Análisis de Señales Introducción Cuando se trata el tema de los sistemas de comunicaciones y de electrónica en general, es necesario conocer el comportamiento de las señales, pues de ello dependerá entre otras cosas el ancho de banda que necesitaremos para poder transmitir la señal en cuestión. En esta cuestión hemos visto en cursos anteriores que las señales las podemos analizar en el dominio del tiempo y de la frecuencia, lo que nos lleva a conocer el espectro, es decir con qué componentes de frecuencias y con qué amplitudes tendremos que trabajar. El objetivo de este opúsculo es llevar a los estudiantes los métodos matemáticos que nos permitirán encontrar esos espectros para señales periódicas y no periódicas. Estas herramientas son conocidas con el nombre de serie de Fourier y transformada de Fourier 1) Serie de Fourier Supongamos tener una función periódica tal que )Tt(f)t(f += , la cual además deberá cumplir con las tres condiciones siguientes: a) Sea continua o si es discontinua, debe tener un número finito de discontinuidades en el período T. b) El valor medio debe ser finito en el período T. Si se cumplen estas condiciones, existe la serie de Fourier y puede escribirse en la forma trigonométrica del siguiente modo:

( ) ( )(∑∞

=++=

10

nnn tnsenbtncosaa)t(f ωω ) Desde ya, se observa que el primer término que no tiene

ninguna función senoidal o cosenoidal, representa el valor medio, por lo tanto si la señal tiene áreas iguales por encima y por debajo del eje, a0 =0. Los coeficientes de la serie trigonométrica de Fourier se obtendrán de la siguiente forma:

( )∫+

=Tt

tdttf

Ta

1

1

10

( ) ( )dttncostfT

aTt

tn ∫

+

=1

1

2 ω

( ) ( )dttnsentfT

bTt

tn ∫

+

=1

1

2 ω

2) Condiciones de simetría Se trata de una función impar cuando cumple la condición ( ) ( )tftf −−= , de una función par cuando

. ( ) ( )tftf −=

Una función tiene simetría de media onda cuando se cumple que ( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

2Ttftf

A continuación damos algunos gráficos comparativos entre funciones impares y pares. Ejemplo funciones pares:

Ejemplo funciones impares:

También puede observarse que una función puede cambiar su paridad según la elección del eje. Por ejemplo una señal cuadrada, en principio es impar, pero si corremos el eje la podemos convertir en par, como se muestra a continuación:

Por otra parte, las ondas cuadradas de los gráficos anteriores también son un ejemplo de simetría de media onda. El conocer estas condiciones de simetría es muy importante ya que permiten establecer las siguientes reglas: i) Si la función es par, como el coseno lo es, entonces tendrá sólo componentes en cosenos, es decir tendrá sólo coeficientes an. ii) Si la función es impar y, como el seno lo es, entonces tendrá sólo componentes en seno, es decir tendrá sólo coeficientes bn. iii) Si la función tiene simetría de media onda, entonces sólo tendrá armónicos impares, sean an o bn. 3) Ejemplo: Determínese el desarrollo en serie trigonométrica de Fourier de la señal cuadrada del gráfico siguiente.

V

Por simple observación vemos que se trata de una función impar y por otra parte, también tiene simetría de media onda. Debido a estas condiciones sólo tendrá términos en seno y armónicos impares. También vemos que las áreas por encima y por debajo del eje son iguales, de manera que no tendrá valor medio. Procedamos pues a la resolución. Primeramente tenemos que definir la función en forma analítica y para ello debemos considerar que durante el primer medio período, la función vale “V” y el resto del período es nula,

por lo tanto podemos escribir: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ <<→−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ <<→

=TyTV

TtV)t(f

2

20

, entonces calculamos los coeficientes bn:

( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫ −+==T

/T

/Tn dttVsen

TdttVsen

Ttnsentf

Tb

T

2

2

00

222 ωωω Podemos ahora hacer un cambio de

variables para poner la diferencial y el argumento del seno en la misma variable.

ωωω dudtdtdutu =⇒=⇒= y, realizando el cambio de variables, resulta:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ] ( )[ ]

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ]ππ

ππ

ππ

ππ

ππ

ππππ

ππ

ωωωω

ππ

ππ π

π

π

π

π

π π

π

ncoscosnVb

ncoscosn

Vncoscosn

Vncoscosn

Vncosncosn

V

nucosn

Vnucosn

VdunuVsendunuVsen

dunuVsenT

T

dunuVsenT

T

dunuVsenT

dunuVsenT

dttVsenT

dttVsenT

b

n

T

/T

/Tn

−=

−+−=−+−−

=−−−=−

−

=−=−=

∫ ∫

∫∫

∫ ∫∫∫−

02

0000

11

22

22

2222

2

00

2

0

0

2

2

2

0

Analicemos qué sucede con el corchete si “n” es impar o par. De hecho sabemos que por la simetría de media onda tendrá sólo armónicos impares, pero lo verificaremos. Si n = 2k+1 es impar y quedará el coseno de (2k+1)π, es decir π, 3π, 5π, etc. y siempre dará “-1”, por lo

cual [ ]nV)(

nVbn

ππ4112

=−−=

Si n = 2k, resulta que queda cos (2kπ) es decir 2π, 4π, 6π, etc., de manera que el resultado es siempre “1”, por lo que bn = 0, como lo habíamos previsto.

Por lo tanto la expresión final del desarrollo en serie trigonométrica de Fourier es ∑∝

=1

4n

)tn(sennV ωπ

. De esta

expresión podemos sacar la conclusión que las componentes de frecuencia, que dan lugar al espectro de amplitudes, decrecen con “n”, es decir que la curva envolvente del espectro es una hipérbola equilátera que definirá las amplitudes de las líneas espectrales. Se trata pues de un espectro discreto, típico de las señales periódicas y sólo tiene componentes para valores discretos de frecuencia, no para cualquier frecuencia.

1 3.25 5.5 7.75 100

0.5

1

1.5

2

f n( )

n

Si la señal la desarroláramos como una función impar y de la misma amplitud como la dibujado a continuación

La serie dará por resultado los mismos valores de los coeficientes, pero en este caso por ser una función par serán los an. La integración habrá que realizarla

entre 2T

− y 2T , como siempre abarcando un

período completo. Quedará finalmente

∑∝

=

=1

4n

)tncos(nV)t(f ωπ

Con armónicos impares

por la simetría de media onda.

4) Expresión compacta de la serie trigonométrica de Fourier En el desarrollo ( ) ( )(∑∞

=++=

10

nnn tnsenbtncosaa)t(f ωω ) podemos observar que los coeficientes an y bn

pueden entenderse como representando las componentes cartesianas de un fasor, de manera que podemos escribir un desarrollo según la serie trigonométrica de forma más compacta como

, de modo que ∑∞

=

+=0n

n )nt(senC)t(f ϕω⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

+=

n

nn

nnn

abarctg

baC

ϕ

22

Lo anterior puede mostrarse gráficamente del siguiente modo:

Cn

an

bn

5) Serie Exponencial de Fourier Si analizamos la serie trigonométrica de Fourier, llegamos a la conclusión que podemos expresarla de un modo más sencillo y conveniente. Para ello debemos recordar la fórmula de Euler que permite escribir una

exponencial compleja en términos de funciones senos y cosenos. Ella se expresa del siguiente modo: , por lo tanto también nos permitirá escribir las funciones trigonométricas en

función de exponenciales, veamos, Si sumamos miembro a miembro (mam),

obtenemos el coseno, pues los senos se cancelan mutuamente, quedando

( ) ( tjsentcose tj ωωω ±=± )

)t(sen)tcos(e)t(jsen)tcos(e

tj

tj

ωω

ωωω

ω

−=

+=−

2

jwttj ee)tcos(−+

=ω

ω . Luego, si

restamos mam se cancelan los cosenos y nos queda el doble del seno: jee)t(sen

tjtj

2

ωω

ω−−

= . Si ahora

remplazamos en la expresión de la serie trigonométrica, resulta lo siguiente:

∑∝

=

−−−−

−++=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ +

0 222222n

tjntjn

ntjntjntjtj

n

tjtj

n ej

bebeaeajeebeea ωωωω

ωωωω

. Recordando que jj

−=1 ,

reemplazando en la expresión se la serie y sacando factor común, llegamos a

ntjn

ntjn

ntjnn

n

ntjnntjntjntjntjn

n n

ntjnntjn

nntjnntjnntjntj

n

ntjntj

n

eBeAejbaejbaebjebjeaea

ej

bej

beaeajeebeea

ωωωωωωωω

ωωωωωωωω

−−∝

=

−−

∝

=

∝

=

−−−−

+=++−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +−+

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−++=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ +

∑

∑ ∑

222222

222222

0

0 0

Donde ahora los coeficientes de Fourier son números complejos, siendo su valor:

2

2nn

n

nnn

jbaB

jbaA

+=

−=

Ahora

podemos observar algo interesante: los coeficientes de la serie compleja son números complejos conjugados, lo cual nos permite afirmar que tendrán el mismo módulo y la fase será un ángulo opuesto. Es decir que si por ejemplo An tiene una fase de 30°, Bn tendrá -30°. Por lo tanto debido a lo expuesto podemos afirmar que el espectro de amplitudes que surge de al serie exponencial de Fourier es simétrico, es decir que los mismos armónicos para frecuencias “positivas” y “negativas” tendrán la misma amplitud, ya que el coeficiente que corresponde a “n” y a “-n” tienen el mismo módulo, es decir nnn FBA == . Por lo tanto, no será necesario calcular dos coeficientes, sino que con uno sólo basta, ya que en vez de tomar la serie desde cero la podemos tomar desde “menos infinito”, finalmente, la serie

exponencial de Fourier quedará de la siguiente forma: El cálculo de los coeficientes lo

haremos del modo siguiente:

∑∞

∝−=

=n

ntjneF)t(f ω

∫+ −=

Tt

t

ntjn dte)t(f

TF

0

0

1 ω Por supuesto es siempre necesario integrar a lo largo

de un período. El espectro de la serie exponencial de Fourier podría ser como el indicado más abajo que corresponde a una onda triangular.

6)Ejemplo Admitamos que deseamos encontrar el desarrollo en serie exponencial de Fourier de la señal cuadrada de ancho δ, período T y amplitud V.

-δ/2 δ/2 T-δ/2 Calculemos los coeficientes para este tren de pulsos. Para ello debemos definir la función graficada en forma

analítica:

20

20

22

δ

δ

δδ

>→

−<→

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ <<−→

=

t

t

tV

)t(f , por lo tanto debemos integrar del modo siguiente:

( )[ ] ( )

( )

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

−=+==

−−

−

−

−

−

−−+ − ∫ ∫∫

TnSa

TV

Tn

Tnsen

TV

T

nT

sen

TnVF

nT

sen

nV

nsen

nV

jee

nVee

jnVF

eejnT

VenjT

VdtT

dtVeT

dte)t(fT

F

n

njnjnjnj

n

njnjntjTntjTt

t

ntjn

δπδδπ

δπδ

δ

δπδ

π

δπ

π

δω

πππ

ωω

δωδωδωδω

δωδωδ

δω

δ

δ

δ

δωω

22

22

12

110111

2222

222

2

2

2

2

2

0

0

Se observa en el anteúltimo miembro de la expresión anterior una función del tipo x

)x(sen , conocida por su

estudio en Análisis Matemático y que tiene una gran importancia en al teoría de las telecomunicaciones y se la llama función de muestreo (sampling, en inglés), cuyo símbolo es Sa(x). Finalmente la expresión del

desarrollo en serie exponencial de Fourier es: ∑∞

∝−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

n

ntjeTnSa

TV ωδπδ Es decir que se tratará de un espectro

discreto típico de cualquier función periódica, pero con una envolvente que es la función de muestreo. Como se trata de una función compleja tendrá módulo y fase o componente real o imaginaria. Tomaremos la parte real. La gráfica sería como la indicada a continuación, donde vemos la envolvente y para cada valor de n deberíamos tener una línea espectral que llegue hasta la ordenada de la sampling.

403836343230282624222018161412108 6 4 20 2 4 6 8101214161820222426283032343638400.5

0.2

0.1

0.4

0.7

1

armónicos

ampl

itud

1

0 0.5−

F n( )

4040− n

:=:=

Analicemos un poco lo que sucede con el espectro al modificar el valor del período. Tomemos un ancho de

pulso constante s201

=δ . Planteemos tres casos: a) Adoptemos sT41

= , la expresión del desarrollo en serie

quedará: ∑∞

∝−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

n

ntjenSaV)t(f ωπ55

. Observamos que la amplitud de las componentes se reducen en V/5 y

que los armónicos estarán separados en un valor πππω 8

41

22===

To , es decir que tendremos armónicos en

...,,, ±±±±= πππω 241680

b) sT21

= , por lo tanto ∑∞

∝−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

n

ntjenSaV)t(f ωπ1010

y los armónicos estarán desplazados la mitad, es decir

cada 4π, de manera que tendremos armónicos en ...,,, ±±±±= πππω 16840

c) Finalmente adoptemos , con lo que sT 1= ∑∞

∝−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

n

ntjenSaV)t(f ωπ2020

de donde apreciamos que la

amplitud volvió a reducirse a la mitad del caso anterior al duplicarse el tiempo y los armónicos estarán separados en 2π, con lo que tendremos armónicos en ...,,,, ±±±±= πππω 8420 Por lo tanto podemos concluir que si el período aumenta, se reduce la amplitud de los armónicos y estos están menos separados, es decir que el espectro se hace más denso. Estas conclusiones son muy importantes y ese ponen de manifiesto en los gráficos siguientes.

Fijémonos qué sucede ahora si, manteniendo constante el período, reducimos el ancho del pulso. La idea es observar cómo variará la frecuencia para la que se produce el primer cero de la sampling. En

∑∞

∝−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

n

ntjeTnSa

TV)t(f ωδπδ podemos reemplazar del siguiente modo

∑∞

∝−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

n

ntjo enSaT

V)t(f ωδωδ2

donde hemos introducido el valor de la pulsación o frecuencia angular ω. El

primer cero de la función aparecerá cuando δπωπδωδω 2

20

2=⇒=⇒=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ nnnSa o

oo , que corresponderá a

n = 1. Debe observarse que cuánto más pequeño es el ancho del pulso “δ” más lejos estará el primer cero, más grande será el ancho de banda y menor será la amplitud. Entender estas últimas conclusiones es de importancia crucial para comprender lo que sucede si la señal deja de ser periódica para convertirse en no periódica o con un período infinito. 7) Desarrollo de una función no periódica en todo el intervalo ∞<<∞− t . Transformada de Fourier Supongamos tener una función no periódica , la cual puede ser obtenida mediante una función periódica de la forma indicada en el gráfico. Si hacemos el período infinitamente grande, período infinito, la señal no se repetirá con lo cual pasará a ser no periódica. Es decir, deberá cumplirse

)t(f)t(fT

)t(f)t(flím TT

=∞→

Queda pues claro que para ∞→T , ambas funciones son iguales y por lo tanto tendrán el mismo desarrollo

en serie de Fourier. Es decir con ∑∞

∝−=

=n

ntjnT eF)t(f ω

Tπω 2

0 = , y ∫−−= 2

2

01 T

Tntj

n dte)t(fT

F ω Como vimos en

el ejemplo anterior y también de esta fórmula se deduce que si T aumenta la amplitud de Fn disminuye y la frecuencia fundamental también, de manera que los armónicos están más cerca y el espectro se hace más denso. Cuando ∞→T la amplitud de cada componente se hace infinitamente pequeña, pero también existe un número infinito de armónicos y tendremos un espectro denso y por tanto se convertirá en una función continua de ω. Llamemos nn ωω =0 por lo que ahora Fn será una función de 0ωn , es decir de nω y la denotaremos como

)(F nn ω , y además adoptaremos )(F)(TF nnn ωω = . Con esta nueva notación las expresiones anteriores de la

serie se convierten en

∫

∑

−

−

∞

∝−=

==

=

2

2

1

T

Ttj

nnn

n

ntjnT

dte)t(fT)(F)(F

e)(FT

)t(f

nω

ω

ωω

ωSi en la primera de las expresiones sustituimos el

valor del período dado por 0

2ωπ

=T podremos escribir ∑∞

−∞=

=n

jn

te)(F)t(f n0

21 ωωπ

ω . De esta última

expresión se puede observar que la amplitud de cada componente de frecuencia, se podrá escribir como

πωω

20)(F n , es decir que la amplitud de cada componente no es )(F nω , sino proporcional a ella. Tratemos

de analizar un poco más en detalle el caso cuando el período se hace infinitamente grande. Hagamos para ello un gráfico en el cual llevemos el valor de en función de ω, admitiendo que sea real, pues en le caso más general, por tratarse de un complejo sería necesario considerar módulo y fase o componente real e imaginaria.

tjn

ne)(F ωω

Vemos en el gráfico que el área sombreada representa 0ωω ω te)(F njn , por lo que la expresión deducida

anteriormente ∑∞

−∞=

=n

jn

te)(F)t(f n0

21 ωωπ

ω , representa la suma de todas las áreas de los rectangulitos, es

decir, representa aproximadamente el área total bajo la curva en línea interrumpida (envolvente). Se observa que la aproximación se mejora cuando se reduce ω0. Por lo tanto cuando 00 →⇒∞→ ωT haciéndose infinitesimalmente pequeña, no cometiéndose entonces error alguno. Debe quedar claro entonces que ω0 pasa a ser dω y que la suma discreta pasa a ser continua

convirtiéndose en una integral. Por lo tanto podemos expresar que ∫∞

∞−= ωω

πω de)(F)t(f tj

21 y

∫∞

∞−

−= dte)t(f)(F tjωω

Estas dos expresiones representan las llamadas transformadas inversa y directa de Fourier respectivamente. La amplitud de cada componente de frecuencia es proporcional a F(ω), por lo tanto representa el espectro de f(t) que para una función continua (no periódica) se llama función de densidad espectral. F(ω) existe para cualquier valor de ω y no para valores particulares de ella como ocurría con una función periódica. El par de

transformadas de Fourier se denota en forma simbólica como [ ]

[ ] ∫

∫∞

∞−

∞

∞−

−

==

==

ωωπ

ω

ω

ω

ω

de)(F)t(f)(F

dte)t(f)(F)t(f

tj

tj

21 1-F

F

Hemos podido desarrollar una función no periódica en todo el intervalo , de manera de obtener un espectro continuo tal que la amplitud de cada componente es proporcional a F(ω), pero infinitesimal. 8) Ejemplo Supongamos tener la señal dibujada a continuación

-δ/2 δ/2 t Como se trata de una función no periódica, la desarrollaremos según la transformada de Fourier.

[ ]

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=

−===

−

−−

∞

∞− −

−

−

−−−∫ ∫

22

2

22

2

222

2222

2

2

222

2

δωδδω

δωδ

δωδδ

δ

ωω

ωωω

δωδω

δωδωδδ

δ

δ

δδδ

δωωω

SaVsen

Vj

eeVee

jVee

jV

eej

Vej

VdtVedte)t(f)(F

jj

jjjj

jjtjtjtj

Finalmente podemos escribir que la transformada de Fourier del pulso descripto es ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

2δωδω SaV)(F , es

decir que volvemos a tener la función de muestreo, pero no ya como la envolvente de los armónicos separados ω0 , como ocurría en la función periódica (tren de pulsos), sino como una función continua que está definida para cualquier valor de ω, dando lugar a la función de densidad espectral, donde la amplitud de la sampling depende del ancho del pulso, pero conservándose la idea que si el ancho del pulso se reduce, también lo hace la amplitud, mientras que el ancho de banda aumenta, ya que nuevamente el primer “cero”

de la sampling aparece para δπωπδωδω 2

20

2=⇒=⇒=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛sen . Se ve claramente que si el ancho de

pulso se reduce, aumenta en la misma medida la frecuencia para la cual aparece el primer cero, es decir aumenta el ancho de banda. Es interesante observar qué sucede cuando el ancho del pulso tiende a cero, es decir el pulso tiende a convertirse en un impulso. Si ∞→⇒→ ωδ 0 , mientras que la amplitud tiende a cero, en realidad se conserva el área de la curva. Si

0→⇒∞→ ωδ , lo cual es totalmente entendible, ya que si el ancho tiende a infinito, significa que el pulso se convirtió en una continua, de modo que sólo puede tener componentes en cero del espectro (la frecuencia de una continua es cero). Gráficamente podríamos verlo como sigue:

9) Algunas propiedades importantes de la transformada de Fourier a) La función de densidad espectral como, en general, se trata de una función compleja, deberá tener un módulo y una fase para estar completamente especificada. No obstante, en la mayoría de lo sasos es real o imaginaria pura, donde basta un diagrama para representar a la función. Si f(t) es una función real, como habitualmente ocurre, entonces

, por otra parte si tomamos las

frecuencias “negativas” Queda claro

de las expresiones anteriores que los módulos son iguales para frecuencias positivas y negativas y que las fases son opuestas, es decir

∫ ∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

− −== dt)t(sen)t(fjdt)tcos()t(fdte)t(f)(F tj ωωω ω

∫ ∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−+==− dt)t(sen)t(fjdt)tcos()t(fdte)t(f)(F tj ωωω ω

)(F)(F ωω −= y )()( ωθωθ −−= . Finalmente podemos afirmar que el módulo de la densidad espectral es par y la fase es impar. b) Veamos qué sucede si a una función f(t) la multiplicamos por sen(ωt). Debemos hallar la transformada de

)t(sen)t(f ω . Admitimos que la transformada de Fourier de f(t) es F(ω). Por lo tanto

( ) ( ) [ ]∫∫

∫∫∞

∞−

+−∞

∞−

−−

∞

∞−

−−∞

∞−

−

−−+=−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −==

)(F)(Fjdte)t(fj

dte)t(fj

)]t(f[

ejee)t(fdte)t(sen)t(f)]t(f[

tjtj

tjtjtj

tj

00

0

21

21

21

2

00

00

ωωωω

ω

ωωωω

ωωω

ω

F

Flo que representa

una translación en frecuencia, es decir, en definitiva un proceso de modulación.

De forma análoga se llega a que [ ])(F)(F)]tcos()t(f[ 00021 ωωωωω −++=F que tiene el mismo

significado anterior. c) La transformada de Fourier es una operación lineal, es decir )(Fa)(Fa)t(fa)t(fa ωω 22112211 +↔+ d) Analicemos la transformada de la derivada de una función.

( ) ∫∫∞

∞−

∞

∞−==⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⇒↔ ωωω

πωω

πω ωω de)(Fjde

dtd)(F

dt)t(df)(F)t(f tjtj

21

21

F .

Finalmente resulta ( ) )(Fjtfdtd ωω=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡F

e) Analicemos la transformada de la integral de f(t)

)(Fj

dt)t(f)(F)t(f ωω

ω 1=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡⇒↔ ∫ F

10) Funciones singulares Nos planteamos ahora cómo es el tratamiento cuando se trata de señales que son singulares, es decir que tienen ideterminaciones insalvables. Tomemos un ejemplo: supongamos una fuente ideal que carga a un capacitor. En el instante inicial, cuando se cierra la llave, el capacitor está totalmente descargado y la corriente tiende a infinito. Hay una

indeterminación en el origen, ya que dtdvCiC = y la tensión es un escalón. Todo esto es algo ideal, pues en

realidad no hay circuito alguno que no tenga cierta resistencia, aunque sea despreciable. Si admitimos cierta resistencia en el circuito, con una constante de tiempo pequeña, podemos admitir que la corriente crecerá linealmente, como se observa en la siguiente figura.

t

a

1

1/a

Veamos que el valor de la corriente, al ser la derivada de la tensión resulta t

aiC

1= , de manera que si se va

reduciendo a, va aumentando la amplitud del pulso, de manera que cuando , la amplitud 0→a ∞→ , pero

con una salvedad interesante, el área se mantiene, ya que aa

Area 1= , por lo tanto, el área es siempre

unitaria ( se conserva el área). Una “función que cumpla con estas características se denomina función impulso o función delta de Dirac en homenaje al físico que la desarrolló. La definición estricta de la función

impulso, dada por Dirac es ∫∞

∞−=

≠∀=

1

00

dt)t(f

t)t(δ Esta señal, si bien no es una función en el sentido matemáticos

estricto, resulta de gran importancia en la teoría de las comunicaciones, debido a que es la forma esencial de las señales de muestreo. Una forma muy sencilla de obtenerla es a través de un circuito R-C, el cual proporcionará un pulso exponencial de tensión sobre la resistencia R1

C1

2

1

R11k

V1

0

Sabemos que la tensión sobre un capacitor en el circuito R-C es ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−τ

t

c eV)t(v 11 , mientras que la

corriente es la derivada de la tensión, multiplicada por C, es decir ττ

ττ

tt

c eCVCeVdtdvCi

−−===

111 que

multiplicado por R1, nos da la tensión sobre dicha resistencia. Analicemos la expresión τ

τt

e−

. Si tomamos el

límite para τ tendiendo a cero.

∞=−

→ τ

τ

τ

t

elím0

y por otra parte ∫∞

∞−

−

= 1dtet

τ

τ

, Por lo tanto una de las formas más sencillas de generar una

función impulso unitario es mediante un circuito R-C.. En los gráficos siguientes se observa la aproximación a esta función impulso:

0 4 8 12 16 200

0.04

0.08

0.12

0.16

0.2

f t( )

t τ=5s

0 4 8 12 16 200

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f t( )

t τ=1s

0 4 8 12 16 200

2

4

6

8

10

f t( )

t τ=0.1s

Se observa que cuánto más pequeño es τ, más nos aproximamos a la función impulso o delta de Dirac. 11) Teorema del muestreo Se trata de un teorema fundamental en la teoría de las comunicaciones empleado en muchos modos de modulación como por ejemplo como el acceso por multiplexación de tiempo, en donde se comparte el mismo canal y la señal se reconstruye mediante sus muestras. Este teorema fue desarrollado por Nykist. No daremos la demostración del teorema en virtud de su complejidad, pero sí la tesis del mismo. “Una señal limitada en banda que no tiene componentes de frecuencia mayores a fmáx, estará unívocamente

determinada por sus muestras tomadas a intervalos regulares de tiempo menor que mf2

1 ”. En definitiva, este

teorema, está definiendo cuál es la mínima frecuencia que podemos usar para muestrear una determinada señal. Siempre tenemos que usar una frecuencia que sea mayor al doble de la máxima que contiene la señal a transmitir. En los gráficos siguientes se observa cómo se produce el proceso del muestreo uniforme, es decir que todas

las muestras están tomadas a intervalos regulares de tiempo (máxf21

< ).

En la primera figura observamos la señal a transmitir. En la “b” vemos la señal y su espectro. En “c” tenemos la señal de muestreo, es decir las funciones impulso ideales y sus correspondiente espectro discreto, ya que se trata de una función periódica en la “d”. En “e” y “f” las muestras de la señal y su espectro. Finalmente, si pasamos la señal anterior por un filtro pasabajos, nos quedamos sólo con un espectro y podemos reconstruir la señal, la que aparece en la fig.”g”. Como cierre del tema puedo expresar que se trata este opúsculo, sólo de una pequeña introducción a un tema de profundas connotaciones en la teoría de las comunicaciones y que deberá ser profundizado en cursos posteriores. Es punto de partida para entender métodos que se usan profusamente con el progreso de los procesadores como es la transformada discreta de Fourier (DFT- Discrete Fourier Transform) y su versión mejorada conocida como la transformada rápida de Fourier (FFT- Fast Fourier Transform) que se realiza

prácticamente en tiempo real y que permite modificar mediante filtros digitales realizados con procesamiento digital de señales (DSP- Digital Signal Processing) las propiedades de la señal, de manera de mejorarla, por ejemplo quitando ruido o cambiando su espectro.

Bibliografía: Sistemas de Comunicación de B.P. Lathi – Ed. Limusa