aula 6 – cÁlculo com geometria analÍtica ii mudança de coordenadas fonte: anton, stewart,...
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AULA 6 – CÁLCULO COM GEOMETRIA ANALÍTICA II
Mudança de Coordenadas
Fonte: Anton, Stewart, Thomas, Buske
Prof. Guilherme J. WeymarCENG - UFPel
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Tópicos:
2D:Coordenadas polares
3D:Coordenadas cilíndricasCoordenadas esféricas
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Introdução:No monitoramento por radar, um operador está interessado na posição
ou no ângulo que o objeto rastreado forma com algum raio fixo (por
exemplo, uma semi-reta direcionada para leste) e a que distância o
objeto está localizado no momento. Nesta aula estudaremos um sistema
de coordenadas inventado por Newton, chamado de sistema de
coordenadas polares, o qual é prático de usar para tais propósitos.
Estudaremos as coordenadas polares e sua relação com as coordenadas
cartesianas. Enquanto que um ponto no plano tem apenas um par de
coordenadas cartesianas, ele tem infinitos pares de coordenadas
polares. Isso tem características interessantes no esboço de gráficos.
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Definição de coordenadas polares:
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OBS.: Como em trigonometria, θ é positivo quando medido no sentido anti-
horário e negativo quando medido no sentido horário. O ângulo associado a
dado ponto não é único. Por exemplo, o ponto a 2 unidades da origem, na
semi-reta θ = π /6 tem coordenadas polares r = 2, θ = π /6, mas também
tem coordenadas r = 2, θ = -11π /6 (ver figura).
As coordenadas polares não são únicas.
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Há ocasiões em que desejamos permitir que r seja negativo. Essa é a razão
de usarmos a distância orientada na definição de P(r,θ). O ponto P(2,7π/6)
pode ser alcançado rodando 7π/6 radianos no sentido anti-horário a partir
do raio inicial e indo 2 unidades em frente (ver figura). Ou ainda rodando
π/6 radianos no sentido anti-horário e voltando 2 unidades e o ponto tem
coordenadas polares r = -2, θ = π/6.
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EXEMPLO 1. Determinando coordenadas polares
Determine todas as coordenadas polares do ponto P(2,π/6).
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Gráficos polares:
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EXEMPLO 2. Determinando equações polares para gráficos
a) r = 1 e r = -1 são equações para o círculo de raio 1 centrado em O
b) θ = π/6, θ = 7π/6 e θ = -5π/6 são equações da reta da figura do
exemplo 1:
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EXEMPLO 3. Identificando gráficos
Desenhe os conjuntos de pontos cujas coordenadas polares satisfazem:
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Relacionando coordenadas polares e cartesianas:
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EXEMPLO 4. Equações equivalentes
Algumas curvas são mais tratáveis em coordenadas polares; outras não.
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EXEMPLO 5. Convertendo coordenadas cartesianas a polares
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EXEMPLO 6. Convertendo coordenadas polares a cartesianas
(b) ExercícioResposta: y = 2x – 4reta, coeficiente angular m = 2, intersecção com o eixo y em b = -4
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Desenhando gráficos em coordenadas polares
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EXEMPLO 7. Uma cardióide
17A seta indica a direção de crescimento de θ.
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EXEMPLO 8. Desenhe a curva r2 = 4cosθ
19As setas indicam a direção de crescimento de θ.
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Uma técnica para desenhar gráficos:
Um modo de desenhar o gráfico de uma equação polar r = f(θ) é fazer uma
tabela de valores (r,θ), depois marcar os pontos correspondentes e
conectá-los na ordem de crescimento de θ. Isso pode funcionar bem se for
marcado um nº suficiente de pontos para revelar todos os laços e
reentrâncias do gráfico.
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Outro método de desenhar o gráfico, que é geralmente mais rápido e
confiável, é:
1) Primeiro esboçar o gráfico de r = f(θ) no plano cartesiano r θ,
2) usar então o gráfico cartesiano como uma “tabela” para guiar o
esboço do gráfico em coordenadas polares.
Esse método é melhor do que simplesmente marcar pontos, pois o
primeiro gráfico cartesiano, mesmo quando desenhado
apressadamente, mostra em um relance onde r é positivo, negativo,
onde não está definido e também onde r é crescente e decrescente.
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EXEMPLO 9. Uma lemniscata.
Desenhe a curva r2 = sen2θ
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Determinando interseções de gráficos polares:
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EXEMPLO 10. Coordenadas polares enganosas.
Mostre que o ponto (2,π/2) está na curva r = 2cos2θ
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EXEMPLO 11. Pontos de intersecção enganosos.
Determine os pontos de intersecção das curvas r2 = 4cosθ e r = 1 - cos θ
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Quando um cálculo em física, engenharia ou geometria envolve um
cilindro, um cone ou uma esfera, freqüentemente podemos simplificar
nosso trabalho usando coordenadas cilíndricas ou esféricas.
O procedimento de transformação para essas coordenadas é semelhante à
transformação para coordenadas polares no plano.
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Coordenadas cilíndricas:
Obtemos coordenadas cilíndricas
para o espaço combinando
coordenadas polares no plano xy
com o eixo z usual. Isso associa a
cada ponto no espaço uma ou mais
ternas ordenadas da forma (r,θ,z)
como mostra a figura.
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Em coordenadas cilíndricas, a
equação r = a não descreve
apenas uma circunferência no
plano xy, mas um cilindro inteiro
em relação ao eixo z (figura).
* O eixo z é dado por r = 0.
* A eq. θ = θo descreve o plano
que contém z e forma um ângulo
θo com o eixo x positivo.
* Como nas coord. cartesianas, a
equação z = zo descreve um
plano perpendicular ao eixo z.
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OBS.: Coordenadas cilíndricas são boas para descrever cilindros cujos
eixos coincidem com o eixo z e planos que contêm o eixo z ou são
perpendiculares a ele.
Superfícies como essas tem equações de coordenadas constantes:
r = 4 cilindro, raio 4, eixo coincide com o eixo z.
θ = π/3 plano contendo o eixo z.
z = 2 plano perpendicular ao eixo z.
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Coordenadas esféricas:
Coordenadas esféricas posicionam pontos
no espaço com dois ângulos e uma
distância (figura).
A 1ª coordenada, ρ = |OP|, é a distância
do ponto à origem. Diferentemente de r, a
variável ρ nunca é negativa.
A 2ª coordenada, φ, é o ângulo que OP
forma com o eixo z positivo. É necessário
que esteja no intervalo [0,π].
A 3ª coordenada é o ângulo θ como
medido nas coordenadas cilíndricas.
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Nos mapas da Terra, θ está relacionada ao
meridiano de um ponto na Terra, φ
corresponde a sua latitude e ρ está
relacionada à elevação acima da superfície
terrestre.
* A eq. ρ = a descreve a esfera de raio a
centrada na origem (figura).
* A eq. φ = φo descreve um cone simples
cujo vértice está na origem e cujo eixo é o
eixo z.
* A eq. θ = θo descreve o semiplano que
contém o eixo z e forma um ângulo θo com
o eixo x positivo.
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OBS.: Coordenadas esféricas são boas para descrever esferas centradas
na origem, semiplanos com fronteira no eixo z e cones de uma folha
cujos vértices estão na origem e cujos eixos se encontram ao longo do
eixo z.
Superfícies como essas tem equações de coordenadas constantes:
ρ = 4 esfera, raio 4, centro na origem.
φ = π/3 cone abrindo-se da origem, formado com um ângulo de π/3
radianos com o eixo z positivo.
θ = π/3 semiplano, com fronteira igual ao eixo z, formando um ângulo
de π/3 radianos com o eixo x positivo.