análisis y síntesis de mecanismos anÁlisis de fuerzas en

Análisis y Síntesis de Mecanismos

ANÁLISIS DE

FUERZAS EN

ENGRANES DE

DIENTES RECTOS,

HELICOIDALES Y

CÓNICOS.

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ANÁLISIS DE FUERZAS EN ENGRANES RECTOS, HELICOIDALES Y CÓNICOS. Análisis de Fuerzas sobre el diente de engranes rectos

En el engranaje de dos engranes cilíndricos (Figura 1), o piñón y cremallera (Figura 2), si bien estánen contacto por lo general dos o tres dientes, se considera que la fuerza ejercida por el engrane motrizsobre el engrane conducido se realiza a través de un solo diente. Esta fuerza Fn tiene la dirección de lalínea de presión, formando el ángulo θ con la línea tangente a las circunferencias primitivas (de paso)y está aplicada en el punto O de contacto de ambos dientes. La misma puede descomponerse por logeneral en tres componentes, una fuerza tangencial Ft, que es la fuerza que produce el movimientorotativo, una fuerza radial Fr y una fuerza axial Fa, soportadas ambas por los elementos de sujeción delengrane, siendo la última de ellas nula en los engranes rectos, como es el caso que se analiza. Delsistema de fuerzas indicados en la figura 1, aplicado en el punto O, Fn es la resultante solo de Ft y Fr

para dientes rectos, siendo normal a la tangente que pasa por el punto O de contacto de los dos dientesy tiene además la dirección de la línea de acción o de presión.

La potencia transmitida tangencialmente al movimiento de giro por engrane motriz al conducido es P,siendo ω la velocidad de rotación en revoluciones por minuto (rpm). Para el radio primitivo (de paso)R, la velocidad tangencial v del punto O de contacto de los dientes sobre el radio de paso.

Figura 1. Figura 2.

De la ecuación de velocidad tangencial se tiene:

v = ω.R = 60

2 ωπ R

(1) La potencia P en la dirección tangencial del movimiento es:

P = Ft .v = 60

2 ωπ RFt

(2)

De la (2) se obtiene:

ωπ R

P

v

PFt 2

60==

(3)

Por otra parte resulta, según la figura 1:

θcost

n

FF = (4)

Fr = Ft tanθ (5)

2


El momento de rotación será: M = Ft.R (6)

Para P en Watts, v en m/s y R en metros resultan Ft, Fr y Fn en Newton y M en Newton-metro, estando sus valores dados por las expresiones anteriores. Para P en lb-ft/s (550 lb-ft/s = 1 hp), R en pies y v en pies/s resultan Ft, Fr y Fn en lb y M en libras-pie.

Figura. Ángulo de presión y relación con las fuerzas de un engrane de diente recto, y relación con loscírculos de paso y base

Análisis de fuerzas en engranes cilíndricos helicoidales con ejes paralelos. Empuje axial

Estos son los engranajes helicoidales más comunes. En lafigura 3 se observa la fuerza F que actúa sobre el plano dela circunferencia primitiva en el centro de la cara deldiente, siendo su línea de acción la línea de presión normalal diente inclinada el ángulo normal φn. La proyección deF sobre el plano de rotación ABB’A’ da el ángulo depresión φt transversal. La proyección de F sobre el planoACC’A’ tangente al cilindro primitivo está inclinada elángulo ψ y es la componente Fn de dicha fuerza sobre elmismo.

La relación que existe entre φn y φt se puede obtener delanálisis de la figura 3, de la siguiente forma:

AC

AB

AC

CDn

′=

′=φtan

(7)Pero es: AB = tanφt.AA’ (8) y

ψcos

AAAC

′=′

(9)

3

Figura 3. Fuerzas en engranescilíndricos helicoidales

θ = ángulo de presión

θ

θ

r1

r2 R

2

R1

Línea de centros

Círculos de paso

Línea de presión o acción

Círculos base


Reemplazando en la ecuación (7) los valores de AB y CA’ dadas por (8) y (9) respectivamente seobtiene:

tanφn = tanφt cosψ (10)

La fuerza F, en el funcionamiento produce una fuerza de rozamiento sobre el diente, cuyo valor estádado por la expresión: FRoz = Fµ1 (11)

Las componentes de la fuerza F son las fuerzas Ft tangencial, Fr radial y Fa axial. Del análisis de lafigura (Fig.4.41), los valores de estas tres últimas fuerzas en función de la fuerza F resultan: Ft = Fcosφn cosψ (12)

Fr = Fsenφn (13)

Fa = Fcosφn senψ (14)

En los engranes helicoidales es importante conocer el valor del empuje axial para calcular oseleccionar el cojinete axial. Lo que generalmente se conoce es el valor de la fuerza tangencial Ft atransmitir deducida de la potencia necesaria demandada, el empuje axial se obtiene a partir del valorde la fuerza periférica tangencial Ft, de las dimensiones del engranaje y de la velocidad angular. En lafigura 4 se observan las fuerzas que actúan sobre el diente, en el plano tangencial ACC’A’ tangente alcilindro primitivo y sobre el plano de rotación de la circunferencia primitiva siendo Fn la fuerzanormal, Fa la fuerza axial que es resistida por los elementos de sujeción del engrane, y Ft la fuerzatangencial que es la que le imprime el movimiento de rotación, siendo sus expresiones en Newton (N)en función de la potencia, según lo visto, para P en Watts, R en m y ω en rpm:

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P = Ft .v = 60

2 ωπ RFt

(15)

De la ecuación (15) se obtiene:

ωπ R

P

v

PFt 2

60==

(16)

Resultando, de la figura 4:

ψcost

n

FF =

(17)

De la figura 3 nn FF φcos= , sustituyendo esta ecuación en la ecuación 17 y despejando Ft se tiene:

Ft = Fcosφn cosψ

Y además:

ψφψ nsenFsenFF na cos==

ψψψ

tancos t

t

a FsenF

F ==(18)

GEOMETRIA DE LOS ENGRANES HELICOIDALES

Los engranes helicoidales y rectos se distinguen por la orientación de sus dientes. En los engranesrectos, los dientes son rectos y están alineados respecto al eje del engrane. En los helicoidales, losdientes están inclinados y estos forman un ángulo con el eje, ya ese ángulo se le llama ángulo de

hélice. Si el engrane fuera muy ancho, parecería que los dientes se enrollan alrededor del modelo delengrane en una trayectoria helicoidal continua. Sin embargo, consideraciones practicas limitan elancho de los engranes de tal manera que los dientes en el caso normal parece que solo están inclinadoscon respecto al eje. Las formas de los dientes de los engranes helicoidales se parecen mucho a las quese describieron para los engranes rectos. La tarea básica es tener en cuenta el efecto del ángulo de lahélice.

Angulo de hélice

La hélice de un engrane puede ser de mano derecha o izquierda. Los dientes de un engrane helicoidalderecho hacen líneas que parecen subir hacia la derecha, cuando el engrane descansa en una superficieplana. Por el contrario, los de un engrane helicoidal izquierdo harían marcas que subirían hacia la

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Figura 4. Fuerzas que actúan sobre el diente helicoidal


izquierda. En una instalación normal los engranes helicoidales se montarían en ejes paralelos. Paraobtener este arreglo, se requiere que un engrane sea derecho y el otro izquierdo, con ángulos de hélicesiguales. Si ambos engranes acoplados son del mismo lado (izquierdo o derecho) los ejes formarían 90ºentre si. En este caso se les llama engranes helicoidales cruzados.

Se prefiere el arreglo de engranes helicoidales con ejes paralelos, por que proporcionan una capacidadde transmisión de potencia mucho mayor, para un determinado tamaño, que el arreglo helicoidalcruzado. Se supondrá que se usa el arreglo con ejes paralelos, a menos que se especifique otra cosa.

La figura 5a muestra la geometría pertinente de los dientes de engranes helicoidales. Para simplificarel dibujo, solo se muestra la superficie de paso del engrane. Esta superficie es el cilindro que pasa porlos dientes de los engranes en la línea de paso. Entonces, el diámetro del cilindro es igual al diámetrodel círculo de paso. Las líneas que se trazan sobre la superficie de paso representan elementos de cadadiente, donde la superficie penetraría en la cara del mismo. Estos elementos están inclinados respectoa una línea paralela al eje del cilindro, y el ángulo de inclinación es el ángulo de hélice, Ψ (la letragriega psi).

La ventaja principal de los engraneshelicoidales sobre los rectos es el engranadomas gradual, porque determinado dienteadquiere su carga en forma gradual, y norepentina. El contacto se inicia en un extremodel diente, cerca de su punta, y avanza por lacara en una trayectoria de bajada, y cruza lalínea de paso hacia el flanco interior deldiente, donde sale del engrane. Al mismotiempo, existen otros dientes que se ponen encontacto, antes de que un diente permanezcaen contacto, con el resultado de que unnúmero promedio de dientes mas grande esteengranado y comparten las cargas aplicadas,a diferencia de un engrane recto. La menorcarga promedio por diente permite tener unamayor capacidad de transmisión de potenciapara un determinado tamaño de engrane, obien, menor tamaño para transmitir la mismapotencia.

Figura 5a Geometría y fuerzas en los

engranes helicoidales

La principal desventaja de los engranes helicoidales es que se produce una carga de empuje axial,como resultado natural del arreglo inclinado de los dientes. Los cojinetes que sujetan al eje con elengrane helicoidal deben se capaces de reaccionar contra el empuje axial.

El ángulo de hélice se especifica para cada diseño dado de engrane. Se debe buscar un balance paraaprovechar el engrane mas gradual de los dientes, cuando el ángulo de la hélice es grande, y al mismotiempo mantener un valor razonable de la carga axial, que aumenta al aumentar el ángulo de la hélice.Un ángulo típico en las hélices es de 15 a 45º.

Ángulos de presión, planos primarios y fuerzas en engranes helicoidalesPara describir por completo la geometría de los dientes de los engranes helicoidales, se necesita definirdos ángulos de presión diferentes, además del ángulo de la hélice. Los dos ángulos de presión serelacionan con los tres planos principales que se ilustran en la figura 8-21: 1) El plano tangencial, 2)el plano transversal y 3) el plano normal. Nótese que esos planos contienen los tres componentes

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ortogonales de la fuerza normal verdadera que ejerce un diente de un engrane sobre un diente de suengrane en contacto. Puede ayudarse a comprender la geometría de los dientes y la importancia quetiene, si se ve en que afecta a las fuerzas.

Primero se llamará WN a la fuerza normal verdadera. Actúa normal (perpendicular) a la superficiecurva del diente. En realidad, casi no se usa la fuerza normal (perpendicular) misma para analizar elfuncionamiento del engrane. Se tienen tres componentes ortogonales.

• La fuerza tangencial (que también se llama fuerza transmitida), Wt, actúa en direccióntangencial a la superficie de paso del engrane, y perpendicular al eje que tiene el engrane. Esla fuerza que en realidad impulsa al engrane. El análisis de esfuerzos y la resistencia a laspicaduras se relacionan con la magnitud de la fuerza tangencial. Es parecida a W t del diseño yel análisis de los engranes rectos.

• La fuerza radial, Wr, que actúa hacia el centro del engrane, a lo largo de un radio, y que tiendea separar las dos ruedas engranadas. se parece a Wr del diseño y análisis de los engranesrectos.

• La fuerza axial Wx, que actúa en el plano tangencial, y es paralela al eje del engrane. Otronombre de esta fuerza es empuje. Tiende a empujar al engrane a lo largo del eje, y por ello engeneral esta fuerza es indeseable. Los engranes rectos no generan esa fuerza, por que susdientes son rectos y paralelos al eje del engrane.

El plano que contiene a la fuerza tangencial Wt, y a la fuerza axial Wx, es el plano tangencial [vea lafigura 5(b)]. Es tangencial a la superficie de paso del engrane, y actúa por el punto de paso en la mitadde la cara del diente que se analiza.

El plano que contiene a la fuerza tangencial Wt y a la fuerza Wr es el plano transversal [vea la figura5(c)]. Es perpendicular al eje del engrane y actúa pasando por el punto de paso a la mitad de la cara deldiente que se analiza. El ángulo de presión transversal, Φt, se define en este plano como se ve en lafigura.

El plano que contiene la fuerza normal verdadera WN y la fuerza radial Wr es el plano normal [vea lafigura 5(d)]. El ángulo entre el plano normal y el plano transversal es el ángulo Ψ de la hélice. Dentrodel plano normal, se puede ver que el ángulo que forma el plano tangencial y la fuerza normalverdadera WN es el ángulo de presión normal Φn.

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Figura 5(b, c, d) Geometría y fuerzas en los engranes helicoidales

En el diseño de un engrane helicoidal, hay tres ángulos de interés: 1) el ángulo de la hélice, Ψ, 2) el

ángulo de presión normal, Φn y 3) el ángulo de presión transversal Φt. Los diseñadores debenespecificar el ángulo de la hélice y uno de los dos ángulos de presión. El restante se puede calcular conla siguiente ecuación:

ψφφ costantan tn = (19)Por ejemplo, en el catálogo de un fabricante se ofrecen engranes helicoidales de existencia con unángulo de presión normal de 14 ½º y un ángulo de hélice de 45º. Entonces, el ángulo de presióntransversal se calcula como sigue:

°==

=

°°=

=

− 09.20)3657.0(tan

3656.0tan

)45cos(/)5.14tan(tan

cos/tantan

1t

t

t

nt

φ

φ

φ

ψφφ

Pasos para engranes helicoidalesPara tener una imagen de la geometría de los engranes helicoidales, debe usted comprender los cincodiferentes pasos siguientes:

• Paso circular, Pc.- El paso circular es la distancia desde un punto sobre un diente al puntocorrespondiente del siguiente diente, medido en la línea de paso, o línea de paso, en el planotransversal. Ésta es la misma definición usada para los engranes rectos.

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N

DPc

π= (20)

• Paso circular normal, Pcn.- El paso circular normal es la distancia entre puntoscorrespondientes sobre dientes adyacentes, medida en la superficie de paso y en la direcciónnormal. Los pasos pc y pcn se relacionan con la siguiente ecuación:

ψcosccn PP =

(21)

• Paso diametral Pd .- El paso diametral es la relación de dientes del engrane entre su diámetrode paso. Ésta es la misma definición que la de los engranes rectos; se aplica enconsideraciones de perfil de los dientes en el plano diametral o transversal. Por consiguiente, aveces se le llama paso diametral transversal:

D

NPd = (22)

• Paso diametral normal Pdn .- Es el paso diametral equivalente en el plano normal losdientes:

ψcosd

dn

PP = (23)

Es útil recordar las siguientes relaciones:

π

π

=

=

cndn

cd

PP

PP(24)

Paso axial Px .- El paso axial es la distancia entre los puntos correspondientes en dientes adyacentes, medida en la superficie de paso y en dirección axial:

ψ

π

ψ tantan d

cx

P

PP ==

(25)

Es necesario que al menos haya dos pasos axiales en el ancho de la cara para aprovechar la acciónhelicoidal y su gradual transferencia de carga de un diente al siguiente.Análisis de fuerzas en engranes cónicos rectos

Debido a la forma cónica de estos engranes y a la forma de involuta del dientes,, sobre los dientes delos engranes cónicos actúa un conjunto de fuerzas de tres componentes. Si se usa la notaciónsemejante a la de ls engranes helicoidales. Se calculara la fuerza tangencial tW , la fuerza radial,

rW y la fuerza axial xW . Se supone que las tres fuerzas actúan en forma concurrente en la partemedia de la cara de los dientes y en el cono de paso (figura 6). Aunque el punto real en el que se aplicala fuerza resultante está un poco desplazada de la mitad.

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Figura 6 fuerzas en engranes cónicos rectos

La fuerza tangencial transmitida actúa respecto al cono de paso y es la fuerza que genera el par detorsión sobre el piñón y sobre el engrane. El par de torsión se puede calcularse a partir de la potenciatransmitida conocida y la velocidad de giro.

ω/PM =

ωω D

P

R

PWt

2==

Entonces, por ejemplo con el piñón, la carga transmitida es:

mtP rMW /=pm

tPr

PW

ω=

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