bolum-3

3. Ders

Madde Ortamnda Ik

z

E(z,t)

dielektrik

z

E(z,t)

iletkenboluk boluk

2Bu blm bitirdiinizde,

In madde ortamnda (dielektrik ve iletken) davran, Kutuplanma vektr, Krlma indisi, Karmak krlma indisi, Sourma katsays

konularnda bilgi sahibi olacaksnz.

3nc Ders: erik

Madde Ortamnda Maxwell Denklemleri Dielektrik Ortamda Maxwell Denklemleri Dipol Momenti Kutuplanma Vektr Krlma ndisi Tanm Metal Ortamda Maxwell Denklemleri Optik Sabitler

4Madde Ortamnda Ik-1

Boluk iin yukardaki denklemleri zp, hem E hem de H alannn dalga denklemini saladn gstermitik.

Bu derste, Maxwell denklemlerini madde ortam iin yazp zmeye alacaz.

Birbirinden farkl iki tr ortamdan bahsedebiliriz. Bunlar;

Dielektrik Ortam

letken Ortam

Maxwell denklemleri

(1)

(2)

(3)

(4)

0 =r r

.H

o t =

rr r HE

o t

= +

rr r rEH J

o

=r r

.E


Dielektrik Ortam: J=0 ( Dielektrik ortam veya yaltkan ortam veya saydam ortam) serbest=0

Metalik Ortam: J0 ( letken ortam veya metalik ortam veya yanstc ortam) serbest=0

e e

e e

e e

Metal=0, J0

Dielektrik=0, J=0

Net yk younluu sfrdr ve serbest dolaan ykler bulunmaz.

Net yk younluu sfrdr ancak serbest dolaan ykler (elektronlar) bulunur.

elektroniyon


Maddenin, d elektrik alana tepkisi nasldr?

Bu elektrik alan elektromanyetik dalgay oluturan elektrik alan(optik alan) bileeni olduunda maddenin tepkisi nasl olur?

Malzemenin elektrik alana tepkisini karakterize eden nicelikler ile maddenin optik sabitleri arasndaki iliki nasldr?

Ortamn tepkisinin n frekansna ball nasldr?

Madde ortam sz konusu olunca neleri bilmek isteriz?

7Madde Ortamnda Ik-4Durum I: J=0 ( Dielektrik ortam veya yaltkan ortam veya saydam ortam) serbest=0

Madde ortamnda Maxwell Denklemleri, bo uzayda yazld forma indirgenerek bilinen zmler uygun ekilde dzenlenebilir.

D alanlar (n elektrik ve manyetik alan) ortamdaki yk dalmn deitireceinden bu etkiyi gz nnde bulundurarak Maxwell denklemlerini dzenlememiz gerekecektir.

Optoelektronik malzemelerin manyetik zellik gstermediklerini kabul ederek sadece elektrik alandan kaynaklanan deiimler gz nnde bulundurulacaktr.

D elektrik alanla ortamn kutuplanmasndan (P) dolay oluan net ykn ( ) etkisini E alan yerine yeni tanmlayacamz D vektr ile ifade edeceiz.

Bu amala, ilk yaplacak i ortamn kutuplanabilirliini tanmlamak ve kutuplanabilirlii d elektrik alana balayacak eitlik tretmek olacaktr.

Dielektrik malzemeleri (SiO2 gibi) mkemmel yaltkan olarak dneceiz

(1)(2)(3)

(4)

0 =r r

.H

o t =

rr r HE

=

rr r

o t

EH

0 =r r

.E

o t =

rr r HE

o t

=

rr r EH

0 =r r

.H

0 =r r

.D

Boluk Madde Ortam.

.

= =r r

r rind

o o

PE

( )o +r r rD E P

= r r

ind .P

8Dipol Momentleri

e

e

e

e

e

e

EnetEind

E

Uygulanan d alan madde iinde:

ndksiyon yolu ile elektrik dipoller oluturur (atomun yk younluunun deimesindenkaynaklanan dipoller),

Var olan dipolleri (d alan olmadan da var olan dipollerin, rnein su moleklnde olduu gibi) alan ile ayn dorultuya getirmeye alr.

-q +qp

d

Aralarndaki mesafe d olan ikizt ykn dipol momenti (p)

dipol moment tanm

p=qd

-Ze

-Ze

E

+Ze

+Ze

E=0

atom=Bir atomun dipol momenti

atom=(Ze)d

E 0

D elektrik alann ortamn elektrik zelliklerini nasl deitireceini ortamdaki elektrik dipollerini tanmlayarak anlatabiliriz.

D elektrik alan atomun yk youluunu deitirerek dipol momenti olumasn salar.

9Kutuplanma Vektr-1

V=

rr

atomPKutuplanma Vektr (P)

Bykl (|P|): dipol moment/hacimP=

Yn: dipol momentin ynndedir.

atom=Bir atomun dipol momentiV=Hacim

Younluu , atomik ktlesi A olan bir maddenin NA Avagadro says olmak zere Kutuplanma vektr (bykl)

Ortamn optik zelliklerinin bilinmesi andan P ile E arasndaki ilikinin bilinmesi gerekir

P ile E arasnda nasl bir iliki vardr?

Ortamn d elektrik alana tepkisi ortamn kutuplanabilirlii ile llr ve bu tepki Kutuplanma Vektr (Polarization Vector) ile ifade edilir.

eklinde tanmlanr.

Kutuplanma Vektr, vektrel bir nicelik olduundan bykl ve yn vardr:

( )A atomNA

= rP

eklinde verilebilir.

10

Kutuplanma Vektr-2

eklinde ifade edilebilir. Burada Po , kalc kutuplanmadr (D elektrik alan olmadan var olan kutuplanma, rnein H2O moleklnde olduu gibi) ve birok malzeme iin sfrdr. In ortamda ilerleyii sz konusu olduundan d elektrik alan ile oluan deiim bizim iin nemli olduundan bu terim ile ilgilenmeyeceiz.

Uygulanan d elektrik alan (E) ile Kutuplanma Vektr (P) arasnda nasl bir iliki vardr?Bu iliki en genel olarak:

Bu blmde sadece elektrik alan ile orantl olan dorusal terim

ile ilgilenilecektir. Blm 11de dorusal olmayan terimler dikkate alnacaktr.

(1) (2) 2 (3) 3( ) ...o o o = + + + +r r r r r r

oP E P E E E

ise elektrik duygunluk (electric susceptibility) ve madenin optik zelliklerini incelemede olduka nemli bir parametredir.

(1)= 1. dereceden elektrik duygunluk

(2)= 2. dereceden elektrik duygunluk (dorusal olmayan optik)

C+ C+O-

Po=0H+ H+

O-

Po0

(1)( ) o =r r rP E E

11

Kutuplanma Vektr-3

Bu durumda Kutuplanma Vektr (P)

eklinde ifade edilir. Tensrel ifadeden de grlecei zere kutuplanma vektrnn bir bileeni sadece elektrik alann o yndeki bileeni cinsinden deil, dier bileenin toplam cinsinden ifade edilecektir.

Bu derste sadece izotropik malzemeler (yn zellii olmayan malzemeler) ile ilgilenilecektir, anizotropik malzemeler 8. Blmde incelenecektir.

y

z

x

Kristal malzemeler yn zellii gsterdiklerinden malzemenin elektrikduygunluu en genel durumda bir tensrle ifade edilir.

Byle malzemelerde farkl ynlerde uygulanan ayn byklkteki elektrik alana malzemenin tepkisi farkl olur ve E ve P vektrleri her zaman birbirine paralel olmayabilir (Blm 8).

P

E

(1) (2) 2 (3) 3( ) ...o o o = + + + +r r r r r r

oP E P E E E

x xx xy xz x

y o yx yy yz y

z zx zy zz z

P EP EP E

=

xyz

12

Optik Ortamlar

homojen ortam

=sabit

inhomojen ortam

(r)

(a) Homojen (Homogenous)

(b) zotropik (sotropic)

(c) Datkan (Dispersive)

(d) Dorusal (Nonlinear)

y

x

izotropik ortam

x=y=z=sbt

anizotropik ortam

x=sbty=sbtz

datgan olmayan ortam

v()=sabit

datgan ortam

v()

dorusal ortam

P E

dorusal olmayan ortam

P E2

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

(1) (2) 2 (3) 3( ) ...o o o = + + + +r r r r r r

oP E P E E E

Elektrik duygunluk () ortamn optik zelliini yansttndan duygunluk ifadesini gz nnde bulundurarak ortam optik olarak snflandrabiliriz.

13

Elektrik Yerdeitirme VektrElektrik Yerdeitirme Vektr (D)

Ortamn, d elektrik alandan dolay kutuplanmasn ierecek yeni bir vektr,

Elektrik Yerdeitirme Vektr (D) tanmlanabilir.

Ortamn elektriksel zelliklerini ieren bu yeni vektr Maxwell denklemlerinde kullanlrsa ortamn kutuplanma etkisi dalga denklemine yanstlm olur.

E ve P cinsinden yer deitirme vektr D

eklinde tanmlanr. Pyi elektrik alan cinsinden (1. dereceden katk alnarak) ifade edersek

E cinsinden D yerdeitirme vektr

o=r r rD (E + P)

o( ) =r r r(1)P E E

( (o o o) ) = = =r r r r r r(1) (1)D E + E D + E E

(1 )o (1)+ Ortamn elektrik geirgenlii

14

Dielektrik Ortam-1

D vektr, madde ortamnda toplam (net) elektrik aksdr.

Elektrik zelliklerE => D (D=oE+P =>D=E)o => D=Elektrik yerdeitirme

Madde ortamnn zelliini iki sabit, ve belirler. Bu ders kapsamnda ilgileneceimiz optik malzemeler manyetik zellik gstermedikleri iin 0olarak alnabilir; dolays ile sadece nin zellikleri ile ilgileneceiz.

Manyetik zelliklerH => B (B=oH+oM => B=H)o => B=Manyetik ak

Ortam karakterize eden elektrik geirgenlik , Maxwell denklemlerinde yerine konularak madde ortam iin dalga denklemi elde edilir.

=r rD E (1 )o (1)+ Ortamn elektrik geirgenlii

Elektrik alan iin yaplan benzer ilemler manyetik alan iin de yaplabilir.

22

2o o t

=

rr EE

22

2o t

=

rr EE

Boluk Madde ortam( o )( o )

15

Dielektrik Ortam-2

22

2o t

=

rr EE

cvv mortam 1026 m-3Maxwell Denklemleri:

Durum II: J 0 (letken ortam, serbest=0)

o t

= +

rr r rEH E

r rJ = E

20

letken Ortam-2

Bo uzay ve dielektrik ortamda yaplan iler tekrarlanrsa yukardaki denklemlerin zmolacak elektrik alann

o t

= +

rr r rEH E

0 =r r

.H

o t =

rr r HE

o t

= +

rr r rEH J

0 =r r

.D(1)(2)

(3)

(4)

letken ortamda Maxwell Denklemleri:

22

2o ot t

= +

r rr E EE

eklinde dalga denklemini salayaca gsterilebilir. Grld gibi bu ifade, bo uzay ve dielektrik ortamdaki dalga denklemine benzemesine ramen iletkenlik ifadesini ieren

fazladan bir terim daha iermektedir.

Yukardaki dalga denklemi, ikinci dereceden ksmi diferansiyel denklemdir ve zmleri bilinmektedir.

letken ortamda dalga denklemi(Manyetik alan iin de benzer bir ifade yazlabilir)

21

letken Ortam-3

( . )( , ) +=r rr rmi k r t

or t eE E( . )( , ) +=r rr rmi k r t

or t eH H

Dalga denkleminin metal ortamda zmlerinin

i = + r r r

E Hi = + r r r

E H( )i = + r r r rH E E( )i = r r rH E

Dielektrik

Bu iki denklemi metal ortam iin yeniden zmek yerine, dielektrik ortam iinbulduumuz zmlere benzeterek iletken ortam iin zmler elde edebiliriz.

eklinde olduunu varsayabiliriz.

Bu zmleri Maxwell denklemlerinde kullandmzda aranan dalga vektrleri (km) Maxwell denklemleri yardm ile bulunabilir.

letken

22

letken Ortam-4

r r

H

+ = +

i

i

1

= =iletken

iletken o

vk

Dielektrik ve iletken ortam iin denklemleri karlatrldnda;

In (iletken iinde) hz

( )( ) ii = +

r r rH E( )i = r r rH E

Dielektrik letken

iletken ortam temsil edecek karmak tanm yaplarak dielektrik ortam iin bulunan zmleri kullanabiliriz.

22

2 =

rr

o t

EEletken ortamda dalga denklemi

karmak say!

Bu durumda karmak elektrik geirgenlik cinsinden dalga denklemi

( )( ) ii = +

r r rH E ( ) =

r r riH E Burada

23

letken Ortam-5

mk nc

=

n in K= +

Dalga VektrK=Yoketme indisi (Sanal Ksm)

( )= +m nk iKc

Karmak Krlma ndisi (iletken ortam)

Karmak Dalga Vektr (iletken ortam)

n=Krlma indisi (Gerek Ksm)

o

n

=Krlma indisi tanm hatrlanrsa =>

o

n

=

Krlma indisi de (bu durumda) karmak saydr!

i +

En genel durumda krlma indisinin karmak bir nicelik olduu, dolays ile ortamn optik zelliklerini gerek (n) ve sanal (K) sabitlerin belirledii sylenebilir.

Re( ) =mk nc

Im( ) =mk Kc

Dalga vektr (gerek)

Dalga vektr (sanal)

24

letken Ortam-6

( )= +m nk iKc

nRe( )c

=mk

KIm( )c

=mk

( )i nz i kz tc c

oE(z,t)= E e

+ +

r r i nz tKz ccoE(z,t)= E e e

+

r r

( .z ) +r r mi k toE(z,t)= E e

Karmak krlma indisi fiziksel olarak ne anlama gelir?Bunun iin karmak dalga vektrn dalga zmnde kullanalm

n in K= +

+z ynnde ilerleyen dnelimKarmak km ifadesi bu zmde kullanldnda

( )

+ +

=

rr i nz t i nz tKzc

o

c cE(z eE e z= eE,t)

Birinci terim genlik ifadesidir ve krlma indisinin sanal teriminden (yoketmeindisi) dolay stel olarak (z ile) azalmaktadr. Bu azalmadan serbest ykler sorumludur.

kinci terim, salnm yapan terimdir; bu ifade iinde krlma indisinin gerek ksmbulunmaktadr ve dalgann ortamda yaylma zelliini (z ile) belirler; dielektrik ortamda bulunan sonu gibidir.

Bu ifadede iki terim bulunmaktadr

letken Ortamda Elektrik Alan

n in K= +

/ =mc v n soK urma

i.i=-1

25

letken Ortam-7

Ortamdaki enerji aksna yani Parlakla (Poynting vektrn zaman ortalamas) bakalm

( )

+ +

=

rr i nz t i nz tKzc

o

c cE(z eE e z= eE,t)letken ortamda elektrik alan

Parlaklk2

oS I c E= =r r

2 2( ) =

r Kz

om

zcoI(z) E e I e= v

letken ortamda parlaklk

sourma katsays (1/uzunluk)Burada 2 Kc

Elektrik alann genlii, z deerine bal olarak azalarak sfra gitmektedir.

Io

z

I

Sourma katsays , llebilir bir nicelik olup birim uzunluk bana (pratikte cm-1) sourma miktardr. Kaypl ortamda pozitif deere sahip olmasna ramen kazan ortamnda (lazer kovuu) negatif iarete sahiptir.

Kayp ortam>0, I

26

Madde Ortamnda Ik

z

E(z,t)

z=0Bo uzay dielektrik

z

E(z,t)

z=0Bo uzay iletken

Genliin e-1deerine dt z deerine () szma derinlii (penetration dept) denir.

e-1=1/2.71/3

Bakr (mortesi o=100 nm) =0.6 nm(kzlalt o=10 000 nm) =6 nm

Boluktan iletken bir ortama giren n genlii, yoketme indisinin (K) sfrdan farkl (ve pozitif) olmasndan dolay azalr (sorulur). Dielektik ortamda yoketme indisi sfr olduu iin genlikte bir azalma (sorulma) olmaz.

( )

+

r i nz tcE zE(z e,t)=

z

I(z)


z

z=0Bo uzay iletken

Eo/e

I(z)

+

r i nz t

cE(z,t)= e

oI(z)= Iz

oII = e(z)

27

Maddenin Optik Sabitleri

( )mk n iKc

= +

ze= oI(z) IParlaklk

( )i nz i kz tc c

oE(z,t)= E e

+ +

r r

( )i nz tc

oE(z,t)= E e

+r rn

ckm

=

2 Kc

Eer bir ortamda dipollere ek olarak serbest tayclar da var ise ortamn krlma indisinin karmak bir say ile ifade edilmesi gerekecektir. Bu durumda krlma indisinin gerek ksm dalgann ortamdaki ilerlemesini, sanal ksm (yoketmeindisi) ise ortamda sorulmasn gstermektedir.

Krlma indisinin hem gerek hem de sanal ksmlar frekansa ok sk baldr. Belli bir dalga boyunda geirgen olan (sanal krlma indisi sfr) baka bir dalgaboyunda ok iyi bir sourucu olabilir.

Baz durumlarda ise krlma indisi tmyle sanal olabilir (Blm 6). Bu durumda ortam mkemmel ayna gibi davranr ve ortamda ilerleyen dalga bulunmaz, ara yzeye gelen k tmyle yzeyden geri yansr.

Dielektrik (=0)

letken (0)

Ortamn optik zelliini karmak krlma indisi verir (hem sourmay (yoketme indisi) hem de dalgann ilerleyiini (krlma indisi) karakterize eden nicelikleri barndrd iin)

28

( )mk n iKc

= +

(z, t) sin( )Kzce nz tc

= +

r r

oE E

z

E(z,t)


z

E(z,t)

z=0Bo uzay iletken

z

E(z,t)

z=0Bo uzay Bo uzay

nknc

k om ==

=c

Bo Uzay Dielektrik Ortam J=0 Metalik Ortam J0

o

c

=

0

1

o o,

=

0

1mv

o, o,

=

vm0

1

mmv =

cko

=

=0J0 J=EP 0

1===c

c

v

cn 1>=

mv

cn

P=oEo

0 =r r

.H

0 =r r

.E

om

m

=

==omv

cn

( )( , ) oi k z toE z t E e +=r r ( )( , ) mi k z toE z t E e +=

r r ( )( , ) mi k z toE z t E e +=r r

mmv =

0 =r r

.H

0 =r r

.D

0 =r r

.H

0 =r r

.D

P=oEoD E P E + =

r r r r

=0J=0P0

o t =

rr r HE

o t

=

rr r EH o t

=

rr r EH o t

=

rr r r EH J +

o t =

rr r HE

o t =

rr r HE

(z, t) sin( )nz tc

= +r roE E(z, t) sin( )z t

c

= +r roE E

=0J=0P=0

oD Er r

om

m

=

n=Krlma indisiSanal ksm => =Yoketme (extinction) indisi

1( )

1( )o o

m o

o

cn

v

= =Krlma indisi tanm

omv

1=Madde ortamnda n hz

Krlma indisi en genel durumda karmak bir saydr: iKnn +=

Krlma indisinin gerek ksm (n) n madde ortamnda ilerleme hzn, sanal ksm(K) ise n ortam tarafndan sorulmasn ifade eder.

Krlma indisi cinsinde madde ortamnda n hzc

v =n

2n

o

=

Dielektrik sabiti

30

UADMK - Ak Lisans Bilgisi

Bu ders malzemesi renme ve retme yapanlar tarafndan ak lisans kapsamnda cretsiz olarak kullanlabilir. Ak lisans bilgisi blm yani bu blmdeki, bilgilerde deitirme ve silme yaplmadan kullanm ve gelitirme gerekletirilmelidir. erikte gelitirme deitirme yapld takdirde katklar blmne sadece ekleme yaplabilir. Ak lisans kapsamndaki malzemeler dorudan ya da trevleri kullanlarak gelir getirici faaliyetlerde bulunulamaz. Belirtilen kapsam dndaki kullanm ak lisans tanmna aykr olduundan kullanm yasad olarak kabul edilir, ilgili ak lisans sahiplerinin ve kamunun tazminat hakk domas sz konusudur.

bolum-3

Documents