bai tap to hop - xac suat thong ke

Pppdh-Toán 2 nhóm 3

Nhóm thực hiện: NHOM 3-DHSTOAN08A

CHƯƠNG 1:

1

Tháng 11, năm 2011


DẠY HỌC THỐNG KÊ – TỒ HỢP

VÀ XÁC SUẤT

Câu 1: Hệ thống và chương trình dạy học Tổ hợp và Xác suất ở thpt

2


Chương trình cơ bản Chương trình nâng cao Ghi chú

§1 Quy tắc đếm

Kiến thức:

- Biết được khái niệm quy tắc công,

quy tắc nhân

Quy tắc cộng:

Một công việc được hoàn thành bởi

một trong hai hành động. Nếu hành

động này có m cách thực hiện,

hành động kia có n cách thực hiện

không trùng với bất kỳ cách nào

của hành động thứ nhất thì công

việc có cách thực hiện

Quy tắc nhân:

Một công việc được hoàn thành bởi

hai hành động liên tiếp. Nếu có m

cách thực hiện hành động thứ nhất

§1 Hai quy tắc đếm cơ bản

Kiến thức:

- Biết được khái niệm quy tắc

công, quy tắc nhân

Quy tắc cộng:

Giả sử một công việc có thể thực

hiện theo phương án A hoặc

phương án B. Có n cách thực

hiện phương án A và có m cách

thực hiện phương án B. Khi đó

công việc có thể thục hiện bởi n

+ m cách

Quy tắc cộng cho công việc có

nhiểu phương án


hiện theo một trong k phương án

. Có cách thực hiện

phương án , cách thực hiện

phương án ,… và cách

thực hiện phương án . Khi đó

công việc có thể thự hiện bởi

cách.

Quy tắc nhân:

Giả sử một công việc nào đó bao

gồm hai công đoạn A và B.

1. Đưa ra nhiều ứng

dụng thực tế để tạo

nên sự hứng thú

trong học tậpcho học

sinh

Tổ hợp xác suất là

nội dung khó đối với

học sinh. Tuy nhiên,

các bài toán trong

chương này gắn liền

với thực tế nên gây

sự hứng thú cho học

sinh. Chính vì thế

giáo viên cần khai

thác, tìm tòi, đưa ra

được nhiều ứng dụng

thực tế trong giờ học

2. Vận dụng các

phương phá

dạy học tích cực

Các bài toán về tổ

hợp gặp rất nhiều

trong thực tế nên rất

gần gũi với học sinh.

Thông qua thực tiễn

hoặc bằng kinh

3


và ứng với mỗi cách đó có n cách

thực hiện hành động thứ hai thì có

m.n cách hoàn thành công việc

Ký hiệu số phần tử của tập hợp A

là n(A). Giả sử A và B là các tập

hợp hũu hạn, không giao nhau. Khi

đó:

Kỹ năng:

Vận dụng được quy tắc công và

quy tắc nhân

§2 Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp

Công đoạn A có thể làm theo n

cách. Với mỗi cách thực hiện

công đoạn A thì công đoạn A thì

công đoạn B có thể làm theo m

cách. Khi đó công việc có thể

thực hiện theo mn cách

Quy tắc nhân cho công việc với

nhiều công đoạn được phát biểu

như sau


hiện theo một trong k công đoạn

. Công đoạn có thể

thục hiện theo cách,…, công

đoạn có thể thực hiện theo

cách .Khi đó công việc có thể thự

hiện bởi cách

Ký hiệu số phần tử của tập hữu

hạn X là

Quy tắc cộng phát biểu như sau:

Nếu A và B là hai tập hợp hữu

hạn bất kỳ không giao nhau thì

Kỹ năng:

Vận dụng được quy tắc cộng và

quy tắc nhân

nghiệm tích lũy

được học sinh có thể

tìm ra lời giải cho

bài toán. Nếu giáo

viên biết cách tổ

chức hoạt động nhận

thức định hướng suy

nghĩ cho học sinh thì

việc dạy và học

chương này trở nên

dễ dàng hơn

Áp dụng phương

pháp dạy học hợp tác

nhóm :

* Dựa trên nguyên

lý về mối liên hệ phổ

biếnvà quan hệ biện

chứng giữa cá nhân

và tập thể, về mối

quan hệ biện chứng

giữa cá nhân và tập

thể

* Tạo điều kiện

cho học sinh hoạt

động giao lưu nhiều

hơn. Kiến thức các

em tiếp thu được từ

nhiều chiều hơn

* Tuy phương

4


Kiến thức:

Biết được khái niệm Hoán vị,

Chỉnh hợp, Tổ hợp

Hoán vị:

Cho một tập hợp A gồm n phần tử

phần tử. Khi sắp xếp n phần

tử theo một thứ tự, ta được một

Số hoán vị của tập hợp A có n phần

tử được ký hiệu là Pn

Chỉnh hợp:

Cho tập hợp A gồm n phần tử

Kết quả của việc lấy k phần tử khác

nhau từ n phần tử của tập hợp A và

sắp xếp chúng theo một thứ tự nào

đó được gọi là một chỉnh hợpbchập

k của n phần tử đã cho.

Ký hiệu là

Công thức:

Tổ hợp:

Giả sử tập A có n phần tử .

Mỗi tập con gồm k phần tử của A

được gọi là một tổ hợp chập k của

n phần tử đã cho

Ký hiệu là:

§2 Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp

Kiến thức:

Biết được khái niệm Hoán vị,

Chỉnh hợp, Tổ hợp

Hoán vị:

Cho một tập hợp A gồm n phần

tử phần tử. Khi sắp xếp n

phần tử theo một thứ tự, ta được

một

Số hoán vị của tập hợp A có n

phần tử được ký hiệu là Pn

Chỉnh hợp:

Cho tập hợp A gồm k phần tử với

. Khi lấy ra k phần tử

của A và sắp xếp chúng theo một

thứ tự ta được một chỉnh hợp

chập k của n phần tử được.

Ký hiệu là

Công thức:

Tổ hợp:

Cho tập hợp A gồm k phần tử với

. Mỗi tập con của A có

k phần tử được gọi là tổ hợp

chập k của n phần tử của A

Ký hiệu là:

pháp dạy học này

mất nhiều thời gian.

Nhưng bù lại, việc

bàn bạc, thảo luận

giúp các em hiểu

sâu, nhớ lâu các khái

niệm và phương

pháp giải toán hơn

* Để dạy học

hợp tác nhóm hiệu

quả hơn

+ Các thành

viên trong nhóm đều

phải có sự hợp tác

với nhau

+ Quyền lợi

của mỗi cá nhân

trong nhóm phải gắn

liền với quyền lợi

của nhóm.

Ví dụ:

Vận dụng hai quy

tắc đếm. Giáo viên

đưa ra một số bài

toán về hai quy tắc

đếm trên mỗi phiếu

học tập. Sau đó cả

nhóm thảo luận dạng

nào dùng quy tắc

5


Công thức:

Kỹ năng

Tìm được số hoán vị, chỉnh hợp, tổ

hợp chập k của n phần tử

§3 Nhị thức Niu-tơn

Kiến thức:

Biết được công thức nhị thức Niu-

tơn

Khai triển nhị thức theo

công thức

Kỹ năng

Biết khai triển nhị thức Niu-ton với

số mũ cụ thể

Tìm được hệ số của xk trong khau

triển nhị thức Niu-tơn thành đa

thức

§4. PHÉP THỬ VÀ BIẾN CỐ

Kiến thức:

Nắm vững các khái niệm phép

thử, kết quả của phép thử và không

gian mẫu. Ý nghĩa xác suất của

biến cố và các phép toán trên các

biến cố.

Công thức:

Kỹ năng

Tìm được số hoán vị, chỉnh hợp,

tổ hợp chập k của n phần tử

§3 Nhị thức Niu-tơn

Kiến thức:

Biết được công thức nhị thức

Niu-tơn

Khai triển nhị thức theo

công thức

Kỹ năng

Biết khai triển nhị thức Niu-ton

với số mũ cụ thể

Tìm được hệ số của xk trong

khau triển nhị thức Niu-tơn

thành đa thức

§4. BIẾN CỐ - XÁC SUẤT

CỦA BIẾN CỐ (2 tiết)

Kiến thức:

Các khái niệm cơ bản: phép

thử, không gian mẫu, biến cố có

liên quan đến phép thử, tập hợp

mô tả biến cố, tập hợp các kết

quả có thể của một phép thử, tập

cộng dạng nào dùng

quy tắc nhân

3. Khắc phục những

khó khăn, sửa chữa

những sai lầm cho

học sinh

- Những biểu hiện

khó khăn và sai lầm

của học sinh

* Nghĩ không

ra cách giải nhưng

xem lờ gải thì thấy

dễ hiểu

* Nhầm lẫn

giữa quy tắc cộng và

quy tắc nhân

* Lúng túng

không biết khi nào

dùng tổ hợp khi nào

dùng chỉnh hợp

- Biện pháp:

* Tạo ra các

tình huống để học

sinh trao đổi, thảo

luận, tự tìm ra các

quy tắc, công thức,

lời giải

Nhấn mạnh vào dấu

hiệu đặc trưng: Công

6


Kỹ năng:

Biểu diễn thành thạo biến cố và

kết quả các phép toán trên các biến

cố bằng lời và bằng tập hợp

Nội dung:

1. Phép thử, không gian mẫu.

1.1 Phép thử

1.2 Không gian mẫu

2. Biến cố

3. Phép toán trên các biến cố

§ 5. XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ

Kiến thức:

Hiểu khái niệm xác suất của biến

cố, định nghĩa cổ điển của xác suất.

hợp các kết quả thuận lợi cho

một biến cố, biến cố chắc chắn,

biến cố không thể.

Kỹ năng:

Biết tính xác suất của biến cố

theo định nghĩa cổ điển của xác

suất

Biết tính xác suất thực nghiệm

(tần suất) của biến cố theo định

nghĩa thống kê của xác suất

Nội dung:

1. Biến cố.

a) Phép thử ngẫu nhiên và

không gian mẫu.

b) Biến cố.

2. Xác suất của biến cố.

a) Định nghĩa cổ điển của xác

suất.

b) Định nghĩa thống kê của xác

suất.

§ 5. CÁC QUY TẮC TÍNH

XÁC SUẤT

Kiến thức.

Nắm chắc các khái niệm hợp

việc thực hiện bằng

hai phương án thì

dùng quy tắc cộng.

Công việc thực hiện

gồm hai công đoạn

thì sử dụng quy tắc

nhân. Từ tập A lấy ra

k phần tử mà thứ tự

không quan trọng thì

dùng tổ hợp, còn

quan trọng thứ tự thì

dùng chỉnh hợp.

* Tăng cường

nhiều dạng toán có

nhiều tình huống

khác nhau

* Dự kiến được

sai lấm của học sinh

có thể mắc phải.

Phân tích và sửa

chữa sai lầm cho học

sinh

4. Hệ thống hóa các

dạng, các mẫu

thường gặp

7


Kỹ năng:

Sử dụng được định nghĩa cổ điển

của xác suất, biết cách tính xác suất

của biến cố trong các bài toán cụ

thể, hiểu ý nghĩa của nó.

Nội dung:

1. Định nghĩa cổ điển của xác suất.

2. Tính chất của xác suất.

3. Các biến cố độc lập, công thức

nhân xác suất.

và giao của hai biến cố.

Biết được khi nào hai biến cố

xung khắc, hai biến cố độc lập.

Kỹ năng:

Giúp học sinh biết vận dụng

các quy tắc cộng và nhân xác

suất để giải các bài toán xác suất

đơn giản.

Nội dung.

1. Quy tắc cộng xác suất

a. Biến cố hợp

b. Biến cố xung khắc

c. Quy tắc cộng xác suất

d. Biến cố đối

2. Quy tắc nhân xác suất

a. Biến cố giao

b. Biến cố độc lập

c. Quy tắc nhân

§6. BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI

RẠC

Kiến thức : Giúp học sinh

- Hiểu thế nào là một biến ngẫu

nhiên rời rạc;

- Hiểu và đọc được nội dung

bảng phân bố xác suất của biến

ngẫu nhiên rời rạc;

- Nắm được công thức tính kì

vọng , ph ương sai và độ lệch

8


chuẩn của biến ngẫu nhiên rời

rạc;

- Hiểu được ý nghĩa của kì vọng

, phương sai và độ lệch chuẩn.

Biết cách lập bảng phân bố xác

suất của biến ngẫu nhiên rời rạc.

Kỹ năng

- Biết cách tính xác suất liên

quan tới một biến ngẫu nhiên rời

rạc từ bảng phân bố xác suất của

nó.

- Biết cách tính kì vọng ,

phương sai và độ lệch chuẩn của

biến ngẫu nhiên rời rạc X

- Từ bảng phân bố xác suất của

X.

Nội dung:

1. Khái niệm biến ngẫu nhiên rời

rạc

2. Phân bố xác suất của biến

ngẫu nhiên rời rạc

3. Kì vọng

4. Phương sai và độ lệch chuẩn

Câu 2: Hệ thống bài tập Tổ hợp và Xác suất ở thpt

PHẦN A. TỔ HỢP

9


1.1 HAI QUY TẮC CỘNG VÀ NHÂN

Dạng 1: Quy tắc cộng

Phương pháp

* Đếm số phần tử của một tập hợp bằng cách liệt kê các phần tử của tập hợp đó

* Dựa vào tính chất của các phần tử, ta chia tập hợp cần đếm thành các tập hợp

con rời nhau. Đếm số phần tử rồi áp dụng quy tắc cộng

Bài 1:Trong một trường khối 11 có 280 học sinh nam và 325 học học sinh nữ. Nhà

trường cần chọn một học sinh ở khối 11 đi tham dự dạ hội của học sinh thành phố.

Hỏi có bao nhiêu cách chọn

Giải

Có 280 cách chọn học sinh nam đi dự dạ hội của học sinh thành phố

Có 325 cách chọn học sinh nữ đi dự dạ hội của học sinh thành phố

Vậy có 280 + 325 = 605 cách chọn học sinh 11 đi dự

Bài 2: Có 2 cuốn sách Toán A và B khác nhau, 2 cuốn sách Vật Lý C và D khác nhau. Cần

chọn đúng 2 cuốn sách. Hỏi có bao nhiêu cách chọn

Giải

Có 1 cách chọn 2 cuốn sách đều là Toán

Có 1 cách chọn 2 cuốn sách đều là Toán

Có 4 cách chọn 2 cuốn sách vừa là Toán vừa là Vật Lý

Vậy có 1 + 1 + 4 = 6 cách chọn hai cuốn sách

Bài 3: Từ một tập chọn ra một tập hợp con của A. Hỏi có mấy cách

Giải

Chọn tập hợp không chứa phần tử nào cả

Có 1 cách chọn:

Chọn tập hợp chứa một phần tử

10


Có 3 cách chọn:

Cho tập hợp chứa hai phần tử

Có 3 cách chọn:

Chọn tập hợp chứa ba phần tử

Có 1 cách chọn:

Vậy có 1 + 3 + 3 + 1 = 8 cách chọn

Bài 4: Cho . Hãy lập tất cả các tập hợp con của X thỏa

a) Chứa phần tử a

b) Không chứa phần tử a. Có bao nhiêu tập con thu được trong mỗi tập hợp đó.

Giải

Chọn tập hợp có 1 phần tử {a}

Có 1 cách chọn

Chọn tập hợp gồm 2 phần tử có phần tử {a}

Có 4 cách chọn

Chọn tập hợp gồm có 3 phần tử có phần tử {a}

Có 6 cách chọn

Chọn tập hợp gồm 4 phần tử có 1 phần tử là {a}

Có 3 cách chọn

Chọn tập hợp gồm 5 phần tử có 1 phần tử là {a}

Có 1 cách chọn {a,b,c,d,e}

Vậy có 1 + 4 + 6 + 3 + 1 = 15

Dạng 2: Quy tắc nhân

Phương pháp

Quy tắc nhân cho 2 đối tượng x, y: Nếu có m cách chọn đối tượng x, và sau đó với

mỗi cách chọn x như thế, có n cách chọn đối tượn y, thì có m.n cách chọn cặp đối

tượng (x;y)

11


Quy tắc trên có thể mở rộng cho nhiều đối tượng: x,y,z,t

Bài 1: Có bao nhiêu số tự nhiên khác nhau. Nhỏ hơn 10000 được tạo thành từ 5 chữ số

0,1,2,3,4

Giải

Số nhỏ hơn 10000 là số có dạng trong đó

Có 4 cách chọn a1

Với mỗi cách chọn a1 có 5 cách chọn a2



Vậy có 4.5.5.5 = 500 số thỏa yêu cầu bài toán

Bài 2: Cho 8 số 0,1,2,3,4,5,6,7. Từ 8 chữ số trên có thể lập được bao nhiêu số, mỗi số gồm

4 chữ số đôi một khác nhau và mỗi số đều không chia hết cho 10

Giải

Số cần tìm có dạng Đặt

Có 7 cách chọn

Có 6 cách chọn

Có 6 cách chọn

Có 5 cách chọn

Vậy có tất cả số thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài 3: Có bao nhiêu số nguyên dương là ước của 75000

Giải

Số 75000 được phân tích thành thừa số nguyên tố như sau:

12


Mỗi ước số dương của 75000 có dạng trong đó , ,

Có 4 cách chọn k

Có 2 cách chọn l

Có 6 cách chọn s

Vì vậy có 4.2.6 = 48 ước số dương của 75000

Bài 4: Từ 5 chữ số 0,1,3,5,7 có thể lập được bao nhiêu số, mỗi số gồm 4 chữ số khác nhau

và không chia hết cho 5

Giải

Số gồm 4 chữ số có dạng

có 3 cách chọn vì số không chia hết cho 5

có 3 cách chọn vì

có 3 cách chọn

có 2 cách chọn

Vì có tất cả 3.3.3.2 = 54 số

Dạng 3: Phối hợp quy tắc nhân và quy tắc cộng

Phương pháp

Xác định các tập hợp đối tượng rời nhau

Trong mỗi tập hợp xác định quan hệ giữa các đối tượng để dùng quy tắc cộng hay

quy tắc nhân

Xác định quan hệ giữa các tập hợp rời nhau để xác định quy tắc cần sử dụng

Bài 1: Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn lớn hơn 2007 mà mỗi số gồm số gồm 4 chữ số khác

nhau

Giải

Gọi là số cần lập

Trường hợp 1:

13


Có 8 cách chọn

Có 8 cách chọn

Có 7 cách chọn

Có 1 cách chọn

Vậy ta có số n

Trường hợp 2:

Có 4 cách chọn

Có 7 cách chọn

Có 8 cách chọn

Có 7 cách chọn

Vậy ta có số n

Vậy cả hai trường hợp ta có: số n

Bài 2: Cho 10 chữ số 0,1,2,…,9. Có bao nhiêu số lẻ có 6 chữ số khác nhau nhỏ hơn

600000xây dựng từ 10 chữ số đã cho.

Giải

Gọi chữ số cần tìm có dạng .

Trường hợp 1:

là số chẵn nên có 2 cách chọn (2 hoặc 4)

Có 5 cách chọn

Có 8 cách chọn

Có 7 cách chọn

Có 6 cách chọn

Có 5 cách chọn

Vậy có 2.5.8.7.6.5 = 16800

Trường hợp 2:

14


là số lẻ nên có 3 cách chọn (1,3 hoặc 5)

Có 4 cách chọn

Có 8 cách chọn

Có 7 cách chọn

Có 6 cách chọn

Có 5 cách chọn

Vậy có 3.4.8.7.6.5 = 20160

Vậy cả hai trường hợp ta có:

Bài 3: Cho tập hợp

a) Có bao nhiêu tập con X của tập hợp A chứa phần tử 1 và không chứa phần tử 2

b) Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau lấy từ tập A mà không

bắt đầu bởi 1,2,3

Giải

a) Mỗi tập con X của A thỏa điều kiện X chứa 1 và không chứa 2 là tập hợp của tập con

X của và tập hợp chỉ có phần tử 1.

Vậy số tập con X nói trên đúng bằng số tập con X của tập gồm 6 phần tử và bằng:

b) Số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số đôi một khác nhau có dạng , mà các chữ số lấy

trong tập hợp A nên

Có 4 cách chọn e (2,4,6,8)

Có 7 cách chọn a

Có 6 cách chọn b

Có 5 cách chọn c

Có 4 cách chọn d

Có 4.7.6.5.4 = 3360

Trong các số trên, các số trên bắt đầu bằng 123 có dạng , nên

Có 3 cách chọn e (4,6,8)

15


Có 4 cách chọn d

Vậy có 3.4 = 12

Vậy có tất cả 4.7.6.5.4 – 12 = 3348

Bài 4: Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập được:

a) Bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chũ số khác nhau

b) Bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 5 chữ số khác nhau

Giải

a) Vì nên có 6 cách chọn

nên có 6 số chọn cho

Có 5 cách chọn cho



Vậy ta có 6.6.5.4.3=2160 cách

b) Gọi ( )

Nếu

Có 6 cách chọn




Vậy có 6.5.4.3 = 360 số tận cùng bằng 0

Nếu

Có 3 cách chọn

Có 5 cách chọn

Có 5 cách chọn

Có 4 cách chọn

16


Có 3 cách chọn

Vậy có 5.5.4.3.3 = 900 số

Do đó có tất cả 360 + 900 = 1260 số chẵn

Hoán Vị

Phương pháp

* Khi giải bài toán phải chọn trên mật tập X có n phần tử, ta sẽ dùng hán vị ếu có

dấu hiệu sau:

* Chọn hết các phần tử của X

* Sắp thứ tự

* Số hoán vị của tập hợp có n phần tử

Bài 1: Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên, mỗi số gồm 6

chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng ngàn bằng 8.

Giải

Gọi số cần lập

Yêu cầu bài toán:

Suy ra hay

Khi

Có 6 cách chọn

Có 5 cách chọn

Có 3! Cách chọn

Có 4 cách chọn

Vậy ta có 6.5.6.4 = 720 số n

Khi tương tự ta cũng có 720 số n

Theo quy tắc cộng ta có: 720 + 720 = 1440 số n

17


Bài 2: Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số khác nhau đôi một được lập bằng cách dùng 7 chữ số

1,2,3,4,5,6,7,9 sao cho 2 chữ số chẵn không nằm liền nhau.

Giải

Số lượng các số gồm 7 chữ số khác nhau được lập từ 7 chữ số 1,2,3,4,5,6,7,9 là

Số lượng các số trong đó có 2 chữ số chẵn {2,4} nằm liền nhau là:

Vậy số lượng các số có 2 chữ số chẵn không nằm liền nhau là

Bài 3: Cho 4 chữ số 1,2,3,4

a) Có thể lập được bao nhiêu số gồm 4 chữ số khác nhau từ 4 chữ số đó

b) Tính tổng các số tìm được ở câu a)

Giải

a) Số lượng các số gồm 4 chữ số khác nhau là:

b) Số gồm 4 chữ số có dạng

Và khi cố định 1 chữ số tại 1 hàng nào đó(nghìn, trăm, chục hay đơn vị)

Thì có cách sắp xếp 3 chữ số còn lại vào 3 hàng còn lại. Như vậy, mỗi chữ số trong 4

số nói trên xuất hiện trong mỗi chữ số, trong mỗi hàng tới 6 lần

Vậy tổng tất cả các số nói trên sẽ là

Bài 4: Từ 3 chữ số 2,3,4 có thể tạo ra được bao nhiêu số tự nhiên gồm 5 chữ số , trong đó

có đủ 3 chữ số nói trên

Giải

Một số gồm 5 chữ số có mặt đủ 3 chữ số 2,3,4 có 6 trường hợp sau:

Trường hợp 1: Có 3 chữ số 2, 1 chữ số 3, 1 chữ số 4 có cách

Trường hợp 2: Có 3 chữ số 3, 1 chữ số 2, 1 chữ số 4 tương tự trường hợp 1 có: 20

cách

18


Trường hợp 3: Có 3 chữ số 4, 1 chữ số 2, 1 chữ số 3 tương tự trường hợp 1 có: 20

cách

Trường hợp 4: Có 2 chữ số 2, 2 chữ số 3, 1 chữ số 4 có: cách

Trường hợp 5: Có 2 chữ số 2, 2 chữ số 4, 1 chữ số 3 có: cách

Trường hợp 6: Có 2 chữ số 3, 2 chữ số 4, 1 chữ số 2 tương tự trường hợp 4 có 30 số

Vậy có 3 ( 20 ) + 3 ( 30 ) = 150

Bài 5: Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 thiết lập tất cả các số có 6 chữ số khác nhau. Hỏi trong các

số đã thiết lập được có bao nhiêu số mà 2 chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau ?

Giải

Các số gồm 6 chữ số có dạng

Nếu chữ số 1 và chữ số 6 đứng cạnh nhau thì có 5 cách chọn 2 vị trí liên tiếp nhau trong 6

vị trí đã cho để viết 2 chữ số 6 và 1

Với mỗi cặp vị trí đã chọn có 2 cách viết 1 và 6. Còn 4 vị trí và 4 chữ số có 4! cách viết

khác nhau

Do đó có: 5.2.4! = 240 số gồm 6 chữ số mà chữ số 1 và 6 đứng cạnh nhau.

Vì từ 6 chữ số đã cho có thể thiết lập nên 6! các số gồm 6 chữ số khác nhau

Nên số lượng các số 6 chữ số khác nhau trong đó chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau là:

CHỈNH HỢP

Phương pháp giải

Thường lập luận để có thể coi mỗi sự việc mà ta phải đếm là việc lấy ra r phần tử từ

một tập hợp E có m phần tử.

Nếu giữa r phần tử được lấy ra từ E không có vấn đề thứ tự thì dùng số tổ hợp m

chập r từ E.

Nếu giữa r phần tử được lấy ra từ E có vấn đề thứ tự thì lạiphải chú ý:

19


Nếu vai trò của các phần tử được lấy ra từ E như nhau (nghĩa là các phần tử của E

có cơ hội đồng đều trong sự lựa chọn) thì dùng số chỉnh hợp (hay hoán vị)

Nếu vai trò các phần tử dược lấy ra từ E khác nhau thì lý luận bằng quy tắc đếm.

Có n vật khác nhau, chọn ra k vật khác nhau ( ), sắp vào k chỗ khác nhau. Mỗi cách

chọn rồi sắp như vậy gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử.

Chỗ thứ nhất có n cách chọn (do có n vật), chỗ thứ 2 có cách chọn (do còn

vật), chỗ thứ 3 có cách chọn (do còn vật),…,chỗ thứ k có cách

chọn (do còn vật). Vậy, theo quy tắc nhân, số cách chọn là:

Nếu kí hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử là , ta có:

Bài 1. Một nhà hàng có 5 món ăn chủ lực, cần chọn 2 món ăn chủ lực khác nhau cho mỗi

ngày, một món buổi trưa và một món buổi chiều. Hỏi có mấy chách chọn?

Giải

Đây là chỉnh hợp chập 2 của 5 phần tử, ta có:

cách chọn

(Giả sử 5 món ăn được đánh số 1,2,3,4,5, ta có các cách chọn sau đây:

Bài 2. Trong một trường đại học, ngoài các môn học bắt buộc, có 3 môn tự chọn, sinh viên

phải chọn ra 2 môn trong 3 môn đó, 1 môn chính và 1 môn phụ. Hỏi có mấy cách chọn?

Giải

Đây là chỉnh hợp chập 2 của 3 phần tử, Vậy có:

cách chọn

20


(Giả sử 3 môn tự chọn là a, b, c thì 6 cách chọn theo yêu cầu là

Bài 3. Từ 5 chữ số 1, 2, 3, 4, 5 có thể tạo ra bao nhiêu số gồm 2 chữ số khác nhau ?

Giải

Đây là chỉnh hợp chập 2 của 5 phần tử. Vậy có:

số

(Các số đó là: 12, 13,14, 15, 21, 23, 24, 25, 31, 32, 34, 35, 41, 42, 43, 45, 51, 52, 53, 54)

Bài 4. Chứng minh với và

Giải

a) Ta có:

b)

21


Bài 5. Giải bất phương trình:

Điều kiện và

(do )

Do và nên là nghiệm.

Bài 6. Chứng minh với và thì

Ta có:

22


Cộng vế theo vế đẳng thức trên ta được:

Bài 7. Có bao nhiêu số điện thoại bắt đầu bằng 2 chữ cái khác nhau lấy từ 26 chữ cái A, B,

C,…, Z và tiếp theo là 5 chữ số khác nhau không có số 0.

Giải

Chọn 2 chữ cái trong 26 chữ cái, xếp vào hai vị trí đầu tiên, đây là chỉnh hợp chập 2

của 26 phần tử. Tiếp theo, chọn 5 chữ số trong 9 chữ số khác 0, xếp vào 5 vị trí, đây là

chỉnh hợp chập 5 của 9 phần tử.

Vậy có: số

Bài 8. Một đội bóng đá có 18 cầu thủ. Cần chọn ra 11 cầu thủ phân vào 11 vị trí trên sân để

thi đấu chính thức. Hỏi có mấy cách chọn nếu:

a) Ai cũng có thể chơi ở bất cứ vị trí nào?

b) Chỉ có cầu thủ A làm thủ môn được, các cầu thủ khác chơi ở vị trí nào cũng được?

c) Có 2 cầu thủ chỉ có thể làm thủ môn được, các cầu thủ khác chơi ở vị trí nào cũng được?

Giải

a) Chọn 11 người trong 18 người, xếp vào 11 vị trí. Đây là chỉnh hợp chập 11 của 18

phần tử. Có: cách

23


b) Chọn A làm thủ môn. Tiếp đến, chọn 10 người trong 17 người còn lại, xếp vào 10 vị

trí. Vậy có: cách

c) Chọn 1 trong 3 người làm thủ môn, có 3 cách. Tiếp đến, chọn 10 người trong 15

người kia, xếp vào 10 vị trí, có cách

Vậy, có

Bài 9. Có 10 cuốn sách khác nhau và 7 cây bút máy khác nhau. Cần chọn ra 3 cuốn sách và

3 cây bút máy để tặng cho 3 học sinh, mỗi em một cuốn sách và một cây bút máy. Hỏi có

mấy cách?

Giải

Chọn 3 trong 10 cuốn sách để tặng cho 3 học sinh. Đây là chỉnh hợp chập 3 của 10 phần tử,

có cách.

Tiếp theo chọn 3 trong 7 cây bút để tặng cho 3 học sinh. Đây là chỉnh hợp chập 3 của 7

phần tử, có cách

Vậy, có: cách

Bài 10. Trong một chương trình văn nghệ, cần chọn ra 7 bài hát trong 10 bài hát và 3 tiết

mục múa trong 5 tiết mục múa rồi xếp thứ tự biểu diễn. Hỏi có bao nhiêu chách chọn khác

nhau nếu các bài hát được xếp kế nhau và các tiết mục múa được xếp kế nhau ?

Giải

Xếp hát rồi đến múa hay múa rồi đến hát: có 2 cách

Trong mỗi trường hợp đó, chọn 7 trong 10 bài hát rồi xếp thứ tự, có cách

Tiếp đến chọn 3 trong 5 tiết mục múa rồi xếp thứ tự, có: cách

Vậy, có: cách

Bài 11. Trong một cuộc đua ngựa gồm 10 con. Hỏi có mấy cách để 10 con ngựa này về

đích nhất, nhì, ba.

Giải

24


Số các cách để trong 10 con ngựa này về đích nhất, nhì, ba là số các chỉnh hợp 10 chập 3

(do có thứ tự). Đó là:

cách

Bài 12. Xét các bảng số xe là dãy gồm 2 chữ cái đứng trước và 4 chữ số đứng sau. Các chữ

cái được lấy từ 26 chữ cái A, B,…,Z. Các chữ số được lấy từ 0, 1,…,9.

a) Có mấy biển số trong đó có ít nhất 1 chữ cái khác chữ O và các chữ số đôi một khác

nhau.

b) Có mấy biển số có 2 chữ cái khác nhau đồng thời có đứng 2 chữ số lẻ, và 2 chữ số lẻ đó

giống nhau.

Giải

a) Số cách chọn 2 chữ cái trong đó có ít nhất 1 chữ cái khác chữ O:

(1 là số trường hợp mà 2 chữ cái đều là O)

Số cách chọn 4 chữ số đôi một khác nhau:

Vậy có biển số

b) Số cách chọn 2 chữ cái khác nhau:

Có 5 cặp số lẻ giống nhau, chọn 1 cặp có 5 cách.

Lấy cặp số lẻ giống nhau này xếp vào 2 trong 4 vị trí của biển số có: cách

Còn 2 vị trí trống mang 2 chữ số chẵn (có thể giống nhau) trong 5 chữ số chẵn có:

cách

Do đó số biển số thỏa yêu cầu câu b là: biển số

Bài 13. Có 30 học sinh dự thi học sinh giỏi toán toàn quốc. Có 6 giải thưởng xếp hạng từ 1

đến 6 và không ai được nhiều hơn 1 giải. hỏi:

a) Có bao nhiêu danh sách học sinh đoạt giải có thể có ?

b) Nếu đã biết học sinh A chắc chắn đoạt giải, thì có bao nhiêu danh sách học sinh đoạt giải

có thể có?

Giải

25


a) Chọn 6 học sinh trong 30 học sinh, xếp vào 6 giải là chỉnh hợp chập 6 của 30 phần

tử. vậy có: cách

b) Nếu hócinh A chắc chắn không đoạt giải, cần chọn 6 học sinh trong 29 học sinh, xếp

vào 6 giải. Đây là chỉnh hợp chập 6 của 29 phần tử, có: cách

Suy ra số danh sách theo yêu cầu đề bài là:

Bài 14. Một lớp học có 40 học sinh. Giáo viên chủ nhiện lớp muốn chọn ra 1 lớp trường, 1

lớp phó học tập và 1 lớp phó lao động. hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Đây là bài toán chỉnh hợp vì từ 40 học sinh chọn ra 3 em làm cán bộ lớp có theo thứ

tự lớp trưởng, lớp phó học tập, lớp phó lao động.

Vậy số cách chọn là: cách

Bài 15. Có 6 người đi vào 1 thang máy của một chung cư có 10 tầng. Hỏi có bao nhiêu

cách để:

a) Mỗi người đi vào 1 tầng khác nhau.

b) 6 người này, mỗi người đi vào 1 tầng bất kì nào đó.

Giải

a) Số cách đi vào 6 tầng khác nhau của 6 người này là số cách chọn 6 trong 10 số khác

nhau (mỗi tầng được đánh 1 số từ 1 đến 10)

Đó là số chỉnh hợp 10 chập 6:

b) Mỗi người có 10 cách lựa chọn từ tầng 1 đến 10. Mà có 6 người.

Vậy số cách chọn là

Bài 16.Có 100000 chiếc vé số được đánh số từ 00000 đến 99999. Hỏi số các vé gồm 5

chữ số khác nhau là bao nhiêu.

Giải

Mỗi vé có 5 chữ số khác nhau chính là một chỉnh hợp 10 chập 5.

Vậy số các vé gồm 5 chữ số khác nhau là:

26


Bài 17. Với 10 chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 có thể lập bao nhiêu số có 5 chữ số khác

nhau.

Giải

Gọi

Số các số n bất kì ( có thể bằng 0)

Số các số n mà là:

Vậy số các số thỏa yêu cầu bài toán :

Bài 18. Có bao nhiêu số nguyên dương bé hơn 1000 mà mỗi số đều có các chữ số đôi một

khác nhau.

Giải

Gọi và

Số các số n có 1 chữ số là: 9

Số các số n có 2 chữ số khác nhau là:

Trong đó là các số có 2 chữ số khác nhau mà bắt đầu bằng 0.

Số các số n có 3 chữ số khác nhau là:

Trong đó là các số có 3 chữ số khác nhau mà bắt đầu bằng 0.

Vậy có:

Bài 19. Có bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau được tạo thành các chữ số

0,1,2,3,4,5,6,7

27


Giải

Gọi số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau là:

có 7 cách chọn ( )

có cách chọn

Vậy có số tự nhiên cần tìm

Bài 20. Cho . Người ta thành lập các con số gồm 3 chữ số khác nhau lấy

từ E.

Hỏi có bao nhiêu con số khác nhau.

Giải

Số con số gồm 3 chữ số khác nhau lấy từ E

Giữa 3 phần tử khác nhau được lấy ra từ E để thành lập con số có vấn đề thứ tự và

vì E không có chứa chữ số 0 nên các phần tử của E có vai trò như nhau.

Số con số thành lập là một chỉnh hợp 6 chập 3 các phần tử của E. Số con số là :

Bài 21. Lớp học 30 học sinh gồm 18 nữ và 12 nam. Gíao viên chủ nhiệm cho lập một ban

đại diện gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó học tập, 1 lớp phó văn thể mỹ và 1 thư kí. Hỏi có bao

nhiêu ban đại diện khác nhau biết rằng :

a) Lớp trưởng là nam sinh, lớp phó là nữ sinh.

b) Lớp trưởng là nữ sinh và thư ký là nam sinh.

Giải

a) Số ban đại diện có lớp trưởng nam và lớp phó nữ :

Gọi A là hành động chọn lớp trưởng : có 12 cách

Gọi B là hành động chọn 2 lớp phó : có cách

Gọi C là hành động chọn thư kí (sau khi thực hiện A,B) : có 27 cách

Số ban đại diện là :

b) Số ban đại diện có lớp trưởng nữ và thư kí nam:

28


Gọi A là hành động chọn lớp trưởng: có 18 cách

Gọi B là hành động chọn thư kí: có 12 cách

Gọi C là hành động chọn 2 lớp phó (sau khi thực hiện A,B): có cách

Số ban đại diện là:

TỔ HỢP

Bài 1: Cho đa giác đều nội tiếp đường tròn (O) . Hỏi

a) Số tam giác có 3 đỉnh là 3 trong số 2n đỉnh của tam giác đã cho.

b) Số hình chữ nhật có 4 đỉnh là 4 trong số 2n đỉnh của đa giác đã cho.

Giải

a) Ba đỉnh bất kỳ của đa giác đã cho tạo thành một tam giác. Mỗi bộ 3 đỉnh của tam giác

đã cho là một tổ hợp chập 3 của 2n phần tử. Số tam giác có 3 đỉnh là 3 trong số 2n

đỉnh của đa giác đã cho là.

b)Mỗi đường chéo của hình chữ nhật đi qua tâm O của đường tròn ta gọi là đường chéo

lớn. Có tất cả n đường chéo lớn. Số hình chữ nhật có 4 đỉnh là 4 trong sô 2n đỉnh của

đa giác đã cho bằng số cặp đường chéo lớn và bằng

Bài 2: Có 5 nhà toán học nam, 3 nhà toán học nữ và 4 nhà vật lý nam. Lập một đoàn

công tác 3 người cần có cả nam và nữ, cần có cả nhà toán học và vật lý. Hỏi có bao

nhiêu cách?

Giải

Có 3 phương án chọn

Phương án 1: chọn 1 nhà toán học nam, 1 nhà toán học nữ và 1 nhà vật lý

nam. Và có số cách chọn là:

29


Phương án 2: chọn 2 nhà toán học nữ và 1 nhà vật lý nam. Và có số cách chọn

là:

Phương án 3: chọn 1 nhà toán học nữ và một nhà vật lý nam. Và có số cách

chọn là:

Vậy số cách chọn cần tìm là:

Bài 3: Một lớp có 10 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Cần chọn ra 5 em đi dự trại hè,

trong đó có ít nhất 1 học sinh nam và 1 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách?

Giải

Cách 1: để chọn 5 em học sinh thỏa mãn yêu cầu, trước tiên ta chọn k học sinh

nam , sau đó chọn học sinh nữ. Số cách chọn cần tìm là:

Cách 2: sử dụng nguyên lý bù trừ. Số cách chọn 5 học sinh trong số 20 học sinh

của lớp là . Số cách chọn 5 học sinh nam là . Số cách chọn 5 học sinh sao

cho có ít nhất 1 học sinh nam và ít nhất 1 học sinh nữ là:

Bài 3: Một hộp đựng 4 viên bi màu đỏ, 5 viên bi màu xanh và 6 viên bi màu vàng.

Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đó sao cho trong số 4 viên được chọn không có đủ cả

3 màu. Hỏi có bao nhiêu cách chọn?

Giải

Sử dụng nguyên lý bù trừ. Số cách chọn 4 viên bi từ hộp đã cho là . Ta đếm số

cách chọn 4 viên bi sao cho có đủ cả 3 màu. Số cách chọn này là:

30


Vậy số cách chọn 4 viên bi thỏa mãn yêu cầu bài toán là:

Bài 4: Đội thanh niên xung kích của một trường phổ thông có 12 học sinh, trong đó có 5

học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ

sao cho 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp nói trên. Hỏi có bao nhiêu cách?

Giải

Cách 1: Sử dụng nguyên lý cộng.

- Số cách chọn 4 học sinh chỉ thuộc 1 lớp là:

- Số cách chọn 4 học sinh chỉ thuộc 2lớp là:

Số cách chọn 4 học sinh cần tìm là:

Cách 2: Sử dụng nguyên lý bù trừ.

- Số cách chọn 4 học sinh trong số 12 học sinh là:

- Số cách chọn 4 học sinh trong đó mỗi lớp có ít nhất 1 học sinh là:

Số cách chọn cần tìm là:

Bài 5: Một đội văn nghệ có 20 người, trong đó có 10 nam và 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu

cách chọn ra 5 người, sao cho:

a) Có đúng 2 nam trong 5 người đó.

b) Có ít nhất 2 nam, có ít nhất 1 nữ trong 2 người đó.

Giải

a) Số cách chọn 2 nam, 3 nữ là cách

b)Có 2 nam, 3 nữ: 5400 cách.

- Có 3 nam, 2 nữ:

- Có 4 nam, 1 nữ:

Tổng cộng 3 trường hợp ta có: cách

31


Bài 6: Một lớp có 30 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Có 6 học sinh được chọn để lập

một tốp ca. Hỏi có bao nhiêu cách chọn khác nhau trong đó phải có ít nhất 2 nữ?

Giải

- Số cách chọn 6 học sinh bất kỳ nam, nữ trong 15 học sinh ta có:

- Số cách chọn 6 học sinh toàn là nam, có

- Số cách chọn 6 học sinh có 5 nam, 1 nữ

Vậy số cách chọn là: cách

Bài 7: Cho tập X có 10 phần tử khác nhau. Tìm số tập con khác rỗng chứa một số chẳn

các phần tử.

Giải

Số tập con của X có 2 phần tử là , số tập con của X có 4 phần tử là ,…, số tập

con của X có 10 phần tử là .

Vậy số tập con thỏa yêu cầu bài toán là

Xét

Cho

Bài 8: Cho hai đường thẳng song song . Trên lấy 15 điểm phân biệt, trên

lấy 9 điểm phân biệt. Hỏi số tam giác mà có 3 đỉnh là các điểm ấy.

Giải

Có hai loại tam giác tạo thành:

- Tam giác có một đỉnh trên và hai đỉnh trên . Có 15 cách lấy 1 đỉnh trên

, có cách lấy hai đỉnh trên

Vậy ta có tam giác

32


- Tam giác có hai đỉnh trên và một đỉnh trên . Có cách lấy hai đỉnh

trên , có 9 cách lấy một đỉnh trên

Vậy ta có tam giác

Theo quy tắc cộng ta có: tam giác.

Bài 9: Một chi đoàn 20 đoàn viên trong đó có 10 nữ, muốn chọn ra một tổ công tác có 5

người. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu tổ cần có ít nhất 1 nữ.

Giải

Số cách chọn 5 đoàn viên bất kỳ là

Số cách chọn 5 đoàn viên toàn là nam là

Vậy số cách chọn 5 đoàn viên có ít nhất một nữ là: cách

Bài 10: Một đội văn nghệ gồm 10 học sinh nam, 10 học sinh nữ. Cô giáo muốn chọn ra

một tốp ca gồm 5 học sinh trong đó có ít nhất là 2 em nam và 2 em nữ, hỏi có bao

nhiêu cách chọn?

Giải

Số cách chọn 3 em nam và 2 em nữ:

Vậy số cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán là: cách

Bài 11: Một đội cảnh sát có 9 người. Trong ngày cần 3 người làm nhiệm vụ tại địa điểm

A, 2 người làm tại địa điểm B, còn lại 4 người trực đồn. Hỏi có bao nhiêu cách phân

công?

Giải

Số cách phân công 3 người tại điểm A:

Số cách phân công 2 người tại điểm B:

Số cách phân công 4 người còn lại: 1

Vậy số cách phân công là: cách

Bài 12: Lớp học có 4 nữ, 10 nam. Cần chia lớp thành 2 tổ, mỗi tổ có 2 nữ, 5 nam. Hỏi

có mấy cách chia?

33


Giải

Chọn 2 trong 4 nữ, có cách

Tiếp đến chọn 5 trong 10 nam, có cách

Các học sinh được chọn vào một tổ, các học sinh còn lại vào tổ kia

Vậy ta có: cách

Bài 13: Một đội xây dựng gồm 10 nhân công, 3 kỹ sư. Để lập một tổ công tác cần chọn

1 kỹ sư làm tổ trưởng, 1 công nhân làm tổ phó và 3 công nhân làm tổ viên. Hỏi có bao

nhiêu cách lập tổ công tác

Giải

Số cách chọn 1 kỹ sư làm tổ trưởng: 3 cách

Số cách chọn 1 công nhân làm tổ phó: 10 cách

Số cách chọn 3 công nhân làm tổ viên: cách

Vậy số cách lập tổ là: cách

Bài 14. Một lớp có 50 người trong đó có 30 nữ, 20 nam. Hỏi có bao nhiêu cách lập ban đại

diện gồm 3 nữ và 2 nam.

Gỉai

Lập ban đại diện gồm 3 nữ có cách

Lập ban đại diện gồm 2 nam có cách

Vậy có cách lập ban đại diện.

NHI THƯC NIU TƠN

Các trường hợp cụ thể

;

34


;

Tính chất

;

Bài 1. Cho đa thức: , khai triển đa thức đó dưới dạng:

Tính tổng

Giải

Ta có

Các hệ số trong khai triển đa thức là ( k = 0, 1, 2, …, 2009)

Vậy

Bài 2.Tìm số tự nhiên n thoả mãn

Trong đó là số các tổ hợp chập k của n phần tử.

Giải

Ta có:

35


Vậy số tự nhiên n cần tìm là 4.

Bài 3.(ĐH Khối D-2002)

Tìm số nguyên dương n sao cho

Giải

Ta có:

Cho ta được

Từ giả thiết ta suy ra

Bài 4.(ĐH Khối D-2008)

Tìm số nguyên dương n thoả mãn hệ thức

( là số các tổ hợp chập k của n phần tử ).

Giải.

Ta có:

Từ giả thiết suy ra: .

Bài 5: Hãy tìm ba số hạng liên tiếp lập thành cấp số cộng trong dãy số sau

.

Giải.

Ba số theo thứ tự đó lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi

36


Suy ra

Ta được số hạng liên tiếp lập thành cấp số cộng trong dãy số trên là:

Bài 6. (ĐH Khối B-2002)

Cho đa giác đều nội tiếp đường tròn (O). Biết rằng số tam giác có

các đỉnh là 3 trong 2n điểm nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4

trong 2n điểm . Tìm n.

Giải

Số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm là .

Gọi đường chéo của đa giác đều đi qua tâm đường tròn (O) là đường chéo lớn

thì đa giác đã cho có n đường chéo lớn.Ngược lại, với mỗi cặp đường chéo lớn ta có các

đầu mút của chúng là 4 đỉnh của một hình chữ nhật. Vậy số hình chữ nhật nói trên bằng số

cặp đường chéo lớn của đa giác tức là .

Theo giả thiết thì:

Bài 7 .Tìm hệ số không chứa x trong khong trai triển nhị thức Niutơn của (

)

Giải.

37


Số hạng tổng quát trong khai triển Niutơn là

.

Số hạng không chứa x ứng với k thoả mãn: .

Vậy số hạng cần tìm là .

Bài 8. Tìm hệ số của trong khai triển đa thức của:

Giải

Ta có

Vậy hệ số của trong khai triển đa thức của ứng với k = 4 và i =

3 là

3320.

Bài 12 (ĐH Khối D-2004).

Xác định số hạng không chứa trong khai triển nhị thức Niutơn Với x > 0

Giải.

Ta có

Số hạng không chứa x là số hạng tương ứng với thoả mãn

Vậy số hạng không chứa x cần tìm là:

Bài 9 (ĐH Khôi A-2003).

38


Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển nhị thức Niutơn của biết

(Với n là số nguyên dương, x > 0 , là số các tổ hợp chập k của n

phần tử).

Giải.

Ta có:

.

Số hạng tổng quát của khai triển là

.

Ta có: .

Do đó hệ số của số hạng chứa là

Bài 10 (ĐH Khối A-2002).

Cho khai triển nhị thức

(n là số nguyên dương ). Biết rằng trong khai triển đó và số hạng thứ tư bằng

. Tìm .

Giải.

Từ ta có và

Với ta có:

39


Vậy .


Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển nhị thức Niutơn biết rằng

(Với n là số nguyên dương, x > 0 , là số các tổ hợp chập

k của n phần tử).

Giải.

Từ giả thiết suy ra: (1).

Vì nên

(2)

Từ khai triển nhị thức Niutơn của suy ra:

(3).

Từ (1), (2) và (3) suy ra: .

Ta có: .

Hệ số của là: với thoả mãn: .

Vậy hệ số của là .

Bài 12 (ĐH Khối B-2007).

Tìm hệ số của số hạng chứa trong khai triển nhị thức Niutơn , biết:

(Với n là số nguyên dương, x > 0 , là số các tổ hợp chập k của n phần tử).

Giải.

Ta có:

Từ giả thiết suy ra: .

Hệ số của số hạng chứa trong khai triển nhị thức Niutơn

40



Tìm hệ số cuả trong khai triển đa thức

Giải.

Cách 1

Trong khai triển trên ta thấy bậc của x trong 3 số hạng đầu nhỏ hơn 8, bậc của x trong 4 số

hạng cuối lớn hơn 8.

Do đó chỉ có trong số hạng thứ tư, thứ năm với hệ số tương ứng là: .

Vậy hệ số cuả trong khai triển đa thức là:

Cách 2:

Ta có: với .

Số hạng chứa ứng với là một số chẵn. Bằng cách thử trực tiếp ta

được

.


Bài 14. Đa thức được viết dưới dạng . Tìm

Giải.

Ta có:

với . Do đó với các trường hợp

.

Vậy .

Bài 15 (ĐH Khối D-2003).

Với n là số nguyên dương. gọi là hệ số của trong khai triển thành đa thức của

. Tìm n để .

41


Giải.

Cách 1:

Ta có

Dễ dàng kiểm tra n = 1 và n = 2 không thoả mãn điều kiện bài toán.

Với thì dựa vào khai triển ta chỉ có thể phân tích

Do đó hệ số của trong khai triển thành đa thức của là

.

Từ giả thiết suy ra

Vậy n = 5 là giá trị cần tìm (vì n nguyên dương).

Cách 2:

Ta có:

Trong khai triển trên , luỹ thừa của x là 3n – 3 khi

Ta chỉ có hai trường hợp thoả mãn điều kiện này là i = 0, k = 3 hoặc i = 1 và k = 1 (vì i, k

nguyên).

Nên hệ số của trong khai triển thành đa thức của là

.

Do đó

Vậy n = 5 là giá trị cần tìm (vì n nguyên dương)

Bài 16

42


Gọi là các hệ số trong khai triển sau:

Hãy tính hệ số .

Giải.

Ta có hệ số là hệ số của hạng tử chứa

Mà

Do đó hệ số của hạng tử chứa là

(ứng với k =5 trong tổng 1 và k = 4 trong tổng 2).

Vậy =672.

Bài 17. Xác định số hạng không phụ thuộc vào x khi khai triển biểu thức

với n là số nguyên dương thoả mãn .

( tương ứng là số tổ hợp, số chỉnh hợp chập k của n phần tử).

Giải.

Đẳng thức

Theo nhị thức Niu tơn ta có:

Số hạng không phụ thuộc vào x chỉ có trong hai biểu thức và

43


Trong đó có hai số hạng không phụ thuộc vào x là: và

Do đó số hạng không phụ thuộc vào x là: + = -168 + 70 = -98.

Bài 18. Tìm hệ số lớn nhất của đa thức trong khai triển nhị thức Niutơn của

Giải.

Ta có:

Gọi là hệ số của trong khai triển ; k = 0,1,2,…,15.

Xét sự tăng giảm của dãy :

Từ đó:

Đảo dấu bất đẳng thức trên, ta được:

Vậy hệ số lớn nhất phải tìm là:

Bài 19 (ĐH Khối A-2008)

Cho khai triển , trong đó và các hệ số thoả

mãn hệ thức . Tìm số lớn nhất trong các số

Giải

Đặt .

Từ giả thiết suy ra .

Với mọi ta có

44


Mà Do đó .

Tương tự, .Do đó ..

Vậy số lớn nhất trong các số


Cho tập hợp A gồm n phần tử . Biết rằng số tập con gồm 4 phần tử của A bằng 20

lần số tập con gồm 2 phần tử của A, tìm sao cho số tập con gồm k phần tử

của A là lớn nhất.

Giải.

Số tập con gồm k phần tử của A bằng .

Từ giả thiết suy ra:

Do nên

.

Vậy số tập con gồm k phần tử của A là lớn nhất khi và chỉ khi k = 9.


Chứng minh rằng: (n, k là các số nguyên dương, , là số

các tổ hợp chập k của n phần tử).

Giải

Ta có:

=

Bài 22

45


Tính tổng

Giải.

Ta xét

Do đó S được viết lại dưới dạng:

Bài 23.

Chứng minh rằng:

Giải.

Ta có: .

Vế trái của hệ thức trên chính là:

Và ta thấy hệ số của trong vế trái là

Còn hệ số của trong vế phải là .

Do đó .

Lưu ý:

- Sử dụng tính chất , ta có bài toán tương tự :

“Với n là số nguyên dương, chứng minh hệ thức: ”

- Để chứng minh đẳng thức

Ta so sánh hệ số của trong khai triển tích .

Bài 24. Chứng minh rằng:

.

46


Xác định n để dấu “=” xảy ra?

Giải.

Do nên ta có: .

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

Áp dụng khai triển với a = b = 1 ta có

Suy ra

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .

Bài 25 .Chứng minh rằng

Giải.

Ta có

Đạo hàm hai vế ta có:

Thay ta được:

.

Bài 26.Tính tổng

a). b).

Giải

a).Xét đa thức , ta có

Suy ra ;

47


Mặt khác

a). b). .

Lưu ý.

Để tính các tổng

thì xét đa thức và chứng tỏ rằng

và

thì xét đa thức

Chứng tỏ rằng

Bài 27.Tính tổng với n là số tự nhiên

Giải.

Ta có

Đạo hàm hai vế ta có:

Nhân hai vế với x ta có:

Đạo hàm hai vế lần nữa

.

Thay x = 1 ta được

.

Lưu ý: Hệ thức tương đương

Tính tổng

Phương pháp:

48


Sử dụng khai triển

Nhân hai vế cho ta có:

Đạo hàm hai vế theo, lại nhân hai vế với x, tiếp tục đạo hàm 2 vế theo x,

tiếp tục quá trình này p bước, cuối cùng thay x = 1 ta được kết quả.

Bài 28. (ĐH Khối B-2005)

Tìm số nguyên dương n sao cho

Giải

Ta có: , .

Đạo hàm hai vế ta có: ,

.

Thay vào ta có:

.

Theo giả thiết ta có .

Vậy .

Bài 29.(ĐH Khối B-2003)

Cho n là số nguyên dương. Tính tổng

( là số các tổ hợp chập k của n phần tử).

Giải.

Ta có:

Suy ra

49


Vậy

Nhận xét: Để tính tổng .

Hãy chứng tỏ rằng

Ta thường gặp bài toán với một trong hai cận của tích phân là 0,

Trong một số trường hợp, ta phải xét đa thức

Bài 30. Chứng minh rằng:

( n là số nguyên dương, là số các tổ hợp chập k của n phần tử).

Giải.

Ta có: ;

Suy ra: .

Lấy tích phân cận từ 0 đến 1 hai vế ta có:

Mà (1)

Và

50


= (2).

Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.

Nhận xét: Nếu phải tính tổng thì ta xét

sau đó tính tích phân .

Còn nếu phải tính tổng thì ta lại xét

sau đó tính tích phân .

Bài 31.

Chứng minh rằng:

( n là số nguyên dương, là số các tổ hợp chập k của n phần tử).

Giải.

Cách 1: Theo công thức nhị thức Niu tơn ta có:

Lấy đạo hàm hai vế ta được:

Suy ra:

Lấy tích phân trên đoạn [0 ; 1] của vế phải đẳng thức (1) ta được

Cách 2: Xét số hạng tổng quát trong vế trái với k = 0, 1, 2,…, n.

51


Do đó

=

PHẦN B. Xác suất

Dạng 1: XÁC SUẤT CÓ MỘT BIẾN CỐ

1.1.Một số bài toán sử dụng phương pháp đếm:

Bài 1: Tung 2 con xuc xắc đồng nhất.

a) Tìm xác suất của biến cố có tổng số chấm là 8.

b) Tìm xác suất của biến cố có tổng số chấm là số lẻ hoặc chia hết cho 3.

Giải

Không gian mẫu có 36 phần tử, mỗi phần tử là một cặp . Với là số chấm xuất

hiện trên hai con xúc xắc.

a) Gọi A là biến cố . Biến cố A có 5 phần tử là: .

Vậy

b) Gọi A là biến cố là số lẻ hay chia hết cho 3.

Khi đó B gồm các phần tử:

B có 24 phần tử

Vậy

Bài 2: Gieo đồng thời 3 đồng xu đối xứng và đồng chất. Tính xác suất để có ít nhất một

măt sấp xuất hiện.

52


Giải

Gieo 3 đồng xu đối xứng và đồng chất, không gian mẫu là:

có 8 phần tử

Biế cố có ít nhất một mặt sấp xuất hiện là:

có 7 phần tử

Vậy

Bài 3: Có 6 khách hàng vào một cửa hàng gồm 3 quầy để mua hàng. Tìm xác suất để có 2

khách hàng cùng vào một quầy.

Giải

Gọi x là số khách hàng vào quầy I, y là số khách hàng vào quầy II, z là số khách hàng

vào quầy III.

Do đó không gian mẫu E là tập hợp các cặp thứ tự với .

- các số ta có 3 bộ thứ tự:



còn vớ các số mỗi bộ ta có 3! bộ thứ tự. Bộ có một bộ

thứ tự là

vậy không gian mẫu có tất cả là: phần tử

Gọi B là biến cố có 2 khách hàng cùng vào một quầy.

có 13 phần tử

Vậy

Câu 4: có tấm 9 thẻ có ghi các số từ 1 đến 9, mỗi thẻ ghi một số khác nhau. Chọn ngẫu

nhiên đồng thời ra hai tấm thẻ. Tìm xác suất để tich 2 số ghi trên thẻ là số chẵn.

Giải

53


Có 9 thẻ lấy ngẫu nhiên ra 2 thẻ. Vậy không gian mẫu có phần tử

Hai thẻ có tích các số ghi trên thẻ là số chẵn gồm các cặp:

Có 26 phần tử

Vậy xác suất để biến cố « tích 2 số ghi trên thẻ là số chẵn » là:

Câu 5:

a) Gieo liên tiếp ba lần một con xúc xắc. Tìm xác suất của biến cố tổng số chấm không nhỏ

hơn 16

b) Xếp ngẫu nhiên 5 chữ cái B, G, N, O, O. Tìm xác suất để được chữ BOONG.

Giải

a) Không gian mẫu có: phần tử

Gọi A là biến cố tổng số chấm trên mặt của ba con xúc xắc không nhỏ hơn 16.

Số trường hợp thuận lợi:

- Tổng số chấm bằng 18: 1 trường hợp



Tổng cộng có 10 trường hợp thuận lợi

Vậy

b) Nếu coi hai chữ O là O1 và O2 thì:

- Số trường hợp có thể xãy ra là .

- Số trường hợp có thể xãy ra là 2 gồm: BO1O2NG và BO2O1NG.

Vậy xác suất cần tìm là:

1.2.Tính xác suất của biến cố dựa vào quy tắc cộng và quy tắc nhân.

54


Bài 1: Cho E là tập hợp các số có hai chữ số khác nhau được lập thành từ các số 1, 2, 3, 4,

5, 6. Lấy ngẫu nhiên một phần tử trong E. Tính xác suất để được một số chia hết cho 4

hoặc chia hết cho 7.

Giải

E là tập hợp các số có dạng với .

Ta có: a có 6 cách chọn

b có 5 cách chọn (vì )

phần tử

Gọi A là biến cố “được một số chia hết cho 4 hoặc chia hết cho 7”.

Do đó có 13 phần tử

Vậy

Bài 2: Cho tập hợp E gồm các số có 3 chữ số khác nhau được lập thành từ các phần tử của

tập hợp . Lấy ngẫu nhiên một phần tử của tập E.

a) Tìm xác suất để lấy được một phần tử chia hết cho 5.

b) Tìm xác suất để lấy được một phần tử mà tổng các chữ số chia hết cho 3.

Giải

Tập E gồm các phần tử có dạng với .

a có 5 cách chọn

b có 5 cách chọn

c có 4 cách chọn

vậy E có tất cả phần tử

a) Gọi A là biến cố số lấy được chia hết cho 5

TH1: thì a có 5 cách chọn


có 5.4.1=20 số

TH2: thì a có 4 cách chọn


55


có 4.4.1=16 số

có 20+16=36 số chia hết cho 5

Vậy

b)Gọi B là biến cố lấy ra 1 số thuộc E mà tổng các chữ số chia hết cho 3, các số đó tạo

ra từ các bộ sau đây:

Bốn bộ đầu mỗi bộ tạo ra được: số

Bốn bộ sau mỗi bộ tạo ra được: số

Do đó B có số

Vậy

Bài 3: một người gọi điện thoại quên hai số cuối của điện thoại cần gọi và chỉ nhớ rằng

hai chữ số đó khác nhau. Tính xác suất để người đó quay số một lần được đúng số điện

thoại vần gọi.

Giải

Gọi là số có hai chữ số khác nhau.

Vì a1 có thể bằng 0 nên:

a1 có 10 cách chọn

a2 có 9 cách chọn

Do đó có 90 số có thể gọi, trong đó có 1 số đúng


Bài 4: chọn ngẫu nhiên một số có 3 chữ số. Tìm xác suất để số được chọn là số chẵn và

các chữ số của nó đều khác nhau.

Giải

Gọi là số có ba chữ số


56




Vậy có 9.10.10 = 900 số

Gọi A là biến cố số được chọn là số chẵn va các chữ số của nó khác nhau.

TH1: c = 0, ta có:



có 9.8 = 72 số

TH2: . Ta có 4 cách chọn c



có 4.8.8 = 256 số

Vậy a có tất cả 256 + 72 = 328

Do đó xác suất cần tìm là:

1.3. Tính xác suất của biến cố dựa vào công thức hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp:

Bài 1: phòng thi gồm 40 thí sinh được xếp vào 20 bàn, mỗi bàn xếp đủ hai thí sinh.

Tính xác suất để hai thí sinh A và B được ngồi cùng một bàn.

Giải

Số cách chọn 2 thí sinh ngồi cùng một bàn là:

Ta lại có 20 bàn để xếp hai thí sinh đã chọn nên có

cách chọn

Số trường hợp để hai thí sinh A và B ngồi cung bàn là 20


Bài 2: Ngân hàng đề thi có 100 câu hỏi mỗi đề thi có 5 câu. Một hoc sinh thuộc 80 câu.

Tìm xác suất để học sinh đó rút ngẫu nhiên một đề thi trong đó có 4 câu hỏi mình đã

học thuộc.

Giải

57


Số cách chọn 5 câu hỏi trong 100 câu là:

Gọi A là biến cố 4 câu đã học thuộc và 1 câu không thuộc.

Số cách chọn 4 câu học thuộc trong 80 câu là:

Số cách chọn 1 câu học thuộc trong 20 câu là: 20

Vậy A có cách chọn

Do đó

Bài 3: Trong một chiếc hộp kín có chứa 10 quả cầu trắng và 8 quả cầu đỏ có cùng trọng

lượng và kích thước. Lấy ngẫu nhiên ra 5 quả cầu. Tìm xác suất của biến cố: trong 5 quả

cầu lấy ra có đúng 3 quả cầu đỏ.

Giải

Số cách chọn 5 quả cầu trong 18 quả là:

Gọi A là biến cố được 3 quả cầu đỏ, 2 quả cầu trắng

Ta có: cách lấy 3 quả cầu đỏ

cách lấy 2 quả cầu trắng

Suy ra A có phần tử

Vậy

Bài 4: Cho một đa giác đều có 8 đỉnh. Chọn ngẫu nhiên 2 đỉnh. Tìm xác suất sao cho

đường thẳng nối hai đỉnh đã chọn là đường chéo có độ dài ngắn nhất.

Giải

Số cách chọn ngẫu nhiên 2 đỉnh trong 8 đỉnh là:

Vì đây là đa giác đều 8 đỉnh nên chỉ có 8 đường chéo ngắn nhất bằng nhau


Bài 5: Một lô hàng có 10 sản phẩm, trong đó có hai phế phẩm. Lấy tùy ý 6 sản phẩm từ lô

hàng đó. Tính xác suất để trong 6 sản phẩm lấy ra có không quá 1 phế phẩm.

Giải

58


Số cách lấy ra 6 sản phẩm trong 10 sản phẩm là:

Gọi A là biến cố 6 sản phẩm lấy ra có không quá 1 phế phẩm.

số trường hợp thuận lợi cho A là:

1.4: Xác suất của biến cố đối

Sử dụng kĩ thuật đếm và công thức:

Bài 1: Một lớp học có 30 học sinh, trong đó gồm 18 học sinh giỏi, 15 học sinh khá và 7 học

sinh trung bình. Người ta muốn chọn ngẫu nhiên 3 em để đi dự đại hội. Tính xác suất để

được:

a) 3 học sinh được chọn đều là học sinh giỏi

b) Có ít nhất 1 học sinh giỏi

c) Không có học sinh trung bình

Giải

Chọn ngẫu nhiên 3 em từ lớp học gồm 30 em nên không gian mẫu = phần tử

a) Gọi A là biến cố 3 em được chọn đều giỏi

Có 8 học sinh giỏi nên có cách chọn ra 3 học sinh giỏi

Vậy P(A) =

b) Gọi B là biến cố có ít nhất 1 học sinh giỏi trong 3 em được chọn

Khi đó là biến cố cả 3 em đều không giỏi. Có cách chọn ra 3 học sinh không

giỏi

Ta có = =

c) Gọi C là biến cố không có học sinh trung bình trong 3 em được chọn

59


Có cách chọn ra 3 học sinh không trung bình

Ta có: P(C) =

Bài 2: Gọi M là tập hợp gồm các số có 2 chữ số khác nhau được lập thành từ các số 1, 2, 3,

4, 5, 6.Lấy ngẫu nhiên 2 phần tử của M. Tính xác suất để ít nhất 1 trong 2 phần tử đó chia

hết cho 6

Giải

Mỗi phần tử thuộc M đều có dạng

Lấy ngẫu nhiên 2 phần tử trong trong 30 phần tử của M , vậy không gian mẫu có

phần tử

Những phần tử của M chia hết cho 6 là: 12, 24, 36, 42, 54.Vậy có 5 phần tử chia hết cho 6

Số phần tử không chia hết cho 6 là 25 phần tử

Gọi A là biến cố có ít nhất một trong hai phần tử được chọn chia hết cho 6

là biến cố cả 2 phần tử được chọn không chia hết cho 6

Ta có: cách chọn 2 trong số 25 phần tử không chia hết cho 6

Vậy

Bài 3: Trong 100 vé số có 1 vé trúng 10000 đồng, 5 vé trúng 5000 đồng và 10 vé trúng

1000 đồng. Một người mua ngẫu nhiên 3 vé. Tính xác suất các biến cố:

a) Người đó trúng đúng 3000 đồng

b) Người đó trúng ít nhất 3000 đồng

Giải

Không gian mẫu = 161700

a. Gọi A là biến cố trúng đúng 3000 đồng,

Vậy xác suất để người đó trúng đúng 3000 đồng là:

P(A) = =

60


b. Gọi B là biến cố người đó trúng không tới 3000 đồng

là biến cố 1 vé trúng 1000 đồng và 2 vé không trúng

là biến cố 2 vé trúng 1000 đồng và 1 vé không trúng

là biến cố 3 vé không trúng

Vậy số phần tử của biến cố B là:

= 34860 + 3780 + 95284 = 133924

Vậy xác suất để người đó trúng không tới 3000 đồng là:

P(B) =

Xác suất để người đó trúng ít nhất 3000 đồng là:

= 1- P(B) = 1-

Bài 4: Một đơn vị vận tải có 10 xe ô tô. Trong đó có 6 xe tốt. Điều một cách ngẫu nhiên 3

xe đi công tác. Tìm xác suất để trong 3 xe có ít nhất 1 xe tốt

Giải

Gọi A là biến cố không có xe tốt trong 3 xe

là biến cố có ít nhất 1 xe tốt

Không gian mẫu

Ta có: P(B) =

Bài 5: Một hộp đựng 10 viên bi trong đó có 6 viên màu xanh và 4 viên màu đỏ. Lấy ngẫu

nhiên từ hộp ra 3 viên. Tính xác suất để trong 3 viên lấy ra:

a) Cả 3 viên đều là bi xanh

b) Ít nhất là 1 viên bi màu xanh

Giải

61


Không gian mẫu

a. Gọi A là biến cố cả 3 viên bi được chọn là bi xanh

Ta có: P(A) =

b. Gọi B là biến cố chọn ít nhất 1 viên bi màu xanh trong 3 viên đã chọn

là biến cố cả 3 viên bi được chọn đều là bi đỏ

Dạng 2:XÁC SUẤT CỦA HAI HAY NHIỀU BIẾN CỐ .

2.1 Một số bài toán xác suất cơ bản áp dụng Quy tắc cộng xác suất.

Bài 1: Một chiếc hộp có chin thẻ đánh số từ 1 đến 9. Rút ngẫu nhiên hai thẻ rồi nhân hai

số ghi trên hai thẻ với nhau. Tính xác suất để kết quả nhận được là một số chẳn.

Giải

Gọi A là biến cố “ rút được một thẻ chẵn và một thẻ lẻ”.

Gọi B là biến cố “ cả hai là thẻ rút ra là số chẳn”.

Khi đó biến cố là biến cố “ Tích hai số ghi trên thẻ là một số chẳn”

Do hai biến cố A và b xung khắc, nên . Vì có 4 thẻ chẵn và thẻ

lẻ nên ta có

.

Do đó

Bài 2: Một hộp đựng 4 viên bi xanh, 3 viên bi đỏ và 2 viên bi vàng. Chọn ngẩu nhiên 2

viên bi. Tính xác suất để chọn được 2 viên bi cùng màu.

Giải

62


Gọi A là biến cố “ chọn được 2 viên bi màu xanh”,

B là biến cố “ chọn được 2 viên bi màu đỏ”,

C là biến cố “ chọn được 2 viên bi màu vàng”

H là biến cố “ chọn được 2 viên bi cùng màu”.

Khi đó ta có , và các biến cố đôi một xung khắc

Ta có .

Vậy .

Bài 3: Một lô hàng có 25% sản phẩm loại I, 55% sản phẩm loại II và 20% loại III. Sản

phẩm được cho là đạt lượng nếu thuộc loại I hoặc II. Chọn ngẫu nhiên một sản phẩm. Tìm

xác suất để sản phẩm này đạt tiêu chuẩn chất lượng.

Giải

Gọi lần lượt là biến cố sản phẩm được chọn thuộc loạn I, II, III. Ba biến cố

này xung khác từng đôi một. Ta có

Gọi A là biến cố sản phẩm được chọn đạt tiêu chuẩn chất lượng

2.2 Một số bài toán xác suất cơ bản áp dụng Quy tắc Nhân xác suất.

Bài 1: Hai xạ thủ cùng bắn một cách độc lập vào một bia, mỗi người bắn một phát. Xác

suất bắn trúng bia của xạ thủ thứ nhất và thứ hai lần lượt là 0,9 và 0,8. Tính xác suất để:

a) Cả hai xạ thủ đều bắn trúng bia.

b) Cả hai xạ thủ đều bắn trượt.

c) Có ít nhất một xạ thủ bắn trúng bia.

63


Giải

Gọi A là biến cố “Xạ thủ thứ nhất bắn trúng bia”

B là biến cố “Xạ thủ thứ hai bắn trúng bia”

C là biến cố “Cả hai xạ thủ đều bắn trúng bia”

D là biến cố “Cả hai xạ thủ đều bắn trượt”

Ta có P(A)=0,9; P(B)=0,8; A và B độc lập; C=AB;

Bài 2: Trong một bài thi trắc nghiệm khách quan có 10 câu. Mỗi câu có 5 phương án trả

lời, trong đó chỉ có một phương án đúng. Một học sinh không học bài nên làm bài bằng

cách với mỗi câu đều chọn ngẫu nhiên một phương án trả lời. Tính xác suất để học sinh đó

trả lời không đúng cả 10 câu ( Tính chính xác đến hàng phần vạn).

Giải

Gọi là biến cố “ học sinh đó trả lời không đúng câu thứ I” với . Khi đó

là biến cố “ học sinh đó trả lời không đúng cả 10 câu”.

Từ giả thiết ta có

.

Áp dụng quy tắc nhân xác suất, ta có

.

Bài 3: Một chiếc máy có hai động cơ I và II hoạt động độc lập với nhau. Xác suất động

cơ I và động cơ II hoạt động tốt lần lượt là 0,8 và 0,7. Hãy tính xác suất để:

a) cả hai động cơ đều chạy tốt;

b) cả hai động cơ đều không chạy tốt

Giải

64


a. Gọi A là biến cố “ động cơ I chạy tốt”, B là biến cố “ động cơ II chạy tốt”, C là biến

cố “ cả hai động cơ đều chạy tốt”. Ta thấy A, B là hai biến cố độc lập với nhau và C

= AB. Nên ta có

b. Gọi D là biến cố “ cả hai động cơ đều không chạy tốt”. Ta thấy Hai biến

cố và độc lập nhau nên

.

2.3.Một số bài toán xác suất cơ bản áp dụng cả hai quy tắc cộng và nhân xác suất.

Bài 1: một đội đặc nhiệm dùng 2 con chó nghiệp vụ để kiểm tra ma túy một xe ôtô chở

ma túy lậu. Xác suất để con chó thứ nhất phát hiện ra ma túy là 0,9, còn con chó thứ hai là

0,7. Cả hai con độc lập kiểm tra xe ôtô. Tính xác suất của biến cố sau:

a) Ma túy bị phát hiện bởi đúng một con chó.

b) Ma túy không bị phát hiện.

Giải

Gọi là biến cố ma túy bị con chó thứ nhất phát hiện.

là biến cố ma túy bị con chó thứ hai phát hiện.

là biến cố ma túy không bị con chó thứ hai phát hiện

là biến cố ma túy không bị con chó thứ hai phát hiện.

A là biến cố ma túy bị phát hiện bởi đúng một con chó

B là biến cố ma túy không bị phát hiện

a. Biến cố A xảy ra khi xảy ra và không xảy ra, hoặc không xảy ra và

xảy ra, nghĩa là:

Vì biến cố và là hai biến cố xung khắc nên

65


Mặt khác, và là hai biến cố độc lập, và cũng là hai biến cố độc lập

nên ta có:

= 0,9 . 0,3 + 0,1 . 0,8

= 0,34

b. biến cố B xảy ra khi và đều xảy ra , tức là:

Bài 2: Có hai hộp bi, mỗi hộp có 2 viên bi đỏ và 8 bi trắng. các viên chỉ khác nhau về

màu. Cho hai người, mỗi người lấy một hộp bi, và từ mỗi hộp của mình mỗi người lấy

ngẫu nhiên 3 viên bi. Tính xác suất để hai người lấy được cùng số bi đỏ.

Giải

Gọi là biến cố: “ người thứ nhất lấy 1 viên đỏ và 2 viên bi trắng”

là biến cố: “ người thứ nhất lấy 2 viên đỏ và 1 viên bi trắng”

là biến cố: “ người thứ nhất lấy 3 viên bi trắng”.

Tương tự, là biến cố: “ người thứ hai lấy 1 viên đỏ và 2 viên bi trắng”, là biến

cố: “ người thứ hai lấy 2 viên đỏ và 1 viên bi trắng”, là biến cố: “ người thứ hai lấy 3

viên bi trắng”.

Ta có:

66


Gọi C là biến cố “ hai người lấy được số bi đỏ như nhau”, thì ta thấy hoặc hai người

cùng lấy được 1 viên bi đỏ, hoặc cùng lấy được 2 viên bi đỏ, hoặc không lấy được viên bi

đỏ nào. Do đó:

.

Vì , và là các biến cố xung khắc, nên:

.

Ngoài ra là các biến cố độc lập nên

.

Vậy xác suất để hai người lấy được số bi đỏ như nhau là .

Bài 3: Gieo ba đồng xu cân đối một cách độc lập. Tính xác suất để:

a) Cả ba đồng xu đều sấp.

b) Có ít nhất một đồng xu sấp.

c) Có đúng một đồng xu sấp.

Giải

a. Gọi là biến cố “ đồng xu thứ i sấp” ( i = 1, 2, 3), ta có . Các biến

độc lập. Theo quy tắc nhân xác suất, ta có

.

b. Gọi H là biến cố “ Có ít nhất một đồng xu sấp”. Biến cố đối của biến cố H là : “

Cả ba đồng xu đều ngửa”. Tương tự như câu a) ta có . Vậy

.

c. Gọi K là biến cố “ Có đúng một đồng xu sấp”. Ta có

67


.

Theo quy tắc cộng xác suất, ta có

.

Theo quy tắc nhân xác suất, ta tìm được .

Tương tự . Từ đó

Bài 4: Xác suất bắn trúng hồng tâm của một người bắn cung là 0,2. Tính xác suất để

trong ba lần bắn độc lập:

a) Người đó bắn trúng hồng tâm đúng một lần;

b)Người đó bắn trúng hồng tâm ít nhất một lần.

Giải

a. Gọi là biến cố “ Người bắn cung bắn trúng hồng tâm ở lần bắn thứ thứ i” (

, ta có .

Gọi K là biến cố “Trong ba lần bắn có duy nhất một lần người đó bắn trúng hồng tâm”,

ta có .

Theo quy tắc cộng xác suất, ta có

.

Theo quy tắc nhân xác suất, ta tìm được

.

Tương tự .

Vậy .

68


b. Gọi H là biến cố “ Trong ba lần bắn, người đó bắn trúng, người đó bắn trúng hồng

tâm ít nhất một lần”. và là biến cố “ Cả ba lần bắn, người đó đều bắn không

trúng hồng tâm”. Ta có .

Theo quy tắc nhân xác suất, ta có

.

Vậy .

Dạng 3: TÍNH XÁC SUẤT CÓ ĐIỀU KIỆN

Phương pháp:

Xác định hai biến cố không độc lập

Sử dụng công thức: P(AB) = P(A).P(B/A)

Bài toán:

Bài 1: Hai cầu thủ bóng đá sút phạt đền, mỗi người đá một lần với xác suất ghi bàn tương

ứng là 0,8 và 0,7.Tìm xác suất để có ít nhất một cầu thủ ghi bàn.

Giải

Gọi A là biến cố cầu thủ thứ nhất ghi bàn.Ta có: P(A) = 0,8

Gọi B là biến cố cầu thủ thứ hai ghi bàn.Ta có: P(A) = 0,7

Ta có AB là biến cố cả hai cầu thủ cùng ghi bàn

Vì A, B độc lập nên P(AB) = P(A).P(B) = (0,8).(0,7) = 0,56

Vậy A B là biến cố có ít nhất một cầu thủ ghi bàn

Ta có: P(A B) = P(A) + P(B) – P(AB)

= 0,8 + 0,7 – 0,56 = 0,94

Bài 2: Có hai máy điện A, B tự hoạt động độc lập. Biết rằng xác suất để máy A làm việc

tốt là P(A) = 0,96 ; xác suất để máy B làm việc tốt là P(B) = 0,85

a) Tìm xác suất để hai máy đồng thời làm việc tốt ?

b) Tìm xác suất để có ít nhất một máy làm việc tốt?

Giải

69


a. Vì A, B hoạt động độc lập nên xác suất để hai máy đồng thời làm việc tốt là : P(AB)

= P(A).P(B) = 0,96.0,85 = 0,816

b. Xác suất để có ít nhất một máy làm việc tốt là:

P(A B) = P(A) + P(B) –P(AB) = 0,96 + 0,85 - 0,816 = 0,994

Bài 3: Một hộp đựng 5 viên bi đen, 7 viên bi trắng

a) Lấy ngẫu nhiên cùng một lúc 3 viên bi. Tính xác suất trong 3 viên bi lấy ra có 2 viên bi

trắng

b) Lấy ngẫu nhiên hai lần, mỗi lần 1 viên bi. Tính xác suất để viên bi thứ nhất trắng, viên bi

thứ hai đen

Giải

a. Không gian mẫu = = 220

Gọi A là biến cố lấy ra 2 viên bi trắng

Ta có: cách lấy 2 viên bi trắng

cách lấy 1 viên bi đen

Vậy

a. Gọi B là biến cố lấy viên bi lần thứ nhất là trắng

Gọi C là biến cố lấy viên bi lần thứ hai là đen

Ta có: P(B) = ; P(C/B) =

Ta có: P(BC) = P(B).P(C/B) = . =

Bài 4: Từ lô sản phẩm có 20 sản phẩm. Trong đó có 5 phế phẩm. Lấy liên tiếp 2 sản phẩm.

Tính xác suất để cả 2 đề hỏng

Giải

Gọi A, B lần lượt là biến cố lấy sản phẩm thứ nhất và thứ hai xấu

Ta có: P(A.B) = P(A).P(B/A) = =

70


Bài 5: Có 2 bình: Bình A đựng 2 bi xanh và 5 bi trắng.Bình B đựng 4 bi xanh và 3 bi đỏ

a. Lấy ngẫu nhiên 2 viên trong bình A. Tính xác suất để lấy được 1 bi

xanh và 1 bi trắng.

b. Lấy ngẫu nhiên 1 bình rồi trong bình đó bình đó lấy 1 viên bi.Tính xác

suất để lấy được bi xanh.

Giải

a. Tổng số bi trong bình A là 7 viên, lấy ngẫu nhiên 2 viên bi. Vậy không

gian mẫu có

Gọi X là biến cố lấy được 1 bi xanh và 1 bi trắng

Ta có: cách lấy bi xanh

= 5 cách lấy bi trắng

Vậy

b. Lấy ngẫu nhiên một bình. Gọi là biến cố lấy được bình A, là biến

cố lấy được bình B

Ta có:

Gọi C là biến cố lấy ngẫu nhiên một bình, trong bình đó lại lấy ngẫu

nhiên 1 viên bi và được bi xanh

Ta có: C = (C ) (C )

=

=

Dạng 4: XÁC SUẤT HÌNH HỌC

Cho miền đo được ( trong mặt phẳng, đường thẳng, không gian 3 chiều,…) và

miền con đo được S và . Lấy ngẫu nhiên một điển M trong miền . Đặt .

71


Bài 1: tìm xác suất để một điểm M rơi vào hình tròn nội tiếp hình vuông có cạnh 2m

Giải

Xác suất phải tìm là: diện tích hình tron chia diện tich hình vuông

Bài 2: Hai cậu bé hẹn gập nhau ở một địa điểm xác định vào khoảng 8 giờ đến 9 giờ.

Người đến trước sẻ đợi người kia 10 phút; sau đó nếu không gập thì sẽ di . Hãy tìm xác

suất để 2 cậu bé gập nhau. Biết rằng mỗi cậu bé có thể đế chỗ hẹn trong khoảng thời gian

qui định một cách ngẫu nhiên và không tùy thuộc vào người kia đến vào lúc nào.

Giải

Kí hiệu x là thời điểm mà cậu bé thứ nhất đến điểm hẹn; y là thời điểm mà cậu bé thứ 2 đến

điểm hẹn. Hai cậu bé gập nhau khi và chỉ khi : .

Ta biểu diển x, y như tọa độ các điểm trên mặt phẳng tọa độ Descartes vuông góc,

đơn vị ở mỗi trục là phút. Không gian biến cố sơ cấp ở đây là hình vuông cạnh 60, còn biến

cố sơ cấp thuận lợi cho việc gặp nhau là miền có gạch như hình vẽ dưới đây

Vậy xác suất phải tìm là

y

60

10

O 10 60 x

72


.

Bài 3: Trên đoạn thẳng OA ta lấy một cách ngẫu nhiên hai điểm B, C có tọa độ tương ứng

OB=x , OC = y ( ). Tìm xác suất sao cho độ dài của đoạn BC bé hơn độ dài của đoạn

OB.

Giải

Các tọa độ x, y thỏa mãn điều kiện :

y (1)

O T x

Trong đó T là độ dài đoạn OA.

Ta biểu diện x, y lên hệ trục tọa độ vuông góc . các điểm có tọa độ thỏa mãn điều kiện (1)

thuộc tam giác vuông OMQ. ( Tam giác OMQ xem như không gian biết cố sơ cấp ) . Theo

giả thiết của bài toán ta có , tức là :

(2)

y Q L M y=2x x = y

o T x

73


Những điểm có tọa độ (x,y) thỏa mãn (1) ,(2) thuộc tam giác gạch OML . Miền thuận lợi

cho biến cố cần tìm là tam giác OML . vậy xác suất cần tìm là

Diện tích tam giác OML chia tam giác OMQ

Câu 3 : (câu 3 trang 142, sách PPDH những nội dung cụ thể môn Toán)

Trả lời các câu hỏi sau:

Thế nào là 2 tổ hợp khác nhau?

Thế nào là 2 chỉnh hợp khác nhau?

Có thể giải thích 2 tính chất cơ bản bằng suy luận dựa vào số tập con của một tập hợp như

thế nào?

Bản chất toán học của quy tắc cộng và quy tắc nhân là như thế nào?

Định nghĩa chỉnh hợp một cách chặt chẽ về mặt toán học là như thế nào?

- Hai tổ hợp khác nhau khi và chỉ khi có một phần tử của tổ hợp này không là phần

tử của tổ hợp kia.

- Hai chỉnh hợp khác nhau khi và chỉ khi hoặc có ít nhất một phần tử của chỉnh hợp

này mà không là phần tử của chỉnh hợp kia, hoặc các phần tử của hai chỉnh hợp

giống nhau nhưng được sắp xếp theo thứ tự khác nhau.

- Giải thích 2 tính chất cơ bản bằng suy luận dựa vào số tập con của một tập hợp.

Tính chất 1:

74


Ta có bằng số tập con của A có k phần tử

Gọi là tập tất cả các tập con của A mà có đúng k phần tử

Xét , . Khi đó f là một song ánh.

Do vậy,

Tính chất 2: (1)

Với , ta có: (đúng)

Vậy đẳng thức (1) đúng với

Với . Tập A có n + 1 phần tử :

Gọi X là họ các tập con có k phần tử của A. Gọi Y là họ các tập con có k phần tử của A mà

không có . Gọi Z là họ các tập con có k phần tử của A có chứa .

Suy ra . Mà nên .

Ta có và . Ta cần tính .

Với mỗi bỏ đi ta được B* có k – 1 phần tử của .

Ngược lại, lấy B’ có k – 1 phần tử của A’ và thêm thì ta được một tập .

Vậy tương ứng là một song ánh giữa các tập hợp của tập Z và các tập hợp của tập

Z’ gồm k – 1 phần tử lấy trong . Vậy .

Khi đó

- Bản chất toán học của quy tắc cộng và quy tắc nhân là

Bản chất của quy tắc cộng là công thức tính số phần tử của hai tập hợp hữu hạn không giao

nhau: “Nếu A và B là hai tập hữu hạn không có phần tử chung thì ”.

Cũng như vậy, bản chất toán học của quy tắc cộng cho công việc với nhiều phương án là

công thức tính số phần tử của hợp k tập hợp hữu hạn đôi một không giao nhau: Nếu

là k tập hữu hạn và với (với ) thì

.

75


Bản chất toán học của quy tắc nhân được suy ra trực tiếp từ công thức tính số phần tử của

tích Đề-các k tập hợp hữu hạn.

Cho k tập hợp . Tích Đề-các của , kí hiệu là , là tập

hợp tất cả các bộ k phần tử trong đó ; nghĩa là

. Nếu là k tập hữu hạn thì

số phần tử của bằng tích các số phần tử của k tập hợp này, nghĩa là

.

- Định nghĩa chỉnh hợp một cách chặt chẽ về mặt toán học như sau:

Kí hiệu là tập hợp k số nguyên dương đầu tiên. Khi đó một chỉnh hợp chập

k của A là một đơn ánh f từ vào A. Một cách tương đương, một chỉnh hợp chập k của A

là một bộ có thứ tự với các phần tử phân biệt thuộc A.


Soạn một số bài toán gồm nhiều câu hỏi nhằm giúp học sinh phân biệt hai quy tắc

đếm, phân biệt tổ hợp và chỉnh hợp

Trả lời

1. Trong một lớp có 20 nam và 23 nữ. Có bao nhiêu cách để giáo viên chủ nhiệm

chọn ra:

a) Một em giúp cô làm một việc nào đó (ai cũng có thể làm được).

b) Một em nam và một em nữ giúp cô làm một việc nào đó.

c) Hai em (không kể nam, nữ) giúp cô làm một việc nào đó.

d) Hai em (không kể nam, nữ) giúp cô làm hai việc nào đó khác nhau.

HD:

a) Có hai khả năng: chọn nam hoặc chọn nữ (quy tắc cộng). Có 20 cách chọn một học

sinh nam , có 23 cách chọn một học sinh nữ. Nên có tất cả 20+23 cách.

76


b) Có hai công đoạn: chọn nam rồi chọn nữ (hoặc ngược lại, cũng thế, quy tắc nhân).

Có 20 cách chọn một học sinh nam , có 23 cách chọn một học sinh nữ. Nên có tất cả

20 23 cách.

c) Mỗi cách lấy ra hai em, không kể nam nữ, trong số 43 học sinh của lớp, là tổ hợp

chập 2 của 43 nên có cách.

d) Mỗi cách lấy ra hai em, không kể nam nữ, trong số 43 học sinh của lớp, làm hai việc

khác nhau (thứ tự là quan trọng) là chỉnh hợp chập 2 của 43 nên có .

2. Trong một trường THPT , khối 11 có 280 học sinh nam và 325 học sinh nữ.

a) Nhà trường cần chọn một học sinh ở khối 11 đi dự dạ hội của học sinh thành phố.

Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn?

b) Nhà trường cần chọn hai học sinh ở khối 11 trong đó có một nam và một nữ đi dự

trại hè của học sinh thành phố. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn?

c) Nhà trường cần chọn hai học sinh ở khối 11 (không kể nam, nữ) đi thi học sinh giỏi

ở một trường nào đó. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn?

d) Nhà trường cần chọn hai học sinh ở khối 11 (không kể nam, nữ) đi thi học sinh giỏi

ở hai trường nào đó khác nhau. Hỏi nhà trường có bao nhiêu cách chọn ?

HD:

a) Chọn một học sinh khối 11 đi dự dạ hội: chọn một học sinh nam hoặc chọn một học

sinh nữ. Chọn một học sinh nam có 280 cách (có 280 học sinh nam), chọn một học

sinh nữ có 325 cách (có 325 học sinh nữ).

Vậy chọn một học sinh khối 11 đi dự dạ hội có cách chọn.

b) Chọn hai học sinh khối 11 đi dự trại hè : chọn một học sinh nam và một học sinh

nữ. Chọn một học sinh nam có 280 cách (có 280 học sinh nam), chọn một học sinh

nữ có 325 cách (có 325 học sinh nữ).

Vậy chọn hai học sinh một nam và một nữ khối 11 đi dự trại hè có

cách chọn.

77


c) Chọn hai học sinh ở khối 11 (không kể nam, nữ) đi thi học sinh giỏi ở một trường

nào đó, khối 11 có học sinh, là tổ hợp chập 2 của 605 nên có

cách chọn.

d) Chọn hai học sinh ở khối 11 (không kể nam, nữ) đi thi học sinh giỏi ở hai trường

nào đó khác nhau(thứ tự là quan trọng), khối 11 có học sinh, là

chỉnh hợp chập 2 của 605 nên có cách chọn.

3. Trong một xưởng may công nghiệp có 210 công nhân nam và 318 công nhân nữ.

Có bao nhiêu cách để người quản lý chọn ra:

a) Một công nhân giúp người quản lý sửa những cái áo bị lỗi (ai cũng có thể làm

được).

b) Một công nhân nam và một công nhân nữ giúp người quản lý sửa những cái áo bị

lỗi.

c) Hai công nhân (không kể nam, nữ) giúp người quản lý sửa những cái áo bị lỗi.

d) Hai công nhân (không kể nam, nữ) giúp người quản lý làm hai việc khac nhau là sửa

những cái áo bị lỗi và những cái quần bị lỗi .

HD:

a) Có hai khả năng: chọn công nhân nam hoặc chọn công nhân nữ (quy tắc cộng).

Có 210 cách chọn một công nhân nam , có 318 cách chọn một công nhân nữ.

Nên có tất cả 210+318 cách.

b) Có hai công đoạn: chọn công nhân nam rồi chọn công nhân nữ (hoặc ngược lại,

cũng thế, quy tắc nhân). Có 210 cách chọn một công nhân nam , có 318 cách

chọn một công nữ. Nên có tất cả 210 318 cách.

c) Mỗi cách lấy ra hai công nhân, không kể nam nữ, trong số 210+318=518 công

nhân của xưởng, là tổ hợp chập 2 của 518 nên có cách.

d) Mỗi cách lấy ra hai công nhân, không kể nam nữ, trong số 518 công nhân của

xưởng, làm hai việc khác nhau (thứ tự là quan trọng) là chỉnh hợp chập 2 của

518 nên có .


78


Hướng dẫn học sinh khám phá nhị thức Niu-tơn.

Trả lời

Ta cần nêu ra các tình huống làm cho học sinh có khát vọng tự tìm ra câu trả lời, tự

khám phá vấn đề. Nhằm tạo cho học sinh có hứng thú tiếp thu kiến thức một cách dễ dàng

và sâu sắc hơn. Chẳng hạn khi ta dạy bài Nhi thức Niu-tơn, trước tiên ta phải tạo ra những

tình huống cho học sinh tự khám phá, chẳng hạn:

Gọi học sinh nhắc lại các công thức sau:

Sau đó gọi học sinh lên điền vào các chổ trống sau:

Đưa ra các hằng đẳng thức mà các em đã được học như:

Lưu ý:

Tương tự:

Giáo viên đưa ra câu hỏi gợi ý cho học sinh là: nếu số mũ càng lớn thì ta có thể khai

triển được không?

Giáo viên trả lời: ta có thể khai triển với n lớn bất kỳ, và đó là công thức nhị thức Niu-

tơn.

Tổng quát:

79



Đánh giá các lời giải sau, phân tích các sai lầm (nếu có).

Bài 1: Có 4 quân bài khác nhau, gồm 2 quân cơ và 2 quân nhép. Rút ra hai quân bài cùng

một lúc trong 4 quân bài đó. Tính xác suất rút được hai quân cùng chất (cùng là cơ hoặc là

nhép).

Lời giải:

Ở đây không gian mẫu gồm hai khả năng: hai quân rút ra là đồng chất, hai quân rút ra là

không đồng chất. Từ đó suy ra xác suất rút ra hai quân cùng chất là

Bài làm:

Bài giải trên có kết quả đúng nhưng cách trình bày thì sai:

Ta có không gian mẫu gồm 4 khả năng: 2 quân bài rút ra đồng chất là có 2 trường hợp,

cùng quân cơ hoặc cùng quân nhép; và có 2 trường hợp rút ra hai quân bài không đồng chất

là: cơ, nhép hoặc nhép, cơ.

Từ đó suy ra xác suất rút ra hai quân bài cùng chất là:

Bài 2: Có ba loại quà tặng: 3 bút bi khác nhau, 2 chiếc ô khác nhau, 2 chiếc bấm móng tay

khác nhau. Có bao nhiêu cách tặng các quà đó cho hai người, sao cho mỗi người đều có

quà và mỗi loại còn lại đúng một thứ?

Lời giải: Ta chia làm hai công đoạn:

Công đoạn một: giữ lại mỗi loại một thứ. Công đoạn này lại có ba công đoạn nhỏ: giữ lại

một bút bi, rồi giữ lại một chiếc ô, cuối cùng giữ lại một chiếc bấm móng tay. Có cách

chọn một bút bi, có cách chọn một chiếc ô, có cách chọn một chiếc bấm móng tay.

Vậy công đoạn thứ nhất có cách. Sau công đoạn này còn 4 thứ.

80


Công đoạn hai: Trong 4 thứ còn lại, lấy ra 2 thứ cho hai người, có cách; còn 2 thứ, hoặc

giữ lại tất cả, hoặc tặng tất cả cho một người, hoặc tặng tất cả cho hai người, hoặc giữ lại 1,

tặng 1,có 7 cách.

Vậy có tất cả là cách.

Bài làm

Bài giải trên làm đúng ở công đoạn một nhưng sai ở công đoạn hai.

Ở công đoạn hai:

Trong 4 thứ còn lại, lấy ra 2 thứ cho hai người có (vì trong 2 thứ được lấy thứ còn lại:

hoặc giữ lại tất cả, hoặc tặng tất cả cho người 1, hoặc tặng tất cả cho người 2, hoặc tặng tất

cả cho 2 người (có 2 cách), hoặc giữ lại 1và tặng 1(có 4 cách) nên tổng cộng có 9 cách

tặng.

Do đó: có tất cả là cáchra có thể hoán đổi cách tặng mỗi thứ

cho từng người).


Một số bài toán có lời giải sai lầm về Tổ hợp – Xác suất

Bài 1 :

Có 3 loại quà tặng : 3 bút bi khác nhau, 2 khác cuốn sách khac nhau, 2 cây thước

khác nhau. Có bao nhiêu cách tặng các quà đó cho hai người, sao cho mỗi người đều có

quà và mỗi loại còn lại đúng một thứ.

Bài làm

Ta chia làm hai giai đoạn

giai đoạn thứ nhất : giữ lại mỗi loại một thứ. Giai đoạn này lại có ba giai đoạn nhỏ :

giữ lại một bút bi, rồi gữ lại một cuốn sách cuối cùng gữ lại một cây thước. Có

cách chọn một bút bi, có cách chọn một cây thước, có cách chọn cuốn sách.

Vậy giai đoạn thứ nhất cố cách. Sau giai đoạn này còn 4 thứ.

81


Giai đoạn thứ hai : Trong 4 thứ còn lại, lấy ra 2 thứ cho hai người, có cách. Còn

2 thứ, hoặc tặng tất cả cho một người, hoặc giữ lại tất cả. Hoặc tặng tất cả cho người

2, hoặc giữ lại một, tặng 1, có 7 cách.

Vây có tất cả là 7 cách.

( sai lầm ở chổ là ở giai đoạn thứ hai có 7 cách chọn)

Bài 2 :

Có 30 câu hỏi khác nhau cho một môn học, trong đó có 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi

trung bình và 15 câu hỏi dễ. Từ các câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra. Mỗi

đề gồm 7 câu hỏi khác nhau sao cho trong mỗi đề phải có 3 loại câu hỏi và số câu dễ không

ít hơn 2 câu.

Bài làm

Theo yêu cầu ta có

- Nếu mỗi đề có 2 câu dễ thì phải có 4 câu trung bình và 1 câu khó

- Nếu mỗi đề có 2 câu dễ thì phải co 3 câu trung bình và 2 câu khó



Vậy số đề có thể có thể tạo được là :

(Ở bài này thì học sinh sai lầm ở chổ là dùng quy tắc cộng. ở đây phải sử dụng quy tắc

nhân.)

Bài 3:

Lớp có 100 Sinh viên, trong đó có 50 SV giỏi Anh Văn, 45 SV giỏi Pháp Văn, 10

SV giỏi cả hai ngoại ngữ. Chọn ngẫu nhiên một sinh viên trong lớp. Tính xác suất:

a) Sinh viên này giỏi ít nhất một ngoại ngữ.

b) Sinh viên này không giỏi ngoại ngữ nào hết.

c) Sinh viên này chỉ giỏi đúng một ngoại ngữ.

d) Sinh viên này chỉ giỏi duy nhất môn Anh Văn.

82


Bài làm

a) Gọi A là biến cố Sinh viên giỏi Anh Văn.

Gọi B là biến cố Sinh viên giỏi Pháp Văn.

Gọi C là biến cố Sinh viên giỏi ít nhất một ngoại ngữ.

(ở đây sai lầm của hoc sinh là không dùng đúng công thức

) và dẩn đến sai cả câu b.

b) Gọi D là biến cố Sinh viên này không giỏi ngoại ngữ nào hết.

c)

d) .

Bài 4:

Trong một hộp có 12 bóng đèn, trong đó có 3 bóng hỏng. Lấy ngẫu nhiên không

hoàn lại ba bóng để dùng. Tính xác suất để:

a) Cả ba bóng đều hỏng.

b) Cả ba bóng đều không hỏng?

c) Có ít nhất một bóng không hỏng?

d) Chỉ có bóng thứ hai hỏng?

Bài làm

Gọi F là biến cố mà xác suất cần tìm và Ai là biến cố bóng thứ i hỏng

a)

b)

c)

83


d)


Hướng dẫn học sinh tìm lời giải các bài toán sau:

Bài 1: Có 4 bạn chụp ảnh chung thành một hàng ngang, trong đó có 2 nam và 2 nữ. Có

mấy cách xếp thành một hàng ngang sao cho:

a) Hai nữ đứng cạnh nhau và hai nam đứng cạnh nhau

b) Hai nữ đứng cạnh nhau

c) Nam và nữ đứng cạnh nhau

Giải

a) Ta có thể xếp nam ở phía bên trái hoặc ở bên phải.Mỗi lần xếp là một cách xếp.

Thực hiện quy tắc cộng

Có 2 cách xếp

b) Có 2 trường hợp:

- Hai ban nữ đứng cạnh nhau và hai bạn nam đứng cạnh nhau

- Hai ban nữ đứng cạnh nhau và hai bạn nam không đứng cạnh nhau

Thực hiện quy tắc cộng có 3 cách xếp

o Xếp nam nữ xen kẽ nhau. Có 1 cách xếp

Hoặc suy luận đây là trường hợp đối của câu

Bài 2: Trên giá có 5 đĩa VCD ca nhạc khác nhau và 4 đĩa VCD phim khác nhau. Có mấy

cách lấy ra 6 đĩa VCD sao cho trong đó có :

a) Đúng 2 đĩa VCD ca nhạc?

b) Cả hai loại VCD: ca nhạc và phim?

c) Hai đĩa VCD ca nhạc?

Giải

Đối với bài toán này ta sử dụng phương pháp nào ( tổ hợp, chỉnh hợp hay hoán vị) ?

Sử dụng tổ hợp

84


a) Lấy ra 6 đĩa có đúng 2 đĩa VCD ca nhạc tức là sẽ có 2 đĩa ca nhạc và 4 đĩa

phim.Đây là một tổ hợp chập 2 của 5 phần tử và là một tổ hợp chập 4 của 4 phần tử

có cách

b) Có các cách lấy như sau:

Lấy 2 đĩa nhạc, 4 đĩa phim :

Lấy 3 đĩa nhạc, 3 đĩa phim:



Dùng quy tắc cộng: + + + cách

c) Tương tự câu a). Có cách

Một số bài toán tham khảo (sách PPDH những nội dung cụ thể môn

Toán)

Bài 1: Thầy có 12 quyển sách khác nhau: 5 văn, 4 toán, 3 hóa. Thầy lấy 6 quyển tặng cho 6

học sinh. Hỏi:

a. Có bao nhiêu cách chọn để tặng chỉ có sách văn và toán?

b. Có bao nhiêu cách chọn để khi tặng vẫn còn cả ba loại sách?

Giải

Lấy 6 quyển sách

a. chỉ có sách văn và toán

5 sách văn và 1 sách toán :




85


Vậy ta có cách chọn.

b. khi tặng vẫn còn cả ba loại

Bước 1: giữ lại mỗi loại 1 quyển:

Bước 2: tặng đi

Vậy có 60 + 80 = 140 cách chọn.

Bài 2: Một tốp có 30 nam và 15 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập ra một nhóm 6 người sao

cho:

a. Có đúng 2 nữ.

b. Số nam nữ tùy ý.

Giải

a. Có đúng 2 nữ

Chọn ra 2 nữ trong 15 nữ có

Chọn ra 4 nam trong 30 nam có

Vậy có cách chọn.

b. Số nam nữ tùy ý.

Chọn ra 6 trong có

Vậy có cách chọn.

Bài 3: Từ 1, 2, 3, 4, 5 lập ra các số có 3 chữ số khác nhau. Có thể lập được bao nhiêu số

sao cho:

Có đủ cả ba chữ số 1, 3, 5?

Phải có mặt chữ số 2?

Phải có mặt chữ số 3 và 5?

Số đó chia hết cho 5?

Giải

86


a. Gọi số có 3 chữ số cần tìm là

Khi đó: a có 3 cách chọn



Vậy có thể lập được 6 số có 3 chữ số mà phải có đủ cả ba chữ số 1, 3, 5.

b. Gọi số có 3 chữ số cần tìm là

Ta xét số 2 ở ba vị trí

, chọn b có 4 cách chọn


, chọn a có 4 cách chọn


, chọn a có 4 cách chọn


Vậy có số thỏa mãn.

c. Gọi số có 3 chữ số cần tìm là

chọn c có 3 cách chọn, hoán vị 3 và 5 được 2 số mới

chọn b có 3 cách chọn, hoán vị 3 và 5 được 2 số mới

chọn a có 3 cách chọn, hoán vị 3 và 5 được 2 số mới

Vậy tất cả có số thỏa yêu cầu.

d. Gọi số có 3 chữ số cần tìm là

Số chia hết cho 5 thì chỉ có 1 cách chọn duy nhất

Chọn a có 4 cách chọn

Chọn b có 3 cách chọn

Vậy có số thỏa yêu cầu bài toán.

Bài 4: Có bao nhiêu số có 5 chữ số mà tổng các chử số là số lẻ.

Giải

Gọi số cần tìm

87


Xét các trường hợp:

- Nếu là số chẳn thì có 5 cách chọn

- Nếu là số lẻ thì có 5 cách chọn

Tóm lại tùy ý bao giờ cũng có 5 cách chọn .

Vậy có : 9 cách chọn

10 cách chọn

10 cách chọn

10 cách chọn

5 cách chọn

Vậy có tất cả:

2.

Bài 5: Từ một nhóm ca sĩ có 3 nam và 5 nữ, cần cử 6 người đi công tác. Hỏi có bao nhiêu

cách lập ra 6 người đó sao cho:

Có nữ

Có đúng 2 nữ

Có cả nữ và nam

Có ít nhất 2 nữ

Giải

a) Số cách lập ra 6 người trong đó có nữ:

3.

b) Số cách lập ra 6 người trong đó có đúng 2 nữ:

Chỉ chọn ra 2 đúng 2 nữ mà chỉ có 3 nam nên không thể chọn ra được ở trường hợp

này.

c) Số cách lập ra 6 người trong đó có cả nam và nữ :

d) Số cách lập ra 6 người trong đó có ít nhất 2 nữ:

4.

88


Bài 6: Tìm số hạng âm của dãy

Giải

Điều kiện:

5.

Ta có:

6. âm khi và chỉ khi

Suy ra : hay

Bài 7: Tìm thỏa mãn:

Giải

Điều kiện của phương trình 4x .

Ta có

89


Vậy .

Bài 8: Rút gọn

Giải

Ta có : , với mọi . Vì thế nên

Bài 9: Tìm hệ số của trong khai triển .

Giải

Ta có


Về xác suất

Bài 3: Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương không lớn hơn 50. Gọi A là biến cố số được

chọn là số nguyên tố, B là biến cố số được chọn bé hơn 4. Tính P(A), P(B).

Giải

Số cách chọn một số nguyên dương không lớn hơn 50 là:

A là biến cố số được chọn là số nguyên dương

90


Ta có:

B là biến cố số được chọn nhỏ hơn 4

Bài 4: Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương bé hơn 9. Tính xác suất để số được chọn:

Chia hết cho 3

Là số nguyên tố.

Giải

Theo đề bài ta có không gian mẫu

Gọi A là biến cố số được chọn chia hết cho 3

Gọi B là biến cố số được chọn là số nguyên tố

Bài 5: Danh sách lớp được đánh thứ tự từ 1 đến 30. Hà có số thứ tự là 12. Chọn ngẫu nhiên

một bạn. tính xác suất để Hà được chọn, Hà không được chọn, bạn được chọn có số thứ tự

nhỏ hơn số thứ tự của Hà.

Giải

Ta có:

Gọi A là biến cố Hà được chọn

B là biến cố Hà không được chọn

91


C là biến cố bạn được chọn có số thứ tự nhỏ hơn số thứ tự của Hà

Bài 6: Gieo hai con súc sắc. Gọi A là biến cố tổng số chấm trên mặt hai con súc sắc bé hơn

hoặc bằng 7, B là biến cố có đúng một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm. Hãy mô tả không

gian mẫu, hãy liệt kê các kết quả thuận lợi cho A, cho B, tính P(A), P(B).

Giải

Không gian mẫu

Bài 7: Chọn ngẫu nhiên 5 số tự nhiên liên tiếp từ 1 đến 20. Tính xác suất để cả 5 số được

chọn không lớn hơn 10.

Giải

Không gian mẫu

Gọi A là biến cố cả 5 số được chọn không lớn hơn 10

Bài 8: Chọn ngẫu nhiên 5 số tự nhiên từ 1 đến 199. Tính xác suất để cả 5 số này:

a) Thuộc đoạn [1, 99]

b) Thuộc đoạn [150, 199]

Giải

92


Không gian mẫu

a) Gọi A là biến cố chọn được 5 số thuộc đoạn [1, 99]

Ta có:

b) Gọi B là biến cố chọn được 5 số thuộc đoạn [150, 199]

Ta có:

Bài 9: Một chiếc hộp đựng 9 thẻ được đánh số từ 1 đến 9.Chọn ngẫu nhiên 2 thẻ rồi nhân 2

số ghi trên 2 thẻ với nhau. Tính xác suất để kết quả nhận được là một số chẵn ( lẻ ).

Giải

Gọi A là biến cố 2 số ghi trên thẻ là 2 số chẳn

B là biến cố 1 số ghi trên thẻ là số chẳn, 1 số ghi trên thẻ là số lẻ

C là biến cố kết quả nhận được là một số chẵn

D là biến cố kết quả nhận được là một số lẻ

Bài 10: Một hộp đựng 4 bi xanh, 3 bi đỏ, 2 bi vàng. Chọn ngẫu nhiên 2 bi. Tính xác suất để

2 bi cùng màu

Giải

Gọi A là biến cố 2 bi cùng màu

93


Bài 11: Một máy bay có hai động cơ I và II hoạt động độc lập với nhau. Xác suất để hai

động cơ I, II chạy tốt tương ứng là và . Tính xác suất để:

Cả hai động cơ đều chạy tốt

Có ít nhất một động cơ chạy tốt

Giải

Gọi là biến cố động cơ I chạy tốt

là biến cố động cơ II chạy tốt

Ta có , độc lập, ;

a) Biến cố cả hai động cơ đều chạy tốt:

b) Biến cố có ít nhất một động cơ chạy tốt:

Giả sử ngược lại cả hai động cơ đều không chạy tốt

Khi đó:

Bài 12: Gieo 3 đồng xu cân đối . Tính xác suất để :

a) Cả 3 đều xuất hiện mặt sấp.

b) Có ít nhất 1 sấp.

c) Có đúng 1 sấp.

Giải

a) Gọi Ai là biến cố “ Đồng xu thứ i sấp” (i=1,2,3), ta có . Các biến cố

độc lập. Theo quy tắc nhân xác suất, ta có:

b) Gọi H là biến cố “ Có ít nhất 1 đồng xu sấp” . Biến cố đối của biến cố H là : “ Cả 3

đồng xu đều ngửa” . Tương tự như câu a ta có . Vậy:

94


c) Gọi K là biến cố “ Có đúng 1 đồng xu sấp”.

Ta có:

Theo quy tắc cộng xác suất, ta có:

.

Theo quy tắc nhân xác suất, ta có:

Tương tự:

Từ đó:

Bài 13: Xác suất bắn trúng mục tiêu của 1 người bắn cung là 0,2. Tính xác suất để trong ba

lần bắn:

a) Có đúng 1 lần trúng mục tiêu.

b) Có ít nhất 1 lần trúng mục tiêu.

Giải

a) Gọi Ai là biến cố “ Người bắn cung bắn trúng mục tiêu ở lần bắn thứ i”

(i=1,2,3), ta có .

Gọi K là biến cố “Trong ba lần bắn có duy nhất 1 lần người bắn cung bắn trúng

mục tiêu” , ta có:

Theo quy tắc cộng xác suất, ta có:

.


Tương tự:

Từ đó:

95


b) Gọi H là biến cố “Trong ba lần bắn, người bắn cung bắn trúng mục tiêu ít nhất 1 lần” .

Biến cố đối của biến cố H là : “ Cả ba lần bắn, người bắn cung bắn không trúng mục

tiêu”.

Ta có:


Vậy:

Bài 14: Gieo 2 đồng xu: A cân đối, B không cân đối . Xác suất xuất hiện mặt sấp của B là

3/4. Tính xác suất để :

a) Khi gieo 2 đồng xu cùng một lần thì cả hai ngửa.

b) Khi gieo 2 đồng xu hai lần thì cả 2 lần hai đồng xu cùng ngửa.

Giải

Gọi A1 là biến cố “ Đồng xu A sấp”, A2 là biến cố “ Đồng xu A ngửa”,

B1 là biến cố “ Đồng xu B sấp”, B2 là biến cố “ Đồng xu B ngửa”.

Theo bài ra ta có:

a) A2 B2 là biến cố “Khi gieo 2 đồng xu cùng một lần thì cả hai đồng xu A và B đều ngửa”.


b) Gọi H1 là biến cố “Khi gieo 2 đồng xu lần đầu thì cả 2 lần hai đồng xu cùng ngửa”, H2 là

biến cố “Khi gieo 2 đồng xu lần 2 thì cả 2 lần hai đồng xu cùng ngửa”. Khi đó H1H2 là biến

cố “Khi gieo 2 đồng xu hai lần thì cả 2 lần hai đồng xu cùng ngửa”.

Theo câu a, ta có:


96


Bài 15: Trong một bài thi trắc nghiệm có 10 câu hỏi, mỗi câu có 4 đáp án và chỉ có một

phương án đúng. Tính xác suất khi chọn ngẫu nhiên mà không đúng được câu nào.

Giải

Gọi A là biến cố “trả lời sai toàn bộ”. Theo quy tắc công và nhân xác suất để không chọn

đúng được câu nào là

Bài 16: Chọn ngẫu nhiên 7 số tự nhiên từ 1 đến 200. Tính xác suốt để cả 7 số này thuộc

đoạn [51;200]

Giải

Chọn tùy ý ta có: cách chọn

Gọi B là biến cố “ chọn được 7 số thuộc đoạn [51;200]”

Khi đó cách chọn

Vậy

Bài 17: Có hai hộp đựng thẻ, mỗi hộp đựng 12 thẻ được đánh số từ 1 đến 12. Từ mỗi hộp

rút ngẫu nhiên 1 thẻ. Tính xác suất để trong hai thẻ đó có ít nhất 1 thẻ số 12.

Giải

Rút ngẫu nhiên từ 2 hộp ta có cách rút

Gọi C là biến cố “ rút được ít nhất 1 thẻ số 12”

Gọi là biến cố “ không rút được thẻ số 12”

Khi đó

Suy ra

Vậy

97


Bài 18: Cho P(A) = 0,3, P(B) = 0,4, P(AB) = 0,2. Hỏi A, B có xung khắc hay không? Có

độc lập không?

Giải

Vì nên A và B không xung khắc.

Vì nên A và B không độc lập.

Bài 19: Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên nhỏ hơn 1000. Tính xác suất để

a) Số đó chia hết cho 3

Số đó chia hết cho 5

Giải

a) Gọi số tự nhiên được chọn có dạng

nếu a lấy một số thì b có 10 cách lấy ra con số và c thì có 9 cách lấy để tổng của 3 số

cộng lại chia hết cho 3.

Vậy ta sẽ có là con số nhỏ hơn 1000 mà chia hết cho 3.

Gọi A là biến cố “chọn được số tự nhiên bé hơn 1000 và chia hết cho 3”.

Ta có , suy ra

b) Gọi số tự nhiên chia hết cho 5 có dạng

TH1:

* Có 9 cách chọn

* Có 10 cách chọn

Suy ra có 90 số

TH2:

* có 9 cách chọn

* có 10 cách chon

Suy ra có 90 số

98


Vậy có 180 số cần tìm.

Gọi A là biến cố “chọn được số tự nhiên bé hơn 1000 và chia hết cho 5”.

Ta có , suy ra

Bài 20: Chọn ngẫu nhiên 5 quân bài trong cỗ tứ lơ khơ.

Tính xác suất để 5 quân đó là: 2 rô, 3 pích, 6 cơ, 10 nhép.

Tính xác suất để 5 quân bài đó có ít nhất một quân át.

Giải

a) Sai đề

b) Gọi B là biến cố chọn được như câu b).

B’ là biến cố chọn 5 quân bài trong đó không có quân bài át

B và B’ là 2 biến cố xung khắc.

99


CHƯƠNG 2:

DẠY HỌC HÌNH HỌC KHÔNG GIAN

100


Câu 1. Tìm ví dụ cụ thể minh họa cho những kết luận sai lầm sau:

a) Trong không gian, hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song

song với nhau.

b) Trong không gian, hai góc có cạnh tương ứng vuông góc thì bằng nhau.

c) Hai đường thẳng thuộc hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì vuông góc với nhau.

d) Hai mặt phẳng cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

Trả lời

Có thể minh họa cho những kết luận sai lầm trên thông qua ví dụ sau đây:

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’

Khi đó:

a. Ta thấy rằng AD, CD cùng vuông góc với DD’ nhưng AD, CD không song song.

b. Hai góc (BDC’) và góc (BB’C’) có các cạnh tương ứng vuông góc nhưng hai góc đó

không bằng nhau.

101


c. Hai mp(ABCD) và mp(CDD’C’) vuông góc với nhau. DB thuộc mp(ABCD) và

DC’ thuộc mp(CDD’C’) nhưng DB và DC’ không vuông góc với nhau.

d. Hai mp(ABCD) và mp(CDD’C’) vuông góc với mp(CBB’C’) nhưng hai

mp(ABCD) và mp(CDD’C’) không song song với nhau.

Câu 2. Tìm cách gợi động cơ mở đầu cho một số khái niệm, định lí hình học. Chẳng hạn,

các tiên đề, điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng…..

Trả lời

Thông thường khi bắt đầu một nội dung lớn chẳng hạn một chương ta nên gợi động cơ mở

đầu từ thực tế . Còn đối với từng phần của bài cần tính tới khả năng gợi động cơ từ nội bộ

toán học mà thông thường là :

- Định hướng nhu cầu xoá bỏ sự hạn chế.

Ví dụ: Dùng phương pháp toạ độ để giải các bài toán hình học không gian như: tính góc,

khoảng cách, chứng minh hệ thức, toán cực trị …. nhằm đơn giản hoá quá trình tính toán

so với cách giải các bài toán hình học không gian trước đó.

- Hướng tới sự tiện lợi, hợp lý hoá công việc.

Ví dụ: Mô tả tỉ mỉ, chi tiết quá trình tìm ra định lí hàm số sin, cosin và vận dụng các định

lí, hệ quả để tính các cạnh, các góc chưa biết của tam giác để tiến tới chuyển giao công việc

này cho máy tính.

- Hướng tới sự hoàn chỉnh hệ thống.

Ví dụ: Các trường hợp bằng nhau của tam giác

Thực nghiệm dẫn tới nhận xét “ hai tam giác có hai yếu tố bằng nhau từng đôi một thì

không chắc bằng nhau”.

Từ đó đi đến nhận xét một cách đầy đủ và hệ thống tất cả các trường hợp hai tam giác có 3

yếu tố bằng nhau từng đôi một.

- Lật ngược vấn đề.

Sau khi chứng minh 1 định lí, một câu hỏi thường được đặt ra là mệnh đề đảo của định lí

có đúng hay không ? (đó là lật ngược vấn đề)

102


Ví dụ: Định lí đảo của định lí Pytago.

- Xét sự tương tự.

Ví dụ: Trung điểm O của đoạn thẳng AB được đặc trưng bởi đẳng thức vectơ .

Bằng cách tương tự hãy tìm và chứng minh những đẳng thức vectơ đặc trưng cho trọng tâm

G của tam giác ABC hay giao điểm O của hai đường chéo của hình bình hành ABCD.

- Khái quát hoá.

Ví dụ: Khi yêu cầu học sinh chứng minh những đẳng thức vectơ đặc trưng cho trọng tâm G

của tam giác ABC, tương tự với trọng tâm G của tứ giác ABCD, có thể mở rộng cho học

sinh với trọng tâm G của hệ n điểm trong mặt phẳng.

- Tìm sự liên hệ, phụ thuộc.

Ví dụ: Có thể đặt vấn đề xem xét ảnh hưởng của các số a và c với hình dạng và vị trí của

parabol như thế nào?

Câu 5. Đề xuất một số quy trình xác định hình, chẳng hạn:

- Quy trình xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

- Quy trình xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

- Quy trình xác định thiết diện của một hình cắt bởi mặt phẳng qua một điểm và vuông

góc với một đường thẳng cho trước…

Trả lời

Một số quy trình xác định hình:

1. Quy trình xác định giao tuyến của hai mặt phẳng :

- Bước 1: Tìm điểm chung sẵn có trong các điểm đã cho của hai mặt phẳng

.

- Bước 2: Tìm điểm của mặt phẳng thuộc đường thẳng của mặt phẳng .

chính là giao tuyến của hai mặt phẳng .

2. Quy trình xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau

103


- Bước 1: Dựng mặt phẳng chứa và song song với (hoặc chứa và song song

với ).

- Bước 2: Xác định hình chiếu của trên mặt phẳng .

- Bước 3: Xác định giao điểm

- Bước 4: Dựng qua đường thẳng vuông góc với cắt tại

chính là đoạn vuông góc chung của .

3. Quy trình xác định thiết diện của một khối đa diện cắt bởi mặt phẳng

qua điểm và vuông góc với đường thẳng cho trước.

- Bước 1: Dựng đường thẳng và vuông góc với , trong đó có ít nhất một đường

thẳng qua .

- Bước 2: Xác định mặt phẳng qua và .

- Bước 3: Xác định các giao tuyến của với các mặt của khối đa diện.

Mặt phẳng giới hạn bởi các giao tuyến chính là thiết diện cần tìm.

Câu 6

Phân tích các hoạt động trí tuệ có thể nảy sinh của học sinh lớp 12 khi giải bài toán

sau: “ Cho hình trụ có trục , điểm A thuộc đường tròn đáy tâm ,điểm B thuộc đường

tròn đáy tâm gọi E, F là trung điểm và . Chứng minh rằng EF là doạn vuông góc

chung của và .

* Phân tích: Nếu EF là đường vuông góc chung của và AB thì EF sẽ vuông góc với

mp (P) chứa AB và song song .

* Dự đoán: Có thể dự đoán mp (P) có được là do kẻ thêm các đường thẳng song song với

. Vì mp (P) chứa AB nên ta dựng mp (P) xuất phát từ A hoặc B. Chẳng hạn dựng

đường sinh AC. Ta chứng minh OHEF là hình chữ nhật với H là trung điểm của BC

* Đặc biệt hóa: AB // thì mp (P) bất kì vì khi đó là hình chữ nhật nên EF là

đường vuông góc chung

Trả lời

104


Dựng đường sinh AC //

vuông tại

Gọi là trung điểm của

(1)

(a) (tính chất đường trung bình trong )

(2)

Từ (1),(2) suy ra: (vì )

Mặt khác E là trung điểm của OO’

(b)

Từ (a), (b) và(2) suy ra: EFHO’ là hình chữ nhật

Vậy EF là đoạn vuông góc chung của AB và OO’

105

A

BC

D

M

N


Câu 7: Hướng dẫn học sinh tìm lời giải các bài toán sau

Bài 1. Cho tam giác đều ABC cạnh a và đường thẳng (D) vuông góc với mặt phẳng (ABC)

tại A. Lấy điểm M thuộc (D), M khác A.

a) Chứng minh rằng: tồn tại duy nhất điểm N thuộc (D) sao cho tứ diện MNBC có các cặp

cạnh đối vuông góc với nhau từng đôi một.

b) Cho AM=a, tính khoảng cách giữa MB và AC theo a.

c) Xác định vị trí điểm M để thể tích tứ diện MNBC nhỏ nhất.

Trả lời

Hướng dẫn giải:

a) + Yêu cầu HS phân tích điều cần chứng minh có mấy ý?

(Có hai ý: chứng minh tồn tại và chứng minh duy nhất)

+ Yêu cầu HS trình bày điều kiện tứ diện MBCN là tứ

diện có các cặp đối đôi một vuông góc dưới dạng kí hiệu.

(Tứ diện MNBC có các cặp đối đôi một vuông góc

)

+ Từ các điều kiện này điều kiện nào đã thỏa mãn ?

(Điều kiện )

+ Từ yêu cầu tìm N thuộc (d) như yêu cầu của bài toán ta có thể chuyển về

bài toán nào ?

(Tìm sao cho )

+ Gọi I là hình chiếu của B trên CA, thì có nhận xét gì về mối quan hệ giữa

BI và mặt phẳng (MCA), rồi từ đó rút ra được mối quan hệ giữa BI và CM ?

(Đường thẳng , suy ra ).

106


+ Nếu giả sử dựng được điểm N thỏa yêu cầu, thì có nhận xét gì về mối quan

hệ giữa CM và (BNI) ?

( )

+ Để dựng được N, ta sẽ dựng mặt phẳng (P) nào?

(Dựng mặt phẳng qua BI và vuông góc với BN)

+ Nếu gọi K là giao điểm của CM với mặt phẳng (P) thì có nhận xét gì mối

quan hệ giữa CM và BK, KI và CM ?

( )

+ Khi đó ta có thể dựng N như thế nào ?

(Lấy K thuộc CM sao cho , lấy I là trung điểm của AC. Khi đó N chính là

giao điểm của KI với (d))

+ Trong cách dựng trên có đảm bảo yêu cầu là hay chưa ?

(Từ đề bài ta thấy vai trò B, C như nhau nên từ cách dựng trên điều kiện

vẫn thỏa)

+ Nếu ta giả sử tồn tại N’, thì có nhận xét gì về mặt phẳng (N’KB) và đường

thẳng CM ? Rồi từ đó ta có điều gì mâu thuẫn ?

( , dẫn đến điều mâu thuẫn đó là từ một điểm K ta có thể dựng được

hai mặt phẳng đi qua K cùng vuông góc với CM)

b) + Yêu cầu HS nêu lại phương pháp tính khoảng cách giữa hai đường thẳng thông

qua mặt phẳng song song ?

(Dựng một mặt phẳng chứa một trong hai đường thẳng, và song song với đường

thẳng còn lại. Khi đó khoảng cách giữa đường thẳng đó chính là bằng khảng cách

giữa đường thẳng song song với mặt phẳng)

+ Từ B ta dựng đường thẳng song song với AC, gọi mặt phẳng tạo bởi

đường thẳng trên và BM là (Q). Để tính khoảng cách từ AC đến mặt phẳng (Q) ta

làm sao ?

(Tính khỏang cách từ một điểm nằm trên đường thẳng AC đến mặt phẳng (Q))

+ Để tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng ta cần tìm gì?

(Dựng hình chiếu của điểm đó trên mặt phẳng)

107


+ Một trong hai điểm C, A thì điểm nào có thể dễ dựng hình chiếu hơn ?

(Yêu cầu học sinh dự đoán)

(Điểm A, vì điểm có nhiều đối tượng vuông góc hơn)

+ Giả sử dựng được H là hình chiếu của A lên mặt phẳng (Q), có nhận xét gì

về mối quan hê của và (HMA) ?

( )

+ Từ đây ta suy ra cách dựng điểm H như thế nào ?

(Lấy sao cho , rồi từ đây kẻ )

c) + Yêu cầu học sinh nhắc lại công thức tính thể tích tứ diện ?

( )

+ Ta có nhận xét gì về thể tích của tứ diện MNBC với thể tích của hai tứ diện

MABC và NABC ?

( )

+ Hai tứ diện MABC và NABC có chung gì ?

(Chung đáy là tam giác ABC)

+ Khi đó thể tích có thể tích của tứ diện của tứ diện MNBC phụ thuộc vào đại

lượng nào ?

(Phụ thuộc vào tổng AM+AN)

+ Dựa vào bất đẳng thức Cauchy, hãy cho biết để tổng AM+AN đạt nhỏ nhất

thì sao ?

(Tích AM.AN hằng số)

+ Để chứng minh tích trên là hằng số thì ta có thể chứng minh tích trên bằng

với gì ?

(Bằng với một tích có dạng nhủ thế nhưng các thừa số là hằng)

+ Nếu theo hướng chúng minh trên, thì dựa vào đẳng thức cần chứng minh

làm ta liên tưởng đến việc chứng minh gì ?

(Chứng minh hai tam giác đồng dạng)

+ Có nhận xét gì về hai tam giác ? Từ đây ta có điều gì ?

108

A

BC

D

M

N


(Hai tam giác này đồng dạng, ta có tích AN.AM = hằng)

Lời giải

a) Ta có

Trên BM lấy K sao cho

Trên AM lấy N sao cho

Tương tự trên CM lấy K’ sao cho

Vậy BMNC có các cạnh đối song song

Giả sử N’ thỏa mãn điều kiện bài toán

(vô lý)

b) Trong mặt phẳng (ABC) lấy D sao cho ACBD là hình bình hành

Trên BD lấy L sao cho

Do AD=AC=AB

Suy ra L là trung điểm của BD

Trên ML lấy H sao cho

Ta có

nên

Vậy AH là khoảng cách giữa AC và MB.

Ta có MA=a

109


c) Đặt MA=x. Ta có

hay

là trung điểm của AC.

Vì nên . Khi đó ta xét: đồng dạng với , ta có:

Bài 2: Cho hình chóp có , góc vuông , . Dựng

. Tính khoảng cách từ trung điểm đến mp và tính .

Trả lời

Hướng dẫn

- Gọi M là trung điểm của AC

- Tìm mối liên hệ giữa ?

(

- Nhắc lại cách xác định khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

- Khai thác triệt để giả thiết bài toán để tính được

110

C

NB

S

A

M

H

K

x

I


- Từ các giả thiết ta chứng minh . Từ đó suy ra ?

- Áp dụng định lí Pitago cho tam giác vuông AKC ta tính đươc CK = ?

- Tính

- Nhắc lại quy trình xác định đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo

nhau ?

- Dựng đường thẳng Bx song song AC , xác định mặt phẳng chứa SB và song song

AC ?

- Khi đó ( I là

hình chiếu của A lên mp (SBN) )

- Xét tam giác vuông SAN , nêu tất cả các công thức có thể tính AI ?

- Từ đó suy ra

Lời giải

Gọi M

là trung điểm của AC

Ta có: (Pitago trong )

( Pitago trong )

(đường cao trong tam giác vuông cân SAB)

Trong tam giác vuông SAC ta có:

111


Ta có:

Mặt khác:

Do đó:

Áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông AKC ta có:

Do đó

Dựng đường thẳng Bx song song với AC

Gọi N là hình chiếu của A lên Bx

Dựng (1)

Từ (1), (2) suy ra: (b)

Từ (a), (b), (c) và (d) suy ra:

Xét tam giác vuông ABC:

112


Tương tự trong tam giác vuông SAN có:

Vậy

Bài 4: Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm BC, CD. Tính

khoảng cách của AM và BN.

Trả lời

Gọi O là hình chiếu vuông góc của A lên mp(BCD), P là trung điểm của CN.

Ta có : ABCD là hình tứ diện đều cạnh a. Do đó, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

BCD.

Vì MP là đường trung bình nên: .

Kẻ

Vì nên .

Kẻ , vì nên .

Suy ra: d(AM, BN) = d(BN, (AMP))

= d(O, (AMP))

= OH

Mà .

113

H

I

O

P

MN

A

D

B

C


Vì BN là đường cao

tam giác đều BCD cạnh a nên .

vuông tại O

vuông tại O

Vậy :

Bài 6: Cho lăng trụ đều có cạnh đáy bằng , chiều cao bằng

a) Tính diện tích thiết diện qua và vuông góc với .

b) Xác định theo để vuông góc với

Trả lời

Tìm hiểu bài toán

114

I

B'

C'

BA

C

A'

J


Phân tích bài toán

Bước 1: Xác định thiết diện qua A vuông góc BC’

Dựng một mặt phẳng qua A sao cho ?

- Xét ta kẻ một đường thẳng qua A và vuông góc BC cắt BC tại I

- Từ I kẻ đường thẳng vuông góc BC’ cắt BC’ tại J

- Mặt phẳng là mặt phẳng

Chứng minh

- Dựa vào điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Tính diện tích thiết diện AIJ

- Dựa vào công thức tính diện tích tam giác vuông

- Dựa vào ABC là tam giác đều

Trình bày lời giải bài toán

Cách xác định mặt phẳng qua A sao cho

- Từ A ta kẻ một đường thẳng vuông góc BC cắt BC tại I

- Từ I kẻ đường thẳng vuông góc BC’ cắt BC’ tại J

- Mặt phẳng là mặt phẳng

Chứng minh

tại J (theo cách dựng)

vì

Giả thiết Cho lăng trụ đều ABC.A’B’C’

Kết luận a) Diện tích thiết diện qua A vuông góc

BC’

b)Xác định h theo a để

115

a/2

h/2

O

J

I

C'

I

B'

C'

BA

C

A'

B C

J

B'

z

y x

C' ≡ O

K

I

B'

A'

C

AB

J


Vậy

Tính diện tích thiết diện AIJ

Ta có

Gọi

Xét tam giác vuông BIK

Ta có

Vậy

Trình bày lời giải bài toán khác

Lăng trụ này là lăng trụ đứng

có đáy là tam giác đều.

Gọi là mặt phẳng đi qua

và vuông góc với .

Gọi là trung điểm của BC

và là trọng tâm của .

Vì vuông góc với

nên vuông góc với

116


Trên lấy sao cho vuông góc với

Vậy mặt phẳng cần dựng là

Ta thấy vuông góc với (vì ) nên tam giác vuông tại

Bên cạnh đó nên ta chỉ cần tính

Tam giác đồng dạng với tam giác nên:

Suy ra

Nếu vuông góc với thì hay nói cách khác

Tức là

Bài 7. Cho hình chóp đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng h.

a) Xác định h theo a để góc tạo bởi hai mặt kề nhau bằng

b) Khi thì mặt phẳng qua AC, vuông góc với mặt phẳng (SAD) chia thể tích khối

chóp theo tỉ số nào?

Trả lời

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD

M, N lần lượt là trung điểm của BC và CD

Kẻ OH vuông góc với SM

Ta có:

(theo giả thuyết)

(vì tam giác SBC cân tại S)

117

K

H

O

B E

C D

A

N

M


Từ và suy ra:

Tương tự, kẻ , ta có

(c – c – c)

Vì SO là cạnh chung

SM = SN ( do S.ABCD là hình chóp đều cạnh a)

, ,

Suy ra

cân tại O

Vậy góc giữa

đều

Tính OH

Ta có:

vuông tại O nên:

118


119


Chương 3:

DẠY HỌC VÉCTƠ VÀ

PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ

Câu 1. Những điểm giống và khác nhau giữa chương trình và nội dung về phương pháp tọa

độ trước đây và hiện nay?

120


* Về chương trình:

- Giống nhau: đều có trong chương trình toán học ở bậc THPT.

- Khác nhau:

Trước đây Hiện nay

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng và

phương pháp tọa độ trong không gian đều

nằm ở hình học 12.

Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng nằm

ở hình học 10.

Phương pháp tọa độ trong không gian nằm

ở hình học 12.

* Về nội dung:

-Giống nhau:

+ Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng xoay quanh một số vấn đề như: phương trình

đường thẳng, đường tròn, elip; vị trí tương đối của hai đường thẳng, góc giữa hai đường

thẳng, khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.

+Phương pháp tọa độ trong không gian xoay quanh một số vấn đề như sau: hệ tọa

độ trong không gian, biểu thức tọa độ của tích vô hướng, phương trình của đường thẳng,

mặt phẳng trong không gian; phương trình mặt cầu, vị trí tương đối giữa các đường thẳng,

mặt phẳng, khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

-Khác nhau:

Có sự thay đổi một số nội dung cụ thể và sự sắp xếp lại nội dung (các bài, mục) giữa trước

đây và hiện nay.

Trước đây Hiện nay

1.Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng:

-Hệ tọa độ: tọa độ của vector và của điểm.

-Vector pháp tuyến của đường thẳng.

Phương trình tổng quát của đường thẳng.

-Vector chỉ phương của đường thẳng.

Phương trình tham số của đường thẳng.

-Vị trí tương đối của hai đường thẳng,

1.Phương pháp tọa độ trong mặt phẳng:

-Phương trình đường thẳng.

-Vector chỉ phương của đường thẳng.

-Phương trình tham số của đường thẳng.

-Vector pháp tuyến của đường thẳng.

-Phương trình tổng quát của đường thẳng.

121


chum đường thẳng.

-Góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách

từ một điểm đến một đường thẳng.

-Đường tròn

-Elip

-Hypebol

-Parabol

-Về các đường cônic

-Đường chuẩn của các đường conic

2.Phương pháp tọa độ trong không gian

-Vector và các phép toán vector tron không

gian

-Hệ tọa độ Đềcác vuông góc trong khôn

gian.

-Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

-Phương trình tổng quát của mặt phẳng

-Vị trí tuong đối của hai mặt phẳng chùm

mặt phẳng

-Khoảng cách

-Góc

-Phương trình mặt cầu

-Vị trí tương đối của hai đường thẳng.

-Góc giữa hai đường thẳng.

-Công thức tính khoảng cách từ một điểm

đến một đường thẳng.

+Phương trình đường tròn có tâm và bán

kính

+Nhận xét

+Pt tiếp tuyến của đường tròn

-Phương trình đường elip

+Định nghĩa đường elip

+Phương trình chính tắc của elip

+Hình dạng của elip

+Liên hệ giữa đường tròn và elip

2.Phương pháp tọa độ trong không gian

-Hệ tọa độ trong không gian

+Tọa độ của điểm và của vector

+Biểu thức tọa độ của các phép toán vector

+Tích vô hướng

+Phương trình mặt cầu

-Phương trình mặt phẳng:

+Vector pháp tuyến của mp

+Phương trình tổng quát của mp

+Điều kiện để hai mặt phẳng song son,

vuông góc

-Phương trình đường thẳng trong không

gian

+Phương trình tham số của đường thẳng

122

A

CD H K

B


+Điều kiện để hai đường thắng song song,

cắt nhau, chéo nhau.

Câu 4: Hướng dẫn học sinh tìm lời giải các bài toán sau:

Bài 1.Cho là hình thang cân, , . Tính tọa độ C.

Trả lời


- Qua A kẽ đường thẳng vuông góc với BC cắt BC tại H, và đường thẳng song song

với DC cắt BC tại K.

- Dễ dàng tìm được toạ độ điểm K, H.

- Khi đó C là toạ độ giao điểm của đượng thẳng DC và BC.

Giải

Ta có: . Phương trình đường thẳng BC:

Gọi H ,K lần lượt là giao điểm của đường thẳng qua A vuông góc với BC và song song với

DC.

Ta có: Phương trình đường AH:

Toạ độ giao điểm H là nghiệm của hệ:

Vậy H( suy ra

Phương trình đường thẳng DC có VTPT là :

Toạ độ C là nghiệm của hệ:

123


Vậy C

Bài 2. Cho hai điểm , và hai đường tròn tâm , bán kính bằng 2 và tâm

, bán kính bằng 6. Viết phương trình đường thẳng cắt đường tròn tại điểm và

cắt đường tròn tại điểm sao cho là hình bình hành.

Trả lời

Phương trình đường tròn (C) tâm I(0;4), R=2 :

Phương trình đường tròn (C’) tâm I’(6;0), R’=6 :

Gọi

Do nên

Do nên

Theo giả thiết : ABMN là hình bình hành nên

Thay vào (2) ta được:

Từ (1) và (3) ta có:

124


Thay (4) vào (1) ta được :

Với M(2,4) pt đường thẳng cần tìm là:

Với pt đường thẳng cần tìm là:

125

x-3y-1=0

x-y-5=0

B C

A

M


Vậy đường thẳng cần tìm là:

Bài 3: Cho cân tại A, phương trình cạnh AB, BC lần lượt là

,

đường thẳng AC đi qua điểm . Tìm tọa độ đỉnh C

Trả lời


- Qua M dựng đường thẳng song song với AB, cắt BC tại K.

- Có nhận xét gì về tam giác KMC.

( Tam giác KMC cân)

- Qua M dựng đường thẳng vuông góc BC, cắt BC tại H.

- Khi đó H là gì của KC.

( H là trung điểm của KC)

- Dễ dàng tìm ra tọa độ của K và H.

- Từ đó suy ra tọa độ điểm C.

Lời giải

Đường thẳng AC qua M nên có phương trình dạng

AC:

Vì tam giác ABC cân tại A nên góc giữa đường thẳng BC với

Các đường thẳng AB và AC bằng nhau

126

I

M

JB C

A


Do đó

Trường hợp 1:

Ta có phương trình AC:

Trường hợp 2:

Ta có phương trình AC: (loại)

Vậy tọa độ của C là nghiệm của hệ

Bài 4: Cho cân tại đỉnh A(4,4) ngoại tiếp đường tròn tâm I(1,0) có bán kính bằng 1.

Tính tọa độ B,C.

Giả thiết, kết luận

Giả thiết Cho , SA = SB

(I,1) ngoại tiếp , với I =

(1,0)

và A = (4,4)

Kết luận Tìm B,C


Ta biết tâm của đường tròn nội tiếp là giao của ba đường phân giác

Vì thế để tìm được B,C người ta thường đưa về giao của hai đường thẳng

Nhưng do giả thiết cân tại đỉnh A nên nhận thấy đường phân giác

là trung trực

127


Nên ta nghĩ ngay đến nếu tìm được đường thẳng chứa B,C trung điểm của BC và khoảng

cách từ trung điểm đó đến B hay C thì bài toán trên được giải quyết


Gọi

Nên J thuộc đường phân giác xuất phát từ đỉnh A của

Mà do cân tại đỉnh A nên và

Ta có

Suy ra đường thẳng AI có dạng:

Do đó nếu E nào đ1o thuộc AI thì

Suy ra

Bây giờ ta đi tìm điểm E thuộc AI và có

Suy ra

Khi đó ta tính được và

Do đó:

Ta có đường thẳng BC nhận làm pháp vecto và đi qua

Suy ra BC:

Gọi sao cho AC tiếp xúc đường tròn (I,1) tại M

Suy ra và IM = 1

Dễ dàng tính được

Đặt

128


Do suy ra

Mà áp dụng định lý Pitago trong tam giác vuông AJC

Ta có

Suy ra

Nếu

Ta có:

Suy ra và

Đề xuất bài toán khác :

Cho cân tại đỉnh A(2,2) ngoại tiếp đường tròn tâm I(1,1) có bán kính bằng 1. Tính

tọa độ B,C

Bài 5. Cho hai đường tròn (C1): x2 + y2 =10 và (C2): (x – 5)2 + y2 = 25 cắt nhau tại A và B,

yA > yB. Viết phương trình đường thẳng qua A, cắt các đường tròn (C1) và (C2) tại M, N sao

cho A là trung điểm MN.


Để viết phương trình đường thẳng qua A thì ta cần tìm điểm M hoặc N.

Để tìm M hoặc N thì ta tìm điểm A bằng cách giải hệ phương trình

A là trung điểm MN nên ta tìm được mối liên hệ giữa toạ độ điểm M và N.(1)

Mà M thuộc (C1) nên toạ độ M thoả (2)

Tương tự ta có N thuộc (C2) nên N thoả mãn .(3)

129

MNA

B

O1O2

O3


Từ (1), (2) và (3) ta tìm được toạ độ M, N ta viết phương trình đi qua M và N.

- Viết phương trình đường thẳng qua A cần những điều kiện nào? (cần điểm đi qua và

vectơ pháp tuyến)

- Phương trình đường thẳng d qua A nhận làm VTCP làm VTPT

- Tìm A, ?

A là giao điểm của hai đường tròn

- Tìm M, N dựa vào điều kiện M và A là trung điểm MN

Lời Giải

Phương trình của

Vì nên A( 1, 3), B( 1, -3)

Gọi

(1)

(2)

Vì A là trung điểm MN nên:

Thay vào (2) :

(3)

Lấy (3) – (1): 6

130


Thay vào (1):

(loại vì trùng A)

Vậy phương trình đường thẳng d qua A( 1, 3) và nhận (4, -8) làm VTPT:

4(x - 1) - 8(y - 3) = 0

Bài 6: Tìm điểm thuộc elip có khoảng cách ngắn nhất đến đường thẳng

.

Hướng dẫn

- Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng ?

- Nếu đặt x = 3cost , y = 2sint thì tọa độ M = ?

- Sử dụng BĐT Bunhiacopski để tìm giá trị nhỏ nhất

Lời Giải

Đặt

Gọi M ( 3cost , 2sint )

Sử dụng BĐT Bunhiacopski ta được:

131


Do đó: Min

Bài 7: cho hypebol . Chứng minh rằng bất kỳ đường thẳng nào cắt (H) tại

hai điểm M, N đồng thời cắt hai tiêm cận ở P, Q ta luôn có MP=NQ.

Trả lời

Đặt

Phương trình 2 tiệm cận là:

Gọi M, N là 2 điểm trên 2 đường tiệm cận (khác gốc tọa độ): trung

điểm của MN là

Phương trình MN:

132


Gọi P, Q là giao điểm của MN với (H): là trung điểm

của P, Q.

Xét hệ:

Để MN cắt (H) thì

Bài 8: cho parabol

a) Tìm quỹ tích hình chiếu của tiêu điểm trên các tiếp tuyến của (P)

b) Đường thẳng cắt (P) tại hai điểm M và N. chứng minh rằng đường

tròn đường kính MN luôn tiếp xúc với đường chuẩng của parabol.

c) Cho điểm thuộc (P). Xét hài tia qua A, thay đổi , luôn vuông góc với nhau, cắt

(P) tại hai điểm M, N. Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định,

tính tọa độ điểm đó.

133


Trả lời

a) , đường chuẩn

Quỹ tích hình chiếu F lên tiếp tuyến với (P) tại M

b) cắt (P) tại M,N, chứng minh rằng đường tròn đường kính MN tiếp

xúc

Phương trình hoành độ của (P) và (d) là:

Suy ra (d) luôn cắt (P) tại M,N ta có

Gọi I là trung điểm MN

134

P d

KH

A


Vậy đường tròn đường kính MN luôn tiếp xúc với đường chuẩn của parabol.

Bài 9. Cho điểm và mặt phẳng có phương trình

: .

Chứng minh rằng hình chiếu vuông góc của trên luôn thuộc 1 đường tròn cố định.

Trả lời


Để xác định được đường tròn ta cần biết tâm và bán kính

hay biết được đường kính của đường tròn thì xác định được

đường tròn ấy.

Nếu gọi là hình chiếu của trên .

Suy ra : .

Nên vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong .

Do vậy nếu ta tìm thấy trong một điểm cố định khi

thay đổi hay một điểm không phụ thuộc vào tham số . Giả sử ta gọi điểm đó là thì rõ

ràng hay thuộc đường tròn đường kính .

Vậy bài toán đưa về tìm 1 điểm không phụ thuộc tham số .

Trình bày lời giải bài toán :

Ta có phương trình của tương đương với phương trình:

135


(1).

Xét đường thẳng không phụ thuộc vào tham số như sau:

:

Ta có nếu .

Suy ra: .

Gọi là hình chiếu của trên .

Gọi là hình chiếu của trên .

Suy ra là độc lập với tham số .

Và cố định cho trước.

Nên là độc lập với tham số (*).

Mặt khác ta có : góc .

Suy ra thuộc đường tròn đường kính (**).

Từ (*) và (**) ta suy ra :

Hình chiếu vuông góc của trên luôn thuộc 1 đường tròn cố định.

Đề xuất bài toán khác :

Cho điểm và mặt phẳng : . Chứng

minh rằng : hình chiếu của trên luôn thuộc 1 mặt cầu cố định.

Bài 10. Cho điểm và đường thẳng : , , là

tham số khác 0. Chứng minh rằng luôn thuộc 1 mặt phẳng cố định và hình chiếu

vuông góc của trên luôn thuộc 1 đường tròn cố định.

Trả lời

Phân tích bài toán :

136


Để chứng minh rằng luôn thuộc 1 mặt phẳng cố định ta chỉ cần lấy 1 điểm

thuộc , chứng minh điểm đó thuộc .

Ta dễ dàng suy ra được : .

Để chứng minh hình chiếu vuông góc của trên luôn thuộc 1 đường tròn cố

định :

Ta gọi A1 là hình chiếu của A trên , suy ra .

Gọi là hình chiếu của lên , suy ra .

Suy ra: hay tam giác vuông tại .

Vậy thuộc đường tròn tâm I và bán kính là .


Ta có phương trình của tương đương với phương trình:

(1)

Xét mặt thẳng không phụ thuộc vào tham số như sau:

(2)

Lấy 1 điểm : ta có

Ta thấy

Ta thấy (2) thoả (1) nên đi qua đường thẳng .

137


Hay ta nói .

Gọi A1 là hình chiếu của A trên

Suy ra (3)

Khi đó phương trình đường thẳng :

(ứng với )

Gọi là hình chiếu của lên .

(4)

Từ (3). (4)

Suy ra:

Vậy tam giác vuông tại .

Hay thuộc đường tròn tâm I ( là trung điểm của ) và bán kính là

(đường tròn này nằm trong mặt phẳng ) (ĐPCM).

Bài 11. Cho ba điểm và mặt phẳng (P): .

a) Tính tọa độ tâm đường tròn ngoại tiếp

b) Tìm điểm M thuộc (P) sao cho nhỏ nhất.

c) Tính diện tích hình chiếu của trên (P).

Trả lời

Hướng dẫn học sinh

1. Trong mặt phẳng, muốn viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ta cần

làm gì? Vậy ta có thể thực hiện qui trình như thế để viết phương trình đường tròn ngoại

tiếp tam giác trong không gian được không?

138


2. Trong không gian phương trình đường tròn có dạng như thế nào ? Vậy để tìm

phương trình đường tròn của tam giác ta chuyển về bài toán nào ? Để giải bài toán này ta

cần làm gì ?

3. Mối liên hệ giữa diện tích của tam giác ABC và diện tích hình chiếu của nó ? Vậy

để tính diện tích hình chiếu của tam giác ABC, ta có thể tính như thế nào ? Tính theo cách

này, ta phải tìm gì ?

Lời giải

a) Gọi , lần lượt các mặt phẳng đi qua trung điểm M, N của AB, AC và vuống

góc với AB, AC.

Đây cũng chính là phương trình đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp cảu

tam giác ABc và vuôn góc với (ABC), mà

Gọi I(a,b,c) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, khi đó:

139


b) Lấy điểm M(x,y,z) thuộc mặt phẳng (P), nên . Ta có:

Ta áp dụng bát đẳng thức Bunhiaxcopski ta có:

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .

Vậy .

c) Gọi là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (ABC). Khi đó:

Mà

nên

140


.

Bài 12. Cho hai điểm , . Tìm M thuộc trục sao cho bé nhất.

Trả lời

Hướng dẫn giải

Điểm khi đó tọa độ của M có dạng như thế nào? ( ).

Nếu đặt , giúp ta liên tưởng đến bất đẳng thức hình học nào? (

).

Bất đẳng thức trên dấu bằng xảy ra khi nào? . Từ đó ta tìm được tọa độ của

điểm M.

Lời giải

nên .

; .

; .

Đặt

Ta có:

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:

141


Vậy với thì bé nhất.

Bài 13: Cho hai mặt phẳng và đường thẳng

a) Lập phương trình đường tròn có tâm nằm trên đường thẳng (d) và tiếp súc với hai mặt

phẳng (P), (Q).

b) Lập phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng (d) và cắt hai mặt phẳng (P), (Q) theo

hai giao tuyến song song.

Trả lời

Hướng dẫn học sinh:

1. Muốn viết phương trình mặt cầu ta cần xác định gì ? Từ giả thiết cho tâm thuộc

(d), khi đó tọa độ tâm của mặt cầu có dạng như thế nào ?

2. Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng khi nào ? Từ bài toán tìm đường tròn tiếp xúc với

hai đường thẳng trong mặt phẳng, ta rút ra nhận xét gì với điều kiện tiếp xúc với mặt phẳng

?

Lời giải

a) phương trình của đường thẳng (d) được viết lại dưới dạng

Phương trinh đường tròn O có tâm nằm trên đường thẳng (d) nên tâm của đường tròn

mà đường tròn tiếp súc với hai mặt phẳng (P),(Q)

Nên

Ta có :

142


Vậy tâm của đường tròn I(0,2,0) hoặc là I(-2,4,0) và bán kính R=

Vậy phương trình đường tròn là

b) Gọi (H) là mặt phẳng chứa (d) và cắt (P),(Q).

Ta có vecto chỉ phương của (H) là vậy vecto pháp tuyến của (H)

là là vecto pháp tuyến.

Vậy phương trình mặt phẳng (H) đi qua điểm A(0,2,0) và nhận làm vecto

pháp tuyến.

.

Bài 14: Cho đường thẳng

Chứng minh rằng hình chiếu của (d) trên mặt phẳng Oxy luôn tiếp súc với đường

tròn cố định

Hướng dẫn học sinh

143


- Hãy cho biết cách viết phương trình hình chiếu của một đường thẳng lên một

mặt phẳng ?

[Viết phương trình mặt phẳng chứa và vuông góc với mặt phẳng .

Khi đó hình chiếu của trên mặt phẳng là giao tuyến của và ]

- Trong thì có dạng như thế nào?

[ có dạng: ]

- Trong hãy tính khoảng cách từ đến

[ ]

- Có thể kết luận gì về mối liên hệ giữa và đường tròn tâm bán kính bằng ?

[ tiếp xúc với đường tròn tâm bán kính bằng ].

Bài 16. Trong hệ trục tọa độ , cho hai mặt phẳng ;

và điểm . Gọi N, K lần lượt là các điểm đối xứng của M

qua và . Tính diện tích tam giác .


- Muốn tính diện tích tam giác MNK ta cần biết những yếu tố nào?

(Biết một cạnh và đường cao ứng với cạnh đó tức là biết tọa độ các đỉnh của tam

giác.)

- N, K đối xứng với M qua và cho ta biết được gì nếu gọi ? ( , lần lượt là

mặt phẳng trung trực của MN, MK).

- Từ đó nếu gọi P, Q lần lượt là giao điểm của đường thẳng qua M lần lượt vuông góc với

, thì ta có nhận xét gì về điểm P và Q? ( P, Q lần lượt là trung điểm của MN và

MK).

144


- Làm thế nào tìm được tọa độ của P, Q? (viết phương trình đường thẳng qua M lần lượt

vuông góc với , ).

- Biết được tọa độ của P, Q làm thế nào tìm tọa độ của N, K? (Áp dụng biểu thức tọa độ

của trung điểm suy ra tọa độ của N, K).

- Từ đó dễ dàng tính độ dài của một cạnh và đường cao tương ứng thay vào ta được diện

tich của tam giác.

Lời giải

Gọi là đường thẳng đi qua M và vuông góc với mặt phẳng .

Gọi tọa độ của P là nghiệm của hệ:

Gọi là đường thẳng đi qua M và vuông góc với mặt phẳng .

Gọi tọa độ của P là nghiệm của hệ:

145


.

hay . Phương trình đường thẳng MN là:

Gọi là mặt phẳng qua K và vuông góc với MN. Phương trình của mặt phẳng là:

Gọi H là chân đường cao xuất phát từ K khi đó tọa độ của điểm H là nghiệm của hệ:

; ; .

Vậy .

Bài 17. Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), ,

. Tính góc và khoảng cách giữa AB và SC.

146

a

aa

a 3

a 2

x

z

y

D

A C

B

S


Hướng dẫn giải

- Ta cần xác định các hệ trục vuông góc dựa trên giả thiết bài toán để thiết lập hệ trục tọa

độ trong không gian.

- Các cặp cạnh nào đã vuông góc?

- Độ dài tương ứng của các cặp cạnh cho ta biết điều gì?

- Từ đó, chúng ta có thể xác định tọa độ các điểm dựa trên hệ trục tọa độ vừa chọn.

- Dựa vào kiến thức đã học về góc giữa hai vectơ trong không gian các em sẽ có được

công thức tính.

- Thực hiện tính toán trên những dữ kiện vừa tìm được.

Lời giải

Chọn hệ trục như hình vẽ

Ta có:

Suy ra

Áp dụng công thức

Vậy .

147


Bài 18: Cho hình chóp có , , các góc bằng .

Tính thể tích khối chóp .

Hướng dẫn học sinh:

- Thể tích của hình chóp được tính theo công thức nào?

( )

- Có thể coi hình chóp là hình chóp đỉnh được hay không?

(Có thể coi hình chóp là hình chóp đỉnh thì đáy là có diện

tích tính được ngay, vấn đề còn lại là tính khoảng cách từ đến mp )

- Nếu gọi là hình chiếu của lên mp , lần lượt là hình chiếu của

lên thì có nhận xét gì về tứ giác ?

(Tứ giác là hình chữ nhật)

- Hãy khai thác các giả thiết của bài toán để tính được khoảng cách từ đến mp

(Góc bằng và vuông nên có thể tính , suy ra

).

Lời giải

Gọi là hình chiếu của lên mp

lần lượt là hình chiếu của lên .

Khi đó: là hình chữ nhật

148


Mà vuông tại

Tương tự:

Suy ra là hình vuông cạnh

(đường chéo hình vuông)

Mặt khác: vuông tại

Vậy

149


150


151

bai tap to hop - xac suat thong ke

Automotive