数学必須手法解説講座vol.1「次数下げ」
Post on 19-Dec-2014
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数学の問題を解くには、武器が必要です。
まずは最初の町で武器（必須手法）を装備しましょう。
■ 1つめの武器
次数下げ
まずは問題から。
関数 f(x)=2x3+9x2+6x+1=0の極小値を求めよ。
至って普通の問題です。
f’(x)=0を満たすxの値を計算し、そのxをf(x)に代入して極値を求めればよいのですが…。
実際にやってみましょう。
2次方程式の解の公式を使う！
f(x)=2x3+9x2+6x-1=0 よりf’(x)=6x2+18x+6=6（x2+3x+1）
f’(x)=6（x2+3x+1）=0 を満たすxを求めると、
x= -3±√52
グラフはこんな形！x=
極小値をとる。
のとき、-3+√52
f(x)=2x3+9x2+6x-1=0の形から、
さあ、f(x)に代入しよう、と思うけれど、
非常に面倒ですよね？
x= を3乗するのは-3+√52
そこで！
の出番です。
次数下げ
次数を下げることができれば、代入計算もラクになります。
それでは実際に「次数下げ」を行っていきましょう。
商 余り
f(x)=2x3+9x2+6x-1 を、f’(x)で割ります。
f(x)=f’(x)P(x)+R(x)すると、
と表せます。
f’(x)=0なのですから、
余りのR(x)に代入するだけで、求めたい値が出てきます。
x= のとき、-3+√52
割り算しやすいようにこの部分を使う！g(x)とする
f’(x)=6（x2+3x+1）
f(x)をg(x)で割ると、商は、2x+3余りは、-5x-4
極小値
f(x)=g(x)・(2x+3)-5x-4 に
f( )= -5・ -4=
x=
g(x)=0より、
を代入すると、-3+√52
-3+√52
-3+√52
7-5√52
いかがでしたか？力技で解くこともできますが、「次数下げ」を使えば、少しスマートに解くことができました。
これがひとつめの武器です。
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