1

ASMA KÖPRÜLERİN TARİHSEL GELİŞİM SÜRECİ VE

ÇALIŞMA PRENSİBİ

Asma köprülerin ilk kullanılışı tarih öncesi devirlere kadar uzanır. İlk çağ insanı asma ağacı

ve bambu gibi bazı bitkilerin bükülebilir elemanlarından yaptığı kablolarla nehir, dere, vadi

gibi benzeri engellerden geçebilmeyi başarmıştır.

İlk asma köprü zincir ve ip halatlar kullanılarak Çinliler tarafından inşaa edilmiştir. Çin’de

Min nehri köprüsü ile Peru’da San Luis Rey köprüsü eski çağlara ait ilginç asma köprü

örnekleridir. Günümüzde kullanılan asma köprülerin sadece 100 yıllık bir geçmişleri vardır.

Asma köprülerin gelişimindeki en büyük etken, kuşkusuz çelik kablolardır. El ile yapılan

telleri 14.yüzyılda Avrupa’da makinede çekilen teller izlemiştir. Bügünkülere benzeyen ilk

çelik kablo ise 1834 yılında Albert isimli bir Alman tarafından geliştirilmiştir. Çelik

kabloların geliştirilmesi ve taşıyıcı sistem malzemesi olarak kullanılmaya başlamasıyla, asma

köprülerde büyük gelişmeler olmuştur.

Asma köprülerin çalışma prensibi Şekil 1’de basitçe açıklanmaya çalışılmıştır. Asma

köprülerde iki taşıyıcı kenar ayak, iki ana taşıyıcı kablo ve ana taşıyıcı kabloların bağlandığı

ankraj kütleleri bulunmaktadır. Araçların geçtiği tabliye dediğimiz yol, askı çubukları adı

verilen ve genelde düşey konumda olan kablolar yardımıyla iki ana taşıyıcı kabloya

asılmıştır.

Şekil 1. Asma Köprülerin Çalışma Prensibi

2

Asma Köprülerin Taşıyıcı Sisteminin Oluşturulması

Kablolar

Asma sistemlerde kablo terimi, bükülebilir (fleksibl) bir çekme elemanını ifade eden genel

anlamda bir terimdir. Kabloların yapımında kullanılan teller, sıcakta haddelenmiş yüksek

karbonlu çelik çubukların soğukta çekilmesi suretiyle üretilirler. Korozyona karşı

korunmalarını sağlamak için teller bir tabaka saf çinko ile kaplanarak galvanize edilirler.

Bir örnek olarak İstanbul’da yapımına 1970 yılında başlanan ve 29 Ekim 1923 tarihinde

Cumhuriyetimizin ellinci yılında hizmete giren Boğaziçi köprüsü’nün iki ana taşıyıcı

kablosunun her birinde 5 mm çapında yüksek mukavemetli galvanize 10600 adet tel

bulunmaktadır. Paralel tel grubu düzende yapılan söz konusu ana kablo 600 mm çapında bir

görünüm arz etmektedir.

Asma köprü uygulamalarında halen kablo olarak kullanılan başlıca elemanlar :

a) Tel grupları

Bir merkez tel etrafında helisel olarak sarılan bir ya da daha çok tabakalı telden oluşur.

Şekil 2. Tel Grupları

b) Çelik halatlar

Tel gruplarının bir çekirdek etrafında helisel olarak sarılmasıyla elde edilirler (Şekil 3).

Şekil 3. Çelik Halatlar

3

c) Paralel tel grupları

Tellerin helisel olarak sarılmayıp, paralle bir düzende bir araya gelmesiyle elde edilir

(Şekil 4).

Şekil 4. Paralel Tel Grupları

Ana kablolar, Şekil 5’de görüldüğü gibi yüksek mukavemetli, galvanizli, 5 mm çapında

tellerin ayaklar arasında düzenlenen bir çıkrık mekanizması kullanılarak örülmesiyle

oluşturulur.

Şekil 5. Ana Kabloların Oluşturulması

4

Örülme işleminin tamamlanmasından sonra ana kablolar uygun aralıklarla çepeçevre

sıkıştırılır ve tabliyeyi taşıyacak olan düşey kabloların bir ucu bu noktalara mesnetlenir (Şekil

6).

Şekil 6. Ana Kablonun Sıkıştırılması ve Düşey Kablonun Bağlanması

Tabliye

5

Araçların kullanacağı tabliyenin taşıyıcı sistemini kutu kesitli çelik üniteler

oluşturmaktadır. Bu üniteler güçlendirilmiş çelik levhaların, kutu kesiti meydana getirecek

şekilde birbirine kaynakla birleştirilmesi ile üretilirler. Şekil 7’de de görüldüğü gibi platformu

oluşturacak olan bu ünitelerin herbiri, sırayla su seviyesinden gerekli yüksekliğe çıkartılarak

bu seviyede daha önce kaldırılmış olan bir başka üniteye birleştirilir. Kaldırma işlemi ana

kablolar arasında düzenlenmiş gezici bir vinç yardımıyla yapılır.

Şekil 7. Tabliyenin Oluşturulması

Hiperstatik Asma Köprülerin Mukavemet Hesapları

6

Rijitlik kirişinin ortasında mafsal olmaması halinde asma köprü hiperstatik asma köprü tipini oluşturmaktadır. Bu tip asma köprülerde kabloda oluşan S çekme kuvvetinin sabit olan H yatay bileşeni hiperstatik bilinmeyen olarak seçilir ve değeri asma köprü sisteminin elastik şekil değişimi göz önüne alınarak bulunur. Şekil 8’de görüldüğü gibi bir asma köprünün, rijitlik kirişinin herhangi bir (t) kesitinde oluşacak eğilme momenti, kesme kuvveti ve eksenel kuvveti bulmak için bu (t) kesitinden asma köprüyü ikiye ayırdığımızı varsayalım (ayırma prensibi). Alınan kısımla, atılan kısmın denge şartından ve dış kuvvetlerle, kesite tesir eden iç kuvvetlerin dengede olacağı yazılırsa, Mt eğilme momenti:

M t=¿

burada ¿, açıklığı köprünün açıklığına eşit ve aynı yükler ile yüklü fiktif bir kirişin A mesnetindeki VA tepkisidir (Şekil 8). Buna göre:

¿

terimi aynı fiktif kirişin (t) kesitindeki ɱt eğilme momentidir. Bu duruma göre asma köprünün (t) kesitinde rijitlik kirişinde oluşacak Mt eğilme momenti ise:

M t=ɱt−H . y

olur. Diğer taraftan düşey eksen üzerine düşey iz düşüm alınarak kesme kuvveti bulunursa:

T t=¿

olur.

(α) kablonun (t) kesiti hizasındaki eğimidir. Burada ¿ fiktif kirişin (t) kesitindeki kesme kuvveti olup ζ ile gösterecek olursak:

T t=ζ−H . tan α olur.

7

Şekil 8.

Hiperstatik asma köprülerde önemli olan sorunlar:

1. Rijitlik kirişinin herhangi bir (t) kesitinde oluşan eğilme momenti ve kesme kuvvetinin hesabı,

2. Kabloya gelen Smax çekme kuvvetinin hesabı,

3. Askı kablolarına gelen çekme kuvvetinin hesabı,

4. Köprü ayaklarının hesabı,

5. Kabloların uçlarının ankrajı ile ilgili hesaplar,

gibi kısımlarının hesaplanmalarıdır. Bu hesaplamaların birer birer yapılması gerekmektedir.

8

Rijitlik kirişinin herhangi bir (t) kesitinde oluşan MX eğilme momenti:

M X=ɱX−¿ H . y ¿

ile hesaplanır. Burada ɱXasma köprünün üzerinde bulunan yüklerin aynısı ile yüklü ve rijitlik kirişi açıklığındaki fiktif bir kirişin aynı kesitinde oluşan eğilme momentidir. (H) kabloda oluşan çekme kuvvetinin yatay bileşenidir. (y) alınan kesit hizasındaki kablo kesitinin sehimidir (Şekil 8).

Genel olarak hareketli yüklerin moment değerini maksimum ve minimum yapan yüklenişlerinin bilinmesi mühendislik açısından özel bir önem taşıdığından, M ve T tesir hatlarının bilinmesi gerekmektedir.

Moment Tesir Hattı:

Yukarıdaki moment ifadesi:

M X

y=

ɱX

y−H

yazılırsa, görülür ki; (y) ölçeği ile MX tesir hattı ɱX/ y tesir hattı ile H tesir hattının farkları

alınarak bulunur. Yukarıdaki şekilde fiktif kirişin (t) kesiti için ɱX/ y tesir hattı çizilmiş

bulunmaktadır. Bunun için A mesnedi hizasında x/y alınır ve ɱX/ y hattı çizilir. Yalnız (t)

kesiti askı kabloları arasına rastladığı için (vasıtalı etki) konusu gereğince ɱX/ y hattı (t) kesiti hizasına gelen bölümü e1, e2 hattından oluşur. (H) tesir hattı da aşağıda etraflı olarak açıklanacağı gibi (Şekil 10) bir eğri verir. Böylece ɱX/ y tesir hattı ile H tesir hattı ordinatları

eklenirse (şekil 9) da görüldüğü gibi M X / y tesir hattı elde edilir.

9

Şekil 9.

10

H Tesir Hattının Çizimi:

Bilindiği gibi, (H) tesir hattı da köprü üzerinde 1 tonluk kuvvetin hareket etmesi halinde, her bir konumda, kabloda oluşacak eksenel kuvvetin H yatay bileşeni, kuvvetin hizasında alınmak suretiyle elde edilecek geometrik yerdir (Şekil 10). Bu duruma göre1 tonluk kuvvetin belirli bir konumunda kablo kuvvetinin H bileşeni, enerji teoreminden faydalanılarak bulunur. Şekil değişimi işi (U) ile gösterilecek olursa, rijitlik kirişinin ve kablonun yapacakları işler toplamına eşit alınarak:

U=∫0

l

¿¿¿

Burada minimum iş prensibi kullanılacak olursa ∂ U∂ h

=¿0 olacağından:

∂ U∂ H

=∫ (ɱX−H . y )E . I

. (− y ) dx+∑ NE' .N

∂ N∂ H

s=0

elde edilir.

Burada ∂ N∂ H

kabloda H=-1 yüklemesi yapıldığı zaman kabloda oluşacak kuvvettir (Şekil 10).

Bu ifadeden:

∫−ɱX . y

E . Idx+H∫

0

ly2

E . Idx+∑ N

E ' . F.

∂ N∂ H

s=0

bulunur. Burada, Maxwell resiprosite prensibi gereğince:

∫0

l ɱX . y

E . I=δm

olur. Kabloda H=-1 ton olacak şekilde bir N eksenel kuvveti oluşturması halinde rijitlik kirişinde bir (m) kesitin de oluşan düşey deplasmana eşittir. ∑ işareti kablonun bütün bölümlerini kapsamaktadır. Kablonun ankrajlara uzanan s1 ve s2 uzunlukları da alınacaktır. Burada E elastisite katsayısı kirişte ve kabloda birbirinden farklı alınmıştır.

Yukarıdaki formülde kablonun (x) mesafede alınan (m) kesitine tekabül eden bölümündeH=-1 den oluşan N kuvveti, N=H.S’ olur. Bu durumda yukarıdaki ifadenin son terimi:

11

∑ NE . F

dNdH

. S=∑ H . S '2

E' .Fs

olur. Bu yerine yazılacak olursa:

−∫0

l ɱX . y

E . Idx+H∫

0

ly2

E . Idx+H ∑ S '2

E' . F. s

bulunur.

Buradan H hesaplanacak olursa:

H=∫0

l ɱX . y

E . Idx

∫0

ly2

E . Idx+∑ S ' 2

E' . Fs

=δm

∫0

ly2

E . Idx+∑ S '2

E' . Fs

bulunur. Böylece 1 tonluk hareketli yükü (m) kesiti hizasında bulunması oluşan H kuvveti hesaplanırsa ve (m) kesiti hizasında ölçekle alınır ve 1 tonluk hareketli yükün rijitlik kirişi üzerinde her konum için oluşacak H kuvveti hesaplanır ve 1 tonun konumu hizasında alınırsa H tesir hattı elde edilmiş olur (şekil 10).

Şekil 10.

Hiperstatik Bir Asma Köprüde Sıcaklık Etkisi

12

Sıcaklığın üniform olduğunu kabul edelim. Zira sıcaklık etkisinin bir noktada veya üniform olması durumu çok özel durumlar içerdiğinden burada genel anlamda buna ihtiyaç da yoktur. αt kablo malzemesinin sıcaklık genleşme katsayısı (t) sıcaklık değişimi olmak üzere sıcaklık değişiminden oluşacak H kuvveti Ht ile gösterilirse:

H t=αt .t . S' . s

∫0

ly2

E . Ids+∑ S '2 s

E' .F

olur.

Yaklaşık Hesap Formülleri

Rijitlik kirişinin, I atalet momenti sabit alınırsa, yukarıdaki ifade;

1E . I

∫0

l

y2 dx

şeklini alır. Yukarıdaki şekle dikkat edilirse, y.dx, (dx) genişliğindeki df alanı olacağından

∫ y . df integrali de (ab) hattı altında kalan ve kablo eğrisi ile sınırlanmış alanın (ab) hattına

göre statik momentinin iki katına eşit olacağı anlaşılır. Kablo ile ab hattı arasında kalan alan (Şekil 11) de taralı olarak gösterilmiştir. Kablo eğrisi yaklaşık olarak parabol alınırsa (ab) hattı ile kablo arasında kalan alan:

F=23

f . L

olur.

Bu alanın (ab) hattına göre statik momenti için ağırlık merkezini ab hattına mesafesi olan (2/5).f ile (F) alanı ile çarpılırsa:

Statik Moment: 23

f . l .25

f = 415

f 2 .l

13

bulunur. Bunun iki katı alınır ve 1/(E.I) ile çarpılırsa:

∫0

ly2

E . Idx= 8

15.

f 2 . lE . I

elde edilir.

Şekil 11.

Diğer taraftan ∑ S '2. . sE' . F

terimi ile de hesaplanabilir. Rijitlik kirişini kabloya bağlayan

askıların uzaması ihmal edilirse:

∑ S '2 . sE ' . F

=∑ S .(sec φ)2

E' . F=∑ s . sec φ

E . F0

= lE' . F0

(1+ 16 f−2

l2 +s1 sec φ1

l+

s2 sec φ2

l )

bulunur. Burada F . cos φ=F0 olarak alınmıştır.

Bu kabul zincir şeklinde halatı olan köprülerin hesabı için uygundur. l(1+ 16 f 2

l2 ) halatın

uzunluğu ile sec φ’ların çarpımından oluşan değerlerdir. s1 ve s2 uzunluğunu içeren son iki terim kabloların ankraj yerine giden uzunluklarıdır (Şekil 11).

Eğer kablo türünde halat kullanılıyorsa:

14

∑ S '2 . sE . F '

=∑ S .(sec φ)2

E' . F=¿ l

E' .F (1+ 16 f−2

l2 +s1 sec φ1

l+

s2 sec φ2

l )= lE' . F

µ' ¿

bulunur.

(H) ifadesinde δm ile gösterilen terime gelince:

δm=∫

0

lɱ.lE . I

dx

ifadesinde 1 tonluk hareketli kuvvetin (m) kesitinin sağında bulunması halinde, (m) kesitindeki moment:

ɱ=1(l−a)

l.x

olacaktır.

Burada (a) hareketli kuvvetin sol mesnetten mesafesidir. 1 tonluk kuvvet (m) kesitinin solundaki bölgede hareket etmesi halinde (m) kesitindeki ɱ eğilme momenti:

ɱ=1 (l−a )

l(l−x )

olacaktır (Şekil 12).

Bu duruma göre parabol eğrisi alınan kabloda (m) kesiti hizasındaki (y) ordinatı, parabol denkleminden:

y= 4 f

l2. x.(l-x)

olur. δm ifadesinde ɱ ve y değerleri yazılır ve integrali hesap edilirse:

15

δ m=∫0

lɱ

E . I. y . dx=¿ 4 f

E . I . l2 [∫0

a (l−a )l

. x2 (l−x )dx+∫a

la(l−x)2

l. x . dx ]= f l2

3. E . I [( al )

4

−2( al )

3

+( al )]¿

bulunur. δ m değeri, ∫ y2

E . Idx değeri ve ∑ S '2 . s

E' . F değeri (H) ifadesinde yerine yazılırsa:

H=

58

lf [( a

l )4

−2( al )

3

+( al )]

1+ 158

.I

F0 f 2 .EE '

.ll. µ

bulunur.

Şekil 12.

Sıcaklık etkisinin de alınması halinde kabloda sıcaklık genleşme katsayısı ve (t)’de sıcaklık farkı olmak üzere:

α t . . t .∑ S' . s=¿α t . . t [∑ s . sec φ+s1 sec φ1+s2 sec φ2 ]=α t . . t [l(1+ 16 f 2

3 l2 )+s1 sec φ1+s2 sec φ2]=α t . . t . l . µ¿

olur. Bu duruma göre sıcaklık etkisinden oluşacak Ht kuvveti:

16

H t=±

158

E .α tI .l

f 2. lµ

1+ 158

If 2

EE '

ll

µ

bulunur.

Köprünün Baştan Başa q Düzgün Yayılı Yüküyle Yüklenmesi

Bu durumda 1 tonluk kuvvet için çıkardığımız H ifadesi q.dx kuvvetine göre yazılıp (0)’dan (l)’ye kadar integrali alınırsa:

H top=q l2

8 f. γ

bulunur. Burada:

γ= 1

1+158

I

F0 f 2 .

EE '

ll. µ

dir.

Bu duruma göre rijitlik kirişinin sol mesnetten (x) mesafede bulunan bir kesitinde oluşacak

Mx eğilme momenti:

M X=ɱX−H . y=q2

. x . (l−x )−q . l2

8 fγ

4 fl2 . x (l−x )

veya

M X=q2

. x (l−x )(1−γ )

olur. Burada yukarıda değeri verilmiş bulunan γ, 1’den az farklı olduğundan, tam yüklemede

Mx küçük değerde çıkar.

17

Köprünün Rijitlik Kirişi Kesitinin Moment Tesir Hattına Göre Yüklenmesi

Şekil 13’de görüldüğü gibi (-) işaretli bölgeler yüklenecek olursa minimum Mx elde edilir.

(H) hattını kuadratik bir parabol gibi alırsak, köprünün baştan aşağı (q) yükü ile yüklü olması halinde Htop ile (-) işaretli bölgelerin F1 ve F2 alanları arasında:

F1

H top

=ξ1

3

l3

ve;

F2

H top

=ξ2

3

l3

bağıntısı bulunur.

Burada Htop için yukarıda bulunan değer yazılırsa:

F1=q . ξ1

3

8. f .l. γ ve F2=

q . ξ23

8. f .l. γ

bulunur.

18

Şekil 13.

Şekildeki tesir hattı (y) ordinatı ölçek alınarak çizilirse:

M x=ɱx−H . y ifadesi M x

y=

ɱ x

y−H

şeklinde yazılarak çizim yapılırsa, minimum MX=y(F1+F2)’ye eşit olacağından:

min M x=−q . y . γ

8. f . l(ξ1

3+ξ23 )

19

olur. Buradan:

y= 4 f

l2. x (1−x)

yazılırsa:

q . y . γ8. f .l

. ξ23=q . γ

2.

ξ23

l3 . x .(1−x )

diğer taraftan:

(1−ξ2 ) : x=4 f3 γ

: y

yazılırsa:

ξ2=l−4 f3 γ

.xy=l(1− l

3 γ (l−x ))bulunur.

Bu değer yerine yazılırsa:

q . y . γ8. f .l

. ξ23=

q . x (3 γ (1−x )−1)3

54 γ 2. x2

elde edilir.

Aynı şekilde ξ1’li terim de:

q . y . γ8. f .l

. ξ13=

q ( l−x ) (3 γ . x−l )3

54 γ 2 . x2

bulunur. Bunlar min MX ifadesinde yazılırsa:

20

min. M x=−q

54 γ2 [ x (3 γ (l−x )−l )3

(l−x )2+

(l−x ) (3 γ . x−l )3

x2 ]elde edilir. maksimum MX için, köprü baştan başa q yükü ile dolu olması halinde (m) kesitinde oluşacak eğilme momenti Mtop ile gösterilirse, süper pozisyon prensibi gereğince:

max.M X=M top−min. M X

ifadesi ile hesaplanır. min.MX ‘ler her kesit için hesaplanır ve hizasında ölçek ile alınırsa, şekil 14’te görülen min.MX eğrisi elde edilir.

Şekil 14.

KAYNAKLAR

[1] A. GÜRALP, 1986, Hiperstatik Asma Köprülerin Mukavemet Hesabı, Yıldız Üniversitesi, Türkiye.

[2] http://tr.wikipedia.org/wiki/Asma_kopruler