BAB 6

BAB 6

PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL ELIPTIK

6.1 Persamaan DiferensialPersamaan differensial berhubungan dengan turunan parsil dari suatu fungsi terhadap beberapa variabel bebas. Sebagai contoh Persamaan Laplace untuk menentukan distribusi temperatur, T pada suatu lempeng benda padat seperti logam yang dinyatakan sebagai:

(6.1.1)

Persamaan (6.1.1) merupakan persamaan diferensial linear order 2 dengan variabel bebas x dan y. Persamaan diferensial secara umum ditulis sebagai :

(6.1.2)

Persamaan diferensial diklasifikasikan sebagai persamaan diferensial eliptik, parabolik atau hiperbolik tergantung pada harga B2 - 4AC:

Eliptik, jika B2 - 4 AC < 0 ;

Parabolik, jika B2 - 4 AC = 0 ;

Hiperbolik, jika B2 - 4 AC > 0 .

6.2. Persamaan Diferensial EliptikPersamaan (6.1.1) merupakan contoh persamaan diferensial eliptik. Persamaan ini disebut sebagai persamaan Laplace yang dapat ditulis sebagai :

(6.2.1)

Persamaan (6.1.3) dipergunakan untuk mencari distribusi temperatur T suatu plat pada kondisi tunak (steady state). Persamaan (6.1.3) diselesaikan dengan menggunakan 4 kondisi batas (boundary condition) temperatur, yaitu 2 kondisi batas temperatur pada x = 0 dan x = L dan 2 kondisi batas temperatur pada y = 0 dan y = H. Jika T digantikan dengan konsentrasi zat, persamaan ini dapat dipakai dalam persoalan difusi. Pada persamaan Laplace, kita asumsi bahwa tidak ada panas yang dihasilkan didalam plat atau tidak ada panas yang dikeluarkan dari plat. Jika ada panas yang dihasilkan, maka perlu ditambahkan faktor lain pada persamaan (6.2.1) :

(6.2.2)

Persamaan (6.2.2) disebut dengan persamaan Poisson.

6.3. Metoda Beda HinggaPersamaan eliptik banyak diselesaikan menggunakan metoda beda hingga. Turunan pada persamaan eliptik didekati dengan aproksimasi turunan kedua biasanya digunakan central difference approximation. Anggaplah distribusi temperatur suatu plat persegi empat akan ditentukan pada kondisi steady state. Plat dibagi menjadi beberapa bagian kecil persegi empat seperti yang terlihat pada Gambar 6.3.1.

(x

yj+2

yj+1

yj

(y

yj-1

yj-2

xi-2xi-1 xi xi+1 xi+2 xi+3

Gambar 6.3.1. Daerah Empat Persegi Panjang Plat dengan

Luas yang sama

Persamaan yang akan diaproksimasi adalah

(6.3.1)

Turunan kedua diaproksimasi pada titik (xi, yi) dengan central difference approximation untuk mendapatkan persamaan :

(6.3.1)

Dengan menggunakan subskrip ganda pada u untuk menyatakan harga x dan y, persamaan (6.3.1) dapat ditulis sebagai (6.3.2) :

(6.3.2)

Dengan mengasumsi (x = (y = h, pada persamaan (6.3.2) diperoleh :

(2Ti,j = 1/h2 [Ti+1,j + Ti-1,j + Ti,j+1 + Ti,j-1 4Ti,j ] = 0 (6.3.3)

Contoh 1 :

Plat baja tipis berukuran 10 cm x 20 cm. Pada salah satu sisi 20 cm ditetapkan temperatur = 100 oC, sedangkan pada sisi lainnya temperatur ditetapkan = 0 oC. Berapakah temperatur pada titik-titik bagian dalam ? Untuk baja, k = 0.16 cal/sec.cm2.C/cm.

Bentuk persoalan dapat dinyatakan dengan :

Carilah T(x,y) sehingga :

1dengan kondisi batas:

T(x,0) = 0, T(x,10) = 0,

T(0,y) = 0, T(20,y) = 100.

y

10

T=0

T = 100

T = 0

x

T=0

20

Gambar 6.3.2. Plat Persegi Panjang

Jika dipilih h = 5 cm, maka notasi grid ditampilkan pada gambar 6.3.3. Dengan menggunakan Persamaan (6.3.3) didapat sistim persamaan :

1/52 (0 + 0 + T2 + 0 - 4 T1) = 0 ,

1/52 (T1 + 0 + T3 + 0 - 4 T2) = 0 ,

(6.3.4)

1/52 (T2 + 0 + 100 + 0 - 4 T3) = 0 ,

Sistim persamaan ini dapat diselesaikan dengan metoda gauss elimination atau metoda analitis menghasilkan :

T1 = 1.786, T2 = 7.143, T3 = 26.786 .

Gambar 6.3.3. Notasi Grid Plat Baja

6.4 Metoda IterasiSistim persamaan linear dapat diselesaikan dengan iterasi Gauss-Seidel jika memenuhi persyaratan koefisien diagonal dominan. Diagonal dominan berarti bahwa besarnya koefisien pada diagonal lebih besar atau sama dengan jumlah koefisien lain pada pada baris yang sama. Metoda Liebmann adalah tehnique iterasi yang dipakai pada persamaan Laplace.

Contoh 2 :

Pada soal contoh 1 diperoleh sistim persamaan linear sebagai berikut :

- 4 T1 + T2 = 0,

T1 - 4 T2 + T3 = 0,

T2 - 4 T3 = - 100 .

Sistim persamaan ini disusun kedalam bentuk baru dengan menyelesaikan setiap persamaan untuk variabel pada diagonal :

T1 = T2 / 4 ,

T2 = (T1 + T3) / 4 ,

T3 = (T2 + 100) / 4 .

Perhitungan dimulai dengan memisalkan harga T1, T2, dan T3 dan menghitung harga T1, T2, dan T3 yang baru. Perhitungan diulangi sampai diperoleh hasil yang konvergen. Hasil iterasi ditampilkan pada Tabel 3. Hasil iterasi ini adalah T1 = 1.786, T2 = 7.143, dan T3 = 26.786.

Tabel 3. Hasil Iterasi Contoh 2

______________________________________________

T1

T2

T3 ______________________________________________

harga awal

2 7.5

30

______________________________________________

1.875 7.969

26.992

1.992 7.246

26.812

1.812 7.156

26.789

1.789 7.144

26.786

1.786 7.143

26.786

1.786 7.143

26.786

______________________________________________

6.5 Persamaan PoissonMetoda finite difference untuk persamaan Laplace dapat diaplikasikan untuk persamaan Poisson. Sebagai contoh persamaan untuk analisa torsi pada suatu batang persegi empat yang dikenakan perputaran dapat ditulis sebagai :

8(6.5.1)

Pada kondisi batas:

( = 0Gaya tangensial sebanding dengan turunan parsil ( untuk batang yang diputar dengan luas penampang yang konstan. Ingin dicari ( pada luas penampang dengan ukuran 6 x 8 inchi.

Luas penampang dibagi menjadi 12 kotak kecil sebagaimana yang ditampilkan pada Gambar 6.5.1.

in

2in

2 in

8in

(2( + 2 = 0

Gambar 6.5.1 Titik-Titik Grid

Dengan menggunakan metoda finite difference untuk mengaproksimasi persamaan (6.5.1) didapat persamaan :

9(6.5.2)

Persamaan (6.5.2) diaplikasikan pada titik-titik interior menghasilkan persamaan (6.5.3) :

10

11

(6.5.3)12

13

14

15Dengan pertimbangan simetris, (11 = (12 = (31 = (32 dan (21 = (22, sehinga hanya dua yang belum diketahui, dan setelah substitusi didapat :

16(6.5.3)

17(6.5.4)

Dengan metoda eliminasi didapat; (11 = 4.56, (21 = 5.72.

6.6. Soal-Soal

1. Tentukan bagian mana dari bidang persamaan diferensial parsial :

adalah hiperbolik, parabolik dan eliptik.

2. Misalkan S adalah siku dengan titik sudut (+1, +1) dam misalkan R adalah bagian dalam S. Tunjukkan bahwa fungsi adalah harmonik pada R, dan nilai maksimum dan minimum terdapat pada S.

3. Dengan h = 2 dan (x,y) = (0,0), carilah penyelesaian aproksimasi dari :

Txx + Tyy = 0 pada R

T = g (x,y) = x 2ypada S

Dimana S adalah siku dengan titik sudut (0,0), (6,6), (6,0) dan (0,6).

4. Dengan h = dan (x,y) = (0,0), carilah penyelesaian aproksimasi dari :

Txx + Tyy = 0 pada R

dengan kondisi batas:

T(0,y) = 0,

0 ( y ( 1

T(2,y) = 2y,

0 ( y ( 1

T(x,0) = 0,

0 ( x ( 2

T(x,1) = x,

0 ( x ( 2

5. Selesaikan persamaan Poisson :

Txx + Tyy = xy (x-2) (y-2)

Pada daerah 0 ( x ( 2, 0 ( y ( 2, dengan T = 0 pada semua batasan kecuali untuk y =0, dimana T = 1,0. Gunakan h = 0,5

6. Selesaikan persamaan difusi :

Cxx + Cyy = 0

Pada daerah 0 ( x ( 5, 0 ( y ( 4, dengan batasan :

C(0,y) = 0,5

C(5,y) = 1,0

C(x,0) = 0,5

C(x,4) = 1,0T=0

00

00

00

T1

T2

T3

00

1000

00

00

00

(12

(11

(22

(21

(23

(31

_1406450875.unknown

_1406450968.unknown

_1407311931.unknown

_1407311976.unknown

_1406451043.unknown

_1406450946.unknown

_1406450638.unknown

_1406450792.unknown

_1406450478.unknown