maden-statik-9.ders [uyumluluk modu]kisi.deu.edu.tr/kamile.tosun/maden-statik-9.pdfİki boyutlu...

İÇ KUVVETLER

Amaçlar:

• Bir elemanda kesit yöntemiyle iç kuvvetlerin bulunması

• Kesme kuvveti ve moment diyagramlarının çizilmesi

Yapısal elemanlarda oluşan iç kuvvetler

Bir yapısal veya mekanik elemanın tasarımı, dış yükleri dengelemede gerekliolan, eleman içine etkiyen yüklerin incelenmesini gerektirir. Başka bir deyişle,sözkonusu elemanın yapıldığı malzemenin, uygulanan kuvvetlere karşıdayanımını koruyup koruyamayacağının ortaya konması gerekir. Kesit yöntemibu amaç için kullanılabilir.

Şekildeki P1 ve P2 kuvvetlerinemaruz konsol kirişi ele alalım. Eğer Bnoktasında oluşan iç kuvvetlerinoktasında oluşan iç kuvvetleribulmak istiyorsak kiriş eksenine dikhayali bir a-a kesiti geçirmek gerekir,bu kesit ile kiriş iki parçaya ayrılır.

Kirişi B noktasından kestiğimizde, iç kuvvetler her bir parçanın serbest cisim diyagramında dış kuvvet olarak gösterilir. Bu kuvvetler kesitin her iki tarafında büyüklükçe eşit ve zıt yönlü olmalıdır (Newton’un üçüncü kanunu). Bu kuvvetler, parçaların birbirine göre relatif hareketini engellemektedir.

NB= kesite dik olarak etkiyen NORMAL KUVVET (eksenel kuvvet)

VB= kesite teğet olarak etkiyen KESME KUVVETİ

MB= kesite etkiyen EĞİLME MOMENTİ

B kesitindeki iç kuvvetler, parçalardan herhangi birine üç denge denkleminin uygulanmasıyla belirlenebilir. Sağ parçanın serbest cisim diyagramını kullanalım:

∑

∑

∑

=⇒

=⇒

=⇒

0

0

0

BB

B

B

MM

FyV

FxN

İki boyutlu problemlerde, kesitte üç adet iç kuvvet oluşmaktadır. Üç boyutta ise kesitte, genel bileşke iç kuvvet ve kuvvet çifti momenti etki edecektir. Bu kuvvetlerin x, y, z bileşenleri şekilde gösterilmektedir.

2 boyutlu

3 boyutlu

Bir çok uygulamada, bu bileşke kuvvetler kesitin enkesit alanının geometrik merkezi veya ağırlık merkezinde etki edecektir. Her bir kuvvetin büyüklüğü, elemanın ekseni boyunca çeşitli noktalarda farklı olacaktır. Bu nedenle, kesit yöntemi bir elemana birden fazla kez uygulanacaktır.

İŞARET KABULLERİ

Pozitif normal kuvvet

Pozitif kesme kuvveti Pozitif moment

Mühendislerin genellikle kullandığı N,V, M kuvvetlerinin pozitif yönleri aşağıda gösterilmiştir :

- Normal kuvvet elemanda çekme etkisi yaratıyorsa, yönü pozitiftir.

- Kesme kuvveti elemanı saat yönünde döndürüyorsa, yönü pozitiftir.

- Moment, elemanı aşağı doğru konkav şekle sokuyorsa, yönü pozitiftir.

Bu yönlerin tersi yönünde etki eden kuvvetler negatif olarak ele alınacaktır.

ANALİZDE İZLENECEK YOL

Bir eleman içinde belirli bir yerdeki iç kuvvetleri belirlemek için kesit yöntemininuygulanması aşağıdaki prosedür izlenerek yapılabilir.

Mesnet Tepkileri: eleman parçalara ayrıldığı zaman, denge denklemlerinin sadece iç kuvvetleri bulmak için kullanılabilmesi için, kesilmeden önce mesnet tepkilerini belirlemek gerekebilir.

Serbest Cisim Diyagramı: eleman üzerine etkiyen bütün dış kuvvetler (mesnet tepkileri dahil) eleman üzerinde etkidikleri yerler değiştirilmeden gösterilir. İç kuvvetlerin belirleneceği noktada eksene dik hayali bir kesit geçirilir. Parçalardan üzerinde en az kuvvet olan parçanın serbest cisim diyagramı çizilir. Kesitteki iç üzerinde en az kuvvet olan parçanın serbest cisim diyagramı çizilir. Kesitteki iç kuvvetler pozitif yönleriyle serbest cisim diyagramı üzerinde gösterilir.

Denge Denklemleri: bilinmeyen iç kuvvetlerin bulunması için denge denklemleriuygulanır. Normal ve Kesme kuvvetlerini elimine etmek için, Moment dengedenklemi kesite göre alınmalıdır. Denge denklemlerinin çözümü negatif bir sayıverirse, seçilmiş olan yön yanlıştır, kuvvetin yönü serbest cisim diyagramıüzerinde gösterilene terstir.

Kesme Kuvveti ve Moment Diyagramları

Ekonomik ve yapısal açıdan efektif bir tasarım yapılabilmesi için şekilde görülen kirişler açıklık boyunca farklı kesitlerde üretilmiştir. Çünkü kirişin ortasına kıyasla mesnetlerinde oluşan moment değeri daha büyük olacaktır.

Kirişler, eksenlerine dik uygulanan yükleri taşımak için tasarlanan elemanlardır.Genelde, kirişler sabit enkesit alanına sahip uzun, doğrusal çubuklardır.Mesnetlenme durumlarına göre sınıflandırılırlar. Örn: basit mesnetli kiriş ( birucunda pimli diğerine kayar mesnet), ankastre kiriş (bir ucundan ankastremesnetle sabitlenmiş, diğer ucu serbest) vb.

Bir kirişin tasarımı, kirişin ekseni boyunca her bir noktada etkiyen iç kesme kuvvetinin (V) ve eğilme momentinin (M) değişiminin detaylı olarak bilinmesini gerektirir.

Normal kuvvetin değişimi kirişlerin tasarımında dikkate alınmaz. Çünkü, genelde kuvvetler kiriş eksenlerine dik doğrultuda etkir ve bu kuvvetler sadece kesme kuvveti ve moment oluşturur. Ve tasarım açısından kirişlerin kesmeye ve eğilmeye karşı dayanımları eksenel yüke dayanımından çok daha önemlidir.

Kuvvet ve eğilme momenti analizi tamamlandıktan sonra, kirişin gerekli enkesit Kuvvet ve eğilme momenti analizi tamamlandıktan sonra, kirişin gerekli enkesit alanını belirlemek için malzeme mekaniği teorisi ve uygun bir mühendislik tasarım standardı kullanılabilir.

Kirişin ekseni boyunca x konumunun fonksiyonu olarak V ve M’nin değişimleri kesit yöntemi kullanılarak ele edilebilir. Bununla birlikte, kirişi belirli bir noktadan kesmek yerine bir uçtan keyfi bir uzaklıktan (x1, x2, x3 gibi) kesmek gerekir. x’in fonksiyonu olarak V ve M’nin değişimlerini gösteren grafiklere, kesme

kuvveti diyagramı ve eğilme momenti

diyagramı denir.

Genelde, yayılı yüklerin değiştiği ya da tekil kuvvet veya momentlerin uygulandığı noktalarda, iç kesme kuvveti ve eğilme noktalarda, iç kesme kuvveti ve eğilme momenti fonksiyonları veya bunların eğimleri süreksizdir. Bu nedenle, bu fonksiyonlar kirişin herhangi iki yükleme süreksizliği arasında yer alan her bir parçası için belirlenmelidir. Örn: şekildeki (Oa), (ab), (bL) parçaları için V ve M fonksiyonları için ayrı ayrı hesaplanmalıdır.

V(x1)

M(x1)

V(x2)

0 ≤ x1 ≤ a

V(x2)

M(x2)

V(x3)

M(x3)

a ≤ x2 ≤ b

b ≤ x3 ≤ L

a-) Yukarı yönlenmiş kuvvetler yukarı doğru ve aşağıya doğru yönlenmiş kuvvetler aşağı doğru çizilir.

b-)Kuvvetlerin bulunmadığı aralıklarda kesme kuvveti x eksenine paralel bir doğru, düzgün yayılı yük için lineer bir doğru ve üçgen yayılı yük için ikinci dereceden bir eğridir.

c-)Bir noktadaki eğilme momenti, kendisinden bir önceki eğilme momentinden, c-)Bir noktadaki eğilme momenti, kendisinden bir önceki eğilme momentinden, bu iki nokta arasındaki kesme kuvvetinin alanın toplanması veya çıkarılmasıyla elde edilir.

d-) Eğilme momenti diyagramının derecesi kesme kuvvetinin derecesinden bir fazladır.

İÇ TESİRLERİN KAYNAĞI DIŞ KUVVETLERDİR !

DIŞ KUVVETLERİÇ TESİRLER HESAPLANIR

N, M, T DİYAGRAMLARI

ÇEŞİTLİ HESAPLAMA YÖNTEMLERİ

TASARIM BOYUTLANDIRMA

N

T

M

N

T

M

Sol uç Sağ uç

İŞARET KABULLERİ

TT Sol uç Sağ uç

ÖRNEK 9-1

Şekildeki basit mesnetli kirişin kesme kuvveti ve moment diyagramlarını çiziniz.

Tüm kirişin serbest cisim diyagramından mesnet kuvvetlerini bulalım:

2m

A C

2m

5t

B

Tüm kirişin serbest cisim diyagramından mesnet kuvvetlerini bulalım:

5t

Ax

Ay Cy

A C

5t

B

Çözüm için öncelikle mesnet reaksiyonları hesaplanmalı, daha sonra kaç kesimyapılacağına karar verilmelidir. Açıklıkta 1 adet tekil yük bulunmaktadır. Kiriş bu yükünsolunda ve sağında olmak üzere iki parça halinde incelenmelidir.

AX

2m2m

B

5

0

=+

=

yy

x

CA

A

tCtA yy 5.25.2 ==

Ay Cy

Kesim A mesneti tarafından tekil kuvveti dışarıda bırakacak şekilde yapılır. Kesilen sağuca N,M,T işaret kuralına göre yerleştirilir:

A

x12.5t

N

T

M

11 5.205.20

5.205.20

00

xMxMM

tTTF

NF

y

x

==−=

==−=

==

∑

∑

∑+

+

+

tmMx A 001 ==

tmMx B 521 ==

0<x1<2m arasında geçerli bağıntılar:

0-2 metre arasında sabit

İkinci kesim B mesneti tarafından tekil kuvveti dışarıda bırakacak şekilde yapılır. Kesilensol uca N,M,T işaret kuralına göre yerleştirilir:

2.5t

C

x2

N

T

M

22 5.205.20

5.205.20

00

xMMxM

tTTF

NF

y

x

==−=

−==+=

==

∑

∑

∑+

+

+

002 == CMx

tmMx B 522 ==

0<x2<2.5m arasında geçerli bağıntılar:

0-2 metre arasında sabit

N (ton) +-

Diyagramların çiziminde elde edilen bağıntılardan yararlanılır. Basit yükleme durumlarında mesnet tepkileri ve yükleme durumuna bakılarak diyagramlar doğrudan çizilebilir.

Kesme kuvveti düşey yük ve tepkiler kullanılarak diyagrama işlenir. Kiriş üzerinde yük olmayan bölgelerde kesme

2m

A C

2m

5t

B

2.5t 2.5t

-

T (ton) +-

M (tm) -+

+

-

2.5 2.5

2.5

+ +

5

olmayan bölgelerde kesme kuvveti sabittir. Yük etkiyen noktalarda ani kesme kuvveti değişimi gözlenir.

Moment diyagramı kesme kuvveti diyagramı altında kalan alan (işaretine de bakılarak) kullanılarak çizilir.

2.5

İkinci bir alternatif olarak sağdaki parçanın hesaplamaları sağdan kesilerek deyapılabilir.

A B

2t

Aşağıda yükleme durumu verilen kirişin N,M,T diyagramlarını çiziniz.

3

5t

4

ÖRNEK 9 - 2

3m3m 2m

3m

A B

3m

2tçözüm

3

5t

4

2m

Ay

AX

By

3=x tA

C D

0*85*43*2

6

3

=+−−

=+

=

y

yy

x

B

BA

tA

tAtB yy 75.225.3 ==

İlk kesim:

A

x12.75t

N

T

M

3030 tNNF −==+=∑+

0<x1<3m arasında geçerli bağıntılar:

3t

(A-C)

11 75.2075.20

75.2075.20

3030

xMxMM

tTTF

tNNF

y

x

==−=

==−=

−==+=

∑

∑

∑+

+

+

tmMx A 001 ==

tmMx C 25.831 ==

İkinci kesim:

3030 tNNFx −==+=∑+

A

3m

2t

x2

N

T

M

2.75t

3t

0<x2<2m arasında geçerli bağıntılar:

C

(C-D)

222 75.025.80)3(*75.2*20

75.00275.20

3030

xMxxMM

tTTF

tNNF

y

x

+==+−+=

==−−=

−==+=

∑

∑

∑+

+

tmMx C 25.802 == tmMx D 75.922 ==

Son kesim: Kolaylık olması açısından diğer taraftan kesim yapılabilir.

3.25t

B

x3

N

T

M

0<x3<3m arasında geçerli bağıntılar:

(B-D)

33 25.3025.30

25.3025.30

00

xMMxM

tTTF

NF

y

x

==−=

−==+=

==

∑

∑

∑+

+

+

tmMx B 003 ==

tmMx D 75.933 ==

3m

A B

3m

2t

3

5t

4

2m

3t

4t

2.75t

3t

3.25t

N (ton) +-

3--

3

C D

-

T (ton) +-

M (tm) -+

+ +

3

2.750.75

3.25

+ +

8.25

--3

3.25

0.75

-

9.75

+

ÖRNEK 9 - 3

6 kN’luk kuvvetin hemen solundaki B noktası ve hemen sağındaki C noktasında oluşan Normal kuvvet, Kesme kuvveti ve Eğilme momentini belirleyiniz.

Mesnet kuvvetleri, tüm kirişin serbest cisim diyagramı kullanılarak bulunur.

ÇÖZÜM

AB parçası AC parçası

Kiriş B noktasından ve C noktasından kesilir, serbest cisim diyagramı çizilir.

AB parçası

AC parçası

Çözüm için öncelikle mesnet reaksiyonları hesaplanmalı, daha sonra kaç kesimyapılacağına karar verilmelidir. Açıklıkta 1 adet tekil yük bulunmaktadır. Kiriş bu yükünsolunda ve sağında olmak üzere iki parça halinde incelenmelidir.

AC

9kNm

6kN

AX

B

ÇÖZÜM 2

6m3m

Ay

AX

By

0*993*6

6

0

=++−

=+

=

y

yy

x

B

BA

A

kNAkNB yy 51 ==

Kesim A mesneti tarafından tekil kuvveti dışarıda bırakacak şekilde yapılır. Kesilen sağuca N,M,T işaret kuralına göre yerleştirilir:

A

x15t

N

T

M

0<x1<3m arasında geçerli bağıntılar:

11 5050

5050

00

xMxMM

kNTTF

NF

y

x

==−=

==−=

==

∑

∑

∑+

+

+

kNmMx A 001 ==

kNmMx C 1531 ==

0-3 metre arasında sabit

İkinci kesim B mesneti tarafından tekil kuvveti dışarıda bırakacak şekilde yapılır. Kesilensol uca N,M,T işaret kuralına göre yerleştirilir:

00 ==∑ NF+

0<x2<6m arasında geçerli bağıntılar:

0-3 metre arasında sabit

9kNm

1kN

B

x2

N

T

M

90.190

1010

00

22 +==−+=

−==+=

==

∑

∑

∑

xMMxM

kNTTF

NF

y

x+

+

+

kNmMx B 902 ==

kNmMx C 1562 ==

0-3 metre arasında sabit

6m

AC

3m

9kNm

6kN

5kN

AX=0

1kN

B

N (kN) +-

Diyagramların çizim-inde eldeedilen bağıntılardan yararlanılır.Basit yükleme du-rumlarındamesnet tepkileri ve yüklemedurumuna bakılarakdiyagramlar doğrudan çizilebilir.

Kesme kuvveti düşey yük vetepkiler kullanılarak diyagramaişlenir. Kiriş üzerinde yükolmayan bölgelerde kesmekuvveti sabittir. Yük etkiyen -

T (kN) +-

M (kNm) -+

+-

5 5

1 1

+ +

15

9

noktalarda ani kesme kuvvetideğişimi gözlenir.

Moment diyagramı kesmekuvveti diyagramı altında kalanalan (işaretine de bakılarak)kullanılarak çizilir. Tekil mo-ment olan noktalarda momentdiyagramında ani değişim olur.

Aşağıda yükleme durumu verilen kirişin N,M,T diyagramlarını çiziniz.

A C

3 t/m

4 t

ÖRNEK 9 - 4

A C

2m

5m

3m

B

A C

3 t/m

2m

5m

3m

4 t

B

Ay Cy

Ax

0=∑Fx Ax=00=∑Fx

0=∑ Fy

0=∑ AM

+

+

+

Ax=0

Ay+Cy-4t-(3t/m*5)=0 Ay + Cy = 19t

-4t*3m-(3t/m*5)*2.5m+5*Cy=0 Cy = 9.9t ( )

Ay = 9.1t ( )

A C

3 t/m

2m

5m

3m

4 t

B

9.1 t 9.9 t

(A-B) (B-C)

Kiriş B noktasındaki tekilkuvvet nedeniyle ikibölgeden oluşmaktadır.

A

x19.1 t

3 t/m

N

T

M

0<x1<3m arası:

C

3 t/m

9.9 t

N

T

M

x2

0<x2<2m arası:

(B-C)

A

x19.1 t

3 t/m

N

T

M

0<x1<3m arası:

(A-B)

00 NF ==∑+

tTx A 1.901 ==

2

111

11

11

5.11.902

31.90

31.90*31.90

00

xxMMx

xxM

xTTxF

NF

y

x

−==++−=

−==−−=

==

∑

∑

∑+

+

+

tmMx A 001 ==

tmMx B 8.1331

==

tTx B 1.031 ==

2.derece

C

3 t/m

9.9 t

N

T

M

x20<x2<2m arası:

(B-C)

tTx A 9.902 −==

2

222

22

22

5.19.902

39.90

9.930*39.90

00

xxMMx

xxM

xTTxF

NF

B

y

x

−==−−=

−==+−=

==

∑

∑

∑+

+

+

tmMx C 002 ==

tmMx B 8.1322

==

tTx A 9.902 −==

tTx B 9.322 −==

2.derece

A C

3 t/m

2m3m

4 t

B

9.1 t 9.9 t

N (ton) +-

Yayılı yüklerin bulunduğu kirişdiyagramlarında yayılı yük alanı(şerit yük*etkidiği mesafe)kesme kuvvetindeki mesafeboyunca doğrusal değişimigösterir.

Moment diyagramı da kesmekuvveti diyagramı altında kalanalan (işaretine de bakılarak) -

T (ton) +-

M (tm) -+

+

9.1

3.9

+

13.8

+

0.1

9.9

-

alan (işaretine de bakılarak)kullanılarak çizilir.

Kesme kuvvetinin sıfırdangeçtiği noktada eğilme momentimaksimum değerini alır.

2o

2o

A C

8 t/m

Aşağıda yükleme durumu verilen kirişin N,M,T diyagramlarını çiziniz.

3t

ÖRNEK 9 - 5

1.5m3m

B

A C

8 t/m

1.5m3m

B

3t

0=∑Fx A -3=0 A =3t

CyAy

Ax

0=∑Fx

0=∑ Fy

0=∑ AM

+

+

+

Ax-3=0 Ax=3t

Ay+Cy- (8t/m*3)=0 Ay + Cy = 24t

-(8t/m*3)*1.5m+4.5*Cy=0 Cy = 8t ( )

Ay = 16t ( )

A

x116 t

8 t/m

N

T

M

0<x1<3m arası:

(A-B)

3030 tNNF −==+=∑+

tTx A 1601 ==

3 t

2

111

11

11

41602

8160

8160*8160

3030

xxMMx

xxM

xTTxF

tNNF

y

x

−==++−=

−==−−=

−==+=

∑

∑

∑+

+

+

tmMx A 001 ==

tmMx B 1231 ==

tTx B 831 −==

2.derece

Kolaylık olması açısından diğer taraftan (sağdan) kesim yapılabilir.

8t

C

x2

N

T

M

(B-C)

3t

0<x2<1.5m arasında geçerli bağıntılar:

22 8080

8080

3030

xMMxM

tTTF

tNNF

y

x

==−=

−==+=

−==−−=

∑

∑

∑+

+

+

tmMx C 002 ==

tmMx B 125.12 ==

A C

8 t/m

1.5m3m

B

3t

8t16t

3t

N (ton) +-

3

16

--3

Üçgen benzerliğinden kesme

T (ton) +-

M (tm) -+

+

16

2m

++

16

8-

12

-

Üçgen benzerliğinden kesmekuvveti diyagramında sıfır kesmekuvveti noktası bulunur. Bu soruda2m Moment denkleminde yerinekonulursa:

8

+

2o

2

11 416 xxM −=

tmMx 1621 ==

Aşağıda yükleme durumu verilen kirişin N,M,T diyagramlarını çiziniz.

A B

2 t/m

6tm3tm

ÖRNEK 9 - 6

A B

3m

63

A B

2 t/m

3m

6tm3tm

0=∑Fx A =0

ByAy

Ax

0=∑Fx

0=∑ Fy

0=∑ AM

+

+

+

Ax=0

Ay+By- (2t/m*3)=0 Ay + Cy =6t

-(2t/m*3)*1.5m+3*By+3-6=0 By = 4t ( )

Ay = 2t ( )

A

x2 t

2 t/m

N

T

M

0<x<3m arası:

(A-B)

00 NF ==∑+

tTx A 201 ==

3tm

22302

2230

220*220

00

xxMxMx

xM

xTTxF

NF

y

x

−+−==−++=

−==−−=

==

∑

∑

∑+

+

+

tmMx A 301 −==

tmMx B 631 −==

tTx B 431 −==

2.derece

A B

2 t/m

3m

6tm3tm

N (ton) +-

2 t 4 t

Üçgen benzerliğinden kesme-

T (ton) +-

M (tm) -+

+2

4

-

2o

2o

1m

-

36

-2

Üçgen benzerliğinden kesmekuvveti diyagramında sıfır kesmekuvveti noktası bulunur. Bu soruda1m Moment denkleminde yerinekonulursa:

223 xxM −+−=

tmMx 211 −==

Aşağıda yükleme durumu verilen kirişin N,M,T diyagramlarını çiziniz.

A B

2 t/m

2tm

C

5t

4

3

ÖRNEK 9 - 7

2m 1m

A B

2 t/m

2m

2tm

C

5t

4

3

1m

0=∑Fx A -3=0 A =3t

Ay

Ax

MA

4t

3t

0=∑Fx

0=∑ Fy

0=∑ AM

+

+

+

Ax-3=0 Ax=3t

Ay- (2t/m*2)-4=0 Ay =8t

-(2t/m*2)*1m-4*3m-2+MA=0 MA= 18tm ( )

A

2 t/m

x1

8t

3t

18tm N

T

M

0<x1<2m arası:

(A-B)

3030 tNNF −==+=∑+

tTx A 801 ==

2

1111

1

11

818082

2180

280*280

3030

xxMMxx

xM

xTTxF

tNNF

y

x

−+−==+−+=

−==−−=

−==+=

∑

∑

∑+

+

+

tmMx A 1801 −==

tmMx B 621 −==

tTx B 421 ==

2.derece

B

2tm

C

4t

3t

x2

N

T

M

0<x2<1m arası:

(A-B)

22 420240

4040

3030

xMMxM

tTTF

tNNF

y

x

−−==−−−=

==−=

−==−−=

∑

∑

∑+

+

+

tmMx C 202 −== tmMx B 612 −==

A B

2 t/m

2m

2tm

C

1m

8t

3t

18tm

4t

3t

N (ton) +-

3--

3

T (ton) +-

M (tm) -+

+

84

2o

-

18

2

4

+

6

-

Aşağıda yükleme durumu verilen kirişin N,M,T diyagramlarını çiziniz.

A

2 t 5 t

BC

D 3tm

ÖRNEK 9 - 8

2m 3m 2m

C

A

2m 3m 2m

2 t 5 t

BC

D 3tm

0=∑Fx D =0

DyBy

Dx

0=∑Fx

0=∑ Fy

0=∑ BM

+

+

+

Dx=0

By+Dy-2-5=0 By + Dy =7t

2*2m-5*3m-3+Dy*5m=0 Dy = 2.8t ( )

By = 4.2t ( )

A

x1

2 t

N

T

M

0<x1<2m arası:

(A-B)

+

11 2020

2020

00

xMMxM

tTTF

NF

y

x

−==+=

−==+=

==

∑

∑

∑+

+

+

001 == AMx

tmMx B 421 −==

N

T

M

0<x2<3m arası:

(B-C)

00 ==∑ NF+

A

2m

2 t

B

4.2 tx2

42.20*2.4)2(*20

2.202.420

00

222 −==−++=

==+−=

==

∑

∑

∑

xMxMxM

tTTF

NF

y

x+

+

+

tmMx B 402 −==

tmMx C 6.232

==

0<x3<2m arası:

(C-D)

D 3tm

2.8 tx3

N

T

M

00 NF ==∑+

33 8.2308.230

8.208.20

00

xMMxM

tTTF

NF

y

x

+−==−+−=

−==+=

==

∑

∑

∑+

+

+

tmMx D 303 −== tmMx C 6.223 ==

A

2m 3m 2m

2 t 5 t

BC

D 3tm

4.2 t 2.8 t

N (ton) +-

T (ton) +-

M (tm) -+

-

+

2

-

+

4

-

2.6+

2.2 2.2

2.8 2.8

-

2

-3

Aşağıda yükleme durumu verilen kirişin N,M,T diyagramlarını çiziniz.

B

2 t/m

5t CA10tm

10t

ÖRNEK 9 - 9

5m 5m

2m2m 6m

B

2 t/m

5m

5t C

5m

A

2m2m 6m

10tm

10t

0=∑Fx A -10+5=0 A =5t

ByAy

Ax

0=∑Fx

0=∑ Fy

0=∑ AM

+

+

+

Ax-10+5=0 Ax=5t

Ay+By-10=0 Ay + By =10t

-(2*5)*2.5m-10tm+By*10m=0 By = 3.5t ( )

Ay = 6.5t ( )

2m2m

B

2 t/m

5m

5t C

5m

A

3m

10tm

10t

6.5t

5t

3.5t

3m

N (ton) +-

+

5-+

5

5 5

T (ton) +-

M (tm) -+

+6.5

-3.5

3.25

10.56

3.5

- -

7.5

17.5

+ +

Aşağıda yükleme durumu verilen kirişin N,M,T diyagramlarını çiziniz.

B

2 t/m

10tCA50tm

20t

ÖRNEK 9 - 10

5m 5m

2m2m 6m

B

2 t/m

5m

10tC

5m

A

2m2m 6m

50tm

20t

ByAy

Ax

0=∑Fx A -20+10=0 A =10t0=∑Fx

0=∑ Fy

0=∑ AM

+

+

+

Ax-20+10=0 Ax=10t

Ay+By-10=0 Ay + By =10t

-(2*5)*2.5m-50tm+By*10m=0 By = 7.5t ( )

Ay = 2.5t ( )

2m2m

B

2 t/m

5m

10tC

5m

A

3m

50tm

20t

2.5t

10t

7.5t

3m

N (ton) +-

+

10-

+

10

10 10

T (ton) +-

M (tm) -+

+

10

-

2.5

1.25

37.5

10

7.5

-

1.56

+ +

7.5

-12.5

Aşağıda yükleme durumu verilen kirişin N,M,T diyagramlarını çiziniz.

AB

200 kg/m

C D

25 kgm

ÖRNEK 9 - 11

0.2m 0.3m 0.5m

AB

200 kg/m

0.2m

C

0.3m

D

0.5m

25 kgm

0=∑Fx Ax=0

Ay

Ax

MA

0=∑Fx

0=∑ Fy

0=∑ AM

+

+

+

Ax=0

Ay- (200kg/m*0.5)=0 Ay =100kg

25+MA-100*0.75=0 MA= 50kgm ( )

100kg

50 kgm

N (kg) +-

AB

200 kg/m

0.2m

C

0.3m

D

0.5m

25 kgm

T (kg) +-

M (kgm) -+

+

100 100

2o-

50

+

-

+

30

55

25

-

Aşağıda yükleme durumu verilen kirişin N,M,T diyagramlarını çiziniz.

A

20t

CD

B20tm

10 t/m

ÖRNEK 9 - 12

A

1m 4m 1m

D

A

1m 4m 1m

20t

CD

B20tm

10 t/m

0=∑Fx B =00=∑Fx

0=∑ Fy

0=∑ BM

+

+

+

Bx=0

By+Cy-20-40=0 By + Cy =60t

-(4*10)*2m-20tm+Cy*4m+20t*1m=0 Cy = 20t ( )

By = 40t ( )

A

1m 4m 1m

20t

CD

B20tm

10 t/m

20t40t

N (t) +-

20

T (t) +-

M (tm) -+

20

-2m

20-

+

20

20

- - - -2020

0

Aşağıda yükleme durumu verilen kirişin N,M,T diyagramlarını çiziniz.

A

4t

CD

B

3 t/m

30o

ÖRNEK 9 - 13

2m 3m 1m

D

A

2m 3m 1m

4t

CD

B

3 t/m

30o

2t

3.46t

CyAy

Ax

0=∑Fx A -3.46=0 A =3.46t0=∑Fx

0=∑ Fy

0=∑ AM

+

+

+

Ax-3.46=0 Ax=3.46t

Ay+Cy-6-2=0 Ay + Cy =8t

-(3*2)*1m+Cy*5m-2t*6m=0 Cy = 3.6t ( )

Ay = 4.4t ( )

A

2m 3m 1m

4t

CD

B

3 t/m

30o

2t

3.46t

3.64.43.46

N (t) +- -

4.4

- -xx −

=

2

6.14.4

T (t) +-

M (tm) -+

3.23

1.47m1.6

-+

4.4

20

- -

2

1.6-

+2 2

+2.80+

mx 47.1=

Şekildeki kirişin kesme kuvveti ve moment diyagramlarını çiziniz.

ÖRNEK 9 - 14