obratnye trigonometricheskie funkcii
Post on 29-Jul-2015
332 Views
Preview:
TRANSCRIPT
Обратные тригонометрические
функции
Работу выполнила
Учитель МАОУ «Лицей №10»
Зололтухина Л.В
Содержание:
1. Обратные тригонометрические функции, свойства, графики
2. Историческая справка
3. Преобразование выражений, содержащих обратные тригонометрические функции
4. Решение уравнений
5. Задания различного уровня сложности
Из истории тригонометрических функций•Древняя Греция.III в до н. э. Евклид, Аполоний Пергский. Отношения сторон в прямоугольном треугольнике.•Ок. 190 до н. э Гиппарх Никейский. Возможно он первый составил таблицу хорд, аналог современных таблиц тригонометрических функций.•Абу-аль-Ваф ввел тригонометрические функции тангенс и котангенс.•Первая половина XV в. Аль-Каши произвел уникальные расчеты, которые были нужны для составления таблицы синусов с шагом 1’.•I-II вв. индийские математики вводят понятие синуса.•1423-1461- австрийский математик и астроном Георг фон Пойербах был одним из первых европейских ученых, которрый применил понятие синуса.•1602-1675 французский математик, астроном и физик Жиль Роберваль построил синусоиду. •XV в. Региомонтан ввел термин тангенс.•1739 г. И. Бернулли ввел современные обозначения синуса и косинуса.•1770 г. Георг Симон Клюгель вводит новый термин тригонометрические функции. •1772 г. Ж. Лагранж вводит первую из шести обратных тригонометрических функций. •Карл Шерфер ввел современные обозначения для обратных тригонометрических функций.
Arcsin х
Арксинусом числа m называется такой угол x, для которого sinx=m, -π/2≤X≤π/2,|m|≤1
Функция y = sinx непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция y = arcsinx является строго возрастающей.
График обратной функции симметричен с графиком основной функции относительно биссектрисы I - III координатных углов.
Свойства функции y = arcsin x
1)Область определения: отрезок [-1; 1];
2)Область изменения: отрезок [-π/2,π/2];
3)Функция y = arcsin x нечетная: arcsin (-x) = - arcsin x;
4)Функция y = arcsin x монотонно возрастающая;
5)График пересекает оси Ох, Оу в начале координат.
Arccos х
Арккосинусом числа m называется такой угол x, для которого:
cos x = m0 ≤ x ≤ π|m|≤1
Функция y= arccosx является строго убывающей
cos(arccosx) = x при -1 ≤ x ≤ 1arccos(cosy) = y при 0 ≤ y ≤ π
D(arccosx)= [ −1;1]]
E(arccosx)= [0;π]]
Свойства функции y = arccos x .
Arctgх
Арктангенсом числа m называется такой угол x, для которого tgx=m, -π/2<X<π/2.График функции y=arctgxПолучается из графика Функции y=tgx, симметриейОтносительно прямой y=x.
y=arctgх
1)Область определения: R
2)Область значения: отрезок [-π/2,π/2];
3)Функция y = arctg x нечетная: arctg (-x) = - arctg x;
4)Функция y = arctg x монотонно возрастающая;
5)График пересекает оси Ох, Оу в начале координат.
y
yx
2
2
Arcctgх
Арккотангенсом числа m называется такой угол x, для которого ctgx=a, 0<x<π
2
• Функция y=arcctgx непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой.
• Функция y=arcctgx является строго убывающей.
• ctg(arcctgx)=x при xєR
• arcctg(ctgy)=y при 0 < y < π
• D(arcctgx)=(-∞;∞)
• E(arcctgx)=(0; π)
Arcctgх
Преобразование выражений
.28)3
7(712
4
3arcsin712
4
3arcsin712
,3
7
,4
7
16
91sin1cos,
4
3-sin )3
.42
224
4cos24 )2
.243
1324
6324 )1
:Решение
.4
3arcsin712 )3
;1cos24 )2 ;5,0arcsin324 )1
:Вычислить
2
ctgctg
ctg
tg
ctg
arcctgtg
Преобразование выражений
.4
B т ,1 как Так .1120239119
119120239
239
1
119
1201
239
1
119
120
119
120
144
251
12
52
4,12
5
25
11
5
12
1
22
41
4)4(
:равенства этого частейобеих от ттангенВозьмем
4 вычислить Надо239
1,
5
1 ттогд,
239
1,
5
1
:239
1
5
14
ракалькулято без Вычислить 1.
2
tgBtgB
tgtg
tgtg
tgtg
tgtgtgtgB
В
tgtgarctgarctg
Решение
arctgarctg
.arctg(-2))25
3arccos
2
13.tg(
;arctg(-2))25
3arccos
2
1sin(..2
);5
4scos(2arcco 1.
:Вычислить
решения льногосамостояте для Упражнения
Уравнения, содержащие
обратные тригонометрические функции
.2
1sin x,
2
1arcsinx
,2
;2
-2 но,2
1t,2t
.0252t
тогда,2
;2
- tпричем t,arcsinx Пусть
.02arcsin52(arcsinx) уравнение Решить.2
.4
22 x,
2
2-12x откуда ,
4
3cos12x
уравнению оравносильн уравнение данное числа
аарккосинус юопределени по тт,;04
3 как Так
.4
31)arccos(2x уравнение Решить.1
21
2
2
t
x
Упражнения для самостоятельного решения
.32
xarcsin-arcsinx.3
,34
x-1arctg.2
;3
3)x1.arccos(2
:уравнения Решить
Задания различного уровня сложности
11.- равно выражения данного Значение
,6
11)
6
5(sin(arccos
поэтому значения, льныенеотрицате ттольк
принимаеет 0; промежутке наsinx f(x) Функция
.36
11)
6
5(1
))6
5(arccos(cos1))
6
5(arccos(sin
тт,cos1sinПоскольку
)).6
5(-sin(arccos116))
6
5arccos(-
2
3cos(116
:приведенияформулу Применим :Решение
)).6
5arccos(-
2
3cos(116
выражения значение Найти
2
22
22
tt
Задания различного уровня сложности
.8
1 xноокончатель получаем ОДЗ учетом С
.8
1,1,0178x или 781
812(2x)-1arcsin2x)(2sin-1n2x)cos(2arcsi
7x,s7x)cos(farcco как Так
7x)cos(arccosn2x)cos(2arcsi
:следующему оравносильн уравнение промежутке этом На
.7
1x
7
1- есть то
7
1x
7
12
1x
2
1-
или 17x1-
12x1-
:уравнения ОДЗ найдем :Решение
arccos7x.2arcsin2x
уравнение Решить
22
222
xxxxx
x
Задания различного уровня сложности
.4
1arccos- что Получим,
.4
1-1-
16
621-
22coscos Найдем
.4
6
2
3
2
2
2cos что Получим, .sin
2
2
2cos углами.
искомым и данныммежду емсоотношени мсяВоспользуе
:Решение
гранями. боковымимежду угол Найдите
.60 равный угол, основания плоскостью с образует
пирамиды льнойчетырехуго правильной грань Боковая
:задачу Решить
2
0
Таблицы значений обратных тригонометрических функций
В следующей таблице приведены значения функций арксинуса и арккосинуса для некоторых значений углов:
В следующей таблице приведены значения функций арктангенса и арккотангенса для некоторых значений углов:
Литература:1. Алгебра и начала анализа: учеб. Для 10-11 кл. общеобр. учреждений/ Ш.А.
Алимов, Просвещение, 2009.-384 с.
2. Тесты по математике для абитуриентов.-М.:Айрис-пресс,2003.-352 с.
3. За страницами учебника математики/С.А Литвинова, Л.В. Куликова.- 2-е изд.,дополнительное.М.: Глобус, Волгоград: Панорама,2008.-176с.
top related