bevezetés a korreláció & regressziószámításba

Miskolci Egyetem Gazdaságtudományi KarÜzleti Információgazdálkodási és Módszertani Intézet

Bevezetés a Korreláció &

Regressziószámításba

Petrovics PetraDoktorandusz


Statisztikai kapcsolatok

• Asszociáció – 2 minőségi/területi ismérv között

• Vegyes kapcsolat – minőségi/területi és egy mennyiségi ismérv között

• Korreláció – mennyiségi ismérvek között


• X (or X1, X2, … , Xp):

magyarázó változó(k), független változó(k)

• Y: eredményváltozó, függő változó

• Ok-okozati kapcsolat: X okozza Y változását

Korreláció Regresszió

Célja a kapcsolat szorosságának mérése.

Célja a kapcsolatban megfigyelhető törvényszerűség megfogalmazása, amelyet valamilyen függvény ír le.


Korrelációs mutatószámok1.Kovariancia

– értéke - és + közötti;– C = 0, amikor X és Y között nincs

kapcsolat;– a kapcsolat irányát mutatja – nem mutatja a kapcsolat értékét!!!

1n

yyxx yx,Cov


2. Korrelációs együttható

• A kapcsolat irányát mutatja • a kapcsolat erősségét is mutatja• 0 < r < 1 sztochasztikus kapcsolat

r = 0 X és Y függetlenek r = -1 negatív ☻r = 1 pozitív ☺

• Csak lineáris kapcsolat esetében használható!

• r2 – determinációs együttható: %-os formában méri a kapcsolat erősségét – hány %-ban befolyásolja X az Y-t

yx ss

y,xCov r


3. Rangkorrelációs együttható

• Rangsorba rendezett adatok közötti kapcsolatot elemez

• n = elemszám,d = a rangszámok közötti különbség

• Függvényszerű pozitív kapcsolat = 1 Inverz kapcsolat = -1 Függetlenség = 0

)1 (nn

d6 - 1

2

2i

1 0


1. Feladat

File / Open / Employee data.sav

Van kapcsolat a - current salary és a - beginning salary között?

KORRELÁCIÓ


Analyze / Correlate / Bivariate…

r

C

Irányt és erősséget mutat

Csak irányt mutat!!!

0 I r I 0,3 Gyenge kapcsolat0,3 I r I 0,7 Közepesen erős kapcsolat0,7 I r I 1 Erős kapcsolat +

-


Output Mean Std. Deviation NCurrent Salary $34,419.57 $17,075.661 474Beginning Salary $17,016.09 $7,870.638 474

Current SalaryBeginning

SalaryCurrent Salary

Pearson Correlation 1 ,880(**)

Sig. (2-tailed) ,000Sum of Squares and Cross-products 137916495436,340 55948605047,73

Covariance 291578214,45 118284577,27N 474 474

Beginning Salary

Pearson Correlation ,880(**) 1

Sig. (2-tailed) ,000 Sum of Squares and Cross-products 55948605047,73 29300904965,45

Covariance 118284577,27 61946944,96

N 474 474


2. Feladat

Van kapcsolat a: • current salary • previous experience (month)• month since hire• beginning salary között?

Többváltozós KORRELÁCIÓ


Analyze / Correlate / Bivariate…

r

C

Irányt és erősséget mutat

Csak irányt mutat!!!

0 I r I 0,3 Gyenge kapcsolat0,3 I r I 0,7 Közepesen erős kapcsolat0,7 I r I 1 Erős kapcsolat

+ -


OutputCorrelations

1 -,097* ,084 ,880**

,034 ,067 ,000

1,379E+011 -82332343,5 6833347,5 5,59E+010

291578214,5 -174064,151 14446,823 118284577

474 474 474 474

-,097* 1 ,003 ,045

,034 ,948 ,327

-82332343,54 5173806,810 1482,241 17573777

-174064,151 10938,281 3,134 37153,862

474 474 474 474

,084 ,003 1 -,020

,067 ,948 ,668

6833347,489 1482,241 47878,295 -739866,50

14446,823 3,134 101,223 -1564,200

474 474 474 474

,880** ,045 -,020 1

,000 ,327 ,668

55948605048 17573776,7 -739866,5 2,93E+010

118284577,3 37153,862 -1564,200 61946945

474 474 474 474

Pearson Correlation

Sig. (2-tailed)

Sum of Squares andCross-products

Covariance

N

Pearson Correlation

Sig. (2-tailed)


Covariance

N

Pearson Correlation

Sig. (2-tailed)


Covariance

N

Pearson Correlation

Sig. (2-tailed)


Covariance

N

Current Salary

Previous Experience(months)

Months since Hire

Beginning Salary

Current Salary

PreviousExperience(months)

Monthssince Hire

BeginningSalary

Correlation is significant at the 0.05 level (2-tailed).*.

Correlation is significant at the 0.01 level (2-tailed).**.

Mátrix

r

C

Negatív irányú (inverz) kapcsolat

Pozitív irányú kapcsolat

Negatív irányú (inverz) & gyenge kapcsolat

Direkt (pozitív irányú) & erős kapcsolat


Lineáris regressziós modell• X és Y közötti kapcsolatot ábrázoló egyenes.

• Az Y függ: • x1, x2, …, xp – p db magyarázó változótól• A véletlen ingadozásától (ε)• β0, β1, …, βp regressziós együtthatóktól.

y = β0 + β1x + εahol: y – függő vagy eredményváltozó

x – független vagy magyarázó változóε – véletlen hibatagβ0 – x=0 helyenβ1 – a függvény meredeksége

E (y)

x

β 0

β1


Legkisebb négyzetek módszere

y

x

Véletlen

ŷi = b0 + b1X i


• A legkisebb négyzetek módszere becsült mutatói:

b0 - β0

b1 - β1

• Regressziós egyenesŶ = b0 + b1X

• Kétváltozós normálegyenletΣy = nb0 + b1ΣxΣxy = b0Σx + b1Σx2


Scatter diagram

Direkt kapcsolatPozitív kapcsolat

0

10

20

30

40

50

0 10 20 30 40

Production (number of products per day)

wastage

0

400

800

1200

1600

0 10 20 30 40

Advertising in $

Sales in $ 0

1000

2000

3000

4000

5000

0 2 4 6 8 10 12Age of a house (year)

Selling

price

0

1000

2000

3000

4000

0 5 10 15Age of a car (year)

Selling

price

linear

nemlineáris

Inverz kapcsolatNegatív kapcsolat


Nincs kapcsolat

0

1000

2000

3000

4000

0 10 20 30 40Number of storks

Number of births


Hatványkitevős regresszió

(Power)Y = a Xb

logY = loga + b logX ↓ ↓ ↓

V = b0 + b1 ∙ x

b1 = bb0 = lga

xbxbyx

xbnby2

10

10

lglglglg

lglg


Exponenciális regresszió(Compound)

Y = a bx

logY = loga + logb x↓ ↓ ↓

V = b0 + b1 ∙ x

b1 = lgb

b0 = lga

xbxbyx

xbnby

10

10

lg

lg


2. Feladat

File / Open / Employee data.sav

Milyen természetű a kapcsolat a fizetés és az életkor között?

?

Új változó létrehozása!


Analyze / Compute Variable…

This year

Új változó: életkor = adott év – születési dátum (ÉV!) (date of birth)


• Lineáris• Compound• Power

Analyze / Regression / Curve Estimation…

Diagram


Output

Lineáris

Compound

Power

Model Summary

,146 ,021 ,019 16928,804R R Square

AdjustedR Square

Std. Error ofthe Estimate

The independent variable is age.

Model Summary

,215 ,046 ,044 ,389R R Square

AdjustedR Square



Model Summary

,156 ,024 ,022 ,393R R Square

AdjustedR Square



Itt a legnagyobb az R2


Mi az oka a szóródásnak?

• Nemek szerinti megoszlás /

• Munkatípus szerinti megoszlás!

Melyik regresszió-függvény illeszkedik a legjobban?

Output View…


Graphs / Scatter/Dot / Simple


Nemek szerint csoportosítva

Általánosságban véve a férfiak fizetése magasabb, de a szórás itt nagyon magas.


Munkatípus szerinti csoportosításban:


A 3 munkakategóriát elkülönítve Data / Split File...

Graphs / Scatter/Dot… / Simple


Fit line…Output View: Dupla kattintás az ábrába – Chart Editor

Elements / Fit Line at Total

(„Csúsztatott”)


A hivatalnokok esetében a regressziófüggvény csökken, a többi esetben nő.

MIÉRT?

(A hivatalnokok fizetése teljesítmény alapú.)


Regresszió

Analyze / Regression / Linear…


Model Summary

,146a ,021 ,019 $16,928.804Model1

R R SquareAdjustedR Square


Predictors: (Constant), agea.

Gyenge kapcsolat

A függő változót (current salary) 2,1%-ban határozza meg ez a regressziós modell.

)1(1

11 22 R

pn

nR

Összehasonlíthatóvá teszi a többszörös determinációs együtthatót a sokaságon belül. Kiszűri a különböző nagyságú mintákból eredő, különböző függő változó számú, különböző elemszámú (n) és független változó számú (p) sokaságokból eredő hibákat.

Megmutatja, hogy a függő változó hány %-át határozza meg az összes független változó együttvéve.

212

122122

21

1

2

r

rrrrrR yyyy

Az összes változónak a függő változóra gyakorolt hatását fejezi ki

Többszörös korrelációs együttható

Többszörös determinációs együttható

Korrigált többszörös determinációs együttható


Coefficientsa

41543,805 2358,686 17,613 ,000

-211,609 66,124 -,146 -3,200 ,001

(Constant)

age

Model1

B Std. Error

UnstandardizedCoefficients

Beta

StandardizedCoefficients

t Sig.

Dependent Variable: Current Salarya.

Regresszió egyenes: ŷ = b0 + b1X

b0: X = 0 helyen mennyi az Y.

Ha 0 évesek a dolgozók, akkor a keresetük 41543,805$. (Nincs értelme.)

b1: ha az X 1 egységgel nő, mennyivel változik az Y.

Ha a dolgozók életkora 1 évvel nőne, a fizetésük 211,609$-ral csökkenne.

b0b1

Minden szignifikanciaszinten elfogadható a modell.


Köszönöm a figyelmet!

bevezetés a korreláció & regressziószámításba

Documents