ask€seic ergasthr—ou eisagwg€c sthn akoustik€...pou μ apokl—nei p‹ntote apì thn μ μ...

ΤΕΙ ΚΡΗΤΗΣΤΜΗΜΑ ΜΟΥΣΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΚΑΙ

ΑΚΟΥΣΤΙΚΗΣ

Ασκήσεις Εργαστηρίου

Εισαγωγής στην Ακουστική

Δημητρης Ζαχαριουδακης

Ρέθυμνο 2011

Περιεχόμενα

Βιβλιογραφία iv1 Μετρήσεις 11.1 Η έννοια της μέτρησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Σφάλματα μετρήσεων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.1 Σφάλματα στις άμεσες μετρήσεις . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.2 Σφάλματα στις έμμεσες μετρήσεις . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3 Στρογγυλοποίηση αριθμών . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.4 Σημαντικά ψηφία . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5 Σύγκριση δύο ποσοτήτων . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.6 ΄Ασκηση 1: Μέτρηση της συχνότητας στον παλμογράφο . . . . . . . 8

1.6.1 Μεθοδολογία της άσκησης . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.6.2 Πείραμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Γραφικές παραστάσεις 112.1 Η τεχνική των γραφικών παραστάσεων . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 ΄Ασκηση 2: Η γραφική παράσταση της ευθείας . . . . . . . . . . . . 12


2.2.2 Πείραμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 Ηχητικοί σωλήνες 173.1 Εισαγωγή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.2 ΄Ασκηση 3:Τρόποι δόνησης κλειστού σωλήνα . . . . . . . . . . . . . 18

i


3.2.2 Συνιστώσες της πειραματικής διάταξης . . . . . . . . . . . . 19

3.2.3 Πείραμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3 ΄Ασκηση 6: Καμπύλη συντονισμού ηχητικού σωλήνα . . . . . . . . . 22



3.3.3 Πείραμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.4 ΄Ασκηση 7:Τρόποι δόνησης ανοιχτού σωλήνα . . . . . . . . . . . . . 24



3.4.3 Πείραμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 Χορδές 294.1 Εισαγωγή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.2 ΄Ασκηση 4:Τρόποι ταλάντωσης χορδής Ι . . . . . . . . . . . . . . . 30



4.2.3 Πείραμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.3 ΄Ασκηση 8:Τρόποι ταλάντωσης χορδής ΙΙ . . . . . . . . . . . . . . . 33



4.3.3 Πείραμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 Σύνθεση Fourier 375.1 Εισαγωγή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.2 ΄Ασκηση 5: Σύνθεση Fourier με συνημίτονα . . . . . . . . . . . . . 38



5.2.3 Πείραμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

5.3 ΄Ασκηση 9: Σύνθεση Fourier με ημίτονα . . . . . . . . . . . . . . . 41


ii


5.3.3 Πείραμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426 Συμβολή και περίθλαση κυμάτων 456.1 Εισαγωγή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.1.1 Συμβολή . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

6.1.2 Περίθλαση . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

6.2 ΄Ασκηση 10:Συμβολή και περίθλαση κυμάτων . . . . . . . . . . . . . 47



6.2.3 Πείραμα . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

iii

Βιβλιογραφία

[1] Raymond A. Serway, Physics for Scientists and Engineers (τόμος 3), ΕκδόσειςΚορφιάτη, 1990

[2] Hugh D. Young, Φυσική (Τόμος Α), Εκδόσεις Παπαζήση, 1994

[3] D. Halliday, R. Resnik, Φυσική (Μέρος Α), Εκδόσεις Πνευματικού, 1976

[4] Δημήτρης Ζαχαριουδάκης Σημειώσεις Φυσικής Ακουστικής, Ρέθυμνο, 2006

iv

Κεφάλαιο 1

Μετρήσεις

1.1 Η έννοια της μέτρησης

Για να εκτιμήσουμε ένα φυσικό μέγεθος πρέπει να μπορούμε να το μετρήσουμε. Μέ-τρηση είναι η σύγκριση ενός μεγέθους με ένα πρότυπο αναφοράς. Από τη σύγκρισηαυτή προκύπτει η αριθμητική τιμή της μέτρησης, που υποδηλώνει πόσο μεγαλύτεροείναι το συγκρινόμενο μέγεθος από το πρότυπο αναφοράς και η μονάδα, που δηλώνειποιό είναι το πρότυπο που χρησιμοποιήσαμε για τη σύγκριση.

Ανάλογα με τον τρόπο που γίνεται η σύγκριση αυτή διακρίνουμε τις μετρήσειςσε άμεσες και έμμεσες. Μια μέτρηση είναι άμεση όταν η τιμή του μετρούμενουμεγέθους προκύπτει από μία και μόνο σύκριση με ένα συγκεκριμένο πρότυπο αναφο-ράς. Για παράδειγμα η μέτρηση του μήκους ενός δρόμου είναι άμεση αφού το μήκοςαυτό είναι ίσο με τον αριθμό των διαδοχικών πρότυπων μέτρων που απαιτούνται γιανα καλυφθεί το διάστημα από την αρχή μέχρι το τέλος του δρόμου.

Μια μέτρηση είναι έμμεση όταν η τιμή του μετρούμενου μεγέθους προκύπτει απότον αλγεβρικό συνδιασμό τιμών που έχουν προκύψει από άμεσες μετρήσεις. Για πα-ράδειγμα η μέτρηση της ταχύτητας είναι έμμεση δεδομένου ότι για τον προσδιορισμότης πρέπει πρώτα να μετρήσουμε το χρόνο που απαιτείται για να διανύσει ένα κινητόκάποιο διάστημα και μετά το διάστημα αυτό. Το διάστημα και ο χρόνος μετρούν-ται με άμεσες μετρήσεις ενώ η ταχύτητα προκύπτει από το πηλίκο ”διάστημα διάχρόνος”.

Η μέτρηση συνοδεύεται πάντα από τη μονάδα της η οποία υποδηλώνει το πρότυπομέγεθος με βάση το οποίο έγινε η εκτίμηση της μετρούμενης ποσότητας. Υπάρχουνπολλοί τρόποι να διαλέξουμε το πρότυπο αναφοράς ενός μεγέθους. ΄Οπως υπάρχεικαι ένας βαθμός αυθαιρεσίας στην εκλογή των μεγεθών που θεωρούνται θεμελιώδη(με την έννοια ότι τα υπόλοιπα ορίζονται με βάση αυτά). ΄Οταν όμως έχουμε εκλέξειτα θεμελιώδη μεγέθη και έχουμε καθορίσει μονάδες γι΄ αυτά, έχουμε καθορίσει ένα

1

σύστημα μονάδων.

Το πιο διαδεδομένο σύστημα μονάδων είναι το λεγόμενο διεθνές στο οποίο ταβασικά μεγέθη με τις μονάδες τους είναι το μέτρο (m) για το μήκος, το χιλιόγραμμοή κιλό (kg) για τη μάζα και το δευτερόλεπτο (s) για το χρόνο. Από τα αρχικάτων βασικών του μονάδων το διεθνές σύστημα λέγεται και MKS. ΄Αλλο γνωστόσύστημα είναι το λεγόμενο CGS πάλι από τα αρχικά των βασικών του μονάδων, πουείναι το εκατοστόμετρο (cm) για το μήκος, το γραμμάριο (g) για τη μάζα και τοδευτερόλεπτο (s) για το χρόνο.

Πολλές φορές για ευκολία γραφής της μέτρησης, μπροστά από τις μονάδες χρη-σιμοποιούμε προθέματα που τις μικραίνουν ή τις μεγαλώνουν. ΄Ετσι αντί π.χ. ναγράφουμε 0.000001 s γράφουμε 1 µs ή αντί για 1000 m γράφουμε 1 km. Τα πιοσυνηθισμένα προθέματα είναι

Πίνακας 1.1: Προθέματα μονάδωνm (μίλι) 10−3 k (κίλο) 103

µ (μίκρο) 10−6 M (μέγα) 106

n (νάνο) 10−9 G (γίγα) 109

1.2 Σφάλματα μετρήσεων

Η μέτρηση ενός φυσικού μεγέθους έχει πάντα μια αβεβαιότητα. Η αριθμητική τιμήπου παίρνουμε αποκλίνει πάντοτε από την πραγματική τιμή και η απόκλιση αυτή οφεί-λεται σε ανακρίβειες ή σφάλματα τα οποία είναι αναπόσπαστα συνδεδεμένα τόσο μετα μετρητικά όργανα όσο και με τον τρόπο χρήσης τους, αλλά και με τον παρατηρητήπου κάνει τη μέτρηση. Αν εξαιρέσουμε λοιπόν τα σφάλματα απροσεξίας που μπορείνα γίνουν κατά τη μετρητική διαδικασία τα σφάλματα μιας μέτρησης διακρίνονται σεδυο κατηγορίες.

α) Τα συστηματικά σφάλματα είναι αυτά που επηρεάζουν κατά τον ίδιοτρόπο μια πειραματική μέτρηση. Αυτό σημαίνει ότι η μετρούμενη τιμή αποκλίνειαπό την πραγματική κατά τον ίδιο τρόπο όσες φορές κι αν γίνει η μέτρηση με τοίδιο μετρητικό σύστημα. Τα συστηματικά σφάλματα οφείλονται σε ατέλειες τωνοργάνων μέτρησης ή κακό στήσιμο της πειραματικής διάταξης.

β) Τα τυχαία ή στατιστικά σφάλματα είναι αυτά που οφείλονται σε α-καθόριστους παράγοντες οι οποίοι πάντοτε υπεισέρχονται στη διαδικασία μιας μέ-τρησης. Ακόμα κι αν εξαλείψουμε όλα τα συστηματικά σφάλματα με προσεκτικόστήσιμο της πειραματικής διάταξης και έλεγχο των οργάνων, τα τυχαία σφάλματαείναι αδύνατο να προβλεφθούν και να εξαλειφθούν.

2

1.2.1 Σφάλματα στις άμεσες μετρήσεις

Σε μια μέτρηση της τιμής x ενός μεγέθους μας ενδιαφέρει να γνωρίζουμε πιο είναιτο μέγιστο δυνατό σφάλμα ∆x που υπεισέρχεται. Το σφάλμα αυτό καθορίζει τηνακρίβεια της μέτρησης, το διάστημα δηλαδή μέσα στο οποίο είναι πιθανότερο ναβρίσκεται η πραγματική τιμή A του μετρούμενου μεγέθους

x−∆x ≤ A ≤ x+∆x

Στην περίπτωση μιας άμεσης μέτρησης το εύρος του μέγιστου δυνατού σφάλματος(x − ∆x, x + ∆x) καθορίζεται από τη μικρότερη υποδιαίρεση της κλίμακας τουοργάνου.

Το πιο συνηθισμένο τυχαίο σφάλμα που γίνεται σε μια μέτρηση είναι αυτό πουαφορά στην ανάγνωση της ένδειξης του οργάνου. Ας υποθέσουμε ότι με το χάρακατου σχήματος 1.1 θέλουμε να μετρήσουμε ένα δεδομένο μήκος

1 3 420

Σχήμα 1.1: Μέτρηση μήκους με χάρακα

Ανεξάρτητα από το γεγονός ότι το πιο πιθανό είναι το μετρούμενο μήκος να μηνπέσει ακριβώς πάνω σε μια από τις υποδιαιρέσεις του οργάνου αλλά ανάμεσά τους,κάποιος μπορεί να εκτιμήσει ότι το ζητούμενο μήκος είναι πιο κοντά στο 2.6 καικάποιος άλλος, κοιτάζοντας από άλλη οπτική γωνία το χάρακα, ότι είναι πιο κοντάστο 2.65 ή και στο 2.55 . Το μόνο που μπορεί κάποιος να πει με βεβαιότητα είναιότι

2.5 ≤ x ≤ 2.7

ή ισοδύναμαA = x±∆x ⇒ A = 2.6± 0.1

Βλέπουμε ότι το μέγιστο δυνατό σφάλμα ή η αβεβαιότητα της μέτρησης είναι ∆x =0.1 ίσο με την ελάχιστη υποδιαίρεση του οργάνου μέτρησης. Αυτό είναι το από-λυτο σφάλμα μιας άμεσης μέτρησης. Είναι προφανές από τον τρόπο ορισμού τουότι το απόλυτο σφάλμα μιας μέτρησης (άμεσης ή έμμεσης) έχει πάντα ένα μόνο μημηδενικό ψηφίο!

Στην περίπτωση που μας ζητείται να εκτιμήσουμε την ακρίβεια μιας μέτρησηςχωρίς να ξέρουμε την ελάχιστη υποδιαίρεση του οργάνου με το οποίο έγινε, αυτήδίνεται από την δεκαδική ακρίβεια της τιμής της μέτρησης. Για παράδειγμα αν η τιμήτης μέτρησης είναι 12.4 η ακρίβεια της μέτρησης (το απόλυτο σφάλμα) είναι 0.1, ανη τιμή είναι 12.43 η ακρίβεια είναι 0.01 κ.τ.λ.

3

Από τις δύο παραπάνω μετρήσεις η δεύτερη είναι σαφώς ακριβέστερη. Τι γί-νεται όμως όταν θέλουμε να συγκρίνουμε ως προς την ακρίβεια τις μετρήσεις δυοδιαφορετικών μηκών, για παράδειγμα 12.43 cm και 225.3 cm ή ακόμα και δυο δια-φορετικών μεγεθών. Εδώ το απόλυτο σφάλμα της μέτρησης δεν μας δίνει το μέτροτης ακρίβειας αφού τα μεγέθη που μετρήσαμε είναι διαφορετικά μεταξύ τους. Ποιάείναι ακριβέστερη μέτρηση λοιπόν, αυτή που έχει ακρίβεια εκατοστού στα 12 ή αυτήπου έχει ακρίβεια δεκάτου στα 225; Για να μπορέσουμε να απαντήσουμε σε τέτοιεςερωτήσεις χρησιμοποιούμε το σχετικό σφάλμα

σ =∆x

x× 100 (%)

που εκφράζεται πάντοτε επί τοις εκατό. Για τα προηγούμενα μήκη τα σχετικά σφάλ-ματα είναι 0.08% και 0.04% αντίστοιχα, άρα η δεύτερη μέτρηση αν και με μεγαλύτεροαπόλυτο σφάλμα είναι ακριβέστερη της πρώτης. Από την άλλη αν δούμε μια μέτρησηγραμμένη σαν x = 45 cm ± 8%, αυτό σημαίνει πως x = 45 cm και

∆x

x= 0.08 ⇒ ∆x = 0.08 · 45 cm = 3.6 cm

Εδώ εφαρμόζουμε τον κανόνα που λέει πως το απόλυτο σφάλμα έχει ένα μόνο μημηδενικό ψηφίο και παίρνουμε ∆x = 4 cm. ΄Αρα x = 45± 4 cm.

1.2.2 Σφάλματα στις έμμεσες μετρήσεις

Στις έμμεσες μετρήσεις ο υπολογισμός των σφαλμάτων γίνεται ως εξής

α) Στην πρόσθεση (ή στην αφαίρεση) το ολικό απόλυτο σφάλμα προκύπτειαπό την πρόσθεση των επιμέρους απολύτων σφαλμάτων.

∆(A±B) = ∆A+∆B

Παράδειγμα: Για να μετρήσουμε το μήκος ενός δωματίου έχουμε στη διάθεσήμας μια κορδέλα μήκους 4 m, ένα χάρακα μήκους 1 m και ένα χάρακα μήκους 50cm όλα με ακρίβεια ενός χιλιοστού. Με ποιό από τα παραπάνω όργανα θα πάρουμεπιο ακριβή μέτρηση ;

Μετράμε με την κορδέλα και παίρνουμε

L = 2.855± 0.001 m

Με το χάρακα θα χρειαστεί να πάρουμε τρεις μετρήσεις l1 = 1.000 ± 0.001 m,l2 = 1.000± 0.001 m και l3 = 0.855± 0.001 m οπότε το ολικό μήκος είναι

L′ = (l1 + l2 + l3)± (∆l1 +∆l2 +∆l3) = 2.855± 0.003 m

4

Με τον ίδιο τρόπο με το μικρό χάρακα θα χρειαστούμε 6 μετρήσεις που ακόμα κιαν τις κάνουμε πολύ προσεκτικά θα πάρουμε

L′′ = 2.855± 0.006 m

Συμπεραίνουμε λοιπόν ότι αν μπορούμε κάτι να το μετρήσουμε μια κι έξω τότεκάνουμε το μικρότερο σφάλμα στη μέτρηση!

β) Στον πολλαπλασιασμό (ή στη διαίρεση) το ολικό σχετικό σφάλμα προ-κύπτει από το άθροισμα των επιμέρους σχετικών σφαλμάτων

∆(A ·B)

A ·B=

∆A

A+

∆B

B

Κατόπιν το απόλυτο σφάλμα προκύπτει εύκολα με ένα ακόμη πολλαπλασιασμό

∆(A ·B) = (∆A

A+

∆B

B) · (A ·B)

Παράδειγμα: Οι πλευρές ενός ορθογωνίου μετρήθηκαν a = 10.5 ± 0.1 cm καιb = 4.8± 0.1 cm. Ποιά μέτρηση είναι πιο ακριβής; Υπολογίστε το εμβαδό E = a · bτου ορθογωνίου και το απόλυτο σφάλμα του και γράψτε το στη μορφή E ±∆E.

E = 10.5× 4.8 = 50.4 cm2

∆E

E=

∆a

a+

∆b

b=

0.1

10.5+

0.1

4.8= 0.0095 + 0.0208 ⇒

∆E = 50.4× 0.0303 ⇒ ∆E = 1.53 = 2 cm2

(Στο τελευταίο βήμα του υπολογισμού του απολύτου σφάλματος εφαρμόσαμε πάλιτον κανόνα πως αυτό πρέπει να έχει ένα μόνο μη μηδενικό ψηφίο). ΄Αρα

E = 50± 2 cm2

και ακριβέστερη μέτρηση είναι αυτή της a πλευράς.

Παράδειγμα (δυνάμεις): Οι δυνάμεις είναι ένας έυκολος τρόπος να εκφράζουμεγινόμενα του ίδιου αριθμού, π.χ. A3 = A · A · A. Οπότε για τον υπολογισμόσφαλμάτων σε παραστάσεις που έχουν δύναμη ισχύει ότι ισχύει για τα γινόμενα.΄Ετσι

∆An

An= n

∆A

A

και μια και η τετραγωνική ρίζα είναι κι αυτή δύναμη (√A = A

12 )

∆√A√A

=1

2

∆A

A

5

1.3 Στρογγυλοποίηση αριθμών

΄Οπως είδαμε το απόλυτο σφάλμα μιας μέτρησης (άμεσης ή έμμεσης) έχει πάντα έναμόνο μη μηδενικό ψηφίο. Είναι αναγκαία λοιπόν η στρογγυλοποίηση των αριθμώνπου προκύπτουν από τις πράξεις. Για το σκοπό αυτό ακολουθούμε τον παρακάτωκανόνα

Αν το πρώτο από τα ψηφία που θέλουμε να διώξουμε από τον αριθμό είναι μεγα-λύτερο ή ίσο από το 5, τότε το προηγούμενό του ψηφίο αυξάνεται κατά 1 διαφορετικάπαραμένει το ίδιο.

΄Ετσι προηγουμένως που θέλαμε να στρογγυλοποιήσουμε σε ένα ψηφίο το 3.6γράψαμε 3.6 → 4. Το ίδιο για να στρογγυλοποιήσουμε το 1.53 σε ένα ψηφίογράψαμε 1.53 → 2, ενώ αν θέλαμε να το στρογγυλοποιήσουμε σε δύο ψηφία θαγράφαμε 1.53 → 1.5

1.4 Σημαντικά ψηφία

Τι γίνεται όμως στις περιπτώσεις (και αυτές είναι οι περισσότερες ευτυχώς) πουδεν κάνουμε υπολογισμό σφαλμάτων; ΄Οπως έχουμε δει ο αριθμός των ψηφίων τηςτιμής μιας μέτρησης υποδηλώνει κατά κάποιο τρόπο και την ακρίβεια της μέτρησης,δηλαδή όσο περισσότερα δεκαδικά έχει μια μέτρηση τόσο καλύτερη ακρίβεια έχει. Γι΄αυτό και τα ψηφία που απαρτίζουν την αριθμητική τιμή ενός μετρούμενου μεγέθουςονομάζονται σημαντικά ψηφία. Σημαντικά ψηφία είναι όλα τα μη μηδενικά ψηφίαενός αριθμού και τα μηδενικά κάτω από τις παρακάτω δυο προϋποθέσεις

1. Να βρίσκονται μεταξύ μη μηδενικών ψηφίων

2. Ο αριθμός να είναι δεκαδικός και τα μηδενικά να βρίσκονται δεξιά από τοτελευταίο μη μηδενικό ψηφίο

Αντίθετα στις παρακάτω περιπτώσεις τα μηδενικά δεν είναι σημαντικά ψηφία1. Ο αριθμός είναι ακέραιος και τα μηδενικά βρίσκονται δεξιά από το τελευταίομη μηδενικό ψηφίο

2. Ο αριθμός είναι δεκαδικός και τα μηδενικά βρίσκονται αριστερά από το πρώτομη μηδενικό ψηφίο

Για την κατανόηση των παραπάνω κανόνων δίνουμε τα παρακάτω παραδείγματα

1. Αριθμοί με ένα σημαντικό ψηφίο0.006, 0.02, 0.5, 5, 50, 5000

6

2. Αριθμοί με δύο σημαντικά ψηφία0.0030, 2.0, 3.5, 1500, 25000

3. Αριθμοί με τρία σημαντικά ψηφία0.0200, 0.508, 5.00, 205, 105000

Τα μηδενικά στο τέλος ενός ακέραιου αριθμού όπως είπαμε δεν είναι σημαντικάψηφία άρα δεν έχει κανένα νόημα να τα γράφουμε ιδίως όταν είναι πολλά. Είναιπροτιμότερο να χρησιμοποιούμε τη γραφή με δυνάμεις του 10. ΄Ετσι οι τελευταίοιαριθμοί κάθε περίπτωσης μπορούν να γραφούν

5× 103, 25× 103 = 2.5× 104, 10.5× 104 = 1.05× 105

Αν ένας αριθμός προέκυψε από αλγεβρική πράξη μεταξύ δυο άλλων τότε τασωστά ψηφία του αριθμού βρίσκονται ως εξής

Πρόσθεση και αφαίρεση

Τα δεκαδικά ψηφία του αριθμού που προκύπτει δεν πρέπει να ξεπερνούν αυτά τουαριθμού με τα λιγότερα δεκαδικά ψηφία που παίρνει μέρος στην πράξη. π.χ.

15.265 + 8.72 = 23.98

Πολλαπλασιασμός και διαίρεση

Τα σημαντικά ψηφία του αριθμού που προκύπτει δεν πρέπει να ξεπερνούν αυτά τουαριθμού με τα λιγότερα σημαντικά ψηφία που παίρνει μέρος στην πράξη. π.χ.

1.34× 235.7 = 316

1.5 Σύγκριση δύο ποσοτήτων

Αφού υπολογίσουμε πειραματικά την τιμή A μιας φυσικής ποσότητας, μας ενδιαφέρεινα δούμε πόσο κοντά πέσαμε στην ήδη γνωστή από τη θεωρία τιμή της Aθ. Ανέχουμε υπολογίσει το σφάλμα τότε έχουμε επιτύχει αν η θεωρητική τιμή πέφτει μέσαστο διάστημα A −∆A,A + ∆A. Αν όμως δεν έχουμε υπολογίσει το σφάλμα, μιαγρήγορη εκτίμηση του πόσο κοντά στη γνωστή τιμή πέσαμε γίνεται υπολογίζονταςτην επί τοις εκατό διαφορά των δύο τιμών

|A− Aθ|Aθ

× 100 (%)

Η απόλυτη τιμή στον αριθμητή υποδηλώνει πως δε μας ενδιαφέρει η σειρά στηναφαίρεση. Το σημαντικό επίσης είναι πως στον παρονομαστή μπαίνει πάντοτε ηθεωρητική τιμή.

7

1.6 ΄Ασκηση 1: Μέτρηση της συχνότητας στονπαλμογράφο

1.6.1 Μεθοδολογία της άσκησης

Η συχνότητα f σε ένα περιοδικό φαινόμενο είναι το πηλίκο των επαναλήψεων Nπου συμβαίνουν σε χρόνο t διά το χρόνο αυτό

f =N

t

Αν στη θέση του χρόνου βάλουμε την περίοδο T , το χρόνο δηλαδή μιας επανάληψης,τότε προφανώς

f =1

T

Στην άσκηση αυτή θα υπολογίσουμε τη συχνότητα ενός περιοδικού αρμονικού παλ-μού, μετρώντας την περίοδό του στην οθόνη ενός παλμογράφου. Για το σκοπό αυτόθα χρειαστούμε

1. Παλμογράφο

2. Γεννήτρια συχνοτήτων

1.6.2 Πείραμα

1. Ρυθμίστε τη συχνότητα στη γεννήτρια συχνοτήτων στα 440 Hz. Ο παλμόςστην οθόνη του παλμογράφου πρέπει να φαίνεται όπως στο παρακάτω σχήμα(Φροντίστε δηλαδή παίζοντας με το κουμπί της κλίμακας του χρόνου ο παλμόςνα έχει δυο κορυφές και όχι περισσότερες. Τότε η ακρίβεια των μετρήσεώνμας είναι η καλύτερη!)

T

Σχήμα 1.2: Απεικόνιση αρμονικού παλμού στην οθόνη του παλμογράφου

8

2. Μετρήστε την απόσταση από κορφή σε κορφή πάνω στην οθόνη του παλμο-γράφου

d = . . . . . . cm

3. Σημειώστε την ένδειξη της κλίμακας που μας λέει πόσος χρόνος αντιστοιχείσε κάθε εκατοστό στην οθόνη του παλμογράφου

tk = . . . . . . s/cm

4. Υπολογίστε την περίοδο του παλμού (2 μονάδες)

T = d · tk = . . . . . . s

5. Το σφάλμα στη μέτρηση αυτή είναι ίσο με τη μικρότερη υποδιαίρεση του μή-κους στην οθόνη του παλμογράφου επί την ένδειξη της κλίμακας. Πόσο είναιτο σφάλμα στη μέτρησή σας; (2 μονάδες)

∆T = . . . . . . s

6. Γράψτε την περίοδο που μετρήσατε μαζί με το σφάλμα της (1 μονάδα)

T ±∆T = . . . . . .± . . . . . . s

7. Υπολογίστε τη συχνότητα (1 μονάδα)

f =1

T= . . . . . . Hz

8. Για τον υπολογισμό της συχνότητας κάνουμε διαίρεση, άρα το σχετικό σφάλ-μα στον υπολογισμό της συχνότητας είναι (η μονάδα του αριθμητή δεν έχεισφάλμα!)

∆f

f=

∆T

T

Υπολογίστε λοιπόν το απόλυτο σφάλμα της συχνότητας (2 μονάδες)

∆f = . . . . . . Hz

9. Γράψτε τη συχνότητα που μετρήσατε μαζί με το σφάλμα της (1 μονάδα)

f ±∆f = . . . . . .± . . . . . . Hz

9

10. Η τιμή της συχνότητας που δίνει η γεννήτρια (αυτή είναι η θεωρητική τιμή)είναι

f ′ = 440 Hz

Βρίσκεται η τιμή αυτή μέσα στο διάστημα (f −∆f, f +∆f) που υπολογίσατεπαραπάνω; Συγκρίνετε τη θεωρητική τιμή της συχνότητας με την πειραματικήπου βρήκατε, υπολογίζοντας την επί τοις εκατό διαφορά των δύο τιμών. (1μονάδα)

|f − f ′|f ′ × 100 = . . . . . . %

10

Κεφάλαιο 2

Γραφικές παραστάσεις

2.1 Η τεχνική των γραφικών παραστάσεων

Κατά την πειραματική διαδικασία πολλές φορές μεταβάλλουμε την τιμή ενός μεγέ-θους και υπολογίζουμε την αντίστοιχη μεταβολή που προκαλείται σε ένα άλλο. Ηπαρουσίαση των τιμών των δύο μεγεθών σε πίνακες δεν βοηθάει να καταλάβουμε μεμια ματιά τον τρόπο που η μεταβολή του πρώτου επηρεάζει το δεύτερο. Αυτό γίνεταιευκολότερα αν αποτυπώσουμε στο χαρτί τα ζεύγη των τιμών και τα ενώσουμε μεμια γραμμή.

Αν με x συμβολίσουμε το μέγεθος που μεταβάλλεται ανεξάρτητα και με y αυτόπου μεταβάλλεται εξ΄ αιτίας της μεταβολής του πρώτου είναι λογικό να υποθέσουμεότι υπάρχει μια συναρτησιακή σχέση που συνδέει τις δυο αυτές μεταβολές. Η απει-κόνιση αυτής της σχέσης στο χαρτί αποτελεί τη γραφική παράσταση της συνάρτησηςy = f(x). Με άλλα λόγια η γραφική παράσταση αποτελεί την οπτική παρουσίασητου τρόπου εξάρτησης του αιτιατού από το αίτιο σε ένα φυσικό φαινόμενο.

Οι γραφικές παραστάσεις που θα κάνουμε στις ασκήσεις του εργαστηρίου θαγίνονται πάντοτε σε χιλιοστομετρικό χαρτί με βάση τις παρακάτω οδηγίες

1. Οργάνωση των μετρήσεων

Πριν ξεκινήσουμε τη γραφική παράσταση πρέπει να έχουμε ξεκαθαρίσει ποιόαπό τα μεγέθη θα αποτελεί την ανεξάρτητη και ποιό την εξαρτημένη μεταβλη-τή. Οι τιμές των μεγεθών θα πρέπει να βρίσκονται σε πίνακα διατεταγμένεςως προς την ανεξάρτητη μεταβλητή από την μικρότερη προς τη μεγαλύτερητιμή της και όχι ανακατεμένες.

2. Χάραξη των αξόνων

Οι άξονες των συντεταγμένων στο επίπεδο του χαρτιού πρέπει να είναι κά-θετοι μεταξύ τους. Στον οριζόντιο άξονα μετράμε τις τιμές της ανεξάρτητης

11

μεταβλητής και στον κάθετο αυτές της εξαρτημένης. Το σημείο τομής τουςπρέπει να βρίσκεται σε τέτοια θέση στο χαρτί που να επιτρέπει την αποτύπωσηστο επίπεδο των αξόνων όλων των ζευγών των τιμών. Στα άκρα των αξόνωνπρέπει να υπάρχουν τα σύμβολα των μεταβλητών μαζί με τις μονάδες τους.

3. Επιλογή της κλίμακας

Μια επιτυχημένη γραφική παράσταση πρέπει να καλύπτει τη μισή τουλάχιστοσελίδα του χιλιοστομετρικού χαρτιού. Η βαθμονόμηση του κάθε άξονα ( ηαντιστοίχηση δηλαδή των εκατοστών του χιλιοστομετρικού χαρτιού σε τιμέςτης μεταβλητής που αντιπροσωπεύει ο συγκεκριμένος άξονας) πρέπει να είναιτέτοια ώστε τα ζεύγη των τιμών να καλύψουν όλο το διαθέσιμο στο χαρτίχώρο. Δεν πρέπει ούτε να στριμωχτούν σε μια μικρή περιοχή του χαρτιού,ούτε φυσικά να πέσουν έξω από το χαρτί. ΄Ετσι αν οι τιμές που έχουμε σεένα άξονα είναι από xmin έως xmax και τα διαθέσιμα κουτάκια στον άξονααυτό είναι N τότε η τιμή που θα δώσουμε στο κάθε κουτάκι είναι xmax−xmin

N.

Φυσικά αν η προηγούμενη τιμή δεν είναι ακέραια (πράγμα που είναι και τοπιο πιθανό!) στρογγυλοποιείται σε ένα από τους αριθμούς 1,2,3,4,5 και ταπολλαπλάσιά ή υποπολλαπλάσιά τους με δυνάμεις του 10 (δηλαδή 10,20,3040,50,100 200 κ.τ.λ ή 0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,....).

Η αρχή κάθε άξονα δεν είναι ανάγκη να είναι το 0, μπορεί να είναι και η κον-τινότερη στον xmin υποδιαίρεση της κλίμακας. Σε κάθε άξονα σημειώνονταιμόνο οι υποδιαιρέσεις της κλίμακας και όχι οι τιμές των προς αναπαράστασηζευγών.

4. Χάραξη της καμπύλης

Αφού αποτυπώσουμε στο επίπεδο των αξόνων του χαρτιού όλα τα ζεύγη τωντιμών η γραφική παράσταση ολοκληρώνεται με τη χάραξη της συνεχούς γραμ-μής η οποία θα προσεγγίζει καλύτερα τα πειραματικά σημεία. Η καμπύληπρέπει να είναι όσο το δυνατόν ομαλή (όχι τεθλασμένη) και δεν είναι ανάγκηνα περνά ακριβώς από όλα τα σημεία αλλά να τα κατανέμει συμμετρικά ως προςαυτή.

2.2 ΄Ασκηση 2: Η γραφική παράσταση της ευ-θείας


Η ευθεία είναι η απλούστερη καμπύλη. Η μαθηματική σχέση που εκφράζει τηνεξίσωση της ευθείας είναι η

y = ax+ β (2.1)

12

όπου a είναι η κλίση της ευθείας (δηλαδή η εφαπτομένη της γωνίας που σχηματίζειη ευθεία με τον x άξονα) και β η τεταγμένη της ευθείας, το σημείο δηλαδή στοοποίο τέμνει η ευθεία τον y άξονα.

θ

y=ax+

A

Γ B

y

β

x0

β

∆

∆

x

y

Σχήμα 2.1: Γραφική παράσταση ευθείας

Οι περισσότερες γραφικές παραστάσεις που θα χρειαστεί να κάνουμε στις ασκή-σεις του εργαστηρίου θα είναι ευθείες. Από τις παραμέτρους της ευθείας a και βυπολογίζουμε συνήθως διάφορα μεγέθη της άσκησης άρα είναι χρήσιμο να ξέρουμενα βρίσκουμε τις παραμέτρους αυτές όταν έχουμε σχεδιάσει την ευθεία πάνω στοχιλιοστομετρικό χαρτί. Αυτό μπορεί να γίνει με δυο τρόπους

Εμπειρικός υπολογισμός

Αφού αποτυπώσουμε στο χαρτί όλα τα ζεύγη των πειραματικών τιμών θα παρα-τηρήσουμε ότι, αν και η σχέση που τα συνδέει είναι γραμμική, αυτά δεν θα πέφτουνακριβώς πάνω σε μια ευθεία επειδή το πειραματικό σφάλμα στις μετρήσεις αντανα-κλάται σε μια αβεβαιότητα στη θέση κάθε σημείου πάνω στο χαρτί. ΄Αρα υπάρχουνπάρα πολλές ευθείες που μπορούν να τα προσεγγίσουν. Εκτιμάμε με το μάτι ποιάείναι η καλύτερη (αυτή που κατανέμει πιο συμμετρικά τα σημεία ως προς τον εαυτότης) και τη χαράζουμε. Η τομή της με τον y άξονα είναι η τεταγμένη β ενώ για τονυπολογισμό της κλίσης (εφαπτομένη της γωνίας θ) αρκεί να πάρουμε ένα ορθογώνιοτρίγωνο όπως αυτό που φαίνεται στο σχήμα 2.1, να μετρήσουμε τις κάθετες πλευρέςτου και να διαιρέσουμε την απέναντι στη γωνία θ κάθετη με την προσκείμενη

a = tan θ ⇒ a =∆y

∆x=

AB

BΓ(2.2)

Παρατηρούμε ότι η κλίση που υπολογίσαμε με τον παραπάνω τρόπο έχει διαστάσεις(μονάδες δηλαδή), αφού οι ποσότητες που διαιρούμε για τον υπολογισμό της έχουνκι αυτές διαστάσεις, αυτές του κάθε άξονα!

Θεωρητικός υπολογισμός

13

Από όλες τις δυνατές ευθείες που μπορούν να προσεγγίσουν τα πειραματικάσημεία μία μόνο έχει την ιδιότητα να ελαχιστοποιεί το άθροισμα των τετραγώνων τωνκατακόρυφων αποκλίσεων των σημείων από αυτή (άρα τα κατανέμει πιο συμμετρικάαπό όλες τις άλλες). Η ευθεία αυτή λέγεται ευθεία των ελαχίστων τετραγώνων καιο προσδιορισμός της είναι καθαρά αλγεβρικός.

Σε ένα πίνακα (όπως στον 2.1 παρακάτω) καταχωρούμε τις τιμές της ανεξάρτητηςμεταβλητής xi, της εξαρτημένης yi, τα γινόμενά τους xiyi και τα τετράγωνα x2

i .

Πίνακας 2.1: Ο πίνακας ελαχίστων τετραγώνωνxi yi xiyi x2

i

x1 y1 x1y1 x21

x2 y2 x2y2 x22

x3 y3 x3y3 x23

......

......

xN yN xNyN x2N∑

xi

∑yi

∑xiyi

∑x2i

Στην τελευταία γραμμή του πίνακα καταχωρούμε το άθροισμα των στοιχείωνκάθε στήλης. Τα αθροίσματα αυτά θα τα χρησιμοποιήσουμε στον υπολογισμό τηςκλίσης που δίνεται από την εξίσωση (N είναι ο αριθμός των τιμών)

a =N

∑Ni=1 xiyi −

∑Ni=1 xi

∑Ni=1 yi

N∑N

i=1 x2i − (

∑Ni=1 xi)2

(2.3)

ενώ η τεταγμένη υπολογίζεται από τη

β = y − ax (2.4)

όπου x και y οι μέσες τιμές των αντίστοιχων ποσοτήτων και a η κλίση που υπολο-γίσαμε με την (2.3) παραπάνω.

Για να χαράξουμε στο χαρτί την ευθεία που προσδιορίσαμε αλγεβρικά χρειαζό-μαστε δυο οποιαδήποτε σημεία της. Το ένα το βρήκαμε ήδη και είναι η τεταγμένηβ, η τομή της ευθείας με τον y άξονα. Το δεύτερο μπορεί να είναι η τομή με τον xάξονα (τετμημένη) που υπολογίζεται θέτοντας

y = 0 ⇒ x = −β

a

Αλλά και δυο οποιαδήποτε τιμές x1, x2 του x άξονα μαζί με τις τιμές y1 = ax1 +β, y2 = ax2+β στον y άξονα μπορούν να δώσουν τα ζητούμενα σημεία στο επίπεδο(x1, y1), (x2, y2) για τη χάραξη της ευθείας.

14


1. Οι τιμές του πίνακα 2.2 περιγράφουν ένα μέγεθος που μεταβάλλεται γραμμικάως προς ένα άλλο. Κάντε τη γραφική απεικόνιση του μεγέθους στη δεύτερηστήλη (f → y) ως προς το μέγεθος στην πρώτη στήλη (L−1 → x). (4μονάδες)

Πίνακας 2.2: Πίνακας μετρήσεωνL−1 (m−1) f (Hz)1.54 2701.67 2951.82 3302.00 3502.22 4002.50 420

2. Είναι τα σημεία της γραφικής παράστασης διατεταγμένα σε ευθεία γραμμήόπως θα έπρεπε λόγω της γραμμικής εξάρτησης; Αν ναι φέρετε την ευθείαπου τα προσεγγίζει και υπολογίστε την κλίση της (1 μονάδα)

a = . . . . . .

Τι μονάδα μέτρησης έχει η κλίση που βρήκατε;

3. Αφού συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα ελαχίστων τετραγώνων

Πίνακας 2.3: Πίνακας ελαχίστων τετραγώνωνxi yi xiyi x2

i

1.54 2701.67 2951.82 3302.00 3502.22 4002.50 420

χρησιμοποιήστε τα αθροίσματα στην τελευταία του γραμμή για να υπολογίσετετη θεωρητική κλίση (2 μονάδες)

a′ =N

∑Ni=1 xiyi −

∑Ni=1 xi

∑Ni=1 yi

N∑N

i=1 x2i − (

∑Ni=1 xi)2

= . . . . . .

15

και την τεταγμένη της ευθείας (1 μονάδα)

β = y − a′x = . . . . . .

4. Υπολογίστε την επι τοις εκατό διαφορά των δύο κλίσεων που υπολογίσατεπρακτικά και θεωρητικά (1 μονάδα).

|a− a′|a′

× 100 = . . . . . . %

5. Σχεδιάστε την ευθεία που προκύπτει από τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώ-νων. Για το σκοπό αυτό θα χρειαστείτε δύο τυχαία σημεία (όχι πολύ κοντάμεταξύ τους) του x άξονα. Πάρτε για παράδειγμα x1 = 1.5 που δίνει

y1 = a′x1 + β = . . . . . .

και x2 = 2.0 που δίνειy2 = a′x2 + β = . . . . . .

Αποτυπώστε τα ζεύγη (x1, y1) και (x2, y2) στο χαρτί της γραφικής παράστα-σης που έχετε ήδη κάνει και ενώστε τα με μια ευθεία. (1 μονάδα) Αυτή είναι ηθεωρητική ευθεία των ελαχίστων τετραγώνων! Διαφέρει πολύ από αυτή πουείχατε σχεδιάσει εμπειρικά προηγουμένως;

16

Κεφάλαιο 3

Ηχητικοί σωλήνες

3.1 Εισαγωγή

Σε κλειστό και από τις δυο μεριές σωλήνα μπορούμε να δημιουργήσουμε στάσιμακύματα. Στα άκρα του σωλήνα τα μόρια του αέρα δεν μπορούν να κινηθούν οπότεέχουμε δεσμούς μετατόπισης. ΄Αρα κατά μήκος του σωλήνα σχηματίζεται ακέραιοςαριθμός ημιμηκών κύματος.

L = nλ

2n = 1, 2, 3, . . . (3.1)

Αν λύσουμε ως προς τη συχνότητα τη σχέση που συνδέει την ταχύτητα του ήχουμε τη συχνότητα και το μήκος κύματος

c = λf (3.2)

και αντικαταστήσουμε σ΄ αυτή το μήκος κύματος από την (3.1) παίρνουμε

fn = nc

2Ln = 1, 2, 3, . . . (3.3)

Οι συχνότητες που ορίζονται από την παραπάνω λέγονται συχνότητες συντονισμούή ιδιοσυχνότητες του κλειστού και από τις δυο μεριές ηχητικού σωλήνα 1 και ηένταση του ηχητικού κύματος είναι μεγαλύτερη σ΄ αυτές. Η συχνότητα f1 λέγεταιθεμελιώδης ενώ οι επόμενες λέγονται ανώτερες αρμονικές.

Στάσιμα κύματα μπορούν να δημιουργηθούν και σε ανοικτό από τη μια μεριάσωλήνα. Στο ανοικτό άκρο του σωλήνα τα μόρια του αέρα κινούνται ελεύθερα οπότεέχουμε κοιλία μετατόπισης. ΄Αρα κατά μήκος του σωλήνα σχηματίζεται περιττόςαριθμός τετάρτων μηκών κύματος

L = (2n− 1)λ

4n = 1, 2, 3, . . . (3.4)

1Τις ίδιες ακριβώς συχνότητες έχει και ένας ανοιχτός και από τις δυο μεριές σωλήνας.

17

Αν λύσουμε πάλι ως προς τη συχνότητα τη σχέση (3.2) και αντικαταστήσουμε σ΄αυτή το μήκος κύματος από την (3.4) παίρνουμε

fn = (2n− 1)c

4Ln = 1, 2, 3, . . . (3.5)

που μας δίνει τις συχνότητες συντονισμού του ανοικτού από τη μια μεριά σωλήνα.

3.2 ΄Ασκηση 3:Τρόποι δόνησης κλειστού σω-λήνα


Θεωρούμε ένα κλειστό και στα δύο άκρα του ηχητικό σωλήνα ο οποίος στο ένα άκροέχει μεγάφωνο που τροφοδοτείται από μεταβαλλόμενη ηλεκτρική τάση συχνότητας fκαι παράγει ήχο της ίδιας συχνότητας και στο άλλο άκρο έχει έμβολο που μπορεί ναμετακινείται μεταβάλλοντας το μήκος του σωλήνα. Το ηχητικό κύμα που παράγεταιαπό το μεγάφωνο ανακλάται στο έμβολο και το προσπίπτον με το ανακλώμενο κύμασυμβάλουν δίνοντας ένα στάσιμο κύμα.

Αν σε κάποιο άκρο του σωλήνα προσαρμόσουμε και ένα μικρόφωνο συνδεδεμένομε παλμογράφο μπορούμε να βλέπουμε για δεδομένο μήκος του σωλήνα σε ποιάσυχνότητα το σήμα στον παλμογράφο γίνεται μέγιστο. Η συχνότητα για την οποίασυμβαίνει αυτό θα είναι μια από τις συχνότητες συντονισμού, αφού γνωρίζουμε ότιτο πλάτος του στάσιμου κύματος γίνεται μέγιστο όταν ο σωλήνας ταλαντώνεται σεμια από αυτές.

Εδώ πρέπει να σημειώσουμε ότι τα ηχητικά κύματα θεωρούμενα σαν κύματαμεταβολής πίεσης βρίσκονται σε διαφορά φάσης 90◦ με τα κύματα μετατόπισης. ΄Αραοι δεσμοί μετατόπισης αντιστοιχούν σε κοιλίες πίεσης και οι κοιλίες μετατόπισηςσε δεσμούς πίεσης. Στο κλειστό άκρο λοιπόν του σωλήνα όπου η μετατόπιση είναιμηδενική (δεσμός μετατόπισης) η πίεση είναι μέγιστη (κοιλία πίεσης). Γι΄ αυτό τομικρόφωνο που είναι ευαίσθητο σε μεταβολές πίεσης τοποθετείται σε κλειστό άκρο.

Στο σχήμα 3.1 παρουσιάζονται οι τρεις πρώτοι τρόποι δόνησης ως προς τη με-ταβολή της πίεσης, του κλειστού και από τις δυο μεριές σωλήνα. Σημειώστε ότι ημόνη διαφορά με τον ανοιχτό και από τις δυο μεριές σωλήνα είναι η εναλλαγή δεσμώνκαι κοιλιών, δηλαδή στα ανοιχτά άκρα έχουμε πάντα δεσμούς πίεσης.

Οι συχνότητες συντονισμού του σωλήνα είναι πολλαπλάσια της θεμελιώδους

fn = nf1 n = 1, 2, 3 . . .

όπουf1 =

c

2L

18

n=1

n=3

n=2

Σχήμα 3.1: Μεταβολή της πίεσης στους τρόπους δόνησης κλειστού-κλειστού σω-λήνα

Μετρώντας λοιπόν τις συχνότητες συντονισμού για δεδομένο μήκος σωλήνα μπο-ρούμε να διαπιστώσουμε τη σχέση τους με τη θεμελιώδη που προβλέπει η θεωρία.

Η εξάρτηση των συχνοτήτων συντονισμού από το μήκος του σωλήνα υποδηλώνειπως η γραφική παράσταση μιας οποιασδήποτε συχνότητας συντονισμού (fn → y)συναρτήσει του αντιστρόφου μήκους του σωλήνα ( 1

L→ x) θα είναι ευθεία με κλίση

an = nc

2

Μεταβάλλοντας λοιπόν το μήκος του σωλήνα με τη μετακίνηση του εμβόλου καιμετρώντας κάθε φορά κάποια συχνότητα συντονισμού μπορούμε με μια απλή γραφικήπαράσταση να διαπιστώσουμε τη γραμμική εξάρτηση της συγκεκριμένης συχνότηταςαπό το μήκος και να υπολογίσουμε την ταχύτητα του ήχου μέσα στο σωλήνα.

3.2.2 Συνιστώσες της πειραματικής διάταξης

Για την πραγματοποίηση της άσκησης απαιτούνται τα εξής

1. ΄Ενας κλειστός ηχητικός σωλήνας με έμβολο.

2. Γεννήτρια συχνοτήτων.

3. Παλμογράφος.

4. Μεγάφωνο προσαρμοσμένο στο άκρο του σωλήνα.

19

5. Μικρόφωνο με ειδικό ενισχυτή συνδεμένο με τον παλμογράφο.


1. Να υπολογίσετε τις τιμές που δίνει η θεωρία για την θεμελιώδη συχνότητασυντονισμού

f1 =c

2L

για όλα τα μήκη L του σωλήνα που έχετε στον πίνακα των μετρήσεων και νατις καταγράψετε στη δεύτερη στήλη του πίνακα. (Πάρτε c = 340 m/s και μηνκρατήσετε δεκαδικά ψηφία) (1 μονάδα)

2. Υπολογίστε το αντίστροφο κάθε μήκους του σωλήνα και καταγράψτε το στηντρίτη στήλη του πίνακα των μετρήσεων (κρατήστε ένα μόνο δεκαδικό ψηφίο).

3. Να θέσετε σε λειτουργία τη γεννήτρια συχνοτήτων, τον παλμογράφο και τονενισχυτή του μικροφώνου. Βεβαιωθείτε ότι ο σωλήνας είναι κλειστός στοάκρο όπου βρίσκεται το μεγάφωνο. Ρυθμίσετε τη γεννήτρια να παράγει ημι-τονοειδή μορφή κύματος και τον παλμογράφο στην υποδιαίρεση 10 mV/divγια την τάση και 1 ms/div για τον χρόνο.

4. Θέσετε το έμβολο σε απόσταση 62.5 cm από το άκρο του σωλήνα με το με-γάφωνο. Ρυθμίστε τη συχνότητα στη γεννήτρια κοντά στη θεωρητική τιμήτης θεμελιώδους συχνότητας. Αυξομειώστε αργά τη συχνότητα μέχρι να πα-ρατηρήσετε στον παλμογράφο (αλλά και να ακούσετε) τον πρώτο συντονισμό.Καταγράψτε τη συχνότητα στην οποία συμβαίνει στην τέταρτη στήλη τουπίνακα των μετρήσεων.

Πίνακας 3.1: Πίνακας μετρήσεωνL (m) f1 (Hz) 1

L(m−1) f1 (Hz) f2 (Hz) f3 (Hz) f2

f1

f3f1

0.6250.5550.500.4550.417

5. Συνεχίστε να αυξάνετε την συχνότητα του παραγόμενου από τη γεννήτριαήχου μέχρι να παρατηρήσετε τον επόμενο συντονισμό. Αυτό συμβαίνει περίπουστο διπλάσιο της θεμελιώδους συχνότητας που μετρήσατε. Καταγράψτε τηδεύτερη αυτή αρμονική στην πέμπτη στήλη του πίνακα των μετρήσεων.

20

6. Συνεχίστε να αυξάνετε τη συχνότητα μέχρι να παρατηρήσετε και την τρίτηαρμονική που θα καταγράψετε στην έκτη στήλη του πίνακα. (Αυτή είναιτριπλάσια περίπου από τη θεμελιώδη που μετρήσατε)

7. Επαληθεύεται η σχέση μεταξύ των αρμονικών που προβλέπει η θεωρία; Γιανα το διαπιστώσετε συμπληρώστε τις δυο τελευταίες στήλες του πίνακα μετα πηλίκα των συχνοτήτων που μετρήσατε. Κρατήστε στα πηλίκα ένα μόνοδεκαδικό ψηφίο.

8. Επαναλάβετε την παραπάνω διαδικασία (από το βήμα 4 και κάτω) και γιατα υπόλοιπα μήκη του σωλήνα που υποδεικνύονται στην πρώτη στήλη τουπίνακα μετρήσεων (2 μονάδες). ΄Οταν τελειώσετε με τις μετρήσεις κλείστε τηγεννήτρια συχνοτήτων, τον παλμογράφο και τον ενισχυτή του μικροφώνου.

9. Σύμφωνα με τη θεωρία η σχέση μιας οποιαδήποτε συχνότητας συντονισμούμε το αντίστροφο μήκος του σωλήνα είναι γραμμική. Με τη μέθοδο τωνελαχίστων τετραγώνων (που αναπτύσεται στην ΄Ασκηση 2) να υπολογίσετετην κλίση για μια από τις συχνότητες του πίνακα των μετρήσεων που θα σαςυποδείξει ο καθηγητής σας. Πάρτε δηλάδή για yi → fn και για xi → 1

Lκαι

συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα ελαχίστων τετραγώνων χωρίς να κάνετεστρογυλλοποιήσεις. (3 μονάδες).


i

10. Υπολογίστε την κλίση της ευθείας των ελαχίστων τετραγώνων (δείτε τηνάσκηση 2 για τον τύπο της) (2 μονάδες)

an = . . . . . .

11. Από την κλίση της ευθείας που βρήκατε στο προηγούμενο βήμα να υπολογί-σετε την ταχύτητα του ήχου στον αέρα (1 μονάδα)

c = . . . . . .m/sec

12. Η ταχύτητα του ήχου στον αέρα σε θερμοκρασία δωματίου (20 ◦C) είναι 340m/sec. Υπολογίστε την επι τοις εκατό διαφορά της τιμής που βρήκατε στοπροηγούμενο βήμα με την τιμή αυτή (1 μονάδα).

21

3.3 ΄Ασκηση 6: Καμπύλη συντονισμού ηχητι-κού σωλήνα


΄Οταν σ΄ ένα ηχητικό σωλήνα ορισμένου μήκους μεταβάλλουμε τη συχνότητα τωνηχητικών κυμάτων που διαδίδονται σ΄ αυτόν υπάρχουν ορισμένες τιμές (οι χαρακτη-ριστικές συχνότητες του σωλήνα) στις οποίες το πλάτος του στάσιμου ηχητικούκύματος μέσα στο σωλήνα γίνεται μέγιστο. Το φαινόμενο αυτό ονομάζεται συν-τονισμός. Αν απεικονίσουμε το πλάτος πίεσης στο κλειστό άκρο του σωλήνα (στοοποίο η πίεση έχει κοιλία) συναρτήσει της συχνότητας η καμπύλη που θα πάρουμεέχει τη μορφή που φαίνεται στο παρακάτω σχήμα 3.2.

ffο

∆fΑ o2

Αo

Α

Σχήμα 3.2: Η μορφή της καμπύλης συντονισμού

Η συχνότητα f0 στην οποία το πλάτος παίρνει τη μέγιστή του τιμή είναι η συχνό-τητα συντονισμού, ενώ η περιοχή συχνοτήτων ∆f για τις οποίες το πλάτος παίρνειτο μισό της μέγιστης τιμής του λέγεται εύρος του συντονισμού.



1. ΄Ενας ηχητικός σωλήνας ανοικτός στό ένα άκρο.



22

4. Μεγάφωνο προσαρμοσμένο στο ανοιχτό άκρο του σωλήνα.

5. Μικρόφωνο συνδεμένο με τον παλμογράφο


1. Μετρήστε το μήκος του σωλήνα από το ανοικτό του άκρο μέχρι την πλευρικήτρύπα

L = . . . . . .m

2. Να θέσετε σε λειτουργία τη γεννήτρια συχνοτήτων, τον παλμογράφο και τομικρόφωνο. Ο παλμογράφος να είναι στην υποδιαίρεση 0.5 V/div για την τάσηκαι 1 ms/div για τον χρόνο. Βάλτε την άκρη του μικροφώνου στην πλευρικήτρύπα του σωλήνα. (Το έμβολο πρέπει να είναι αμέσως μετά από αυτή.)

Πίνακας 3.3: Πίνανας μετρήσεων

f (Hz) A (cm) f (Hz) A (cm)540 660560 670580 680600 700620 720630 740640 760650 780

3. Να μεταβάλλετε τη συχνότητα της γεννήτριας σύμφωνα με τις τιμές του πίνακατων μετρήσεων και για κάθε συχνότητα να μετράτε το πλάτος A (σε cm) τουσήματος στην οθόνη του παλμογράφου από πάνω κορυφή σε κάτω κορυφή(peak to peak) του ημιτονοειδούς σήματος. Τα αποτελέσματα των μετρήσεωννα καταχωρούνται στον πίνακα μετρήσεων. (2 μονάδες)

4. Να κάνετε τη γραφική παράσταση του πλάτους συναρτήσει της συχνότητας.Αυτή είναι η καμπύλη συντονισμού του ηχητικού σωλήνα (η μορφή της φαίνεταιστο σχήμα 3.2) (3 μονάδες)

5. Από το μέγιστο της καμπύλης συντονισμού να προσδιορίσετε τη συχνότητασυντονισμού. (1 μονάδα)

f0 = . . . . . . Hz

23

6. Ο σωλήνας της άσκησης είναι ανοιχτός στο ένα άκρο οπότε οι συχνότητεςσυντονισμού του δίνονται από την

fn = (2n− 1)c

4Ln = 1, 2, 3 . . .

Λύστε την παραπάνω σχέση ως προς n για να βρείτε σε ποιά αρμονική τουσωλήνα σύμφωνα με τη θεωρία αντιστοιχεί η συχνότητα που βρήκατε; Βάλτεfn = f0 και πάρτε την ταχύτητα του ήχου ίση με 340 m/s (2 μονάδες)

7. Από την καμπύλη συντονισμού να προσδιορίσετε το εύρος του συντονισμού,την περιοχή συχνοτήτων δηλαδή για τις οποίες το πλάτος της καμπύλης πέφτειστο μισό της μέγιστης τιμής (2 μονάδες)

∆f = . . . . . . Hz

3.4 ΄Ασκηση 7:Τρόποι δόνησης ανοιχτού σω-λήνα


Θεωρούμε ένα ηχητικό σωλήνα ο οποίος στο ανοικτό άκρο του έχει μεγάφωνο πουτροφοδοτείται από μεταβαλλόμενη ηλεκτρική τάση συχνότητας f και παράγει ήχοτης ίδιας συχνότητας και στο άλλο άκρο είναι κλειστός. Το ηχητικό κύμα πουπαράγεται από το μεγάφωνο ανακλάται στο κλειστό άκρο και το προσπίπτον με τοανακλώμενο κύμα συμβάλουν δίνοντας ένα στάσιμο κύμα.

Αν στο κλειστό άκρο προσαρμόσουμε και ένα μικρόφωνο συνδεδεμένο με παλ-μογράφο μπορούμε να βλέπουμε για δεδομένο μήκος του σωλήνα σε ποιά συχνότητατο σήμα στον παλμογράφο γίνεται μέγιστο. Η συχνότητα για την οποία συμβαίνειαυτό θα είναι μια από τις συχνότητες συντονισμού, αφού γνωρίζουμε ότι το πλάτοςτου στάσιμου κύματος γίνεται μέγιστο όταν ο σωλήνας ταλαντώνεται σε μια απόαυτές.

Εδώ πρέπει να σημειώσουμε ότι τα ηχητικά κύματα θεωρούμενα σαν κύματαμεταβολής πίεσης βρίσκονται σε διαφορά φάσης 90◦ με τα κύματα μετατόπισης. ΄Αραοι δεσμοί μετατόπισης αντιστοιχούν σε κοιλίες πίεσης και οι κοιλίες μετατόπισηςσε δεσμούς πίεσης. Στο κλειστό άκρο λοιπόν του σωλήνα όπου η μετατόπιση είναιμηδενική (δεσμός μετατόπισης) η πίεση είναι μέγιστη (κοιλία πίεσης). Γι΄ αυτό τομικρόφωνο που είναι ευαίσθητο σε μεταβολές πίεσης τοποθετείται σε κλειστό άκρο.

Στο σχήμα 3.3 παρουσιάζονται οι τρεις πρώτοι τρόποι δόνησης ως προς τη με-ταβολή της πίεσης, του κλειστού από τη μια μόνο μεριά σωλήνα. Στο ανοικτό άκροτου σωλήνα έχουμε δεσμό πίεσης.

24

n=1

n=2

n=3

Σχήμα 3.3: Μεταβολή της πίεσης στους τρόπους δόνησης ανοικτού-κλειστού σω-λήνα

Οι συχνότητες συντονισμού του σωλήνα είναι περιττά πολλαπλάσια της θεμε-λιώδους

fn = (2n− 1)f1 n = 1, 2, 3 . . .

όπουf1 =

c

4L

Μετρώντας λοιπόν τις συχνότητες συντονισμού μπορούμε να διαπιστώσουμε τη σχέ-ση τους με τη θεμελιώδη που προβλέπει η θεωρία. Η εξάρτηση των συχνοτήτωνσυντονισμού από το μήκος του σωλήνα υποδηλώνει πως η γραφική παράσταση ο-ποιασδήποτε συχνότητας (fn → y) συναρτήσει του αντιστρόφου μήκους του σωλήνα( 1L→ x) θα είναι ευθεία με κλίση

an = (2n− 1)c

4

Μεταβάλλοντας λοιπόν το μήκος του σωλήνα με τη μετακίνηση του εμβόλου καιμετρώντας κάθε φορά κάποια συχνότητα συντονισμού μπορούμε με μια απλή γραφικήπαράσταση να διαπιστώσουμε τη γραμμική εξάρτηση της συγκεκριμένης συχνότηταςαπό το μήκος και να υπολογίσουμε την ταχύτητα του ήχου μέσα στο σωλήνα.



25

1. ΄Ενας ηχητικός σωλήνας ανοικτός στο ένα άκρο.



4. Μεγάφωνο προσαρμοσμένο στο ανοιχτό άκρο του σωλήνα.

5. Μικρόφωνο με ειδικό ενισχυτή συνδεμένο με τον παλμογράφο.



L(m−1) f1 (Hz) f2 (Hz) f3 (Hz) f2

f1

f3f1

0.4550.400.3550.320.295

1. Να υπολογίσετε τις τιμές που δίνει η θεωρία για την θεμελιώδη συχνότητασυντονισμού

f1 =c

4L

για όλα τα μήκη L του σωλήνα που έχετε στον πίνακα των μετρήσεων και νατις καταγράψετε στη δεύτερη στήλη του πίνακα. (Πάρτε c = 340 m/s και μηνκρατήσετε δεκαδικά ψηφία) (1 μονάδα)

2. Υπολογίστε το αντίστροφο κάθε μήκους του σωλήνα και καταγράψτε το στηντρίτη στήλη του πίνακα των μετρήσεων (κρατήστε ένα μόνο δεκαδικό ψηφίο).

3. Να θέσετε σε λειτουργία τη γεννήτρια συχνοτήτων, τον παλμογράφο και τονενισχυτή του μικροφώνου. Βεβαιωθείτε ότι ο σωλήνας είναι ανοικτός (περίπου1 cm) στο άκρο όπου βρίσκεται το μεγάφωνο. Ρυθμίσετε τη γεννήτρια ναπαράγει ημιτονοειδή μορφή κύματος και τον παλμογράφο στην υποδιαίρεση 10mV/div για την τάση και 1 ms/div για το χρόνο.

4. Θέσετε το έμβολο σε απόσταση 45.5 cm από το ανοιχτό άκρο του σωλήνακαι φέρτε το μικρόφωνο ακριβώς δίπλα στο έμβολο. Ρυθμίστε τη συχνότη-τα στη γεννήτρια κοντά στη θεωρητική τιμή της θεμελιώδους συχνότητας.Αυξομειώστε αργά τη συχνότητα μέχρι να παρατηρήσετε στον παλμογράφο

26

(αλλά και να ακούσετε) τον πρώτο συντονισμό. Καταγράψτε τη συχνότηταστην οποία συμβαίνει στην τέταρτη στήλη του πίνακα των μετρήσεων.

5. Συνεχίστε να αυξάνετε αργά την συχνότητα του παραγόμενου από τη γεννή-τρια ήχου μέχρι να παρατηρήσετε τον επόμενο συντονισμό. Αυτό συμβαίνειπερίπου στο τριπλάσιο της θεμελιώδους συχνότητας που μετρήσατε. Κατα-γράψτε τη δεύτερη αυτή αρμονική στην πέμπτη στήλη του πίνακα των μετρή-σεων.

6. Συνεχίστε να αυξάνετε τη συχνότητα μέχρι να παρατηρήσετε και την τρίτηαρμονική που θα καταγράψετε στην έκτη στήλη του πίνακα. (Αυτή είναιπενταπλάσια περίπου από τη θεμελιώδη που μετρήσατε)


8. Επαναλάβετε την παραπάνω διαδικασία (από το βήμα 4 και κάτω) και γιατα υπόλοιπα μήκη του σωλήνα που υποδεικνύονται στην πρώτη στήλη τουπίνακα μετρήσεων (2 μονάδες). ΄Οταν τελειώσετε με τις μετρήσεις κλείστε τηγεννήτρια συχνοτήτων, τον παλμογράφο και τον ενισχυτή του μικροφώνου.

9. Σύμφωνα με τη θεωρία η σχέση μιας οποιαδήποτε συχνότητας συντονισμούμε το αντίστροφο μήκος του σωλήνα είναι γραμμική. Με τη μέθοδο τωνελαχίστων τετραγώνων (που αναπτύσεται στην ΄Ασκηση 2) να υπολογίσετετην κλίση για μια από τις συχνότητες του πίνακα των μετρήσεων που θα σαςυποδείξει ο καθηγητής σας. Πάρτε δηλάδή για yi → fn και για xi → 1

Lκαι

συμπληρώστε τον παρακάτω πίνακα ελαχίστων τετραγώνων χωρίς να κάνετεστρογυλλοποιήσεις. (3 μονάδες)


i

27

10. Υπολογίστε την κλίση της ευθείας των ελαχίστων τετραγώνων (δείτε τηνάσκηση 2 για τον τύπο της) (2 μονάδες)

an = . . . . . .

11. Από την κλίση της ευθείας που βρήκατε στο προηγούμενο βήμα να υπολογί-σετε την ταχύτητα του ήχου στον αέρα (1 μονάδα)

c = . . . . . .m/sec

12. Η ταχύτητα του ήχου στον αέρα σε θερμοκρασία δωματίου (20 ◦C) είναι 340m/sec. Υπολογίστε την επι τοις εκατό διαφορά της τιμής που βρήκατε στοπροηγούμενο βήμα με την τιμή αυτή (1 μονάδα).

28

Κεφάλαιο 4

Χορδές


Σε τεντωμένη χορδή στερεωμένη και στα δυο της άκρα μπορούμε να δημιουργήσουμεστάσιμα κύματα. Τα άκρα της χορδής δεν μπορούν να κινηθούν οπότε εκεί έχουμεδεσμούς μετατόπισης. ΄Αρα στο μήκος της χορδής σχηματίζεται ακέραιος αριθμόςημιμηκών κύματος.

L = nλ

2n = 1, 2, 3, . . . (4.1)

Στο σχήμα 4.1 παρουσιάζονται οι τρεις πρώτοι τρόποι δόνησης της χορδής

n=3

n=2

n=1

λ/2

λ/2

λ/2

Σχήμα 4.1: Τρόποι δόνησης χορδής

Αν λύσουμε ως προς τη συχνότητα τη σχέση που συνδέει την ταχύτητα του

29

ήχου με τη συχνότητα και το μήκος κύματος

c = λf (4.2)

αντικαταστήσουμε σ΄ αυτή το μήκος κύματος από την (4.1) και χρησιμοποιήσουμεκαι το γεγονός πως η ταχύτητα του ήχου σε τεντωμένη με τάση F χορδή και μεγραμμική πυκνότητα μάζας 1 µ είναι

c =

√F

µ(4.3)

παίρνουμε

fn =n

2L

√F

µn = 1, 2, 3, . . . (4.4)

Οι συχνότητες που ορίζονται από την παραπάνω λέγονται συχνότητες συντονισμούή ιδιοσυχνότητες της χορδής και η χορδή ταλαντώνεται με μεγαλύτερο πλάτος σ΄αυτές. Η συχνότητα f1 λέγεται θεμελιώδης γιατί όλες οι άλλες είναι πολλαπλάσιάτης.

4.2 ΄Ασκηση 4:Τρόποι ταλάντωσης χορδής Ι


Θεωρούμε μια μεταλλική χορδή σταθερού μήκους στερεωμένη και στα δυο της άκραη οποία μπορεί να ταλαντώνεται με τη βοήθεια των δονήσεων που προκαλούνται απόένα οδηγό τοποθετημένο κοντά στο ένα άκρο της. Στο άλλο άκρο της χορδήςμπορούμε να κρεμάμε βάρη μεταβάλλοντας έτσι την τάση στην οποία αυτή είναιτεντωμένη.

Οι συχνότητες συντονισμού τής χορδής είναι πολλαπλάσια της θεμελιώδους

fn = nf1 n = 1, 2, 3 . . .

όπου

f1 =1

2L

√F

µ

Μετρώντας λοιπόν τις συχνότητες συντονισμού για δεδομένη τάση χορδής μπορούμενα διαπιστώσουμε τη σχέση τους με τη θεμελιώδη που προβλέπει η θεωρία.

1Για χορδή μήκους L και μάζας m η γραμμική πυκνότητα είναι µ = mL

30

Η εξάρτηση των συχνοτήτων συντονισμού από την τάση της χορδής υποδηλώνειπως η γραφική παράσταση μιας οποιασδήποτε συχνότητας (fn → y) συναρτήσει τηςτετραγωνικής ρίζας της τάσης της χορδής (

√F → x) θα είναι ευθεία με κλίση

an =n

2L√µ

Μεταβάλλοντας λοιπόν την τάση της χορδής και μετρώντας κάθε φορά κάποια συ-χνότητα συντονισμού μπορούμε με μια απλή γραφική παράσταση να διαπιστώσουμετη γραμμική εξάρτηση της συγκεκριμένης συχνότητας από την τετραγωνική ρίζατης τάσης και να υπολογίσουμε τη γραμμική πυκνότητα μάζας της χορδής.



1. Μεταλλική χορδή.

2. Η βάση του σονόμετρου με δυο στηρίγματα και με μηχανισμό ανάρτησης μαζώνστο ένα της άκρο.

3. ΄Ενας οδηγός κι ένας ανιχνευτής κυμάτων.

4. Γεννήτρια συχνοτήτων συνδεδεμένη με τον οδηγό κυμάτων.

5. Παλμογράφος συνδεμένος με τον ανιχνευτή κυμάτων.

6. Διάφορες μάζες με τη βάση ανάρτησής τους.


1. Τοποθετήστε τα στηρίγματα 60 cm το ένα από το άλλο και σημειώστε τομήκος της χορδής

L = 0.6 m

Τοποθετήστε τον οδηγό κυμάτων 5 cm μακριά από το αριστερό στήριγμα καιτον ανιχνευτή στη μέση της χορδής.

2. Η θεμελιώδης συχνότητα συντονισμού της χορδής εξαρτάται από την τάσηστην οποία είναι τεντωμένη η χορδή και από την πυκνότητά της και σύμφωναμε τη θεωρία δίνεται από την

f1 =1

2L

√F

µ

31

Η γραμμική πυκνότητα μάζας που δίνει ο κατασκευαστής για τη χορδή των 14′′

που έχετε στη διάταξή σας είναι µ = 4.4 g/m και πρέπει να τη μετατρέψετεσε kg/m για να τη χρησιμοποιήσετε. Η τάση της χορδής εξαρτάται από τημάζα m που κρεμάμε στο άκρο της και δίνεται από τον τύπο

F = Nεmg

όπου Nε ο αριθμός της εγκοπής στην οποία στερεώνουμε το βάρος (αρχίζουμενα μετράμε από την πιό κοντινή στη χορδή εγκοπή) και g = 10 m/s2. Για κάθεμάζα της δεύτερης στήλης του πίνακα των μετρήσεων να υπολογίσετε την τάσητης χορδής και από αυτή τη θεωρητική τιμή της θεμελιώδους συχνότητας πουθα καταγράψετε στην τρίτη στήλη του πίνακα και την τετραγωνική ρίζα τηςτάσης που θα καταγράψετε στην τέταρτη στήλη του πίνακα και τις δυο χωρίςδεκαδικά ψηφία. (1 μονάδα)

3. Να θέσετε σε λειτουργία τη γεννήτρια συχνοτήτων και τον παλμογράφο. Ρυθ-μίσετε την πηγή να παράγει ημιτονοειδή μορφή κύματος και τον παλμογράφοστην υποδιαίρεση 5 mV/div για την τάση και 2 ms/div για το χρόνο.

4. Κρεμάστε μάζα 900 g στην πιο εσωτερική εγκοπή του μηχανισμού ανάρτη-σης. Ρυθμίστε τη συχνότητα στη γεννήτρια κοντά στη θεωρητική τιμή τηςθεμελιώδους συχνότητας. Αυξομειώστε αργά τη συχνότητα μέχρι να παρατη-ρήσετε στον παλμογράφο τον πρώτο συντονισμό. Καταγράψτε τη συχνότηταστην οποία συμβαίνει στην πέμτη στήλη του πίνακα των μετρήσεων (χωρίςδεκαδικά ψηφία).

Πίνακας 4.1: Πίνακας μετρήσεωνNε m (kg) f1 (Hz)

√F (

√N) f1 (Hz) f2 (Hz) f3 (Hz) f2

f1

f3f1

1 0.92 0.83 0.854 0.95 1

5. Για να παρατηρήσετε τον δεύτερο συντονισμό τοποθετήσετε τον ανιχνευτήστο μισό της απόστασης του μέσου της χορδής από το άκρο 2 (γιατί;) καισυνεχίστε να αυξάνετε την συχνότητα του παραγόμενου από τη γεννήτριαήχου μέχρι να παρατηρήσετε τον επόμενο συντονισμό. Αυτός συμβαίνει στοδιπλάσιο περίπου της θεμελιώδους συχνότητας που μετρήσατε. Καταγράψτετη δεύτερη αυτή αρμονική στην έκτη στήλη του πίνακα των μετρήσεων.

2Μη μετακινείτε τον ανιχνευτή προς τη μεριά του οδηγού αλλά προς την άλλη κατεύθυνση

32

6. Επαναφέρετε τον ανιχνευτή στο μέσο της χορδής και συνεχίστε να αυξάνετετη συχνότητα μέχρι να παρατηρήσετε και την τρίτη αρμονική που θα καταγρά-ψετε στην έβδομη στήλη του πίνακα. (Αυτή είναι τριπλάσια περίπου από τηθεμελιώδη που μετρήσατε)


8. Επαναλάβετε την παραπάνω διαδικασία (από το βήμα 4 και κάτω) και για τιςυπόλοιπες μάζες και εγκοπές που υποδεικνύονται στις δυο πρώτες στήλες τουπίνακα μετρήσεων (2 μονάδες). ΄Οταν τελειώσετε με τις μετρήσεις κλείστε τηγεννήτρια συχνοτήτων και τον παλμογράφο.

9. Να κάνετε τη γραφική παράσταση μιας από τις συχνότητες του πίνακα των με-τρήσεων που θα σας υποδείξει ο καθηγητής σας συναρτήσει της τετραγωνικήςρίζας της τάσης της χορδής (3 μονάδες).

10. Να υπολογίσετε την κλίση της ευθείας της γραφικής παράστασης του προη-γούμενου βήματος (1 μονάδα)

an = . . . . . .

11. Από την κλίση της ευθείας που βρήκατε στο προηγούμενο βήμα να υπολογί-σετε τη γραμμική πυκνότητα μάζας της χορδής (2 μονάδες)

µ = . . . . . . kg/m

12. Να συγκρίνετε την τιμή της γραμμικής πυκνότητας μάζας που βρήκατε με αυτήπου δίνει ο κατασκευαστής υπολογίζοντας την επί τοις εκατό διαφορά των δυοτιμών. (1 μονάδα)

4.3 ΄Ασκηση 8:Τρόποι ταλάντωσης χορδής ΙΙ


Θεωρούμε μια μεταλλική χορδή τεντωμένη σε σταθερή τάση και στερεωμένη καιστα δυο της άκρα η οποία μπορεί να ταλαντώνεται με τη βοήθεια των δονήσεων πουπροκαλούνται από ένα οδηγό τοποθετημένο κοντά στο ένα άκρο της. Τα στηρίγματαστα άκρα της χορδής μπορούν να μετακινούνται μεταβάλλοντας έτσι το μήκος της.

33

Οι συχνότητες συντονισμού τής χορδής είναι πολλαπλάσια της θεμελιώδους

fn = nf1 n = 1, 2, 3 . . .

όπου

f1 =1

2L

√F

µ

Μετρώντας λοιπόν τις συχνότητες συντονισμού για δεδομένο μήκος χορδής μπο-ρούμε να διαπιστώσουμε τη σχέση τους με τη θεμελιώδη που προβλέπει η θεωρία. Ηεξάρτηση των συχνοτήτων συντονισμού από το αντίστροφο μήκος της χορδής υπο-δηλώνει πως η γραφική παράσταση οποιασδήποτε συχνότητας (fn → y) συναρτήσειτου αντιστρόφου μήκους ( 1

L→ x) της χορδής θα είναι ευθεία με κλίση

an =n

2

√F

µ

Μεταβάλλοντας λοιπόν το μήκος της χορδής και μετρώντας κάθε φορά κάποια συ-χνότητα συντονισμού μπορούμε με μια απλή γραφική παράσταση να διαπιστώσουμετη γραμμική εξάρτηση της συγκεκριμένης συχνότητας από το αντίστροφο μήκος καινα υπολογίσουμε τη γραμμική πυκνότητα μάζας της χορδής.



1. Μεταλλική χορδή.

2. Η βάση του σονόμετρου με δυο στηρίγματα και με μηχανισμό ανάρτησης μαζώνστο ένα της άκρο.

3. ΄Ενας οδηγός κι ένας ανιχνευτής κυμάτων.

4. Γεννήτρια συχνοτήτων συνδεδεμένη με τον οδηγό κυμάτων.

5. Παλμογράφος συνδεμένος με τον ανιχνευτή κυμάτων.

6. Διάφορες μάζες με τη βάση ανάρτησής τους.


1. Κρεμάστε μάζα 1 kg στην δεύτερη εγκοπή από τη χορδή. Η μάζα αυτή δίνειτάση

F = 20 N

34

2. Για κάθε μήκος του πίνακα των μετρήσεων να υπολογίσετε τη θεωρητική τιμήτης θεμελιώδους συχνότητας

f1 =1

2L

√F

µ

Η γραμμική πυκνότητα μάζας που δίνει ο κατασκευαστής για τη χορδή των 14′′

που έχετε στη διάταξή σας είναι µ = 4.4 g/m και πρέπει να τη μετατρέψετεσε kg/m για να τη βάλετε στον παραπάνω τύπο. Καταγράψτε τις θεωρητικέςτιμές της θεμελιώδους συχνότητας που βρήκατε στη δεύτερη στήλη του πίνακατων μετρήσεων χωρίς να κρατήσετε δεκαδικά ψηφία. (1 μονάδα)

3. Να θέσετε σε λειτουργία τη γεννήτρια συχνοτήτων και τον παλμογράφο. Ρυθ-μίσετε την πηγή να παράγει ημιτονοειδή μορφή κύματος και τον παλμογράφοστην υποδιαίρεση 5 mV/div για την τάση και 2 ms/div για το χρόνο.

4. Ρυθμίστε το μήκος της χορδής στα 62 cm και τοποθετήστε τον ανιχνευτή στομέσο της χορδής (ο οδηγός πρέπει να είναι πάντοτε στα 5 cm από το αριστερόστήριγμα). Υπολογίστε το αντίστροφο μήκος και καταγράψτε το στην τρίτηστήλη του πίνακα των μετρήσεων με ένα δεκαδικό ψηφίο.

5. Ρυθμίστε τη συχνότητα στη γεννήτρια κοντά στη θεωρητική τιμή της θεμε-λιώδους συχνότητας. Αυξομειώστε αργά τη συχνότητα μέχρι να παρατηρή-σετε στον παλμογράφο τον πρώτο συντονισμό. Καταγράψτε τη συχνότηταστην οποία συμβαίνει στην τέταρτη στήλη του πίνακα των μετρήσεων (χωρίςδεκαδικά ψηφία).


L(m−1) f1 (Hz) f2 (Hz) f3 (Hz) f2

f1

f3f1

0.620.550.500.450.42

6. Για να παρατηρήσετε τον δεύτερο συντονισμό τοποθετήσετε τον ανιχνευτήστο μισό της απόστασης του μέσου της χορδής από το άκρο 3 (γιατί;) καισυνεχίστε να αυξάνετε την συχνότητα του παραγόμενου από τη γεννήτριαήχου μέχρι να παρατηρήσετε τον επόμενο συντονισμό. Αυτός συμβαίνει στοδιπλάσιο περίπου της θεμελιώδους συχνότητας που μετρήσατε. Καταγράψτετη δεύτερη αυτή αρμονική στην πέμπτη στήλη του πίνακα των μετρήσεων.

3Μη μετακινείτε τον ανιχνευτή προς τη μεριά του οδηγού αλλά προς την άλλη κατεύθυνση

35

7. Επαναφέρετε τον ανιχνευτή στο μέσο της χορδής και συνεχίστε να αυξάνετετη συχνότητα μέχρι να παρατηρήσετε και την τρίτη αρμονική που θα κατα-γράψετε στην έκτη στήλη του πίνακα. (Αυτή είναι τριπλάσια περίπου από τηθεμελιώδη που μετρήσατε)


9. Επαναλάβετε την παραπάνω διαδικασία (από το βήμα 4 και κάτω) και για ταυπόλοιπα μήκη που υποδεικνύονται στην πρώτη στήλη του πίνακα μετρήσεων(2 μονάδες). ΄Οταν τελειώσετε με τις μετρήσεις κλείστε τη γεννήτρια συχνο-τήτων και τον παλμογράφο.

10. Να κάνετε τη γραφική παράσταση μιας από τις συχνότητες του πίνακα των με-τρήσεων που θα σας υποδείξει ο καθηγητής σας συναρτήσει του αντιστρόφουμήκους (3 μονάδες).

11. Να υπολογίσετε την κλίση της ευθείας της γραφικής παράστασης του προη-γούμενου βήματος (1 μονάδα)

an = . . . . . .

12. Από την κλίση της ευθείας που βρήκατε στο προηγούμενο βήμα να υπολογί-σετε τη γραμμική πυκνότητα μάζας της χορδής (2 μονάδες)

µ = . . . . . . kg/m

13. Να συγκρίνετε την τιμή της γραμμικής πυκνότητας μάζας που βρήκατε με αυτήπου δίνει ο κατασκευαστής υπολογίζοντας την επί τοις εκατό διαφορά των δυοτιμών (1 μονάδα)

36

Κεφάλαιο 5

Σύνθεση Fourier


Κάθε περιοδική συνάρτηση μπορεί να εκφραστεί σαν άπειρο άθροισμα ημιτόνων καισυνημιτόνων. Δηλαδή για μια συνάρτηση με περίοδο T

f(t) = f(t+ T )

f(t) = a0 +∞∑n=1

(an sin 2πfnt+ bn cos 2πfnt) (5.1)

όπουfn = nf1 n = 1, 2, 3, . . . (5.2)

είναι οι συχνότητες των διαφόρων αρμονικών και f1 = 1Tη θεμελιώδης συχνότητα.

Οι συντελεστές του αναπτύγματος είναι

a0 =1

T

∫ T

0

f(t)dt (5.3)

an =2

T

∫ T

0

f(t) sin 2πfntdt (5.4)

bn =2

T

∫ T

0

f(t) cos 2πfntdt (5.5)

Μια άρτια συνάρτηση αναπτύσεται σε συνημίτονα (δηλαδή για τις άρτιες πε-ριοδικές συναρτήσεις an = 0), ενώ μια περιτή σε ημίτονα (δηλαδή για τις περιτέςπεριοδικές συναρτήσεις bn = 0).

37

5.2 ΄Ασκηση 5: Σύνθεση Fourier με συνημίτο-να


Με τη βοήθεια του συνθέτη Fourier θα προσπαθήσουμε να αναπαράγουμε τη μορφήδιαφόρων άρτιων περιοδικών παλμών με συνημίτονα. Η μορφή ενός συνημιτόνουδίνεται στο παρακάτω σχήμα.

φ=180φ=0

Σχήμα 5.1: Γραφική απεικόνηση συνημιτόνου

Ο συνθέτης Fourier φτιάχνει ένα περιοδικό παλμό χρησιμοποιώντας τις 9 πρώτεςσυνημιτονικές αρμονικές 1

f(t) = a1 · cos f1t+ a2 · cos f2t+ a3 · cos f3t+ . . .+ a9 · cos f9t

όπου an το πλάτος και n η τάξη της αρμονικής, ενώ το πρόσημο του πλάτουςκαθορίζεται από τη φάση, + για φάση 0 και - για φάση 180. Για τους παλμούς τηςάσκησης οι συνημιτονικές συνιστώσες δίνονται στον παρακάτω πίνακα.



1. Συνθέτης Fourier

2. Παλμογράφος συνδεμένος με το συνθέτη Fourier.


1. Να θέσετε σε λειτουργία το συνθέτη Fourier και τον παλμογράφο. Στονπαλμογράφο η ένδειξη στο κανάλι της τάσης πρέπει να είναι στα 0.1 Volt/divκαι η ένδειξη του χρόνου στο 0.5 ms/div.

1Παραλείπουμε για λόγους συντομίας τον παράγοντα 2π μπροστά από τις συχνότητες

38

Πίνακας 5.1: Συνημιτονικές αρμονικέςκυματομορφή τετραγωνική τριγωνική παραβολική

αρμονική πλάτος φάση πλάτος φάση πλάτος φάση1 1 0 1 0 1 02 0 0 0 0 1/4 1803 1/3 180 1/9 0 1/9 04 0 0 0 0 1/16 1805 1/5 0 1/25 0 1/25 06 0 0 0 0 1/36 1807 1/7 180 1/49 0 1/49 08 0 0 0 0 1/64 1809 1/9 0 1/81 0 1/81 0

Ο συνθέτης έχει για κάθε αρμονική 5 διακόπτες και μια υποδοχή 2

Ο πρώτος, από επάνω ξεκινώντας, διακόπτης (0-90◦) ρυθμίζει το είδος τωναρμονικών, όταν είναι στο 0 (αριστερά δηλαδή) αυτές είναι συνημίτονα ενώόταν είναι στις 90◦ αυτές είναι ημίτονα. Εδώ πρέπει να είναι στο 0 για όλεςτις αρμονικές.

Ο δεύτερος διακόπτης (0-180◦) ρυθμίζει τη φάση που καθορίζει το πρόσημοτου πλάτους της αρμονικής.

Ο τρίτος διακόπτης (variable phase) ρυθμίζει την αρχική φάση της αρμονικήςκαι θα πρέπει να είναι στο 0 για κάθε αρμονική.

Ο τέταρτος διακόπτης (amplitude) ρυθμίζει το πλάτος της αρμονικής.

Στην πέμτη θέση είναι η υποδοχή στην οποία συνδέουμε καλώδιο για να πά-ρουμε την αρμονική.

Ο πέμπτος διακόπτης (IN - OUT) ρυθμίζει αν θα μπει ή όχι η αρμονική στηντελική σύνθεση. Αρχικά πρέπει να είναι στο OUT (δεξιά) για όλες τις αρμο-νικές.

2. Πρώτα θα συνθέσετε τον τετραγωνικό παλμό. Για το σκοπό αυτό συνδέστεμε το κανάλι 1 του παλμογράφου την πρώτη αρμονική (την πρώτη στη σειρά)του συνθέτη στην πέμτη θέση υποδοχής της. Επιβεβαιώστε ότι το σήμα στονπαλμογράφο έχει τη μορφή συνημιτόνου και κανονίστε το πλάτος (από κορφήσε κορφή) του παλμού να είναι 6 τετράγωνα στην οθόνη του παλμογράφουκαι η φάση ακριβώς 0 σύμφωνα με τον πίνακα 5.1. Προσθέστε την βάζονταςτον πέμπτο διακόπτη στο IN.

2Εκτός από την πρώτη αρμονική την οποία την έχει 2 φορές και για την οποία έχει περισσότερουςδιακόπτες τους οποίους θα αγνοήσουμε.

39

3. Αποσυνδέστε την πρώτη αρμονική και συνδέστε την τρίτη (η δεύτερη όπωςφαίνεται από τον πίνακα δεν συνεισφέρει). Ρυθμίστε το πλάτος στο 1

3του

πλάτους της θεμελιώδους (δηλαδή δυο τετράγωνα στην οθόνη του παλμο-γράφου!). Μετακινήστε τη φάση κατά 180◦ έτσι ώστε να πάρει τη μορφήαρνητικού συνημιτόνου. Προσθέστε την βάζοντας τον πέμπτο διακόπτη στοIN.

4. Επαναλάβετε την προηγούμενη διαδικασία για τις επόμενες αρμονικές πουμπαίνουν στη σύνθεση (αυτές με μη μηδενικό πλάτος) ρυθμίζοντας το πλάτοςκαι τη φάση καθεμιάς σύμφωνα με τα δεδομένα του πίνακα 5.1.

5. Συνδέστε την έξοδο 10K OUTPUT του συνθέτη με τον παλμογράφο για ναπάρετε τον τετραγωνικό παλμό. Ο παλμός που φαίνεται στην οθόνη δεν είναιφυσικά τέλεια τετραγωνικός αφού κάτι τέτοιο θα χρειαζόταν άπειρο αριθμόαρμονικών. Αποτυπώστε σε χιλιοστομετρικό χαρτί την οθόνη του παλμογρά-φου. Η αποτύπωση να είναι ακριβής δηλαδή ένα τετράγωνο στην οθόνη τουπαλμογράφου να αντιστοιχεί σε ένα τετράγωνο στο χιλιοστομετρικό χαρτί.Επίσης το σχήμα του παλμού στην οθόνη να αποτυπωθεί όσο πιο πιστά γί-νεται στο χαρτί και να υποδείξετε στο σχήμα την περίοδο του παλμού. (2μονάδες)

6. Υπολογίστε την περίοδο του παλμού (δείτε την άσκηση 1 αν δεν θυμάστε πωςγίνεται αυτό) (0.5 μονάδα)

T = . . . . . . s

7. Με βάση την περίοδο που βρήκατε υπολογίστε τη συχνότητα της πρώτηςαρμονικής (0.5 μονάδα).

f1 =1

T= . . . . . .Hz

8. Συνθέστε τον τριγωνικό παλμό ακολουθώντας την ίδια διαδικασία (από τοβήμα 2 και κάτω) που ακολουθήσατε για τον τετραγωνικό και σύμφωνα με ταδεδομένα του πίνακα 5.1. Αποτυπώστε σε χιλιοστομετρικό χαρτί την οθόνητου παλμογράφου (2 μονάδες).

9. Υπολογίστε την περίοδο του παλμού (0.5 μονάδα)

T = . . . . . . s

10. Συνθέστε τον παραβολικό παλμό ακολουθώντας την ίδια διαδικασία που α-κολουθήσατε για τους δυο προηγούμενους και σύμφωνα με τα δεδομένα τουπίνακα. Αποτυπώστε σε χιλιοστομετρικό χαρτί την οθόνη του παλμογράφου(2 μονάδες).

40


T = . . . . . . s

12. Σύμφωνα με τον πίνακα 5.1 ο περιοδικός τετραγωνικός παλμός αναπτύσεταιως άθροισμα συνημιτόνων ως

f(t) = a1(1 · cos f1t−1

3· cos f3t+

1

5· cos f5t−

1

7· cos f7t+

1

9cos f9t)

όπου a1 το πλάτος της πρώτης αρμονικής.

Σύμφωνα με τα δεδομένα του πίνακα γράψτε τη μαθηματική σχέση για το συ-νημιτονικό άθροισμα του τριγωνικού και του παραβολικού παλμού (2 μονάδες).

5.3 ΄Ασκηση 9: Σύνθεση Fourier με ημίτονα


Με τη βοήθεια του συνθέτη Fourier θα προσπαθήσουμε να αναπαράγουμε τη μορφήδιαφόρων περιττών περιοδικών παλμών. 3 Η μορφή ενός ημιτόνου δίνεται στοπαρακάτω σχήμα.

φ=180φ=0

Σχήμα 5.2: Γραφική απεικόνηση ημιτόνου

Ο συνθέτης Fourier φτιάχνει ένα περιοδικό παλμό χρησιμοποιώντας τις 9 πρώτεςημιτονικές αρμονικές 4

f(t) = b1 · sin f1t+ b2 · sin f2t+ b3 · sin f3t+ . . .+ b9 · sin f9t

όπου bn το πλάτος και n η τάξη της αρμονικής, ενώ το πρόσημο του πλάτους κα-θορίζεται από τη φάση, + για φάση 0 και - για φάση 180. Για τους παλμούς τηςάσκησης οι ημιτονικές συνιστώσες δίνονται στον παρακάτω πίνακα.

3Σημειώστε ότι αν διαλέξουμε κατάλληλα την αρχή των αξόνων ο τετραγωνικός και ο τριγω-νικός παλμός μπορούν από άρτιες συναρτήσεις (οπότε αναπτύσονται με συνημίτονα όπως στηνπροηγούμενη άσκηση) να γίνουν περιττές οπότε αναπτύσονται με ημίτονα4Παραλείπουμε για λόγους συντομίας τον παράγοντα 2π μπροστά από τις συχνότητες

41

Πίνακας 5.2: Ημιτονικές αρμονικέςκυματομορφή τετραγωνική τριγωνική πριονωτή

αρμονική πλάτος φάση πλάτος φάση πλάτος φάση1 1 0 1 0 1 02 0 0 0 0 1/2 1803 1/3 0 1/9 180 1/3 04 0 0 0 0 1/4 1805 1/5 0 1/25 0 1/5 06 0 0 0 0 1/6 1807 1/7 0 1/49 180 1/7 08 0 0 0 0 1/8 1809 1/9 0 1/81 0 1/9 0



1. Συνθέτης Fourier

2. Παλμογράφος συνδεμένος με το συνθέτη Fourier.


1. Να θέσετε σε λειτουργία το συνθέτη Fourier και τον παλμογράφο. Στονπαλμογράφο η ένδειξη στο κανάλι της τάσης πρέπει να είναι στα 0.1 Volt/divκαι η ένδειξη του χρόνου στο 0.5 ms/div.

Ο συνθέτης έχει για κάθε αρμονική 5 διακόπτες και μια υποδοχή 5

Ο πρώτος, από επάνω ξεκινώντας, διακόπτης (0-90◦) ρυθμίζει το είδος τωναρμονικών, όταν είναι στο 0 (αριστερά δηλαδή) αυτές είναι συνημίτονα ενώόταν είναι στις 90◦ αυτές είναι ημίτονα. Εδώ πρέπει να είναι στο 90◦ για όλεςτις αρμονικές.

Ο δεύτερος διακόπτης (0-180◦) ρυθμίζει τη φάση που καθορίζει το πρόσημοτου πλάτους της αρμονικής.

Ο τρίτος διακόπτης (variable phase) ρυθμίζει την αρχική φάση της αρμονικήςκαι θα πρέπει να είναι στο 0 για κάθε αρμονική.

Ο τέταρτος διακόπτης (amplitude) ρυθμίζει το πλάτος της αρμονικής.

5Εκτός από την πρώτη αρμονική την οποία την έχει 2 φορές και για την οποία έχει περισσότερουςδιακόπτες τους οποίους θα αγνοήσουμε.

42

Στην πέμτη θέση είναι η υποδοχή στην οποία συνδέουμε καλώδιο για να πά-ρουμε την αρμονική.

Ο πέμπτος διακόπτης (IN - OUT) ρυθμίζει αν θα μπει ή όχι η αρμονική στηντελική σύνθεση. Αρχικά πρέπει να είναι στο OUT (δεξιά) για όλες τις αρμο-νικές.

2. Πρώτα θα συνθέσετε τον τετραγωνικό παλμό. Για το σκοπό αυτό συνδέστεμε το κανάλι 1 του παλμογράφου την πρώτη αρμονική (την πρώτη στη σειρά)του συνθέτη στην πέμτη θέση υποδοχής της. Επιβεβαιώστε ότι το σήμα στονπαλμογράφο έχει τη μορφή ημιτόνου και κανονίστε το πλάτος (από κορφή σεκορφή) του παλμού να είναι 6 τετράγωνα στην οθόνη του παλμογράφου καιη φάση ακριβώς 0 σύμφωνα με τον πίνακα 5.2. Προσθέστε την βάζοντας τονπέμπτο διακόπτη στο IN.

3. Αποσυνδέστε την πρώτη αρμονική και συνδέστε την τρίτη (η δεύτερη όπωςφαίνεται από τον πίνακα δεν συνεισφέρει). Ρυθμίστε το πλάτος στο 1

3του

πλάτους της θεμελιώδους (δηλαδή δυο τετράγωνα στην οθόνη του παλμογρά-φου!). Προσθέστε την βάζοντας τον πέμπτο διακόπτη στο IN.

4. Επαναλάβετε την προηγούμενη διαδικασία για τις επόμενες αρμονικές πουμπαίνουν στη σύνθεση (αυτές με μη μηδενικό πλάτος) ρυθμίζοντας το πλάτοςκαι τη φάση καθεμιάς σύμφωνα με τα δεδομένα του πίνακα 5.2.

5. Συνδέστε την έξοδο 10K OUTPUT του συνθέτη με τον παλμογράφο για ναπάρετε τον τετραγωνικό παλμό. Ο παλμός που φτιάχνεται δεν είναι φυσικάτέλεια τετραγωνικός αφού κάτι τέτοιο θα χρειαζόταν άπειρο αριθμό αρμονι-κών. Αποτυπώστε σε χιλιοστομετρικό χαρτί την οθόνη του παλμογράφου. Ηαποτύπωση να είναι ακριβής δηλαδή ένα τετράγωνο στην οθόνη του παλμο-γράφου να αντιστοιχεί σε ένα τετράγωνο στο χιλιοστομετρικό χαρτί. Επίσηςτο σχήμα του παλμού στην οθόνη να αποτυπωθεί όσο πιο πιστά γίνεται στοχαρτί και να υποδείξετε στο σχήμα την περίοδο του παλμού. (2 μονάδες)


T = . . . . . . s

7. Με βάση την περίοδο που βρήκατε υπολογίστε τη συχνότητα της πρώτηςαρμονικής (0.5 μονάδα)

f1 =1

T= . . . . . .Hz

8. Συνθέστε τον τριγωνικό παλμό ακολουθώντας την ίδια διαδικασία (από τοβήμα 2 και κάτω) που ακολουθήσατε για τον τετραγωνικό και σύμφωνα με ταδεδομένα του πίνακα. Αποτυπώστε σε χιλιοστομετρικό χαρτί την οθόνη τουπαλμογράφου (2 μονάδες).

43

9. Υπολογίστε την περίοδο του παλμού (δείτε την άσκηση 1 αν δεν θυμάστε πωςγίνεται αυτό) (0.5 μονάδα)

T = . . . . . . s

10. Συνθέστε τον πριονωτό παλμό ακολουθώντας την ίδια διαδικασία που ακο-λουθήσατε για τους δυο προηγούμενους και σύμφωνα με τα δεδομένα τουπίνακα. Αποτυπώστε σε χιλιοστομετρικό χαρτί την οθόνη του παλμογράφου(2 μονάδες).


T = . . . . . . s

12. Σύμφωνα με τον πίνακα 5.2 ο περιοδικός τετραγωνικός παλμός αναπτύσεταιως άθροισμα ημιτόνων ως

f(t) = b1(1 · sin f1t+1

3· sin f3t+

1

5· sin f5t+

1

7· sin f7t+

1

9· sin f9t)

όπου b1 το πλάτος της πρώτης αρμονικής.

Σύμφωνα με τα δεδομένα του πίνακα 5.2 γράψτε τη μαθηματική σχέση για τοημιτονικό άθροισμα του τριγωνικού και του πριονωτού παλμού (2 μονάδες).

44

Κεφάλαιο 6

Συμβολή και περίθλαση κυμάτων


6.1.1 Συμβολή

Η συμβολή είναι ένα συνηθισμένο φαινόμενο σε οποιαδήποτε περιοχή διαδίδονταιπερισσότερα του ενός κύματα του ίδιου είδους. Η συνολική κίνηση που προκύπτειείναι το άθροισμα των επιμέρους κινήσεων από το κάθε κύμα. Αυτή σε ένα τυχαίοσημείο εξαρτάται από τη φάση των επιμέρους κυμάτων στο σημείο αυτό, δηλαδή απότην κατάσταση που είναι το κύμα όταν φτάνει στο συγκεκριμένο σημείο. ΄Ετσι αντα κύματα που φτάνουν είναι και τα δυο στη μέγιστή θετική τους μετατόπιση τότεοι επιμέρους μετατοπίσεις προστίθενται, αν πάλι το ένα είναι στη μέγιστη θετική καιτο άλλο στη μέγιστη αρνητική μετατόπιση οι επιμέρους μετατοπίσεις αφαιρούνται.΄Ετσι αν έχουμε δυο κύματα μετατόπισης με το ίδιο πλάτος την ίδια συχνότητα καιδιαφορά φάσης φ η συνολική μετατόπιση είναι

u = u1 + u2 = A sin(ωt− kx) + A sin(ωt− kx+ φ) = 2A cosφ

2sin(ωt− kx+

φ

2)

δηλαδή παρατηρούμε ότι το συνολικό κύμα έχει τα ίδια χαρακτηρηστικά (συχνότητα,μήκος κύματος) με το αρχικό αλλά το πλάτος του

A′ = 2A cosφ

2

εξαρτάται από τη διαφορά φάσης των επιμέρους κυμάτων. Αν αυτή είναι 0 τότεA′ = 2A και τα κύματα συμβάλλουν ενισχυτικά, αν είναι π, A′ = 0 και τα κύματασυνβάλλουν αποσβεστικά.

Συνήθως τα κύματα φτάνουν σε κάποιο σημείο ακολουθώντας διαφορετικές δια-

45

δρομές. Τότε

u = u1+u2 = A sin(ωt−kx1)+A sin(ωt−kx2) = 2A cos kx1 − x2

2sin(ωt−k

x1 + x2

2)

Τα κύματα συμβάλλουν ενισχυτικά όταν

2π

λ

x1 − x2

2= mπ ⇒ ∆x = mλ, m = 0, 1, 2, 3, . . .

δηλαδή η διαφορά δρόμου είναι πολλαπλάσιο του μήκους κύματος και αποσβεστικάόταν

2π

λ

x1 − x2

2= (2m+ 1)

π

2⇒ ∆x = (2m+ 1)

λ

2, m = 0, 1, 2, 3, . . .

δηλαδή όταν η διαφορά δρόμου είναι πολλαπλάσιο του μισού μήκους κύματος.

6.1.2 Περίθλαση

Το φαινόμενο της περίθλασης εμφανίζεται κατά την διάδοση οποιουδήποτε τύπουκυμάτων όταν αυτά συναντήσουν στην πορεία τους κάποιο εμπόδιο ή κάποιο άνοιγμα.Τότε σύμφωνα με την αρχή του Huygens κάθε σημείο του εμποδίου ή του ανοίγματοςλειτουργεί σαν δευτερογενής πηγή κυμάτων τα οποία συμβάλλουν στην πορεία τουςλόγω των διαφορετικών δρόμων που ακολουθούν. Η περίθλαση είναι εντονότερηόταν το μέγεθος της σχισμής είναι της ίδιας τάξης με το μήκος κύματος.

΄Οταν μια δέσμη κυμάτων πέσει σε μια σχισμή μπορούμε να θεωρήσουμε ότιαυτή αποτελείται από πολλές ζώνες απειροστού πλάτους κάθε μια από τις οποίεςλειτουργεί σαν πηγή κυμάτων (αρχή του Huygens) που επανεκπέμπουν το κύμα.΄Ομως κύματα που φεύγουν από διαφορετικές ζώνες φτάνουν σε κάποιο παρατηρητήπίσω από τη σχισμή με διαφορά φάσης λόγω του διαφορετικού δρόμου που διανύουνόπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.

θα/2

P

O

Σχήμα 6.1: Περίθλαση σε απλή σχισμή

Εδώ για ευκολία η σχισμή έχει διαιρεθεί σε δυο τμήματα από το μέσα των οποίωνφεύγει το επανεκπεμπόμενο κύμα. ΄Ετσι άν το πλάτος της σχισμής είναι a τα κέντρα

46

των επανεκπεμπόμενων κυμάτων απέχουν κατά a2. Ας δούμε τώρα τι συμβαίνει όταν

τα κύματα από τα δυο κέντρα φτάνουν στο σημείο Ρ πίσω από την σχισμή. Αν ηοριζόντια απόσταση του Ρ από τη σχισμή είναι πολύ μεγάλη τα κύματα που ξεκινούναπό τα δυο μισά της σχισμής μπορούν να θεωρηθούν παράλληλα. Η διαφορά τουδρόμου τους είναι ∆x = a

2sin θ και για να συμβάλλουν αποσβεστικά θα πρέπει

∆x =λ

2⇒ sin θ =

λ

a

Αν χωρίσουμε την σχισμή σε τέσσερα ίσα τμήματα μπορούμε με τον ίδιο τρόπο ναδείξουμε ότι για να συμβάλλουν αποσβεστικά τα δυο ζευγάρια των κυμάτων στηγωνία θ θα πρέπει να ισχύει 1 sin θ = 2λ

a, και αν τη χωρίσουμε σε έξι θα πρέπει

sin θ = 3λaοπότε η γενική συνθήκη για ελάχιστο στη γωνία θ είναι

sin θ = mλ

am = 1, 2, . . . (6.1)

Το σημείο Ο είναι πάντοτε μέγιστο αφού τα ζεύγη των κυμάτων από συμμετρικάσημεία της σχισμής που φτάνουν εκεί έχουν το ίδιο μήκος δρόμου άρα την ίδια φάσηοπότε συμβάλλουν ενισχυτικά.

6.2 ΄Ασκηση 10:Συμβολή και περίθλαση κυμά-των


΄Οταν σε μια σχισμή πέσει ένα κύμα πίσω από αυτή θα ανιχνεύσουμε κυματικήένταση όχι μόνο στις διαστάσεις της σχισμής αλλά σε αρκετά μεγαλύτερη περιοχή.Η ένταση αυτή δεν είναι ομοιόμορφη αλλά παρουσιάζει ένα μεγάλο κεντρικό μέγιστοκαι ελάχιστα τα οποία δίνονται από την εξίσωση (6.1).

΄Οπως ξέρουμε η περίθλαση είναι εντονότερη όταν το μέγεθος της σχισμής είναιτης ίδιας τάξης με το μήκος κύματος. Οι σχισμές που έχουμε στην πειραματική μαςδιάταξη είναι πλάτους μερικών εκατοστών κι αυτός είναι ο λόγος που θα χρησιμο-ποιήσουμε μικροκύματα (υπάρχουν ηχητικά κύματα στον αέρα με μήκος κύματος 1cm;) των οποίων το μήκος κύματος είναι στην περιοχή που θέλουμε. Τα μικροκύμα-τα είναι ηλεκτρομαγνητικά κύματα (δηλαδή διαδίδονται με την ταχύτητα του φωτόςc = 3× 108 m/s) και έχουν μήκη κύματος από 12 cm έως 1 mm περίπου.

΄Οταν το ίδιο κύμα πέσει πάνω σε διπλή σχισμή η κατάσταση διαφοροποιείται λίγομε την εμφάνιση περισσοτέρων μεγίστων. Η απόσταση δυο διαδοχικών μεγίστων

1Εδώ τα κέντρα των τμημάτων απέχουν a4 άρα ∆x = a

4 sin θ

47

δίνεται από τη σχέση

∆x = λL

d(6.2)

όπου d η απόσταση των δυο σχισμών και L η απόσταση μεταξύ σχισμών και δέκτη.



1. Πομπός μικροκυμάτων

2. Ανιχνευτής μικροκυμάτων

3. Απλή και διπλή σχισμή

4. Βάση στήριξης με μετρητές γωνίας και απόστασης


1. Βεβαιωθείτε ότι ο ανιχνευτής είναι τοποθετημένος έτσι ώστε το άκρο τηςχοάνης του να βρίσκεται πάνω από την ένδειξη των 5 cm στην κλίμακα μήκουςτης βάσης. Ο ανιχνευτής να βρίσκεται σε ευθεία απέναντι από τον πομπό,δηλαδή η θέση του να είναι στο 0 της γωνιακής κλίμακας. Τοποθετήσετε τηναπλή σχισμή στο κέντρο του κύκλου της βάσης στήριξης και τον πομπό έτσιώστε η χοάνη του να εφάπτεται σ΄ αυτή.

2. Να θέσετε σε λειτουργία τον πομπό των μικροκυμάτων. Ρυθμίσετε την έντασητων εκπεμπόμενων μικροκυμάτων έτσι ώστε η ένδειξη στον ανιχνευτή να είναιστο 90 της κλίμακας.

3. Ξεκινώντας από τη θέση θ = 0◦ να στρέφετε το δέκτη κατά 5◦ μετρώντας καικαταγράφοντας στη δέυτερη στήλη του πίνακα των μετρήσεων την ένδειξήτου. (1 μονάδα)

4. Σχεδιάστε τη γραφική παράσταση I = f(θ) της έντασης του περιθλασμένουκύματος συναρτήσει της γωνίας θ. (3 μονάδες)

5. Αντικαταστήστε την απλή σχισμή με τη διπλή και τραβήξτε τον πομπό λίγοπίσω (έτσι ώστε η χοάνη του να απέχει από τη διπλή σχισμή περίπου 1 cm)και επαναλάβετε την ίδια διαδικασία μέτρησης καταγράφοντας τις μετρήσειςστην τρίτη στήλη του πίνακα μετρήσεων. (1 μονάδα)

6. Σχεδιάστε (στο ίδιο χαρτί) τη γραφική παράσταση I = f(θ) της καινούριαςέντασης του κύματος συναρτήσει της γωνίας θ. (3 μονάδες)

48

Πίνακας 6.1: Πίνακας μετρήσεωνθ (◦) ένταση

απλή σχισμή διπλή σχισμή051015202530354045505560657075808590

7. Μετρήστε στην προηγούμενη γραφική παράσταση τη γωνιακή απόσταση τωνδυο μεγίστων

θ = . . . . . .◦

8. Μετρήστε την απόσταση των δυο σχισμών από τη μέση της μιας μέχρι τημέση της άλλης

d = . . . . . . cm

9. Επειδή η απόσταση των μεγίστων είναι ∆x = L tan θ, λόγω της (6.2) έχουμεγια το μήκος κύματος

λ = d tan θ

Από την παραπάνω σχέση υπολογίστε το μήκος κύματος των μικροκυμάτων(1 μονάδα)

λ = . . . . . . cm

10. Υπολογίστε τη συχνότητα των μικροκυμάτων (1 μονάδα)

f =c

λ= . . . . . . Hz

49

ask€seic ergasthr—ou eisagwg€c sthn akoustik€...pou μ apokl—nei p‹ntote apì thn μ μ...

Documents