195

บทที่ 12 โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่

(AREA MOMENT OF INERTIA)

12.1 ความน า การพิจารณาถึงความแข็งแรงของชิ้นส่วนที่ประกอบเป็นโครงสร้าง จะเห็นได้ชัดเจนเมื่อพิจารณาถึงรูปลักษณะพื้นที่หน้าตัดของคาน ถ้ากรณีพื้นที่หน้าตัดมีขนาดต่างกัน ย่อมท าให้ความแข็งแรงหรือความสามารถในการรับน้ าหนักแตกต่างกัน และเมื่อมีการกระจายอย่างต่อเน่ืองกระท าต่อพื้นที่หน้าตัด จะท าให้ความเค้นของแรงเป็นสัดส่วนกับระยะทางจากแนวแรงถึงแกนของโมเมนต์ สมบัติของพื้นที่หน้าตัดที่มีผลต่อการกระจายของแรงดังกล่าวนี้ เรียกว่า โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นท่ี (Area Moment of Inertia) ซึ่งสามารถนิยามได้ว่า โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนใด ๆ ก็คือโมเมนต์ที่สองของพื้นที่นั้น 12.2 การหาค่าของโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ใด ๆ และรอบแกนใดแกนหน่ึง จะมีค่าเท่ากับผลรวมของผลคูณของพื้นที่เล็ก ๆ ที่แบ่งออกจากพื้นที่ใหญ่ กับระยะทางจากแกนนั้น ๆ ยกก าลังสอง ซึ่งการหาค่าของโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่สามารถพิจารณาได้จากรูปที่ 12.1

รูปท่ี 12.1 แสดงพื้นที่เล็ก ๆ หมุนรอบแกน X และ Y

x2

x1

r2

r1 y1 y2

พื้นที่ A

a2

a1

196

จากรูปที่ 12.1 พื้นที่ A ถูกแบ่งออกเป็นพื้นที่เล็ก ๆ a1, a2, a3,…, an ให้พื้นที่เหล่านี้หมุนรอบแกน Y หรือแกน X แกนใดแกนหนึ่ง โดยที่พื้นที่เล็กเหล่านี้อยู่ห่างจากแกน Y เป็นระยะ x1, x2, x3,…, xn และอยู่ห่างจากแกน X เป็นระยะ y1, y2, y3,…, yn ตามล าดับ ดังนั้นถ้าต้องการหาโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนใด สามารถท าได้โดยเอาผลคูณของพื้นที่เล็ก ๆ a1, a2, …, an กับระยะทางจากพื้นที่เล็ก ๆ นี้ถึงแกนหมุนยกก าลังสองรวมกันตลอดพื้นที่ A ดังตัวอย่าง เช่น2 โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ A รอบแกน Y ใช้สัญลักษณ์แทนด้วย Iy

Iy = xaxa xaxa 2nn

233

222

211 12.1

หรือ Iy =

n

1i

2iixa 12.2

และโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ A รอบแกน X ใช้สัญลักษณ์ด้วย Ix

Ix = yaya yaya 2nn

233

222

211 12.3

หรือ Ix =

n

1i

2iiya 12.4

12.3 โมเมนต์ความเฉื่อยโพบาร์ของพื้นที่ (Polar Moment of Inertia) โมเมนต์ความเฉื่อยโพลาร์ของพื้นที่ คือ โมเมนต์ความเฉื่อยรอบจุดก าเนิด ( Origin) หรือรอบแกน ซึ่งตั้งฉากกับแกน X และ Y ตามล าดับ จากรูปที่ 12.1 จะเห็นว่าพื้นที่เล็กๆ a1, a2, …, anอยู่ห่างจากจุดก าเนิดเป็นระยะทาง r1, r2, …, rn ตามล าดับ ดังนั้นจะได้ว่า

I = rara rara 2nn

233

222

211 12.5

หรือ Iy =

n

1i

2iira 12.6

แต่ 21r = 2

12i yx 12.7

I = 21

2i

n

1ii yxa

12.8

หรือ I = Ix+ Iy 12.9 เมื่อ I = โมเมนต์ความเฉื่อยโพลาร์ของพื้นที่ Ix = โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกน X Iy = โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกน Y

197

12.4 มิติของโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นท่ี เน่ืองจากโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนหมุนใด ๆ เป็นผลคูณของพื้นที่กับระยะทางก าลังสองของพื้นที่นับถึงแกนหมุน ดังนั้น หน่วยของ I จึงเป็น L4

เมื่อ L มีหน่วยเป็นความยาว ฉะนั้น I จึงมีหน่วยเป็น(เมตร)4 หรือ m4 หรือ (cm)4 หรือ (mm)4 ฯลฯ

12.5 รัศมีไจเรชัน (Radius of Gyration) โมเมนต์ความเฉื่อยที่ได้กล่าวมาแล้วนั้น เป็นการวัดค่าการกระจายของมวลของพื้นที่ที่อยู่ห่างกันมาก จากแกนใด ๆ ที่อยู่ในความสนใจ แต่ถ้าพื้นที่ A ดังรูปที่ 12.1 ถูกอัดรวมกันแน่นมากกลายเป็นแถบซึ่งไม่ความหนา ดังรูปที่ 12.2 ระยะ KX วัดจากแกน X และ KY วัดจากแกน Y ดังนั้นผลคูณของ AK 2

x และ AK 2

y จะมีค่าเป็นโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ของแกน X และ Y ตามล าดับและเรียกระยะ xK หรือ yK นี้ว่า รัศมีไจเรชัน (Radius of Gyration) ดังนั้นจากนิยามของโมเมนต์ความเฉื่อย ส าหรับแกนใด ๆ จึงสามารถเขียนได้ว่า

รูปท่ี 12.2 I = K2A (12.10)

หรือ K = AI (12.11)

หรือ ถ้าแทนค่าสมการ (12.10)ลงในสมการที่ (12.9)จะได้ว่า

K2 = 2y

2x KK (12.12)

จากสมการที่ ( 12.12) จะเห็นได้ว่า รัศมีไจเรชันในระบบโพลายกก าลังสองมีค่าเท่ากับผลบวกของรัศมีไจเรชันในระบบพิกัดฉากแต่ละตัวยกก าลังสอง

198

12.6 การเคลื่อนย้ายแกนโมเมนต์ความเฉื่อย (Transfer of Axis) ปกติแล้วแกนหมุนส าหรับค่าโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่ใด ๆ แล้ว จะผ่านจุดศูนย์กลางมวล (Center of Mass) ของพื้นที่นั้นๆ แต่ถ้าแกนหมุนไม่ผ่านจุดศูนย์กลางมวล ดังรูปที่ 12.3 ก็อาจหาความ สัมพันธ์ระหว่าง I ของแกนหมุนใหม่นี้กับ I๐ซึ่งมีแกนหมุนผ่านจุดศูนย์กลางมวลได้แต่ต้องมีเงื่อนไข ว่าแกนหมุนใหม่จะต้องขนานกับแกนหมุนที่ผ่านจุดศูนย์กลาง (Centroid) ของพื้นที่นั้นเสมอ ซึ่งได้ความสัมพันธ์ดังนี้ คือ I = I๐+ Ah2 (12.13) เมื่อ A คือ พื้นที่ที่จะหาโมเมนต์ความเฉื่อย h คือ ระยะห่างระหว่างแกนหมุนทั้งสอง

รูปท่ี 12.3 แสดงรูปการย้ายแกนโมเมนต์ความเฉื่อย

199

ตารางท่ี 12.1 แสดงสูตรการหาโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นรูปทรงเรขาคณิตอย่างง่าย โดยที่ oxI และ

oyI เป็นโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกน X และ Y ที่ผ่านจุด Centroid

รูปทรงเรขาคณิต สูตร

1. รูปวงกลมรัศมี r

4r

I4

ox

4r

I4

oy

2. รูปครึ่งวงกลม

8r

II

8r6

I

r11.0I

r424.0C

r21

A

4

yy

4

x

4ox

2

3. รูป 41ของวงกลม

16r

I

16r

I

r055.0II

r424.0C

r41

A

4

y

4

x

4oyox

2

200

รูปทรงเรขาคณิต สูตร

4. รูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

3y

3x

3

oy

3

ox

bh31

I

bh31

I

12hb

I

12bh

I

5. รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

haA

a6A6

haI

6ah

I

2

3

y

3

x

6. รูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

2ha

A

6Aa

12ha

I

6Ah

12ah

I

2

3

y

2

3

x

201

รูปทรงเรขาคณิต สูตร

7. รูปวงแหวน

22

2222

44

3x

3

oy

22

ab4A

abab4

ab4

bh31

I

12hb

I

abA

8. รูป 41ของวงแหวน

22y

22

ab4A

I

ab41

A

9. รูป41ของอิลิปส์

1b

Y

a

x

4Aa

I

4Ab

I

ab41

A

2

2

2

2

2

y

2

x

202

ตัวอย่างที่ 12.1 สี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาดความยาว 300 มิลลิเมตร กว้าง 150 มิลลิเมตร จงหาโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกน X0 ซึ่งผ่านจุด Centroid และรอบแกน X ดังแสดงในรูปที่ 12.4

รูปท่ี 12.4

วิธีท า 1) หาโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกน X๐

จากสูตร Iox = 12bh1 3

เมื่อ B = 150 mm h = 300 mm แทนค่า

Iox = 330015012

1xx

Iox = 3.375 x 108 mm4 หรือ Iox = 3.375 x 10-4 m4 ตอบ

203

2) หาโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกน X จากสูตร Ix = Iox+Ah2 Ix = 3.375 x 10-4m4+(0.15)(0.30)(0.30)2 Ix = 4.387 x 10-3m4 ตอบ ตัวอย่างที่ 12.2 จากรูปที่ 12.5 จงหาโมเมนต์ของความเฉื่อยรอบแกน X ซึ่งอยู่บนแกน Y ซึ่งผ่านจุด

เซนทรอยด์และรัศมีไจเรชัน

รูปท่ี 12.5

วิธีท า 1) หาเซนทรอยด์ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าทั้งสองหมุนรอบแกน x ซึ่งอยู่บนแกน Y ได้จาก

21

2211AA

2/yA2/yAy

20x20010x2102

20020200

210

10210

= 67.3 mm.

204

2) หาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกน X ดังรูป ได้จากสูตร

= 322

311 hb

31

hb31

3320020

3

11090

3

1

xI

= 30000 + 53333333 (mm)4

= 53363333 (mm)4 = 5.3 x 107 (mm)4 ตอบ 3) หาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกน XO จากสูตรการย้ายแกน คือ 2yAII oxx หรือ 2yAII xox

= 3.6720x200x10x210103.5 7 = 5.3 x 107-(210x10) (200x20)(67.3) = 5.3 x107-4.1x105 (mm)4 Iox = 5.3 x 107(mm)4 4) หารัศมีไจเรชัน จากสูตร

Kox = A

Iox

=

6100107.5 7

= 91.4 mm ตอบ

205

ตัวอย่างที่ 12.3 จากรูปที่ 12.6 จงหาโมเมนต์ความเฉื่อยของแกนที่จุด Centroid

รูปท่ี 12.6

วิธีท า 1) จากสูตรในตารางที่ 12.1 เมื่อ X เป็นแกนที่ฐานของสามเหลี่ยม

Ix = 6

ah3

และ a = 2

200 = 100

Ix =

690100 3

(mm)4

= (1.215)(107) (mm)4 = (1.215)(107) (10-12) (mm)4 = (1.215)(10-5) m4 2) จากสูตรการย้ายแกน 2

oxx xAII เมื่อ x = ระยะทางของจุด Centroid ห่างจากแกน X Iox = โมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่รอบแกนที่ผ่านจุด Centroid

Iox = 2x xAI

206

= 2

x h31

ahI

= 1.215 x 107-(100 x 90)2

90x31

= 1.215 x107-( 9000)(30)2

= 1.215 x 106-( 9000)(900) = 12.5 x106- 8.1 x 106 mm4 = 4.05 x 106 mm4 ดังนั้นโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกน X ที่ผ่านจุด Centroid มีค่าเท่ากับ 4.05 x106 mm4 หรือ 4.05 x106 m4

207

แบบฝึกหัดบทท่ี 12

จากรูป จงหาโมเมนต์ ของความเฉื่อยรอบแกนที่ผ่านจุดเซนทรอยด์ 1.

รูปท่ี 12.7 2.

รูปท่ี 12.8

0.80

0.10

0.20

25.0

208

3.

รูปท่ี 12.9 4.

รูปท่ี 12.10

209

5.

รูปท่ี 12.11

6. จงหารัศมีไจเรชันและหาโมเมนต์ของความเฉื่อยรอบแกน X ห่างจากฐานของรูปสี่เหลี่ยม

รูปท่ี 12.12

210

7. จงหารัศมีไจเรชันและโมเมนต์ของความเฉื่อยรอบแกนผ่านจุด ก

รูปท่ี 12.13

8. จงหารัศมีไจเรชันรอบแกน XO จากรูป

รูปท่ี 12.14

r = 20 มม.

40 มม.

10 มม.

30 มม.

10 มม.