5) PROPRIEDADES MECÂNICAS DOS MATERIAIS

5.1. DIAGRAMA TENSÃO-DEFORMAÇÃO DO MATERIAL

Ensaios experimentais em corpos-de-prova do material analisado permitem traçar o

diagrama tensão-deformação para valores crescentes de carga até sua ruptura.

Com esse diagrama consegue-se determinar algumas das mais importantes propriedades

mecânicas dos materiais, tais como:

Determinar o módulo de elasticidade longitudinal E

indica a rigidez do material.

calculado como a tangente na origem da curva x E = tg /

unidade do módulo = unidade de tensão (GPa; MPa ; kN/m2; outras).

Verificar se o material tem comportamento elástico ou comportamento plástico;

Verificar se o material é dúctil ou frágil;

E = tg

Exemplo de ensaio de tração em barras de aço e esquema de ruptura

As figuras abaixo mostram a representação gráfica das deformações nas fases de

carregamento e de alívio.

O comportamento apresentado depende do tipo de material, da natureza e da intensidade

da solicitação e da temperatura de exposição.

Figura 5.1 – Diagramas tensão x deformação

5.2. CARGA AXIAL

5.2.1. LEI DE HOOKE PARA O ESTADO UNIAXIAL DE CARREGAMENTO

Algumas estruturas são projetadas para sofrerem pequenas deformações que não

ultrapassam os valores do diagrama tensão-deformação correspondente ao trecho reto

(regime elástico). Neste trecho do diagrama, o material apresenta comportamento elástico

linear, sendo a tensão proporcional à deformação. Esta proporcionalidade é representada

pela Lei de Hooke que estabelece uma relação linear entre tensão e deformação de

acordo com a equação (5.1).

(Importante: A Lei de Hooke só é válida dentro do limite de proporcionalidade)

Supondo que a peça seja carregada axialmente (ESTADO UNIAXIAL DE

CARREGAMENTO – aquele em que atua uma carga normal apenas na direção de um

dos eixos da peça) tem-se:

= E )

onde:

E : módulo de elasticidade do material (também chamado de módulo de Young);

: tensão;

: deformação.

Tração Compressão

EXEMPLO:

Se o módulo médio de elasticidade de certo aço é 21000 kgf/mm2, de quanto se alongará

um fio de 0,25 cm de diâmetro e 3 m de comprimento, ao ser solicitado pela carga de 500

kgf?

Solução:

5.2.2. DEFORMAÇÕES DE BARRAS CARREGADAS UNIAXIALMENTE

Uma barra é dita homogênea se:

módulo de elasticidade E for constante ao longo do comprimento total da barra;

a área A da seção transversal for constante ao longo do comprimento total da barra;

a força F for aplicada nas extremidades da barra.

Uma barra é não homogênea se:

for composta por várias partes de diferentes materiais (módulo E varia);

for composta por várias seções transversais (área da seção transversal A varia);

se as forças forem aplicadas em outros pontos que não sejam as extremidades da barra.

(a) barra homogênea (c) barra não homogênea

Figura 5.2 – Esquema de barra homogênea e não homogênea

Dada uma barra homogênea BC de comprimento L e seção transversal de área A sujeita à

força axial centrada F. Se não exceder o limite de proporcionalidade do material, pode-

se aplicar a Lei de Hooke. Substituindo a tensão e a deformação pelas equações (3.1) e

(4.2) escreve-se que a deformação de uma barra homogênea é dada pela equação (5.2).

= E LE

A

N

isolar ver eq. 5.2

Se a barra for não homogênea deve-se dividi-la em segmentos que, individualmente

satisfaçam as condições de barra homogênea e somar os resultados de cada uma das

partes ver a equação (5.3).

Para barras homogêneas EA

NL

)

Para barras não homogêneas

i ii

ii

EA

LN

)

onde:

N = força normal atuante no trecho considerando o sinal (+) ou (-);

i = nº de trechos homogêneos em que a barra foi dividida;

DIAGRAMA DE ESFORÇO NORMAL (D.E.N.)

Para encontrar o esforço normal N que atua em cada trecho homogêneo de uma barra não

homogênea é preciso traçar o diagrama de esforço normal da barra. Este diagrama é

desenhado em escala e tem como referência uma reta paralela ao eixo longitudinal da

barra e representa graficamente o esforço normal N que atua em todas as seções da peça,

sendo determinado isolando-se um trecho da barra e aplicando as equações de equilíbrio.

Considerar: N positivo = tração ; N negativo = compressão

EXEMPLO:

Determine o DEN para a barra da figura dada:

SOLUÇÃO

Exercício 5.1: Para a barra da figura dada, determine as reações da apoio no ponto D,

construa o D.E.N. e o respectivo diagrama de tensão normal (D.. Em seguida,

determine a deformação para os trechos AB, BC e CD, e a deformação total da peça

ao longo de todo seu comprimento.

Dados: A1 = 2 x 10-4 m2 ; A2 = 4 x 10-4 m2 ; E = 2 x 108 kN/m2 ;

F1 = 10 kN; F2 = 20 kN; F3 = 30 kN;

F1

F2

F3

0,2 m

0,4 m

0,5 m

A2

A1

A1

A

B

C

D

Resolve de duas maneiras distintas:

a) Determinando as reações de apoio;

b) Sem determinar as reações de apoio;

RESPOSTA:

AB = ? ; BC =? ; CD = ?

AD = 2x10-4 m (alongamento)

Resolve de duas maneiras distintas:

a) Determinando as reações de apoio;

b) Sem determinar as reações de apoio;

RESPOSTA:

AB = ? ; BC =? ; CD = ?

AD = 2x10-4

m (alongamento)

Exercício 5.2: Idem exercício anterior só que com F2 agindo no sentido oposto.

F1

F2

F3

0,2 m

0,4 m

0,5 m

A2

A1

A1

A

B

C

D

Exercício 5.3:Trace o DEN da barra e determine a deformação total da barra de aço

engastada na parede que está sob ação das cargas indicadas. Adote E = 200 GPa.

A1 = 600 mm2 A2 = 200 mm

2

300 mm 300 mm 600 mm

RESPOSTA:

AD = 3,75 mm

500 kN

150 kN

150 kN

200 kN

RESPOSTA:

AD = 3,75 mm

Exercício 5.4: A haste de alumínio da Fig. (a) tem seção transversal circular, está

submetida a uma carga axial de 10 kN e possui módulo de elasticidade E = 70 GPa. Se

uma parte do diagrama tensão-deformação do material é mostrada na fig. (b), determine:

a) O alongamento aproximado da haste quando a carga axial de 10 kN é aplicada.

b) Se a carga for removida, existirá deformação residual? Se existir, qual o valor?

SOLUÇÃO DA LETRA a)

Determinar a tensão normal atuante em cada trecho da barra:

AB = NAB / AreaAB = _______ MPa

BC = NBC / AreaBC = ________ MPa

Verificar se tensão atuante no trecho superou a tensão de escoamento: E = 40 MPa

Se Atuante ≤ E calcular usando LEI DE HOOKE

Se Atuante > E determinar pelo gráfico (Lei de Hooke não é válida!)

Calcular o alongamento máximo por: C = ∑L

SOLUÇÃO DA LETRA b)

Quando F = 10 kN é retirado traçar uma reta paralela ao trecho linear para saber qual a

deformação específica residual que permaneceu na barra (OG).

A deformação específica recuperada (rec) pode ser calculada usando o módulo de

elasticidade “E” uma vez que a reta de descarregamento é paralela ao trecho inicial

residual só existe se Atuante > E

elastico = 0 quando retira a carga (totalmente recuperada)

Alongamento permanente: C,permanente = ∑residualL)trecho

Exercício 5.5. Uma força que atua no cabo da alavanca mostrada na fig. 2 provoca

rotação = 0,002 rad na alavanca no sentido horário. Determine a deformação linear

desenvolvida no arame BC:

Figura 2

SOLUÇÃO

5.3. COEFICIENTE DE POISSON

Suponha uma barra submetida somente à força de tração F na direção de seu eixo:

x 0 ; y = z = 0

Considere:

eixo x = coincide c/ eixo da peça longitudinal;

eixos y e z = transversais ao eixo da barra;

Figura 5.3 – Variações de comprimento das arestas de uma barra tracionada

x = A

N x = E

X longitudinal = x longitudinal

Figura 5.3 – Variações de comprimento das arestas de uma barra tracionada

y

x

z

y/2

x/2

z/2

Verifica-se que o alongamento axial x é acompanhado de contrações laterais (y e z),

então a largura e a altura da barra se tornam menores e seu comprimento cresce (há uma

variação de comprimento de todas as arestas da seção transversal).

Portanto, apesar das faces da barra perpendiculares aos eixos y e z terem tensões

transversais nulas (y =z = 0), as deformações transversais y ez são DIFERENTES

DE ZERO (y 0 ; z 0).

A relação entre as deformações transversais e a deformação longitudinal é constante na

fase elástica, e pode ser calculada pela eq. (5.4) usando o Coeficiente de Poisson, (ni).

Este coeficiente, que é sempre positivo, depende do tipo de material usado na construção

da barra, sendo determinado através de ensaios em laboratório.

Usualmente: 0,20 0,35

Se o material for isotrópico: y = z transversal 0 (deformação específica transversal)

Para materiais isotrópicos (materiais que tem propriedades mecânicas iguais em todas

as direções):

x

z

x

y

allongitudin específica deformação

sal transverespecífica deformação

)

5.4. RELAÇÕES ENTRE “E”, “” e “G”

Após obter duas propriedades mecânicas dos materiais por meio de ensaios em

laboratório, é possível calcular a terceira por meio da equação a seguir:

ν)2(1

EG

G : módulo de elasticidade transversal;

E : módulo de elasticidade longitudinal;

: Coeficiente de Poisson (adimensional)

REVISÃO: ESTADO UNIAXIAL DE CARREGAMENTO

Supondo que o eixo longitudinal da peça coincida com o eixo x temos:

Tensões: x ≠ 0 ; y = z = 0

Deformações específicas: x ≠ 0; y ≠ 0 e z ≠ 0 sendo:

longitudinal = x = e transversal = y = z = -

RESP.:

E = 99,5 GPa

= 0,25

Obs.: 1m = 10-3

mm

Exercício 5.6: Uma barra prismática de material homogêneo e isotrópico (ver fig. abaixo)

está engastada em uma parede. Se for aplicada uma força de tração F = 12 kN na

extremidade livre, sabe-se que seu comprimento L aumentará de 300 m e seu diâmetro

se reduzirá de 2,4 m. Determine o modulo de elasticidade E e o coeficiente de Poisson

deste material.

F=12kN

Linicial = 500 mm inicial = 16 mm

Seção transversal Seção longitudinal

F F

Linicial = 150

mm inicial = 20 mm

Seção transversal Seção longitudinal

Exercício 5.7: Uma barra de 150 mm de comprimento e 20 mm de diâmetro, que possui

um módulo de elasticidade transversal G = 70,2 GPa, é submetida a um teste de tração.

Durante este teste observou-se um alongamento de 14mm no comprimento e um

decréscimo de 0,85mm no diâmetro. Determine:

a) o coeficiente de Poisson () do material;

b) o módulo de elasticidade longitudinal (E);

c) a força F aplicada na estrutura;

d) A variação no volume da peça;

SOLUÇÃO

5.5. ESTADO MULTIAXIAL DE CARREGAMENTO

Estado multiaxial: não estão incluídas as tensões de cisalhamento

Supondo que o eixo longitudinal da peça coincida com o eixo x temos:

Tensões: x ≠ 0 ; y ≠ 0 e z ≠ 0

Deformações específicas: x ≠ 0; y ≠ 0 e z ≠ 0

Um cubo elementar de arestas unitárias sob carregamento multiaxial se deforma gerando

um paralelepípedo-retângulo de arestas de comprimento: 1+x ; 1+y e 1+z.

Se x; y e z não excederem limite de proporcionalidade pode-se escrever isoladamente:

Atuando apenas x:

x = E

x (direção x) e y = z = -

E

x (direções y e z)

Atuando apenas y :

y = E

y (direção y) e x = z = - E

y (direções x e z)

Atuando apenas z :

z = E

z (direção z) e x = y = - E

z (direções x e y)

Para se obter a Lei de Hooke p/ carregamento multiaxial deve-se SOMAR TODAS

as parcelas de deformações para um mesmo eixo.

Exemplo: Somando todas as parcelas da deformação no eixo x temos:

Atuando apenas x:

x = E

x (direção x) e y = z = -

E

x (direções y e z)

Atuando apenas y :

y = E

y (direção y) e x = z = - E

y (direções x e z)

Atuando apenas z :

z = E

z (direção z) e x = y = - E

z (direções x e y)

x = E

x -

E

y -

E

z

y = E

y -

E

x -

E

z

z = E

z -

E

x -

E

y

DAÍ TEMOS A LEI DE HOOKE PARA CARREGAMENTO MULTIAXIAL

x = E

x -

E

y -

E

z

y = E

y -

E

x -

E

z

z = E

z -

E

x -

E

y

Lembrar que as seguintes fórmulas continuam válidas:

= L ; x = xLx ; y = yLy ; z = zLz

Exercício 5.8: Um quadrado de 20 mm de lado é desenhado na parede de um vaso de

pressão de aço de grandes dimensões. Depois de pressurizado, o estado biaxial de tensões

no quadrado é como o mostrado na Figura ao lado. Sabendo que E = 210 GPa e G = 79

GPa, determine:

a) a variação do comprimento do lado AB (AB);

b) a variação do comprimento do lado BC (BC).

c) a variação da área do quadrado

x = 160 MPa

RESPOSTA:

AB = 13 m

BC = 2,6 m

SOLUÇÃO

x = 160 MPa

z

y x

Sistema de

referência

5.6. LEI DE HOOKE PARA O CISALHAMENTO PURO

Cisalhamento puro: existem apenas tensões de cisalhamento (xy ; xz e yz ) no cubo

elementar. Este tende a se deformar formando um paralelepípedo oblíquo.

Notação:

b,c : = tensão de cisalhamento;

b = indica a direção da normal ao plano em que a tensão atua;

c = indica a direção da tensão em relação ao sistema de eixos adotado;

z

y x

Sistema de

referência

yx

zx zy

Considerando apenas o Plano xy:

(plano xy antes de deformar) (após deformar)

(LEI DE HOOKE PARA TENSÕES DE CISALHAMENTO)

xy = G xy

xy : tensão de cisalhamento no plano xy;

G : módulo de elasticidade transversal (unidade de tensão - geralmente GPa);

xy : ângulo em radianos que representa a distorção do cubo (def. de cisalhamento) no

plano xy.

xy

yx

yx

xy

yx

yx

xy

xy

xy = G xy

Para ângulos muito pequenos (regime de pequenas deformações) tg =

Portanto calcula-se a deformação de cisalhamento fazendo: xy = tg (em radianos)

Da mesma forma tem-se:

xz = G xz no plano xz

yz = G yz no plano yz

z

y x

Sistema de

referência

yx

zx zy

Exercício 5.9. A chapa mostrada na Fig. 3 está presa por guias horizontais rígidas na

parte superior e na inferior (AD e BC). Se houver um deslocamento horizontal uniforme

de 2 mm em seu lado direito (Trecho CD), determine:

a) a deformação específica média ao longo da diagonal AC

b) a deformação por cisalhamento em E relativa aos eixos x e y

Figura 3

SOLUÇÃO

A) Determinar a deformação específica ao longo da diagonal AC (AC = ?)

Para fazer este calculo devemos:

1. Calcular o comprimento da diagonal AC antes de deformar

2. Calcular o comprimento da diagonal AC após deformar

3. Determinar a variação linear de comprimento (AC = L =?)

4. Usar a formula da deformação específica

FAZER CONTAS USANDO INFORMAÇÕES DESTA FIGURA

Teorema de Pitágoras!

SOLUÇÃO

A) Deformação específica ao longo da diagonal AC

B) Determinar a deformação por cisalhamento () no ponto E relativa aos eixos x e y

MAS O QUE É A DEFORMAÇÃO POR CISALHAMENTO?

Antes de deformar Após deformar

B) Determinar a deformação por cisalhamento () no ponto E relativa aos eixos x e y

MAS O QUE É A DEFORMAÇÃO POR CISALHAMENTO?

É A VARIAÇÃO DO ÂNGULO, LOGO....

= ´

COMO PODEMOS CALCULAR ESTES ÂNGULOS?

Antes de deformar Após deformar

B) Deformação por cisalhamento () no ponto E relativa aos eixos x e y

Ex 5.10: A chapa da Fig. (a) se deforma ficando com o formato tracejado da Fig. (c). Se

neste formato deformado as linhas horizontais da chapa permanecerem horizontais e não

mudarem seu comprimento, determine:

a deformação específica da aresta AB da chapa;

a deformação de cisalhamento (def. angular) da chapa em relação aos eixos x e y.

SOLUÇÃO

Deformação específica da aresta AB da chapa:

Li = linha vermelha pontilhada; Lf = linha roxa pontilhada;

É POSSÍVEL DETERMINAR ESTES COMPRIMENTOS?

COMO?

SOLUÇÃO

Deformação específica da aresta AB da chapa:

Deformação angular em relação aos eixos x e y:

Deformação angular em relação aos eixos x e y:

Ex 5.11: Um bloco de liga de titânio é submetido a uma força cortante V. Determine o

deslocamento d máximo que o topo deste bloco pode ser deslocado horizontalmente se o

material comporta-se elasticamente quando submetido à força V. Qual a intensidade de V

para provocar tal deslocamento? Dados: G = 6500 ksi; deformação angular máxima

= 0,008; tensão de cisalhamento média no limite de proporcionalidade lp = 52 ksi.

Unidades de tensão (conversão):

1 psi = 1 lb/pol2;

1 ksi = 1000 psi = 0,7 kgf/mm2 = 7 MPa

SOLUÇÃO

5.7. LEI DE HOOKE GENERALIZADA

Cubo submetido ao Estado Geral de Tensão

Supor peça sob estado mais geral de carregamento (atuam tensões normais e

tangenciais diferentes de zero). Associando as equações dos itens 5.5 e 5.6 obtém-se

equações que representam a LEI DE HOOKE GENERALIZADA

LEI DE HOOKE GENERALIZADA

x = E

x -

E

y -

E

z

G

xy

xy

y = E

y -

E

x -

E

z

G

yz

yz

z = E

z -

E

x -

E

y

G

zxzx

Lembrar que as seguintes fórmulas continuam válidas:

= L ; x = xLx ; y = yLy ; z = zLz

5.8) ESTRUTURAS ESTATICAMENTE INDETERMINADAS CARREGADAS

AXIALMENTE

Quando uma barra é fixada em uma só extremidade e submetida a uma carga axial:

o Equações de equilíbrio são suficientes p/ encontrar as reações do apoio fixo A.

o Este problema é dito ESTATICAMENTE DETERMINADO

P1

L

P2

RvA

RhA

RmA

xF = 0 RhA = P1

yF = 0 RvA = P2

ZM = 0 RmA = F2L

= 0 RhA = P1

= 0 RvA = P2

= 0 RmA = F2L

Quando uma barra é engastada em duas extremidades e submetida a uma carga axial:

o Eq. de equilíbrio não são suficientes p/ encontrar as reações nos apoios A e B

o Este problema é dito ESTATICAMENTE INDETERMINADO, pois mesmo

usando as equações de equilíbrio ainda tem-se duas reações de apoio

desconhecidas RhA e RhB

P

RvA

RhA

RmA

RhB

RmB

RvB

C B A

LAC LCB

= 0 RvA = RvB = 0

= 0 RmA = RmB = 0

Temos duas reações desconhecidas:

= 0 RhA + RhB – P = 0

RhA + RhB = P (Eq. I)

QUAL A SOLUÇÃO DESTE PROBLEMA?

Estabelecer uma equação adicional necessária para a solução usando a GEOMETRIA

DA DEFORMAÇÃO analisar as condições do deslocamento da estrutura.

É a equação de COMPATIBILIDADE ou CINEMÁTICA.

PARA DETERMINAR ESTA EQUAÇÃO É PRECISO FAZER UMA ANÁLISE DE COMO

A ESTRUTURA IRÁ SE DEFORMAR EM FUNÇÃO DO CARREGAMENTO ATUANTE!

NÃO EXISTE UMA “EQUAÇÃO FIXA” PARA TODAS AS ESTRUTURAS

No exemplo dado, a Equação de COMPATIBILIDADE requer que o deslocamento

relativo de uma extremidade da barra em relação à outra seja nulo, pois os apoios

são fixos. Logo:

AB = L= 0 AB = AC + BC = 0

Em material com comportamento linear pode-se

determinar a variação linear usando:

EA

NL

Logo:

0)()(

BC

CBBC

AC

ACACAB

EA

LN

EA

LN

Pelas equações de equilíbrio sabe-se que: NAC = RhA e NBC = -Rhb

P RhA RhB

C B A

LAC LCB

RhA NAC

NCB

RhB

Supondo que o material seja o mesmo para toda barra (EA = constante), determina-se as

reação de apoio por:

0)()(

BC

CBBC

AC

ACACAB

EA

LN

EA

LN

0EA

LR

EA

LR CBhBAChAAB

EA

LR

EA

LR CBhBAChA

Multiplicando ambos os termos por (EA) tem-se:

CBhBAChA LRLR AC

CBhBhA

L

LRR

(Eq. II)

P RhA RhB

C B A

LAC LCB

RhA NAC

NCB

RhB

Combinando Eq. I com Eq. II, e admitindo que L = LAC + LCB determina-se as

reações de apoio desejadas:

RhA + RhB = P (eq. I)

AC

CBhBhA

L

LRR

(eq. II)

PRL

LRhB

AC

CBhB

L

LPR AC

hB

PRL

LRhA

CB

AChA

L

LPR CB

hA

Como os resultados foram positivos, as reações obtidas estão no sentido correto!

P RhA RhB

PROCEDIMENTO DE ANÁLISE DE ESTRUTURAS ESTATICAMENTE

INDETERMINADAS CARREGADAS AXIALMENTE

Desenhar o DCL do elemento para identificar todas as forças (inclusive as reações)

que atuam sobre ele;

Ver se o problema é ou não estaticamente indeterminado (no de reações de apoio > no

de equações de equilíbrio)

Escrever as equações de equilíbrio;

Estabelecer as equações de compatibilidade desenhando o diagrama de

deslocamento previsto da estrutura, a fim de investigar como o elemento se alonga

ou se contrai;

Resolver as equações de equilíbrio e as equações de compatibilidade para determinar

as reações desconhecidas. Se qualquer uma das grandezas calculadas tiver valor

negativo então tal esforço atua no sentido oposto ao adotado no DCL;

Ex 5.12: A haste de aço da fig. abaixo tem diâmetro de 5mm, está presa

à parede em A e, antes de ser carregada, mantêm uma folga de 1mm em

relação à parece B’. Determine as reações em A e B’ se a haste for

submetida a força axial P=20kN aplicada no ponto C.

Adote: Eaço=200GPa.

P=20 kN

C B B’ A

400mm 800mm 1mm

SOLUÇÃO

Supondo que P seja grande o suficiente p/ provocar o contato do ponto B na parede

B´ surgem duas incógnitas: RHA e RHB´ (problema estaticamente indeterminado)

Para resolver é preciso usar: equações de equilíbrio e equações de compatibilidade

Equações de Equilíbrio

∑Fx = 0

P=20 kN

C B B’ A

400mm 800mm 1mm

Determinar as forças normais no trecho AC (seção S1) e no trecho CB´ (seção S2)

S1 S2

Trecho AC: (corte em S1)

Trecho CB´:(corte em S2)

Daí: NAC = RHA (tração = positiva) e NCB´ = - RHB (compressão =negativa)

Equações de Compatibilidade:

Para provocar o movimento de B para B´, a barra deve se alongar de 1 mm, logo:

Como:

Temos: AB = AC + CB ; NAC = RHA ; NCB´ = RHB

Onde:

Colocando os valores temos:

Resolvendo o sistema de equações lineares obtidos pelas eq. (I) e eq. (II) temos:

RHA = 16.606 N RHA = 16,60 kN

RHB = 3.394 N RHB = 3,39 kN

Análise da resposta:

Como RHB é positiva, a extremidade B realmente toca a parede B´ como foi suposto

inicialmente, e os valores encontrados para as reações estão corretos!

RHA = 16,60 kN

RHB = 3,39 kN

OBS:

Se tivéssemos encontrado RHB negativa, isso significaria que a força P não seria

suficiente para fazer o ponto B tocar na parede B´. Neste caso, o valor negativo

obtido deveria ser desconsiderado, pois não haveria reação no ponto B e os valores

corretos das reações seria:

RHB = 0

RHA = P = 20 kN.

Ex 5.13: A estrutura a seguir é formada por três barras de aço A-36 acopladas a um

elemento rígido por pinos. Supondo que uma carga P = 15 kN seja aplicada, determine a

força normal atuante em cada barra. Adote que as barras AB e EF tenham uma área de

seção transversal de 25 mm2 e que a barra BC tenha uma área de seção transversal de

15mm2.

P=15 kN

A C E

0,2m 0,2m 0,4m

B D F

0,5m

SOLUÇÃO

Ao traçar o DCL (diagrama de corpo livre) só da barra horizontal percebe-se que

temos 3 incógnitas (NAC, NCD e NEF) e apenas 2 equações de equilíbrio.

(DCL)

Isso significa que este é um problema ESTATICAMENTE INDETERMIINADO!

Equações de Equilíbrio:

Equações de Compatibilidade:

Supõe-se que P provoque o movimento da barra ACE para a posição inclinada A`C`E`.

Analisando a posição deformada da estrutura, percebe-se que os deslocamentos dos

pontos A, C e E podem ser relacionados por semelhança de triângulos.

Como L e EA é igual para todas as barras, podemos cortar estes valores da equação

Resolvendo simultaneamente as equações (I), (II) e (III) temos:

5.9) EFEITO TÉRMICO

Mudanças de temperatura provocam alterações nas dimensões de um material.

Se a temperatura aumenta material se expande

Se a temperatura diminui material se contrai.

Supondo que a expansão/contração seja linearmente relacionada com a variação de temperatura

(), e se o material for isotrópico e homogêneo, a variação do comprimento devido à variação

térmica, se não houver impedimento de movimento, é dada por:

T = TL

T = variação de comprimento da peça

= coeficiente de dilatação térmica do material

T = variação de temperatura observada

L = comprimento original do elemento

Mudanças de comprimento de elementos estaticamente determinados são calculadas

diretamente pela equação acima, pois o elemento está livre para se expandir ou contrair.

(estrutura tem como alterar seu comprimento, pois tem uma extremidade livre)

P1

L

P2

RvA

RhA

RmA

xF = 0 RhA = P1

yF = 0 RvA = P2

ZM = 0 RmA = F2L

Nos elementos estaticamente indeterminados, os deslocamentos térmicos são limitados

pelos apoios, produzindo TENSÕES TERMICAS que devem ser consideradas no projeto.

(Estrutura não tem como alterar seu comprimento devido aos apoios.

Surge RhA e RhB e portanto, é produzida uma força normal N ao longo de L)

Neste caso, a tensão térmica de estruturas carregadas axialmente é calculada dividindo a

força normal N(T) gerada pela variação térmica, pela área de sua seção transversal “A”.

Esta força normal é determinada usando o método descrito no item 5.8.

R vA

hA R

R mA

R hB

R mB

R vB

B A

L AB

T > 0

mas L=0

devido apoios

Ex 5.14: Durante a montagem de uma estrutura a uma temperatura de 60oF, confina-se

uma barra de aço entre dois apoios. Se a temperatura aumenta para 120oF, qual será a

tensão térmica normal desenvolvida nesta barra? Dados: = 6,6.10-6 / oF ; E = 29.103

kip/pol2

1 kip = 1000 lb e 1 lb = 4,454 N

1 ksi = 1000 lb/pol2 = 6,867 MPa

B A

L 0,5pol

0,5

po

l

Seção longitudinal seção transversal

SOLUÇÃO

Ex 5.15: A barra rígida da fig. abaixo está presa no topo de três postes, sendo dois de aço

e um de alumínio. Cada poste tem L = 250 mm quando não há carga aplicada sobre a

barra e a temperatura é de T = 20oC. Determine a força suportada por cada poste se a

barra estiver submetida a uma carga uniformemente distribuída de 150 kN/m e a

temperatura for aumentada para 80oC.

Dados:

Os postes têm seções transversais circulares com o diâmetro indicado na figura.

Dados: aço = 12.10-6 / oC ; aluminio = 23.10-6 / oC ; Eaço = 200GPa ; Ealuminio = 73,1GPa ;

150 kN/m

300 mm 300 mm

40mm 60mm 40mm

Aço alumínio aço 250mm

SOLUÇÃO

3a. LISTA DE EXERCÍCIO (Propriedades Mecânicas e deformações)

EX. 1) Quando podemos dizer que:

a) um material possui a propriedade de elasticidade?

b) um material é elástico-linear?

c) um material possui a propriedade de plasticidade?

EX. 2) Defina:

a) Material isotrópico; b) Material homogêneo; c) Material frágil;

d) Material dúctil; e) Tensão normal (); f) Tensão de cisalhamento ();

g) Deformação linear () h) Deformação específica ()

i) Deformação de cisalhamento ();

j) Módulo de elasticidade longitudinal (E)

k) Módulo de elasticidade transversal (G)

EX. 3) Segurança e economia são dois aspectos que devem ser considerados ao projetar

uma estrutura. Pelo Método das Tensões Admissíveis a segurança é garantida usando

um coeficiente que relaciona as tensões admissíveis com as tensões últimas do material e

posteriormente avaliando o valor das tensões atuantes na peça em função do

carregamento externo aplicado.

a) Qual é o nome deste coeficiente, e como ele é pode ser determinado?

b) Como se verifica a segurança da peça em função das tensões atuantes pelo método

das tensões admissíveis?

EX. 4) Qual a convenção de sinal adotada para indicar se a tensão normal é de tração

ou compressão? Em função desta convenção, indique os sinais da deformação linear () e

deformação específica () de uma barra sob carga axial quando se tem alongamento /

encurtamento em seu comprimento.

EX. 5) Quais as condições necessárias para se ter uma barra homogênea? Como se

determina a deformação linear total () de barras não homogênea carregadas axialmente?

EX. 6) Uma barra carregada axialmente por uma força Fx está submetida a um Estado

Uniaxial de Tensão pois ao longo de sua seção transversal existe somente tensão normal

x. Entretanto, mesmo existindo apenas tensões x, nesta barra surgirão deformações

específicas nas três direções, sendo uma deformação específica longitudinal (x0) e duas

transversais (y0 e z0).

a) Qual o coeficiente que relaciona as deformações específicas transversais e

longitudinais?

b) Quais as fórmulas para determinação de x, y e z?

c) O que acontece quando a barra carregada axialmente é feita de um material isotrópico?

EX. 7) Um corpo está submetido a um Estado Multiaxial de Tensão (ou Estado Triaxial

de Tensão) quando nele atuam forças nas três direções dos eixos coordenados produzindo

tensões normais x, y e z, todas diferentes de zero. Um caso particular deste estado de

tensão é o Estado Biaxial de Tensão em que se têm tensões normais diferentes de zero

apenas nas direções de dois eixos coordenados.

a) Usando a Lei de Hooke, forneça as equações das deformações específicas para peças

submetidas: ao Estado Triaxial de Tensão e ao Estado Biaxial de Tensão.

b) O Estado Multiaxial de tensão representa o caso mais geral de tensão que podemos

ter em um corpo material? Justifique sua resposta.

EX. 8) Esquematize a deformação de um elemento submetido somente à tensões de

cisalhamento no Plano XY. Como fica a Lei de Hooke quando se tem somente tensões e

deformações de cisalhamento?

EX. 9) Cite todos os tipos de tensão que devem estar presentes para que se possa

representar o caso mais geral de carregamento. Escreva as equações que permitem

determinar as deformações específicas e de cisalhamento existentes neste caso. Explique

como estas equações foram obtidas.

EX. 10) Duas barras cilíndricas maciças AC e CD, ambas de mesma liga de alumínio

(E = 70 GPa), são soldadas juntas em C, e submetidas ao carregamento indicado

(despreze o efeito do peso próprio das barras). Pede-se para determinar:

a) o diagrama de esforço normal (DEC) e o diagrama de tensões normais (D) da peça;

b) a deformação total da barra composta ACD (deslocamento AD);

c) a deformação do pto C em relação ao ponto de fixação A da barra (deslocamento AC);

60 mm de diâmetro 45 mm de diâmetro

300 mm 200 mm 380 mm

RESPOSTA:

AD = 45,6 m

AC = 91 m

RESP.: a = 5 cm

EX. 11) A barra prismática da figura abaixo está sujeita a uma força de tração F = 200

kgf. Sabendo que a tensão normal admissível é de 9 kgf/cm2 e que a barra não pode se

alongar mais que 1 cm na direção longitudinal, calcule o menor tamanho possível que a

aresta “a” da seção transversal quadrada pode ter para a peça estar segura. Adote E =

4000 kgf/cm2.

(OBS.: Para dimensionar uma peça deve-se atender tanto a condição de tensões máximas

admissíveis quanto a condição de deformações máximas admissíveis)

F F

500 cm a

a

Seção transversal

Seção longitudinal

EX. 12) O bloco de plástico mostrado ao lado é colado a um suporte rígido e a uma placa

de aço vertical, na qual é aplicada uma força P de 240 kN. Sabendo-se que o plástico tem

G = 1050 MPa, determine o deslocamento vertical da placa colada ao plástico em função

da distorção causada neste material pela ação da força P.

RESPOSTA:

1,19 mm

( Dimensões em mm)

EX. 13) Dimensione a barra de seção circular que tem adm= 1,5 t/cm2 e EA = cte

4ton 4ton

A B C D

30cm 30cm 30cm

Seção transversal

Seção longitudinal

EX. 14) Calcular as tensões normais atuantes nas seções da peça que está submetida a

uma variação de temperatura T > 0. Sabe-se que área da barra AB é duas vezes maior

que a área da barra BC.

C

A

L

B

L

EXERCÍCIOS EXTRAS

SOLUÇÃO:

DCL (Diagrama de corpo livre análise das forças que atuam no ponto C)

Equações de equilíbrio do nó C:

Equações de compatibilidade da estrutura toda:

Admitindo que estrutura sofra pequenas deformações, o ângulo da estrutura deformada

das barras AC e BC com a vertical pode continuar sendo considerado igual a 60o.