(1) garantizamos que el fibrado tangente es un fibrado localmente

trivial pues τ se comporta en U (1) como la proyeccion a U .

El caso del fibrado cotangente es analogo considerando (E , B , F ) = (T ∗M,M,Rn) donde, de

nuevo, n es la dimension de la variedad y tomamos π como la proyeccion del fibrado cotangente

en la variedad; que es continua y sobreyectiva (argumentando como antes). Ademas sabemos que

para cada x ∈ M hay un abierto U de una carta (U, ϕ) que lo contiene y que ϕ(2)

: π−1

(U ) =U (2) −→ ϕ(U ) × Rn es un difeomorfismo por construccion de la estructura diferenciable. Si

consideramos τ = (ϕ−1 × id) ◦ ϕ(2) tenemos la trivializacion buscada.

Para el caso del fibrado de referencia tomamos (E , B , F ) = (F M,M,Rn) donde n es la dimension

de la variedad y elegimos π como la proyeccion del fibrado de referencia sobre la variedad. Es de

nuevo trivial y analogo a los casos anteriores la continuidad y sobreyectividad de π. Ademas para

cada x ∈ M existe una carta (U, ϕ) con x ∈ U y que ϕ(3) : π−1(U ) = U (3) −→ ϕ(U ) × Rn es un

difeomorfismo por como se construye la estructura diferenciable. Si consideramos la composicion

de difeomorfismos τ = (ϕ−1 × id) ◦ ϕ(3) tenemos la trivializacion requerida, pues se comporta

como la proyeccion de U (3) a U .

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2. Ejercicios sobre grupos de Lie

2.1. Una condicion superflua

El estudio de los grupos de Lie obedece, ademas de a la curiosidad matematica, a otras ciencias

donde su aplicacion ha resultado fundamental a la hora de elaborar teorıas consistentes. El

estudio de las simetrıas y su aplicacion a la fısica convierten a los grupos de Lie en objetos muy

interesantes a tratar. Decimos que G es un grupo de Lie cuando G tiene estructura de grupo y

de variedad diferenciable (presupongamos C ∞) con una cierta compatibilidad entre ambas. Esa

compatibilidad se plasma pidiendo que la operacion del grupo (entendida como una aplicacion

µ : G × G −→ G) sea C ∞, donde la estructura diferenciable en G × G es la asociada al producto

de dos variedades diferenciables. Generalmente tambien se pide que la aplicacion η : G −→ Gque lleva a cada elemento en su inverso en el grupo sea C ∞. No obstante, dicha condicion es

superflua como mostramos a continuacion.

Consideremos el subconjunto A = {(g, g−1) ∈ G × G} y veamos que es subvariedad regular.

Consideremos la aplicacion µ : G × G −→ G. Hemos visto que µ∗(e,e)(v1, v2) = v1 + v2; lo

cual, en particular, garantiza que µ∗(e,e) es sobreyectiva. Ademas para cada g ∈ G definimos

pg : G × G −→ G × G como pg(a, b) = (ag,g−1b). Sucede que µ ◦ pg = µ y aplicando la regla de

la cadena obtenemos µ∗(e,e) = (µ ◦ pg)∗(e,e) = µ∗(g,g−1) ◦ pg∗(e,e)

. Como µ∗(e,e) era sobreyectiva,

la composicion lo es y en particular tambien µ∗(g,g−1) es sobreyectiva para cualquier g ∈ G.

Consecuentemente, todos los elementos de A son puntos regulares. Como µ−1{e} = A se tiene

que e es valor regular y, por ello, A es subvariedad regular. Notemos ademas que como en A

todos los puntos son regulares µ tiene el mismo rango en todos los puntos de A. Luego sabemos

que T (e,e)A = ker µ∗(e,e) y como µ∗(e,e) era sobreyectiva de un espacio vectorial de dimension 2n

a uno de dimension n obtenemos que la dimension nucleo, y por tanto de T (e,e)A, vale n. Como

A es subvariedad regular y su espacio tangente en un punto tiene dimensi on n concluimos que

la variedad A tiene dimension n.

Notemos que π1|A consiste en aplicar una sumersion de rango n a una inmersion de rango n.

Sabemos que, para cada punto q , podemos encontar una expresion local de modo que la jacobiana

de la inmersion se expresa como una matriz con un primer bloque identitario y otro segundo

nulo. El mismo argumento de expresion local y jacobiana aplica para la sumersion y dado quela jacobiana de la composicion es el producto de jacobianas se comprueba que la jacobiana de

π1|A en q (con esa expresion local) es de hecho la identidad. Consecuentemente la jacobiana de

π1|A es inversible en cualquier punto.

La diferenciabilidad de π1|A junto al caracter de isomorfismo de la aplicacion tangente en cada

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punto de A hace que podamos aplicar el Teorema de la Funcion Inversa. Garantizamos entonces,

para cada punto (g, g−1) ∈ A, la existencia de una (unica) inversa local infinitamente derivable

de π1|A. Sucede que η : G −→ A definida por η(g) = (g, g−1) es inversa local en cualquier entornode cada uno de los puntos de A, pues es de hecho global. Por la unicidad antes comentada la

restriccion correspondiente de η es la inversa anunciada en el Teorema de la Funcion Inversa y

como consecuencia dicha restriccion es C ∞. Como los dominios (abiertos) de las restricciones de

η recubren todo G y η es C ∞ en cada uno de ellos se tiene que η es C ∞ en su union, es decir,

en el total G. Finalmente basta notar que la aplicacion π2 ◦ iA ◦ η : G −→ G es composicion de

aplicaciones infinitamente diferenciables y consiste precisamente en llevar a cada elemento de G

en su inverso para la operacion.

El grupo lineal general complejo. Presentamos ahora una demostracion para el caso ge-

neral donde verificamos que GL(n,C) es variedad diferenciable de dimension 2n2.

De nuevo, el hecho de poder dotar a GL(n,C) de estructura de grupo (no abeliano salvo n = 1)

es trivial. El producto de dos matrices complejas invertibles es otra matriz compleja invertible, el

producto de matrices es asociativo, existe una matriz invertible que actua como elemento neutro

(la identidad) y evidentemente una matriz invertible tiene inversa para el producto matricial.

Sabemos que Cn2 ≡ R2n2 es una variedad diferenciable de dimension 2n2 y da una estruc-

tura diferenciable en Mn×n(C) simplemente “ordenando” coordenadas mediante una carta

(Mn×n(C

), ϕ). Con dicha estructura la aplicacion det : Mn×n(C

) −→ C

es diferenciable, puesal expresarla mediante cartas como det : Cn2 −→ C es diferenciable al tratarse de un polinomio.

Consecuentemente, como C \ {0} es un abierto se tiene que su preimagen por una aplicaci on

diferenciable (que es en particular continua) es un abierto. Es decir, GL(n,C) = det−1(C \ {0})

es un abierto en Mn×n(C) y ademas posee la topologıa relativa. Por tanto, GL(n,C) es una

subvariedad abierta de la variedad Mn×n(C) de dimension 2n2 y ella misma puede ser pensada

como una variedad diferenciable de dimension 2n2. De hecho, GL(n,C) puede ser recubierta por

una unica carta identificando coordenadas con el abierto euclıdeo det−1

(C \ {0}).

Por ultimo, queremos comprobar la diferenciabilidad de la aplicacion consistente en el pro-

ducto de matrices µ : GL(n,C) × GL(n,C) −→ GL(n,C) donde la estructura diferencia-

ble del dominio es la propia del producto de dos variedades diferenciables. Sabemos que η :

Mn×n(C) × Mn×n(C) −→ Mn×n(C) es C ∞ pues se expresa mediante la carta como una aplica-

cion polinomica (de hecho, de grado 2) de Rn2 en sı mismo. La restriccion de dicha aplicacion a

una subvariedad abierta como GL(n,C) × GL(n,C) sigue siendo C ∞. Como ademas, la imagen

de η|GL(n,C)×GL(n,C) queda contenida en la subvariedad abierta (y por tanto regular) GL(n,C)

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deducimos que µ es C ∞.

S3 y otros grupos multiplicativos cuaternionicos. Un cuaternio es una expresion del tipo

q = t + xi + y j + zk donde t ,x,y,z ∈ R. El conjunto de los cuaternios H tiene estructura de

cuerpo no conmutativo (a veces llamado anillo con division cuando se restringe la definicion de

cuerpo al caso conmutativo). La suma se realiza de modo evidente, mientras que el producto

utiliza la distributividad y siguiente tabla (el primer factor esta en el margen izquierdo y el

segundo en el superior).

· 1 i j k

1 1 i j k

i i -1 k - j j j -k -1 i

k k j -i -1

Para algunas cuestiones que siguen es interesante escribir el producto de dos cuaternios q y q .

Tenemos que

qq = (tt−xx−yy −zz )+(tx+tx +yz −zy )i +(ty+ty − xz+xz) j+ (tz+tz + xy−yx)k.

Ademas se puede definir una norma que es, en esencia, la usual de R4. La primera observacion

va dirigida a que, definiendo q = t − xi − y j − zk, se tiene q q = qq = ||q ||2

. Tambien se siguetrivialmente de la asociatividad del producto cuaternionico que el conjugado de un producto es

el producto de conjugados en orden contrario, es decir, qq = q q . De todo lo dicho se deduce

(q q )(q q ) = qq q q (donde lo unico que hacemos es mover el real q q , que evidentemente conmuta

con cualquier cuaternio). Tomando raıces cuadradas tenemos ||q || · ||q || = ||qq || . Una de las

comprobaciones que se pedıa hacer como ejercicio era que, en efecto, todo cuaternio no nulo tiene

inverso multiplicativo y es el mismo por ambos lados. No obstante, en base a todo lo desarrollado

es trivial que q −1 = ||q ||−2q es el inverso por ambos lados y esta bien definido siempre y cuando

q = 0.

Con todo lo desarrollado hasta ahora es una afirmacion evidente que el producto de cuaternios

de norma 1 es de norma 1 y que el inverso de un cuaternio de norma 1 tiene norma 1. Eso

permite definir una estructura de grupo no abeliano en los cuaternios de norma 1 tomando

como operacion el producto entre cuaternios. La comprobacion de que es grupo se basa en lo ya

dicho, ademas de la asociatividad que hereda directamente del producto cuaternionico y de que

el real 1 (neutro del producto) tiene norma 1. Denotaremos al grupo que acabamos de construir

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como S3 puesto que a nivel topologico y metrico es indistinguible tras identificar H con R4

coordenada a coordenada. Surge entonces la cuestion de ver si S3 con el producto cuaternionico

es un grupo de Lie.

Antes de nada, probemos que H \ {0} es grupo de Lie. La condicion de grupo es, de nuevo,

evidente. La de variedad diferenciable tambien pues podemos recubrir H \ {0} con una unica

carta ϕ : H \ {0} −→ R4 \ {0} que consiste en identificar coordenadas. Para comprobar que el

producto de cuaternios resulta diferenciable como aplicacion de

µ : (H \ {0}) × (H \ {0}) −→ H \ {0}

recurrimos a su expresion local entre abiertos euclıdeos que, en base a lo adelantado antes,

consiste en

µ((t,x,y,z)(t, x, y, z)) = (tt−xx−yy −zz , tx+tx+yz −zy , ty+ty−xz+xz,tz+tz+xy−yx).

Evidentemente dicha expresion local es diferenciable como aplicacion de

(R4 \ {0}) × (R4 \ {0}) −→ R4 \ {0}

al ser una restriccion de una aplicacion diferenciable a un nuevo dominio y codominio ambos

abiertos (resultado conocido en el caso euclıdeo). Como la expresion local es valida para cualquier

punto de la variedad (H\{0})×(H\{0}) (al estar recubierta por una unica carta) hemos probado

la diferenciabilidad del producto cuaternionico globalmente.

Para ver si S

es grupo de Lie y que la inclusion es C

veremos que S

es subvariedad regularde H \ {0}. Para ello consideramos la aplicacion F : H \ {0} −→ R dada por F (t + xi + y j +

zk) = t2 + x2 + y2 + z2. Es trivialmente una aplicacion diferenciable donde la expresion local

F : R4 \ {0} −→ R vale F (t,x,y,z) = t2 + x2 + y2 + z2. Calculando la diferencial obtenemos

el vector fila (2t, 2x, 2y, 2z) que no se anula en R4 \ {0}; lo que nos dice que F es de rango

maximo en H \ {0} y, en particular, en F −1{1} = S3. Por tanto, S3 es subvariedad regular al ser

la preimagen (por una aplicacion diferenciable entre variedades) de un valor regular.

Los cuaternios tienen especial interes a la hora de describir rotaciones pues cada cuaternio q

puede ser utilizado para describir una rotacion. La primera aproximacion es que la aplicacion

Aq(h) = qhq −1 es un automorfismo entendida como aplicacion lineal del R-espacio vectorial

H ≡ R×R3 ≡ R4. La aplicacion descrita es claramente lineal pues si t, t ∈ R y h, h ∈ H tenemos

Aq(th+th) = q (th+th)q −1 = q (th)q −1+q (th)q −1 = t(qhq −1)+t(qhq −1) = tAq(h)+tAq(h).

Al tratarse de un endomorfismo de un espacio vectorial de dimension finita, garantizaremos

la biyectividad viendo que es sobreyectiva. En efecto, cualquier h ∈ R4 esta en la imagen de

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la aplicacion pues es trivial que Aq(q −1hq ) = h. Hemos llegado entonces a que Aq(h) puede

representarse como la multiplicacion de una matriz inversible que denotaremos Aq por el vector

h y, en resumen, Aq ∈ GL(4,R). Notemos ademas que tenemos la igualdad de aplicacionesAq(h) = Atq(h) cuando t es real. Eso permite suponer, sin perdida de generalidad, que ||q || = 1

y ası haremos de ahora en adelante.

Ademas sucede que, pensando R3 como los cuaternios de parte real nula, tenemos Aq(R3) ⊂ R3.

Por la linealidad antes vista solo hara falta ver que Aq(i), Aq( j), Aq(k) ∈ R3. Lo veremos para uno

de ellos siendo analogos los otros casos. Sea q = a + bi + c j + dk y por tanto q −1 = a − bi − c j− dk.

Entonces Aq( j) = ab − ba + cd − cd + s = s donde s tiene parte real no nula. Haciendo lo mismo

para i, k y por linealidad concluimos que Aq(R3) ⊂ R3. Ademas, como Aq es automorfismo se

sigue, por argumento dimensional, que Aq(R3) = R3.

Sea q = cos θ + v sin θ y tomemos h ∈ R3 para el que h, v son ortogonales. Una cuenta sencilla

lleva a que su producto cuaternionico coincide con su producto vectorial y tenemos hv = −vh.

En ese caso:

Aq(v) = (cos θ + v sin θ)v(cos θ − v sin θ) = v,

Aq(h) = (cos θ +v sin θ)h(cos θ−v sin θ) = h(cos2 θ −sin2 θ)−2hv sin θ cos θ = h(cos2θ −v sin2θ).

Notemos que como hv es ortogonal a h sucede que el producto escalar < h, Aq(h) > vale cos 2θ y

< Aq(h), v > vale 0. Por tanto, la expresion anterior representa el giro de angulo 2θ con eje fijo

v. De ahı se sigue que toda rotacion admite una representacion de este tipo, pues toda rotacion

queda determinada por un eje fijo y un angulo de giro.

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