04 metodo de newton raphson

MÉTODOS NUMÉRICOS

CAPÍTULO 1: SOLUCIÓN DE

ECUACIONES DE UNA VARIABLE.

MÉTODO DE NEWTON - RAPHSON.

Ing. Willians Medina.

Maturín, Junio de 2015.

Capítulo 1. Solución de ecuaciones de una variable. Método de Newton – Raphson.

Métodos Numéricos. Ing. Willians Medina. http://www.slideshare.net/asesoracademico/ 66

1.8.- MÉTODOS ABIERTOS.

En los métodos cerrados de la sección anterior la raíz se encuentra dentro del intervalo

predeterminado por un límite inferior y otro superior. La aplicación repetida de estos

métodos siempre genera aproximaciones cada vez más cercanas a la raíz. Se dice que tales

métodos son convergentes porque se acercan progresivamente a la raíz a medida que se

avanza en el cálculo.

En contraste, los métodos abiertos descritos en esta sección se basan en fórmulas

que requieren únicamente de un solo valor de inicio x o que empiecen con un par de ellos,

pero que no necesariamente encierren la raíz. Estos, algunas veces divergen o se alejan de

la raíz verdadera a medida que se avanza en el cálculo. Sin embargo, cuando los métodos

abiertos convergen, en general lo hacen mucho más rápido que los métodos cerrados.

1.9.- MÉTODO DE NEWTON – RAPHSON.

El método de Newton – Raphson (o simplemente Newton) es uno de los métodos

numéricos más conocidos y poderosos para la resolución del problema de búsqueda de

raíces de 0)( xf . Hay, por lo menos, tres maneras usuales de introducir el método de

Newton. La más común es considerar la técnica gráficamente. Otra posibilidad es la de

derivar el método de Newton como una técnica simple para obtener una convergencia más

rápida de la que ofrecen muchos otros tipos de iteración funcional. La tercera manera de

introducir el método de Newton, la cual se discutirá posteriormente, es un enfoque intuitivo

basado en el polinomio de Taylor.

Este método, el cual es un método iterativo, es uno de los más usados y efectivos. A

diferencia de los métodos anteriores, el método de Newton – Raphson no trabaja sobre un

intervalo sino que basa su fórmula en un proceso iterativo.

Supongamos que tenemos la aproximación 0x a la raíz p de )(xf ,



Figura 1.28. Aplicación del método de Newton –

Raphson.

Trazamos la recta tangente a la curva en el punto ))(,( 00 xfx ; ésta cruza al eje x en un

punto 1x que será nuestra siguiente aproximación a la raíz p.

Para calcular el punto 1x , calculamos primero la ecuación de la recta tangente. Sabemos

que tiene pendiente

)( 0xfm

Y por lo tanto la ecuación de la recta tangente es:

)()()( 000 xxxfxfy

Hacemos 0y , 1xx :

)()()( 0100 xxxfxf

Y despejamos 1x :

)(

)(

0

001

xf

xfxx

Que es la fórmula iterativa de Newton – Raphson para calcular la siguiente aproximación:

)(

)(

1

11

i

iii

xf

xfxx , ni ...,,3,2,1 (1.18)

En la figura siguiente se ilustra la aplicación sucesiva del método de Newton – Raphson.



Figura 1.29. Ilustración del método de Newton –

Raphson.

Basándonos en el polinomio de Taylor, es posible deducir la fórmula iterativa del Método

de Newton – Raphson como se muestra a continuación.

Supóngase que la función f es continuamente diferenciable dos veces en el intervalo

],[ ba ; o sea, ],[C 2 baf . Sea ],[ 0 bax una aproximación a p tal que 0)( 0 xf y

01 xx es “pequeño”. Considere el polinomio de Taylor de primer grado para )(xf

alrededor de 0x .

))((2

)()()()()(

2

0000 xf

xxxfxxxfxf

(1.19)

donde )(x está entre x y 0x . Como 0)( xf , la ecuación (1.19) con 1xx , nos da

))((2

)()()()(0

2

010010 xf

xxxfxxxf

(1.20)

El método de Newton se deriva suponiendo que el término que contiene a 2

01 )( xx es

despreciable y que

)()()()( 0010 xfxxxfxf (1.21)

)(

)(

0

001

xf

xfxx

(1.22)

Despejando 1x de esta ecuación da:

)(

)(

0

001

xf

xfxx

(1.23)



lo cual debe ser una mejor aproximación a x que 0x . Esto prepara el terreno para el método

de Newton – Raphson, que involucra el generar la sucesión }{ ix definida por

)(

)(

1

11

i

iii

xf

xfxx , 1i (1.24)

Note que el método de Newton – Raphson no trabaja con intervalos donde nos asegure que

encontraremos la raíz, y de hecho no tenemos ninguna garantía de que nos aproximaremos

a dicha raíz. Desde luego, existen ejemplos donde este método no converge a la raíz, en

cuyo caso se dice que el método diverge. Sin embargo, en los casos donde si converge a la

raíz lo hace con una rapidez impresionante, por lo cual es uno de los métodos preferidos

por excelencia.

También observe que en el caso de que 0)( 1 ixf , el método no se puede aplicar. De

hecho, vemos geométricamente que esto significa que la recta tangente es horizontal y por

lo tanto no intersecta al eje x en ningún punto, a menos que coincida con éste, en cuyo caso

1ix mismo es una raíz de )(xf !

Requisitos para la aplicación del método de Newton - Raphson.

Para la aplicación del método de Newton – Raphson, debe disponerse de:

a) La ecuación a resolver, la cual conduce a la función 0)( xf .

b) Una estimación inicial 0x del valor de la raíz.

c) Un mecanismo de paro, que puede ser el número de iteraciones o la cota de error.

El método de Newton – Raphson se realiza con los siguientes pasos:

i) Definir )(xf . Debe tenerse en cuenta que la función a la cual se le determinarán las

raíces debe ser continua.

ii) Encontrar )(xf , la derivada de la función.

iii) La fórmula iterativa del método es: )(

)(

1

11

i

iii

xf

xfxx . Esta fórmula se aplica mediante

la determinación de la función )(xf y la derivada )(xf en 1ix , esto es, )( 1ixf y



)( 1

ixf y posterior sustitución ó sustituyendo las expresiones correspondientes a )(xf y

)(xf en la fórmula iterativa directamente.

Algoritmo del método de Newton – Raphson.

Para encontrar una solución de 0)( xf dada una aproximación inicial 0x :

ENTRADA: Aproximación inicial 0x ; Tolerancia TOL; máximo número de iteraciones N.

SALIDA: Solución aproximada p o mensaje de fracaso.

Paso 1. Tomar 1i . Determinar )( 0xf y )( 0xf .

Paso 2. Mientras que Ni , seguir Pasos 3 – 6.

Paso 3. Tomar )(

)(

1

11

i

iii

xf

xfxx . (Calcular ix )

Paso 4. Determinar )( ixf . Si 0)( ixf ó TOLx

xx

i

ii 1001 entonces

SALIDA ( ix ); (Procedimiento completado satisfactoriamente).

PARAR

Paso 5. Determinar )( ixf .

Paso 6. Tomar 1 ii .

Paso 7. SALIDA (“El método fracasó después de N iteraciones”). (Procedimiento

completado sin éxito).

PARAR.

Ejemplo 1.13.

Determine la raíz de 02 xex usando el método de Newton – Raphson con 20 x .

Realice tres iteraciones. Calcule el error relativo porcentual tanto aproximado como

verdadero en la última iteración, con base en el hecho de que la raíz es 0.70346742250.

Solución.

- Ecuación a resolver: 02 xex .

- Una estimación inicial 0x del valor de la raíz es 20 x .

- Se ejecutarán 3 iteraciones.



Desarrollo del método.

i) Definimos xexxf 2)( .

ii) Derivada de la función: xexxf 2)( .

iii) Determinamos la primera aproximación de la raíz.

Primera iteración ( 1i ).

)(

)(

0

001

xf

xfxx

20 x

68646647167.3)2()2()( )2(2

0 efxf

41353352832.4)2(2)2()( )2(

0 efxf

41353352832.4

68646647167.321 x

2731.065453111 x

En la figura siguiente se observa el principio del método. Se ha trazado la recta tangente en

20 x . El punto donde esta recta corta al eje x es el valor de la estimación de la raíz. El

valor indicado es 2731.065453111 x .

Figura 1.30. Primera iteración del método de Newton

– Raphson para xexxf 2)( con 20 x .

Segunda iteración ( 2i ).

)(

)(

1

112

xf

xfxx



2731.065453111 x

5860.79061864)2731.06545311()2731.06545311()( )2731.06545311(2

1 efxf

5032.47547791)2731.06545311(2)2731.06545311()( )2731.06545311(

1 efxf

5032.47547791

5860.790618642731.065453112 x

6970.746072902 x

Gráficamente:

Figura 1.31. Segunda iteración del método de

Newton – Raphson para xexxf 2)( con

20 x .

Tercera iteración ( 3i ).

)(

)(

2

223

xf

xfxx

6970.746072902 x

5170.08239955)6970.74607290()6970.74607290()( )6970.74607290(2

2 efxf

1281.96637104)6970.74607290(2)6970.74607290()( )6970.74607290(

2 efxf

1281.96637104

70823995551.06970.746072903 x

9090.704168523 x

Gráficamente:



Figura 1.32. Tercera iteración del método de Newton

– Raphson para xexxf 2)( con 20 x .

Obsérvese que las estimaciones sucesivas de la raíz de la ecuación cada vez más se

aproximan al verdadero valor de la raíz.

Error relativo porcentual de aproximación.

100actualón Aproximaci

anteriorón Aproximaciactualón Aproximaci

a

1009090.70416852

6970.746072909090.70416852

a

%95.5a

Error relativo porcentual verdadero.

100aderoValor verd

aproximadoValor aderoValor verd

t

1002500.70346742

6970.746072902500.70346742

t

%06.6t

Los resultados que se obtienen de la aplicación del método se resumen en la siguiente

tabla:

i 1ix )( 1ixf )( 1

ixf ix a , %

1 2 3.86466471676 4.13533528324 1.06545311273 87.71

2 1.06545311273 0.79061864586 2.47547791503 0.74607290697 42.81

3 0.74607290697 0.08239955517 1.96637104128 0.70416852909 5.95



La solución de la ecuación 02 xex es 97041685290.03 x , obtenida aplicando el

método de Newton – Raphson con una estimación inicial 20 x y tres iteraciones. El error

relativo porcentual de aproximación es 5.95%.

Una forma adicional de resolver el mismo ejercicio aplicando el método de Newton –

Raphson se ilustra a continuación.

La fórmula iterativa es:

)(

)(

1

11

i

iii

xf

xfxx

xexxf 2)( → 12

11)(

ix

ii exxf

xexxf 2)( → 1

11 2)(

ix

ii exxf

Luego la fórmula iterativa se escribe como:

1

1

1

2

11

2

i

i

x

i

x

iii

ex

exxx

Y con la estimación inicial 20 x , se determinan los valores de las estimaciones sucesivas.

Primera iteración ( 1i ):

0

0

0

2

001

2x

x

ex

exxx

)2(

)2(2

1)2(2

)2(2

e

ex

2731.065453111 x

Segunda iteración ( 2i ):

1

1

1

2

112

2x

x

ex

exxx

)2731.06545311(

)2731.06545311(2

2)2731.06545311(2

)2731.06545311(2731.06545311

e

ex

6970.746072902 x

Tercera iteración ( 3i ):



2

2

2

2

223

2x

x

ex

exxx

)6970.74607290(

)6970.74607290(2

3)6970.74607290(2

)6970.74607290(6970.74607290

e

ex

9090.704168523 x

El método de Newton es una técnica extremadamente poderosa, pero tiene una dificultad

grande: la necesidad de saber el valor de la derivada de f en cada aproximación.

Frecuentemente ocurre que )(xf es mucho más complicada y necesita de más operaciones

aritméticas para su cálculo que )(xf . Como un ejemplo simple, sea )2(cos3)( 2 xxxf x ,

entonces )2(sen323ln)2(cos3)2(cos32)( 22 xxxxxxxf xxx ó en forma más

“simple” )]2(sen23ln)2(cos)2(cos2[3)( xxxxxxxf x .

Resumen del método de Newton - Raphson.

a) El método de Newton utiliza de forma iterativa las rectas tangentes que pasan por las

aproximaciones consecutivas de la raíz.

b) El método requiere de una buena estimación inicial. De otro modo, la solución iterativa

puede diverger o converger a una solución irrelevante.

c) La razón de convergencia iterativa del método de Newton es alta, cuando funciona.

Optimizando el uso de la calculadora.

Utilizando la opción de evaluación de funciones de la calculadora CASIO fx-570 ES PLUS,

el ejemplo 1.13 se pudo resolver de manera inmediata ingresando la función

x

x

ex

exxxf

2)(

2

y evaluándola primero en 2x y luego en los valores recién

obtenidos, los cuales la calculadora almacena en la tecla Ans.

La secuencia para ingresar la función es:

ALPHA , ) , – , ( , ALPHA , ) , x2 , – , SHIFT , ln , (–) , ALPHA , ) , , ) , ÷ , ( , 2 ,

ALPHA , ) , + , SHIFT , ln , (–) , ALPHA , ) , , )

El display muestra:



)2() xx exe R Math

Para evaluar en 2x , presionar las teclas CALC , 2 , =. El display de la calculadora

reporta:

xexx x 2()( 2 R Math

1.065453113

Este valor 065453113.1x es la primera aproximación a la raíz de la ecuación

02 xex . Las estimaciones sucesivas, se obtienen en forma inmediata presionando

sucesivamente las teclas = , Ans , = y observando el display de la calculadora.

La secuencia que se muestra en el display para la segunda y tercera iteraciones son:


0.746072907


0.7041685291

Y así podríamos continuar hasta completar el número de iteraciones requeridas. Así

podemos determinar la raíz de la ecuación aplicando el método de Newton – Raphson con

la exactitud requerida en una forma rápida y conociendo los valores de x en cada iteración.

No hay límite para el número de iteraciones que podemos conseguir utilizando la

calculadora indicada de esta forma.

Obsérvese que el procedimiento anterior condujo a las estimaciones de la raíz de la

ecuación en cada iteración, pero no muestra los resultados parciales de la evaluación de la

función y la derivada en cada x, los cuales son útiles para construir la tabla resumen. En

este sentido, algunas calculadoras también disponen de la herramienta para ejecutar dos o

más operaciones simultáneamente, con lo cual se pueden evaluar dos funciones (por

ejemplo la función y la derivada) en un mismo valor de x en una sola operación. Para

evaluar la función y la derivada simultáneamente en un mismo valor de x, la secuencia de

teclas es la siguiente:

ALPHA , ) , x2 , – , SHIFT , ln , (–) , ALPHA , ) , , ALPHA , ʃ , 2 , ALPHA, ) , + ,

SHIFT , ln , (–) , ALPHA , )



Observaremos en el display:

xx exex 2:2 R Math

Para evaluar en 2x (la estimación inicial) presionar las teclas: CALC , 2 , =. El display

de la calculadora reporta:

xex 2 R Math Disp

3.864664717

Este valor 3.864664717 es el correspondiente a la función xexxf 2)( en 2x . Al

presionar = nuevamente, el display muestra

xex 2 R Math Disp

4.135335283

Este valor 4.135335283 es el correspondiente a la función xexxf 2)( (la derivada) en

2x , esto es, )2(f . Finalmente, se puede calcular la primera estimación como

065453113.1135335283.4

864664717.32

Y se repite el procedimiento con éste último valor para obtener la segunda estimación de la

raíz. Es en este punto que conviene disponer de dos calculadoras, pues con una se evalúan

las funciones, y con la otra se calculan las estimaciones.

La derivada de la función.

En el método de Newton – Raphson se requiere evaluar la derivada de la función en los

puntos sucesivos correspondientes a las estimaciones de la raíz. En el ejemplo resuelto, esta

derivada se realizó analíticamente y se evaluó en los puntos indicados. No obstante, la

mayoría de las calculadoras científicas disponen de la opción para evaluar numéricamente

derivadas a partir de la función original.

En el ejercicio resuelto, durante la primera iteración se requirió determinar

3244.13533528)2(2)2( )2( ef .

Se indicará la secuencia de teclas para evaluar la derivada indicada:

SHIFT , ʃ , ALPHA , ) , x 2 , – , SHIFT , ln , (–) , ALPHA , ) , , , 2 , =

El display de la calculadora muestra:



2

2 )(

x

xexxd

d

R Math

4.135335283

Y de esta manera podemos disponer de la derivada de la función en el punto, sin tener que

determinar la derivada explícitamente a partir de la función.

Por último, aprovechando al máximo los recursos de la calculadora, se explicará cómo

resolver paso a paso el ejemplo 1.13 (y obtener la tabla resumen) sólo con el uso de la

calculadora y sin recurrir a derivadas explícitas.

A la función la almacenaremos con la variable “F”, de función, mientras que la derivada

será almacenada en la memoria con la tecla “D”, de derivada, y las estimaciones sucesivas

con la tecla “X”. Presionaremos

ALPHA , tan , ALPHA , CALC , ALPHA , ) , x2

, – , SHIFT , ln , (–) , ALPHA , X , ,

ALPHA , ʃ , ALPHA , sin , ALPHA , CALC , SHIFT , ʃ , ALPHA , ) , x2

, – , SHIFT , ln ,

(–) , ALPHA , ) , , , ALPHA , ) , , ALPHA , ʃ , ALPHA , X , – , ALPHA , tan , ÷ ,

ALPHA , sin

Presionar la tecla CALC.

Presionar la estimación inicial: 2 y seguidamente la tecla =.

En el display aparece la función evaluada en 2x :

xexF 2 R Math Disp

3.864664717

Al presionar la tecla = nuevamente, el display mostrará el valor de la derivada evaluada en

2x :

R Math Disp

x

xexxd

dD )( 2

4.135335283

Finalmente, al presionar la tecla = , el display mostrará el resultado correspondiente a la

primera estimación del valor de x.

DFx R Math

1.065453113



Para obtener los resultados de la segunda iteración, simplemente presionamos las teclas = ,

Ans , = y la calculadora reportará los valores correspondientes a la función, la derivada y la

segunda estimación en 065453113.1x , reportando en este caso los valores

0.7906186459, 2.475477915 y 0.746072907, respectivamente. Por último, los resultados de

la tercera iteración se obtienen al presionar = , Ans , =, reportándose los resultados

0.08239955517, 1.966371041, 0.7041685291. De esta manera podemos completar la tabla

resumen como la indicada en la solución del ejemplo 1.13 y podemos disponer de la

función, la derivada y la estimación en cada iteración de la aplicación del método de

Newton – Raphson prescindiendo de la derivada explícita de la función a la cual se le desea

determinar la raíz. Tampoco existe límite para la cantidad de iteraciones que se pueden

ejecutar aplicando este procedimiento.

En este punto es conveniente hacer un comentario acerca de la solución de un

problema de Métodos Numéricos. Es un hecho que cuando tenemos un problema, a veces

existen varias herramientas para resolverlo, y académicamente estamos limitados a los

requerimientos de los objetivos del curso, por ejemplo, si el problema es “Determine la raíz

de 02 xex ”, podríamos tomar nuestra calculadora y proceder como se explicó

anteriormente, y simple e inmediatamente reportaremos: “La solución de la ecuación

02 xex es 7034674225.0x ”, y la conclusión, obtenida con este mecanismo es

perfectamente correcta y válida, pues satisface los requerimientos planteados en el

problema. Ahora, si el problema planteado es “Determine la raíz de 02 xex usando el

método de Newton – Raphson con 20 x . Realice tres iteraciones. Determine el error en la

última iteración.”, entonces disponemos de varios mecanismos de solución, de los cuales se

han mostrado cuatro diferentes (2 aplicando el método de manera rigurosa y dos aplicando

la calculadora), y, dependiendo de las herramientas, existen al menos tres métodos

adicionales. Entonces es aquí donde queda a libertad del estudiante utilizar las herramientas

que le sean permitidas para resolver el problema planteado. No es conveniente limitarlo a

que debe utilizar una herramienta en particular y apegado estrictamente al procedimiento

que el profesor determine, pues se le estaría coartando la libertad de pensar y con ello, la



libertad de innovar, desarrollar, crear, inventar. En un curso de métodos numéricos,

particularmente plantearía el problema de esta forma:

“Determine la raíz de 02 xex usando el método de Newton – Raphson con 20 x .

Realice tres iteraciones. Determine el error relativo porcentual de aproximación en la

última iteración. Muestre explícitamente los cálculos de cada iteración”.

Cuando el estudiante esté resolviendo este planteamiento, el profesor estará seguro que el

estudiante no se limitará estrictamente al uso de la calculadora tal como se explicó

anteriormente, pues debe mostrar la secuencia de cálculos con sus soportes

correspondientes en el papel, sin embargo, tendrá un camino ganado porque tendrá la

solución del problema y de todos los resultados intermedios y sólo debe hacer los soportes

correspondientes justificando con sus cálculos todos los resultados. En lo particular,

planteando el problema de esta última forma, le dejaría la libertad al estudiante que

resuelva el planteamiento “como pueda y con las herramientas que disponga” pero sin dejar

de evaluar la aplicación rigurosa y exhaustiva del método, que es el objetivo del curso.

Si queremos ser más ambiciosos en los requerimientos del problema, entonces

podríamos plantear:

“Determine la raíz de 02 xex usando el método de Newton – Raphson con 20 x .

Realice diez iteraciones. Determine el error relativo porcentual de aproximación en la

última iteración. Muestre explícitamente los cálculos en las tres primeras iteraciones”.

Aquí el estudiante no tiene otras opciones sino: 1) conocer la aplicación rigurosa del

método numérico y 2) conocer exhaustivamente el uso de la calculadora. Las tres primeras

iteraciones las realizará usando la calculadora y aplicando rigurosamente el método con sus

soportes correspondientes, mientras que para las 7 restantes se limitará a utilizar la

calculadora apropiadamente y registrando los valores en una tabla resumen.

Si no se da libertad al estudiante de utilizar la calculadora en la forma como se ha

explicado en esta sección, un problema planteado como en la última oportunidad es un

requerimiento innecesario, pues en primer lugar realizar rigurosamente un trabajo de tal

magnitud requiere demasiado tiempo para su ejecución, y en segundo lugar,



académicamente no aporta ningún valor agregado al estudiante en cuanto a conocimiento

y/o aprendizaje, pues si sabe realizar 3 iteraciones correctamente con su soporte

correspondiente en el papel, entonces sabe realizar 10, 100, 1000 y todas las que se le

exijan. Entonces para qué someterlo a una prueba de resistencia, exigiendo ejecutar

exhaustivamente una alta cantidad de iteraciones, cuando la prueba que realmente debe

privar en el objetivo es una prueba de conocimiento?.

Recuérdese que una relativamente alta cantidad del número de iteraciones no está

asociado sólo con su requerimiento explícito, sino que implícitamente está relacionado con

la exactitud en la solución del problema. En este sentido, un planteamiento razonable es:

“Determine la raíz de 02 xex usando el método de Newton – Raphson con 20 x con

una exactitud de 10–6

. Muestre explícitamente los cálculos en las tres primeras iteraciones”

en lugar de:

“Determine la raíz de 02 xex usando el método de Newton – Raphson con 20 x con

una exactitud de 10–6

”.

Para obtener una respuesta correcta, es necesario plantear las preguntas

correctamente.

Ejercicios propuestos.

40. [BF] Resolver xex cos4 con una exactitud de 10–4

, usando el método de Newton con

10 x .

41. [CC] Utilice el método de Newton – Raphson para determinar la raíz de

5.27.19.0)( 2 xxxf usando 50 x . Efectúe el cálculo hasta que a sea menor que

%01.0s .

42. [BF] Use el método de Newton - Raphson para aproximar las soluciones de las

ecuaciones siguientes con precisión de 10–5

.

a) 3

2 2xex

x 10 x b) 03 2 xex 10 x

c) 06cos22 xe xx 21 x d) 0cos102 xx (Ver ejercicio 26).



43. [BF] Encuentre una raíz aproximada de 013 xx en ]2,1[ con precisión de 10–5

,

por el método de Newton.

44. [BF] Aproxime con 10–4

de precisión las raíces de las siguientes ecuaciones en los

intervalos dados usando el método de Newton.

a) 052 23 xx , ]4,1[ b) 013 23 xx , ]0,4[

c) 0cos xx , ],0[ 21 d) 0sen2.08.0 xx , ],0[ 2

1

45. [BF] Calcule una aproximación de 3 exacta a 10–4

, usando el método de Newton con

20 x . Compare sus resultados con los obtenidos en el ejercicio 22.

46. [CC] Determine la mayor raíz real de 1.6116)( 23 xxxxf :

a) Gráficamente.

b) Con el método de Newton – Raphson (tres iteraciones, 5.30 x ).

47. [CC] Determine la menor raíz positiva de 1sen 7)( xexf x :

a) Gráficamente

b) Con el método de Newton – Raphson (tres iteraciones, 3.00 x ).

48. [BF] La función descrita por xexxf x cos)1(ln)( 4.02 tiene un número infinito de

ceros. La figura siguiente muestra el gráfico de la función indicada en el intervalo 3,3 .

Figura 1.33. Gráfica de la función

xexxf x cos)1(ln)( 4.02 .

a) Use el método de Newton para determinar, dentro de 10–6

, el único cero negativo.



b) Use el método de Newton para determinar, dentro de 10–6

, los tres ceros positivos más

pequeños.

49. [CC] Determine las raíces reales de 32 5.0460.2)( xxxxf :

a) Gráficamente.

b) Usando el método de Newton – Raphson que cumpla con %01.0s .

50. [CC] Emplee el método de Newton – Raphson para determinar la raíz real de

32 5.0460.2)( xxxxf , usando valores iniciales de a) 4.2 y b) 4.43. Discuta y use

métodos gráficos y analíticos para explicar las peculiaridades de los resultados.

51. [BF] Use el método de Newton para resolver la ecuación 0)(sen 2

21 xx con

2

10 x . Itere usando el método de Newton hasta que se obtenga una precisión de 10

–5

para la raíz aproximada, con 2

21 )(sen)( xxxf . Parecen los resultados fuera de lo

común para el método de Newton? Resuelva también la ecuación con 50 x y 100 x .

52. [BF] La función 2

74)(

x

xxf tiene un cero en 75.1x . Use el método de Newton

con las siguientes aproximaciones iniciales.

a) 625.10 x b) 875.10 x c) 5.10 x

d) 95.10 x e) 30 x f) 70 x

53. [BF] La suma de dos números es 20. Si a cada número se le añade su raíz cuadrada, el

producto de las dos sumas es igual a 155.55. Determine los dos números con una exactitud

de 10–4

.

54. [BF] Use el método de Newton para aproximar, con una exactitud de 10–4

, el valor de

x que produce el punto en la gráfica de 2xy más cercano a )0,1( . [Sugerencia:

Minimice [ )(xd ]2, donde )(xd representa la distancia de ),( 2xx a )0,1( .

55. [BF] Use el método de Newton para aproximar, con una exactitud de 10–4

, el valor de

x que produce el punto en la gráfica de x

y1

más cercano a )1,2( .



56. [BF] Use el método de Newton para encontrar una aproximación a , exacta a 410 ,

para la ecuación de población )1(435000

10000001564000

ee .

Método de Newton modificado.

Si la derivada )(xf varía, aunque ligeramente, en el intervalo ],[ ba , en tal caso en

la fórmula (1.24) podemos poner

)()( 01 xfxf i

De aquí, para la raíz p de la ecuación 0)( xf tendremos las aproximaciones sucesivas

)(

)(

0

1xf

xfxx i

ii

, 1i (1.25)

La fórmula de iteración (1.25) es conocida también como la fórmula de Von Mises.

Geométricamente, este método significa que sustituimos las tangentes en los puntos

])(,[ iii xfxB por líneas rectas paralelas a la tangente a la curva )(xfy en el punto

])(,[ 000 xfxB .

La fórmula de Von Mises nos evita la necesidad de calcular los valores de la

derivada )( 1

ixf cada vez, por lo tanto esta fórmula es muy útil si )(xf es complicada.

Puede demostrarse que supuesta la constancia de los signos de las derivadas )(xf

y )(xf las aproximaciones sucesivas (1.25) presentan un proceso convergente.

Ejemplo 1.14.

Determine la raíz de 02 xex usando el método de Newton modificado (fórmula de

Von Mises) con 20 x . Realice tres iteraciones. Determine el error relativo porcentual de

aproximación en la última iteración.

Solución.









iii) Determinamos la primera aproximación de la raíz.


)(

)(

0

001

xf

xfxx

20 x

68646647167.3)2()2()( )2(2

0 efxf

41353352832.4)2(2)2()( )2(

0 efxf

41353352832.4

68646647167.321 x

2731.065453111 x

El resultado de la primera iteración coincide con el obtenido aplicando el método de

Newton – Raphson.

En la figura siguiente se observa el principio del método. Se ha trazado la recta tangente en

20 x . El punto donde esta recta corta al eje x es el valor de la estimación de la raíz. El

valor indicado es 2731.065453111 x .

Figura 1.34. Primera iteración del método de Newton

modificado para xexxf 2)( con 20 x .




)(

)(

0

112

xf

xfxx

2731.065453111 x

5860.79061864)2731.06545311()2731.06545311()( )2731.06545311(2

1 efxf

41353352832.4)2(2)2()( )2(

0 efxf

41353352832.4

5860.790618642731.065453112 x

7680.874267002 x

Gráficamente:

Figura 1.35. Segunda iteración del método de

Newton modificado para xexxf 2)( con

20 x .


)(

)(

0

223

xf

xfxx

7680.874267002 x

2380.34717511)7680.87426700()7680.87426700()( )7680.87426700(2

2 efxf

41353352832.4)2(2)2()( )2(

0 efxf

41353352832.4

2380.3471751188742670076.03 x

1060.790313693 x

Gráficamente:



Figura 1.36. Tercera iteración del método de Newton

modificado para xexxf 2)( con 20 x .






a

1001060.79031369

7680.874267001060.79031369

a

%62.10a


tabla:

i 1ix )( 1ixf )( 1

ixf ix a , %

1 2 3.86466471676 4.13533528324 1.06545311273 87.71

2 1.06545311273 0.79061864586 4.13533528324 0.87426700769 21.87

3 0.87426700769 0.34717511238 4.13533528324 0.79031369106 10.62


método de Newton modificado con una estimación inicial 20 x y tres iteraciones. El error

relativo porcentual de aproximación es 10.62%.


57. [WM] Use el método de Newton modificado para aproximar las soluciones de las


.



a) 3

2 2xex

x 10 x b) 03 2 xex 10 x


58. [WM] Aproxime con 10–4


intervalos dados usando el método de Newton modificado.

a) 052 23 xx , ]4,1[ b) 013 23 xx , ]0,4[

c) 0cos xx , ],0[ 21 d) 0sen2.08.0 xx , ],0[ 2

1

Método de Newton mejorado ó Método de Halley.

Al justificar el método de Newton se escribió:

))((2

)()()()()(

2

0000 xf

xxxfxxxfxf

(1.19)

Desarrollo que una vez linealizado nos conducía a que

)(

)(

0

01xf

xfxx

(1.22)

de donde se obtuvo una aproximación }{ ix de la solución:

)(

)(

1

11

i

iii

xf

xfxx , 1i (1.24)

En el método de Newton mejorado se usa el hecho de que )(

)(

0

001

xf

xfxx

para sustituir

esta expresión en uno de los dos factores 01 xx que intervienen en el término de segundo

grado del desarrollo de Taylor, despreciando los de mayor orden, con lo que

)(2

)()()()(0 0

2

010010 xf

xxxfxxxf

)(2

)(

)()(

)()()(0 0

0

001

0010 xfxf

xfxx

xfxxxf

)()(2

)()()()()(0 0

0

0010010 xf

xf

xfxxxfxxxf



)(2

)()()()()(0

0

000010

xf

xfxfxfxxxf

)(2

)()()(

)(

0

000

001

xf

xfxfxf

xfxx

)()()]([2

)()(2

00

2

0

0001

xfxfxf

xfxfxx

Y generándose, a partir de un 0x , la sucesión

)()()]([2

)()(2

11

2

1

111

iii

iiii

xfxfxf

xfxfxx (1.26)

Teóricamente, una de las desventajas de este método son los cálculos adicionales de )( ixf

y el hecho de que el procedimiento es más laborioso para calcular las iteraciones. Converge

más rápido que el método de Newton - Raphson, pero se paga el precio de evaluar la

segunda derivada.

Ejemplo 1.15.

Determine la raíz de 02 xex usando el método de Newton mejorado (método de

Halley) con 20 x . Realice tres iteraciones. Determine el error relativo porcentual de

aproximación en la última iteración.

Solución.







iii) Segunda derivada de la función: xexf 2)(

iv) Determinamos la primera aproximación de la raíz.




)()()]([2

)()(2

00

2

0

0001

xfxfxf

xfxfxx

20 x

68646647167.3)2()2()( )2(2

0 efxf

41353352832.4)2(2)2()( )2(

0 efxf

68646647167.12)2()( )2(

0 efxf

)68646647167.1()68646647167.3()41353352832.4(2

)41353352832.4()68646647167.3(22

21

x

68159826065.01 x


)()()]([2

)()(2

11

2

1

1112

xfxfxf

xfxfxx

68159826065.01 x

32236230135.0)68159826065.0()68159826065.0()( )68159826065.0(2

1 efxf

90741698137.2)68159826065.0(2)68159826065.0()( )68159826065.0(

1 efxf

35577953993.12)68159826065.0()( )68159826065.0(

1 efxf

)35577953993.1()32236230135.0()90741698137.2(2

)90741698137.2()32236230135.0(22

22

x

4470.703620202 x


)()()]([2

)()(2

22

2

2

2203

xfxfxf

xfxfxx

4470.703620202 x

00002905785.0)4470.70362020()4470.70362020()( )4470.70362020(2

2 efxf

69020312225.1)4470.70362020(2)4470.70362020()( )4470.70362020(

2 efxf

75052091863.12)4470.70362020()( )4470.70362020(

2 efxf



)75052091863.1()00002905785.0()69020312225.1(2

)69020312225.1()00002905785.0(24470.70362020

23

x

2500.703467423 x






a

1002500.70346742

4470.703620202500.70346742

a

%02.0a


tabla:

i 1ix )( 1ixf )( 1

ixf )( 1

ixf ix a , %

1 2 3.86466471676 4.13533528324 1.86466471676 0.81598260656 145.10

2 0.81598260656 0.22362301353 2.07416981379 1.55779539933 0.70362020447 15.97

3 0.70362020447 0.00029057850 1.90203122256 1.50520918637 0.70346742250 0.02


método de Newton mejorado con una estimación inicial es 20 x y tres iteraciones. El

error relativo porcentual de aproximación es 0.02%.


59. [WM] Use el método de Newton modificado para aproximar las soluciones de las


.

a) 3

2 2xex

x 10 x b) 03 2 xex 10 x


60. [WM] Aproxime con 10–4


intervalos dados usando el método de Newton modificado.

a) 052 23 xx , ]4,1[ b) 013 23 xx , ]0,4[



c) 0cos xx , ],0[ 21 d) 0sen2.08.0 xx , ],0[ 2

1



RESPUESTA A LOS EJERCICIOS SELECCIONADOS.

40. 7890.904788213 x

41. 5512.860104405 x

42. a) 00 x , 5440.257530283 x ; b) 10 x , 2490.910007574 x ; c) 20 x ,

1931.829383604 x ; d) 20 x , 7821.968872933 x y 30 x , 4713.161950024 x

43. 10 x , 7241.324717955 x .

44. a) 5.20 x , 8032.690647444 x ; b) 10 x , 6840.652703643 x ; c) 7854.00 x ,

3220.739085133 x ; d) 7854.00 x , 7700.964333883 x .

45. 0011.732050813 x

46. a)

b) 5.30 x , 6913.047316733 x .

47. a)

b) 3.00 x , 6020.170179273 x .



48. a) 5.00 x , 7290.434143043 x ; b) 5.00 x , 7890.450656743 x , 8.10 x ,

3371.744738054 x , 2.20 x , 5072.238319794 x

49. a)

b) 00 x , 5300.474572116 x ; 3.10 x , 9451.36903796116 x ; 60 x ,

2356.1436980555 x .

50. a) 4.20 x , 0146.14339291104 x ; 4.430 x , 3126.14336023102 x .

51. 2

10 x , 8971.8954884115 x ; 50 x , 895487.119 x ; 100 x , 895486.145 x .

52. a) 75.15 x ; b) 75.15 x ; c) 21 x , no se puede continuar; d) 75.17 x ; e) Diverge;

f) Diverge.

53. 6.512849, 13.487151.

54. 10 x , 2300.589754515 x .

55. )395356873868.0,9011.86676039(

56. 10 , 9690.100997925 .

Método de Newton modificado.

57. a) 00 x , 5750.257530215 x ; b) 10 x , 7890.910007875 x ; c) 20 x ,

3081.829384508 x ; d) 20 x , 6801.968872964 x

58. a) 5.20 x , 6392.690653827 x ; b) 10 x , 7640.652706465 x ; c) 7854.00 x ,

5960.739085303 x ; d) 7854.00 x , 4950.964336753 x .

Método de Newton mejorado.

59. a) 00 x , 5440.257530283 x ; b) 10 x , 2490.910007573 x ; c) 20 x ,

1931.829383603 x ; d) 20 x , 7821.968872933 x

60. a) 5.20 x , 8032.690647443 x ; b) 10 x , 4670.652703643 x ; c) 7854.00 x ,

3220.739085133 x ; d) 7854.00 x , 7700.964333883 x .

04 metodo de newton raphson

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