bab2-06305149010 (1)s
TRANSCRIPT
7/22/2019 BAB2-06305149010 (1)S
http://slidepdf.com/reader/full/bab2-06305149010-1s 1/20
6
BAB II
KAJIAN PUSTAKA
A. Time Series
Time series atau runtun waktu adalah himpunan observasi data terurut
dalam waktu (Hanke&Winchern, 2005: 58). Metode time series adalah metode
peramalan dengan menggunakan analisa pola hubungan antara variabel yang akan
dipekirakan dengan variabel waktu. Peramalan suatu data time series perlu
memperhatikan tipe atau pola data. Secara umum terdapat empat macam pola data
time series, yaitu horizontal, trend , musiman, dan siklis (Hanke dan Wichren,
2005: 158). Pola horizontal merupakan kejadian yang tidak terduga dan bersifat
acak, tetapi kemunculannya dapat memepengaruhi fluktuasi data time series. Pola
trend merupakan kecenderungan arah data dalam jangka panjang, dapat berupa
kenaikan maupun penurunan. Pola musiman merupakan fluktuasi dari data yang
terjadi secara periodik dalam kurun waktu satu tahun, seperti triwulan, kuartalan,
bulanan, mingguan, atau harian. Sedangkan pola siklis merupakan fluktuasi dari
data untuk waktu yang lebih dari satu tahun.
B.
Stasioneritas
Stasioneritas berarti bahwa tidak terjadinya pertumbuhan dan penurunan data.
Suatu data dapat dikatakan stasioner apabila pola data tersebut berada pada
kesetimbangan disekitar nilai rata-rata yang konstan dan variansi disekitar rata-
rata tersebut konstan selama waktu tertentu (Makridakis, 1999: 61). Time series
7/22/2019 BAB2-06305149010 (1)S
http://slidepdf.com/reader/full/bab2-06305149010-1s 2/20
7
dikatakan stasioner apabila tidak ada unsur trend dalam data dan tidak ada unsur
musiman atau rata-rata dan variannya tetap, seperti pada Gambar 2.1.
9 08 07 06 05 04 03 02 01 01
5 0
2 5
0
- 2 5
- 5 0
- 7 5
I n d e x
d i f f
T i m e S e r i e s P l o t o f d i ff
Gambar 2.1. Plot time series data Stasioner dalam rata-rata dan variansi
(Hanke&Winchern, 2005: 71)
Selain dari plot time series, stasioner dapat dilihat dari plot
Autocorrelation Function (ACF) data tersebut. Apabila plot data Autocorrelation
Function ( ACF ) turun mendekati nol secara cepat, pada umumnya setelah lag
kedua atau ketiga maka dapat dikatakan stasioner (Hanke&Winchern, 2005: 67).
Gambar 2.2 menunjukkan plot ACF dari data stasioner.
2 42 22 01 81 61 41 21 08642
1 , 0
0 , 8
0 , 6
0 , 4
0 , 2
0 , 0
- 0 , 2
- 0 , 4
- 0 , 6
- 0 , 8
- 1 , 0
L a g
A u t o c o r r e l a t i o n
A u t o c o r r e l a t i o n F u n c t i o n f o r d i f f ( w i th 5 % s i g n if ic a n c e l i m i t s f o r t h e a u t o c o r r e l a t io n s )
Gambar 2.2. Plot ACF data stasioner (Hanke&Winchern, 2005: 71)
7/22/2019 BAB2-06305149010 (1)S
http://slidepdf.com/reader/full/bab2-06305149010-1s 3/20
8
Data nonstasioner apabila terdapat unsur trend dalam data, yaitu
mengalami kenaikan dan penurunan seiring bertambahnya periode waktu. Pada
data nonstasioner yang memiliki trend akan memiliki nilai Autocorrelation
Function ( ACF ) yang signifikan pada lag -lag awal kemudian mengecil secara
bertahap, seperti Gambar 2.3.
121110987654321
1,0
0,8
0,6
0,4
0,2
0,0
-0,2
-0,4
-0,6
-0,8
-1,0
La g
A u t o c o r r e l a t i o n
Auto corr e lati on F uncti on for O per ati ng_ R ev enuew(with 5% signif icance l imits for the autocorrelat ions)
Gambar 2.3. Plot ACF data tidak stasioner (Hanke&Winchern, 2005: 71)
C. Differencing
Differencing (pembedaan) dilakukan untuk menstasionerkan data
nonstasioner. Operator shift mundur (backward shift ) sangat tepat untuk
menggambarkan proses differencing (Makridakis, 1999: 383). Penggunaan
backward shift adalah sebagai berikut
1−= t t X BX (2.1)
dengan t X = nilai variabel X pada waktu t
1−t X = nilai variabel X pada waktu 1−t
7/22/2019 BAB2-06305149010 (1)S
http://slidepdf.com/reader/full/bab2-06305149010-1s 4/20
9
B = backward shift
Notasi B yang dipasang pada X memepunyai pengaruh menggeser data satu waktu
kebelakang. Sebagai contoh, jika suatu data time series nonstasioner maka data
tersebut dapat dibuat mendekati stasioner dengan melakukan differencing orde
pertama dari data. Rumus untuk differencing orde pertama, yaitu
1−−=
′t t t X X X (2.2)
dengan ′t X = nilai variabel X pada waktu t setelah differencing
dengan menggunakan backward shift , persamaan (2.2) dapat ditulis menjadi
t t t BX X X −=′
(2.3)
atau
t t X B X )1( −=′
(2.4)
Differencing pertama pada persamaan (2.4) dinyatakan oleh )1( B−
D. Autocorrelation Function/ Fungsi Autokorealsi ( ACF)
Autokorelasi merupakan korelasi atau hubungan antar data pengamatan
suatu data time series. Menurut Wei, (2006: 10), koefisien autokorelasi untuk lag –
k dari data runtun waktu dinyatakan sebagai berikut:
( )
( ) ( )
( )( )
( ) ( ) 022
,
γ
γ
μ μ
μ μ ρ k
k t t
k t t
k t t
k t t
k
X E X E
X X E
X Var X Var
X X Cov=
−−
−−==
+
+
+
+ (2.5)
dengan
= rata-rata
7/22/2019 BAB2-06305149010 (1)S
http://slidepdf.com/reader/full/bab2-06305149010-1s 5/20
10
k γ
= autokovariansi pada lag-k
k ρ
= autokorelasi pada lag- k
t = waktu pengamatan, t = 1,2,3,...
Var (Xt)=Var (Xt+k )= 0γ
Menurut Mulyana, (2004: 8), karena k ρ merupakan fungsi atas k , maka hubungan
koefisien autokorealsi dengan lag nya disebut dengan fungsi autokorelasi.
Koefisien autokorelasi k ρ
diduga dengan koefisien autokorelasi sampel
(Makridakis, 1999: 339).
( )( )
∑
∑
=
+
−
=
−
−−
=n
t
t
k t
k n
t
t
k
x x
x x x x
r
1
2
1
)(
(2.6)
dengan
k r
= koefisien autokorealsi pada lag-k
k = selisih waktu
n = jumlah observasi
x = rata-rata dari pengamatan zt
t x = pengamatan pada waktu ke-t
k t x+
= pengamatan pada waktu ke t+k , k = 1,2,3,...
Untuk mengetahui apakah koefisien autokorelasi signifikan atau tidak,
perlu dilakukan uji. Pengujian dapat dilakukan hipotesis
Ho: k ρ = 0 (koefisien autokorelasi tidak signifikan)
H 1 : k ρ ≠ 0 (koefisien autokorelasi signifikan)
7/22/2019 BAB2-06305149010 (1)S
http://slidepdf.com/reader/full/bab2-06305149010-1s 6/20
11
Statistik uji yang digunakan adalah
k
k
SEr r t =
dengann
SE 1
= .
Kriteria keputusan Ho ditolak jika1,
2−
>n
hit t t α . Selain menggunakan uji tersebut,
untuk mengetahui apakah koefisien autokorelasi yang diperoleh signifikan atau
tidak dapat dilihat pada output software MINITAB 16, yaitu grafik ACF residual.
Jika pada grafik ACF tidak ada lag yang melebihi garis batas signifikansi (garis
putus–putus), maka koefisien autokorelasi yang diperoleh signifikan atau tidak
terjadi korelasi antar lag seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.4 berikut
L a g
A u t o c o r r e l a t i o n
1 0987654321
1 . 0
0 . 8
0 . 6
0 . 4
0 . 2
0 . 0
- 0 . 2
- 0 . 4
- 0 . 6
- 0 . 8
- 1 . 0
A u t o c o r r e l a t i o n F u n c t i o n f o r Y t( w i th 5 % s i g n if ic a n c e l im i ts f o r t h e a u t o c o r r e l a t i o n s )
Gambar 2.4. (Hanke&Winchern, 2005: 68)
E. Partial Autocorrelation Function/ Fungsi Autokorelasi Parsial ( PACF)
Autokorealsi parsial merupakan korelasi antara t X dan k t X +
dengan
mengabaikan ketidakbebasan 121 ,,,−+++ k t t t X X X K . Menurut Wei, (2006: 11),
7/22/2019 BAB2-06305149010 (1)S
http://slidepdf.com/reader/full/bab2-06305149010-1s 7/20
12
autokorelasi parsial t X dan k t X +
dapat diturunkan dari model regresi linear,
dengan variabel dependent k t X +
dan independent 1−+k t X , 2−+k t X , ..., t X , yaitu:
k t t kk k t k k t k k t a X X X X +−+−++
++++= φ φ L2211 (2.7)
dengan kiφ merupakan parameter regresi ke-i untuk i = 1,2,...,k dan k t a+
merupakan residu dengan rata-rata nol dan tidak berkorelasi dengan jk t X
−+ untuk
j = 1,2,...,k . Dengan mengalikan jk t X
−+ pada kedua ruas persamaan (2.7) dan
menghitung nilai nol harapannya (expected value), diperoleh
2121 −+−+−+−++−++−+ +++= k t jk t kk k t jk t k k t jk t k k t jk t X X E X X E X X E X X E φ φ φ L k t jk t e X E
+−++
k jkk jk jk j −−− +++= γ φ γ φ ρ φ γ L2211 (2.8)
dan
k jkk jk jk j −−− +++= ρ φ ρ φ ρ φ ρ L2211 (2.9)
untuk j = 1,2,...,k, diperoleh sistem persamaan berikut
112011 −+++= k kk k k ρ φ ρ φ ρ φ ρ L
202112 −+++= k kk k k ρ φ ρ φ ρ φ ρ L
M M M M
02211 ρ φ ρ φ ρ φ ρ kk k k k k k +++=−−
L
dengan menggunakan aturan Cramer, berturut-turut k = 1,2,..., diperoleh
111 ρ φ =
7/22/2019 BAB2-06305149010 (1)S
http://slidepdf.com/reader/full/bab2-06305149010-1s 8/20
13
1
1
1
1
1
21
1
22
ρ
ρ
ρ ρ
ρ
φ =
1
1
1
1
1
12
11
21
312
21
11
33
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ ρ
ρ ρ
ρ ρ
φ =
M
1
1
1
1
1
1321
2311
1221
1321
2311
1221
ρ ρ ρ ρ
ρ ρ ρ ρ
ρ ρ ρ ρ
ρ ρ ρ ρ ρ
ρ ρ ρ ρ
ρ ρ ρ ρ
φ
L
MM
L
L
L
MM
L
L
−−−
−−
−−
−−−
−
−
=
k k k
k k
k k
k k k k
k
k
kk
(2.10)
Karena kk φ merupakan fungsi atas k , maka kk φ disebut fungsi autokorealsi parsial.
Hipotesis untuk menguji koefisien autokorelasi parsial sebagai berikut:
0:0 =kk H φ
0:1 ≠kk H φ
Statistik uji yang digunakan:( )kk
kk
SE t
φ
φ = dengan ( )
nSE kk
1=φ . Kriteria
keputusan tolak H0 jika ,2
df hitung t t α > dengan derajat bebas df = n-1, n adalah
banyaknya data (Wei, 2006: 50).
7/22/2019 BAB2-06305149010 (1)S
http://slidepdf.com/reader/full/bab2-06305149010-1s 9/20
F. Pros
Sua
yang tida
Oleh kare
autokovar
k γ
fungsi aut
k ρ
fungsi aut
k φ
Langkah-l
H 0: 1 = ρ
H 1: k ∃ ρ
Statistik
(Wei, 200
K Q
dengan
n =
K =
s White N
u proses
berkorela
na itu, su
iansi (Wei,
⎩⎨⎧
,0
,2
jika
jikat σ
okorelasi
⎩⎨⎧
,0
,1
jika
k jika
okorelasi p
⎩
⎨⎧
=
,0
,1
jik
jik
angkah pe
32 == ρ
k ,1,0 =
ji yaitu uj
6: 153):
+= nn )2(
anyaknya
anyaknya
ise
t disebut
si dengan
tu proses
2006: 15).
≠
=
0
0
k
k
≠
=
0
0
arsial
≠
=
0
0
k
k
gujian whi
== K ρ L
K ,,L (re
Ljung Bo
= −
K
k
k
k n
r
1
2
observasi d
ag yang di
white nois
ata-rata E(
hite nois
e noise:
0 (residu
sidu tidak
x-Pierce.
alam runtu
ji
jika meru
et ) = 0, va
et adal
emenuhi p
emenuhi p
umus uji
waktu
akan baris
ians konst
h stasione
oses white
roses white
jung-Box
an variabel
n Var(et )
r dengan
(
(
(
noise)
noise)
atau Box-
(
14
acak
.
ungsi
.11)
.12)
.13)
ierce
.14)
7/22/2019 BAB2-06305149010 (1)S
http://slidepdf.com/reader/full/bab2-06305149010-1s 10/20
15
r k = nilai koefisien autokorelasi pada lag-k
Kriteria keputusan: H 0ditolak jika Q > 2 χ tabel dengan derajat bebas (db) = K-p
atau p-value <α dengan p adalah banyaknya parameter.
Selain itu, autokorelasi residual dapat dilihat dari plot ACF residual. Apabila tidak
ada lag yang keluar dari garis signifikansi, maka dapat dikatakan bahwa tidak ada
autokorelasi seperti pada Gambar 2.3.
G. Uji Normalitas Galat
Uji normalitas residu dilakukan untuk mengetahui apakah galat
berdistribusi normal atau tidak. Pengujian dapat dilakukan dengan analisis grafik
normal probability plot. Jika residu berada disekitar garis diagonal maka galat
berdistribusi normal. Sebaliknya, jika residu tidak berdistribusi normal, maka
residu akan menyebar seperti pada Gambar 2.5.
Gambar 2.5. Grafik normal probability plot untuk galat berdistribusi normal
(Nur Iriawan&Septin Puji Astuti, 2006: 219)
7/22/2019 BAB2-06305149010 (1)S
http://slidepdf.com/reader/full/bab2-06305149010-1s 11/20
16
H. Metode Maksimum Likelihood
Metode untuk mengestimasikan harga parameter dari suatu data runtun
waktu digunakan metode maksimum likelihood , menurut Bain dan Engelhardt,
(1992: 292), untuk mendapatkan metode maksimum likelihood akan di berikan
definisi fungsi likelihood sebagai berikut:
Definisi 1
Fungsi densitas bersama dari n variable random n X X X ,,, 21 LL dengan
nilai pengamatan n x x x ,,, 21 LL
dinotasikan dengan ( )θ ,,, 21 n x x x f LL dan
disebut fungsi likelihood . Untuk n x x x ,,, 21 LL tetap adalah fungsi dari θ dan
dinotasikan dengan ( )θ L . Jika n X X X ,,, 21 LL adalah sampel random dari
fungsi densitas ( )θ ;1 x f , maka fungsi likelihood nya adalah:
∏ −==
n
j j j x f x f x f L11 );();();()( θ θ θ θ (Bain dan Engelhard, 1992: 293).
Definisi 2
Misalkan ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),;;;;11 θ θ θ θ θ j
n
jn j x f x f x f x f L ∏ === LL Ω∈θ
adalah fungsi densitas bersama X1, X
2, ...X
n. Bila diberikan himpunan dari
pengamatan 1 x , 2 x , ... n x , nilai θ dalam Ω yang memaksimumkan L(θ) disebut
penduga maksimum likelihood dari θ . Dalam hal ini θ merupakan nilai dari θ
yang memenuhi ( ) ( )θ θ θ
;,,maxˆ;,, nt nt x x f x x f LLΩ∈
=.(Bain dan Engelhardt, 1992:
294).
7/22/2019 BAB2-06305149010 (1)S
http://slidepdf.com/reader/full/bab2-06305149010-1s 12/20
17
Penduga maksimum likelihood untuk θ dapat dicari dengan
menyelesaikan persamaan ( ) 0ln =θ θ
Ld d . Misalkan terdapat k parameter yang tidak
diketahui, maka pendugaan parameter likelihood dari θ i didapat dengan
menyelesaikan ( ) 0,.......,ln 21 =k
i
Ld
d θ θ θ
θ dengan i = 1,2,…,k (Bain dan Engelhardt,
1992: 298).
I. Model Autoregressive Integrated Moving Average ( ARIMA)
Model Autoregressive Integrated Moving Average ( ARIMA) merupakan
model ARMA nonstasioner yang telah didifferencing sehingga menjadi model
stasioner. Ada beberapa model ARIMA yang dapat digunakan pada data time
series, yaitu:
1. Model Autoregressive ( AR)
Model Autogressive ( AR) dengan order p dinotasikan dengan AR( p). Bentuk
umum model AR( p) adalah:
t pt pt t e X X X +++=−−
φ φ K.11 (2.15)
dengan
t X
= nilai variabel pada waktu ke-t
iφ = koefisien autoregressive, i : 1,2,3,……., p
t e
= nilai galat pada waktu ke-t
p = order AR
Persamaan (2.15) dapat ditulis menggunakan operator B (backshift ):
7/22/2019 BAB2-06305149010 (1)S
http://slidepdf.com/reader/full/bab2-06305149010-1s 13/20
18
t t
p
pt t t e X B X B X B X ++++= φ φ φ K2
21 (2.16)
( ) t t e X B =1φ (2.17)
Order AR yang sering digunakan dalam analisis time series adalah p = 1 atau p =
2, yaitu model AR(1) dan AR(2).
a. Model AR(1)
Bentuk umum model AR(1) adalah
t t t e X X += −11φ (2.18)
Persamaan (2.18) dapat ditulis dengan operator backshift ( B), menjadi:
( ) t t e X B =− 11 φ (2.19)
b. Model AR(2)
Bentuk umum model Autoregressive order 2 atau AR(2), yaitu:
t t t t e X X X ++= −− 2211 φ φ (2.20)
Persamaan (2.20) dapat ditulis dengan operator backshift ( B), menjadi:
( ) t t e X B B =+−2
211 φ φ (2.21)
2. Model Moving Average ( MA)
Moving Average ( MA) merupakan nilai time series pada waktu t yang
dipengaruhi oleh unsur kesalahan pada saat ini dan unsur kesalahan terbobot pada
masa lalu (Makridakis, 1999: 524).
Model Moving Average ( MA) order q, dinotasikan menjadi MA(q). Secara
umum, model MA(q) adalah:
qt qt t t eee X −− −−−= θ θ K11 (2.22)
7/22/2019 BAB2-06305149010 (1)S
http://slidepdf.com/reader/full/bab2-06305149010-1s 14/20
dengan
X t =
=
et =
qt e − =
q =
Per
menjadi:
t X
t X
dan Bθ )(
Se
adalah q
Model
menjadi:
t X
Persamaa
t X
Sedangka
didefinisi
X
Persamaa
nilai varia
parameter
nilai galat
ilai kesala
rder MA
amaan (2.
( Bθ − 11
t e B)(θ ( Bθ −= 11
cara umum
1 atau q =
oving Ave
11 −− t t ee θ
(2.25) da
e B)1( 1θ −
model
an
1−= t t t ee θ
(2.27) da
el pada wa
odel ov
ada waktu
an pada sa
22) dapat
Bθ −K2
2
Bθ −− 2
2
, order MA
2, yaitu
age order
at ditulis d
t
oving A
221 −− − t eθ
at ditulis d
tu ke-t
ng Averag
ke-t
at qt −
ditulis
) t
q
q e Bθ −
)q
q Bθ − yang serin
(1) dan
1 atau
engan oper
erage ord
engan oper
( MA)
enggunaka
merupakan
g digunaka
(2).
A(1) seca
ator B (bac
er 2 atau
ator B (bac
n operato
operator
dalam an
a matema
shift ), me
MA(2) s
shift ), me
backshift
(
(
A(q).
alisis time
is didefini
(
jadi:
(
cara mate
(
jadi:
19
( B),
.23)
2.24)
eries
sikan
.25)
.26)
matis
.27)
7/22/2019 BAB2-06305149010 (1)S
http://slidepdf.com/reader/full/bab2-06305149010-1s 15/20
20
( ) t t e B B X 2
211 θ θ −−= (2.28)
3. Model Autoregressive Moving Average ( ARMA)( p,q)
Model Aoturegressive Moving Average ( ARMA) merupakan suatu
gabungan dari model AR( p) dan MA(q). Bentuk umum model ARMA( p,q), yaitu:
qt qt t pt pt t eee X X X −−−−
−−−+++= θ θ φ φ KK 1111 (2.29)
dengan
X t = nilai variabel pada waktu ke-t
iφ = koefisien autoregressive ke-i , i = 1, 2, 3, ..., p
p = order AR
q = order MA
iθ = parameter model MA ke-i , i = 1, 2, 3, ...,q
et = nilai galat pada waktu ke-t
a. Estimasi parameter model ARMA ( p,q)
Estimasi parameter model Autoregressive Moving Average ( ARMA)( p,q)
dilakukan dengan metode maksimum likelihood . Fungsi likelihood untuk model
Autoregressive Moving Average ( ARMA)( p,q) menurut Box-Jenkins (Hamilton,
1994: 132) adalah
0,,0,,,,,log 111 ==+−+ q p p p pT y y y y f ε ε KKK
( ) ( ) ∑+=
−−
−−
−=T
pt
t pT pT 2
22
2log
22log
2 σ
ε σ π
(2.30)
7/22/2019 BAB2-06305149010 (1)S
http://slidepdf.com/reader/full/bab2-06305149010-1s 16/20
21
dengan
pt pt t t t Y Y Y c y −−− −−−−= φ φ φ ε L2211
qt qt t t −−− −−−−− ε θ ε θ ε θ ε L2211 (2.31)
Proses perhitungan untuk mendapatkan estimator maksimum likelihood 1φ dan θ
dilakukan dengan software MINITAB.
J. Prosedur Pemodelan Autoregressive Integrated Moving Average ( ARIMA)
Langkah-langkah untuk menentukan model Autoregressive Integrated
moving Average ( ARIMA) adalah:
1. Identifikasi Model
Langkah pertama dalam pembentukan model Autoregressive Integrated
Moving Average ( ARIMA) adalah pembentukan plot data time series. Pembuatan
plot data time series bertujuan untuk mendeteksi stasioneritas data time series.
Data dikatakan stasioner jika pola data tersebut berada disekitar nilai rata-rata dan
variansi yang konstan selama waktu tertentu. Selain itu, stasioneritas dapat dilihat
dari plot Autocorrelation Function ( ACF ) data tersebut (Gambar 2.2).
2. Menentukan Orde Autoregressive ( AR)dan Moving Average ( MA)
Setelah data terbukti stasioner, langkah selanjutnya adalah menentukan
orde Autoregressive ( AR) yang sesuai. Hal ini dapat dilakukan dengan cara
melihat plot ACF dan PACF dari data tersebut. Plot Autocorrelation Function
( ACF ) dan Partial Autoregressive Function ( PACF ) akan cut off setelah proses
pada orde ke- p atau lag - p. Proses ini disebut dengan identifikasi model tentatif.
7/22/2019 BAB2-06305149010 (1)S
http://slidepdf.com/reader/full/bab2-06305149010-1s 17/20
22
Pemilihan model yang tepat dilakukan dengan mengidentifikasi orde
Autorehressive ( AR) dan Moving Average ( MA).
3. Estimasi Parameter
Setelah data terbukti stasioner, langkah selanjutnya adalah estimasi
parameter model. Metode yang digunakan untuk mengestimasi parameter
autoregressive yaitu metode kuadrat terkecil (least square method ) (Chatfield,
2003: 59). Model AR( p) dinyatakan dalam bentuk:
t pt pt t t X X X X ε φ φ φ ++++=−−−
K2211 (2.32)
Dari n observasi x1, x2, ..., xn parameter pφ φ φ ,,, 21 K dapat diestimasi
dengan meminimumkan jumlah kuadrat residual Sum Squared Error (SSE )
[ ]∑+=
−− −−−=n
pt
pt pt t X X X S 1
2
11 φ φ K
(2.33)
Sebagai contoh, diketahui model AR(1)
t t t X X ε φ +=−11
(2.34)
sehingga diperoleh galat 11 −−= t t t X X φ ε
Untuk mengestimasi parameter 1φ dengan meminimumkan jumlah kuadrat
residual
∑=
=n
t
t S 2
2ε
(2.35)
( )∑=
−−=
n
t
t t X X S 2
2
11φ
01
=∂
∂
φ
S
7/22/2019 BAB2-06305149010 (1)S
http://slidepdf.com/reader/full/bab2-06305149010-1s 18/20
23
( )( ) 022
111 =−−∑=
−−
n
t
t t t X X X φ
( ) ( ) 0222 2
2
111 =+− ∑ ∑= =
−−
n
t
n
t
t t t X X X φ
Estimator untuk parameter φ dinyatakan sebagai
( )
( )∑
∑
=
−
=
−
=n
t
t
n
t
t t
X
X X
2
2
1
2
1
1φ (2.36)
4. Uji Signifikansi Parameter
Berikut merupakan uji signifikansi parameter model pada parameter
autoregressive ( AR), yaitu
Hipotesis:
H 0 : 0=φ (parameter φ tidaksignifikan dalam model)
H 1 : 0≠φ (parameter φ signifikan dalam model)
Taraf signifikansi 05,0=α Statistik uji: uji t
( )φ φ
SE t hitung = (2.37)
Kriteria keputusan: tolak H0 jika2
α t t hitung > , dengan derajat bebas db = n-m,
dengan n banyaknya data dan m adalah banyaknya parameter dalam model.
5. Uji Asumsi Normalitas Error
Langkah selanjutnya yaitu uji kesesuaian model Autoregressive ( AR)
sementara. Uji kesesuaian model untuk membuktikan model sementara yang telah
7/22/2019 BAB2-06305149010 (1)S
http://slidepdf.com/reader/full/bab2-06305149010-1s 19/20
24
ditetapkan cukup memadai dengan menggunakan analisis galat untuk memenuhi
asumsi kenormalan model. Uji kenormalan model dilakukan dengan uji
Kolmogorov Smirnov.
Hipotesis:
H 0 : sampel berasal dari populasi berdistribusi normal
H 1 : sampel tidak berada dari populasi berdistribusi normal
Uji normalitas dilakukan menggunakan software MINITAB 16.
Kriteria keputusan: tolak H0 jika nilai signifikansi < α .
Selain melakukan uji Kolmogorov Smirnov, dilakukan uji white noise
untuk memenuhi asumsi tidak ada autokorelasi residual dengan menggunakan
statistik uji Ljung Box (persamaan 2.14).
6. Peramalan ( Forecasting)
Tujuan dalam analisis time series adalah untuk meramalkan nilai masa
depan (Wei, 2006: 88). Tujuan peramalan adalah untuk menghasilkan ramalan
optimum yang tidak memiliki galat atau sebisa mungkin galat yang kecil yang
mengacu pada Mean Square Deviation ( MSD) ramalannya. Oleh karena itu, setiap
model peramalan pasti mnghasilkan kesalahan. Jika tingkat kesalahan yang
dihasilkan semakin kecil, maka hasil peramalan akan semakin mendekati tepat.
Setelah semua tahap dilakukan dan diperoleh model, maka model ini selanjutnya
dapat digunakan untuk melakukan peramalan untuk data periode selanjutnya.
Alat ukur yang digunakan untuk menghitung kesalahan prediksi, antara
lain:
1. Mean Square Deviation ( MSD)
7/22/2019 BAB2-06305149010 (1)S
http://slidepdf.com/reader/full/bab2-06305149010-1s 20/20
25
MSD ( )∑=
−=n
t
t t X X n 1
2ˆ1 (2.38)
2. Mean Absolute Deviation ( MAD)
MAD ∑=
−=n
t
t t X X n 1
ˆ1 (2.39)
3. Mean Absolute Persentage Error ( MAPE )
MAPE ∑=
−=
n
t t
t t
X
X X
n 1
ˆ%100 (2.40)
dengan
n = banyaknya data
t X = data observasi pada waktu t
t X ˆ = data hasil peramalan pada waktu t
Semakin kecil nilai yang dihasilkan oleh ketiga alat ukur tersebut, maka model
peramalan yang digunakan akan semakin baik. Dari ketiga alat ukur diatas, MSD
yang paling sering digunakan. Pada software MINITAB, MSD untuk model
Seasonal ARIMA dinyatakan dengan MS .