arquitectura 1tema 1

Arquitectura ITema 1

Temas a tratar

Fundamentos Lógica Formal Enunciados y operaciones lógicas Proposiciones y tablas de verdad Álgebra de proposiciones Conjuntos y relaciones Conjuntos y elementos Operaciones de conjuntos Álgebra de conjuntos Pares ordenados y conjuntos producto Relaciones y funciones Álgebra de Boole Dualidad Teoremas básicos Expresiones de Boole

Lógica Formal

Se dedica al estudio de la inferencia mediante la construcción de lenguajes formales, sistemas deductivos y semánticas formales. La idea es que estas construcciones capturen las características esenciales de las inferencias válidas en los lenguajes naturales, pero que al ser estructuras formales y susceptibles de análisis matemático, permiten realizar demostraciones rigurosas sobre ellas. Hay 4 tipos de lógicas formal

▪ Lógica de enunciados▪ Estudia la validez de los razonamientos teniendo en cuenta únicamente el valor de verdad (verdadero o

falso) de cada enunciado tomando los enunciados en bloque sin analizarlos previamente.

▪ Lógica de predicados▪ Analiza la estructura interna de los enunciados atribuyendo una propiedad al sujeto.

▪ Lógica de clases▪ Al contrario que la lógica de predicados, esta atribuye individuos y clases a las características

▪ Lógica de relaciones▪ Incorpora a su lenguaje los elementos, símbolos y reglas que son necesarios para expresar un enunciado.

Enunciados y operaciones lógicas

Enunciados:

Es una frase u oración que informa, expresa o dictamina alguna idea a través de afirmaciones o negaciones preguntas, expresiones de emoción o de saludo, órdenes.

Operaciones lógicas:

Una de las funciones de la Unidad Aritmético Lógica (ALU), situada en el núcleo del procesador es la de realizar las operaciones lógicas con los datos contenidos en una instrucción del programa.Pero, ¿qué es una operación lógica?. Una operación lógica asigna un valor (TRUE o FALSE) a la combinación de condiciones (TRUE o FALSE) de uno o más factores (variables). Los factores o las variables que intervienen en una operación lógica sólo pueden ser TRUE o FALSE. Y el resultado de una operación lógica puede ser, tan sólo, TRUE o FALSE.

Proposiciones y tablas de verdad

Proposiciones:Es una expresión donde se afirma o se niega algo. Tal proposición puede ser calificada sin ambigüedades como V o F, también recibe el nombre de Valor de Verdad.A una proposición se le representa por letras minúsculas como p, q, r, s, t. Proposiciones simples:Es aquella que no se relaciona con otra. p: 17 es un número impar.q: El Sol no es una estrella.r: La maca es una planta oriunda del Perú.s: La suma de dos números pares es otro número impar. s

Descripción Expresión

Not ¬ o ~

And ^ o ·

Or ˇ o +


CONECTIVOS LÓGICOSLos conectivos lógicos sirven para enlazar dos o más proposiciones. Estos conectivos son "y", "o", "no es cierto que", "entonces", "si y solo sí"


y

o

not


NOT Y

O

PROPOSICIÓN COMPUESTAEs aquella donde aparecen dos o más proposiciones simples enlazadas por conectivos lógicos


La operación ANDConsiste en una multiplicación lógica, supongamos que tenemos una función lógica f, que consisteen el producto lógico (AND) de 2 variables A y B tal que:

f(A, B) = A · BSuponiendo que los valores 1 = TRUE y 0 = FALSE, entonces podemos armar lo que se denomina, tabla de verdad para una función lógica AND. Dicha tabla se expresa de la siguiente manera:


La operación ORLa operación OR consiste en una suma lógica, supongamos que tenemos una función lógica f, que consiste en la suma lógica (OR) de 2 variables A y B tal que:

f(A, B) = A + BSuponiendo que los valores 1 = TRUE y 0 = FALSE, entonces podemos armar lo que se denomina, tabla de verdad para una función lógica OR. Dicha tabla se expresa de la siguiente manera:


La operación NOTLa operación NOT, consiste en negar el estado de una variable, es decir, invertir el resultado lógico que contenía la variable antes de aplicar la negación lógica, dicha función solo sirve para una sola variable. Supongamos una función lógica f, que consiste en la negación lógica (NOT) de una variable A tal que:

_ f(A)= A

Supongamos que los valores 1= TRUE y 0 = FALSE, entonces podemos armar lo que se denomina, tabla de verdad para una función lógica NOT Dicha tabla se expresa de la siguiente manera:


La operación XOR o EXOR o Exclusive ORLa operación XOR consiste en un negador en el cual la variable principal de dicha función se niega cuando la variable secundaria esta en TRUE, caso contrario, el valor de la variable principal de la función es el mismo. En resumen, esta operación lógica consiste en un negador de 2 variables, en las cuales, una variable es la que se desea negar y la otra variable es la de control para la negación. Esta función consiste en sumar los productos entre variables, cuyo producto se caracteriza por tener variables de forma negada y no negada, alternándose unos con otros, para que sea mas claro, supongamos que tenemos una función lógica f, que consiste en la suma lógica (XOR) de 2 variables A y B tal que:

f(A, B) = A · B + A · B = A ⊕ BSuponiendo que los valores 1 = TRUE y 0 = FALSE, entonces podemos armar lo que se denomina, tabla de verdad para una función lógica XOR. Dicha tabla se expresa de la siguiente manera:


La operación NANDLa operación NAND consiste en una AND en la cual, a su resultado, se le es aplicado la operación NOT. Es decirsupongamos que tenemos una función lógica f, que consiste en el producto lógico negado (NAND) de 2 variables A y B tal que:

f(A, B) = A · BSuponiendo que los valores 1 = TRUE y 0 = FALSE, entonces podemos armar lo que se denomina, tabla de verdad para una función lógica NAND. Dicha tabla se expresa de la siguiente manera:


La operación NORLa operación NOR consiste en una OR en la cual, a su resultado, se le es aplicado la operación NOT. Es decirsupongamos que tenemos una función lógica f, que consiste en la suma lógica negada (NOR) de 2 variables A y B tal que:

f(A, B) = A + BSuponiendo que los valores 1 = TRUE y 0 = FALSE, entonces podemos armar lo que se denomina, tabla de verdad para una función lógica NOR. Dicha tabla se expresa de la siguiente manera:


La operación XNORLa operación XNOR consiste e n una XOR en la cual a su resultados, se le es aplicado la operación NOT. Ahora presentamos un poco de detalle como resulta una XOR negada el funcionamiento que tiene una XNOR, es el de comprar dos variables y devolver TRUE cuando las dos variables son iguales o FALSE, para el caso contrario. Es decir supongamos que tenemos una función lógica f, que consiste en la XOR negada (XNOR) de 2 variables A y B tal que:_____f(A,B)= A ⊕ BSuponiendo que los valores 1= TRUE y 0=FALSE, entonces podemos armar lo que se denomina tabla de verdad para una función lógica XNOR. Dicha tabla se expresa de la siguiente manera:


Álgebra de proposiciones

El algebra de proposiciones se realiza numéricamente con las tablas de verdad para resolver situaciones.

conjunción "Y": En esta tabla solo V y V te va dar

verdadero las demás son falsas.


disyunción "O" V: En esta tabla solo F y F te va a dar

falso todas las demás son verdaderas.


si entonces En esta tabla solo V y F te dar falso

todas las demás son verdaderas.


si y solo si En esta tablas solo los que sean V y

V, F y F te van a dar verdadero las demás te dan falso.


Tautologia: todos verdaderos Incongruencia: algunos falsos y otros

verdaderos Contradiccion: todos falsos


Contradicción


incongruencia


tautología


Conjuntos y relaciones

Conjuntos:Un conjunto es una colección bien definida de objetos, entendiendo que dichos objetos pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras, otros conjuntos, etc. Algunos ejemplos son:A es el conjunto de los números naturales menores que 5.B es el conjunto de los colores verde, blanco y rojo.C es el conjunto de las letras a, e, i, o y u.D es el conjunto de los palos de la baraja francesa. Relación:Es un conjunto de operaciones que describen paso a paso cómo computar una respuesta sobre las relaciones, tal y como éstas son definidas en el modelo relacional.

Conjuntos y elementos

Elementos:un elemento o miembro de un conjunto (o familia de conjuntos) es un objeto atómico que forma parte de ese conjunto (o familia). Al escribir, A={1,2,3,4} estamos diciendo que los elementos

del conjunto A son los números 1, 2, 3 y 4. Un grupo de elementos de A sería, por ejemplo, {1,2}, el cual es un subconjunto de A.

Los elementos pueden ser conjuntos en sí mismos. Por ejemplo, consideremos el conjunto B={1,2,{3,4}}. Los elementos de B no son 1, 2, 3, y 4; en efecto, B tiene sólo tres elementos: 1, 2 y el conjunto {3,4}.

Los elementos de un conjunto pueden ser cualquier cosa. Por ejemplo, C={ rojo, verde, azul}, es el conjunto cuyos elementos son los colores rojo, verde y azul.

Álgebra de conjuntos es el estudio de las operaciones básicas que pueden realizarse con conjuntos, como la unión, intersección y complementación.

Un conjunto es una colección de objetos considerada como un objeto en sí. Un conjunto está definido únicamente por los elementos que lo componen, y no por la manera en la que se lo representa.

Pertenencia. La relación relativa a conjuntos más básica es la relación de pertenencia. Dado un elemento x, éste puede o no pertenecer a un conjunto dado A. Esto se indica como x ∈ A.

Igualdad. Dos conjuntos son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos. Este principio, denominado principio de extensionalidad establece el hecho de que un conjunto queda definido únicamente por sus elementos.

Inclusión. Dado un conjunto A, cualquier subcolección B de sus elementos es un subconjunto de A, y se indica como B ⊆ A.

El conjunto vacío es el conjunto sin ningún elemento, y se denota por ∅ o por {}. El conjunto universal es el conjunto que contiene todos los elementos posibles, dentro del contexto considerado. Por ejemplo, si se estudian los números naturales, el conjunto universal es el conjunto de todos ellos, N. De manera general, el conjunto universal se denota por U.

Álgebra de conjuntos

Las operaciones básicas del álgebra de conjuntos son: Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene todos

los elementos de A y de B. Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que

contiene todos los elementos comunes de A y B. Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \ B que

contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B. Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que

contiene todos los elementos que no pertenecen a A. Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el

conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo primer elemento pertenece a A y su segundo elemento pertenece a B.

Propiedades Algunas de estas operaciones poseen propiedades similares a las operaciones con

números. Por ejemplo, la unión y la intersección son conmutativas y asociativas. El conjunto vacío es el elemento neutro de la unión, y el elemento absorbente de la intersección y el producto cartesiano. El conjunto universal es el elemento neutro de la intersección y el elemento absorbente de la unión.

Además, las operaciones de unión, intersección, diferencia y complemento son muy similares a las operaciones en un álgebra de Boole, así como a los conectores lógicos de la lógica proposicional.


http://es.wikipedia.org/wiki/Elemento_neutro

Unión Complemento

Intersección Diferencia Simétrica

Diferencia


Unión de conjuntos: Al realizar esta operación estamos conformando un nuevo

conjunto, que se llama conjunto solución, que contiene todos los elementos o miembros de los conjuntos que se estén uniendo, sin que ninguno de sus miembros se repita en el conjunto solución. Por ejemplo:

Dados: A = {-1, 1, 2, 3} B = {2, 4, 6} C= {4, 5, 7, 8}A u B = {-1, 1, 2, 3, 4, 6}

Observe que el resultado A u B no contiene elementos repetidos

A u B u C = {-1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

Operaciones de conjuntos

Intersección de conjuntos: Esta operación entre conjuntos conforma un nuevo conjunto

que contenga los elementos o miembros comunes a los conjuntos que hagan parte de esta operación. Por ejemplo si consideramos los conjuntos A, B y C arriba mencionados, al operar; se obtiene:

A n B = {2}B n C = {4}A n B n C = { } Puesto que no hay ningún elemento que esté en los tres conjuntos.(A u B) n C Observe que en este ejemplo se está aplicando la propiedad asociativa para la operación de unión entre A y B y a su resultado hacer la intersección con C.(A u B) n C = {4}


Diferencia de conjuntos: Cuando se analiza la diferencia entre A y B,

se obtiene como respuestaexclusivamente los elementos del conjunto A. Por ejemplo si consideramos los conjuntos A, B, C que aparecen arriba:

A - B = {1, 1, 3} B - C ={2, 6} B - A = {4, 6} C - B = {5, 7, 8}


Diferencia simétrica de conjuntos: Se presenta cuando se consideran todos los

elementos que sólo pertenecen los conjuntos, sin tener en cuenta lo que tienen en común. En otras palabras, en la diferencia simétrica no se tiene en cuenta ningún elemento de la intersección entre los conjuntos, los demás sí. Por ejemplo, dados los conjuntos

A = {-1, 1, 2, 3,} B = {2, 4, 6} C = {4, 5, 7, 8}

y U = {-1, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} (Conjunto Universal o referencial)


Complemento de un conjunto: Se buscan todos lo elementos que le

hagan falta a un conjunto para convertirse o ser el conjunto universal o referencial. Por ejemplo:

A´= {4, 5, 6, 7}B´= {-1, 1, 3, 5, 7, 8}C´= {-1, 1, 2, 3, 6,} (A u B)´={5, 7, 8}


Pares ordenados y conjuntos producto

Pares ordenados: Intuitivamente un par ordenado consta de

dos elementos , a y b en un plano cartesiano Conjunto Producto:

Dados dos conjuntos A y B se llama conjunto productos de A Y B el conjunto de todos los pares ordenados (a, b ) con a ϵ A y b ϵ B se le denota por

A X BQue se lee A cruz B A X B ={(a,b) | a ϵ A, b ϵ B}

Relaciones y funciones

Correspondencia o relación:Es la correspondencia de un primer conjunto llamado Dominio, con un segundo conjunto llamado rango, de manera que a cada elemento del dominio le corresponde uno o mas elementos del recorrido o rango. Ejemplo: En un supermercado hay artículos a la venta cada artículo tiene un precio. Función: es relación a la que se añade la

restricción de que cada valor del dominio le corresponde un y solo un valor del recorrido Todas las funciones son relaciones pero no todas las

relaciones son funciones

Álgebra de Boole

Es una estructura algebraica que esquematiza las operaciones lógicas Y, O , NO y SI (AND, OR, NOT, IF), así como el conjunto de operaciones unión, intersección y complemento.

Se denomina así en honor a George Boole , matemático inglés autodidacta, que fue el primero en definirla como parte de un sistema lógico

Para nuestros propósitos basaremos el álgebra booleana en el siguiente juego de operadores y valores:- Los dos posibles valores en el sistema booleano son cero y uno, a menudo llamaremos a éstos valores respectivamente como falso y verdadero.- El símbolo · representa la operación lógica AND. Cuando se utilicen nombres de variables de una sola letra se eliminará el símbolo ·, por lo tanto AB representa la operación lógica AND entre las variables A y B, a esto también le llamamos el producto entre A y B.- El símbolo "+" representa la operación lógica OR, decimos que A+B es la operación lógica OR entre A y B, también llamada la suma de A y B.- El complemento lógico, negación ó NOT es un operador unitario, en éste texto utilizaremos el símbolo " ' " para denotar la negación lógica, por ejemplo, A' denota la operación lógica NOT de A.- Si varios operadores diferentes aparecen en una sola expresión booleana, el resultado de la expresión depende de la procedencia de los operadores, la cual es de mayor a menor, paréntesis, operador lógico NOT, operador lógico AND y operador lógico OR. Tanto el operador lógico AND como el OR son asociativos por la izquierda. Si dos operadores con la misma procedencia están adyacentes, entonces se evalúan de izquierda a derecha. El operador lógico NOT es asociativo por la derecha.

Álgebra de Boole

http://www.monografias.com/trabajos12/elproduc/elproduc.shtml

http://www.monografias.com/trabajos13/libapren/libapren.shtml

Dualidad

El concepto de dualidad permite formalizar este hecho: a toda relación o ley lógica le corresponderá su dual, formada mediante el intercambio de los operadores unión (suma lógica) con los de intersección (producto lógico), y de los 1 con los 0.

Además hay que cambiar cada variable por su negada. Esto causa confusión al aplicarlo en los teoremas básicos, pero es totalmente necesario para la correcta aplicación del principio de dualidad. Véase que esto no modifica la tabla adjunta

Teoremas básicos

Expresiones de Boole

arquitectura 1tema 1

Documents