as jy na die volgende getal-“masjien” kyk: y...

eBoeke word ontwikkel en gratis verskaf deur die

Oorspronklike outeur: Die MATHmechanic

As jy na die volgende getal-“masjien” kyk: y = 2x + 3, sal jy sien wanneer ons verskillende waardes vir x invoer, ons elke keer ’n ander waarde sal hê vir y. Met ander woorde, gestel ons voer die volgende waardes in vir x:

-2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 sal ons die volgende y-waardes as antwoorde kry: vir x = -2: y = 2(-2) + 3 = -1

vir x = -1 : y = 2(-1) + 3 = 1

vir x = 0 : y = 2(0) + 3 = 3

vir x = 1 : y = 2(1) + 3 = 5

vir x = 2 : y = 2(2) + 3 = 7 ’n Assestelsel word as volg gedefinieer: Die horisontale as verteenwoordig die invoerveranderlike en die vertikale as die uitvoerveranderlike, en die twee asse sny by ’n gesamentlike nulpunt.

Ons praat dus hier van die x as die invoerveranderlike, en die y

as die uitvoerveranderlike.



Die assestelsel lyk dan soos volg: Let op die positiewe en negatiewe waardes van die asse. Nou moet jy baie mooi oplet, want hier is die belangrikste feit oor grafieke:

Die grafiek gaan eerstens oor die

invoerwaardes (x’e) en die gepaardgaande

uitvoerwaardes (y’e), en waar hulle mekaar op

die assestelsel ontmoet. Die grafiek self, soos

jy later sal sien, is net ’n prentjie-voorstelling

van die verband wat tussen die

invoerwaardes en die uitvoerwaardes bestaan.



As ons nou die eerste x-waarde wat vroeër gebruik is, en die y-waarde wat dit geproduseer het, op die assestelsel sit, lyk dit soos volg: x = -2 y = -1 As ons nou elkeen van die x-waardes wat vroeër gebruik is, en hulle geproduseerde y-waardes op dieselfde assestelsel sit, dan lyk dit soos volg: Maar, ons het nou slegs 5 invoerwaardes gekies tussen -2 en 2. Wat van al die miljoene breuke wat ook tussen hierdie twee getalle



lê? Of wat van al die biljoene breuke en getalle wat links en regs van hierdie getalle lê? As ons elkeen van hierdie biljoene getalle kon invoer, en op ’n soortgelyke wyse op die assestelsel kon gaan inteken, sou ons mettertyd sien dat al hierdie punte ’n lyn vorm. Inteendeel, as ons nou al na die assestelsel kyk, sal ons sien dat die 5 kolletjies in ’n reguit lyn met mekaar lê. As ons hulle verbind, kry ons ’n reguit lyn wat al die biljoene punte voorstel wat op die assestelsel geteken kon word: Daar is sekere eienskappe in hierdie getalle-“masjiene” wat maak dat die grafiese voorstelling altyd ’n reguitlyn sal wees, net soos daar eienskappe is wat sal bepaal of die grafiese voorstelling ’n ander vorm het, soos jy ook in wiskunde sal leer.

Iets baie belangrik om te onthou is dat hierdie grafiese

voorstelling slegs geldig is vir die getalle-“masjien” y = 2x + 3.



Onthou net altyd dat die reguitlyn (of enige ander grafiek) altyd gaan oor die verskillende punte en nie oor die grafiek self nie.

Elkeen van die punte wat ons gebruik het om die grafiek mee te teken, het ’n invoer (x) en ’n uitvoer (y) gehad. Hierdie x- en y-

waardes word langs elke punt geskryf as koördinate, en in die vorm : (x ; y), met ander woorde ronde hakies, met die x-waarde eerste, dan ’n kommapunt, en dan die y-waarde wat daardie spesifieke x-waarde geproduseer het. Die metode wat ons hier gaan gebruik om die reguitlyngrafiek te teken staan bekend as die Tabel-metode, en formeel gedefinieer is dit die volgende: Trek ’n tabel op soos volg en kies ’n aantal x-waardes

vir invoer (gewoonlik is -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 reg):

x -2 -1 0 1 2 y

Vir elkeen van hierdie x-waardes gebruik jy dan die formule (“getal-masjien”) wat aan jou gegee is, en jy werk ’n waarde vir y uit:

x -2 -1 0 1 2 y -1 1 3 5 7

( vir y = 2x + 3) 1) Skets ’n grafiese voorstelling (’n grafiek) van die volgende

formules : a) y = 2x – 1

b) y = 3x + 2

2) Stel tabelle op, en skets op dieselfde assestelsel



die grafieke van a) y = 2x – 3 b) y = -½x + 2

Ons definieer dus nou ’n reguitlyngrafiek in standaardvorm as:

y = mx + c

waar m die gradiënt gee, en c die y-afsnit, of anders gestel, die waarde op die y-as waar die lyn deur die y-as gaan. As jy nou gaan kyk na al die oefeninge en voorbeelde sover, sal jy sien dat al die vergelykings in standaardvorm was. Dit kan egter van jou verwag word om ’n nie-standaard vergelyking in standaardvorm te skryf. Skryf die volgende reguitlyngrafiek-vergelykings in standaardvorm:

1) 2x + 3y – 6 = 0 2) 2y = -2/3 x + 2

Soos ons vroeër gesien het, is die gradiënt ’n aanduiding van die steilte van ’n helling, of dan van die reguitlyngrafiek. Ons kan die gradiënt tussen twee punte op ’n grafiek soos volg bereken: Stel eers een (enige) van hierdie twee punte as (x1 ; y1). Kom ons kies sommer die punt links onder: x1 = -3 ; y1 = -4



Dan is x2 = 2 en y2 = 3 Gebruik nou die volgende formule:

5

7

32

43

12

12

)(

)(

xx

yym

Kyk nou na die volgende voorbeeld, en let op wat met die gradiënt gebeur: Weereens kies ons sommer enige punt (sommer links bo) as (x1 ; y1 ). Dus x1 = -2 ; y1 = 3 en x2 = 4 ; y2 = - 3 En dan die gradiëntformule

Let op hoedat die minusse in

plusse verander

Dit is die waarde van m in y =

mx + c



16

6

24

33

12

12

)(

xx

yym

Ons sien dus dat, as die gradiënt positief is, met ander woorde

groter as nul, dan lê die lyn van links onder na regs bo , en as die

gradiënt negatief is, van regs onder na links bo .

Kyk na die volgende vergelyking: 34

3 xy

As ons die grafiek teken, lyk dit soos volg: Ons sien dat die lyn na links lê, soos wat ons sal verwag met ’n negatiewe helling. Maar waarna ons nou spesifiek wil kyk is die plek waar die lyn die y-as sny. Jy sal sien dat die punt waar die lyn deurgaan, 3 is.



En as jy kyk na die grafiek se vergelyking 34

3 xy sal jy sien

dat dit ooreenstem met die omkringde getal. Hierdie 3 in die vergelyking is dus die waarde van die y-afsnit van die grafiek, en kan net só afgelees word, mits die vergelyking in

standaardvorm is.

As jy ’n tegniek wil hê om die y-afsnit van enige grafiek te bepaal, stel eenvoudig x=0 in die vergelyking, bv. 2y = 4x + 6 se y-afsnit is: 2y = 4(0) + 6 2y = 6

y = 3

Hierdie tegniek is geldig vir enige grafiek

Kom ons kyk nou na ’n paar maniere waarop die vrae oor hierdie werk gevra kan word: Bereken die gradiënt van die reguitlyn deur die punte ( -1 ; 2) en ( 3 ; -1 ). Stel enige van die punte as : (x

1 ; y

1)

Sê maar : x1 = -1 ; y

1 = 2 x

2 = 3 ; y

2 = -1

Dus

4

3

13

3

13

21

12

12

)(

xx

yym



Voorbeeld Bepaal die y-afsnit van die volgende reguitlyngrafiek sonder om dit

eers in standaardvorm te skryf: 23

22 xy

Stel x = 0: 203

22 )(y

2y = 2

y = 1

Voorbeeld Bepaal die vergelykings van die volgende reguit lyne:

1) Wat die y-as in – 2 sny en deur die punt (2 ; 1) gaan

2) Wat deur die punte ( – 1 ; 3 ) en ( 2 ; -3) gaan 1) Ons begin met die standaardvorm: y = mx + c

Dan sien ons dat die vraag al klaar vir ons die waarde van c gegee het, naamlik – 2. Dus : y = mx – 2

Nou moet ons nog net die waarde van m kry. Ons kan dit egter nie met die gradiëntformule bereken nie, wat ons het nie twee punte om mee te werk nie. Hou nou?

Dus is die y-afsnit by die punt 1 op die y-as, en hierdie punt se

koördinate is : (0 ; 1), omdat ons x=0 gebruik het om hierdie y-

waarde te bepaal

As jy ooit die vergelyking van ’n grafiek moet bepaal, begin ALTYD met die standaardvorm, en kyk dan wat jy nodig het, en bepaal uit die vraag wat jy het om mee te werk, en wat jy

moet gaan bereken.



Ons los ALTYD die gradiënt in breukvorm

– moet dit nie na desimale toe vat of

selfs gemengde getalle nie!

Wel, ons sien dat die vraag vir ons ’n punt gegee het waardeur

die grafiek gaan , en aangesien dit ’n x- en y-waarde is, vervang

ons dit in die vergelyking in: y = mx - 2

(1) = m ( 2) - 2 1 + 2 = 2m 3 = 2m

m = 3/2

Nou is die vergelyking van die grafiek:

22

3 xy

2) Weereens begin ons met die standaardvorm: y = mx + c

Ons het waardes vir m en c nodig, maar nie een van hierdie word in die vraag gegee nie. Ons kan egter die waarde van m gaan bereken:

2

3

33

21

33

12

12

)(

xx

yym

Ons vergelyking is dus nou: y = – 2x + c Maar ons het nog nie ’n waarde vir c nie. Ons egter wel twee punte wat ons kan gebruik, en elkeen het ’n x-

en y-waarde. Ons kies sommer die eerste een:



y = – 2 x + c 3 = – 2(– 1 ) + c 3 = 2 + c

c = 1

Dus is die vergelyking : y = – 2x + 1 Daar is 3 maniere om reguitlyngrafieke te teken: Die eerste metode ken jy al – dit is die tabelmetode, waarmee jy aan die begin van die afdeling te doen gekry het. ’n Ander metode staan bekend as die gradiënt-intersepmetode. Met hierdie metode gebruik jy bloot die gradiënt en y-afsnit-waardes wat jy uit die vergelyking kan lees: 2x + 3y – 12 = 0 Skryf in standaardvorm: 3y = – 2x + 12

43

2 xy

Wat jy nou doen, is EERSTENS om die y-afsnit op die assestelsel aan te dui:

Onthou – die gradiënt is altyd ’n

breuk



Kyk dan na die gradiënt se waarde : 3

2 . Ons weet die gradiënt

stel die vertikale beweging (op die y-as) gedeel met die horisontale beweging (op die x-as) voor. Dus kan ons nou 2 eenhede op die y-as op of af beweeg. Nou moet ons 3 eenhede na links of regs beweeg. Maar watter een sal dit wees? ONTHOU: Die gradiënt was negatief, dus moet ons lyn na links lê as ons klaar is. Dus, ons beweeg na regs:

Dit maak nie saak nie



Ons het nou twee kolletjies gemaak, en dan vat ons eenvoudig ’n liniaal en verbind hulle: Die ander metode staan bekend as die dubbel-afsnitmetode. Jy het al klaar geleer hoe om die y-afsnit te bereken, deur x gelyk te stel aan nul. Nou gaan jy ook die x-afsnit bereken deur die y gelyk

te stel aan nul.

Kom ons gebruik weer dieselfde vergelyking: 43

2 xy

Nou: x-AFSNIT : stel y = 0 43

20 x

6

122

43

2

x

x

x

ONTHOU: Jy moet AL jou bewerkings wys as jy hierdie metode gebruik. Jy mag nie net die y-

afsnit van die vergelyking aflees nie



y-afsnit : Stel x = 0 403

2 )(y

4y

Nou kan jy by 4 op die y-as ’n kolletjie maak, en by 6 op die x-as,

en hulle bloot verbind:

As ons ’n grafiek het wat parallel aan die y-as loop, met ander woorde vertikaal, deur ’n punt k op die x-as,

Dan is hierdie tipe reguitlyngrafiek se vergelyking bloot:

y = k

Daar kan van jou verwag word om in toetse met ’n spesifieke tegniek die

grafiek te teken, dus moet jy ingeoefen wees met al die tegnieke. As die

metode nie gespesifiseer is nie, kan jy enige metode gebruik



As ons ’n grafiek het wat parallel aan die x-as loop, met ander

woorde horisontaal, deur ’n punt c

op die y-as:

Dan is hierdie grafiek se vergelyking y = c Nou weet jy hoe lyk ’n grafiek wat ’n gradiënt van nul het: In y = mx + c, as die m = 0, dan is al wat oorbly y = c, en dit is dan ’n

horisontale lyn. As die gradiënt glad nie bestaan nie, dan het ons het ’n vertikale lyn, soos die boonste grafiek. As ons twee reguitlyngrafieke het wat ewewydig aan mekaar is, dan het hierdie twee lyne dieselfde gradiënt (met ander woorde hulle het dieselfde w aarde vir m) maar hulle sal net verskillende y-afsnitte hê, soos in die skets aangetoon:



As ons twee grafieke het wat mekaar loodreg (met ander woorde 90°) sny, dan is die produk van hulle gradiënte –1

Dit kom daarop neer dat, as die een grafiek se gradiënt bv 4

3 is,

dan sal die ander grafiek se gradiënt 3

4 wees.

Hierdie is eienskappe van reguitlyngrafieke wat jy nét so kan gebruik om in die standaardvergelyking in te vervang. Onthou net dat hierdie twee lyne ook verskillende y-afsnitte sal hê.

as jy na die volgende getal-“masjien” kyk: y...

Documents