《高等代数》复习讲座

主讲：赵晓东

Email: zhaoxd@kdntc.cn

第二章 多项式1.掌握多项式的整除性的概念、性质以及带余除法，熟练运

用带余除法判断和证明多项式之间的整除问题 （ p38-----1 、 2 、 3 、 7 ）；2. 掌握多项式最大公因式的概念、性质（包括多项式互素）；3. 掌握不可约多项式的概念 , 知道分别在 Q 、 R 、 C 上的不

可约多项式 , 会求多项式在不同数域上的典型分解式 （ p56----3 、 4 、 6 ）；4. 掌握重因式 ( 重根 ) 的概念和性质 ( 定理 2.5.2), 会借助 判断 是否有重因式 ( 重根 )

(p59----2 、 4 ）；

( ), ( ) 1f x f x ( )f x

5. 掌握余式定理和综合除法 (p65----1 、 2 、 3 、 7) ；

6. 掌握虚根成对出现定理 (p71----3) ；

7. 掌握 Eisenstein 判别法 , 理解有理系数多项式求有理根的基本思想 .

例题 :

1. 把 表示成 的方幂和 ,

2. 已知 1+i是多项式 f（ x） =

的一个根，求 f（ x）其余的根 , 并写出其在 C 上典型分解式 .

3. 证明 : （ ax-b）除多项式 f（ x）的余式为 .

3 2( ) 2 3 5f x x x x 2x 4 3 24 5 2 2x x x x

( )b

fa

第三章 行列式

1. 会计算排列的反序数；2. 会用定义计算行列式 , 掌握确定行列式中某项的符

号；3. 会用性质计算行列式 ( 化为标准形 )(p121----1 、 5) ；4. 会用降阶法计算行列式 ( 借助代数余子式降阶 )

(p134----1 、 2(1),(4),(6)) ；5. 掌握 Gramer 规则解线性方程组 .(p140-----1)

第四章 线性方程组1. 熟练运用对增广义矩阵施行行初变换求解线性方程 组；2. 熟练掌握对含参数线性方程组解的讨论 (p159-----2 、 5 、 6) ；4. 掌握矩阵秩的概念；5. 掌握齐次线性方程组有非零解的判别法 , 并会求非零解 .

例题 :

1. 若方程组 有非零解，求 的值

及非零解；

1 2 3

1 2 3

1 2 3

0

2 3 0

3 4 2 0

x x x

x x x

x x x

2.求解含参数a的线性方程组 :

1 2 3

1 2 3

1 2 3

3

2

2

ax x x a

x ax x

x x ax

解 : 对增广矩阵 A施行行初等变换 :

2

2

1 1 3 1 1 2 1 1 2

1 1 2 1 1 2 0 1 1 0

1 1 2 1 1 3 0 1 1 3 3

1 1 2

0 1 1 0

0 0 2 3 3

a a a a

A a a a a

a a a a a a

a

a a

a a a

1 1 2

0 1 ( 1) 0

0 0 ( 1)( 2) 3( 1)

a

a a

a a a

对参数 a讨论如下 :

(1).当 1 2 , ( ) ( ) 3 ,a a r A r A 或 时

方程组有唯一解 : 1 2 3

1 3,2 2

ax x x

a a

(2). 当 1, ( ) ( ) 1a r A r A ,方程组有无穷多解

1 2 3 2 32 ( ,x x x x x 为自由未知量)

(3). 当 2 , ( ) 2, ( ) 3 ,a r A r A 方程组无解 .

3.求解含参数 a的线性方程组

2321

321

321 1

aaxxx

axaxx

xxax

解：方程组的系数行列式

2

1 1

1 1 ( 1) ( 2)

1 1

a

a a a

a

1, 2 ) 3a a 时, r(A)=r(A2

1 2 3

1 1 ( 1); ;2 2 2

a ax x x

a a a

1 2 31 1a x x x 时, 方程组同于

2a 时

a)当

方程组有唯一解

b)当

方程组有无穷多解

方程组无解

1 2 3 2 31 ( , )x x x x x 是自由未知量

c)当2 1 1 1 1 1 2 4

1 2 1 2 0 1 1 2

1 1 2 4 0 0 0 3

A

第五章 矩 阵1. 掌握矩阵的运算及运算律 ( 特别是矩阵的乘法运算 ) ；2. 理解矩阵的可逆性 , 会用行初等变换法和伴随矩阵法求矩阵的逆矩阵；3. 掌握数乘行列式和数乘矩阵的区别 .

例题 :

1. 已知 A 是 n 阶矩阵 , 且 detA=2006, 求 det(-2A), 及 det(-2A-1)

2. 设 A,B 都是 n 阶矩阵 , 证明 : 若 AB 可逆 , 则 A,B 都可逆 证明 : 因 AB 可逆 , 所以 detAB=detAdetB≠0 detA≠0 且 detB≠0, 故 A,B 都可逆 .

3. 设 A,B 都是 n 阶矩阵 , 证明 : 若 AB=I, 则 A 和 B 互为逆矩阵 证明 : 因 AB=I, 所以 |AB|=|A| |B|=1, 从而 |A|≠0, |B| ≠0 故 A ， B 都可逆，于是 A-1 =A-1I=A-1(AB) =(A-1A)B=IB=B

B-1 =IB-1=(AB)B-1 =A(B-1B) =AI=A

得证 .

4. A为 n阶方阵，且 AA’=I ， |A | = -1 ，证明： I +A 不可逆 .

证明 : 因 ( )I A AA A A A I A A I

A I

( )I A I A I A

所以 0I A

故 I A 不可逆 .

胸有成竹 考试顺利祝

暑期愉快

合家欢乐