Производная функции

Определение производнойГеометрический смысл производнойСвязь между непрерывностью и дифференцируемостьюПроизводные основных элементарных функцийПравила дифференцированияПроизводная сложной функцииПроизводная неявно заданной функцииЛогарифмическое дифференцирование

Определение производнойПусть функция y = f(x) определена в некотором интервале (a; b).

Аргументу x придадим некоторое приращение :x

y

0 хх

f(x )

x+Δx

f(x+ Δx )

Найдем соответствующее приращение функции:

)()( xfxxfy

yx

);( baxx

Если существует пределx

yx

0

lim

то его называют производной функции y = f(x) и обозначают одним из символов:

dx

dyxfy );(;

Определение производнойИтак, по определению:

x

xfxxfy

x

)()(lim

0

Функция y = f(x) , имеющая производную в каждой точке интервала (a; b), называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Значение производно функции y = f(x) в точке x0 обозначается

одним из символов:

0);();( 00 x

yxfxy

Если функция y = f(x) описывает какой – либо физический процесс, то f ’(x) есть скорость протекания этого процесса – физический смысл производной.

Геометрический смысл производнойВозьмем на непрерывной кривой L две точки М и М1:

y

0 хх

f(x )

x+Δx

y

x

М

М1f(x+ Δx )

Через точки М и М1 проведем секущую и обозначим через φ угол наклона секущей.

φ

x

xfxxfx

ytg

)()(

При в силу непрерывности функции также стремится к нулю, поэтому точка М1 неограниченно приближается по кривой к точке М, а секущая ММ1 переходит в касательную.

0x y

0

limx

tgtgx 0lim

y

0 хх

f(x )

α

М

Геометрический смысл производной

ktgx

xfxxfx

)()(lim

0

y

y

Производная f ’(x) равна угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x) в точке, абсцисса которой равна x.

Если точка касания М имеет координаты (x0; y0 ), угловой коэффициент касательной есть k = f ’(x0 ).

Уравнение прямой с угловым коэффициентом:

)x-x( 00 кyy

)(' 0xf

)x-x)((' 000 xfyy Прямая, перпендикулярная касательной в точке касания, называется нормалью к кривой.

)('

11

0xfkk

кас

норм )()('

10

0

0 xxxf

yy

Уравнение касательнойУравнение

нормали

Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции

Если функция f(x) дифференцируема в некоторой точке , то она непрерывна в ней.

Теорема

Пусть функция y = f(x) дифференцируема в некоторой

точке х, следовательно существует предел:

Доказательство:

)(lim0

xfx

yx

где

)()( xxfx

y

0)( x при 0x По теореме о связи функции, ее предела и

бесконечно малой функции

xxxxfy )()( 0lim0

yx

Функция y = f(x) – непрерывна.

Обратное утверждение не верно: непрерывная функция может не иметь производной.

Производные основных элементарных функций1

Формула бинома Ньютона:

Znxy n Степенная функция:

Придадим аргументу x приращение , тогда функция получит приращение:

x

nn xxxy

nkkn

nnnn

bbak

knnn

bann

bnaaba

!

)1()1(!2

)1( 221

K – факториал

kk 321!

Производные основных элементарных функцийПо формуле бинома Ньютона имеем:

nnnnn

nn

xxxxnn

xnxx

xxxy

)!2

)1(( 221

Тогда:121

!2

)1(

nnn xxx

nnnx

x

y

121

00 !2

)1(limlim nnn

xxxxx

nnnx

x

y

1 nnx 1' nn nxx

Производные основных элементарных функций2 Логарифмическая функция:

xxxy lnln

xy ln

x

xxln

xxx

x

yxx

1lnlimlim

00

x

x1ln

xxx

x

0

lim

0x

~1ln

при

x

x

x

x

xxx

11lim

0

x

x1

'ln

Аналогично выводятся правила дифференцирования других основных элементарных функций.

Правила дифференцированияПусть u(x) , v(x) и w(x) – дифференцируемые в некотором интервале (a; b) функции, С – постоянная.

vuvu )(

vuvuvu )( uCuC )(

2v

vuvu

v

u

wvuwvuwvuwvu )(

2v

vC

v

C

0)( C

Производная сложной функцииПусть y = f(u) и u = φ(x) , тогда y = f(φ(x)) – сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом x.

Теорема

Если функция u = φ(x) имеет производную в точке x а функция y = f(u) имеет производную в соответствующей точке u , то сложная функция имеет производную , которая находится по формуле:

xuuy

xy

xux uyy

Это правило остается в силе, если промежуточных аргументов несколько:

)))((()();();( xgfyxgvvuufy

xvux vuyy

ПримерВычислить производную функции

xx

xy

ln

sin13

xx

xy

ln

sin13

23

33

ln

)ln()sin1()ln()sin1(

xx

xxxxxx

23

333

ln

))(lnln)(()sin1()ln())(sin1(

xx

xxxxxxxx

23

323

ln

)1

ln3()sin1(lncos

xxx

xxxxxxx

2x

ПримерВычислить производную функции )cos(ln12 xy

Данную функцию можно представить следующим образом:

xvvuuy ln;;cos 12

xvux vuyy xvuyu

1212 lnsinsinsin

xvu 1111 ln1212

xv

1

xxxy

1ln12lnsin 1112

Коротко:

))(cos(ln12 xy )(ln)sin(ln 1212 xx

)(lnln12)sin(ln 1112 xxx

Производная неявно заданной функцииЕсли функция задана уравнением y = f(х) , разрешенным относительно y, то говорят, что функция задана в явном виде.

0);( yxFДля нахождения производной неявно заданной функции необходимо продифференцировать уравнение по х, рассматривая при этом y как функцию от х, и полученное выражение разрешить относительно производной.

Под неявным заданием функции понимают задание функции в виде уравнения не разрешенного относительно y:

0333 xyyx 0)(3)()( 33 xyyx

0)(333 22 yxyxyyx

022 yxyyyx xy

xyy

2

2

Логарифмическое дифференцированиеВ ряде случаев для нахождения производной целесообразно заданную функцию сначала прологарифмировать, а затем результат продифференцировать.

Такую операцию называют логарифмическим дифференцированием.

5

4 32

52

)1(

x

exxy

x

5

4 32

52

)1(lnln

x

exxy

x

)52ln(5)1ln(4

3ln2ln xxxxy

52

)52(51

1

)1(

4

32

x

x

x

x

xy

y

52

101

44

32

xxxy

yy y

5

4 32

52

)1(

x

exx x

Логарифмическое дифференцирование

Функция называется степенно – показательной.

)()( xvxuy

12

sinlnln xxy

x

xxxx

y

y

sin

cos)1()ln(sin2 2

y y

Пусть u = u(x) и v = v(x) – дифференцируемые функции.

Производная такой функции находится только с помощью логарифмического дифференцирования.

12

sin x

xy

xxy sinln)1(ln 2

)sin(ln)1(sinln)1( 22

xxxxy

y

12

sin xx