Calculus Purcell

> 0: lim

1

=

lim 72

22+1=

Apakah {(ln )/} konvergen?

Buktikan bahwa lim

sin5

2= 0.

Buktikan bahwa lim = 0 untuk 1 < < 1.

Barisan tak Hingga:

= , ,

Notasi:

1, 2, 3,

=1

pola suku-suku awal

1, 4, 7, 10,

formula eksplisit

= 3 2, 1

formula rekursi

1 = 1, = 1 + 3, 2

Untuk 1:

= 1 1

= 1 + 1 1

= 1 +1

= 0.999

Jika

> 0, 0 < < : <

Maka

lim =

( barisan konvergen ke ).

Otherwise, divergen.

Misal {} dan barisan yang konvergen, dan kontanta. Maka berlaku:

a) lim =

b) lim = lim

c) lim = lim

lim

d) lim = lim

lim

e) lim

=lim

lim

, jika lim 0

lim = lim

=

Contoh:

lim

ln

?

Karena limln / = lim

1/

= 0, maka

lim

ln

= 0.

Misal barisan {} dan konvergen ke , dan

untuk , .

Maka juga konvergen ke .

lim = lim

=

, , lim =

lim|| = 0 lim

= 0

Contoh:

lim1

2

2 + 1

lim = lim

2

2 + 1= 0

Maka, menurut teorema C

lim1

2

2 + 1= 0

Jika batas atas dari barisan tak turun , maka barisan tsb konvergen ke limit .

Jika batas bawah dari barisan tak naik , maka

barisan tsb konvergen ke limit .

Infinite Series (Deret tak Hingga):

=1

= 1 + 2 + 3 +

th Partial Sum:

= 1 + 2 + 3 ++ =

=1

lim =

=1 = , ()

( konvergen )

{} divergen deretnya ( =1 ) divergen

1

=1

= + + 2 + 3 + , 0

th partial sum: = + ++ 1 + 2 ++ =

Maka

=

1 =

1

1

Jika < 1 Maka lim

= 0, sehingga

lim =

1 =

Jadi deret geometri konvergen. Jika > 1 atau = 1 Maka deretnya divergen karena barisan {} divergen. Jika = 1 Maka = , sehingga deretnya divergen karena lim =.

=1

konvergen lim = 0

lim 0 atau tidak ada

=1

divergen

Proof:

Karena deret konvergen maka: = lim. Fakta bahwa =

1. Maka

lim = lim

lim

1 = = 0

Apakah 24

44+2=1 konvergen?

Karena

lim = lim

24

44 + 2= lim

2

4 + 1/2=1

2

maka, dengan uji suku ke-n, deretnya divergen.

1

=1

= 1 +1

2+1

3++

1

+

lim = lim

1

= 0

Apakah lim = (deretnya konvergen) ?

= 1 +1

2+1

3+1

4+1

5++

1

8++

1

> 1 +1

2+2

4+4

8++

1

Jadi divergen, sehingga deret harmonik divergen.

Please read it by yourself. See 9.2 example 7 page

458. Contoh:

1

( + 2)( + 3)

=`1

= 1

( + 2) 1

( + 3)

=1

Sn =1

31

4+1

41

5+1

51

6+

1

+ 21

+ 3

=1

31

+ 3

lim = lim

1

31

+ 3=1

3

Jika =1 dan

=1 keduanya konvergen,

dan adalah suatu konstanta, maka

=1 dan +

=1 konvergen.

=1 =

=1

+ =1 =

=1 +

=1

=1 divergen

=1 divergen

dan 0

Contoh:

1

3

=1

= 1

31

=1

Suku-suku dari sebuah deret yang konvergen dapat dikelompokan secara bebas.

Deret yang baru akan konvergen ke nilai yang sama.

1, 2, 3, ; = ; = (1) konvergen ke jika lim

=

lim = lim

=

Teorema Apit: = lim

lim

=

lim|| = 0 lim

= 0

Jika batas atas dari barisan tak turun ,

maka barisan tsb konvergen ke limit .

=1 = 1 + 2 + 3 + ; (deret)

1, 2 , 3 , ; (barisan)

lim =

=1 = , (konvergen)

1=1 = + +

2 + , 0 (deret geometri)

lim 0 atau tidak ada

=1 divergen

(Uji suku ke-n)

1

=1 = 1 +

1

2+1

3++

1

+ , (Deret Harmonik)

0 dan =1 =

Buktinya silahkan baca sendiri di buku.

Bertanyalah kalau ada yg tidak dipahami.

Misal, pada interval [1,), suatu fungsi yang kontinu,

positif,

tidak naik dan

= (), utk setiap bilangan bulat . Maka

()

1

konvergen

=1

konvergen

1

=1

= 1 +1

2+1

3+ ,

Jika > 1, maka deret- konvergen

Jika 1, maka deret- divergen

Buktikan!

= = +1 + +2 +

Jika, pada interval [1,), suatu fungsi yang kontinu,

positif,

tidak naik dan

= (), utk setiap bilangan bulat . Maka

= +1 + +2 + =

=+1

< ()

Deret Geometri

=1

konvergen jika 1 < < 1

Deret-

1

=1

konvergen jika > 1

52 4

=1

atau ?

2( + 1)

=1

atau ?

Misal 0 untuk .

konvergen konvergen

divergen divergen

Proof ? Please refer to the book of Purcell..

Misal 0, > 0, dan

lim

= .

0 < < dan konvergen/divergen

= 0 & konvergen konvergen

Misal suatu deret positif, dan

lim

+1= .

< 1 deretnya konvergen

> 1 atau deretnya divergen

= 1 tidak ada kesimpulan

Untuk menguji kekonvergenan suatu deret positif , maka

perhatikan suku nya.

1. Jika lim 0, maka deret divergen. (Uji Suku ke-n)

2. Jika mengandung bentuk !, , , coba uji rasio.

3. Jika hanya melibatkan pangkat konstan , coba Uji Banding Limit.

Khususnya jika berupa ekspresi rasional dalam , gunakan uji ini

dengan sbg rasio suku2 awal dr pembilang&penyebut.

4. Jika uji2 diatas tidak berhasil, coba Uji Banding Biasa, Uji Integral, atau

Uji Jumlah Terbatas.

5. Beberapa deret memerlukan manipulasi cerdik untuk menentukan

konvergensi atau divergensinya.

Deret ganti tanda

1 2 + 3 4 +

Deret harmonik ganti tanda

1 1

2+1

31

4+1

5

Misal sebuah deret ganti tanda

1 2 + 3 4 +

Dengan kondisi

> +1 > 0.

lim = 0 deret ganti tanda konvergen

Error = | | +1

Misal kita punya suatu deret .

konvergen konvergen

Deret disebut konvergen mutlak jika

|| konvergen. Dengan demikian:

konvergen mutlak konvergen

Deret disebut konvergen bersyarat jika

konvergen tetapi || divergen.

Jadi

konvergen mutlak konvergen

Misal dengan 0, dan

lim

|+1|

=

< 1 deretnya konvergen mutlak

> 1 deretnya divergen

= 1 tidak ada kesimpulan

Suku-suku dari suatu deret konvergen mutlak

dapat disusun ulang tanpa mempengaruhi

kekonvergenan dan jumlah deretnya.

Ingat! Anda harus bisa membedakan apa yang ditulis

dibuku pada subbab ini:

=1

= 1

=1

= 1 2 + 3 4 +

Yakni = 1 . Bedakan dengan di subbab

sebelumnya yang selalu ditulis =1 atau

=1

yang selalu positif.

Langkah mengecek kekonvergenan untuk suatu deret ganti tanda =1 .

1. Cek dengan Uji Rasio Mutlak (teorema C 9.5)

a. Jika 1, jelas =1 divergen ( > 1) atau konvergen mutlak ( < 1).

b. Jika = 1, lihat langkah 2.

2. Ubah =1 ke deret positif ||

=1 .

a. Kemudian cek dengan semua uji yang kita punya untuk deret positif (subbab 9.2-9.4, lihat

rangkuman di 9.4). Termasuk uji rasio (mutlak), teorema C di 9.5.

b. Jika konvergen ( =1 konvergen), maka deret

=1 konvergen mutlak menurut teorema B

di 9.5.

c. Jika divergen ( =1 divergen), maka harus dicek deret

=1 (lihat langkah 3).

3. Cek deret ganti tanda =1 .

a. Gunakan satu2nya uji kekonvergenan deret ganti tanda yaitu Uji Deret Ganti Tanda, teorema A

9.5, jika kondisinya dipenuhi. Jika tidak,

b. Gunakan Uji Suku ke-n di 9.2 untuk menunjukkan deret tsb divergen. Jika tidak,

c. Gunakan definisi di 9.2: lim = konvergen. Jika tidak, maka divergen.