Prof. Enrique Mateus Nieves PhD in Advanced Mathematics

Asíntotas en una función

Etimológicamente la palabra asíntota, antiguamente llamada “asimptota”, proviene del griego asumptotos, compuesto de “a sun pipto”: a=“sin”; sun = “Juntamente con” y pipto: “tocar” lo que significa que sumpipto equivale a “encontrarse, reunirse” y por tanto, el termino viene a significar “sin encontrarse, sin reunirse sin tocarse”. De esta manera en el estudio de las funciones se llama asíntota a una línea recta hacia la que se aproxima infinitamente la gráfica de la función, tanto como queramos sin llegar a tocarla.

Definición del concepto de asíntota:

Dada una función xf y cuya gráfica es la curva se dice que la recta b es

una asíntota de xf si la curva se acerca a b indefinidamente sin llegar a coincidir con la

propia b .

Teniendo en cuenta que una asíntota es, en particular, una recta, vamos a distinguir tres tipos de

asíntotas:

Asíntotas horizontales

Asíntotas verticales

Asíntotas oblicuas

Asíntotas horizontales

Las asíntotas horizontales de una función son rectas horizontales de la forma ay . Una

función puede tener a lo sumo dos asíntotas horizontales: una por la izquierda (cuando )

y otra por la derecha (cuando ). Se calculan de la siguiente forma:

Si axflim - x

, entonces a y es una asíntota horizontal para xf (por la izquierda).

Si bxflim x

, entonces b y es una asíntota horizontal para xf (por la derecha).

Prof. Enrique Mateus Nieves PhD in Advanced Mathematics

Por tanto podemos encontrarnos los siguientes casos:

i. Funciones que no tienen asíntotas horizontales

Por ejemplo, 3xxf cumple que los dos límites expuestos anteriormente dan como

resultado - y respectivamente. Vemos su gráfica:

ii. Funciones que tienen una asíntota horizontal que lo es sólo por un lado

Como ejemplo tenemos la función .exfx

En este caso el 0xflim - x

, por lo que

0y es una asíntota horizontal de xf por la izquierda, y xflim x

, por lo que

por la derecha no tenemos asíntota horizontal. Vemos su gráfica junto a su asíntota (en

azul):

Prof. Enrique Mateus Nieves PhD in Advanced Mathematics

iii. Funciones que tienen una asíntota horizontal que lo es por los dos lados

Por ejemplo, 1x

xxf

. En este caso, 1xflimxflim

x - x

, por lo que la

recta 1y es asíntota horizontal de xf tanto por la izquierda como por la derecha.

Vemos su gráfica junto a su asíntota (en negro):

iv. Funciones que tienen dos asíntotas horizontales distintas

Por ejemplo x arctanxf cumple que ,xflim2

- x

por lo que 2

y

es asíntota

horizontal de xf por la izquierda y ,xflim2

x

por lo que 2

y

es asíntota horizontal

de xf por la derecha. Veamos su gráfica junto a sus dos asíntotas (en negro) en la

siguiente imagen:

Prof. Enrique Mateus Nieves PhD in Advanced Mathematics

Asíntotas verticales de una función

Son rectas verticales de la forma kx . Son rectas paralelas al eje Y del plano cartesiano. No hay

restricciones en cuanto al número de asíntotas verticales que puede tener una función: hay

funciones que no tienen asíntotas verticales, funciones que tienen sólo una, funciones que tienen

dos y hasta funciones que tienen infinitas. Se calculan de la siguiente forma:

Si , xflim

k x

entonces kx es asíntota vertical para xf (por la izquierda de la

misma si el límite ha dado y por la derecha si el límite ha dado ).

Si , xflim

k x

entonces kx es asíntota vertical para xf (por la izquierda de la

misma si el límite ha dado y por la derecha si el límite ha dado ).

Una de las conclusiones que se pueden sacar a partir de estas deducciones es la siguiente: en las

asíntotas horizontales planteamos siempre los mismos límites y el resultado es el que nos dice sin

existen o no; sin embargo en las verticales nosotros tenemos que aportar los valores de

k para los cuales calcular los límites. Evidentemente debemos aportar puntos para los cuales

sea factible la existencia de asíntota vertical (no es demasiado aconsejable probar con valores al

azar).

Los valores candidatos a existencia de asíntota vertical:

1. Valores que anulan algún denominador de la función. Por ejemplo, para

1x

xxf

que analizamos anteriormente tenemos un candidato a asíntota vertical en el

punto 1x .

2. Extremos de intervalos del dominio que no pertenezcan al propio dominio.

Por ejemplo, el dominio de x ln xxf es el intervalo ,0 . Por tanto, 0x es un

candidato a asíntota vertical para esta función.

Nota. En términos generales, lo primero que debemos hacer cuando tengamos que calcular las

asíntotas de una función es calcular su dominio (fundamental para cualquier cálculo relacionado

con la gráfica de una función) e igualar a cero todos los denominadores que aparezcan en la

misma para recopilar todos los candidatos.

Prof. Enrique Mateus Nieves PhD in Advanced Mathematics

Veamos algunos casos que pueden darse:

1. Funciones que no tienen asíntotas verticales

Por ejemplo x senxf no tiene asíntotas verticales (su dominio es y no hay

denominadores):

2. Funciones que tienen una asíntota vertical por los dos lados

Para este caso tenemos el ejemplo: 1x

xxf

tiene un candidato a asíntota vertical en

1x (anula el denominador). Si calculamos los límites laterales obtenemos los siguientes

resultados:

, xflim

1 - x

xflim

1 - x

Por lo tanto la recta 1x es una asíntota vertical para xf por los dos lados. Lo vemos

en su gráfica (la asíntota es la recta de color negro):

Prof. Enrique Mateus Nieves PhD in Advanced Mathematics

3. Funciones que tienen una asíntota vertical sólo por un lado

Por ejemplo x

exf

x1

tiene un candidato a asíntota vertical en 0x (anula los dos

denominadores que tiene la función). Calculamos los límites:

,0xflim

0 x

xflim

0 x

Por tanto la recta 0x es una asíntota vertical para xf sólo por el lado derecho de la

recta (por el lado por el que el límite correspondiente da ). Vemos la gráfica de la

función a la izquierda y a la derecha de 0x

Por la izquierda por la derecha

La grafica general

Prof. Enrique Mateus Nieves PhD in Advanced Mathematics

4. Funciones que tienen infinitas asíntotas verticales

Hemos comentado antes que una función puede tener cualquier número de asíntotas

verticales. El caso posiblemente más curioso es el de una función que tenga infinitas

asíntotas de este tipo. El ejemplo más conocido es el de la función

trigonométrica x tanxf . La razón es la siguiente: Como x cos

x sen x tanxf tenemos que

los candidatos a asíntota vertical de esta función son los valores que anulen el

denominador. Por otra parte, la ecuación 0 x cos tiene infinitas soluciones, en concreto

todos los números de la forma

n2

con .

Se puede comprobar de forma sencilla (con los límites anteriores) que xf tiene una

asíntota vertical en cada uno de esos puntos, por lo que xf tiene infinitas asíntotas

verticales. Lo vemos en su gráfica (las asíntotas en líneas punteadas en cada número

entero):

Asíntotas oblicuas de una función

Son rectas oblicuas, es decir, rectas de la forma . n x my Una función puede tener, como

máximo, dos asíntotas oblicuas distintas (una por la izquierda de su gráfica y otra por la derecha

de la misma). El cálculo de las mismas se realiza así:

Prof. Enrique Mateus Nieves PhD in Advanced Mathematics

Asíntota oblicua por la izquierda

x

xflimm

- x

Si m da un resultado distinto de y procedemos con el cálculo

de n de esta forma: x mxf limn - x

Si n da como resultado un número real (es decir, ese límite no vale ni ni ),

entonces la recta n x my es una asíntota oblicua para xf por la izquierda.

Asíntota oblicua por la derecha

x

xflimm

x

Si m da un resultado distinto de 0 y prodecemos con el cálculo

de n de esta forma: x mxf limn- x

Si n da como resultado un número real (es decir, ese límite no vale ni ni ),

entonces la recta n x my es una asíntota oblicua para xf por la derecha.

De ahí que podemos encontrarnos entonces los siguientes casos:

1. Funciones que no tienen asíntotas oblicuas

Por ejemplo, la función 2xxf no tiene asíntotas oblicuas ya que al calcular m tanto por

la izquierda como por la derecha obtenemos m . Su gráfica es la parábola que solemos

encontrar con frecuencia:

Prof. Enrique Mateus Nieves PhD in Advanced Mathematics

2. Funciones que tienen una asíntota oblicua por los dos lados

Por ejemplo, la función 2x

xxf

2

tiene una única asíntota oblicua, que además lo es por

los dos lados. Veamos cuál es exactamente dicha asíntota:

12x

xlimm

2

- x

2 x1xflimn - x

Por tanto la asíntota oblicua por la izquierda es 2 x y .

Si realizamos los cálculos cuando x el resultado es el mismo. Por tanto la

recta 2 x y es asíntota oblicua de la función por los dos lados. Lo vemos en la siguiente

gráfica

3. Funciones que tienen dos asíntotas oblicuas distintas

No es fácil de encontrar una función de este tipo. Un ejemplo particular es la

función .1x xf2 Esta función tiene dos asíntotas oblicuas, a saber, la recta x y y la

Prof. Enrique Mateus Nieves PhD in Advanced Mathematics

recta x - y . Las vemos en la siguiente gráfica en color rojo junto a la gráfica de la hipérbola que

es la propia función:

Veamos ejemplos

1. Estudie las asíntotas de la función 3-x

1-2x xf

Asíntotas horizontales:

2y

22limx

x2lim

3-x

1-2xlimxf lim

22limx

x2lim

3-x

1-2x limxf lim

- x - x - x - x

x x x x

lados) ambos (por

f de horizontal asíntota una es

Posición de la curva respecto de la asíntota: le damos un valor lo suficientemente elevado

x y tenemos: 205,297

199

3100

11002100f

por lo tanto, por la derecha

x , lo que muestra que la curva está por encima de la asíntota.

Ahora le damos un valor suficientemente pequeño x :

2951,1

103

201

3100

11002100f

por lo tanto, por la izquierda x , la

curva está por debajo de la asíntota.

Prof. Enrique Mateus Nieves PhD in Advanced Mathematics

Asíntotas verticales

Las funciones racionales pueden tener asíntotas verticales en los valores que anulen a

su denominador. Para nuestro caso tenemos 3x03x . Esto nos conduce as que

estudiamos los límites laterales en 3x

3x

0

5

3-x

1-2xlimxf lim

0

5

3-x

1-2x limxf lim

-3 x

-3 x

3 x3 x

lados) ambos (por

f de vertical asíntota una es

Posición de la curva respecto de la asíntota: queda determinada por los límites laterales

Prof. Enrique Mateus Nieves PhD in Advanced Mathematics

Asíntotas oblicuas

No tiene por tener asíntotas horizontales por ambos lados, en 3x (en verde) y en 2y (en

fucsia)

Ejercicios – taller

Estudie las asíntotas de las siguientes funciones

4x

x xf .1

2

2

1x

4x xf 2

2

2x3 x

4 2x3x xf .3

2

23

1x

x xf .4

53x

2x xf .5

x

4 y .6

1x

1 xf .7

2

6xx

2x xf .8

2

2

5x

1x32x xf .9

2

2

53x

2 xf .10

23

4

xx

x-3 xf .11

2

2

4x4x1

4x3x xf .12

2

2

4x3 2

169x y .13

4 2e y .142x

x1

x1 xf .15

47x

x xf .16

2

Prof. Enrique Mateus Nieves PhD in Advanced Mathematics

Ayuda: algunas gráficas de las funciones propuestas como ejercicios

Respuestas:

1 y .1 Es una asíntota horizontal; tiene dos asíntotas horizontales en 2x (por ambos lados); Asíntotas oblicuas No tiene

por tener asíntotas horizontales por ambos lados.

xf .2 No tiene asíntotas horizontales; 1x es una asíntota vertical de xf ; 1xy es una asíntota oblicua de xf por

ambos lados

1x 1;y .4 ; x ;y .53

5

3

1 ; 0x ;0y .6 ; 1 x 0;y .7 ; -3x 2,x 2,y .8 ; ,5x ;2y .9

3x ;5y .10 ; 0x 1,x 1;xy .11 -x ;y .122

1

4

1 ; -x ;y .13

3

4

2

1 ; 4y .14

Bibliografía Haeussler, E. (2008). Matemáticas para Administración y Economía. Perason, Decimosegunda edición en español. Mexico.

ISBN 10:970-26-1147-4

Casteleiro, J. (2006). Introducción al análisis matemático I. ESIC.

Penadés, M., et al (2005). Matemáticas básicas. Univ. Politéc. Valencia.

Prado, C. (2006). Precálculo. Pearson Educación.

Pérez, P. (1989). Cálculo infinitesimal. Universidad Politécnica de Valencia.

Müller, E., Hecklein, V. (2000). Funciones. Universidad Nacional del Litoral.

Kuptsov, L. (2001), «Asymptote», en Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104

Frost, P. (1918). An elementary treatise on curve tracing (en inglés).