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Método de Newton-Raphson

IntroduçãoNo caso de polinômios de alto grau e de funções mais complicadas é impraticável localizar suas raízes exatas.

– Para contornar este problema, foram criados métodos iterativos de aproximações de raízes de funções com qualquer precisão pré-fixada.

– O método de Newton-Raphson é rápido, e encontra raízes que tocam o eixo. Porém, é necessário o cálculo da derivada da função, o que nem sempre é fácil.

Método de Newton-Raphson

Algoritmo

Método de Newton-Raphson

ExemploSeja f(x) = x3 + 9x + 3; x0 = 0,5; ε1 = ε2= 1 x10-4; ε ϵ (0,1)Aplicar o método de Newton-Raphson para obtenção das raízes aproximadas.

Método de Newton-Raphson

Solução:f(x) = x3 - 9x + 3Derivando:f‘(x)=3x2-9Sabe-se que x0=0,5, então

f(0,5)= (0,53)-(9x0,5)+3= -1,375f‘(0,5)=3x(0,52)-9=-8,25

Aplicando-se:

X1=0,5-0,1667=0,3333

Método de Newton-Raphson

Para x1=0,3333, temos que

f(0,3333)= (0,33333)-(9x0,3333)+3= 0,03732f‘(0,3333)=3x(0,33332)-9=-8,6667

X2=0,3333+0,0043=0,3376

Então:f(0,3376)= (0,33763)-(9x0,3376)+3=0,00007f‘(0,3376)=3x(0,33762)-9=-8,65807

X3=0,3376+0,00000808=0,3376

Método de Newton-Raphson