Bab 7

Limit Fungsi

April 15, 2023

Terdiri atas

membahasSifat-Sifat Limit

Limit Fungsi

Fungsi Aljabar Limit Konsep Turunan

Trigonometri

Perkalian Sekawan

x → a x → Substitusi Penyederhanaan Dengan Rumus

Substitusi, asalkanhasil tidak 0 0

Pemfaktoran

MemerhatikanKoefisien PangkatTertinggi (untukBentuk Pecahan)

Dengan Rumus

April 15, 2023

1. Sederhanakan bentuk .

2. Rasionalkan penyebut bentuk .

3. Diketahui fungsi f(x) = x2 – 4 dan

a. Tentukan nilai fungsi f(x) dan g(x) untuk x = –1; –0,5;

–0,05; – 0,001; – 0,0001.

b. Tentukan nilai fungsi f(x) dan g(x) untuk x = 5; 1; 0,5;

0,05; 0,001; 0,0001.

c. Untuk x yang makin mendekati nol dari hasil a, menuju nilai berapakah f(x) dan g(x)?

d. Untuk x yang makin mendekati nol dari hasil b, menuju nilai berapakah f(x) dan g(x)?

April 15, 2023

45

892

2

xx

xx

121

121

xx

xx

xg0;12 xx

0; xx

.Misalkan f(x) = 10x, dengan x bilangan bilangan real. Untuk

x → 2, artinya nilai x ≠ 2, tetapi dapat diambil nilai-nilai di

sekitar 2. Misalnya, 1,91; 1,95; 1,99; 2,01; 2,05; dan 2,09.

Adapun nilainya dapat ditampilkan pada tabel berikut.

Dari tabel di atas tampak bahwa untuk x → 2, nilai 10x →20.

x 1,91 1,95 1,99 2,01 2,05 2,09

f(x) 19,1 19,5 19,9 20,1 20,5 20,9

April 15, 2023

Secara intuitif, limit fungsi dapat diartikan sebagai berikut.

Misalkan f suatu fungsi dalam variabel x dan L adalah

bilangan real.

diartikan untuk x mendekati a (ingat: x ≠ a), nilai f(x)

mendekati L.

April 15, 2023

Lxfax

lim

Jika dan

maka

x → a- maksudnya x mendekati dari kiri (limit kiri)

x → a+ maksudnya x mendekati dari kanan (limit kanan)

Lxfax

lim

xf

axlim

xf

axlim

Lxfax

lim Lxfax

lim

April 15, 2023

Contoh:

Apakah limit fungsi berikut mempunyai nilai?

Jawab:

Misalkan x → 2- (nilai-nilai x < 2)

Tampak bahwa untuk x → 2-, nilai f(x) makin mendekati 7.

Artinya,

x 1,90 1,95 1,96 1,991 1,995 1,999

f(x) 6,80 6,90 6,92 6,98 6,99 6,998

32lim2

xx

April 15, 2023

Misalkan x → 2+ (nilai-nilai x > 2)

Tampak bahwa untuk x → 2+, nilai f(x) = 2x + 3 → 7.

Jadi,

Tampak bahwa untuk x → 2+, nilai f(x) makin mendekati 7.

Artinya,

x 2,10 2,09 2,05 2,01 2,001

f(x) 7,20 7,18 7,10 7,02 7,002

732lim2

xx

732lim2

xx

April 15, 2023

Karena maka

32lim2

xx

732lim2

xx

732lim2

xx

April 15, 2023

Perhatikan fungsi . Fungsi ini tidak mempunyai

nilai di x = 1 (mengapa?). Apakah fungsi ini juga tidak memiliki limit di x mendekati 1?

Misalkan dan g(x) = x + 1. Fungsi

tidak terdefinisi di x = 1. Dengan demikian, kita tidakmemperhatikan nilai x = 1. Sekarang, bandingkan nilai limitfungsi g(x) = x + 1 pada x = 1.

1

12

x

xxf

1

12

x

xxf

1

12

x

xxf

April 15, 2023

Keduanya dapat kalian perhatikan pada grafik-grafik berikut.

April 15, 2023

1. Menentukan Nilai Limit Fungsi untuk x → a

Dapat ditentukan dengan substitusi, pemfaktoran, dan

mengalikan faktor sekawannya.

April 15, 2023

a. Menentukan Nilai Limit Fungsi dengan Substitusi

Misalkan fungsi f terdefinisi di setiap nilai x bilangan

real, nilai limit fungsinya sama dengan nilai fungsinya.

Sebagai contoh karena fungsi f(x) = 2x – 7 terdefinisi

untuk setiap nilai x maka nilai limit dapat

ditentukan dengan substitusi.

72lim2

xx

37)2(272lim2

xx

1. Jika dan maka

2. Jika dan maka

3. Jika dan maka 0lim

xg

cx

0lim

xgcx

xg

xfc1

lim

0lim

axgcx

xg

xfc1

lim

0lim

xfcx

0lim

axgcx

Raaxgcx

,lim 0lim

1

xg

xfc

April 15, 2023

Penting untuk diingat!

b. Menentukan Nilai Limit Fungsi dengan Pemfaktoran

Misalkan fungsi

Untuk mempermudah perhitungan dengan cara pemfaktor-

an, kalian ingat kembali bentuk faktorisasi aljabar berikut.

1) x2 – y2 = (x – y)(x + y)

2) x2 – 2xy + y2 = (x – y)2

3) x2 + 2xy + y2 = (x + y)2

4) x3 – y3 = (x – y)(x2 + xy + y2)

5) x3 + y3 = (x + y)(x2 – xy + y2)

ah

ag

xh

xg

xhax

xgaxxf

ax

lim

April 15, 2023

Contoh:

Tentukan nilai .

Jawab:

.

4

44lim

4

16lim

4

2

4

x

xx

x

xxx

844

4lim4

xx

April 15, 2023

c. Menentukan Nilai Limit Fungsi dengan Mengalikan

Faktor Sekawan

1) (x – a) faktor sekawan dari (x + a) dan sebaliknya.

2) faktor sekawan dari dan sebaliknya.

3) faktor sekawan dari dan sebaliknya.

4) faktor sekawan dari dan

sebaliknya.

5) sekawan dan dan sebaliknya.

Ingat: (a – b)(a2 + ab + b2) = a3 – b3.

April 15, 2023

3 233 2 yxyx

Contoh:

Tentukan nilai

Jawab:

1

12lim1

x

xxx

1

12lim1

x

xxx 12

12

1

12lim1

xx

xx

x

xxx

121

12lim1

xxx

xxx

121

1lim1

xxx

xx

12

1lim1

xxx

April 15, 2023

2. Menentukan Limit Fungsi di Titik Tak Berhingga (Pengayaan)

Pada pembahasan kali ini, kita akan mempelajari bentuk limit

yang apabila dikerjakan dengan substitusi, diperoleh ,

yaitu .

Misalkan pangkat tertinggi dari variabel adalah f(x) dan g(x)

adalah m maka variabel berpangkat tertinggi adalah xm. Nilai

limitnya dapat ditentukan sebagai berikut.

xg

xfx lim

m

m

xx

x

xxg

xf

xg

xf1

1

limlim

April 15, 2023

Contoh:

Tentukan nilai-nilai limit fungsi

Jawab:

April 15, 2023

Dengan demikian, kita dapat menentukan nilai limit berikut.

Untuk f(x) = axm + bxm-1 + … + a0 dan g(x) = pxn + qxn-1 + … + b0, berlaku

untuk m = n

untuk m > n dan a > 0

untuk m > n dan a < 0

untuk m < n

April 15, 2023

Contoh:

Tentukan nilai

Jawab:

f(x) = x2 – 2x + 1 dan g(x) = x2 + 1

Koefisien tertinggi f(x) dan g(x) sama, yaitu 1.

Selain bentuk limit tak berhingga di atas, masih ada

bentuk limit lain, yaitu

.

1

12lim

2

2

x

xxx

11

1

1

12lim

2

2

x

xxx

rpxaxcbxaxx

22lim

a

pbrpxaxcbxax

x 2lim 22

April 15, 2023

Contoh:

Tentukan .

Jawab:

Dari bentuk terakhir diperoleh a = 1, b = -4, dan p = -5.

Dengan menggunakan rumus, diperoleh

April 15, 2023

1. Menentukan Limit Fungsi Trigonometri secara Intuitif

April 15, 2023

cxcx

sinsinlim

cxcx

coscoslim

Perhatikan gambar! Jika sudut x

makin lama makin kecil

(mendekati 0), panjang a juga

makin mengecil (mendekati 0)

sehingga nilai limit sin x, untuk x

mendekati 0 adalah 0. (Ingat, nilai

sin x adalah panjang sisi di depan

sudut x dibagi dengan sisi

miringnya). Jadi, diperoleh

dan

2. Menentukan Nilai Limit Fungsi Trigonometri dengan

Substitusi

Contoh:

Tentukan nilai .

Jawab:

April 15, 2023

xxcx

sincoslim

sincossincoslim xxx

1

01

3. Menentukan Nilai Limit Fungsi Trigonometri dengan

Cara Menguraikan atau Menyederhanakan

Contoh:

Tentukan nilai .

Jawab

Bentuk ini jika kalian substitusikan secara langsung,

diperoleh .

Oleh karena itu, bentuk ini harus disederhanakan terlebih

dahulu.

x

x

x sin1

coslim

2

2

0

0

April 15, 2023

x

x

x

x

xx sin1

sin1lim

sin1

coslim

2

2

2

2

x

xx

x sin1

sin1sin1lim

2

xx

sin1lim2

2sin1

2

April 15, 2023

4. Menentukan Nilai Limit Fungsi Trigonometri dengan

Rumus

Rumus limit fungsi trigonometri adalah sebagai berikut.

1sin

lim

1sin

lim

0

0

x

xx

x

x

x

1tan

lim

1tan

lim

0

0

x

xx

x

x

x

April 15, 2023

Selain keempat rumus di atas, rumus-rumus berikut juga

berlaku untuk limit fungsi trigonometri.

a.

b.

c.

d.

e.

f.

g. April 15, 2023

Contoh:

Tentukan nilai dari .

Jawab:

April 15, 2023

Misalkan n bilangan bulat positif, f dan g fungsi-fungsi yang

mempunyai limit di titik a, dan c suatu konstanta.

ccax

lim.1

April 15, 2023

)(lim

)(lim

)(

)(lim.6

xg

xf

xg

xf

ax

ax

ax

Misalkan titik P(x1, y1) dan Q(x2, y2) digambarkan pada gambar di

atas berpotongan dengan fungsi f(x) di titik P dan Q. Jika gradien

garis g adalah m, nilai m adalah

12

12

xx

yym

April 15, 2023

Sekarang perhatikan Gambar (b).

Jika titik P sebagai titik tetap dan titik potong Q bergerak

mendekati P maka (Δx = x2 – x1 → 0 dibaca: delta x

mendekati nol).

Artinya, garis g berubah menjadi garis singgung kurva

y = f(x) di titik P sehingga nilai m menjadi

x

xfxxfm

x

11

0lim

April 15, 2023

Bentuk limit semacam ini akan dikembangkan ke arah

konsep turunan (diferensial). Secara umum, gradien

(kemiringan suatu garis) menyinggung kurva f(x) dapat

ditentukan dengan limit berikut.

Δx biasanya juga dituliskan dengan h.

Materi ini akan dipelajari di Bab 8.

x

xfxxfm

x

0lim

April 15, 2023