matematika ii

Matematika II.

4. előadás

Műszaki térinformatikai 2016/2017. tanévszakirányú továbbképzési szak tavaszi félév

A 4. előadás vázlata

• Gráfelméleti alapismeretek

• Legrövidebb útvonal keresése a gráfban

Gráfok

• Mi a gráf?– Adott n pont a síkban (P = {P1, P2, P3, …, Pn), a P

halmazt nevezzük a gráf csúcspontjainak.

– Élnek nevezzük a gráf két tetszőleges csúcspontját összekötő vonalat (nem feltétlenül egyenes!).

– Jelölje eij azt az élt, amely az i. és a j. csúcspontot köti össze.

– Legyen E = {eij, 1 i, j n} az élek halmaza.

– Az él irányított, ha a csúcsok sorrendje egyben haladási irányt is jelent.

Gráfok

• Mi a gráf?– A G = {P, E} halmazt gráfnak nevezzük.

• Példa gráfra:

Gráfok

• Példa irányított gráfra:

Gráfok

• Útvonal két pont, P1 és P7 között (irányítás nélküli gráfban):

Gráfok

• Útvonal két pont, P1 és P7 között (irányított gráfban):

Gráfok

• Impedancia (súly) hozzárendelése a gráf éleihez:

Gráfok

• Legkisebb súlyú (impedanciájú) útvonal keresése a gráfban a P1 és a P7 csúcsok között:

Útvonalkeresés a gráfban I.

• A legrövidebb útvonal kikeresésének algoritmusa:– A kezdőponthoz 0-t, a többi ponthoz végtelent

rendelünk hozzá.

- A kezdőpontból kiinduló élek súlyát rendre hozzá-adjuk a kezdőpont súlyához, és ha ez kisebb, mint a végpont aktuális súlya, akkor kicseréljük.

- Megjegyezzük, melyik él mentén értük el ezt a legkisebb értéket.

- Az eljárást a többi csúcspontra is elvégezzük, amiből eddig még nem indultunk el.

Útvonalkeresés a gráfban II.

• A legrövidebb útvonal kikeresésének algoritmusa (folytatás):– Az eljárás akkor ér véget, ha az összes csúcspontból

elvégeztük az előzőeket és mindegyik csúcsponthoz végtelentől különböző értéket rendeltünk már hozzá.

- Ekkor a legrövidebb út összesített súlya a végpontban álló szám, az útvonal pedig innen visszafelé haladva, a jelölt élek mentén járható be.

Mintapélda az útvonalkeresésre

• 1. lépés: induló állapot előállítása

Mintapélda az útvonalkeresésre

• 2. lépés: a P1-ből kiinduló élek végpontjaiban az összegzett súly és irány beírása

Mintapélda az útvonalkeresésre

• 3. lépés: a P2-ből kiinduló élek végpontjaiban az összegzett súly és irány beírása

Mintapélda az útvonalkeresésre

• 4. lépés: a P3-ból kiinduló élek végpontjaiban az összegzett súly és irány beírása

Mintapélda az útvonalkeresésre

• 5. lépés: a P4-ből kiinduló élek végpontjaiban az összegzett súly és irány beírása

Mintapélda az útvonalkeresésre

• 6-8. lépés: a P5-ből, a P6-ból és a P8-ból kiin-duló élek végpontjaiban az összegzés elvégzése

Mintapélda az útvonalkeresésre

• 9. lépés: Miután az összes éllel kiszámoltuk az összegzett súlyt, kapjuk az optimális út súlyára a P7-es csúcsban a 14 értéket, és az útvonalat a nyilak mentén visszafejtve kapjuk a

P1 - P2 - P4 - P6 -P7

végeredményt.

Gyakorló feladat az útvonalkeresésre

A gyakorló feladat megoldása

A gyakorló feladat megoldása

• Az optimális út súlyára a jobb szélső csúcsban leolvashatjuk a 16 értéket, az optimális útvonalat pedig a piros vonalak mentén járhatjuk be.