· web viewเน องจากภาพท วไปเป นภาพส...

The 8th Undergraduate in Applied Mathematics Conference (UAMC 2019)

Department of Mathematics, Faculty of Science, King Mongkut’s Institute of Technology Ladkrabang

การซอมแซมภาพทใชการแปรผนรวมสำาหรบภาพสพชรพร ขวญเมอง, มญชภา จนดาวงศ

อาจารยทปรกษา : ผศ.ดร.นพดล ชมชอบสาขาคณตศาสตรประยกต ภาควชาคณตศาสตร คณะวทยาศาสตร มหาวทยาลยศลปากร

1.บทนำาภาพถายหรอภาพ มความสำาคญในชวตประจำาวนเปนอยางมาก

นอกจากภาพจะเปนสอกลางการสอความหมายแลว ในบางครงเราใชภาพเพอแสดงถงความรสกและอารมณของตนเอง นอกจากนภาพยงมความจำาเปนตอการประยกตในดานตางๆ เชน การประยกตในดานการแพทย การประยกตในดานความมนคงและความปลอดภย และการประยกตในดานอตนยมวทยา

การเกดขนของสญญาณรบกวนในภาพถายเปนสงทหลกเลยงไมได เราจงตองการหาวธเพอแกปญหาสญญาณรบกวนทเกดขนในภาพเหลานออกไป เพอใหไดภาพทมคณภาพ และนำาไปใชไดอยางมประสทธภาพ

ในการกำาจดสญญาณรบกวนออกจากภาพดวยวธทางคณตศาสตร เราจะเรมจากการพจารณาภาพ u ∶Ω⊂R2→V⊂¿ เปนฟงกชนตอเนอง โดยท x=( x , y )∈Ω แทนพกดทางกายภาพ (physical position) ของภาพ u ( x )∈V แทนระดบความเขมของภาพ (image intensity) ท x และ Ω แทนโดเมนของภาพ ซงในทนเราสามารถสมมตไดโดยไมเสยหลกการสำาคญวา Ω=[1 ,n ]2 และ V= [0,255 ] เมอ n เปนจำานวนเตมบวก

ตวแบบทางคณตศาสตรทพฒนาขนโดย [1] (จะเรยกวาตวแบบ ROF) ซงเปนวธจำากดสญญาณรบกวนออกจากภาพดวยวธการแปรผนท

The 8th Undergraduate in Applied Mathematics Conference (UAMC 2019)

Department of Mathematics, Faculty of Science, King Mongkut’s Institute of Technology Ladkrabang

ไดรบการยอมรบอยางแพรหลายในการกำาจดสญญาณรบกวนออกจากภาพทมโทนความเขมสเทา (grayscale image)

minu {D (u , f )+α R (u )} (1)

โดยท D (u , f )=12∫(u−f )2dΩ และ R (u )=∫

Ω

❑

¿∇u∨¿ d Ω=√ux2+uy2 d Ω¿

สำาหรบภาพในระบบส RGB เราพจารณา u :Ω→V 3 แทนภาพในระบบส RGB เมอ u=(u1 , u2 ,u3) โดยท u1 ,u2 , u3 :Ω→V แทนภาพโทนสแดง สเขยวและสนำาเงนของ u และให f :Ω→V 3 แทนภาพในระบบส RGB ทมสญญาณรบกวน เราสามารถปรบปรงตวแบบ ROF ไดเปน

minu {D (u , f )+α R (u )}

(2)เมอ D (u , f )=∑

l=1

3

D (u l , f l ) และ R (u )=∑l=1

3

R (ul )

เนองจากภาพทวไปเปนภาพส โครงงานวจยนจงมเปาหมายเพอพฒนาวธการเชงตวเลขทมประสทธภาพสำาหรบกำาจดสญญาณรบกวนออกจากภาพสโดยใชตวแบบ ROF ทถกปรบปรง (2)2.วธการเชงตวเลข2.1 สมการออยเลอร-ลากรางจโดยแคลคลสการแปรผน สมการออยเลอร-ลากรางจทสมนยกบตวแบบ ROF (1) เขยนไดเปน

−α ∇ ∙¿ (3)ภายใตเงอนไขขอบ ∂(x)∂n

=0 , x∈∂Ω

(4)2.2 การดสครตไทซเซชนแบบไฟไนตดฟเฟอเรนซ

ในการแกปญหาคาขอบ (boundary value problem) (3) โดยวธการไฟไนตดฟเฟอเรนซ เราจะเรมจากการดสครตไทซเซชนโดเมนภาพ Ω

The 8th Undergraduate in Applied Mathematics Conference (UAMC 2019)

Department of Mathematics, Faculty of Science, King Mongkut’s Institute of Technology Ladkrabang

แบบคงรปดวยระยะกรด (grid spacing) h=1 และจดตอไปนx i=i h ,i=1,2 ,…,n และ y i= jh , j=1,2 ,… ,n ซงจะไดโดเมนภาพแบบดสครต (discrete image domain)

Ωh={x∈Ω∨x=u (x i , y i)⊺=( i h , jh )⊺,1≤i , j≤n }

กำาหนดให (u)i , j=u(x i , yi) แทนฟงกชนกรด (grid function) ทจด (x i , y i) ประมาณคาไฟไนตดฟ-เฟอเรนซของอนพนธยอยอนดบหนงสามารถถกกำาหนดโดย

∂x+¿(u)i , j=(u)i, j+1−(u)i, j ¿

∂x−¿(u)i , j=(u)i, j−(u )i, j−1¿

∂ y+¿(u)i , j=(u)i+1 , j−(u)i, j ¿

∂ y−¿(u)i , j=(u)i, j−(u )i−1 , j ¿

ในทนเงอนไขคาขอบใน (4) จะถกนำามาใชในการคำานวณฟงกชนกรด ณ บรเวณขอบของ Ωh ดงน

(u)i ,0=(u)i , j , (u)i , n+1=(u)i ,n ,(u)0 , j=(u)1 , j ,(u)n+1 , j=(u)n , j

2.3 วธการเดนเวลาเพอความสะดวกในการกลาวถงวธการเดนเวลา เราจะเขยนสมการอ

อยเลอร-ลากรางจใน (3) ใหมเปน N (u (x))=g(x )

เมอ N (u(x )) ¿−α ∇ ∙¿ (5)และ g(x )=0

วธการเดนเวลาหรอวธไทมมารชชงเปนวธการทสะดวกและงายในการแกสมการเชงอนพนธยอยดงสมการ (3) แนวคดของวธการน คอ การแนะนำาตวแปรเวลาสงเคราะห t ≥0 และ คำานวณหาคำาตอบแบบสภาวะคงตว (steady state solution) ของสมการเชงอนพนธยอยทไมเปนเชงเสนทขนอยกบเวลา

∂tu ( x ,t )+N (u ( x ,t ))=g(x ) (6)

The 8th Undergraduate in Applied Mathematics Conference (UAMC 2019)

Department of Mathematics, Faculty of Science, King Mongkut’s Institute of Technology Ladkrabang

เพอแกไขความไมเปนเชงเสน N เราสามารถใชรปแบบทชดแจงของออยเลอร (Euler's explicit scheme) ดงน ∂tu (x , tk )+g ( x )−N (u (x , tk )) , k=0,1,2 ,…

โดยท u (x ,t 0 ) แทนคำาตอบเรมตน โดยทวไปเรากำาหนดให u (x ,t 0 )=f ( x )

สำาหรบการดสครตไทซโดเมนเวลา ¿ กำาหนดให τ>0 แทนขนเวลา (time step) ดงนนการปรบปรง ณ รอบเวลาครงท k+1 สามารถถกกำาหนดไดเปน

u (x ,t k+1 )=u (x , t k )+τ (g (x )−N (u ( x , t k )))(7)

เพราะฉะนนเมอทำาการประยกตการประมาณไฟไนตดฟเฟอเรนซในหวขอ 2.2 เราสามารถปรบปรง u ทจดกรด (x i , y i) ไดเปน(u[k+1])i , j=(u[k ])i , j+τ (g ( x )−N (u[k ])i , j ) (8)เมอ N (u[k ])i , j=−α∇ ∙¿¿ (9)

∇ ∙¿ (10) D (u[k ] )i , j=

1√¿¿¿¿

(11)2.4 วธการสปรทเบรกแมนสำาหรบตวแบบ ROF (1)

วธการสปรทเบรกแมนถกคดคนโดย Goldstien และ Osher [2] เรมตนจากการแนะนำาตวแปรเวกเตอรเสรม w=(w1 ,w2)

⊺ พารามเตอรการทำาซำาเบรกแมน (Bregman iterative parameter) b=(b1 ,b2)

⊺ และพารามเตอรตวโทษ (panalty parameter) θ>0 เพอแปลงปญหาเชงการแปรผน (1) เปน

minu , w{D (u , f )+α∫Ω

❑

|w|d Ω+θ2∫(w−∇u−b)2d Ω }

(12)หลงจากใชแคลคลสของการแปรผนกบ (12) จะไดสมการออยเลอร-

ลากรางจเปน

The 8th Undergraduate in Applied Mathematics Conference (UAMC 2019)

Department of Mathematics, Faculty of Science, King Mongkut’s Institute of Technology Ladkrabang

u−θ∆u=f−θ∇ ∙(w−b)

(13) α w

|w|+θ (w−∇u−b )=0

(14)เมอ u=u (x ) ,w=w ( x ) และ b=b( x)

เพอความสะดวกในการแกสมการออยเลอร-ลากรางจ คณะผวจยใน [2,3] ไดใชเทคนคการทำาซำาแบบสลบ เรมจากการแกปญหายอยใน (13) เพอกำาหนดคาของ u จากนนนำา u ทไดมาใชในการแกปญหายอยใน (14) เพอกำาหนดคาของ w โดยจะดำาเนนการทำาซำาแบบสลบจนกระทงลำาดบของ u สอดคลองกบเกณฑการหยด

∥unew−uold∥∥unew ∥

<ε

เมอ unew และ uold แทนเวกเตอรของ u ทไดจากการทำาซำารอบปจจบนและการทำาซำารอบกอนหนา ε>0 แทนคาความแมนยำา

ในการแกปญหายอยใน (13) เราจะเรมจากการประมาณไฟไนตดฟเฟอเรนซ

(u)i , j−θ¿ (15)เมอ (G)i , j=( f )i , j−θ¿ (16)จากนนทำาการสมมตวา (13) มเงอนไขขอบแบบเปนคาบ (periodic boundary condition) ดงนน

∂¿+¿(u)={(u)i , j+1−(u)i , j เม อ1≤ i<n ,1≤ j<n

(u)i ,1−(u)i , jเม อ1≤i<n , j=n¿

∂¿−¿(u)={(u)i , j−(u)i , j−1เม อ1≤ i≤n ,1< j ≤n

(u)i , j−(u)i , nเม อ1≤ i≤n , j=1¿

∂¿+¿(u)={(u)i+1 , j−(u)i , j เม อ1≤ i<n ,1≤ j ≤n

(u)i , j−(u)i−1 , jเม อi=n ,1≤ j ≤n¿

∂¿−¿(u)={(u)i , j−(u)i−1 , jเม อ1≤ i<n ,1≤ j ≤n

(u)i , j−(u)n , j เม อi=n ,1≤ j≤n¿

The 8th Undergraduate in Applied Mathematics Conference (UAMC 2019)

Department of Mathematics, Faculty of Science, King Mongkut’s Institute of Technology Ladkrabang

∂x

−¿∂¿+¿( u)={(u)i ,n−2(u)i, j+(u)i, j+1 เม อ1≤i≤n , j=1

(u )i, j−1−2 (u)i, j+(u)i, j+1 เม อ1<i , j<n(u )i, j−1−2 (u)i, j+(u)i,1 เม อ1≤i≤ n , j=n

¿

¿

∂ y

−¿∂¿+¿( u)={ (u)n , j−2 (u )i, j+(u )i+1 , jเม อi=1,1≤ j≤n

(u )i−1 , j−2 (u)i, j+(u)i+1 , j เม อ1<i<n ,1≤ j≤ n(u )i−1 , j−2 (u )i , j+(u )1, j เม อi=n ,1≤ j≤n

¿

¿

หลงจากใชการแปลงฟเรยรแบบดสครต (discrete Fourier transform) F กบ (15) จะได

F ¿

หรอ (1−(2θcos( 2 πsn )+cos( 2πr

n )−2))F ((u)i , j )=F ((G)i , j )

(17)เมอ i , j∈[1 ,n ] แทนดชนในโดเมนเวลา และ r , s∈[0 , n] เปนดชนในโดเมนความถ เพราะฉะนน

(u)i , j=ℜ(F−1( F ((G)i , j )ξ ))

(18)เมอ ξ=(1−(2θ cos( 2πs

n )+cos ( 2πrn )−2))

และ F−1 แทนการแปลงฟเรยรผกผนแบบดสครต (discrete Fourier transform)

สำาหรบ (14) มผลเฉลยวเคราะหทถกกำาหนดโดย [3] (w¿¿ i , j)=max(|∇ (u )i , j+ (b )i , j|−α

θ ,0) ∇ (u )i , j+(b )i , j¿∇ (u )i , j+ (b )i , j∨¿¿

¿

(19)2.5 วธการเชงตวเลขทนำาเสนอ

ในงานวจยน เราจะนำาวธการสปรทเบรกแมนมาประยกตกบปญหาเชงแปรผน (2) โดยเราแนะนำาเวกเตอรเสรม w1 ,w 2,w3 พารามเตอรการท ำาซ ำาเบรกแมน b1 , b2 , b3 และพารามเตอรตวโทษ θ1 , θ2 ,θ3>0 เพอแปลงปญหาเชงแปรผน (2) เปน

The 8th Undergraduate in Applied Mathematics Conference (UAMC 2019)

Department of Mathematics, Faculty of Science, King Mongkut’s Institute of Technology Ladkrabang

minu , w1 ,w2 , w3{D (u , f )+α∫

Ω

❑

|w1|dΩ+θ1

2 ∫ (w1−∇u1−b1)2d Ω

+α∫Ω

❑

|w2|d Ω+θ2

2 ∫ (w2−∇ u2−b2)2d Ω

(20)+α∫

Ω

❑

|w3|dΩ+θ3

2 ∫ (w3−∇u3−b3 )2d Ω}

เมอใชแคลคลสของการแปรผนกบ (20) จะไดสมการออยเลอร-ลากรางจเปน

u1−θ Δu1= f 1−θ1∇ ∙(w1−b1)

(21) u2−θ Δu2= f 2−θ2∇ ∙ (w2−b2)

(22)u3−θ Δu3=f 3−θ3∇ ∙ (w3−b3 )

(23)αw1

|w1|+θ1∇ ∙ (w1−∇u1−b1 )

(24)αw2

|w2|+θ2∇ ∙ (w2−∇u2−b2 )

(25)αw3

|w3|+θ3∇ ∙(w3−∇u3−b3)

(26)3.ผลการทดลองเชงตวเลข

ประสทธภาพของภาพทผานกำาจดสญญาณรบกวน จะประเมนโดยใชคา PSNR ระหวางภาพตนฉบบ u¿และภาพผลลพธu ซงนยามโดย

PSNR=10 log ( 2552

MSE ) โดยท MSE= 1

3n2∑l=1

3

∑j=1

n

∑i=1

n

( (ul¿) i , j−(ul )i , j )2

Original image Noise image Restored image (TM) Restored image (SB)

The 8th Undergraduate in Applied Mathematics Conference (UAMC 2019)

Department of Mathematics, Faculty of Science, King Mongkut’s Institute of Technology Ladkrabang

รปภาพท 1 : ผลการกำาจดสญญาณรนกวน ซ งมขนาดความคมชด 256×256 พกเซล เมอ

τ=10−3 , β=10−2 , α=10 ,θ=1

ตารางท 1 : ผลการคำานวณดวยตวแบบเชงการแปรผนทไดนำาเสนอ (1) สำาหรบภาพสดวยวธการไทมมารชชงและวธการสปรทเบรกแมน

PSNR เวลา (วนาท)

ภาพทมสญญาณรบกวนวธการไทมมารชชงวธการสปรทเบรกแมน

26.247626.274232.8058

0.321537.13680.3215

จากผลการศกษาเราพบวาวธการสปรทเบรกแมนทนำามาประยกตใชกบปญหาเชงการแปรผน (2) สามารถกำาจดสญญาณรบกวนออกจากภาพสในระบบ RGB ไดและจากรปภาพท 1 จะเหนไดวาภาพผลลพธจากวธการสปรทเบรกแมนใหความคมชดของภาพไดดกวาวธการไทมมารชชงและจากตารางท 1 จะเหนไดวาภาพผลลพธทไดจากวธการสปรทเบรกแมนมประสทธภาพสงกวาและใชเวลาในการประมวลผลเรวกวาภาพผลลพธจากวธการไทมมารชชง4.บทสรป

The 8th Undergraduate in Applied Mathematics Conference (UAMC 2019)

Department of Mathematics, Faculty of Science, King Mongkut’s Institute of Technology Ladkrabang

งานวจยชนนไดนำาเสนอตวแบบเชงการแปรผนสำาหรบภาพสและขนตอนวธการเชงตวเลขสำาหรบกำาจดสญญาณรบกวนออกจากภาพ ผลการทดลองเชงตวเลขพบวาขนตอนวธการเชงตวเลขทผวจยไดนำาเสนอสามารถกำาจดสญญาณรบกวนดงกลาวไดอยางแมนยำาและรวดเรวกวาวธการไทมมารชชงซงเปนวธพนฐาน

เอกสารอางอง[1] L. Rudin, S. Osher and E. Fatemi. Nonlinear total variation based noise removal algorithms. Physica D Vol. 60 (1992), pp. 259-268.[2] T. Goldstein and S. Osher. The split bregman method for l1-regularized problems. SIAM Journal on Sciences 2009, 2(2), pp. 323-343.[3] W. Lu, J. Duan, Z. Qiu, Z. Pan, R. W. Lim and L. Bai. Implementation of high-order variational models made easy for image processing. Mathematical Methods in the Applied Sciences. 39 (2016), pp. 4208-4233.