nirengi koordinat hesapları

KONUM ÖLÇMELERİ DERS-3

Doç. Dr. Ayhan CEYLAN Yrd. Doç. Dr. İsmail ŞANLIOĞLU

S.Ü. Müh. Fak. Harita Mühendisliği Bölümü, Ölçme Tekniği A.B.D.

A Blok Oda no:306 Tel:223 1933

[email protected]

3. NİRENGİ HESAPLARI

Üçgen Hesabı Nirengi hesaplarında genellikle

üçgenin bir kenarı ile iki veya üç açısı bilinir, diğer iki kenarın hesaplanması istenir. Hesap işlemleri hazır çizelgelerde yapılır

Verilenler: a, α, β, γ İstenenler: b ve c Çözüm :

γβα sinsinsincba

== βα

sinsin

ab = γα

sinsin

ac =

da =αsin:γβ

sin.sin.

dcdb

==

Üçgen hesabı

Örnek : 94-95 kenarı a=891.233m

g

g

g

9668.86β95

1320.28γ94

9024.84α99

==

==

==

∧

∧

∧

Koordinat hesabı

Bir nirengi noktasının koordinatlarının hesabı ikinci temel ödevin iki kere tekrarlanmasıyla yapılır.

Verilenler: A(Ya, Xa), B(Yb, Xb), α, β, (AB), AP, BP

İstenenler: Yp, Xp Çözüm: AP ve BP kenarları verilmemiş ise, bu

kenarlar üçgen kenar hesabı yardımıyla hesaplanır. (AB) semti ayrıca verilmemiş ise;

ab

abXXYY)AB(tg

−−

=

βα+=

-(BA)=(BP) )AB()AP(

)BPcos(.BPXX )APcos(.APXX

)BPsin(.BPYY )APsin(.AP Y Y

bpap

bpap+=+=

+=+=

Koordinat hesabı

Bulunan bu koordinatlar, kenar hesabında üçgen açıları kapatıldığı için birbirlerini (mm mertebesinde 1mm farklı olarak) tamamen tutması gerekir. Hesaplar ekseriya hazır çizelgeler üzerinde yapılır.

Koordinat hesabı

Örnek: Verilenler

İstenenler Y99, X99

N.N. Y XA 94 54 310.568 21 660.201B 95 54 624.420 22 494.343

m110.392BP9995m749.897AP9994

==−

==−

g22.91019 (AB) 95)-(94 ==

g

g

96640.8695

13160.2894

==

==∧

∧

β

γ

Koordinat hesabı

Örnek Çözüm

ggg 51.0417928.1316022.91019 (AB) (AP) 99)-(94 =+=+== αggg 135.9437986.96640-222.91019 - (BA) (BP) 99)-(95 ==== β

NİRENGİ ŞEBEKELERİNİN KOORDİNAT HESABI Koordinatlar birinci temel ödevin tekrarı şeklinde iki yöntemle

hesaplanabilir. 1 - Her noktanın koordinatları daha önce hesaplanmış olan iki noktadan

kontrollü olarak hesaplanır

NİRENGİ ŞEBEKELERİNİN KOORDİNAT HESABI 2-Poligon hesabında olduğu gibi bir önceki noktanın koordinatları ile

semt ve kenarlardan yararlanarak (bütün noktalardan geçecek şekilde) kapalı veya dayalı poligon güzergahlarının hesabı şeklinde yapılır.

NİRENGİ ŞEBEKELERİNİN KOORDİNAT HESABI

Karışık şebekelerde kontrolü sağlamak amacıyla koordinat hesabı kısım kısım yapılır

Ana nirengi şebekelerinde noktalar arası genellikle çok uzak olduğundan, noktaları sıklaştırmak amacıyla; önden, yandan ve geriden kestirme şeklinde ölçülüp ve hesaplanan dolgu noktaları (ara ve tamamlayıcı) tesis edilir.

Önden Kestirme: Bilinen A ve B gibi iki

noktadan koordinatları hesaplanmak istenen P noktasına bakılarak α ve β açılarının ölçülmesiyle yapılan nokta tespitidir. P noktasına alet kurulabiliyorsa kontrol için γ açısı da ölçülür

ÖNDEN VE YANDAN KESTİRME

Yandan Kestirme: Bu şekilde nokta tayini önden

kestirmenin benzeridir. Aradaki fark koordinatı bilinen noktalardan birinde açının ölçülememesidir Şekle göre β ve γ açıları ölçülerek;

eşitliğinden elde edilir. Bundan sonra P noktasının koordinatı önden kestirme gibi hesaplanır.

)(200 γβα +−=



Bilinen A ve B noktaları birbirini görmüyorsa; bilinen başka iki noktaya bakılarak ϕ ve ψ açıları ölçülür


Verilenler:A,B,C ve D noktalarının koordinatları, ϕ ve ψ açıları İstenenler: Yp , Xp

Çözüm:

(AD) ve (BC) semtleri ikinci temel ödeve göre hesaplanır. Önden kestirme hesabı semt açılarına göre yapılacaksa; (AP) ve (BP) semt açıları:

Önden kestirme hesabı üçgen açılarına göre yapılacaksa;

ϕψ+=

+(BC)=(BP) )AD()AP(


(AD) ve (BC) semtleri ikinci temel ödeve göre hesaplanır Önden kestirme hesabı üçgen açılarına göre yapılacaksa; Önce, (AD), (BC) ve (AB) semt açıları ikinci temel ödeve göre

hesaplanır. α ve β açıları ise;

olduğundan bu formüllerde (AP) ve (BP) semtlerinin yukarıda bulunan eşitlikleri yerine konularak

(BP)-(BA)=)()(

βα ABAP −=

ϕβ−ψ+=α

-(BC)-(BA)=)AB()AD(


Bir önden kestirme noktasının hesabı iki bilinen noktaya göre yapılması yeterli olmasına rağmen ortalama almak suretiyle hesap inceliğini artırmak ve kontrolü sağlamak amacıyla; en az üç noktadan ve karşılıklı gözlemlerle ölçülen açılar yardımıyla yapılır.

Aşağıda şekli verilen nirengi ağında 71 nolu nirenginin koordinatlarını ortalama semtlerle kestirme yöntemiyle hesaplayınız.

DN BN Doğrultu (g) DN BN Doğrultu (g) DN BN Doğrultu (g) DN BN Doğrultu (g)

65 72 0.0000 71 65 0.0000 72 75 0.0000 75 72 0.0000

71 24.3446 72 140.9301 71 30.3218 65 338.0422

75 72.9955 75 291.4291 65 65.0457 71 380.8213

N.N Y (m) X(m)

65 28162.57 14571.36

72 29762.55 12654.47

75 27039.44 12252.65

Üçgen iç açıları toplamı α+ β+γ=200g olmalı

Ölçülerden üçgenin iç açıları

α1 42g.7791 α1 24g.3446 α1 30g.3218 β1 48g.6509 β1 34g.7239 β1 19g.1787 γ1 108g.5709 γ1 140g.9301 γ1 150g.4990 Σ 200g.0009 Σ 199g.9986 Σ 199g.9995

Açı kapanmaları dağıtıldıktan sonra üçgen iç açıları

α1 42g.7788 α1 24g.3451 α1 30g.3220

β1 48g.6506 β1 34g.7244 β1 19g.1789 γ1 108g.5706 γ1 140g.9305 γ1 150g.4991

Bilinen noktalar arasında semt ve kenar hesabı

)cos()sin()()(

)(

22

ABXX

ABYYXXYYAB

XXYYarctgAB

abababab

ab

ab

−=

−=−+−=

−−

=

m

m

m

5965.27527275

8787.24967265

4000.25767565

=−

=−

=−

67339.90)7275(72122.155)7265(71609.228)7565(

g

g

g

=−

=−

=−

Ortalama Semt Hesabı (75-71) semti 1 nolu üçgenden (75-71)=(75-65)+α1=71.49489 3 nolu üçgenden (75-71)=(75-72)-β3=71.49449 Kesin (75-71)= 71.49469

Kestirmeye ait kenar hesapları

ortalama kenar = 1799.001 m

m

m

9551.1798 3.sin3sin

72-7571-75 üçgenden nolu 3

0470.1799 1.sin1sin


==

==

αγ

βγ

71-75


ortalama kenar =1618. 5354 m

71-65

m

m

5464.1618 2.sin2sin


5243.1618 1.sin1sin


==

==

βγ

αγ


ortalama kenar = 1164.2075 m

m

m

2425.1164 3.sin3sin


1725.1164 2.sin2sin


==

==

βγ

αγ

71-72

Koordinat Hesabı

xXXABsxyYYABsy

AP

AP

∆+=−=∆∆+==∆

)cos(, )sin(*

75 ‘den koordinat hesabı

mXmx

mYmy

g

g

524.130318735.77865.12252 8735.77849469.71cos*001.1799

094.286616537.162144.27039 6537.162149469.71sin*001.1799

=+===∆

=+===∆

Koordinat Hesabı


mXmx

mYmy

g

g

524.130318356.153936.14571 8356.153906590.180cos*5354.1618

131.286615612.49857.28162 5612.49806590.180sin*5354.1618

=−=−==∆

=+===∆

xXXABsxyYYABsy

AP

AP

∆+=−=∆∆+==∆

)cos(, )sin(*

Koordinat Hesabı

xXXABsxyYYABsy

AP

AP

∆+=−=∆∆+==∆

)cos(, )sin(*


mXmx

mYmy

g

g

510.13031040.37747.12654 040.37799610.320cos*2425.1164

087.286614628.110155.29762 4628.110199610.320sin*1725.1164

=+===∆

=−=−==∆

Ortalama Koordinat

Y=28661.104 m X=13031.519 m

Ortalama kenarlar ve semtler ile önden kestirme

Örnek 1

I.üçgen 12 141.94 60 4 25.68 37 5 32.37 09 II.üçgen 12 85.95 02 5 49.37 30 8 64.67 69 III.üçgen 12 172.10 38 8 16.80 51 4 11.09 06

N.N Y X

4 47 643.090 49 830.180

5 49 522.570 51 257.710

8 50 000.000 50 000.000

Örnek 2

I.üçgen 12 141.94 60 4 25.68 37 5 32.37 09 II.üçgen 12 85.95 02 5 49.37 30 8 64.67 69 III.üçgen 12 172.10 38 8 16.80 51 4 11.09 06

N.N Y X

4 47 643.090 49 830.180

5 49 522.570 51 257.710

8 50 000.000 50 000.000

Ortalama semtlerin hesabı

(4-5)=58.64675g

(5-8)=176.90345g

(8-4)=295.42094g

ϕa1=(4-5)+25.6835g=84.33025g

ϕa2=(4-8)-11.09077g=84.33017g

ϕb1=(5-8)+49.37297g=226.27642g

ϕb2=(5-4)-32.37070g=226.27605g

ϕc1=(8-4)+16.80527g=312.22621g

ϕc2=(8-5)-64.67687g=312.22658g

ϕa=84.33021g

ϕb=226.276235g

ϕc=312.22640g

Örnek 3 D.N B.N Doğrultu

39 48 229.4913 47 247.5304 46 301.9245

46 39 0.0000 47 66.0692 48 88.0982

47 48 81.8246 46 239.4468 39 318.9835

48 46 333.3581 47 353.7090 39 372.8281

N.N Y X

39 19260.320 11819.270

46 18707.410 9961.710

48 21719.300 9652.420

Kenarların hesabı I.üçgen 47 157.6222 (15) 48 20.3509 (02) 46 22.0290 (83) Σ= 200.0021 II.üçgen 47 79.5367 46 66.0692 39 54.3941 Σ= 200.0000 III.üçgen 47 162.8411 (13.4) 39 18.0391 (93.3) 48 19.1191 (93.3) Σ= 199.9993

(46-48)=106.51459g 46-48=3027.729m

(46-39)=18.41760g 46-39=1938.102m

(39-48)=145.98496g 39-48=3277.472m

Örnek 4 I.üçgen 64 123.0619 (26) 63 29.0615 (22) 58 47.8745 (52) Σ= 199.9979 II.üçgen 64 134.2363 (62.3) 58 40.5135 (34.3) 65 25.2504 (03.4) Σ= 200.0002

III.üçgen 64 142.7018 (13.6) 65 28.7605 (00.7) 63 28.5390 (85.7) Σ= 200.0013

N.N Y X

58 10296.110 8129.480

63 8548.060 6099.220

65 12056.340 5941.900

Semtlerin hesabı

ϕa1=(63-58)+29.06220g=74.31596g

ϕa2=(63-65)-28.53857g=74.31428g

ϕb1=(58-65)+40.51323g=197.37810g

ϕb2=(58-63)-47.87520g=197.37856g

ϕc1=(65-63)+28.76007g=331.61292g

ϕc2=(65-58)-25.25014g=331.61433g

ϕa=74.31512g

ϕb=197.37833g

ϕc=331.61362g

(63-58)=45.25376g

(63-65)=102.85285g

(58-65)=156.86467g

ödev D.N B.N Doğrultu

39 48 229.4913 47 247.5304 46 301.9245

46 39 0.0000 47 66.0692 48 88.0982

47 48 81.8246 46 239.4468 39 318.9835

48 46 333.3581 47 353.7090 39 372.8281

N.N Y X

39 19260.320 11819.270

46 18707.410 9961.710

48 21719.300 9652.420

Üçgenlerin kapatılması I.üçgen 46 22.0290 (83) 48 20.3509 (02) 47 157.6222 (15) Σ= 200.0021 II.üçgen 39 54.3941 46 66.0692 47 79.5367 Σ= 200.0000 III.üçgen 48 19.1191 (93.3) 39 18.0391 (93.3) 47 162.8411 (13.4) Σ= 199.9993

Semtlerin ve kenarların hesabı

ϕa1=(46-39)+66.0692g=84.4868g

ϕa2=(46-48)-22.0283g=84.48629g

ϕb1=(39-48)+18.03933g=164.02429g

ϕb2=(39-46)-54.3941g=164.0235g

ϕc1=(48-46)+20.3502g=326.86479g

ϕc2=(48-39)-19.11933g=326.86563g

ϕa=84.48654g

ϕb=164.02390g

ϕc=326.86521g

(46-48)=106.51459g 46-48=3027.729m

(46-39)=18.41760g 46-39=1938.102m

(39-48)=145.98496g 39-48=3277.472m

2.4.3-Önden Kestirmenin Doğruluk Derecesi (Presizyonu)

Koordinat farkları; ∆Y=b.sin(AP) ∆X=b.cos(AP) b değerini sinüs teoreminden elde ederek yukarıdaki eşitliklerinde yerine koyarsak;

[ ]

[ ]A)AB(cos.Bsin.)BAsin(

cX

A)AB(sin.Bsin.)BAsin(

cY

−+

=∆

−+

=∆

elde edilir.

Hata dağılım kuralı

)y,x(fz =

2y

2y

2x

2x

2z m.fm.fm

dyyfdx

xfdz

+=

∂∂

+∂∂

=

Değişme miktarları; d∆X = dx d∆Y=dy ile gösterilirse;

Hata dağılım kuralı

A ve B ye göre toplam diferansiyel;

[ ]

[ ] [ ] dA)BAcos(A)AB(cos)BA(sin

)BAsin(.A)AB(sin.Bsin.c

dB.A)AB(cos.)BA(sin

)BAcos(.Bsin.c)BAsin(.Bcos.cdx

2

2

+−−+

+−

+−+

+−+=

[ ] [ ]dA)BA(sin

)BA(A)AB(cos.Bsin.cdBA)AB(cos)BA(sin

Asin.c 22 +++−−

+−+

=

[ ] [ ][ ]dAB)AB(cos.BsindBA)AB(cos.Asin)BA(sin

cd 2x +−−+

=

Nokta konum hatası

benzer şekilde;

[ ] [ ][ ]dAB)AB(sin.BsindBA)AB(sin.Asin)BA(sin

cd 2y +−−+

=

Hata yayılma kanunu uygulanırsa noktanın konum hatası

2r

22

22

2

2

4

22r

224

22y

2x

2p m2)Csin

cbCsin

ca(

Csincm2)BsinA(sin

CsincmmM +=+=+=

ρ+

±= r22

pm

Csin)ba(2

M

olur.

2.5. Geriden Kestirme

Koordinatları hesaplanmak istenen noktadan, koordinatları bilinen noktalara bakılarak ölçülen açılarla yapılan nokta tespitine Geriden Kestirme denir.

Geriden kestirmede noktanın koordinat hesabının yapılabilmesi için; en az koordinatları bilinen üç noktaya bakılarak açıların ölçülmesi gerekir. Ancak geriden kestirme noktası koordinatlarının kontrollü olarak hesaplanabilmesi için bu noktadan, koordinatları bilinen en az dört noktaya bakılarak bunların aralarındaki açılar ölçülmelidir.


Koordinatları bilinen noktalar A, M ve B, hesaplanması istenen nokta P ve bu noktada ölçülen açılar α ve β olsun .


Bir doğru parçasını aynı açı altında gören noktaların geometrik yeri bir daire olduğundan, MA doğrusunu α, MB doğrusunu β açısı altında gören iki dairenin kesişme noktası geriden kestirme noktasının yeridir. Bir noktanın geriden kestirme ile tespitinde teodolitin bir defa kurulması dolayısıyla kaybolan nirengi noktalarının aranması veya yeniden tesis edilmesinde, geriden kestirme tercih edilen bir yöntemdir. Bunun için aranan nirengi noktasının (Q) bulunduğu tahmin edilen yere yakın bir noktada (P) gerekli doğrultular ölçülür ve koordinatları hesaplanır. Yeni nokta ile aranan nirengi noktasının koordinatları yardımıyla doğrultu açısı (θ) ve uzaklık (s) hesaplanır .


2.5.1- Geriden Kestirmenin Grafik Çözümü

Grafik geriden kestirme, arazideki durumun büroda, pafta üzerinde yeniden oluşturulması işlemidir. Bunun için A, B, M ve C gibi noktaların bulunduğu pafta ele alınır.

P noktasında ölçülmüş olan doğrultuların aralarındaki açılar gayet dikkatli olarak bir aydınger kağıdına çizilir. Çizilen doğrultuların hangi noktalara ait olduğu doğrultular üzerine yazılır. Bu şekilde hazırlanmış olan aydınger, ilgili noktaların çizilmiş olduğu pafta üzerine konulur. Çizilmiş olan her doğrultu ait olduğu noktadan geçecek şekilde aydınger kaydırılır. Bütün doğrultuların ait oldukları noktalardan geçmeleri durumunda P noktasının bulunduğu yer kestirilen nokta olur. Bu nokta iğnelenerek pafta üzerine işaretlenir.

Bu yöntemle, gerek doğrultuların açı dairesi ile kağıda çizilmesinde elde edilecek doğruluk derecesinin az olması ve gerekse aydıngerin paftaya oturtulması sırasında yapılacak hatalar dolayısıyla iyi sonuç almak mümkün değildir. Bu bakımdan grafik yöntem, nirengi istikşafı sırasında kanavaların çiziminde kullanılabilir.

2.5.1- Geriden Kestirmenin Grafik Çözümü

2.5.2- Geriden Kestirmenin Kästner Yöntemiyle Çözümü

Verilenler: A(ya,xa) ; M(ym,xm) ; B(yb,xb) α ve β açıları, İstenen: P(yp,xp)

Koordinatları bilinen noktalar A, M, ve B , ölçülen açılar α ve β olduğuna göre P noktasının koordinatları istenmektedir. Geriden kestirmenin bu yöntemle çözümü Alman Prof. Kästner tarafından 1790 yılında aşağıdaki şekilde yapılmıştır

2.5.2- Geriden Kestirmenin Kästner Yöntemiyle Çözümü Çözüm: AM ile BM semt ve kenarları hesaplanmamış ise temel ödevler yardımıyla bu semt ve kenarlar ile bu kenarlar arasındaki açısı hesaplanır.

bm

bm

am

amxxyy

=tg(BM) ; xxyy

)AM(tg−−

−−

=

)BMcos(xx

)BMsin(yy

bBM

)AMcos(xx

)AMsin(yy

aAM

bmbm

amam

−=

−==

−=

−==

)MB()MA(γ −=


g400=ψ+ϕ+γ+β+α

γ açısı hesaplandıktan sonra;

2)(400

2γ+β+α−

=ψ+ϕ

yazılır. Buradan;

elde edilir.

Bundan başka bir de ϕ ve ψ açılarının farkının yarısı hesaplanabilirse, bu toplam ve farkların yarıları birbirleri ile bir kere toplanıp bir kere de çıkarılmasıyla ve açıları elde edilir.


2ψ−ϕ ‘nin hesabı;

AMP ve MBP üçgenlerinde sinüs teoremi uygulanırsa;

ψβ

=ϕα

= sinsin

bsinsin

as

elde edilir. Bu denklemden;

αβ=

ψϕ

sina:

sinb

sinsin

olur. Hesap işlemini kolaylaştırmak için,

µ=

ψϕ

tg1

sinsin yazılır ise;

βα=µ=

ϕψ

sinb:

sinatg

sinsin

olarak elde edilir.

(1)


αβ

=µsin.bsin.atg

formülüyle yardımcı µ açısı hesaplanır. (1) eşitliğinde pay ve paydaları birbirinden bir kere çıkarıp paylara, bir kere de toplayıp paydalara yazarsak eşitlik bozulmaz ve

ψ+ϕψ−ϕ

=µ+µ−

sinsinsinsin

tg1tg1

elde edilir. Eşitliğin sağ tarafını logaritmik hale getirir

2cos

2sin.2

2cos

2sin.2

sinsinsinsin

tg1tg1

ψ−ϕψ+ϕ

ψ+ϕψ−ϕ

=ψ+ϕψ−ϕ

=µ+µ−

2ctg

2tg

tg1tg1 ψ+ϕψ−ϕ

=µ+µ−

elde edilir.

Trigonometriden bilindiği gibi;

µ+µ−

=µ+tg1tg1)50(ctg

dir. Bu yukarıdaki eşitlikte yerine konulursa,

2ctg

2tg)50(ctg ψ+ϕψ−ϕ

=µ+

)50(ctg

2ctg

12

tg µ+ψ+ϕ

=ψ−ϕ

olur. Buradan,

)50(ctg2

tg2

tg µ+ψ+ϕ

=ψ−ϕ

Elde edilir.


Bu formülden (ϕ-ψ)/2 değeri hesaplandıktan sonra;


ψ=ψ−ϕ

−ψ+ϕ

ϕ=ψ−ϕ

+ψ+ϕ

22

22

formülleri yardımıyla ϕ ve ψ açıları hesap edilir ve

g400=ψ+ϕ+γ+β+α

formülüne göre kontrol edilir.

ϕ ve ψ açılarının hesabından sonra problem iki önden kestirme şeklini alır ve önden kestirme yöntemlerinden biriyle hesaplanır. Bunun için sırayla Sa, S, Sb kenarları

)sin(sin

bsBP

sinsin

bsinsin

asMP

)sin(sin

asAP

b

a

ψ+ββ

==

ψβ

=ϕα

==

ϕ+αα

==

(AP) ve (BP) semtleri ise;

ψ−=ϕ+=

)BM()BP()AM()AP(

formülleriyle hesaplanır.


P noktasının koordinatları A ve B noktalarından formülleriyle hesaplanır.

)BPcos(.BPxx)APcos(.APxx

)BPsin(.BPyy)APsin(.APyy

bp

ap

bp

ap

+=

+=

+=

+=


Örnek 1:

Çözüm: (19-20) = (AM) = 33g.62567 19-20 = AM= 1991.501m . (21-20) = (BM) = 312g.12645 21-20 = BM = 935.235m. γ= (20-19)-(20-21)= 121g.49923

Çözüm (ϕ+ψ) / 2 = 70g.84129 µ= 59g.21837 (ϕ-ψ) / 2 = -18g.30866. ϕ = 52g.53263. ψ = 89g.14994. KONTROL : α+β+γ+ϕ+ψ = 400g.00000

19-23 = AP = 1496.666m. 20-23 = MP = 1470.322m. 21-23 = BP = 1304.199m (19-23) = (AP) = 86g.15830 (21-23) = (BP) =222g.97650 (20-23) = (MP) = 179g.84450 Y23 = 26 423.949m Y23 = .949m X23 = 28 233.305m X23 = .305m

Örnek 2:

g400=ψ+ϕ+γ+β+α

N.N. Y X 7 12133.360 7716.440 8 10220.800 6274.780 9 11915.630 4646.880 α=123.2717g β=116.0429g (8-7)=58.87949g a=8-7=2395.051m (8-9)=148.71783g b=8-9=2350.002m γ=(8-9)-(8-7)=89.83834g

(ϕ+ψ) / 2 = 35.42353g

a

b

γ

2ψ−ϕ

‘nin hesabı;

ψβ

=ϕα

= sinsin

bsinsin

as

αβ=

ψϕ

sina:

sinb

sinsin

µ=

ψϕ

tg1

sinsin

βα=µ=

ϕψ

sinb:

sinatg

sinsin

g24219.48μαsinβsin.

baμtg =⇒=

)50(ctg2

tg2

tg µ+ψ+ϕ

=ψ−ϕ

(ϕ-ψ)/2=1.093508g

ϕ=(ϕ+ψ)/2+(ϕ-ψ)/2=36.51704g

ψ=(ϕ+ψ)/2-(ϕ-ψ)/2=34.33002g

Kontrol: ϕ+ψ+γ+α+β=400g

(7-3)=(7-8)-ϕ=224.54947g 7-3=1584.443m (9-3)=(9-8)+ψ=385.23487g 9-3=1645.531m Y3=11537.394 X3= 6248.351

2ψ−ϕ ‘nin hesabı;

Aplikasyon

Y4=12000.000 X4=5000.00 olan 4 nolu noktanın aplikasyonu için gerekli olan θ açısını ve S4 uzunluğunu hesaplayalım. (3-4)=177.40736g

θ=(3-4)-(3-7)=152.85789g

3-4=S4=1331.309m

4

θ

S 4

2.5.3- Tehlikeli Daire

A, M ve B noktaları ile P noktası aynı bir daire üzerinde ise bu daireye tehlikeli daire denir. Bu durumda MA doğrusunu α ve MB doğrusunu β açısı altında gören noktaların geometrik yerleri iki daire yerine bir daire olur. Yani P noktası bu daire üzerinde nereye hareket ederse etsin ve açıları değişmez. Bundan dolayı problemin çözümü mümkün olmaz . Geriden kestirilen noktanın tehlikeli daire üzerine düşmemesi için bu noktayı A, M ve B sabit nokta üçgeni içinde tesis etmeye çalışmalı, yani bakılacak noktaların ikisi önümüzde ise biri arka tarafımızda alınmalıdır.( En uygun durum noktanın üçgenin ağırlık merkezinde olması durumudur.)

)50(ctg2

tg2

tg

100tg2

tg

µ+ψ+ϕ

=ψ−ϕ

∞==ψ+ϕ

belirsiz .02

tg

0100ctg)5050(ctg

50= 1tgsinsin g

∞=ψ−ϕ

==+

µ=µ=ϕψ

2.6.- Birden Fazla Noktanın Birlikte Geriden Kestirilmesi

Bilinenler: A, M ve B noktalarının

koordinatları C ve D noktalarındaki α

ve β açıları İstenenler: C ve D noktalarının

koordinatları


Çözüm: Ölçülemeyen ϕ ve ψ açıları hesaplanabildiği takdirde problemi bir önden kestirme hesabı şeklinde çözmek mümkündür. Bu açıların hesabı için şu yol izlenir. ϕ ve ψ açılarının bulunması için A, M ve B noktalarının koordinatlarından elde edilen (MA) ve (MB) semtleri yardımıyla M noktasındaki iç açıların toplamı olan γ açısı hesaplanır.

n321 ......)MB()MA( γ++γ+γ+γ=−=γ


ϕ ve ψ açılarının toplamı ise; n*200g dan γ, α ve β açılarının toplamının çıkarılmasıyla elde edilir. n:üçgen sayısını göstermektedir.

ϕ ve ψ açılarının farkı da hesaplanabilirse; bu açıların toplam ve farklarının yarı değerlerini bir kere toplayıp bir kere çıkarmakla ϕ ve ψ açıları elde edilir.

).......(200nx nn2211g β+α++β+α+β+α+γ−=ψ+ϕ


.

olur.

2

ψ−ϕ ‘nin Hesabı

AMC, MCD ve MBD üçgenlerinde sinüs teoremi uygulanırsa;

ϕα

βα

=βψ

=sin

sind=b ; sinsindd ;

sinsin.ad 1

21

212

21

bu denklemleri taraf tarafa çarparsak

ϕββψαα

=sinsinsinsinsinsinxdaxdxbxdd

21

212121


sinϕ ve sinψ değerlerini eşitliğin sol tarafına alırsak

formülü yardımıyla µ açısı hesaplanır. Kästner çözümünde açıklandığı gibi;

21

21sinsinsinsin.

ba

sinsin

ββαα

=ψϕ

µ=

ψϕ

tg1

sinsin

kabul edilirse;

21

21sin.sin.asin.sin.btg

βααβ

=µ

)50(ctg.2

tg2

tg µ+ψ+ϕ

=ψ−ϕ

formülden (ϕ-ψ)/2 değeri hesaplanır.

ψ=ψ−ϕ

−ψ+ϕ

ϕ=ψ−ϕ

+ψ+ϕ

22

22


formülleriyle ϕ ve ψ açıları hesaplanır.

n21 ........,, γγγ hesap edildikten sonra

[ ] [ ] [ ] g200.n=ψ+ϕ+γ+β+α olmalıdır.

Bu kontrol yapıldıktan sonra C ve D noktalarının koordinatları önden kestirme yöntemlerinden herhangi birine göre hesaplanır. Bu şekilde toplu geriden kestirmede, kestirilen nokta sayısının 2 tane olması şart değildir. Gerekirse aynı yöntemle bir çok noktanın koordinatları birlikte hesaplanabilir.

Örnek 1:

Örnek

Örnek 2

N.N. Y X 20 27907.820 22177.750 21 29260.320 21819.270 22 30997.040 21262.530

α1= 48.6916g β1=76.9771g

α2= 59.7148g β2=38.4751g

(21-20)=316.49433 21-20=a=1399.201m (21-22)=119.74920 21-22=b=1823.775m γ=(21-20)-(21-22)=196.74513g

(ϕ+ψ)=600-[(α1+α2)+(β1+β2)+γ]=179.39627g g69814.89

2ψφ

=+

a b

c d

gg

21

21 56.81287μ 240712.1αsin.αsinβsin.βsin.

abμtg =⇒==

12

2αsinφsin

bd ;

αsin1βsin

dc ;

ψsinβsin

ca

===

ψsin.αsin.αsinφsin.βsin.βsin

ba

21

21=μtg

1βsin.βsinαsin.αsin.

ba

ψsinφsin

21

21 ==

g-37.052372

ψ-φ )μ50(gcot.2

ψφtg2

ψφtg =⇒++

=−

g

g

75051.1262

ψ-φ -2

ψφψ

64576.522

ψφ2

ψφφ

=+

=

=−

++

=

Kontrol: [αi]+[βi]+γ+ϕ+ψ=600g

a b

c d

a

c d

a

c

γ1=200-(ϕ+α1)=98.66264g

γ2=200-(α2+β1)=63.3081g

γ3=200-(ψ+β2)=34.77439g

(20-23)=(20-21)+ψ=243.24484g 20-23=1279.121m (21-23)=(21-20)-γ3=281.71994g 21-23=2248.140m (22-24)=(22-21)-ϕ=267.10344g 22-24=2633.311m (21-24)=(21-22)+γ1=218.41184g 21-24=1938.215m Y23=27104.226 X23=21182.568 Y24=28707.546 X24=19961.552

a b

c d

2.7. Çift Nokta Geriden Kestirme Hesabı (Hansen Problemi)

Bu yöntem yeni belirlenecek nokta civarında sadece iki nirengi noktası varsa, veya ancak iki nokta görülebilmesi gibi zorunluluk durumlarında veya doğrudan doğruya ölçülemeyen uzunlukların tespit edilmesinde uygulanır.

Veriler: A ve B noktalarının koordinatları

α, β, γ ve δ açıları

İstenen: N1 ve N2 nin koordinatları

Bu problemin çözüm ilkesi, geriden kestirmeye benzemektedir. Ancak iki yeni nokta sıra ile üçüncü sabit nokta olarak kabul edilmektedir. Sağlanan nokta presizyonu klasik yöntemlere göre daha azdır.

Bu çözüm yöntemi bir çok noktanın birlikte geriden kestirilmesi hesabı çözümüne benzer.

Eğer ϕ ve ψ açıları hesaplanabilirse problemi bir önden kestirme hesabı şeklinde çözmek mümkündür. Şekilden

yazılabilir. Bundan başka ;

α−=ψ+ϕ 200

ab

sinsin

=ψϕ

)sin()sin(

db

δ+γ+βδ+γ

=γ

γ+β+α=

sin)sin(

ad

Hansen Problemi

Yukarıdaki bağıntılar taraf tarafa çarpılırsa;

ψsinφsin

ab

=

γγ+β+α

δ+γ+βδ+γ

==sin

)sin(.)sin(

)sin(ab

ad.

db

yerine; ab

yazılırsa;

γδ+γ+βγ+β+αδ+γ

=ψϕ

sin).sin()sin().sin(

sinsin olur. Bu formülde;

µ=

ψϕ

tg1

sinsin

)sin().sin(sin).sin(tg

γ+β+αδ+γγδ+γ+β

=µyazılırsa;

Hansen Problemi

µ değeri hesaplandıktan sonra, Kastner yönteminde olduğu gibi;

)50(ctg2

tg2

tg µ+ψ+ϕ

=ψ−ϕ

[ ])(200 γ+β+α−−ϕ=θ

[ ])(200 δ+γ+β−+ψ=λ

ψ=ψ−ϕ

−ψ+ϕ

ϕ=ψ−ϕ

+ψ+ϕ

22

22

İle ϕ ve ψ hesaplanır. Daha sonra,

Bundan sonra N1 ve N2 noktalarının koordinatları önden kestirme olarak hesaplanır.

Hansen Problemi

Örnek

Ödev

N.N. Y X 11 5968.010 4218.540

12 7685.890 3195.550

α=63.3461g β=57.2587g γ=35.0423g δ=67.5368g

a) Yukarıdaki verilerden yararlanarak ϕ, ψ, θ ve λ açılarını hesaplayınız? b) 17 nolu noktanın koordinatlarının kontrollü olarak hesaplayınız?

c

g

g

g

46596.362

φθ

64493444.0)μ50(gcot.2

φθtg2

φθtg

44782.71μ

μtg1

)γβαsin().δγsin(γsin).δγβsin(

da.

bd

)γβαsin(γsin

da

γsina

)γβαsin(d

)δγsin()δγβsin(

bd

)δγβsin(d

)δγsin(b

μtg1

ba

φsinθsin

φsinb

θsina

32695.682

φθα200φθ

−=−

−=+

+

=

−

=

=+++

++=

++=⇒=

++

+++

=⇒++

=+

==⇒=

=+

−=+

çözüm

278.5049X469.7867Y

1862.600m17-12 216093.617)-(12 m405.19991211

2073.179m17-11 73.7528917)-(11 19290.134)1211(

200λδψ:kontrol

44001.60ψ)γβα(200ψφ

02319.72λ)δγβ(200θλ

79291.104φ

86099.31θ

17

17

g

gg

g

g

g

g

g

==

===−

===−

=++

=⇒++−=−

=⇒++−=−

=

=

Ödev

2.8.- İki Nirengi Noktası Arasına Bir Zincir Şebeke Yerleştirilmesi

Bazı durumlarda nirengi sıklaştırılması istenen bir bölgede, A ve B gibi birbirinden uzakta yalnız iki nirengi noktası bulunabilir.

2.8.1- A ve B noktaları birbirini görüyorsa

Bu durumda önce zincir şebekeyi oluşturan üçgenlerin açıları ve AB kenarı ile şebekenin bir kenarı arasındaki ϕ açısı ölçülür.

Koordinatların Hesabı:

AC uzunluğu için yaklaşık bir değer seçelim. Kenarların oranı değişince açılar değişmeyeceğinden olur. Dolayısıyla Bı noktası AB doğrusu üzerinde olur. Bu durumda AB ve ABı uzunlukları değişik olacaktır. AB uzunluğunu S, ABı uzunluğunu Sı, geçici kenarları s1

ı , s2ı , s3

ı ....... snı ve gerçek uzunlukları s1,

s2, s3 ........ sn ile gösterelim. Hesap için sırayla şu işlemler yapılır. 1) Önce sinüs teoremi yardımıyla geçici kenarlar hesaplanır. S’1=1000m seçilerek geçici kenarlar sinüs teoremi ile hesaplanır.

...sin

...sin.ss ..... ; sinsinss ;

sinsin.ss ı

..ın

1

1ı1

ı3

1

1ı1

ı2 =

γβ

=γα

=

2) A ve B noktalarının koordinatları yardımıyla (AB) semt açısı ve AB uzunluğu hesaplandıktan sonra; (AC’) başlangıç semt açısı;

İle hesaplanır. 3) ) Semtler ve geçici kenarlar yardımıyla Cı, Dı, Eı, Fı

ve diğer noktalarla Bı noktasının koordinatları poligon veya kestirme hesabı şeklinde hesaplanır.

A ve B’ geçici koordinatlar kullanılarak (AB’) geçici semt açısı ve AB’ geçici kenar hesaplanır.

ϕ−= )AB()AC( ı

)ABcos(

xx)ABsin(

yyAB aıba

ıbı −

=−

=


5) AB gerçek kenar ile AB’ geçici kenar yardımıyla ölçek katsayısı hesaplanır.

mABAB

ı =

ıii s.ms =

Gerçek kenarlar;

6) Gerçek kenarlar yardımıyla C, D, E, F ve diğer noktalar ile ayrıca kontrol olarak B noktasının koordinatları poligon veya kestirme şeklinde hesaplanır.


Örnek: βα

α

α

γγ

γ

β β

12

3

1

12

3

2 3

A

DC

B

E

sss

s s

s

s

1

53

2 7

6

4

ϕ

(AE)=(AC)+α=99.52232

(EB)=(AE)+γ1+γ2+α3±200=63.93995

3) Geçici kenarlar

.m451.1201sinsinSS

.m014.1209sinsinSS

.m745.1281sinsinSS

.m684.1110sinsinSS

.m559.1441sinsinSS

.m837.1324sinsinSS

3

3ı5

ı7

3

3ı5

ı6

2

2ı3

ı5

2

2ı3

ı4

1

1ı1

ı3

1

1ı1

ı2

=γβ

=

=γα

=

=βα

=

=βγ

=

=γα

=

=γβ

=

4) Kontrol (ABı)=82g.62338 5) AB= 3277.495m ABı=2428.515 6) m=AB/ABı=1.349588072 7) Gerçek kenarlar, ı

ii s.ms =

S1=1349.588m S2=1787.984m S3=1945.511m S4=1498.966m S5=1729.828m S6=1631.671m S7=1621.464m

Kesin koordinatlar

Yc= 20 655.136m Xc= 19 038.550m Yd=22 089.348m Xd= 19 474.363m Yb= 23 476.220m Xb = 18 614.750m Ye=22 107.994m Xe= 17 744.636m Yb= 23 476.221m Xb =18 614.751m

2.8.2- A ve B noktaları birbirlerini görmüyorsa

Bu durumda bundan önceki problemde olduğu gibi zincir şebekeyi oluşturan üçgenlerin açıları ölçülür.

Çözüm Hesap için sırayla şu işlemler yapılır. 1) Kenarlardan biri için kabul edilecek yaklaşık bir

uzunluğa göre bütün üçgen kenarları sinüs teoremiyle hesaplanır.

2) AC kenarı için kabul edilecek geçici bir semtle diğer noktalara ait geçici semtler ve bunlar kullanılarak da yeni noktaların geçici koordinatları hesaplanır.

3) Bulunan geçici koordinatlar yardımıyla ikinci temel ödeve göre AB ve ABı kenarları,

4) m=AB/AB’ ölçek katsayısı, 5) s=m.s’ göre kenarların gerçek uzunlukları, 6) Geçici koordinatlara göre (ABı) semti bulunur. 7) Her iki semt arasındaki fark; formülüne göre hesaplanır.

ı)AB()AB( −=γ

çözüm

8) kenarının gerçek semti; bu kenar için kabul edilmiş olan geçici semtin γ kadar düzeltilmesiyle elde edilir.

9) Hesaplanmış olan kesin semt ve kenarlar yardımıyla hesap tekrarlanarak yeni noktaların kesin koordinatları elde edilir.

örnek

Açılar I.üçgen II.üçgen III.üçgen IV.üçgen α 80,2281 79,7832 36,5025 44,3997 β 61,8961 69,9386 62,3222 42,9711 γ 57,8750 50,2775 101,1761 112,6276

Σ= 199.9992 (+8) 199.9993 (+7) 200,0008 (-8) 199.9984 (+16)

Açılar I.üçgen II.üçgen III.üçgen IV.üçgen

α 80,22837 79,78343 36,50223 44,40023 β 61,89637 69,93883 62,32193 42,97163 γ 57,87526 50,27774 101,17584 112,62814

Düzeltilmiş açılar

Y27=22133.36 X27=17716.44 Y40=23674.23 X40=14163.68

Çözüm

Geçici semtler ve kanarlar için (40-39)=50g ve s1’=1000m olarak seçildi

Diğer semtler; Diğer kenarlar (39-33)’=118.1648g s2’=1047.166m (33-27)’=157.47891 s3’=1206.865m s4’=902.208m s5’=1131.366m s6’=739.516m s7’=1363.003m s8’=868.769m s9’=892.905m Geçici koordinatlar; Y39=24381.337 Y33=25247.067 Y27=25785.143 X39=14870.787 X33=14616.837 X27=13934.756

(40-27)=373.94790g 40-27= 3872.516491m (Kesin) (40-27)’=106.87713g 40-27’= 2123.289875m (Geçici) γ=(40-27)-(40-27)’=267.07077g 823828455.1

27402740m ı =

−

−=

Kesin semtler ve kanarlar; Diğer semtler; Diğer kenarlar (40-39)=(40-39)’+ γ=317.07077g s1=1000*m=1823.828m (39-33)=(39-33)’+γ=385.23557g s2=s2’*m=1909.851m (33-27)=(33-27)’+ γ =24.54968 s3=s3’*m=2201.115m (40-34)=397.29914g s4= s4’*m=1645.473m

(34-28)=6.62798g s5= s5’*m=2063.418m

(28-27)=311.92154g s6= s6’*m=1348.750m s7= s7’*m=2485.884m s8=s8’*m=1584.486m s9= s9’*m=1628.506m

Çözüm Kesin koordinatlar; Y39=21915.579 Y33=21537.374 Y27=22133.361 X39=14646.894 X33=16248.313 X27=17716.440 Kontrol Y34=23593.229 Y28=23733.396 Y27=22133.361 X34=16071.813 X28=17413.259 X27=17716.440

(28-33)=(28-34)+β3=268.94991g

(33-28)=(33-39)-(α2+α3)=68.94991g

nirengi koordinat hesapları

Engineering