transformasi walsh

1. TRANSFORMASI WALSHDimana transformasi ini memiliki fungsi basis bilangan pecahan dengan interval -1

sampai 1 (sin dan cos), transformasi Walsh merupakan transformasi yang bersifat non-sinusoidal, dimana hanya memiliki fungsi basis dalam 2 jenis yaitu -1 dan 1

1.1 Transformasi Walsh 1 DimensiTransformasi Walsh 1 Dimensi pada citra f(x) dapat dinyatakan sebagai berikut.

dengan u = 0, 1, 2, …., N-1 dan x = 0, 1, 2, …., N-1 sedangkan nilai n mengikuti aturan :

N = 2n ………………………………………..

Sebagai contoh, bila N = 8 maka n = 3.

bi (x) menyatakan bit ke-i dari representasi biner x. Sebagai contoh, bila x = 4 dengan representasi biner 100, maka :

b0(x) = 0, b1(x) = 0, b2(x) =1

Demikian juga berlaku untuk b1(u) dimana nilai bit-bitnya tergantung pada nilai u.Transformasi Walsh balik 1 dimensi dapat dilakukan dengan operasi yang sama yaitu :

Fungsi basis (kernel) dari transformasi Walsh diatas adalah :

Tabel dibawah menunjukkan fungsi basis (kernel) transformasi Walsh 1 Dimensi untuk N = 8 yang dihasilkan dari persamaan diatas.

Tabel Nilai Kernel Transformasi Walsh 1-D untuk N = 8

Berikut ditunjukkan cara untuk menghitung kernel tersebut untuk u = 1 dan x = 4. Karena N = 8 maka n = 3.Representasi biner dari u = 1 adalah 001, sedangkan representasi biner x = 4 adalah 100, maka:

b0(u) =1, b1(u) =0, b2(u) =0b0(x) =0, b1(x) =0, b2(x) =1

sehingga dapat dihitung :

Berikut adalah contoh untuk u = 4 dan x = 6Representasi biner dari u = 4 adalah 100, sedangkan representasi biner x = 6 adalah 110, maka :

b0(u) =0, b1(u) =0, b2(u) =0b0(x) =0, b1(x) =1, b2(x) =1

sehingga :

Berikut contoh pemanfaatan kernel pada table citra diatas :f(x) = (10 10 10 10 20 20 20 20). Transformasi Walsh dari citra f(x) tersebut dapat dihitung dengan cara berikut.

Sehingga hasil tranformasi Walsh untuk citra f(x) di atas adalah :W(u) = (15 -5 0 0 0 0 0 0)

1.2 Transformasi Walsh 2 DimensiTransformasi Walsh 1 dimensi dapat dinyatakan sebagai berikut.

Sedang transformasi Walsh balik 2 dimensi adalah :

Fungsi basis dari transformasi Walsh 2 dimensi adalah :

dengan nilai u dan x = 0, 1, 2, …, N-1, sedangkan v dan y = 0, 1, 2, …, N-1Fungsi basis (kernel) tranformasi Walsh 2 dimensi untuk citra berukuran 4 x 4 ditunjukan pada gambar berikut. Setiap blok pada gambar tersebut terdiri atas 4 x 4 pixel. Elemen setiap kernel hanya memiliki 2 nilai yaitu -1 dan 1.

Gambar dibawah menunjukkan suatu contoh citra berukuran 4 x 4 pixel. Pada citra tersebut akan diterapkan transformasi Walsh 2 dimensi dengan fungsi basis yang ditunjukan pada gambar diatas, dan perhitungan transformasi Walsh-adalah seperti berikut.

Sehingga hasil tranformasi Walsh adalah :

Transformasi Walsh balik (invers) dapat dilakukan dengan cara yang persis sama dengan transformasi Walsh diatas. Berikut adalah perhitungan transformasi Walsh balik untuk citra hasil transformasi diatas.

Hasil dari tranformasi Walsh balik adalah :

Hasil tersebut persis sama dengan citra aslinya

2. TRANSFORMASI HADAMARDSama dengan transformasi Walsh, trasformasi Hadamard juga merupakan transformasi

yang bersifat non-sinusoidal. Fungsi basis transformasi ini hanya bernilai -1 dan 1

2.1 Trasformasi Hadamard 1 DimensiTrasformasi Hadamard 1 dimensi dari citra f(x) dapat dinyatakan sebagai berikut.Transformasi Hadamard balik adalah :

Fungsi basis dari transformasi Hadamard 1 dimensi adalah :

Table dibawah menunjukan kernel atau fungsi basis dari transformasi Hadamard 1 dimensi untuk N = 8

Tabel Nilai Kernel Transformasi Hadamard 1-D untuk N = 8

Berikut ditunjukkan cara untuk menghitung kernel tersebut untuk u = 1 dan x = 4. Karena N = 8 maka n = 3Representasi biner dari u = 1 adalah 001, sedangkan representasi biner x = 4 adalah 100, maka :

b0(u) =1, b1(u) =0, b2(u) =0b0(x) =0, b1(x) =0, b2(x) =1

sehingga dapat dihitung :

Berikut adalah contoh untuk u = 4 dan x = 6Representasi biner dari u = 4 adalah 100, sedangkan representasi biner x = 6 adalah 110, maka :

b0(u) =0, b1(u) =0, b2(u) =1b0(x) =0, b1(x) =1, b2(x) =1

sehingga :

Berikut adalah contoh pemanfaatan kernel citra pada table diatas :f(x) = (10 10 10 10 20 20 20 20). Transformasi Hadamard dari citra f(x) tersebut dapat dihitung dengan cara berikut.

Sehingga hasil dari transformasi Hadamard untuk citra f(x) diatas adalah :W(u) = (15 0 0 0 -5 0 0 0).

3. TRANSFORMASI SLANTMatrik transformasi Slant N x N dapat dinyatakan secara rekursif sebagai berikut :

Dengan N = 2n, Im merupakan suatu matrik identitas berukuran M x M, dan

Parameter an dan bn ditentukan secara rekursif sebagai berikut :

Persamaan rekursif di atas dapat dipecahkan dengan cara berikut :

Dengan menggunakan persamaan-persamaan diatas, maka matrik Slant 4 x 4 adalah sebagai berikut :

Transformasi matrik Slant untuk citra 1D f(x) = [ 9 7 3 5 ] adalah sebagai berikut :

Transformasi Slant pada citra 2D dapat dilakukan dengan melakukan transformasi terhadap baris demi baris pada citra, kemudian dilanjutkan dengan melakukan transformasi kolom demi kolom terhadap citra hasil transformasi baris diatas. Hal ini dapat dilakukan karena transformasi Slant juga memiliki sifat separable dimana proses transformasi terhadap baris dan kolom dapat dilakukan secara terpisah.

4. TRANSFORMASI KOSINUS DISKRIT (DCT)Transformasi kosinus diskrit yang sering disingkat DCT mirip dengan transformasi Fourier, hanya saja DCT menggunakan komponen kosinus saja. DCT telah menjadi pilihan sebagai dasar algoritma kompresi JPEG dan MPEG

4.1 DCT 1 DimensiDCT 1 Dimensi C(u) didefinisikan sebagai berikut :

Untuk u = 0, 1, 2, …, N-1Dengan cara yang sama, DCT balik dapat didefinisikan sebagai berikut :

Untuk x = 0, 1, 2, …, N-1Dengan α (u) dinyatakan sebagai berikut :

Bilangan yang dihasilkan melalui transformasi DCT tidak mengandung unsur imajiner. DCT dari contoh citra 1 dimensi f(x) = (3, 4, 4, 5) adalah sebagai berikut.

Jadi citra f(x) = (3, 4, 4, 5) setelah mengalami trasformasi kosinus 1D menjadi C(u) = ( 8, 0.76, 0, -0.76 )Fungsi basis (kernel) transformasi kosinus diskrit 1D adalah :

untuk u = 0, 1, 2, …, N-1 dan untuk x = 0, 1, 2, …, N-1 ditunjukan pada gambar berikut. Nilai kernel DCT juga berada dalam interval -1 sampai 1\

4.2 DCT 2 DimensiPersamaan DCT 2 dimensi untuk citra f(x, y) dengan ukuran N x M dapat dinyatakan sebagai berikut.

dengan u = 0, 1, 2, …, N-1 dan untuk v = 0, 1, 2, …, M-1 sedangkan

Transformasi kosinus diskrit 2D balik (invers) dapat dinyatakan sebagai berikut :

dengan x = 0, 1, 2, …, N-1 dan untuk y = 0, 1, 2, …, M-1DCT 2 dimensi dapat dihitung dengan menggunakan DCT 1 dimensi dua tahap. Pada tahap pertama DCT 1 dimensi dilakukan dalam arah baris pada citra f(x, y) untuk menghasilkan C(u, y) seperti berikut :

Untuk u = 0, 1, 2, …, N-1Pada tahap kedua, tahap untuk menghasilkan DCT 2 dimensi, dimana DCT 1 dimensi dilakukan dalam arah kolom pada citra hasil C(u, y) yang dihasilkan dari persamaan (3.22) seperti berikut :

Untuk v = 0, 1, 2, …, M-1Hal yang sama juga dapat dilakukan untuk menghitung DCT 2D balik. Pada tahap pertama DCT 1D balik dilakukan dengan arah kolom untuk menghasilkan C(u, y) seperti berikut :

Tahap kedua, tahap untuk menghasilkan DCT 2D balik, dimana DCT 1D balik dilakukan pada citra C(u, y) yang dihasilkan dari persamaan diatas.

Untuk u = 0, 1, 2, …, N-1Fungsi basis DCT 2 dimensi adalah :

Dengan nilai u dan x = 0, 1, 2, …, N-1 sedangkan v dan y = 0, 1, 2, …, M-1

5. TRANSFORMASI HARTLEYTransformasi Hartley, sesuai dengan nama penemunya, memiliki bentuk seperti transformasi Fourier namun tanpa bilangan komplek. Salah satu keuntungan dari transformasi Hartley adalah transformasi maju dan transformasi balik memiliki operasi yang sama.Transformasi Hartley untuk citra 2 dimensi f(x, y) dapat didefinisikan sebagai berikut :

dan untuk transformasi Hartley baliknya adalah :

Bila M dan N pada persamaan diatas bernilai sama maka bagian√MN akan menjadi N

TRANSFORMASI WAVELETTransformasi Wavelet 1DTransformasi Wavelet 2DTransformasi Wavelet pada citra 2 dimensi pada prinsipnya sama dengan transpormasi pada citra 1 dimensi. Pada citra 2 dimensi proses transformasi dilakukan pada baris terlebih dahulu, kemudian dilanjutkan transformasi pada kolom, seperti gambar berikut :

Gambar diatas menyatakan bagian koefesien yang diperoleh melalui proses tapis low pass dilanjutkan dengan low pas. Citra pada bagian ini mirip dan merupakan versi lebih halus dari citra aslinya sehingga koefesien pada bagian LL sering disebut dengan komponen aproksimasi. Diperoleh melalui proses tapis low pass kemudian dilanjutkan dengan dilanjutkan dengan high pass