bai tap ca nam toan lop 11 -

8/7/2019 Bai Tap Ca Nam Toan Lop 11 - www.vnmath.com

http://slidepdf.com/reader/full/bai-tap-ca-nam-toan-lop-11-wwwvnmathcom 1/32

Tr ườ ng THPT Ngô Thờ i Nhiệm Bài tậ p toán 11

64

w w w . V N

M A T H . c o m

www.VNMATH.com




2


63

®Ò 2

Bài 1: Tìm

a) 6

293lim

3

23

2 −−

−−+→ x x

x x x

x b)

21

3 2lim

1 x

x

x →

+ −

−

Bài 2: Xét tính liên tục của hàm số sau trên tậ p xác định của nó: ⎧ + +

≠ −⎪= +⎨

⎪⎩

23 2

, khi x 2( ) 2

3 , khi x = -2

x x

f x x

Bài 3: Cho hàm số y = f(x) = 2x3 – 6x +1 (1)a) Tìm đạo hàm cấ p hai của hàm số (1) r ồi suy ra ( 5) f ′′ − . b) Viết phươ ng trình tiế p tuyến của đồ thị hàm số (1) tại

điểm Mo(0; 1).c) Chứng minh PT f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm nằm

trong khoảng (-1; 1).Bài 4: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh

a có góc BAD = 600

và SA=SB = SD = a.a) Chứng minh (SAC) vuông góc vớ i (ABCD). b) Chứng minh tam giác SAC vuông.c) Tính khoảng cách từ S đến (ABCD).

w w w . V N

M A T H . c o m




62

MỘT SỐ ĐỀ THI THAM KHẢO

®Ò 1

Câu 1: Tính giớ i hạn của hàm số a)

2

3

2 9 9lim

3 x

x x

x→

− −

−b)

22 4 1lim

3 2 x

x x

x→−∞

− +

− +

Câu 2: Xét tính liên tục của hàm số trên tậ p xác định của nó:

f(x) =

22 10 22 4

4 17 2

x x x

x

x x

⎧ − + + < −⎪+⎨

⎪ + ≥ −⎩

nÕu

nÕu

Câu 3: Tính đạo hàm của các hàm số:a) y = 3x3 - 4x2 + 8

b) y =22 5 1

3 4

x x

x

+ −

−

c) y = 3sin3x - 3cos24xCâu 4:

a) Viết phươ ng trình tiế p tuyến của đồ thị hàm số (C)y = - 2x4 + x2 – 3 tại điểm thuộc (C) có hoành độ x0 = 1.

b) Cho hàm số y = x.cosx.Chứng minh r ằng: x.y – 2(y’ - cosx) + x.y” = 0

Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác cân ở B và ABC =1200, SA ⊥ (ABC) và SA = AB = 2a. Gọi O là trungđiểm của đoạn AC, H là hình chiếu của O trên SC.

a) Chứng minh: OB ⊥ SC. b) Chứng minh: (HBO) ⊥ (SBC).c) Gọi D là điểm đối xứng vớ i B qua O. Tính khoảng

cách giữa hai đườ ng thẳng AD và SB.


3

Chươ ng I:HÀM SỐ LƯỢ NG GIÁC – PHƯƠ NG TRÌNH

LƯỢ NG GIÁC

PHẦN 1. HÀM SỐ LƯỢ NG GIÁC

Bài 1. Tìm tậ p xác định của các hàm số sau:

1. 1sin

1

+=

−

x y

x2.

3sin2

2cos3=

x y

x

3. cot(2 )4

π = − y x 4. 2tan( 5 )

3π = + y x

5.1

cos1

−=

+

x y

x6.

sin 2

cos 1

+=

+

x y

7.1

sin cos=

− y

x x8.

2 2

3 tan

cos sin

+=

−

x y

x x

9. sin coscos 1 1 sin

= +− +

x x y x x

10. 212 sintan 1= + −

− y x

x

Bài 2. Xác định tính chẵn, lẻ của các hàm số: 1.

cos3 x y

x= 2. 2 2sin y x x= −

3. 2sin y x x= + 4. 21tan 1

2 y x= +

5. 23sin cos y x x= − 6. tan 2 cos y x x= + Bài 3. Tìm giá tr ị lớ n nhất, giá tr ị nhỏ nhất của các hàm số:

1. y 2sin(x ) 33

π

= − + 2.1

y=3- cos2x2

3.21 3cos

y=2

x+4. 2 4sin cos y x x= −

5.2

4sin cos2 y x x= − 6. 3 cos2 1 y x= +

w w w . V N

M A T H . c o m




4

7. 7 3 sin3 y x= − 8. 2 25 2sin cos y x x= −

Bài 4. Hãy xét sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:1. sin y x= − 2. 2 sin y x= −

3. sin( )3

y xπ

= + 4. cos 1 y x= +

PHẦN 2. PHƯƠ NG TRÌNH LƯỢ NG GIÁC

DẠNG 1. PHƯƠ NG TRÌNH LƯỢ NG GIÁC CƠ BẢN

Bài 1. Giải các phươ ng trình sau:

1.1

sin32

x = 2.2

cos22

x = −

3. tan( ) 34

xπ

− = 4. s in2 s in2 cos 0 x x x− =

5. s in3 cos2 0 x x− = 6. t an4 cot 2 1 x x =

7. 2 cos( ) 1 06

xπ

− + = 8. tan(2 ) t an3 03

x xπ

+ + =

9. 2cos 2sin 02

x x − = 10. 4 4 2

cos sin2

x x− =

11.1

sin cos sin cos2 3 3 2 2

x xπ π

+ =

12. 3 3 2sin cos cos sin

8 x x x x− =

13. 2 2 2cos cos 2 cos 3 1 x x x+ + =

14.2 2 17

sin 2 cos 8 sin( 10 )2

x x xπ

− = +

15.

4 6

cos sin cos2 x x x+ =


61

3. Dựng và tính độ dài đoạn vuông góc chung của AB và

SD

4. Tính : d[ ])(, SACM

Bài 6. Cho hình lăng tr ụ ABC.A′B′C′ có AA′ ⊥ (ABC) và AA′

= a, đáy ABC là tam giác vuông tại A có BC = 2a, AB = a 3 .1. Tính khoảng cách từ AA′ đến mặt phẳng (BCC′B′).2. Tính khoảng cách từ A đến (A′BC).3. Chứng minh r ằng AB ⊥ (ACC′A′) và tính khoảng cách

từ A′ đến mặt phẳng (ABC′).

Bài 7. Cho hình lậ p phươ ng ABCD.A’B’C’D’.

1. Chứng minh: B’D ⊥ (BA’C’); B’D ⊥ (ACD’)

2. Tính d (BA'C'),(ACD')⎡ ⎤⎣ ⎦

3.

Tính d (BC'),(CD')⎡ ⎤⎣ ⎦

w w w . V N

M A T H . c o m




60

1. OA và BC 2. AI và OC.

Bài 2. Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD là hình vuông tâm O,cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = a. Tính khoảng cách giữa haiđườ ng thẳng:

1. SC và BD. 2. AC và SD.

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông

canh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = 3a . Tính:

1. Giữa SC và BD ; giữa AC và SD.

2. d [ ])(, ABCD A

3. d [ ])(, SBC O vớ i O là tâm của hình vuông.

4. d [ ])(, ABCD I vớ i I là trung điểm của SC.

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang

vuông tại A và D AB = DC = a , SA ⊥ (ABCD) và SA = 2a

Tính :

1. d [ ])(, SCD A ; d[ ])(, SBC A

2. d [ ])(, SCD AB

3. d [ ])(, SCD AB

4. d [ ])(, SBC DE , E là trung điểm của ABBài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a ,tam

giac SAD đều và (SAD) ⊥ (ABCD) .gọi I là trung điểm của Sb

va K =CM ∩ BI

1. Chứng minh (CMF) ⊥ (SIB)

2.

Chứng minh : tam giac BKF cân tại K


5

16.1 cos4 s in4

02s in2 1 cos4

x x

x x

−− =

+

17. 2 2 1sin cos cos2

x x x ++ =

18.

2(2 3)cos 2sin ( )2 4 1

2 cos 1

x x

x

π

− − −=

−

Bài 2. Giải và biện luận phươ ng trình:1. sin 2 1 x m= −

2. (4 1)cos cos 8m x m x− = − 3. 4tan ( 1) tan x m m x− = +

4. 2(3 2)cos2 4 sin 0m x m x m− + + = Bài 3. Tìm m để phươ ng trình:

1. 2 sin( )4

x mπ

+ = có nghiệm (0; )2

xπ

∈

2.7

(2 )sin( ) (3 2)cos(2 ) 2 02m x m x mπ

π + + − + − + − = cónghiệm.

DẠNG 2. PHƯƠ NG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚ I MỘTHÀM SỐ LƯỢ NG GIÁC


1. 24cos 2( 3 1)cos 3 0 x x− + + = 2. 2 2cos x 5sinx – 4 0+ = 3. 2cos2x – 8cosx 5 0 + = 4. 2cosx.cos2x 1 cos2x cos3x= + +

5. 22

33 2 tan

cos= + x

x

6. 5tan x 2cotx 3 0− − =

7. 26sin 3 cos12 4 x x+ =

w w w . V N

M A T H . c o m




6

8. 2cos2 3cos 4 cos

2 x x

x− =

9. 2cos4cot tansin2

x x x x

= +

10.2cos (2sin 3 2) 2sin 3

11 sin2

x x x

x

+ + −=

+

11. 4 43tan 2 tan 1 0 x x+ − =

12.1 1

cos sinsin cos

x x x x

− = −

13. 2

2

1 1cos 2(cos ) 1

coscos x x

x x+ − + =

14.2 2

1 14

sin cossin cos x x x x+ =

Bài 2. Tìm m để phươ ng trình sau có nghiệm:

1. 2cos (1 )cos 2 6 0 x m x m+ − + − =

2. 24 cos 2 4 cos2 3 3 0 x x m− − − =

Bài 3. Cho phươ ng trình: cos2 ( 2)sin 1 0 x a x a+ + − − = 1. Giải phươ ng trình đã cho khi a = 1.

2. Vớ i giá tr ị nào của a thì phươ ng trình đã cho cónghiệm?

DẠNG 3. PHƯƠ NG TRÌNH BẬC NHẤT THEOSINu VÀ COSu


1. 2sincos3 =− x x

2. 1sin3cos −=− x x


59

1. Chứng minh: (SAB) ⊥ (SAD), (SAB) ⊥ (SBC).

2. Tính góc giữa hai mp (SAD), (SBC).

3. Gọi H, I lần lượ t là trung điểm của AB và BC. Chứng

minh: (SHC) ⊥ (SDI).

Bài 10. Cho tam giác ABC vuông tại A. Gọi O, I, J lần lượ t là

trung điểm của BC và AB, AC. Từ O k ẻ đoạn thẳng

OS ⊥ (ABC).

1. Chứng minh: (SBC) ⊥ (ABC).2. Chứng minh: (SOI) ⊥ (SAB).

3. Chứng minh: (SOI) ⊥ (SOJ).

Bài 11. Cho tam diện ba góc vuông Oxyz (3 tia Ox, Oy, Oz đôi

một vuông góc). Lần lượ t lấy trên Ox, Oy, Oz các điểm B, C, A

sao cho OA = a, OB = b, OC = c. Các đườ ng cao CH va BK củatam giác ABC cắt nhau tại I.

1. Chứng minh: (ABC) ⊥ (OHC).

2. Chứng minh: (ABC) ⊥ (OKB).

3. Chứng minh: OI ⊥ (ABC).

4. Gọi α, β, γ lần lượ t là góc tạo bở i OA, OB, OC vớ i OI.

Chứng minh: cos2α + cos2 β + cos2 γ = 1.

KHOẢNG CÁCH

Bài 1. Cho hình tứ diện OABC, trong đó OA, OB, OC = a. Gọi I

là trung điểm của BC. Hãy dựng và tính độ dài đoạn vuông gócchung của các cặ p đườ ng thẳng:

w w w . V N

M A T H . c o m




58

1. Chứng minh: (SBC) ⊥ (ABC).

2. Chứng minh: (SOI) ⊥ (ABC).

Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a. Tam

giác SAB đều nằm trong mặt phẳng vuông góc vớ i đáy. I, J, K

lần lượ t là trung điểm của AB, CD, BC.

1. Chứng minh: SI ⊥ (ABCD).

2. Chứng minh: trên mặt phẳng SAD và SBC là những tam

giác vuông.3. Chứng minh: (SAD) ⊥ (SAB), (SBC) ⊥ (SAB).

4. Chứng minh: (SDK) ⊥ (SIC).

Bài 7. Cho tứ diện ABCD có cạnh AD ⊥ (BCD). Gọi AE, BF

là hai đườ ng cao của tam giác ABC, H và K lần lượ t là tr ực tâm

của tam giác ABC và tam giác BCD.1. Chứng minh: (ADE) ⊥ (ABC).

2. Chứng minh: (BFK) ⊥ (ABC).

3. Chứng minh: HK ⊥ (ABC).

Bài 8. Trong mp (P) cho hình thoi ABCD vớ i AB = a, AC =

2 63a . Trên đườ ng thẳng vuông góc vớ i mp (P) tại giao điểm O

của hai đườ ng chéo hình thoi ta lấy S sao cho SB = a.

1. Chứng minh: ∆ SAC vuông.

2. Chứng minh: (SAB) ⊥ (SAD).

Bài 9. Cho hình vuông ABCD. Gọi S là điểm trong không gian

sao cho SAB là tam giác đều và (SAB) ⊥ (ABCD).


7

3. s in3 3 cos3 2 x x+ =

4. 22 cos 3 s in2 2 x x− =

5. 2s in2 cos2 3 cos4 2 0 x x x+ + =

6. )7sin5(cos35sin7cos x x x x −=−

7.41

)4

(cossin 44 =++π

x x

8. tan 3cot 4(sin 3 cos ) x x x x− = +

9.2 1

sin 2 sin 2 x x+ =

10. 33sin3 3 cos9 1 4sin 3 x x x− = +

11.3(1 cos 2 )

cos2sin

x x

x

−=

12.cos sin

cot tansin cos

x x x x

x x

−− =

Bài 2. Định m để phươ ng trình sau đây có nghiệm:1. sin 2 cos 3m x x+ = 2. s in2 cos2 2 0 x m x m+ + = 3. cos3 ( 2)s in3 2m x m x+ + = 4. (sin 2cos 3) 1 cos x x m x+ + = + 5. (cos sin 1) sinm x x x− − = 6. (3 4 )cos2 (4 3)s in2 13 0m x m x m+ + − + =

Bài 3. Cho phươ ng trình: sin cos 1 x m x+ = 1. Giải phươ ng trình khi 3m = − .2. Định m để phươ ng trình trên vô nghiệm.

DẠNG 4. PHƯƠ NG TRÌNH THUẦN NHẤT BẬC HAITHEO SINu VÀ COSu

Bài 1. Giải các phươ ng trình sau:1. 2 2sin x 3 sinxcosx – 4cos x 0+ =

w w w . V N

M A T H . c o m




8

2. 2 23sin x 8sinxcosx ( 8 3 9)cos x 0+ + − =

3. 2 24sin x 3 sin2x – 2cos x 4+ =

4. 2 22sin x – 5sinx.cosx – cos x 2= −

5. 2 24sin 3 3 sin 2 cos 42 2

x x x+ − =

6. 2 22sin 6sin cos 2(1 3)cos 5 3 x x x x+ + + = +

7. 3 2 3sin 2sin cos 3cos 0 x x x x+ − =

8. 3 2 34sin 3sin cos sin cos 0 x x x x x+ − − =

9. 3 3 2 2sin 3 cos sin cos 3 sin cos x x x x x x− = −

10.2

2 tan cot 3sin2

x x x

+ = +

Bài 2. Tìm m để phươ ng trình sau có nghiệm:1. 2 2sin 2s in2 3 cos 2m x x m x+ + =

2. 2 2sin s in2 ( 1)cos 0 x m x m x− − + =

DẠNG 5. PHƯƠ NG TRÌNH ĐỐI XỨ NG – PHẢN XỨ NG

Bài 1. Giải các phươ ng trình sau:1. 2(sin cos ) 3sin cos 2 0 x x x x+ + + =

2. ( )3 sinx cosx 2sin2x 3 0+ + + =

3. ( )sin2x –12 sinx –cosx 12= −

4. ( )2 cosx sinx 4sinxcosx 1+ = + 5. cosx –sinx –2sin2x –1 0=

6. (1 2)(sin cos ) 2sin cos 1 2 0 x x x x+ + − − − =

7. 3 3sin cos 1 sin cos x x x x+ = −

8. 3 3sin cos 2(sin cos ) 1 x x x x+ = + −

9. tan cot 2(sin cos ) x x x x+ = +


57

3. Gọi BE, DF là hai đườ ng cao của tam giác SBD. Chứng

minh r ằng: (ACF) ⊥ (SBC), (AEF) ⊥ (SAC).

Bài 2. Cho tứ diện ABCD có các mặt ABD và ACD cùng vuông

góc vớ i mặt BCD. Gọi DE ,BK là đườ ng cao tam giác BCD và

BF là đườ ng cao tam giác ABC

1. Chứng minh : AD ⊥ (BCD)

2. Chứng minh : (ADE) ⊥ (ABC)

3. Chứng minh : (BKF) ⊥ (ABC)4. Chứng minh : (ACD) ⊥ (BKF)

5. Gọi O và H lần lượ t là tr ực tâm của hai tam giác BCD và

ABC chứng minh : OH ⊥ (ABC)

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh

a. SA= SB= SC=a. Chứng minh :1. (ABCD) ⊥ (SBD)

2. Tam giác SBD là tam giác vuông.

Bài 4. Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm của cạnh

BC, D là điểm đối xứng của A qua I. Dựng đoạn SD =6

2

a

vuông góc vớ i (ABC). Chứng minh:

1. (SAB) ⊥ (SAC).

2. (SBC) ⊥ (SAD).

Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác là tam

giác vuông tại A, AB = 2a, AC = a, SA = SB = SC = 2a . Gọi

O là trung điểm của BC, I là trung điểm của AB.

w w w . V N

M A T H . c o m




56

3. Tính góc [(SMC), (ABC)].

Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang

vuông tại A và D vớ i AB = 2a, AD = DC = a, SA = 2a . SA

⊥ (ABCD). Tính góc giữa các mặt phẳng.

1. (SBC) và (ABC).

2. (SAB) và (SCB).

3. (SCB) và (SCD).

Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD tâm

O, cạnh a ABC = 600, SO ⊥ (ABCD) và SO =3

4

a. Tính số đo

nhị diện cạnh AB.


cạnh a, tâm O, SA⊥

(ABCD) và SA = x (x>0).1. Tính sđ [S, BC, A] theo a và x. Tính x theo a để số đo nhị

diện trên bằng 600.

2. Tính sđ[B, BC, D] theo a và x. Tính x theo a để số đo nhị

diện trên bằng 1200

HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC

Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình vuông, SA

⊥ (ABCD).

1. Chứng minh: (SAC) ⊥ (SBD).

2. Chứng minh: (SAD) ⊥ (SCD), (SAB) ⊥ (SBC).


9

10.cos2

sin cos1 s in2

x x x

x+ =

−

Bài 2. Định m để phươ ng trình sau có nghiệm:1. sin cos 1 s in2 x x m x+ = +

2. 2s in2 2 2 (sin cos ) 1 6 0 x m x x m− + + − =

DẠNG 6. PHƯƠ NG TRÌNH LƯỢ NG GIÁC KHÔNG MẪUMỰ C

Bài tập. Giải các phươ ng trình sau: 1. sin .s in2 1 x x = −

2. 2 1007cos 8sin 8 x x+ =

3. sin cos 2(2 s in3 ) x x x+ = −

4. 3 3 4sin cos 2 s in x x x+ = −

MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC1. 2(1 2sin ) cos 1 sin cos x x x x+ = + +

2. 3 cos5 2sin 3 cos 2 sin 0 x x x x− − =

3. 3sin cos sin 2 3 cos3 2(cos 4 sin ) x x x x x x+ + = +

4.(1 2sin ) osx

3

(1 2sin )(1 s inx)

x c

x

−=

+ −

5. sin 3 3 cos3 2sin 2 x x x− = 6. 2sin (1 cos 2 ) sin 2 1 2cos x x x x+ + = +

7. 3 3 2 2sin 3 cos sin cos 3 sin cos x x x x x x− = −

8.1 1 7

4sin( )3sin 4sin( )2

x x

x

π

π

+ = −−

w w w . V N

M A T H . c o m




10

9. 2(sin cos ) 3 cos 22 2

x x x+ + =

10.

2

2sin 2 sin 7 1 sin x x x+ − =

11. 2 2(1 sin )cos (1 cos )sin 1 sin 2 x x x x x+ + + = + 12. cos3 cos 2 cos 1 0 x x x+ − − =

13. cot sin (1 tan tan ) 42

x x x x+ + =

14.6 62(cos sin ) sin cos

02 2sin

x x x x

x

+ −=

−

15. 4 4 3cos sin cos( )sin(3 ) 04 4 2

π π + + − − − = x x x x

16. 1 sin cos sin 2 cos 2 0 x x x x+ + + + = 17. 2 2cos 3 cos 2 cos 0 x x x− = 18. 25sin 2 3(1 sin ) tan x x x− = − 19. (2cos 1)(2sin cos ) sin 2 sin x x x x x− + = −

20.

2

cot tan 4sin 2 sin2 x x x x− + =


55

Bài 4. Cho hình vuông ABCD và tam giác đều SAB cạnh a nằm

trong hai mặt phẳng vuông góc nhau. Gọi I là trung điểm của

AB.1. Chứng minh: SI (ABCD)⊥ và tính góc giữa SC và

(ABCD).

2. Gọi J là trung điểm CD. Chứng tỏ: (SIJ) (ABCD)⊥ . Tính

góc hợ p bở i SI và (SDC).

Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm

O, cạnh a, SA ⊥ (ABCD) và SA = a. Tính:

1. [SAB, (SCD)].

2. [SAB, (SBC)].

3. [SAB, (SAC)].

4. [SCD, (ABCD)].5. [SBC, (SCD)].

6. sđ [S, BC, A].

7. sđ[C, SA, D].

8. sđ[A, SB, D].

9.

sđ[B, SC, A].Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABC là tam giác vuông

tại B, AB = 2a, BC = 3a , SA ⊥ (ABC) và SA = 2a. Gọi M là

trung điểm của AB.

1. Tính góc [(SBC), (ABC)].

2.

Tính đườ ng cao AK của ∆ AMC.

w w w . V N

M A T H . c o m




54

4. Gọi d là đườ ng thẳng vuông góc vớ i (ABC) tại trung điểm

K của BC tìm d ∩ (α ).

- GÓC GIỮ A ĐƯỜ NG THẰNG VÀ MẶT PHẲNG

- GÓC GIỮ A HAI MẶT PHẲNG


cạnh a, tâm O, SO ⊥ (ABCD), M, N lần lượ t là trung điểm của

SA và BC, biết 0( ,( )) 60 MN ABCD = .

1. Tính MN và SO.

2. Tính góc giữa MN và mp(BCD).


cạnh a. SA ⊥ (ABCD) và SA = a 6 . Tính góc giữa:

1. SC và (ABCD)

2. SC và (SAB)

3. SC và (SBD)

4. SB và (SAC)

Bài 3. Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ (BCD) và AB = 3a ,

BCD là tam giác đều cạnh a. Tính góc giữa:

1. AC và (BCD).

2. AD và (BCD).

3. AD và (ABC).


11

Chươ ng II. TÔ HỢ P – XÁC SUẤT

PHẦN 1. HOÁN VN - CHỈNH HỢ P - TỔ HỢ P

Bài 1. Có 25 đội bóng tham gia thi đấu, cứ 2 đội thì đá vớ i nhau2 tr ận ( đi và về). Hỏi có tất cả bao nhiêu tr ận đấu?Bài 2.

1. Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể lậ p đượ c bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số?

2.

Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lậ p đượ c baonhiêu số tự nhiên có 3 chữ số và là số chẵn?3. Có bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhauvà chia hết cho 5?

Bài 3. Một hội đồng nhân dân có 15 ngườ i, cần bầu ra 1 chủ tịch, 1 phó chủ tịch, 1 thư kí. Hỏi có mấy cách nếu không aiđượ c kiêm nhiệm?Bài 4. Trong một tuần, An định mỗi tối đi thăm 1 ngườ i bạn

trong số 10 ngườ i bạn của mình. Hỏi An có thể lặ p đượ c baonhiêu k ế hoạch thăm bạn nếu:1. Có thể thăm 1 bạn nhiều lần?2. Không đến thăm 1 bạn quá 1 lần?

Bài 5. Có bao nhiêu cách xế p 10 học sinh thành một hàng dọc?Bài 6. Có bao nhiêu cách xế p 5 bạn A, B,C,D,E vào một ghế dài5 chỗ nếu:

1. Bạn C ngồi chính giữa.

2. Hai bạn A và E ngồi hai đầu ghế.Bài 7. Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể thiết lậ p đượ c bao nhiêusố có 6 chữ số khác nhau mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnhnhau?Bài 8. Có 2 sách Toán khác nhau, 3 sách Lý khác nhau và 4sách Hóa khác nhau.Cần sắ p xế p các sách thành một hàng saocho các sách cùng môn k ề nhau. Hỏi có bao nhiêu cách?Bài 9. Giải :

1. P2.x2 – P3.x = 8

w w w . V

N M A T H . c o m




12

2. 1

1

1

6

x x

x

P P

P

−

+

−=

3. 12

4 15. −+

+ <nnn

n

PPPP

Bài 10. Sắ p xế p 5 ngườ i vào một băng ghế có 7 chỗ. Hỏi có baonhiêu cách?Bài 11. Từ tậ p hợ p { }X 0; 1; 2; 3; 4; 5= có thể lậ p đượ c

mấy số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau.Bài 12. Có 10 quyển sách khác nhau và 7 cây bút khác nhau.

Cần chọn ra 3 quyển sách và 3 cây bút để tặng cho 3 học sinh,mỗi em đượ c tặng 1 quyển sách và 1 cây bút. Có mấy cách?Bài 13. Giải:

1. 2 2x 2x2A +50=A , x N∈

2. 3 25n n

A A+ = 2(n + 15)

3. 2 223 42 0.

n n A A− + =

4. 2 22 6 12n n n nP A P A+ − =

5. 10 9 89 .

x x x A A A+ =

6. 42

2 1

1430

4

n

n n

A

P P

+

+ −

− <

7. 44 15

( 2)! ( 1)!

n A

n n

+ <

+ −

Bài 14. Có 10 cuốn sách toán khác nhau. Chọn ra 4 cuốn, hỏi có bao nhiêu cách?Bài 15. Một nhóm có 5 nam và 3 nữ. Chọn ra 3 ngườ i sao chotrong đó có ít nhất 1 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách?Bài 16. Từ 20 câu hỏi tr ắc nghiệm gồm 9 câu dễ, 7 câu trung bình và 4 câu khó ngườ i ta chọn ra 10 câu để làm đề kiểm trasao cho phải có đủ cả 3 loại dễ, trung bình và khó. Hỏi có thể lậ p đượ c bao nhiêu đề kiểm tra ?


53

1. Xác định mặt phẳng α

2. Tính diện tích của thiết diện của tứ giác vớ i mặt phẳng α

Bài 12. Cho tam giác đều ABC có đườ ng cao AH = 2a. Gọi O làtrung điểm của AH. Trên đườ ng thẳng vuông góc vớ i (ABC) tại

O, lấy điểm S sao cho OS = 2a. Gọi I là một điểm trên OH, đặt

AI = x (a<x<2a), ( α ) là mặt phẳng qua I và vuông góc vớ i OH

1. Xác định (α )

2. Tìm thiết diện của tứ diện SABC và α 3. Tính diện tích cua thiết diên theo a và x

Bài 14. Cho tứ diện SABC có hai mặt ABC và SBC là 2 tam

giác đều cạnh a và SA =3

2

a. Lấy điểm M thuộc AB và AM =

x (0<x<a).gọi (α

) là mặt phẳng qua M và vuông góc vói BC, Dlà trung điểm của BC

1. Chứng minh: (α ) // (SAD)

2. Tìm thiết diện của tứ diện SABC và (α )

3. Tính diện tích của thiết diện theo a và x

Bài 15. Cho hình chóp S.ABC đáy là tam giác vuông cân tại B,

AB = BC =2a. Cạnh SA ⊥ (ABC) và SA =a 2

1. Chứng minh các mặt của hình chóp là các tam giac vuông

2. Gọi (α ) là mặt phẳng trung tr ực của cạnh SB. Tìm thiết

diện của hình chóp vớ i (α )

3. Tính diện tích của thiết diện

w w w . V

N M A T H . c o m




52

5. Tam giác ABC là tam giác nhọn các góc của tam giác đều

nhọn.

Bài 8. Cho hình chóp S.ABCD đáy là tam giác đều cạnh a, SA

⊥ (ABC). Gọi O là tr ực tâm tam giác ABC, H là tr ực tâm tam

giác SBC, I là trung điểm của BC .

1. Chứng minh: BC ⊥ (SAI) và CO ⊥ (SAB).

2. Chứng minh: H = h/c O/(SBC).

3. Gọi N = OH ∩ SA. Chứng minh : SB ⊥ CN và SC ⊥ BN

Bài 9. Cho tứ diện S.ABC có SA ⊥ (ABC). Gọi H, K lần lượ t

là tr ực tâm của các tam giác ABC và SBC. Chứng minh:

1. AH, SK, BC đồng quy

2. SC ⊥ (BHK)3. HK ⊥ (SBC)

Bài 10. Cho tứ diện S.ABC có tam giác ABC vuông cân đỉnh B,

AB =a,SA ⊥ (ABC) và SA =a 3 . Lấy điểm M tùy ý thuộc

cạnh AB vớ i AM =x (0<x<a). Gọi α là mặt phẳng qua M và

vuông góc vớ i AB1. Tìm thiết diện của tứ diện và α

2. Tính diện tích của thiết diện theo a và x

Bài 11. Cho tứ diện S.ABC có tam giác ABC vuông cân đỉnh B,

AB =a, SA ⊥ (ABC) SA =a. Gọi α là mặt phẳng qua trung

điểm M của AB và vuông góc vói SB


13

Bài 17. Hội đồng quản tr ị của một công ty gồm 12 ngườ i, trongđó có 5 nữ. Từ hội đồng quản tr ị đó ngườ i ta bầu ra 1 chủ tịchhội đồng quản tr ị, 1 phó chủ tịch hội đồng quản tr ị và 2 ủy viên.

Hỏi có mấy cách bầu sao cho trong 4 ngườ i đượ c bầu phải cónữ ?Bài 18. Đội thanh niên xung kích của một tr ườ ng phổ thông có12 học sinh gồm 5 học sinh lớ p A, 4 học sinh lớ p B và 3 họcsinh lớ p C. Tính số cách chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ saocho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớ p trên.Bài 19. Một hộ p đựng 15 viên bi khác nhau gồm 4 bi đỏ, 5 bitr ắng và 6 bi vàng. Tính số cách chọn 4 viên bi từ hộ p đó saocho không có đủ 3 màu.Bài 20. Một lớ p học có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Có 6học sinh đượ c chọn ra để lậ p một tố p ca. Hỏi có bao nhiêu cáchchọn khác nhau.1. Nếu phải có ít nhất là 2 nữ.2. Nếu phải chọn tuỳ ý.

Bài 21. Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư khác nhau. Ngườ i ta

muốn chọn ra 3 tem thư và 3 bì thư r ồi dán 3 tem thư vào 3 bìthư đó. Có bao nhiêu cách ?Bài 22. Một đội thanh niên tình nguyện có 15 ngườ i, gồm 12nam, 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội đó về 3 tỉnhmiền núi sao cho mỗi tỉnh đều có 4 nam, 1 nữ ?Bài 23. Giải :

1. 1 2 3x x x

7C +C +C = x

2

2. 3 2 2x-1 x-1 x-2

2C C = A3

−

3. 1 2 1x x+1 x+4

1 1 7=

C C 6C−

4. 3032 221 <++ x x AC

5. 106

2

1 322 +≤− x x

x

x C

x

A A

Bài 24. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của nhị thức:

w w w . V

N M A T H . c o m




14

1.10

4

1 x

x

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠2.

123

3⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

x

x

3.5

3

2

1 x

x

⎛ ⎞−⎜ ⎟

⎝ ⎠4.

7

4

3 1⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

x x

Bài 25. Tìm số hạng thứ 31 trong khai triển40

2

1⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ +

x x

Bài 26. Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển10

3

5

1⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜

⎝

⎛ + x

x

Bài 27. Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức

Niu-tơ n 53

1n

x x

⎛ ⎞+⎜ ⎟

⎝ ⎠, biết r ằng ( )1

4 3 7 3n n

n nC C n++ +− = + .

Bài 28. Cho biết tổng 3 hệ số của 3 số hạng đầu tiên trong khai

triển 2 2

3

n

x⎛ ⎞

−⎜ ⎟⎝ ⎠

là 97. Tìm số hạng chứa x4.

Bài 29. Tính tổng:

1. 0 1 21

... .n

n n n nS C C C C = + + + +

2. 0 2 42

...n n nS C C C = + + +

3. 1 3 53

...n n n

S C C C = + + +

4. 0 1 2 24

2 2 ... 2 ... 2 .k k n n

n n n n nS C C C C C = + + + + + +

5. 0 2 2 4 45

2 2 ...n

n nS C C C = + + +

Bài 30. Chứng minh:1. nn

nnnn C C C C 2.......210 =++++

2. 0 2 4 2 1 3 5 2 12 2 2 2 2 2 2 2

... ...n n

n n n n n n n nC C C C C C C C −+ + + + + = + + + + + +

3.

0 1 2 2

6 6 ... 6 7

n n n

n n n nC C C C + + + + =


51

3. Chứng minh: HK// BD OH=OK.

4. Chứng minh: HK ⊥ (SAC).

5. Chứng minh: AI ⊥ HK.6. Tìm mặt phẳng trung tr ực của đoạn BD và HK. Giải thích.

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông tâm O cạnh a

SA ⊥ (ABCD) và SA=a 2 . Gọi (α ) là mặt phẳng qua A và

vuông góc vớ i SC, cắt SB, SC, SD lần lượ t H, M, K.

1. Chứng minh: AH ⊥ SB, AK ⊥ SD.2. Chứng minh: BD // (α ) suy ra BD // HK.

3. Chứng minh: HK qua tr ọng tâm của tam giác SAC.

Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O.

Biết r ằng SA=SC SB=SD. Chứng minh:

1. SO ⊥ (ABCD).2. AC ⊥ SD

Bài 6. Cho tứ diện ABCD. Chứng minh r ằng nếu AB ⊥ BD và

AC ⊥ BD thì AD ⊥ BC.

Bài 7. Cho tứ diện có OA, OB, OC đôi một vuông góc vớ i nhau.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm O trên (ABC). Chứngminh:

1. OA ⊥ BC, OB ⊥ CA, OC ⊥ AB.

2. BC ⊥ (OAH), AB ⊥ (OCH)

3. H là tr ực tâm của tam giác ABC

4. 2 2 2 2

1 1 1 1

OH OA OB OC = + +

w w w . V

N M A T H . c o m




50

1. Xác định góc giữa các cặ p vectơ : ' ' AB vaø A C

;

' ' AB vaø A D

; ' AC vaø BD

.

2. Tính các tích vô hướ ng của các cặ p vectơ : ' ' AB vaø A C

;' ' AB vaø A D

; ' AC vaø BD

.

- ĐƯỜ NG THẲNG VUÔNG GÓC VỚ I MẶT PHẲNG- HAI ĐƯỜ NG THẲNG VUÔNG GÓC

Bài 1. Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông tại B vàSA ⊥ (ABC).

1. Chứng minh: BC ⊥ (SAB).

2. Gọi M và N là hình chiếu của A trên SB và SC, MN cắt BC

tại I. Chứng minh: AM ⊥ (SBC) , SC ⊥ (AMN).

3. Chứng minh AI ⊥ SCBài 2. Cho tứ diện ABCD có AB=AC , DB=DC . Gọi I là trung

điểm của BC.

1. Chứng minh BC ⊥ (AID).

2. Vẽ dườ ng cao AH của tam giác AID. Chứng minh

AH⊥

(BCD).Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm

O, SA ⊥ (ABCD). Gọi H,I,K lần lượ t là hình chiếu vuông góc

của điểm A trên SB, SC, SD.

1. Chứng minh: BC ⊥ (SAB) CD ⊥ (SAD) BD ⊥ (SAC).

2. Chứng minh: AH ⊥ SC AK ⊥ SC suy ra AH, AI, AK

đồng phẳng .


15

4. 17 0 1 16 1 17 17 1717 17 17

3 4 .3 . ... 4 7C C C + + + =

PHẦN 2. XÁC SUẤT

Bài 1. Gieo hai con xúc xắc cân đối đồng chất. Gọi A là biến cố “ tổng số chấm trên mặt của hai con xúc xắc bằng 4 “

1. Liệt kê các k ết quả thuận lợ i của biến cố A2. Tính xác suất của biến cố A

Bài 2. Chọn ngẫu nhiên 5 con bài trong bộ bài tú –lơ –khơ :1. Tính xác suất sao cho trong 5 quân bài đó có đúng 3 quân

bài đó thuộc 1 bộ ( ví dụ : có 3 con 4)2. Tính xác suất sao cho trong 5 quân bài đó có 4 quân bàithuộc một bộ Bài 3. Gieo một con xúc xắc 2 lần . Tính xác suất để :

1. Mặt 4 chấm xuất hiện ở lần đầu tiên2. Mặt 4 chấm xuất hiện ở ít nhất 1 lần

Bài 4. Trong một bình có 3 quả cầu đen khác nhau và 4 quả cầuđỏ khác nhau. Lấy ra 2 quả cầu. Tính xác suất để :

1. Hai quả cầu lấy ra màu đen2. Hai quả cầu lấy ra cùng màu

Bài 5. Gieo 3 con đồng xu. Tính xác suất để 1. Có đồng xu lật ngửa2. Không có đồng xu nào sấ p

Bài 6. Cho một hộ p đựng 12 viên bi, trong đó có 7 viên bi màuđỏ, 5 viên bi màu xanh. Lấy ngẫu nhiên mỗi lần 3 viên bi. Tínhxác suất trong hai tr ườ ng hợ p sau:

1. Lấy đượ c 3 viên bi màu đỏ 2. Lấy đượ c ít nhất hai viên bi màu đỏ

Bài 7. Gieo đồng thờ i hai con súc sắc. Tính xác suất để 1. Tổng số chấm xuất hiện trên hai con là 92. Tổng số chấm xuất hiện trên hai con là 53. Số chấm xuất hiện trên hai con hơ n kém nhau 3

Bài 8. Gieo đồng thờ i 3 con súc sắc. Tính xác suất để

1.

Tổng số chấm xuất hiện của ba con là 102. Tổng số chấm xuất hiện của 3 con là 7

w w w . V

N M A T H . c o m



Tr ườ ng THPT N gô Thờ i N hiệm Bài tậ p toán 11

48

Bài 1. Cho hình lăng tr ụ ABC.A’B’C’.Gọi I và I’ lần lượ t làtrung điểm của các cạnh BC và B’C’1. Chứng minh r ằng AI // A’I’.

2. Tìm giao điểm IA’ ∩ (AB’C’).3. Tìm giao tuyến của (AB’C’) ∩ (BA’C’).

Bài 2. Cho lăng tr ụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi I , K , G lần lượ tlà tr ọng tâm của các tam giác ABC, A’B’C’ và ACC’ . Chứngminh r ằng:

1. (IKG) // (BB’C’C)2. (A’KG) // (AIB’)

Bài 3. Cho hình lăng tr ụ ABC.A’B’C’. Gọi H là trung điểmA’B’

1. Chứng minh r ằng CB’ // (AHC’)2. Tìm giao tuyến d = (AB’C’) ∩ (A’BC) .

Chứng minh r ằng: d // (BB’C’C)Bài 4. Cho lăng tr ụ tam giác ABC.A’B’C’.

1. Tìm giao tuyến của (AB’C’) và (BA’C’).

2. Gọi M, N lần lượ t là hai điểm bất kì trên AA’ và BC. Tìmgiao điểm của B’C’ vớ i mp(AA’N ) và giao điểm của MN vớ i mp(AB’C’).

Bài 5. Cho hình hộ p ABCD.A’B’C’D’1. Chứng minh r ằng (BA’C’) // (ACD’)2. Tìm các giao điểm I = B’D ∩ (BA’C’); J = B’D ∩ (ACD’).

Chứng minh r ằng 2 điểm I, J chia đoạn B’D thành 3 phần

bằng nhau.3. Gọi M, N là trung điểm của C’B’ và D’D. Dựng thiết diện

của hình hộ p vớ i mặt phẳng (BMN ).


17

CHƯƠ NG III.DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN

PHƯƠ NG PHÁP QUY NẠP

Bài 1. Chứng minh r ằng vớ i mọi ∗∈ nn , ta có đẳng thức:

1.2

)13(13...852

+=−++++

nnn .

2.6

)12)(1(...321 2222 ++

=++++nnn

n .

3.3

)14()12(...31

2222 −

=−+++nn

n .

4.3

)12)(1(2)2(...42 222 ++

=+++nnn

n

5.4

)1(...321

223333 +

=++++nn

n .

6. .3 )1()1()1(...4.33.22.1 +−=−++++ nnnnn

7. ).1()13(...5.22.1 2 +=−+++ nnnn

8.1)1(

1...

3.2

1

2.1

1

+=

++++

n

n

nn

9.14)14)(34(

1...

9.5

1

5.1

1

+=

+−+++

n

n

nn

10.n

n

n 21)11)...(

911)(

411(

2+=−−− .

Bài 2. Chứng minh r ằng vớ i ∗∈ nn , ta có:1. nnn 53 23 ++ chia hết cho 3.2. )132( 2 +− nnn chia hết cho 6.

3. 1154 −+ nn chia hết cho 9.

4. nn−5

chia hết cho 30.5. 133 115 ++ + nn chia hết cho 17.

w w w . V

N M A T H . c o m




18

Bài 3. Cho n là một số nguyên lớ n hơ n 1.Hãy chứng minh bấtđẳng thức

24

13

2

1

...2

1

1

1>++

++

+ nnn Bài 4. Chứng minh vớ i mọi số tự nhiên 2≥n , ta có các bấtđẳng thức sau:

1. 133 +> nn

2.2

32 >− n

n

3. 322 1 +>+ nn

Bài 5. Chứng minh vớ i mọi số tự nhiên 3≥n , ta có:122 +> n

n

DÃY SỐ

Bài 1. Xét tính đơ n điệu các dãy số sau :

1. 21 1nun= + 2. 12 3+= n

n

nu

3.1

2

n

nu⎛ ⎞

= −⎜ ⎟⎝ ⎠

4. nnun −+= 1 .

5.2 1

2

n

n nu

−= 6.

nn

nu

2

2+=

7. nun

n−= 3 8. 12 −−= nnu

n.

Bài 2. Xét tính bị chặn các dãy số sau :

1. 23 −= nun 2.1

( 1)nun n

=+

3. 13.2n

nu−= 4. n

nu )3(−=

5.34

34

+

−=

n

nun 6.

2

1

1n

nu

n

−=

+


47

2. Giả sử AB ⊥ CD thì MN QG là hình gì? Tính SMN PQ biếtAM = x, AB = AC = CD = a. Tính x để diện tích này lớ nnhất.

HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

Bài 1. Cho hai hình bình hành ABCD , ABEF có chung cạnhAB và không đồng phẳng . I, J, K lần lượ t là trung điểm của cáccạnh AB, CD, EF. Chứng minh:

1. (ADF) // (BCE).

2. (DIK) // (JBE).Bài 2. Cho tứ diện ABCD.Gọi H, K, L là tr ọng tâm của các tamgiác ABC, ABD, ACD. Chứng minh r ằng (HKL)//(BCD).Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O.Tam giác SBD là tam giác đều. Một mp (α) di động song songvớ i (SBD) qua điểm I trên đoạn AC. Xác định thiết diện củahình chóp cắt bở i (α).Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông

tại A và D; AD = CD = a ; AB = 2a, tam giác SAB vuông cântạiA.Trên cạnh AD lấy điểm M. Đặt AM =x. Mặt phẳng (α) quaM và //(SAB).

1. Dựng thiết diện của hình chóp vớ i (α).2. Tính diện tích và chu vi thiết diện theo a và x.

Bài 5. Cho hai mp (P) và (Q) song song vớ i nhau và ABCD làmột hình bình hành nằm trong mp (P). các đườ ng thẳng song

song đi qua A, B, C, D lần lượ t cắt mp (Q) tại các điểm A', B',C', D'.1. Tứ giác A'B'C'D' là hình gì?2. Chứng minh (AB'D') // (C'BD).3. Chứng minh r ằng đoạn thẳng A'C đi qua tr ọng tâm của hai

tam giác AB'D' và C'BD. Hai mp (AB’D’), (C’BD) chiađoạn A'C làm ba phần bằng nhau.

HÌNH LĂNG TR Ụ

w w w . V

N M A T H . c o m




46

Chứng minh : MN // (BCD) và MN // (ABC).Bài 2. Cho tứ diện ABCD .Gọi I, J là trung điểm của BC và CD

1. Chứng minh r ằng BD//(AIJ)

2. Gọi H, K là tr ọng tâm của các tam giác ABC và ACD.Chứng minh r ằng HK//(ABD)

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành .Glà tr ọng tâm của tam giác SAB và E là điểm trên cạnh AD saocho DE = 2EA. Chứng minh r ằng GE // (SCD).Bài 4. Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành.Gọi M , N theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, CD .

1. Chứng minh MN // (SBC) và MN // (SAD)2. Gọi P là trung điểm của cạnh SA. Chứng minh SB //

(MN P) và SC // (MN P). Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD. M, N là hai điểm bất kì trênSB và CD. (α) là mặt phẳng qua MN và song song vớ i SC.

1. Tìm các giao tuyến của (α ) vớ i các mặt phẳng (SBC),(SCD) và (SAC).

2. Xác định thiết diện của S.ABCD vớ i mặt phẳng (α) .

Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành .GọiM,N là trung điểm SA,SB. Điểm P thay đổi trên cạnh BC

1. Chứng minh r ằng CD//(MN P)2. Dựng thiết diện của hình chóp vớ i mặt phẳng (MN P) .

Chứng minh r ằng thiết diện là 1 hình thang.3. Gọi I là giao điểm 2 cạnh bên của thiết diện ,tìm qu ĩ tích

điểm I

Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD. M, N là hai điểm trên AB,CD, (α ) là mặt phẳng qua MN và song song vớ i SA.

1. Xác định thiết diện của hình chóp và mặt phẳng (α).2. Tìm điều kiện của MN để thiết diện là hình thang.

Bài 8. Cho tứ diện ABCD. Từ điểm M trên AC ta dựng một mp(α) song song AB và CD. Mp này lần lượ t cắt BC, BD, AD tạiN , P, Q.

1. Tứ giác MN QG là hình gì?


19

Bài 3. Cho dãy số ( )nu xác định bở i:⎪

⎩

⎪⎨

⎧

+

+=

=

+

1

2

1

1

1

n

n

n

u

uu

u

; 1≥∀n .

Chứng minh r ằng nu bị chặn trên bở i2

3và bị chặn dướ i bở i 1.

Bài 4. Cho dãy số ( )nu xác định bở i:⎪⎩

⎪⎨

⎧

+=

=

+ 2

1

2

1

1

n

n

uu

u

; 1≥∀n .

Chứng minh r ằng nu là dãy giảm và bị chặn.

Bài 5. Cho dãy số ( )nu xác định bở i:⎩⎨⎧

++=

=

+n

nn nuu

u

2).1(

1

1

1

; 1≥∀n .Chứng minh r ằng :

1. ( )nu là dãy tăng.

2. n

n nu 2).1(1 −+= , 1≥∀n .

CẤP SỐ CỘNG

Bài 1. Tìm số hạng đầu và công sai của các cấ p số cộng, biết :

1.⎩⎨⎧

=+

=+−

17

10

61

531

uu

uuu 2.⎩⎨⎧

=

=−

75

8

152

37

uu

uu

3. ⎩⎨

⎧

=

=+

129

14

12

53

s

uu

4. ⎩⎨

⎧

=+

=+

1170

60212

24

157

uu

uu

5.⎩⎨⎧

−=−

=++

24

25

82

541

uu

uuu6.

⎩⎨⎧

=

=−

75.

8

72

37

uu

uu

Bài 2.1. Cho cấ p số cộng có 1a =10, d = -4 .Tính 10a và 10S .

w w w . V

N M A T H . c o m




44

2. Tìm giao điểm của SD vớ i mặt phẳng (AMN ) ?3. Tìm tiết diện tạo bở i mặt phẳng (AMN ) vớ i hình chóp

Bài 18: Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình bình hành .

M là trung điểm SC1. Tìm giao điểm I của AM vớ i (SBD) ? Chứng minh IA= 2IM .

2. Tìm giao điểm F của SD vớ i (AMB) ? Chứng minh F làtrung điểm SD ?

3. Xác định hình dạng tiết diện tạo bở i (AMB) vớ i hìnhchóp.

4. Gọi N là một điểm trên cạnh AB .Tìm giao điểm của

MN vớ i (SBD) ?

HAI ĐƯỜ NG THẲNG SONG SONG

Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J, K, L theo thứ tự là trungđiểm của các cạnh AB, BC ,CD ,DA Chứng minh : IJ//KL vàJK//IL .Bài 2. Cho tứ diện ABCD .Gọi H, K là tr ọng tâm của các tamgiác BCD và ACD .Chứng minh r ằng HK//AB.Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một tứ giác lồi. Gọi M,N ,E ,F lần lượ t là trung điểm của các cạnh bên SC, SB, SC vàSD.

1. Chứng minh r ằng ME//AC , N F//BD2. Chứng minh r ằng ba đườ ng thẳng ME ,N F ,và SO(O là

giao điểm của AC và BD) đồng qui

3.

Chứng minh r ằng 4 điểm M,N

,E,F đồng phẳngBài 4. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình bình hành. GọiH, K là trung điểm SA, SB.

1. Chứng minh r ằng HK//CD2. Trên cạnh SC lấy điểm M. Dựng thiết diện của hình chóp

vớ i mặt phẳng (MKH).Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang vớ i các cạnhđáy là AB và CD. Gọi I, J lầm lượ t là trung điểm của DA và BC

và G là tr ọng tâm tam giác SAB.1. Tìm giao tuyến của (SAB) và (IJG)


21

Bài 11. Chứng minh r ằng ba số dươ ng a, b, c lậ p thành cấ p số

cộng khi và chỉ khi các số:baaccb +++

1,

1,

1lậ p

thành cấ p số cộng.Bài 12. Tìm bốn số hạng liên tiế p của một cấ p số cộng biết tổngcủa chúng là 20 và tích của chúng là 348.

CẤP SỐ NHÂN

Bài 1. Trong các cấ p số nhân dướ i đây, hãy tính số hạng nu đã

chỉ ra:1. 2; 1;

2

1;

4

1;… ?7 =u

2. -3; 6; -12; 24;… ?10 =u

3. 1;3

1;

9

1;

27

1;… ?8 =u

Bài 2. Tìm số hạng đầu, công bội của các cấ p số nhân, biết :

1.⎩⎨⎧

=

=

192

96

6

5

u

u2.

⎩⎨⎧

=+

−=++

10

21

42

531

uu

uuu

3.⎩⎨⎧

=−

=+

240

90

62

53

uu

uu4.

⎩⎨⎧

=−

=−

144

72

35

24

uu

uu

5.⎩⎨⎧

=+

=+−

325

65

71

531

uu

uuu6.

⎩⎨⎧

=+−

=+−

20

10

653

542

uuu

uuu.

Bài 3. Tìm cấ p số nhân ( nu ) biết:1 2 3 4

2 2 2 21 2 3 4

15

85

u u u u

u u u u

+ + + =⎧⎪⎨

+ + + =⎪⎩

Bài 4. Hãy tìm số hạng của cấ p số nhân, biết cấ p số nhân đó:1.Có 5 số hạng vớ i công bội dươ ng, số hạng thứ hai bằng 3

và số hạng thứ tư bằng 6.

w w w . V

N M A T H . c o m




22

2. Có 5 số hạng vớ i công bội bằng1

4số hạng thứ nhất và

tổng của hai số hạng dầu bằng 24.

Bài 5. Cho một cấ p số nhân có 7 số hạng, số hạng thứ tư bằng 6và số hạng thứ bảy gấ p 243 lần số hạng thứ hai. Hãy tìmcác số hạng còn lại của cấ p số nhân đó.

Bài 6. Hãy tìm số hạng tổng quát của cấ p số nhân ( nu ) có

⎩⎨⎧

−=+

=+

123

16

43

52

uu

uu.

Bài 7. Tính tổng:

1. ...3

2.)1(...

9

4

3

21 1 +⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −++−+−= +

n

nS

2. ...1 32 +++= aaS vớ i21

1

+=a

Bài 8. Tính tổng tất cả các số hạng của cấ p số nhân (un) biết:1

2

2

2

64 2n

u

u

u

⎧ =⎪

= −⎨⎪

=⎩

Bài 9. Một cấ p số cộng và một cấ p số nhân đều là các dãy tăng.Các số hạng thứ nhất đều bằng 3, các số hạng thứ hai bằng

nhau. Tỉ số giữa các số hạng thứ ba của cấ p số nhân và cấ p số cộng là 9/5 .Tìm hai cấ p số ấy.Bài 10. Tìm hai số a, b biết r ằng 1,a,b là cấ p số cộng và 1,a2,b2 là cấ p số nhân.


43

Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình thang, cạnh đáy lớ nAB. Gọi I, J, K lần lợ t là các điểm nằm trên SA, AB, CD

1. Tìm giao điểm của IK và (SBD).

2. Tìm giao điểm của SD và (IJK).3. Tìm giao điểm của SC và (IJK) .

THIẾT DIỆN

Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượ t là trung điểm cáccạnh AB và CD. P là điểm nằm trên cạnh AD nhưng không làtrung điểm. Tìm thiết diện của tứ diện cắt bở i mặt phẳng(MN P).Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Trên các đoạn AC, BC, BD lấy cácđiểm M, N , P sao cho MN không song song vớ i AB, N P khôngsong song vớ i CD. Xác định thiết diện tạo bở i mặt phẳng(MN P) và tứ diện ABCD.Bài 6: Cho hình chóp SABCD. Gọi M là 1 điểm thuộc miềntrong của tam giác SCD.

1. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBM) và (SAC).2. Tìm giao điểm của BM và mặt phẳng (SAC).3. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bở i mặt phẳng (ABM).

Bài 9: Cho hình chóp SABCD đáy là hình bình hành tâm O.Một điểm M trên cạnh SD sao cho SD = 3SM.

1. Tìm giao tuyến của (SAC) và (SBD).2. Xác định giao điểm I của BM và (SAC). Chứng tỏ I là

trung điểm của SO.3. Định thiết diện của hình chóp SABCD và (MAB).

Bài 14: Cho tứ diện ABCD ; điểm I nằm trên BD và ở ngoàiBD sao cho ID = 3IB; M; N là hai điểm thuộc cạnh AD; DC sao

cho MA=2

1 MD; N D =2

1N C

1. Tìm giao tuyến PQ của (IMN ) vớ i (ABC) ?2. Xác dịnh thiết diện tạo bở i (IMN ) vớ i tứ diện ?3. Chứng minh MN ; PQ ; AC đồng qui ?

Bài 17: Hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang vớ i AB

là đáy . Gọi M ; N là trung điểm SB ; SC .1. Tìm giao tuyến của (SAD) và (SBC) ?

w w w . V

N M A T H . c o m




42

Bài 6: Cho hình chóp SABCD có ABCD là hình thang vớ i đáylớ n là AB. Gọi I, J lần lượ t là trung điểm của SA, SB. M là điểmtuỳ ý trên cạnh SD.

1. Tìm giao tuyến của(SAD) và (SBC).2. Tìm giao điểm K của IM vớ i mặt phẳng (SBC).3. Tìm giao điểm N của SC vớ i mặt phẳng (IJM).

Bài 7: Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. Gọi Mlà trung điểm của SC.

1. Tìm giao điểm I của đườ ng thẳng AM vớ i mặt phẳng(SBD).

2. Chứng minh IA= 2IM.

3. Tìm giao điểm F của SD và (ABM).4. Điểm N thuộc AB. Tìm giao điểm của MN và (SBD).

Bài 8: Cho tứ giác ABCD nằm trong mặt phẳng (P) có hai cạnhAB và CD không song song. Gọi S là điểm nằm ngoài (P) và Mlà trung điểm của đoạn SC.

1. Tìm giao điểm N của SD và (MAB)2. Gọi O là giao điểm của AC và BD . CMR: SO, AM, BN

đồng quiBài 9: Cho tứ diện ABCD. Hai điểm M, N lần lượ t nằm trongtam giác ABC và tam giác ABD. I là điểm tuỳ ý trên CD. Tìmgiao của (ABI) và đườ ng thẳng MN .Bài 10: Cho hình chóp SABCD. Gọi I, J là hai điểm trên cạnhAD, SB

1. Tìm các giao điểm K, L của IJ và DJ vớ i (SAC)2. AD cắt BC tại O; OJ cắt SC tại M. Chứng minh A, K, L,

M thẳng hàngBài 11: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lợ t là trung điểm củaAC, BC. K là điểm trên cạnh BD và không trùng vớ i trung điểmcủa BD.

1. Tìm giao điểm của CD và (MN K).2. Tìm giao điểm của AD và (MN K)

Bài 12: Cho tứ diện ABCD. M, N là 2 điểm trên cạnh AC, AD.O là 1 điểm bên trong Δ BCD. Tìm giao điểm của:

1. MN và (ABO).2. AO và (BMN ).


23

CHƯƠ NG IV. GIỚ I HẠN

GIỚ I HẠN CỦA DÃY SỐ

Bài 1. Tính các giớ i hạn sau:

1. lim92

142

2

+

−−

n

nn2. lim

37

76

652

−+−

+−

nn

nnn

3. limnn

n

108

25 +

+−4.

36

4325

4

+−−

−+

nn

nn

5. lim 23

4

11100

3373

nn

nn

−

−+

6. lim )32(3

)31(23

22

nn

nn

+−

−

7. lim23

32

)42(

)2()23(

n

nn

−

−−8. lim

7

323

432

)5()51(

nn

nn

−+

+−


1.1

1lim

+

+

n

n2.

2lim

3 3

+

+

n

nn

3.32

232lim

2

4

+−

−+

nn

nn4.

12

21lim

2

+

−+

n

nn

5. lim756

14

33 62

−+

+++

nn

nnn6.

12lim

43

+

++

n

nnn

7.

nnn

nn

−+

++4 3

2 1lim 8.

23

11lim

2

+

+−+

n

nn


1.12

13lim

−

+n

n

2.n

nn

5.37

5.23lim

+

−

3.11

5)3(

5)3(lim

++

+−

+−nn

nn

4. lim52

12

24.5

43++

++

−

−nn

nn

w w w . V

N M A T H . c o m




24


1. lim ( nn −+12 2. lim( 3n n+ − )

3. ( nnn −++ 1lim2

4. 12

1lim +−+ nn

5. ( nnn −+ 1lim 2 6. ( nnn +−3 32lim

7. ( )3 31lim nn −+ 8. ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ −++ nnnnlim

GIỚ I HẠN CỦA HÀM SỐ


1.2

3lim

3

2

1 +

−−→ x

x

x

2.622

35lim

23

2

2 +++

++−→ x x x

x x

x

3.72

15lim

1 +

−→ x

x

x

4. 32

4

2 2

232lim

+−

++−→ x x

x x

x


1. 3 152lim

2

3 −

−+→ x

x x x 2. 5

152lim

2

5 +

−+−→ x

x x

x

3. ⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛

−−

−→ 31 1

3

1

1lim

x x x4.

253

103lim

2

2

2 −−

−+→ x x

x x

x

5. x x

x x

x 4

43lim

2

2

4 +

−+−→

6.6)5(

1lim

3

1 −+

−→ x x

x

x

7.6

44lim

2

23

2 −−

++

−→ x x

x x x

x

8.6

23lim

2

23

2 −−

++

−→ x x

x x x

x

9.6

293lim

3

23

2 −−

−−+→ x x

x x x

x

10.32

1lim

2

4

1 −+

−→ x x

x

x


1. .2

35lim

2

2 −

−+→ x

x

x2.

2

153lim

2 −

−−→ x

x

x

3. 11lim0 −+→ x

x

x 3. x

x

x −

−→ 5

5lim5


41

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành ; Olà giao điểm hai đườ ng chéo; M ; N lần lượ t là trung điểm SA;

SD. Chứng minh ba đườ ng thẳng SO; BN ; CM đồng quy.

GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜ NG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượ t là trung điểm củaAC và BC. Gọi K là một điểm trên cạnh BD không phải là trungđiểm. Tìm giao điểm của:

1. CD và mặt phẳng (MN K)2. AD và mặt phẳng (MN K)

Bài 2: Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AB và Ac lần lượ t lấycác điểm M, N sao cho MN không song song vớ i BC. Gọi O làmột điểm nằm trong tam giác BCD.

1. Tìm giao điểm của MN và (BCD)2. Tìm giao tuyến của (OMN ) và (BCD)3. Mặt phẳng (OMN ) cắt các đườ ng thẳng BD và CD tại H

và K. Xác định các điểm H và K.Bài 3: Cho hình chóp SABCD. Gọi I, J, K lần lượ t là các điểmtrên các cạnh SA, AB, BC. Giả sử đườ ng thẳng JK cắt cácđườ ng thẳng AD, CD tại M, N . Tìm giao điểm của các đườ ngthẳng SD và SC vớ i mặt phẳng (IJK).Bài 4: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N , P là các điểm lần lượ t trêncác cạnh AC, BC, BD.

1.

Tìm giao điểm của CP và (MN

D).2. Tìm giao điểm của AP và (MN D).Bài 5: Cho 4 điểm A, B, C, D không đồng phẳng. Gọi M, N lầnlượ t là trung điểm của AC và BC. Trên BD lấy điểm P sao choBP=2PD.

1. Tìm giao điểm của các đườ ng thẳng CD vớ i mặt phẳng(MN P)

2. Tìm giao điểm của hai mặt phẳng (MN P) và (ACD).

w w w . V

N M A T H . c o m




40

SE, SB lần lượ t tại M, N . Một mặt phẳng (Q) qua BC cắt SD và

SA lần lượ t tại H và R.

1. Gọi I là giao điểm của AM và DN , J là giao điểm của

BH và ER. CMR bốn điểm S, I, J, G thẳng hàng.

2. Giả sử K là giao điểm của AN và DM, L là giao điểm

của BR và EH. CMR ba điểm S, K, L thẳng hàng.

Bài 9: Cho A; B; C không thẳng hàng ở ngoài mặt phẳng ( )α .

Gọi M; N ; P lần lượ t là giao điểm AB; BC; AC vớ i α. Chứngminh M; N ; P thẳng hàng ?Bài 10: Hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang hai đáylà AD; BC. Gọi M; N là trung điểm AB; CD và G là tr ọng tâmΔSAD. Tìm giao tuyến của :

1. (GMN ) và (SAB)2. (GMN ) và (SCD)3. Gọi giao điểm của AB và CD là I; J là giao điểm của hai

giao tuyến ở câu a và câu b. Chứng minh S; I; J thẳng hàng .

4.

CHỨ NG MINH BA ĐƯỜ NG THẲNG ĐỒNG QUI

Bài 1. Cho hình thang ABCD (AB// CD) điểm S nằm ngoài mặt phẳng chứa ABCD. Gọi M, N lần lượ t là trung điểm của SC,SD. Gọi I là giao điểm của AD và BC, J là giao điểm của AN vàBM.

1. CMR : S, I, J thẳng hàng.2. Gọi O là giao điểm của AC và BD. CMR : SO, AM, BN đồng quy.Bài 2. Cho tứ diện ABCD. M, N lần lượ t là trung điểm BC, BD.

Các điểm P và S lần lượ t thuộc AD, AC sao cho1

3 AR AD= ;

1

3

AS AC = . CMR : ba đườ ng thẳng AB, MS, N R đồng quy.


25

5.25

34lim

25 −

−+→ x

x

x6.

x

x x

x

11lim

2

0

−++→

7. ( ) x

x x x x

+−+−→121lim

2

0 8. x x

x x 336

1lim 21 ++

+−→

9.1

132lim

21 −

+−→ x

x x

x

10.23

2423lim

2

2

1 +−

−−−−→ x x

x x x

x


1. x

x x

x

−−+→

55lim

02.

x

x x x

x

11lim

2

0

++−+→

3. x

x x

141lim 3

0−+

→4.

x

x x 3

11lim 3

0+−

→

5.11

lim30 −+→ x

x

x6.

x

x

x −−

+−→ 51

53lim

4

7.1

lim2

1 −

−→ x

x x

x8.

23

1lim

2

3

1 −+

+−→ x

x

x

9. x

x x x

3

0812lim −−−

→10.

157lim

23

1 −−−+

→ x x x

x

Bài 5. Giớ i hạn một bên:

1.1

3 2lim

1 x

x

x+→

−

−2.

34

1lim

2

4

3 ++

++−→ x x

x

x

3. )(lim1

x f x→

biết ( )⎩⎨⎧

>+

≤−=

1;1

1;13

2 x x

x x x f

4. )(lim1

x f x→

; )(lim3

x f x→

biết ( )

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≥−

<<−

≤+

=

3;3

31;56

1;)32(5

1 2

x x

x x

x x

x f


w w w . V

N M A T H . c o m

N N N N




26

1. x

x

x

5sinlim

0→2.

x

x

x 3

2tanlim

0→

3.2

0

cos1lim

x

x

x

−

→

4. x

x x

x 30 sin

sintanlim

−

→

5. x

x

x 2sin

121lim

0

+−→

6.30 45

sin.3sin.5sinlim

x

x x x

x→

7.30

tansinlim

x

x x

x

−→

8. x x

x

x sin

cos1lim

3

0

−→

9. x

x x

x sin

112lim

3 2

0

+−+→

10.2

2

0

cos1lim

x

x x

x

−+→


1.32

3

662

13lim

x x

x x

x −−

++∞→

2.3

2x

x 5lim

x 1→+∞

−

+

3.2

5 3

2lim

3 4 1 x

x

x x→+∞

−

− +4.

2

5 1lim

3 4 1 x

x

x x→∞

−

+ +

5.2

3

(2 1) (1 3 )lim

( 1) x

x x

x→∞

− −

+6. ( ) ( )

( )50

3020

12

2332lim

+

+−

∞→ x

x x

x


1. ( x x x

−−+∞→

1lim 2 2. 2lim ( 3 ) x

x x x→∞

+ −

3. x x x x x

914lim 22 −−+−+∞→

4. 32 2lim ( 3 ) x

x x x→∞

+ −

5. ( 34412lim 2 ++±++∞→

x x x x

6. 13lim 3 23 +−+−∞→

x x x x x

7. 2lim ( 2) x

x x x→−∞

+ + + 8. x x x x x

22lim 23 23 −−++∞→


1.0

lim . cot x

x x→

2.1

lim(1 ).tan2 x

x x

π

→−

3.3

lim(4 ).sin x

x x→∞

+ 4.0

lims in2 .cot6 x

x x→


39

Bài 7: Cho tứ diện SABC. Gọi M,N là các điểm trên các đoạnSB và SC sao cho MN không song song vớ i BC . Tìm giaotuyến của mặt phẳng (AMN ) và (ABC), mặt phẳng (ABN ) và

(ACM).Bài 8: Cho tứ diện ABCD. Trên AB lấy M vớ i AM =

3

1AB. Gọi

I, K lần lượ t là trung điểm của AC, AD. Định giao tuyến (d) củamặt phẳng (MIK) và (BCD). Bài 9: Cho tứ diện SABC. Gọi I, J, K là ba điểm tuỳ ý trên SB,AB, BC sao cho JK không song song vớ i AC và SA không songsong vớ i IJ. Định giao tuyến của (IJK) và (SAC).Bài 10: Cho tứ diện ABCD. Gọi E, F, G là ba điểm trên AB,AC, BD sao cho (EF) cắt (BC) tại I , (EG) cắt (AD) tại H. Địnhgiao tuyến của mặt phẳng (EFG) vớ i hai mặt phẳng (BCD) và(ACD).

CHỨ NG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG.

Bài 1: Cho tứ diện SABC. Trên SA, SB và SC lần lượ t lấy cácđiểm D, E, F sao cho DE cắt AB tại I, EF cắt BC tại J, FD cắt

CA tại K. Chứng minh r ằng ba điểm I, J, K thẳng hàng.

Bài 2: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến d.

Trong (P) lấy hai điểm A và B sao cho AB cắt d tại I. O là một

điểm nằm ngoài (P) và (Q) sao cho OA và OB lần lượ t cắt (Q)

tại A’

và B’

.1. Chứng minh ba điểm I, A’, B’ thẳng hàng.

2. Trong (P) lấy điểm C sao cho A, B, C không thẳng hàng.

Giả sử OC cắt (Q) tại C’, BC cắt B’C’ tại J, CA cắt C’A’ tại K.

Chứng minh I, J, K thẳng hàng.

Bài 8: Cho tứ diện SABC có D, E lần lượ t là trung điểm AC,

BC và G là tr ọng tâm tam giác ABC. Mặt phẳng (P) qua AC cắt

w w w . V

N M A T H . c o m

N h i N hi i N h i N hi i




38

CHƯƠ NG II. QUAN HỆ SONG SONG

TÌM GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG.

Bài 1: Cho S là một điểm không thuộc mặt phẳng hình bìnhhành ABCD. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và(SBD).Bài 2: Trong mặt phẳng ( )α cho tứ giác ABCD sao cho AB,

CD không song song. S là điểm nằm ngoài ( )α . Tìm giao tuyến

của các cặ p mặt phẳng sau:1. (SAC) và (SBD).2. (SAB) và (SCD).

Bài 3: Trong mặt phẳng ( )α cho ba điểm A, B, C. S là điểm

không thuộc ( )α . M, N , I lần lượ t là trung điểm của AB, BC,

SA.1. Tìm giao tuyến của (SAN ) và (SCM).

2.

Tìm giao tuyến của (SCM) và (BIC).Bài 4: Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc miền trong củaACDΔ . Gọi I và J tươ ng ứng là hai điểm trên cạnh BC và BD

sao cho IJ không song song vớ i CD.1. Hãy xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (IJM) và

(ACD).2. Lấy N là điểm thuộc miền trong của ABDΔ sao cho JN

cắt đoạn AB tại L. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MN J) và

(ABC).Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác ABCD có haicạnh đối diện không song song. Lấy điểm M thuộc miền trongcủa SCDΔ . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng:

1. (SBM) và (SCD).2. (ABM) và (SCD).3. (ABM) và (SAC).

Bài 6: Cho tứ diện ABCD. M và N lần lượ t là trung điểm AD và

BC. Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (MBC) và (N AD).


27

HÀM SỐ LIÊN TỤC

Bài 1. Xét tính liên tục các hàm số sau tại 0 x :

1. ( )3 11

2 1

+⎧ ≠ −⎪= −⎨

⎪ = −⎩

xkhi x

f x x

khi x

tại 0 1 x = −

2. ( )

3 82

25 2

⎧ −≠⎪

= −⎨⎪ =⎩

xkhi x

f x x

khi x

tại 0 2 x =

3.2

55

( ) 2 1 3

( 5) 5

−⎧≠⎪

= − −⎨⎪ − =⎩

xkhi x

f x x

x khi x

tại x0 = 5

4.

3

2

1 cos0

sin( )

1 02

xkhi x

x f x

khi x

⎧ −≠⎪⎪

= ⎨

⎪ =⎪⎩

tại x0 = 0

5. ( )

2 22

25 2

⎧ − −>⎪

= −⎨⎪ − ≤⎩

x xkhi x

f x x

x khi x

tại 0 2 x =

6. ( )

11

2 12 1

−⎧<⎪

= − −⎨⎪ − ≥⎩

xkhi x

f x x x khi x

tại 0 1 x =

7.

1 10

( )4

5 01

⎧ − − +<⎪⎪

= ⎨−⎪− + ≥

⎪ +⎩

x xkhi x

x f x x

khi x x

tại x0 =0

w w w . V

N M A T H . c o m

T ờ THPT N ô Thời N hiệ Bài tậ t á 11 T ờ THPT N ô Thời N hiệ Bài tậ t á 11




28

8.

2

2

3 21

1

1( ) 141

16 7

⎧ + −>⎪

−⎪

⎪= =⎨⎪⎪ −

<⎪+ −⎩

xkhi x

x

f x khi x

xkhi x

x x

tại x0 =1

Bài 2. Tìm m để hàm số liên tục tại x0 đã chỉ ra :

1. ( )

2 22

2 2

⎧ − −≠⎪

= −⎨⎪ =⎩

x xkhi x

f x xm khi x

tại 0 2 x =

2.2 1 5

4( ) 4

4 4

⎧ + − +≠⎪

= ⎨ −⎪ − =⎩

x xkhi x

f x x

mx khi x

tại x0=4

3.2

2

3 2

11( )

12

⎧ + −

<⎪⎪ −= ⎨+⎪ ≥

⎪ −⎩

x x

khi x x f x

x mkhi x

x

tại x0 =1

4.

3 3 2 22

2( )1

23

⎧ + −>⎪⎪ −= ⎨

⎪+ ≤⎪⎩

xkhi x

x f x

mx khi x

tại x0 =2

Bài 3. Xét tính liên tục của hàm sao61 sau trên R:2 1

1( ) 1

5 1

xkhi x

f x x

khi x

⎧ −≠⎪

= ⎨ −⎪ =⎩

Bài 4. Định a để hàm số f(x) liên tục trên R:


37

Bài 1. Trong mặt phẳng Oxy cho bốn điểm A(-3;2), B(1;-2),C(2;5), D(-1;-3) .Gọi A1 là ảnh của A qua phép tịnh tiến theo

vectơ BC

. Gọi A2 là ảnh của A1 qua phép đối xứng t âmD.Tìm tọa độ A2.Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm

( ) ( ) ( )1,2 ; 3,0 ; 3, 2 A B C − − .

1. Tìm ảnh của A, B, C qua phép đối xứng tâm O.2. Viết phươ ng trình đườ ng tròn ngoại tiế p tam giác ABC .3. Viết phươ ng trình đườ ng tròn là ảnh của đườ ng tròn ngoại

tiế p tam giác ABC qua phép đối xứng tâm A.Bài 3. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M( 2;1). Phép dờ i hìnhcó đượ c bằng cách thực hiện liên tiế p phép đối xứng qua tâm O

và phép tịnh tiến theo vectơ (2;3)v

biến M thành điểm N . Tìmtọa độ điểm N .Bài 4. Cho đườ ng tròn (C) có phươ ng trình: x2+ y2 -2x + 6y - 4

= 0. Ảnh của (C) qua phép vị tự V(0;1

2

− ) là đườ ng tròn (C'), tìm

phươ ng trình của ( C’).

Bài 5. Trong mặt phẳng Oxy .Tìm ảnh của đườ ng tròn(C): (x – 2)2 + (y – 4)2 = 16 qua việc thực hiện liên tiế p Oy Ð và

→

v

T vớ i )3;2(=→

v .

Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(2,-2) và đườ ngthẳng d có phươ ng trình : 2x + y – 1 = 0 .

1. Tìm ảnh của A và d qua phép quay tâm O góc quay 090 .2. Tìm ảnh của d qua phép quay tâm A góc quay 090 .

w w w . V

N M A T H . c o m

Trường THPT N gô Thời N hiệm Bài tập toán 11

Trường THPT N gô Thời N hiệm Bài tập toán 11




36

Bài 2. Cho hình chữ nhật ABCD. Gọi E,F,H,I lần lượ t là trungđiểm của AB,CD,BC,EF. Hãy tìm một phép dờ i hình biến tamgiác AEI thành tam giác FCH.

PHÉP VN TỰ

Bài 1. Xác định ảnh của điểm A(4,-5) qua phép vị tự tâm I(-2;6), tỉ số -2.Bài 2. Cho điểm M(-1;5) và đườ ng thẳng d: 2x-3y-8=0. Xácđịnh ảnh của M và d qua phép vị tự tâm O tỉ số bằng 2.

Bài 3. Cho điểm I(2;-1) và điểm J(7:4). Tìm tâm vị tự của 2đườ ng tròn (C)(I;2) và đườ ng tròn (C’)(J;3).Bài 4. Cho tam giác OMN . Dựng ảnh của M, N qua phép vị tự tâm O, tỉ số k trong các tr ườ ng hợ p sau:

1. 3k = 2.1

2k = 3.

3

4k = −

Bài 5. Tìm phép vị tự biến:

1. : 12 4 x yd − = thành ' : 2 6 0d x y− − = .

2. 2 2( ) : ( 4) 2C x y+ + = thành 2 2( ') : ( 2) ( 3) 8C x y− + − =

PHÉP ĐỒN G DẠN G

Bài 1. Cho điểm A(3;-4) và đườ ng thẳng d: 9x+y-6=0 . Viết pt

đườ ng thẳng d’ là ảnh của d qua phép đồng dạng có đượ c bằngcách thực hiện liên tiế p phép ĐO và phép V(A,1/3).Bài 2. Cho đườ ng tròn (C) có tâm I(-1;3), bán kính bằng 2. Viết phươ ng trình đườ ng tròn ảnh của (C) qua phép đồng dạng cóđượ c từ việc thực hiện liên tiế p phép V(O,3) và phép ĐOy.Bài 3. Cho hình vuông ABCD tâm O, M là trung điểm cạnh AB.Xác định phép đồng dạng biến Δ OAM thành Δ DBC.

BÀI TẬP ÔN CHƯƠ NG


29

3

12

4( )

3 2 2 22

ax khi x

f x

x khi x x

⎧+ ≤⎪⎪

= ⎨+ −

⎪ >⎪ −⎩

Bài 5. Chứng minh phươ ng trình:1. 22 6 1 0− + = x x có ít nhất 2 nghiệm.

2. 32 10 7 0− − = x x có ít nhất hai nghiệm.3. cos 0− = x x có nghiệm.

w w w . V

N M A T H . c o m

Trường THPT N gô Thời N hiệm Bài tập toán 11 Trường THPT N gô Thời N hiệm Bài tập toán 11




30

CHƯƠ NG IV. ĐẠO HÀM

Bài 1. Tính đạo hàm các hàm số sau:1. 5 3 24= − − + y x x x x 2.

36= − + y x

x

3. 21 1= + + y x

x x4.

3

2 3= + + y x

x x

5. ( )( )3 2 24 2 7= − − y x x x x 6. 2( 2) 1= − + y x x

7.2 1

=+

x y

x8. 2 3

4−=

+

x y

x

9.25 3

2

− −=

−

x x y

x10.

1

1

−=

+

x y

x

11. ( )37 25= − y x x 12. ( )

52 33 4= + + y x x x

Bài 2. Tính đạo hàm các hàm số sau:

1.sin

=x

y x

2. cos1

=+

x y

x

3.sin cos

sin cos

+=

−

x x y

x x4. sin3 cos tan

5= + +

x y x x

5.

( )

102 sin5= − y x x 6. 3sin 3= y x

7. 2cot 1= − + y x x 8. ( )2sin cos 2= y x

9. 2 sin 3= y x x 10. 3 2sin 1= + y x

11. 2 2tan 3 cot 2= + y x x 12. sin 4 cos .= + y x x x Bài 3. Giải các bất phươ ng trình:

1.( )' 0

> f x

vớ i( )

2 5 4

2

x x

f x x

− +=

−


35

PHÉP QUAY

Bài 1. Cho hình vuông ABCD có tâm O. Tìm ảnh của tam giác

OAB qua phép quay tâm C góc quay -900

Bài 2. Tìm toạ độ các điểm ảnh của A(-3;4), B(-5;1), C(-2;3)qua phép quay Q(O,90

o)

Bài 3. Cho điểm M(3;-4) và đườ ng thẳng d: 6x-y+10=0. Xácđịnh ảnh của M và d qua phép quay tâm O một góc 900.Bài 4. Trong mặt phẳng Oxy, tìm phép quay Q biến điểm A(-1,5) thành điểm B(5,1).Bài 5. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(0,3). Tìm

B = Q (A)(O ; 45 )−

Bài 6. Trong mặt phẳng Oxy, cho đườ ng tròn2 2(C) : (x 3) (y 2) 4− + − = . Tìm (C ) = Q (C)

(O ; 90 )′

Bài 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đườ ng tròn có phươ ng

trình : 2 2 2 4 4 0 x y x y+ − + − = . Viết phươ ng trình đườ ng tròn

là ảnh của đườ ng tròn đã cho qua phép quay tâm O góc quay090 ; - 090

PHÉP DỜI HÌN H

Bài 1. Cho 2 điểm A(-2;1), B(3;5) và đườ ng thẳng d: 4x-9y+6=0.

1. Xác định ảnh của điểm A qua phép dờ i hình có đượ c bằng

cách thực hiện liên tiế p phép Q(O,90o) và phép ĐB.2. Xác định ảnh của điểm B qua phép dờ i hình có đượ c bằng

cách thực hiện liên tiế p phép ĐA và ĐOy.3. Xác định ảnh của điểm A qua phép dờ i hình có đượ c bằng

cách thực hiện liên tiế p phép Q(O,90o

) và phép Đd. 4. Xác định ảnh của d qua phép dờ i hình có đượ c bằng cách

thực hiện liên tiế p phép ĐO và tịnh tiến AB

T

w w w . V

N M A T H . c o m





34

Bài 1. Trong mặt phẳng Oxy, hãy tìm ảnh của điểm M( 2, 1)qua phép đối xứng tr ục Ox, r ồi đối xứng tr ục Oy.

Bài 2.Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(-5; 6), đườ ng thẳng d:2x-3y-1=0 và đườ ng tròn (C): (x-1)2+(y+2)2 = 25.1. Xác định ảnh của A và đườ ng thẳng d qua phép ĐOx.2. Xác định đườ ng tròn (Co) sao cho (C) là ảnh của (Co)

qua phép ĐOy.3. Xác định ảnh của (C) qua phép Đd.

Bài 3. Cho điểm M(2;-7) và đườ ng cong (C) có phươ ng trìnhy = x3 +3x2 -2x+1 .

1. Xác định toạ độ các ảnh của điểm M qua phép ĐOx, ĐOy.2. Viết phươ ng trình đườ ng cong (C’) là ảnh của (C) qua phép ĐOx.

Bài 4. Trong mặt phẳng Oxy, cho đườ ng thẳng( ) : x 5y 7 = 0Δ − + và ( ) : 5x y 13 = 0′Δ − − . Tìm phép đốixứng qua tr ục biến ( )Δ thành ( )′Δ .Bài 5. Cho tứ giác ABCD. Goi O là giao điểm của AC và BD.

Xác định ảnh của tam giác AOB qua phép đối xứng tr ục ĐCD.PHÉP ĐỐI XỨN G TÂM

Bài 1. Cho 2 điểm M(-2;9), N (1;4). Xác định các điểm M1 ,M2 lần lượ t là ảnh của M qua phép ĐO , ĐN .Bài 2. Cho điểm I(-4;3), đườ ng thẳng d: x-2y+5=0 và đườ ngtròn (C):x2 + y2 -2x+6y+1=0.

1. Xác định ảnh của I, d và (C) qua phép ĐO.2. Viết phươ ng trình đườ ng thẳng D’ là ảnh của D qua phép ĐI.

3. Viết phươ ng trình đườ ng tròn (C’) là ảnh của (C) qua phép ĐI.

Bài 3. Chứng minh r ằng2 2

2 2( ) : 1

x y E

a b+ = và

2 2

2 2( ) : 1

x y H

a b− =

có tâm đối xứng là gốc tọa độ O.


31

2. ( )' 0≤g x vớ i ( ) 2

2 1

1

xg x

x

−=

+

3. ' 0≥ y vớ i

2

2

3

1 x

y x

+= +

4. ' 0≤ y vớ i2

2 1

4

x y

x x

−=

+ +

Bài 4. Chứng minh r ằng:1. Hàm số x y tan= thỏa hệ thức: .01 '2 =−+ y y

2. Hàm số x y 2cot= thỏa hệ thức : .022 '2 =++ y y

3. Hàm số 34

x y x

−=+

thỏa hệ thức : ( ) ( )2

2 ' 1 '' y y y= − .

Bài 5. Tính đạo hàm cấ p hai của các hàm số sau:1. 2 cos y x x x= − +

2. ( )2 1 tan y x x= +

3. 2cos= y x

4. 4 cos2= − y x x Bài 6. Viết phươ ng trình tiế p tuyến của đồ thị hàm số:

1.1

2

−=

+

x y

xtại điểm có hoành độ bằng 4.

2.2 2 6

1

+ −=

−

x x y

x biết có hoành độ tiế p điểm là 3.

3. 3 21 13= + − + y x x x biết hệ số góc k = -3.

4.2 2

2

− −=

+

x x y

xbiết tiế p tuyến song song vớ i đườ ng thẳng

x y 32 −= .

5. 3 211

3= + − + y x x x biết tiế p tuyến vuông góc vớ i đườ ng

w w w . V

N M A T H . c o m





32

thẳng: 54

1+−= x y .

6. 4 23 4 y x x= − − biết tiế p tuyến đi qua điểm A(0, -4).

Bài 7. Cho hàm số113

+−=

x

x y có đồ thị là (C). Viết phươ ng trình

tiế p tuyến của (C) sao cho tiế p tuyến đó :

1. Có tung độ tiế p điểm là 2.2. Vuông góc vớ i đườ ng thẳng: 4 10 y x= − + .

Bài 8. Qua điểm4 4

( , )9 3

A có thể k ẻ đượ c bao nhiêu tiế p tuyến

đến đồ thị hàm số 3

22 33

x y x x= − + . Viết phươ ng trình các tiế p

tuyến đó.


33

PHẦN II. HÌNH HỌC

CHƯƠ NG I. PHÉP DỜ I HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNGTRONG MẶT PHẲNG

PHÉP TNN H TIẾN

Bài 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A(-1,2), B(0,1), C(3,-1)và vectơ ( 2,3)v = −

. Hãy tìm ảnh của các điểm trên qua phép

tịnh tiến theo vectơ v .Bài 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho đườ ng thẳng d: 2x – 3y +1 =0 và đườ ng tròn (C): x2 + y2 - 2x - 4y – 4 =0. Hãy tìm ảnh của dvà (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ (1, 2)v = −

.

Bài 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho đườ ng thẳng Δ cắt Ox tại A(-1, 0) và cắt Oy tại B(0 ,2). Hãy tìm ảnh của Δ qua phép tịnhtiến theo vectơ u = (2; 1)−

.

Bài 4. Hãy tìm ảnh của đườ ng tròn 2 2(C) : (x 3) (y 2) 1− + + = qua phép tịnh tiến theo vectơ u = ( 2;4)−

.

Bài 5. Trong mặt phẳng Oxy, cho A( 5;2) , C( 1;0)− − . Biết

B = T (A) , C = T (B)u v . Tìm u vaø v

để có thể biến A thành C.

Bài 6. Cho Δ ABC có tr ọng tâm G. Dựng ảnh của :1. Đoạn thẳng AB qua phép tịnh tiến

GC T

2. Δ ABC qua phép tịnh tiến 2 AGT

Bài 7. Cho hình bình hành ABCD có tâm O. Xác định :1. Ảnh của Δ ABD qua phép tịnh tiến

3OC T

2. Điểm E sao cho phép tịnh tién AC

T biến E thành D.

PHÉP ĐỐI XỨN G TR ỤC

w w w . V

N M A T H . c o m

bai tap ca nam toan lop 11 -

Documents