bourdim samia méthodes ondelettes et bayésiennes pour le

وزارة التعليــــــم العالــــي و البحــث العلمـــــــيMINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR ET DE LA RECHERCHE

SCIENTIFIQUE

جامعـة فرحـات عبـاس سطيــف

UNIVERSITE FERHAT ABBAS-SETIF UFAS (ALGERIE)

Mémoire de Magister

Présenté au département d’Electrotechnique

Faculté de Technologie

pour obtenir le diplôme de

Magister en Electrotechnique

0ption : Commande Electrique

Par

BOURDIM SAMIA

Thème

Méthodes ondelettes et Bayésiennes pour le diagnostic : Application aux machines asynchrones

Soutenu le 04 / 07 / 2011 devant la commission d’examen composée de :

Président Dr. Hachemi Mabrouk M.C.Université de Sétif

Rapporteur Dr. Hemsas Kamel Eddine M.C. Université de Sétif

Examinateur Dr. Ziat Lahcen M.C. Université de Sétif

Examinateur Dr. Radjeai Hammoud M.C. Université de Sétif

Examinateur Dr. Khemliche Mabrouk M.C. Université de Sétif

Remerciements

Tout d'abord merci à dieu de m'avoir donner la force pour

terminer ce travail

Je remercie vivement monsieur Dr. K.E. Hemsas pour son esprit scientifique et

compréhensif, qui a consacré beaucoup de son temps à mon travail et m’a beaucoup aidé avec

ses idées, ses conseils et surtout ses critiques objectives.

Je tiens également à remercier Dr M. Hachemi d’avoir accepté la présidence du jury,

monsieur H Radjeai et monsieur M. Khemliche et monsieur L. Ziat d’avoir pris de leurs

temps pour examiner ce travail.

Merci à tous les autres chercheurs qui ont mis leurs outils, articles et travaux accessibles à

travers l'Internet.

Je veux également remercier ma famille pour le soutien moral.

Enfin, je remercie tout particulièrement mes parents, pour leur soutien inconditionnel tout

au long de ces longues années d’études.

NOMENCLATURE

Liste des acronymes

Liste des acronymes MAS : Machine Asynchrone.

TF : Transformée de Fourier.

STFT: Short Time Fourier Transform.

TOC: Transformée d’Ondelette Continue.

TOD : Transformée d’Ondelette Discret.

TODI : Transformée d’Ondelette Discret Inverse.

Matlab : Matrix Laboratory.

PC: Personnel Computer.

MCSA :Motor Current Signature Analysis

DSP: Densité Spectrale de Puissance.

CD: Coefficient détail.

CA: Coefficient d’approximation.

D: Détail.

A: Approximation.

DB:Daubechies.

Mexh: Chapeau Mexicain

LP: Programmation Linéaire.

LS: Least Square.

P.N.L: Programmation Non Linéaire.

IEEE: Institution of Electrical & Electronic Engineers.

Liste des tableaux

Liste des tableaux

Tab.III.1 Résultats d'estimation paramétrique obtenus en minimisant

CJ 71

Tab.III.2 Résultats d'estimation paramétrique obtenus en minimisant CJ 77



Tableau.A.1 Inductances de la machine asynchrone à cage 93

Tableau.C.1 Caractéristiques de la machine 113

Liste des figures

Liste des figures

Figure I.1 Eléments de constitution d'une MAS à cage d’écureuil 2

Figure I.2 Stator 3

Figure I.3 Rotor à cage d’écureuil 4

Figure I.4 Paliers 5

Figure I.5 Sources des défauts de la machine asynchrone à cage 6

Figure I.6 Principaux défauts de la machine asynchrone et leurs causes 7

Figure I.7 Types de défauts dans les roulements à billes 8

Figure I.8 Dimension d’un roulement à billes 9

Figure I.9 Différents types de la dissymétrie de l’entrefer 12

Figure I.10 Représentation de l’excentricité statique, dynamique et mixte 12

Figure I.11 Rotor à cage d'écureuil 14

Figure I.12 Rupture d'une barre et d’un anneau de court circuit 14

Figure II.1 Représentation temporelle vers fréquentielle 21

Figure II.2 Représentation temporelle et fréquentielle ‘somme de deux sinusoïdes’ 22

Figure II.3 Représentation temporelle et fréquentielle ‘succession de deux sinusoïdes’ 22

Figure II.4 Représentation temporelle vers STFT 23

Figure II.5 Représentation temporelle et leur STFT avec taille de fenêtre0.05 25

Figure I I.6 Représentation temporelle et leur STFT avec taille de fenêtre 0.005 25

Figure II.7 Exemple explicatif du principe d’Heisenberg 26

Figure II.8 Représentation temporelle vers ondelettes 27

Figure II.9 Evolution de la forme d'une ondelette temps échelle 28

Figure II.10 Boîtes Temps fréquence des deux ondelettes ,u s et0 0,u s 30

Figure II.11 Quelques formes des ondelettes usuelles 31

Figure II.12 Signal bruit et sa transformée d’ondelettes continue 33

Figure II.13 Décomposition du signal s en approximations et détails 34

Figure II.14 Décomposition simple du signal s en approximations et détails 35

Figure II.15 Décomposition du signal s en multi-niveaux 36

Figure II.16 Reconstruction simple d’un signal S 37

Figure II.17 Algorithme de MALLAT uni/multi dimensionnelles 37

Figure II.18 Décomposition simple représentant A1 et D1 38

Figure II.19 Décomposition en 3 niveaux représentant A1, D1, D2etD3 38

Figure II.20 Représentation du signal original et leur approximation A3 39

Figure II.21 Décomposition en paquet d’ondelettes 40

Figure II.22 Répartition des nœuds dans un arbre de décomposition par paquet d’ondelettes 41

Figure II.23 Courbes d’un moteur à cage état sain 42

Figure II.24 Courant d’une phase statorique (tous les cas) 43

Figure II.25 La CWT du courant d’une phase statorique (DB7a) 44

Figure II.26 La CWT du courant d’une phase statorique (DB7b) 45

Figure II.27 La CWT du courant d’une phase statorique (HAAR) 46

Figure II.28 La CWT du courant d’une phase statorique (Mexh) 47

Figure II.29 La CWT du courant d’une phase statorique (Morlet) 48

Figure II.30 Courant d’une phase statorique (tous les cas) 49

Figure III.1 Principe des méthodes à erreur de sortie 55

Figure III.2 Interprétation déterministe du critère composite dans le cas mono variable 64

Figure III.3 Procédure de diagnostic 67

Figure III.4 Evolution des paramètres en fonction des itérations 71

Figure III.5 Comparaison du courant réel et estimé d'axe d de Park 73

Figure III.6 Axes de recherche du défaut au rotor 74

Figure III.7 Résultats d'estimation paramétrique en présence d'une rupture de barre 78

Liste des figures

Figure III.8 Comparaison du courant réel et estimé d'axe d de Park 79

Figure A.1 Structure de la cage du rotor 91

Figure A.2 Induction magnétique produite par une maille du rotor 91

Figure A.3 Schéma équivalent des mailles rotoriques 95

Figure A.4 Schéma équivalent de la cage rotorique 102

Figure B.1 Modélisation par dipôles élémentaires du rotor en défaut 105

Figure B.2 Premier modèle de la machine avec défauts rotoriques 108

Figure B.3 Modèle de la machine avec défauts rotoriques 109

Sommaire

Remerciements

Liste des acronymes

Liste des tableaux

Liste des figures

Introduction générale…………………………………………………………………...

I

I. Présentation des différents défauts du MAS à cage d’écureuil

1

I.1 Introduction …………………………………………………………………………. 1

I.2 Eléments de constitution de la machine asynchrone………………………………… 1

I.2.1 Stator ………………………………………………………………………. 2

I.2.2 Rotor………………………………………………………………………….. 3

I.2.3 Paliers ………………………………………………………………………... 5

I.3 Défaillances de la machine asynchrone ……………………………………………... 5

I.3.1 Défaillances d'ordre mécanique………………………………………………. 8

I.3.1.1 Défaillances des roulements …………………………………………. 9

I.3.1.2 Défaillances des flasques …………………………………………….. 11

I.3.1.3 Défaillances de l'arbre………………………………………………... 12

I.3.1.4 Défauts d’excentricité ……………………………………..…………. 12

I.3.2 Défaillances d'ordre électriques ……………………………………………… 14

I.3.2.1 Défaillances des circuits électriques statoriques……………………... 14

I.3.2.2. Défaillances des circuits électriques rotoriques …………………….. 14

I.4.Méthodes de diagnostic …………………………………………………………… 16

I.4.1 Méthodes externes…………………………………………………………… 17

I.4.2 Méthodes internes …………………………………………………………… 17

I.4.3 Méthodes inductives ………………………………………………………… 17

I.4.4 Méthodes déductives ………………………………………………………... 17

I.5 Modèle de la machine asynchrone à cage …………………………………………… 18

I.5.1 Approche analytique ………………………………………………………… 18

I.5.2 Approche numérique ………………………………………………………... 18

I.6 Signatures spectrales des défauts dans le spectre du courant statorique (MCSA) ...... 19

I.6.1 Défauts statoriques …………………………………………………………. 19

I.6.2 Défauts rotoriques ………………………………………………………….. 20

I.7 Conclusion …………………………………………………………………………... 20

II. Théorie des ondelettes et leurs applications

21

II.1 Introduction…………………………………………………………….......... 21

II.2.De l’analyse de Fourier à l’analyse par ondelettes………………………………….. 21

II.2.1 Exemple d’application de la transformée de Fourier FT…………………….. 22

II.2.1.1 Signal stationnaire……………………………………………………... 22

II.2.1.2 Signal non stationnaire………………………………………………… 23

II.2.2 Transformée de Fourier à fenêtre glissante STFT…………………………… 24

II.2.2.1.Exemple d’application de la transformée de Fourier à fenêtre glissante 25

II.2.2.2 Limitations de la TF à fenêtre glissante……………………………….. 26 II.3 Transformée en ondelettes ......................................................................................... 28

II.3.1 Définition……………………………………………………………………. 28

II.3.1.1 Exemple de l'ondelette de Morlet (Complexe)………………………... 29

II.3.2 Transformée en ondelettes continue (TOC)…………………………………. 31

II.3.3 Application de la transformée d’ondelette continue…………………………. 33

II.3.3.1 En utilisant notre code MATLAB .......................................................... 33

Sommaire

II.3.4 Transformée en ondelettes discrète (TOD)………………………………….. 34

II.3.4.1 Décomposition simple ............................................................................ 36

II.3.4.2 Décomposition multi-niveaux ................................................................. 36

II.3.4.3 Reconstruction par ondelette .................................................................. 38

II.3.4.4 Décomposition et Reconstruction par ondelette……………………….. 38

II.3.4.5 Application de la TOD ........................................................................... 38

II.3.5. Décomposition par paquet d’ondelettes ........................................................ 40

II.3.6 Application de la technique d’ondelettes ......................................................... 42

II.3.6.1 Application de la transformée d’ondelettes continue…………………... 43

II.3.6.2 Application de la transformée d’ondelettes discrète…………………… 50

II.4 Conclusion…………………………………………………………………………... 52

III. Méthode Bayésienne pour le diagnostic

53

III.1 Introduction………………………………………………………………………... 53

III.2 Modèle du moteur………………………………………………………………….. 53

III.3 Classe d’algorithmes d'identification ……………………………………………... 55

III.3.1 Méthode à erreur d’équation………………………………………………... 55

III.3.2 Méthode à erreur de sortie………………………………………………….. 55

III.4.Algorithme d'identification du type erreur de sortie……………………………….. 56

III.4.1 Principe de la méthode à erreur de sortie ………………………………….. 56

III.4.2. Calcul des fonctions de sensibilité………………………………………… 58

III.5 Inférence Bayésienne………………………………………………………………. 60

III.5.1 1ntroduction de l'information à priori …………………………………….. 62

III.5.2 Interprétation déterministe ………………………………………………… 64

III.5.3. Choix de l’information a priori .................................................................... 66

III.6. Application au diagnostic de la machine asynchrone .............................................. 67

III.6.1. Choix des modèles pertinents : procédure de diagnostic………………….. 67

III.6.2. Estimation de la machine saine .................................................................... 69

III.6.3. Modèle dynamique de la machine asynchrone……………………………. 69

III.6.3.1 Modèle d'état continue ……………………………………………….. 69

III.6.3.2 Identification par erreur de sortie.......................................................... 70

III.6.3.3 Introduction de l'information a priori ................................................... 71

III.6.4 Diagnostic d'un défaut rotorique .................................................................... 74

III.6.4.1. Modèle et stratégie de détection……………………………………... 74

III.6.4.2. Détection d'une rupture de barre……………………………………... 77

III.6.4.3 Détection d'une rupture de deux barres………………………………. 80

III.7 Comparaison entre méthode ondelettes et Bayésienne ............................................. 83

III.8 Conclusion ................................................................................................................ 85

Conclusions générales et perspectives

86

Annexe A Modèle multi- enroulement de la MAS à cage

89

A.1 Introduction ................................................................................................................ 89

A.2 Modèle multi enroulements de la machine asynchrone triphasée à cage………........ 89

A.2.1 Hypothèses simplificatrices …………………………………………………. 90

A.2.2 Calcul des inductances de la machine .................................................... 90

A.2.2.1 Partie Statorique……………………………………………………... 90

A.2.2.2 Partie rotorique .................................................................................... 91

A.2.2.3 Inductances mutuelles stator rotor ...................................................... 93

A.3 Mise en équations de la machine……………………………………………………. 94

Sommaire

A.3.1 Equations des tensions statoriques ……………………………………. 95

A.3.2 Equations de tensions au rotor ............................................................... 96

A.3.3 Equation globale des tensions ................................................................ 97

A.3.4 Expression du couple électromagnétique ……………………………... 102

A.4 Prise en compte des défauts rotorique dans le modèle ............................................... 103

A.5 Conclusion .................................................................................................................. 105

Annexe B Modèle d’état de défaut du MAS à cage

106

B.1 Introduction ................................................................................................................ 106

B.2 Modèle de défauts rotorique de la machine asynchrone…………………………….. 107

B.2.1 Modèle de défauts rotoriques ………………………………………………... 107

B.2.2 Modélisation de la rupture de barres ………………………………………… 109

B.2.3 Schéma électrique équivalent ……………………………………………….. 111

B.3 Validation en régime stationnaire ............................................................................... 113

B.4 Conclusion………………………………………………………………………….. 114

Annexe C Paramètres des moteurs utilisés

115

C.1 Paramètres du moteur A utilisé……………………………………………………... 115

C.2 Caractéristiques de la machine B utilisé…………………………………………….. 116

Bibliographie……………………………………………………………………………. 117

INTRODUCTION GENERALE

Introduction générale

I


La place prestigieuse qu’occupe les machines électrique dans l’industrie moderne, nécessite entre

autres une mise en place des programmes de maintenances préventives et correctives et de

surveillance afin d’assurer la continuité de leur bon fonctionnement. En effet, ces fonctions permettent,

en partie, d’assurer la sécurité des personnes, la qualité du service et la rentabilité des installations.

Un système de surveillance doit permettre de valider les données utilisées par les algorithmes de

commande mais aussi de fournir des informations sur le fonctionnement de l'unité aux opérateurs qui

l'exploitent. Il doit être capable de provoquer dans les cas graves un arrêt de l'unité ou de permettre au

système de production de continuer de fonctionner en mode dégradé en cas de problème ne nécessitant

pas un arrêt immédiat, tout cela en évitant bien sûr des erreurs de type fausses alarmes qui provoquent

des arrêts inutiles des installations. Les tâches de détection et de localisation des défaillances trouvent

ainsi tout naturellement leur place dans un tel système de surveillance. Il existe plusieurs procédures de

diagnostic. Le choix d’une approche est lié à la connaissance que l’on souhaite acquérir sur le système.

Ainsi, deux principales familles de procédures peuvent êtres utilisées dans le domaine de diagnostic des

machines électriques à savoir les méthodes de diagnostic avec connaissance a priori et sans

connaissance a priori.

Les méthodes de diagnostic sans connaissance a priori sont basées sur l’extraction d’informations par

le biais du traitement des signaux mesurés qui sont (courants, tensions, vitesse, couples, vibrations,

température). Ces signaux peuvent fournir des informations significatives sur les défauts.

Les méthodes de diagnostic avec connaissance a priori reposent sur le suivi des paramètres et des

grandeurs de la machine, au moyen d’algorithmes d’observations. Elles détectent les défaillances en

comparant l’évolution de l’écart entre le modèle et le processus réel. Le principal avantage de cette

méthode réside dans l’intégration d’une connaissance a priori du système et donc un filtrage de

l’information.

Dans le cas de la modélisation des machines électriques en vue du diagnostic, il est essentiel

d'envisager deux modes; un mode commun et un autre différentiel. Le mode commun doit

correspondre au modèle dynamique traduisant le fonctionnement sain de la machine. Le mode


II

différentiel a pour objectif de traduire son dysfonctionnement. Ses paramètres doivent être

essentiellement sensibles au défaut.

La connaissance initiale - i.e. connaissance à priori- relative à la machine saine ou défaillante, permet

d’un coté d'accélérer la convergence de l'algorithme de la Programmation Non Linéaire utilisé, et d’un

autre coté de la rendre robuste. Cette approche étant basée sur l'identification des paramètres d'un

modèle de la machine, l'un des objectifs les plus importants, dans le cadre du diagnostic, concerne la

mise au point de modèles mathématiques réellement représentatifs d'un fonctionnement en défaut.

L'étape de modélisation s'avère donc indispensable aussi bien en commande, pour la synthèse des

boucles de régulation, qu'en surveillance, pour la détection et la localisation de pannes.

L’objectif principal du présent travail de recherche est d’exploiter deux méthodes, méthode des

ondelettes et méthode Bayésienne pour le diagnostic des défaillances des machines électriques où

l’accent est mis particulièrement pour la détection des quelques défauts rotoriques de la machine

asynchrone à cage.

Dans la première méthode, le diagnostic par la technique des ondelettes est effectué et validé par

simulation dans l’environnement Matlab. Cette technique propose une analyse très fine des signaux et

permet de détecter la non stationnarité dans les signaux où cette particularité est non disponible dans les

techniques classiques. Telles que : l’analyse de Fourier et l’analyse de Fourier à fenêtre glissant, etc.

Dans la deuxième méthode, on a essayé de placer les bases d'une technique par estimation

paramétrique s'appuyant sur la loi de Bayes qui exige l'adjonction d'une connaissance a priori. Cette

méthode de diagnostic par identification paramétrique conduit à procéder à l'estimation des paramètres

du modèle complet ainsi, les paramètres électriques du mode commun (affectés d'une connaissance a

priori), indiqueront l'état dynamique de la machine (constante de temps rotorique, inductance

magnétisante, etc.) et les paramètres du mode différentiel permettront d'accéder à l'information sur les

défauts présents dans la machine. La surveillance de ces paramètres va permettre la détection et la

localisation des défaillances.

Afin d’aboutir à cet objectif et de bien cerner ses particularités, le travail présenté dans ce manuscrit est

divisé en 03 chapitres et répartis comme suit :


III

Dans le premier chapitre, nous situons les éléments de construction de la machine à cage d’écureuil, les

différents défauts qui se manifestent souvent dans cette machine ainsi que leurs causes.

Le second est consacré, après une étude préliminaire de la technique des ondelettes et ses différentes

applications, à son exploitation pour la détection et la localisation des cassures de barres et portions

d’anneaux dans la machine asynchrone à cage d’écureuil.

Après avoir réalisé une étude théorique sur les méthodes d'estimation paramétrique à erreur de sortie

avec information a priori, nous verrons comment définir une stratégie générale de supervision des

procédés industriels, ainsi une comparaison entre les deux méthodes de diagnostique sera détaillé dans

le chapitre trois.

La mémoire s’achève par des générales conclusions et perspectives, trois annexes et une assez riche

bibliographie.

CHAPITRE I

Présentation des différents défauts de la

MAS à cage d’écureuil

Chapitre I Présentation des différents défauts de la MAS à cage d’écureuil

1

I.1 Introduction :

La croissance utilisation de la machine asynchrone à cage d’écureuil, essentiellement due à sa

simplicité de construction, son faible coût d'achat et de fabrication, sa robustesse mécanique ou

encore sa quasi-absence d'entretien, est telle que nous la trouvons maintenant dans tous les

domaines industriels et en particulier dans les secteurs de pointe comme l'aéronautique, le

nucléaire, la chimie ou encore le transport ferroviaire. Il est évident que ces moteurs conduisent à

porter une attention de plus en plus sérieuse quant à leur fonctionnement et leur disponibilité.

L'apparition d'un défaut conduit le plus souvent à un arrêt irrémédiable de la machine asynchrone

entraînant, en conséquence, un coût de réparation non négligeable pour l'entreprise sans oublier

les pertes de production occasionnées.

Dans les secteurs nucléaire il est indispensable d'assurer la sécurité des personnes, du matériel et

de l’environnement, car aucun système, qu'il soit simple ou complexe, n'est à l'abri d'un

dysfonctionnement. [BOU08a].

Dans ce premier chapitre, on va présenter :

Les éléments de constitution d’une machine asynchrone

Un aperçu sur les différents défauts pouvant survenir dans la machine asynchrone à cage

d’écureuil et leurs causes.

Les différentes méthodes de diagnostic d’une machine asynchrone.

I.2 Eléments de constitution de la machine asynchrone :

La connaissance des éléments de constitution des machines asynchrones permet de comprendre

de quelle façon le système est réalisé physiquement. Les machines asynchrones triphasées

peuvent se décomposer, du point de vue mécanique, en trois parties distinctes :

le stator, partie fixe de la machine où est connectée l’alimentation électrique;

le rotor, partie tournante qui permet de mettre en rotation la charge mécanique ;

les paliers, partie mécanique qui permet la mise en rotation de l’arbre moteur.


2

Figure I.1. Eléments de constitution d'une MAS à cage d’écureuil [ALL09]

I.2.1 Stator :

Le stator de la machine asynchrone schématisée dans la Figure.I.2 est constitué de tôles d'acier

dans lesquelles sont placés les bobinages statoriques. Ces tôles sont, pour les petites machines,

découpées en une seule pièce alors qu'elles sont, pour les machines de puissance plus importante,

découpées par sections. Elles sont habituellement recouvertes de vernis pour limiter l'effet des

courants de Foucault. Au final, elles sont assemblées les unes aux autres à l'aide de boulons ou

de soudures pour former le circuit magnétique statorique.

Tôles +cage rotorique Barre inclinée Boite à Bornes

Tôles statoriques

Tête de bobine

statorique

Roulement à

billes

Arbre

Anneaux de court

circuit

Carter de fonte avec

ailettes de refroidissement

Ventilateur de

refroidissement


3

Une fois cette étape d'assemblage terminée, les enroulements statoriques sont placés dans les

encoches prévues à cet effet. Ces enroulements peuvent être insérés de manières imbriquées,

ondulées ou encore concentriques. L'enroulement concentrique est très souvent utilisé lorsque le

bobinage de la machine asynchrone est effectué mécaniquement. Pour les grosses machines, les

enroulements sont faits de méplats de cuivre de différentes sections insérés directement dans les

encoches. L'isolation entre les enroulements électriques et les tôles d'acier s'effectue à l'aide de

matériaux isolants qui peuvent être de différents types suivant l'utilisation de la machine

asynchrone.

Le stator d'une machine asynchrone est aussi pourvu d'une boîte à bornes à laquelle est reliée

l'alimentation électrique. Nous représentons sur la figure I.1 les différentes parties de constitution

du stator d'une machine asynchrone. Nous pouvons visualiser la présence d'ailettes de ventilation

assurant le refroidissement de la machine lorsque celle-ci fonctionne en charge. [BOU08a].

Figure I.2 Stator

I.2.2 Rotor:

Tout comme le stator, le circuit magnétique rotorique est constitué de tôles d'acier qui sont, en

général, de même origine que celles utilisées pour la construction du stator. Les rotors des

machines asynchrones peuvent être de deux types : bobinés ou à cage d'écureuil.


4

Les rotors bobinés sont construits de la même manière que le bobinage statorique (insertion des

enroulements dans les encoches rotoriques). Les phases rotoriques sont alors disponibles grâce à

un système de bagues-balais positionné sur l'arbre de la machine. En ce qui concerne les rotors à

cage d'écureuil, les enroulements sont constitués de barres de cuivre pour les gros moteurs ou

d'aluminium pour les petits. Ces barres sont court-circuitées à chaque extrémité par deux anneaux

dit "de court-circuit", eux aussi fabriqués en cuivre ou en aluminium [BOU08a].

Figure I.3. Rotor à cage d’écureuil [BOU08a].

Il existe différentes structures de rotor à cage qui dépend principalement de la taille du moteur et

de l'application qu'il en sera fait.

Nous donnons une photographie (Figure.I.3) de l’arbre sur lequel les tôles sont empilées, les deux

anneaux de court-circuit ainsi que les barres d'aluminium formant la cage d'écureuil.

Souvent, ces barres sont uniformément inclinées pour limiter les harmoniques (biais d’encoches

au rotor) et ainsi diminuer très fortement le bruit lors de l'accélération de la machine asynchrone.

L'isolation des barres avec les tôles magnétiques n'est en général pas nécessaire du fait de la

faible tension induite aux bornes de chacune d'entre elles. De plus, la résistivité de l'alliage utilisé

pour la construction de cette cage est suffisamment faible pour que les courants ne circulent pas à

travers les tôles magnétiques, sauf lorsque la cage rotorique présente une rupture de barre. Le


5

rotor de la machine asynchrone est aussi pourvu d'ailettes de ventilation pour permettre un

refroidissement de la cage le plus efficace possible comme le montre la figure I.1 [BOU08a].

I.2.3 Paliers :

Les paliers, qui permettent de supporter et de mettre en rotation l'arbre rotorique, sont constitués

de flasques et de roulements à billes insérés à chaud sur l'arbre. Les flasques, moulés en fonte,

sont fixés sur le carter statorique grâce à des boulons ou des tiges de serrage comme nous

pouvons le visualiser sur la figure I.1 [BOU08a].

Figure I.4.PALIERS [ALL09]

I.3 Défaillances de la machine asynchrone :

La machine asynchrone est considérée comme robuste et également défaillante dans le cas de son

emploi de langue durée et dans des conditions dures. Il est important que les mesures soient

prises pour diagnostiquer l'état de la machine au fur et à mesure qu'elle entre dans le mode de

défauts. Il est donc nécessaire de faire un contrôle continu, en ligne ou hors ligne, de l’état de la

machine. Les raisons derrières les défauts dans les machines électriques ont leur origine dans la

conception, la tolérance de fabrication, l'installation, l'environnement de fonctionnement, la

nature de la charge et le programme de la maintenance. [BEL06].

Le moteur asynchrone, comme n'importe quelle autre machine électrique tournante, est soumis

aux forces électromagnétiques et mécaniques. La conception du moteur est telle que l'interaction

entre ces forces dans des conditions normales mène à un fonctionnement stable avec un bruit et


6

des vibrations minimums. Quand le défaut a lieu, l'équilibre entre ces forces est perdu,

aboutissant à un autre perfectionnement du défaut. Les défauts du moteur asynchrone peuvent

être classés par catégorie dans deux types : mécaniques et électriques.

Les sources des défauts du moteur peuvent être internes, externes ou dues à l'environnement,

comme présenté à la figure I.5. Les défauts internes peuvent être classifiés selon leurs origines

c’est à dire électriques et mécaniques. Habituellement, d'autres types de défauts de roulement et

de refroidissement se rapportent aux défauts du rotor parce qu'ils appartiennent aux pièces

mobiles. La Figure I.6 présente l'arbre de défaut de la machine asynchrone où les défauts sont

classifiés selon leur emplacement : rotor et stator [BEL06].

Figure I.5. Sources des défauts de la machine asynchrone à cage [BOU08a].


7

Figure I.6.Principaux défauts de la machine asynchrone et leurs causes [BOU08a].

D'après les deux organigrammes ci-dessus, on peut classer les défauts majeurs qui peuvent

apparaître dans la machine asynchrone à cage d'écureuil en deux catégories.

I.3.1 Défaillances d'ordre mécanique :


8

Les défaillances d'ordre mécanique sont, en général, les plus souvent rencontrées parmi tous les

défauts que compte la machine asynchrone. Ces défauts peuvent apparaître au niveau des

roulements à billes, des flasques ou encore de l'arbre moteur. On énumérera par la suite certains

de ces défauts. [BEL06].

I.3.1.1 Défaillances des roulements :

Les roulements à billes jouent un rôle très important dans le fonctionnement de tout type de

machines électriques. Les défauts de roulements peuvent être causés par un mauvais choix de

matériau à l'étape de fabrication. Les problèmes de rotation au sein de la culasse du roulement,

causés par un roulement abîmé, écaillé ou fissuré, peuvent créer des perturbations dans la

machine. Nous savons que des courants électriques circulent au niveau des roulements d'une

machine asynchrone ce qui, pour des vitesses importantes, peut provoquer la détérioration de ces

derniers. L’huile de graissage, qui permet la lubrification et la bonne rotation des roulements

peut, dans certaines applications, se rigidifier et causer une résistance à la rotation. L'analyse

vibratoire de la machine ou l'analyse harmonique des courants statoriques permet de détecter ce

type de défaillances [BEL06].

a b

c d

Figure I.7 :Types de défauts dans les roulements à billes [BOU08a].

En présente dans la figure I.8 le dimensionnement d’un roulement à billes


9

Figure I.8 Dimensions d’un roulement à billes [BEL06].

La relation entre les vibrations des roulements et les spectres du courant statorique peut être

déterminée en rappelant que n'importe quelle excentricité de l'entrefer produit des anomalies dans

la densité du flux d'entrefer. Puisque les roulements à billes supportent le rotor, n'importe quel

défaut de roulement produira un mouvement radial entre le rotor et le stator de la machine. Le

déplacement mécanique résultant des roulements endommagés fait changer la hauteur de fuite de

la machine de telle sorte qu’elle peut être décrite par une combinaison des excentricités

tournantes déménageant dans les deux directions.

(I.1)

Où m=1,2,…, et fi est l'une des fréquences de vibration caractéristiques correspondant aux

dimensions du roulement.

(I.2)

f f mfroul s i

1 cos2

i r

n DBf f

PD


10

Où n est le nombre de billes, fr est la fréquence de rotation rotorique.

Les études statiques montrent que presque 40 à 50% de défauts de la machine asynchrone à cage

d’écureuil sont d’origine mécanique. D’une part, Les défauts de roulement pourraient se

manifester souvent et produisent des défauts qui apparaissent sous la forme d’une asymétrie du

rotor, et sont classés dans la catégorie des défauts d’excentricité.

D’autre part, la naissance d’un défaut au niveau des roulements dépend aussi de la partie

défectueuse, soit dans la partie intérieure ou dans la partie extérieure. Les relations représentent

les fréquences générées par les différents défauts des roulements à billes, sont exprimées par :

Pour un défaut dans la course externe du roulement :

(I.3)

Pour un défaut dans la course interne du roulement :

(I.4)

Pour un défaut dans les billes :

(I.5)

Pour un défaut dans la course :

(I.6)

I.3.1.2 Défaillances des flasques :

Les défauts créés par les flasques de la machine asynchrone sont le plus généralement causés à

l'étape de fabrication. En effet, un mauvais positionnement des flasques provoque un

désalignement des roulements à billes, ce qui induit une excentricité au niveau de l'arbre de la

machine. Il est possible de détecter ce type de défaillance par une analyse vibratoire ou une

analyse harmonique des courants absorbés par la machine. [BOU08a].

1 2 1 cosrf N f DB PD

1 2 1 cosrf N f DB PD

2

1 1 cosrf DBf PD DB PD

1 2 1 cosr rf f f DB PD


11

I.3.1.3 Défaillances de l'arbre :

L'arbre de la machine peut laisser apparaître une fissure due à l'utilisation d'un mauvais matériau

lors de sa construction. A court ou long terme, cette fissure peut mener à une fracture nette de

l'arbre provoquant ainsi un arrêt immédiat de la machine asynchrone. Les milieux corrosifs

peuvent aussi affaiblir la robustesse de l'arbre de la machine. Par exemple, l'humidité peut

provoquer des microfissures et conduire à une destruction complète de la machine.

Une excentricité statique, dynamique ou mixte peut induire des efforts considérables sur l'arbre

moteur, amenant ainsi à une fatigue supplémentaire. Une analyse vibratoire, une analyse par

ultrason, une analyse fréquentielle des courants absorbés ou simplement une analyse visuelle de

l'arbre de la machine permet de détecter ce type de défaillance [BOU08a].

I.3.1.4 Défauts d’excentricité :

Ceux-ci provoquent la variation de l'entrefer dans le moteur, la répartition non homogène des

courants dans le rotor et le déséquilibre des courants statoriques. Le déséquilibre des efforts sur

les barres génère un couple global non constant. Quand l’excentricité devient grande, les forces

radiales résultantes crées par le stator avec la bande du frottement du rotor provoquent des

dommages du stator et du rotor.

La géométrie du rotor peut présenter des dissymétries d’ordre naturel. Celles-ci relèvent de trois

catégories d’excentricité de l’entrefer (Figures : I.9 et I.10) à savoir :

L’excentricité statique : lorsque l’axe du stator coïncide avec l’axe de rotation et non

avec l’axe du rotor.

L‘excentricité dynamique : lorsque l’axe de rotation du rotor ne coïncide pas avec l’axe

de symétrie du stator.

L’excentricité mixte : lorsque l’axe de rotation du rotor ne coïncide pas avec les axes de

symétrie du rotor et du stator.


12

Figure I.9 : Différents types de la dissymétrie de l’entrefer

[BOU08a].

Tel que : 1R : Rayon interne statorique, 2R : Rayon externe rotorique , : distance entre le centre

de rotation et le centre du stator

a) excentricité statique b) excentricité dynamique

c) excentricité mixte

Figure I.10 Représentation de l’excentricité statique, dynamique et mixte [BEL06]


13

I.3.2 Défaillances d'ordre électriques :

Les défaillances d'origine électrique peuvent, dans certains cas, causer l’arrêt définitif de la

machine (au même titre que les défaillances d'ordre mécanique). Ces défaillances sont classées en

deux catégories bien distinctes. On peut citer les défaillances qui apparaissent au niveau des

circuits électriques statoriques et celles qui apparaissent au niveau des circuits électriques

rotoriques [BOU08a].

I.3.2.1 Défaillances des circuits électriques statoriques :

L'apparition d'un défaut au niveau des circuits électriques statoriques de la machine asynchrone

peut avoir des origines diverses. Nous pouvons citer, par exemple, les défauts de type court-

circuit inter-spires qui apparaissent à l'intérieur des encoches statoriques. Ce type de défaut peut

être causé par une dégradation des isolants des spires du bobinage statorique.

On trouve également les court-circuits qui apparaissent entre une phase et le neutre, entre une

phase et la carcasse métallique de la machine ou encore entre deux phases statoriques. Ces

défauts ont le plus souvent, une origine mécanique. En effet, des vibrations excessives peuvent

mener à un desserrement des boulons de la plaque à bornes de la machine créant ainsi le court-

circuit. Une cosse mal serrée à la jonction du câble d'alimentation et des bornes de la machine

peut être à l'origine d'une ouverture de phase. Le défaut le plus couramment rencontré reste

encore la fusion d'un fusible de protection. Ces défauts peuvent être détectés par une analyse

harmonique des courants absorbés par la machine. [BOU08a].

I.3.2.2. Défaillances des circuits électriques rotoriques :

Deux types de défaillances peuvent apparaître au rotor d'une machine asynchrone à cage

d'écureuil. La cage étant composée de barres et d'anneaux de court-circuit d'aluminium ou de

cuivre, une rupture partielle ou totale d'un de ces composants peut être considérée comme un

défaut électrique rotorique. L'apparition de ce type de défaut peut être d'origine diverse. En effet,

la rupture d'une barre ou d'un segment d'anneau de court-circuit peut être due à plusieurs

phénomènes qui sont souvent indépendants les uns des autres. On peut citer par exemple une


14

mauvaise utilisation de la machine asynchrone (charge trop importante) ou encore

l'environnement hostile dans lequel elle fonctionne.

Une défaillance au niveau de la cage rotorique se situe généralement à la jointure entre une barre

et un anneau de court-circuit. En effet, les barres rotoriques et les anneaux de court-circuit ne

pouvant pas être construits d'un seul bloc (sauf pour les machines de petite puissance), une

soudure est pratiquée aux extrémités de chaque barre pour relier ces dernières aux deux anneaux

de court-circuit. La fragilité de ces soudures, par rapport aux barres et aux anneaux fabriqués d'un

seul bloc, provoque, à ces endroits précis, une fragilité de la cage d'écureuil [BOU08a].

Figure I.11 : Rotor à cage d'écureuil [BOU08a].

Figure I.12 Rupture d'une barre et d’un anneau de court circuit [BOU08a].


15

La détérioration des barres réduit la valeur moyenne du couple électromagnétique et augmente

l'amplitude des oscillations. L'effet de la cassure de barres croît rapidement avec le nombre de

barres cassées. La grande amplitude des oscillations accélère la détérioration de la machine et des

composants de la chaîne de traction. La rupture de barres provoque un déséquilibre du courant

entre les barres du rotor. En effet ce déséquilibre apparaît sous forme des fréquences qui

s'ajoutent au courant statorique de la machine, et l'analyse fréquentielle de la signature de la

machine montre une apparition des composantes, autour du composant fondamental

correspondantes aux fréquences:

(1 2 ) , 1,2,....., sf kg f k n n N (I.7)

Les portions d'anneaux de court-circuit véhiculent des courants plus importants que ceux des

barres rotoriques. De ce fait, un mauvais dimensionnement des anneaux, une détérioration des

conditions de fonctionnement (température, humidité,...) ou une surcharge de couple et donc de

courants peut entraîner leur cassure. Ce défaut est généralement regroupé avec celui de la cassure

de barres dans les études qui se font à partir du stator [BEL06].

I.4.Méthodes de diagnostic :

Le raisonnement et la connaissance sont deux éléments clés dans la solution d’un problème. Le

diagnostic est au niveau conceptuel une distribution systématique des symptômes en diverses

catégories de défauts. Par rapport à la connaissance et au raisonnement deux grandes classes des

méthodes de diagnostic existent :

les méthodes internes et externes.

les méthodes inductives et déductives

I.4.1 Méthodes externes :

Les méthodes externes de diagnostic supposent qu’aucun modèle n’est disponible pour décrire les

relations de cause à effet. La seule connaissance repose sur l’expertise humaine acquise par

apprentissage, ces méthodes se basent sur l’analyse des signaux que fournit à la machine lors de

son fonctionnement, les signaux utilisables qui peuvent être :

Flux d’entrefer, puissance instantanée, courant statorique et vibration acoustique. [BEL06].


16

I.4.2 Méthodes internes :

La connaissance du modèle permet de décrire les relations de cause à effet, ces méthodes

requirent une connaissance approfondie du fonctionnement sous la forme de modèle

mathématique, ces méthodes utilisent un modèle pour reproduire le comportement du système.

On distingue ces méthodes suivant le modèle utilisé. [BEL06].

Modèle de simulation : les modèles analytiques utilisés dans ce mode sont représentés

par des équations d’état ou des fonctions de transfert.

Observateur (estimateur) ce modèle est décrit sous une représentation de variable d’état.

Estimation paramétrique : c’est la détermination des vecteurs des paramètres qui

gouvernent le comportement dynamique du système.

Modélisation des signaux : dans cette méthode, le contenu spectral, l’évolution

temporelle des variables mesurées sont exploitées pour détecter et localiser les défauts,

l’analyse spectrale est très utilisé pour détecter des défaillances dans les machines

électriques.

I.4.3 Méthodes inductives :

Elles correspondent à une approche montante ou recherche en avant, il s’agit de trouver le défaut

à partir de ses effets sur le système, ces méthodes utilisent un mécanisme de raisonnement en

avant qui a pour objectif d’interpréter les symptômes ainsi que leur combinaison afin de trouver

le défaut. [BEL06].

I.4.4 Méthodes déductives :

Le raisonnement en arrière est la principale caractéristique de ces méthodes, la méthode

déductive doit trouver quels sont les effets dans le système

Une vérification des effets trouvés par rapport aux effets possibles permet de confirmer

l’existence d’un défaut.

Le diagnostic peut utiliser soit un seul type de raisonnement (avant ou arrière) soit une

combinaison de raisonnements (avant et arrière) dans ce dernier cas le raisonnement est appelé

mixte ou avant arrière [BEL06].

Dans notre travail on s’intéresse à deux méthodes


17

Méthode d’ondelettes

Méthodes Bayésiennes.

I.5 Modèle de la machine asynchrone à cage :

La modélisation et la simulation des machines constituent une étape primordiale en matière

de diagnostic. Elles permettent la compréhension du fonctionnement défectueux, la

vérification sur prototype virtuel de l’efficacité des algorithmes de détection de défaut et elles

apportent également la possibilité de construire des bases de données sur les manifestations

électriques et magnétiques de ces défauts. Parmi les approches de modélisations existantes,

on cite :

I.5.1 Approche analytique :

Les modélisations analytiques reposent sur le concept d’inductance, notion qui est caractérisé par

une relation linéaire entre le flux et le courant Cette approche globale des phénomènes

électromagnétiques permet d’établir un schéma électrique équivalent de la machine, la théorie des

circuits permet de trouver les équations différentielles caractérisant le fonctionnement de la

machine [ABE99].

I.5.2 Approche numérique :

On cite deux méthodes :

Méthode des réseaux de perméance : Elle consiste à découper la machine en

plusieurs tubes du flux caractérisés par des perméances. Le mouvement de la machine est

pris en compte par l’intermédiaire de la perméance d’entrefer variable selon la position du

rotor. Cette méthode tient en compte aussi de la saturation [BEL06].

La méthode des éléments finis : Il s’agit de découper la machine en éléments de

tailles suffisamment petites, pour que le matériau magnétique puisse être considéré comme

linéaire sur les surfaces correspondantes, et à partir des équations de MAXWELL, il est

possible d’exprimer le problème à résoudre. La méthode des éléments finis permet de

reproduire fidèlement le comportement électromagnétique de la machine, et de simuler les


18

défauts d’une manière plus proche de la réalité. Cependant, les moyens et le temps de calcul

freinent l’utilisation de telles méthodes en simulation des algorithmes de détection des défauts

[BEL06].

I.6 Signatures spectrales des défauts dans le spectre du courant statorique

(MCSA) :

I.6.1 Défauts statoriques :

Les défauts statoriques regroupent principalement les défauts de court-circuit d’une phase à la

terre, court-circuit entre phases, ou court-circuit entre spires. Ils commencent généralement par

un court-circuit entre spires, avant d’évoluer vers des défauts plus graves.

Une des principales causes de ces défauts est la dégradation de l’isolation qui peut être une

dégradation fonctionnelle (liée à la durée de vie de l’enroulement) ou bien due aux conditions

d’exploitation et aux contraintes mécaniques, thermiques, électriques et environnementales. Ce

type de défauts entraîne l’apparition d’une série d’harmoniques dans le spectre du flux axial

donnée par [ALL09] :

(1 )cs s

nf f g k

p

(I.8)

Avec : n=1, 2, 3, … et k=1, 3, 5, …

I.6.2 Défauts rotoriques :

Le courant statorique en régime permanent donne des indications sur les défaillances

rotoriques telles que les ruptures de barres, d'anneaux de court-circuit ou l'excentricité d’entrefer,

rupture d’une phase, court-circuit entre spires du stator… [ALL09].

I.7 Conclusion :

Dans ce chapitre nous avons rappelé les éléments constructifs de la machine asynchrone à cage

d’écureuil et nous avons également décrit la majorité des défauts qui peuvent apparaître ainsi que

leurs influences sur le comportement de la machine. La connaissance des éléments de


19

construction de la machine asynchrone à cage permet d’implanter le modèle de la simulation

(voir Annexe A) qui permet de donner une image approximative de l’état de la machine lors de

ses régimes de fonctionnement.

Dans le chapitre deux on expose la théorie des ondelettes et de ses applications particulièrement

pour la détection et localisation de la cassure de barres et portion d’anneau dans le rotor à cage de

la machine asynchrone.

CHAPITRE II

Théorie des ondelettes et leurs applications

Chapitre II Théorie des ondelettes et leurs applications

20

II.1 Introduction :

Les transformations linéaires ont toujours joué un très grand rôle dans le traitement du

signal, parmi elles, la plus anciennement étudiée est la transformation de Fourier (1822).

Cette transformation permet d'explorer la composition fréquentielle du signal. Très tôt dans

l'histoire du traitement du signal, il s'est avéré que la décomposition obtenue par Fourier

n'était pas toujours la plus satisfaisante [PER05]. Aux années 1940, Gabor découvrait la

première forme de la représentation temps-fréquence. Sa technique consiste à découper le

signal en différentes plages de longueur fixe ou fenêtre. Chaque segment du signal limité

par une fenêtre est étudié séparément des autres par l’analyse de Fourier. L’ensemble de ces

transformées localisées forme la transformée de Gabor du signal. L’inconvénient majeur de

ce procédé est que la longueur de la fenêtre étant fixée, il n’est pas possible d’analyser

simultanément des phénomènes dont les échelles de temps sont différentes. Une autre

technique d’analyse qui ne privilégie aucune échelle particulière mais qui généralise à

toutes les échelles l’analyse locale des fréquences obtenues par la méthode de Gabor

devient plus que nécessaire. En 1982, J.Morlet ouvre la voie conduisant à la solution en

construisant l’analyse en ondelettes, fondée sur un concept quelque peu différent de celui

de fréquence: le concept d’échelle. Cette procédure développée par Stéphane Mallat et

systématisée par Ingrid Daubechies, porte le nom de multi-résolution et suggère une

interprétation différente de l’analyse par ondelettes. Les ondelettes constituent donc un outil

parmi les plus récents du traitement du signal et qui datent de quelques décennies

seulement. Elles nous permettent d'effectuer une analyse robuste et mènent à de multitudes

applications. Contrairement à la transformée de Fourier à court terme, la transformée en

ondelettes fait appel à la notion de temps-échelle impliquant des fenêtres d'analyse de

longueurs dynamiques [AYA07].

L’objectif de ce chapitre est double. Présenter la théorie d’ondelettes en première étape et

en deuxième étape appliquer leur transformée pour la détection des défauts dans une

machine asynchrone à cage d’écureuil.

II.2.De l’analyse de Fourier à l’analyse par ondelettes :

Pour expliquer ce qu'est le traitement et l'analyse du signal par ondelettes, nous allons faire

une petite digression vers l'analyse de Fourier afin de mieux faire comprendre d'où émerge

ce concept.


21

Lorsqu’on observe un signal ( )f t au cours du temps, on est en mesure de connaître son

début et sa fin et de constater ses éventuelles variations qualitativement .Cependant, il est

moins évident de se faire une idée de ses périodicités (ses fréquences). D'où l'utilisation de

la transformée de Fourier afin de décomposer le signal en une fréquence fondamentale

accompagné de ses harmoniques (les spectres).Chaque fréquence correspond à une fonction

sinusoïdale. [PER05]. Donc l’analyse de Fourier est une analyse en fréquence d’un

signal temporelle f t .

La figure II.1 explique le concept de la transformée de Fourier

Figure II.1 Représentation temporelle vers fréquentielle [MIS10].

Si la fonction f est périodique de période T, sa transformée de Fourier est :

2

0

1

T ni t

TnC f f t e dt

T

(II.1)

Ou, si f appartient à 1L R :

^

2 i vtf v f t e dt

(II.2)

^

f v Donne le contenu fréquentiel de f pour la fréquence n

T ou v

II.2.1 Exemple d’application de la transformée de Fourier FT :

II.2.1.1 Signal stationnaire:

Dans notre exemple schématisé par la figure II.2 on a appliqué la transformée de Fourier

d’un signal stationnaire composé d’une somme de deux sinusoïdes de déférents fréquences


22

et de déférents amplitudes (partie gauche) et le même signal de même amplitude (partie

droite).

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-4

-2

0

2

4Sum of sin

Time[s]

Magnitude

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

50

100

150

200Frequentiel representation

Frequency[hz]

Magnitude

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-2

-1

0

1

2Sum of sin

Time[s]

Magnitude

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

50

100


Frequency[hz]

Magnitude

Figure II.2. Représentation temporelle et fréquentielle ‘somme de deux

sinusoïdes’ 1 1 2F x x

II.2.1.2 Signal non stationnaire:

Dans le deuxième exemple on passe à un signal non stationnaire (succession de deux

sinusoïdes) de déférente amplitude (à gauche) et de même amplitude (à droite).

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-2

-1

0

1

2Succession of sin

Time[s]

Magnitude

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

50


Frequency[hz]

Magnitude

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1

-0.5

0

0.5

1Succession of sin

Time[s]

Magnitude

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

20

40


Frequency[hz]

Magnitude

Figure.II.3 Représentation temporelle et fréquentielle ‘succession de deux

sinusoïdes’ 1 1 2F x x


23

D’après les deux exemples précédents, on remarque que la transformée de Fourier nous

donne une bonne connaissance combien de fréquences existe mais sans aucune information

où ses fréquences sont localisés dans le temps. Donc l’analyse est global, d’où la difficulté

d'obtenir une information localisée dans le temps. Donc on ne peut pas étudier des signaux

dont la fréquence varie au cours du temps. (Les signaux non stationnaires). L'idée suivante

consiste à représenter notre signal en fonction du temps et de fréquence. On a donc une

description directe et une description fréquentielle. On passe alors à la transformée de

Fourier à fenêtre glissante STFT

II.2.2 Transformée de Fourier à fenêtre glissante STFT :

Pour réaliser une analyse spectrale locale d’un signal f t autour d’un instant arbitraire

0t , il faudrait calculer une transformée de Fourier (TF) du voisinage immédiat de ce point

l’intégrale de Fourier nécessitant un temps d’intégration infini, cela suppose que l’aspect

local soit introduit on n’observant le signal que dans un certain intervalle T proche

de 0t ,dans lequel on le considère comme stationnaire. Les fonctions sinusoïdales qui servent

à décomposer le signal dépendent à la fois du temps et de la fréquence. L'un des premiers à

avoir appliqué ce principe aux transformées de Fourier est le physicien Dennis Gabor en

1940. On parle alors de transformées de Fourier à fenêtre glissante [TEC 09].

L'idée de base consiste à découper le signal en plages temporelles finies. On réalise sur

chaque plage, une analyse de Fourier. Cette analyse est donc dépendante de la localisation

de la plage, la figure II.4 donne un aperçue sur ce concept [PER05].

Figure II.4 Représentation temporelle vers STFT [MIS10].


24

II.2.2.1.Exemple d’application de la transformée de Fourier à fenêtre

glissante STFT :

On peut donner l’algorithme de la transformée de Fourier à fenêtre glissante comme suit

[POL94]:

1. Choisir la fonction fenêtre en un temps fini

2. Placer la fenêtre dans l’axe du signal à 0t

3. Tronquer le signal en utilisant la fenêtre

4. Calculer la TF dans la partie tronqué du signal et l’enregistrer

5. Dilater la fenêtre vers la droite

6. Revenir à l’étape 3

La multiplication du signal f t par une fenêtre glissante 0h t t et le calcul de la

transformée de Fourier de ce produit est donné par la relation mathématique suivante:

2

0 0, i vt

fG v t f t h t t e dt

(II.3)

Où, 0t est le temps, v est la fréquence.

Dorénavant, chaque TF fournit les renseignements spectraux d'une tranche de temps

séparée du signal, en fournissant l’information temporelle et fréquentielle simultanément

l’exemple suivant schématisé dans la Figure (II.5) et (II.6) donne la STFT du signal non

stationnaire précédent pour différentes tailles de fenêtre.


25

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1

-0.5

0

0.5

1

Time[s]

Mag

nitu

de

Sum of sin

020

4060

80

010203040

50

0

5

10

Time[s]

STFT

Frequency

Mag

nitu

de

Figure II.5 Représentation temporelle et leur STFT avec taille de fenêtre0.05

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1

-0.5

0

0.5

1

Time[s]

Magnitude

Sum of sin

0 100 200 300 400 500 600 700 800

01020304050

0

0.5

1

1.5

Time[s]

STFT

Frequency

Magnitude

Figure II.6 Représentation temporelle et leur STFT avec taille de fenêtre

0.005 ‘Succession de deux sinusoïdes’

Le principal inconvénient de cette technique est que la longueur de la plage (l'échelle) est

fixe. Cela peut s'avérer très embarrassant si on fait l'analyse de signaux qui correspondent à

des phénomènes avec des échelles de temps très différents.


26

II.2.2.2 Limitations de la TF à fenêtre glissante :

II.2.2.2.1 Principe d’incertitude :

La localisation d’un signal en temps et en fréquence ne peut se faire sur des supports

infiniment réduits. En particulier, plus on accroît la précision en fréquence de l’analyse,

plus on perd la localisation temporelle, et donc de précision en temps, et réciproquement. Il

existe une relation de principe d’incertitude, vient de la mécanique quantique, mais il joue

un très grand rôle dans le traitement du signal. Il stipule que l’on ne Peut localiser aussi

précisément que l’on veut en temps et en fréquence un signal. Mathématiquement on écrit

que la moyenne des fluctuations en temps et en fréquence est bornée inférieurement :

. 1 4t v (II.4)

On peut illustrer cette formule par une fonction particulière appelée gaussienne et qui à la

particularité que sa transformée de Fourier est encore une gaussienne [DEM03] :

Figure II.7 Exemple explicatif du principe d’Heisenberg [DEM03]

En rouge, la gaussienne d’origine, en bleu sa transformée de Fourier. La différence entre

les deux largeurs montre bien le principe:”Au plus on localise en temps, au moins on

localise en fréquence”.On peut montrer que la gaussienne a la particularité que

. 1 4t v

La deuxième figure montre un cosinus et sa transformée. On peut remarquer que la

transformée est localisée très précisément en fréquence, ce qui découle du fait qu’une

sinusoïde est décomposée en une fréquence qui est sa fréquence propre.

Donc les deux résolution temporelle et fréquentielle ne peuvent pas être arbitrairement

grande .On ne peut pas connaît précisément à quel instant dans le temps le spectre

fréquentielle est localisé. On peut seulement connaît dans quel intervalle de temps

l’intervalle des fréquences sont présentée [POL94].


27

L’analyse en ondelettes a pour objectif de rendre compte de ces deux phénomènes

simultanément, en introduisant une fenêtre dont la taille varie avec la fréquence.

II.3 Transformée en ondelettes :

II.3.1 Définition :

L’ondelette est une forme d’onde qui a une duré limitée et avec une valeur moyenne égale à

zéro. La transformation en ondelettes permet d’appliquer une analyse multi-résolution sur

le signal étudié. L’analyse multi-résolution de la transformation en ondelettes équivaut à

une décomposition atomique temps-échelle.Chacun des atomes peut s’interpréter comme

étant une projection locale du signal analysé et est obtenu à partir d’une ondelette t

unique par une translation en temps et une dilatation. Partant d’une fonction bien localisée,

dans le plan temps-échelle [BOU08a].

Figure II.8 Représentation temporelle vers ondelettes [MIS10]

La transformée en ondelettes d’un signal f est la famille ( , )C s u coefficients d’ondelettes

qui dépend des deux paramètres s et u où s est l’échelle et u est le facteur de position à

analyser Suivant les besoins de l’analyse du signal f les paramètres ( , )s u peuvent être

utilisés de façon continue (TOC) ou discrète (TOD). La transformée continue d’ondelettes

exigeant une continuité des valeurs des paramètres ( , )s u est plutôt utilisée dans l’analyse de

l’allure du signal (approximation) tandis que la transformée discrète d’ondelettes basée

beaucoup plus sur l’utilisation de la complémentarité des deux filtres, passe-haut et passe


28

bas, va servir à l’extraction d’informations caractérisant les transitions rapides du signal

(détails).

III.3.1.1. Exemple de l'ondelette de Morlet (Complexe) :

Soit la formule mathématique de l’ondelette Morlet suivante :

2 10x i xx e e (II.5)

Par la dilatation et la translation dans le temps, on trouve la fonction d'ondelette dilatée et

translatée ,u s t qui est schématisée dans la figure ci-dessous :

2

10

,

1x u x u

is s

u s x e es

(II.6)

0 2 4 6 8 10-1

-0.5

0

0.5

1Temporel Representation

Times[s]

Magnitude

u=2

et s=1

0 2 4 6 8 100

1

2

3x 10

-3 Frequentiel Representation

Frequency

Magnitude

0 2 4 6 8 10-1

-0.5

0

0.5

1

Times[s]

Magnitude

u=2

et s=2

0 2 4 6 8 100

1

2

3

Frequency

Magnitude

0 2 4 6 8 10-1

-0.5

0

0.5

1

Times[s]

Magnitude

u=4

et s=3

0 2 4 6 8 100

0.05

0.1

0.15

0.2

Frequency

Magnitude

Figure II.9 : Evolution de la forme d'une ondelette et de sa transformée de

Fourier (à droite) .

La transformée en ondelettes de la fonction f à l'échelle s et la position u est calculée en

corrélant f avec un atome d’ondelette:

1

, *t u

W f u s f t dtss

(II.7)


29

La transformée en ondelettes a donc une résolution temps-fréquence qui dépend de l'échelle

s sous la condition :

2^

0

C d

(II.8)

C'est une représentation complète, stable et redondante du signal; en particulier, la

transformée en ondelettes est inversible à gauche. La redondance se traduit par l'existence

d'un noyau reproduisant. Comme la transformée de Fourier à fenêtre, une transformée en

ondelettes peut mesurer les variations de temps-fréquence des composants spectraux, mais

il a une différente résolution de temps-fréquence. Une transformée en ondelettes fait

corréler f avec ,u s t on appliquant la formule de Fourier-Parseval sur l’équation (II.7), on

obtient cette dernière écrite comme intégration de fréquence:

^ ^

, ,

1 1, *

2u s u sWf u s f t t dt f dt

s

(II.9)

Le coefficient d'ondelettes ,Wf u s dépend ainsi des valeurs f (t) et ^

f t dans le domaine

temps-fréquence où l'énergie de ,u s t et de ^

,u s est concentrée. Des harmoniques

variables dans le temps sont détectés à partir de la position et l'échelle des coefficients

d'amplitude élevés des ondelettes. En temps, ,u s t est centrée à u avec une distribution

proportionnelle au s que sa transformée de Fourier est calculée à partir de la relation

suivante:

^ ^

,

ju

u s e s s (II.10)

Où ^

est la transformée de Fourier de .pour analyser l'information d'une phase des

signaux, une ondelette analytique complexe est utilisée. Ceci signifie ^

0 pour 0

son énergie est concentrée dans un intervalle positif de fréquence centré à . L'énergie de

^

,u s est donc concentrée dans un intervalle positif de fréquence centré às

, dont la taille

est mesurée par 1/s. Dans le plan temps-fréquence, un atome d’ondelettes ,u s est


30

symboliquement représenté par un rectangle centré à ,us

. La diffusion de temps et de

fréquence est respectivement proportionnelle à s et à 1/s. Quand s change, la longueur et la

largeur du rectangle changent mais sa surface reste toujours constante, comme illustré par

la Figure II.9.

Figure II.10 : Boîtes Temps fréquence des deux ondelettes ,u s et0 0,u s

[BOU08a].

II.3.2 Transformée en ondelettes continue (TOC):

On lui associe la famille d’ondelettes ,u s t générées par des translations et des dilatations

de t cette dernière est dilatée avec un paramètre d'échelle s, et translatée par u:

,

1u s

t ut

ss

(II.11)

L’ondelette t est une fonction de moyenne nulle:

0t dt

(II.12)

Parmi une grande famille des ondelettes, on trouve: Ondelette gaussienne et gaussienne

complexe, Morlet et Complexe de Morlet, chapeau mexicain, Meyer et Meyer avec une


31

fonction auxiliaire et Ondelette complexe de Shannon la figure II.10 suivante donne

quelques formes d’ondelettes usuelles

Chapeau mexicain Morlet

Daubechies Haar

Figure II.11 Quelques formes des ondelettes usuelles [BOU08a].

Les ondelettes sont de forme constante mais de taille variable, proportionnelle au paramètre

de dilatation « s » (variable d’échelle). La transformation en ondelettes est aussi interprétée

comme étant un processus de filtrage du signal analysé par un filtre passe-bande de bande

passante variable ; c’est le paramètre « s » qui fixe la valeur de cette bande. A. Grossmann

et J.Morlet ont démontré que si t est à valeurs réelles, l’ensemble de ces ondelettes

peut être considéré comme étant une base orthonormée. Cela signifie que tout signal

d’énergie peut s’écrire comme une combinaison linéaire d’ondelettes ,u s t et que les

coefficients de cette combinaison d’ondelettes sont les produits scalaires , u sf t t dt ,

f t étant le signal étudié. Ces produits scalaires mesurent, en un certain sens, les

fluctuations du signal f t autour du point « u » à l’échelle « s ».

La transformée continue par ondelette est définie donc par le calcul des coefficients :

1

,t u

C u s f t dtss

(II.13)


32

Le paramètre s est un facteur d’échelle, inversement proportionnel à la fréquence. La

représentation temps-échelle n’est pas une limitation de la transformation en ondelettes,

mais elle est une autre manière d’aborder l’analyse du signal par un regroupement

d’information fréquentielles et temporelles. Il est à noter que la durée de l’ondelette est

directement proportionnelle au paramètre d’échelle s. Dans sa formulation, la transformée

en ondelettes peut s’interpréter comme une analyse à banc de filtres à surtension constante.

Dans un tel banc, chacun des filtres (passe-bande) peut se déduire d’un gabarit unique par

une dilatation ou compression en fréquence.

II.3.3 Application de la transformée d’ondelette continue:

II.3.3.1 En utilisant notre code MATLAB :

Dans cette partie en va utilisée comme exemple un signal bruit chargée à partir de Matlab la

figure suivante donne deux cas différentes de la transformée d’ondelette continue

correspond au changement d’échelle


33

Figure II.12 Signal bruit et sa transformée d’ondelettes continue

Cette figure donne bien une image claire sur quoi se passé avec le signal et mettre clair les

périodicités.

II.3.4 Transformée en ondelettes discrète (TOD):

La transformée en ondelettes discrète est issue de la version continue, à la différence de

cette dernière, La TOD utilise un facteur d’échelle et une translation discrétisée. On appelle

transformée en ondelettes discrète dyadique toute base d’ondelettes travaillant avec un

facteur d’échelle 2iu .Il est clair que la transformée en ondelettes discrète est pratique en

implémentation sur tout système numérique (PC, DSP, CARTE à µP…).

Il est à noter que la transformée en ondelette continue TOC est aussi implantable sur les

systèmes digitaux avec un lourd calcul provenant de la nature continue du facteur d’échelle

et de la dilatation (toutes les valeurs sont possibles). L’analyse en multi-résolution permet

d’analyser un signal en différentes bandes de fréquences, ce qui permet une vue de la plus

fine à la plus grossière. Soit la fonction échelle. Elle doit être dans 2L et ayant une

moyenne non nulle.

On forme une base de fonctions d’échelle pour tout i Z comme suit :

2, 2 2

ii

i j t t j (II.14)

Et de la même manière la base d’ondelette :

2, 2 2

ii

i j t t j (II.15)


34

Le facteur d’échelle dyadique mène à :

2 2j

t h j t j (II.16)

2 2j

t g j t j (II.17)

Les équations (II.16) et (II.17) représentent la décomposition de la fonction échelle et de

l’ondelette en combinaisons linéaires de la fonction échelle à la résolution haute

directement.

On note que h (j) et g (j) sont les filtres passe bas et passe haut respectivement lors d’une

décomposition par ondelettes.

La transformation en ondelettes peut aussi être considérée comme un processus de

décomposition du signal en approximations et en détails. Le signal d’origine S t , traverse

deux filtres complémentaires, passe-haut et passe-bas, et émerge en tant que deux signaux

respectivement le signal d’approximations A et le signal de détails comme le montre la

figure II.12

Figure II.13 : Décomposition du signal s en approximations et détails

[MIS10]

Pour plusieurs signaux, la partie dans les basses fréquences est la partie la plus importante.

Ce qui donne au signal son identité.

La partie dans Les hautes fréquences, attribue saveur ou nuance.

Dans l’analyse d’ondelette, on parle seulement des approximations et détails.


35

L’approximation : est la partie grand échelle, basse -fréquence du signal.

Le détail : est la partie petit-échelle, haute-fréquence du signal.

II.3.4.1 Décomposition simple :

Comme on a dit précédemment le signal S, est divisé en deux signaux mais, actuellement

pour faire cette opération dans un signal réelle, on trouve deux signaux de même taille que

le signal original.

Supposé, pour l’instant, que le signal original S contient 1000 échantillons donc le résultat

des deux signaux à 1000 échantillons pour chaque signal, le total est 2000 échantillons

Pour donner deux vecteurs respectivement CA (Coefficients ondelette d’approximation) et

CD (Coefficients ondelette de détails). Tous deux sont de taille approximativement égale à

la moitié du vecteur d’origine. Ceci est du au fait de l’opération de décimation par 2 (down

sampling). [TOO10].

Figure II.14 Décomposition simple du signal s en approximations et détails

[MIS10]

II.3.4.2 Décomposition multi niveaux :

L’algorithme de Mallat permet de décomposer le signal S en plusieurs niveaux comme

illustré à la figure (II.16). Le processus de décomposition peut être réitéré, avec des

approximations successives étant décomposées alternativement, de sorte qu'un signal soit

décomposé en beaucoup de composants de hautes résolutions. Ceci s'appelle l'arbre de

décomposition en ondelettes. Puisque le processus d'analyse est itératif, dans la théorie il

peut être continué indéfiniment. En réalité, la décomposition peut procéder seulement


36

jusqu'à ce que les différents détails se composent d'un échantillon ou d'un Pixel simple.

Dans la pratique, on choisira un nombre approprié de niveaux basés sur la nature du signal

à décomposer, ou sur un critère approprié tel que l'entropie [BOU08a].

Le signal ( )S n est un signal de temps discret pour être décomposé en ses versions

approximatives et détaillées en utilisant l’analyse multi-résolution. Les premiers

coefficients de décomposition sont A1 et D1, où A1 est la version approximative du signal

original ( )S n et 1D est la représentation détaillée du signal original ( )S n qui est défini dans

la figure (II.14)

Figure II.15 : Décomposition du signal s en multi-niveaux [BOU10b]

II.3.4.3 Reconstruction par ondelette :

On a appris précédemment comment la TOD peut utiliser pour analyser, ou décomposer le

signal. La deuxième partie de l’histoire est comment peut assembler ces composants pour

revenir au signal original sans perdre l’information. Cette procédure est appelée la

reconstruction, ou la synthèse. La manipulation mathématique qui fait cette opération est

appelée (TODI).


37

Figure II.16 : Reconstruction simple d’un signal S [MIS10]

II.3.4.4 Décomposition et Reconstruction par ondelette :

Cette opération est appelée l’algorithme de Mallat schématisé par la structure suivante :

Figure II.17: Algorithme de MALLAT uni/multi dimensionnelles [MIS10]

II.3.4.5 Application de la TOD :

II.3.4.5.1 En utilisant notre code Matlab :

A- Décomposition simple :

Dans cet exemple on a fait une décomposition simple d’un signal (lelecum) chargé de

Matlab on observe clairement le signal approximation (gauche) et le signal détail (droite).


38

0 1000 2000 3000 4000100

150

200

250

300

350

400

450

500

550approximation A1

0 1000 2000 3000 4000-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25detail D1

Figure II.18:décomposition simple représentant A1 et D1

Décomposition multi –niveaux :

Le même signal conserver pour la décomposition multi niveaux la figure II.18 donne les

trois détails et l’approximation du dernier niveau.

0 1000 2000 3000 40000

200

400

600approximation A3

0 1000 2000 3000 4000-40

-20

0

20

40detail D1

0 1000 2000 3000 4000-40

-20

0

20

40detail D2

0 1000 2000 3000 4000-40

-20

0

20

40detail D3

Figure II.19: décomposition en3 niveaux représentant A1, D1, D2etD3

Quand on fait une Comparaison entre le signal original et le signal approximation au niveau

3 en obtient la figure II.19 suivante avec erreur de 2.2737e-013:


39

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000100

200

300

400

500

600Original

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 40000

200

400

600Level 3 Approximation

Figure II.20 : Représentation du signal original et leur approximation A3

II.3.5. Décomposition par paquet d’ondelettes :

La méthode par paquet d’ondelette est une généralisation de la décomposition en ondelette

discrète qui offre une gamme plus riche des possibilités pour l'analyse du signal.

Dans l'analyse en ondelette, un signal est décomposé en approximation et détail.

L'approximation est alors elle-même coupée en approximation et détail de deuxième

niveau, et le processus est répété. Pour une décomposition de n-niveau, il y a (n+1)

manières possibles de décomposer ou coder le signal [BOU08a].

Dans l'analyse par paquet d’ondelettes, les détails aussi bien que les approximations

peuvent être décomposés. Ceci rapporte plus de 122

n

de différentes décompositions du

signal. L’arbre de décomposition en paquet d’ondelettes est représenté dans la figure II.21


40

Figure II.21 : Décomposition en paquet d’ondelettes [BOU10b]

Le paquet d’ondelettes décompose le signal original qui est stationnaire ou non stationnaire

dans des bandes de fréquence indépendantes. Il n'y a aucune information redondante dans

les bandes de fréquence décomposées. C'est une approche efficace d'analyse basée sur la

multi-résolution et peut être proposée comme méthode de diagnostic de défaut. La

transformation en paquet d’ondelettes est une génération de la transformée en ondelettes,

par la définition de deux fonctions suivantes :

0W t t (II.18)

1W t t (II.19)

Tel que n et n sont la fonction d’échelle et l’ondelette mère respectivement. La

décomposition d’ordre m donne la fonction mW n qui est exprimée par :

2 1

2

0

2 2N

m m

n

W t h n W t n

(II.20)

2 1

2 1

0

2 2N

m m

n

W t g n W t n

(II.21)

2

, , 2 2j j

j m n mW t W t n (II.22)

Tels que j : paramètre d’échelle n : paramètre de localisation en temps.

Dans la pratique, un algorithme rapide est appliqué en utilisant l'étape de base de la figure

(II.17) (Algorithme de Mallat). La différence est maintenant que les détails et les

approximations sont coupés en composants plus fins, ayant pour résultat un arbre de paquet

d’ondelettes. Dans la figure (II.22) un exemple d'un arbre de décomposition par paquet

d’ondelettes de trois niveaux est illustré. Chaque nœud de l'arbre de la décomposition en


41

paquet d’ondelettes est classé avec une paire de nombres entiers ,j k , où j est le niveau

correspondant à la décomposition et k est l'ordre de la position du nœud au spécifique

niveau. Dans chaque niveau j , il y a 2 j nœuds et leur ordre est 10,1,...,2 jk Un vecteur

de jAc de coefficients de paquet d’ondelettes correspond à chaque nœud ,j k , La

longueur d'un jAc du vecteur est approximativement / 2 j

tN La reconstitution des signaux

est basée sur les coefficients d’approximation et les détails.

Figure II.22 : Répartition des nœuds dans un arbre de décomposition par

paquet d’ondelettes [MIS10].

II.3.6 Application de technique d’ondelettes :

L’application de la transformée d’ondelette continue (TOC) et discrète (TOD) aux

diagnostic de défauts de la machine asynchrone à cage d’écureuil est basé sur les signaux

électriques tels que les courants statoriques, tension statorique, vitesse, ou signaux de

vibration de la machine …etc. Notre choix est porté sur le courant statorique puisque Les

signatures du courant statorique représentent une source très riche en informations

concernant les défauts qui se manifestent souvent dans la machine asynchrone, à cet effet la

majorité des travaux de diagnostic sont fondés sur l’analyse du courant statorique soit dans

sa partie transitoire ou dans sa partie permanente [BOU08a].

Les courbes présentées dans Figure II.23 sont liées à la machine saine : courant d’une

phase statorique, courants rotoriques, vitesse et couple électromagnétique.


42

0 2 4 6-20

-10

0

10

20

coura

nt[

A]

Temps[s]

Courant de la phase statorique a

0 2 4 6-4000

-2000

0

2000

4000

coura

nt[

A]

Temps[s]

courants Rotoriques

0 2 4 6-1000

0

1000

2000

3000

Vitesse[t

r/m

n]

Temps[s]

Vitesse

0 2 4 6-5

0

5

10

Couple

[Nm

]

Temps[s]

Couple

Figure II.23 Courbes d’un moteur à cage état sain

II.3.6.1 Application de la transformée d’ondelettes continue:

A-Cassure des barres :

Quand une rupture de la barre rotorique a lieu, une déformation se produit dans l'entrefer.

Cette déformation induit plusieurs composants de fréquence dans le spectre du courant

statorique. Dans le régime permanent, les fréquences de ces composants dépendent de la

vitesse de la machine; la figure II.24 donne les courants statoriques de la machine comme

suit :

a) état sain.

b) cassure d’une barre

c) cassure de 02 barres

d) cassure de 03 barres adjacentes

e) cassure de 03 barres symétriquement espacées

f) cassure d’un segment d’anneau


43

a b

c d(adjacentes)

e (espacées symétriquement) f (cassure d’un segment d’anneau)

Figure II.24. Courant d’une phase statorique (tous les cas)

Ensuite les figures II.25 et II.26 contient la transformée d’ondelettes continue en trois

dimension en variant l’échelle et le résultat montre bien que la TOC de la figure II.26

donne des informations claires sur la cassure des barres.

Lorsque en voix la première figure II.25 où l’échelle est petite en remarque que les figures

des cinq cas sont toute même presque aux états défaillants sauf bien sur le dernier cas.

Mais après le changement d’échelle on observe dans la figure II.26 la variation dans chaque

cas.


44

a b

c d

e f

Figure II.25. La T0C du courant d’une phase statorique (Db7a)

Pour le premier cas (a) c’est l’état sain, le deuxième cas (b) représente cassure d’une seule

barre schématisée par une grande onde après le régime transitoire, le troisième cas (c) est


45

représenté par deux ondes qui convient cassure du deux barres adjacentes après le régime

transitoire toujours pour les cas (d et e) la cassure est représenté par 3 ondes successive

espacé pour le cas (d) et symétrique pour (e) et le cas (f) signifie la cassure d’un segment

d’anneau.

a b

c d

e f

Figure II.26. La TOC du courant d’une phase statorique (Db7b)

D’après la (Figure.26) on remarque que les figures de la transformée d’ondelettes continue

donnent les variations qui passent dans le temps c'est à dire le temps ou la cassure de la


46

barre est faite. Donc à partir de ces résultats en peut dire que la TOC localise bien le défaut

on remarque aussi qu’on a un système défaillant l’intervalle de simulation est augmente

avec l’augmentation de la nombre des barres cassées (te temps de réponse augmente).

Idem pour les figures suivantes on va donné la transformée d’ondelettes continue du

courant statorique a travers d’autre famille d’ondelettes :

a)Ondelette Haar :

a b

c d

e f

Figure II.27. La TOC du courant d’une phase statorique (HAAR)


47

b)Ondelette :chapeau mexicain

a b

c d

e f

Figure II.28. La TOC du courant d’une phase statorique (Mexh)

c) Ondelette Morlet:


48

a b

c d

e f

Figure II.29 La TOC du courant d’une phase statorique (Morlet)

II.3.6.2 Application de la transformée d’ondelettes discrète:

Les même essais a été conservé pour la transformée d’ondelettes discrète TOD


49

a b

c d

e f

Figure II.30 La TOD du Courant d’une phase statorique (Db7)

L’approche est concentrée sur l'analyse des signaux à niveau élevé de détail (et

d’approximation) résultant de la décomposition en ondelettes, dont les bandes de fréquence

associées sont incluses de 0 jusqu’à la fréquence d'alimentation. La figure II.30 compare

le TOD du courant du démarrage lorsqu'il s'agit de la machine saine (a), de la machine avec

une barre cassée (b), avec deux barres cassées (c), avec trois barres cassées (d et e) et de la

machine avec cassure d’un segment d’anneau (f).

Pour la machine défectueuse, on peut voir comment les signaux à niveau élevé D8, D9,

D10 et A10 varient avec l'évolution de la fréquence gauche de bande : il y a des


50

incrémentations dans l’amplitude, il y a encore apparition des oscillations dans D8 et D9.

Cette configuration caractéristique des signaux à niveau élevé D8, D9, D10 et A10 dans le

courant de démarrage tiennent compte d'un diagnostic fiable de la rupture des barres.

II.4 Conclusion :

L’application de la transformée en ondelettes discrète a mené à des résultats très

significatifs en terme de défauts, la décomposition directe du courant statorique en multi-

niveau a donné une image réelle sur les différents défauts rotoriques de la machine

asynchrone à cage. La détection de la non stationnarité engendrée dans le courant statorique

lors des cassures des barres est obtenue par la décomposition en multi-niveau

Les applications de la technique des ondelettes ont couvert presque chaque aspect du

diagnostic de défaut. Dans ce chapitre, toutes les applications récentes ont été divisées en

trois aspects principaux, y compris l'analyse de temps-fréquence des signaux, l'extraction de

dispositif de défaut, la détection de singularité pour des signaux et l'extraction des signaux

faibles ainsi que la décomposition des signaux et l'identification du défaut.

Dans le chapitre trois on traite la seconde technique avec connaissance a priori pour le cas

sain et le cas défaillant.

CHAPITRE III

Méthode Bayésienne pour le diagnostic

Chapitre III Méthode Bayésienne pour le diagnostic

52

III.1 Introduction :

Dans ce chapitre, nous allons essayer de renforcer les bases d'une nouvelle méthodologie dédiée

au diagnostic des processus industriels par estimation paramétrique. Cette technique s'appuie sur

la loi de Bayes qui exige l'adjonction d'une connaissance a priori caractérisant le fonctionnement

sain en association avec une modélisation de la signature du défaut. Nous montrerons l'avantage

d'une telle approche à travers une application sur un moteur asynchrone.

On définit l'identification ou modélisation expérimentale comme la procédure permettant la

détermination de la représentation mathématique (ou modèle) d'un système à partir des résultats

expérimentaux, nous avons l’exploité de la référence [BAC02].

III.2 Modèle du moteur:

Depuis la généralisation de la commande numérique des systèmes, et lorsqu'on s'intéresse à la

réalité physique du système, comme dans le cas de la surveillance de processus par estimation

paramétrique, la représentation discrète ne peut donner entière satisfaction. En électrotechnique,

même pour une application en commande, l'utilisateur préfère utiliser un modèle proche de la

réalité, dont les paramètres (résistances, inductances, ...) ont une signification réelle. On retrouve

la même attitude en génie des procédés ou en génie chimique (pour les constantes cinétiques de

réaction chimique par exemple) ainsi qu'en robotique (pour des paramètres tels que masses et

raideurs).

Aussi, ce chapitre est dédié en partie à l'estimation paramétrique à partir de modèle à

représentation continue, proches de la réalité physique. Les applications envisagées concernent la

connaissance, c'est-à-dire l'estimation des paramètres électriques, et plus particulièrement la

surveillance des machines électriques, par suivi de l'estimation paramétrique. Cependant, les

mêmes algorithmes d'identification pourront être utilisés pour l'observation d'état ou la synthèse

de lois de commande adaptative.

Dans ce contexte, on va essentiellement s'intéresser à l'identification des systèmes à l'aide des

modèles à représentation continue. Deux catégories d'algorithmes sont utilisables, que l'on classe

suivant la nature des résidus en erreur d'équation ou en erreur de sortie.

Les algorithmes à erreur d'équation ne sont utilisables en pratique qu'avec des modèles du type

équation différentielle à coefficients constants. Pour de tels modèles, des nombreuses techniques


53

[MEN 99] ont été imaginées afin d'exprimer la sortie du système linéairement par rapport à ses

paramètres (programmation linéaire L.P). Cette propriété de linéarité permet alors d'utiliser la

méthode des moindres carrés dont l'intérêt essentiel est de fournir une expression analytique de

l'estimée des paramètres [LJU 87]. Malheureusement, on démontre que pour tout modèle de L.P

dont le régresseur dépend directement (ou indirectement par filtrage) des valeurs de la sortie, les

résidus sont du type erreur d'équation et en conséquence l'estimateur est biaisé. Une solution à

l'élimination de ce biais est d'utiliser une technique de variable instrumentale à modèle parallèle

simulé [YOU 70, SOD 83], mais cela complique bien sur l'algorithme, et la convergence peut

dans certains cas poser problème. Enfin, comme en général les machines électriques ne se

ramènent pas à des équations différentielles à coefficients constants mais plutôt à des systèmes

différentiels non linéaires, on comprendra que cette méthodologie d'identification ne soit pas

vraiment adaptée au problème envisagé.

Toutefois, ces méthodes ne doivent pas être rejetées. En effet, bien que leurs estimations soient

critiquables, elles sont néanmoins précieuses car elles peuvent servir à initialiser les méthodes à

erreur de sortie. Ce chapitre va donc être dédié à la présentation de la deuxième catégorie

d'algorithmes, du type erreur de sortie.

Dans le cadre du diagnostic, l'application de l'estimation paramétrique a connu un essort certain

ces dernières années [BAC02]. Ainsi, la mise au point d'algorithmes dédiés à l'estimation réaliste

des paramètres physiques, en tenant compte de la connaissance a priori, a permis une avancée

prometteuse du diagnostic par identification paramétrique. Cette méthodologie est

essentiellement basée sur l'hypothèse qu'un défaut se traduit par la variation de l'état paramétrique

du processus.

Le suivi de l'évolution de ses paramètres caractéristiques est donc un excellent moyen pour

réaliser sa surveillance. Cependant, ce postulat peut facilement être mis en défaut par le fait que

cette méthodologie de base n'est pas capable de distinguer une variation paramétrique normale

(éventuellement prévisible) de celle correspondant à un défaut d'apparition aléatoire. En effet, on

s'est rendu compte ces dernières années que les méthodes de surveillance qui reposent sur des

modèles de fonctionnement nominal ne sont pas satisfaisantes, car ces modèles ne prennent pas

en compte la situation de défaut [MOR 99, SCH 99]. D'où l'intérêt de s'orienter vers une

modélisation associant un mode "différentiel" sensible uniquement aux défauts d'apparition


54

accidentelle, et un modèle commun (sain) sensible aux variations paramétriques prévisibles et

donc normales.

C'est dans ce contexte qu'il est possible d'apprécier l'apport de l'information a priori des

paramètres physiques sur la qualité de la surveillance. Une méthodologie de surveillance de

processus industriel avec modèle de défaut et connaissance a priori du fonctionnement sain est

donc proposée.

III.3 Classe d’algorithmes d'identification :

Deux classes des algorithmes peut utilisée dépend de la nature du résidu tytyt *

III.3.1 Méthode à erreur d’équation:

Plusieurs techniques sont utilisées pour obtenir un modèle de sortie linéaire en fonction des

paramètres (P.L), pour que nous puissions utiliser des algorithmes basés sur la méthode Moindre

Carrés (L.S). Le résidu est alors une équation d'erreur, parce que le vecteur

regresseurT dépend des valeurs de sortie perturbé ty* .

Avantages :

La minimisation de la résidu mène à une expression analytique

k

*kk

kk

Tk

yˆ

1

Inconvénients :

L’estimateur de moindre carré est biaisé

Il est nécessaire d'évaluer d'abord le paramètre structurel et calculer ensuite les

paramètres physiques en utilisant ˆfˆP

1 .


55

III.3.2 Méthode à erreur de sortie:

Le résidu est une erreur de sortie. L'identification est exécutée en réduisant au minimum le résidu

on utilisant des techniques d'optimisation non linéaires (méthode du Gradient, Newton,

Marquardt …).

Avantages :

Identification non biaisée

Il est possible d'évaluer directement le paramètre physique, qui est possible même si le

modèle n'est pas linéaire dans le paramètre physique (estimé d'abord et calculer ensuite

ˆfˆP

1 ).

Système non linéaire décrit par équation différentielles non linéaire peut aussi estimé.

Inconvénients :

Algorithme plus complexe que la moindre carré à cause de son non-linéairitée.

Il est nécessaire d'initialiser l'algorithme avec une valeur Pinit près de la

valeur (inconnue) exacte P (en utilisant la Moindre Carrés) biaisée ou

présentant la connaissance a priori).

III.4.Algorithme d'identification du type erreur de sortie :

III.4.1 Principe de la méthode à erreur de sortie :

La méthodologie générale mise en œuvre, communément appelée méthode du modèle, peut être

symbolisée par la figure (III.1).


56

bruit

kb

es

d

kε

es

d

k

y

esd

*

ky

esd

excitation

ku

es

d

J

+

+

+

Système

Modèle

Critère

Algorithme

de P.N.L

_

Figure III.1 Principe des méthodes à erreur de sortie

Considérons un système décrit par le modèle d'état général d'ordre n décrivant la réponse

y t à l’excitation u t , dépendant du vecteur paramètres .

dim, , avec

dim, ,

x nx g x u

Ny f x u

(III.1)

Où y t et u t sont considérés monodimensionnels uniquement pour simplifier la

présentation. On remarquera qu'aucune hypothèse de linéarité n’est nécessaire: g et f sont des

lois issues d'un raisonnement physique, qui en général ne sont pas linéaires. On fera cependant

l'hypothèse que le système est identifiable [WAL 97].

Considérons par ailleurs un ensemble de K données expérimentales *,k ku y , acquises avec

la période d'échantillonnage eT telle que et KT ; le problème de l'identification est alors

d'estimer le modèle qui explique au mieux ces données, donc de déterminer la valeur des

paramètres du vecteur

Soit une estimation de . Alors grâce à u t , connue aux instants d’échantillonnage ku ,

on obtient une simulation*

ky de la sortie, soit


57

, ,

, ,

x g x u

y f x u

(III.2)

On définit l'erreur de prédiction (résidu) notée k entre la sortie réelle*

ky et la sortie

simulée ky .

* ,k k ky y u (III.3)

Avec :

-*

k k ky y b mesure de la sortie ky perturbée par un bruit,

- ky valeur exacte de la sortie,

- kb perturbation aléatoire,

- k résidu.

La valeur optimale de est obtenue par minimisation du critère quadratique suivant

2

2 *

1 1

,K K

k k k

k k

J y f u

(III.4)

Comme y t n'est pas linéaire en la minimisation de ce critère s'effectue par une méthode

de Programmation Non Linéaire (P.N.L.) [RIC 71]. La valeur optimale du vecteur paramètre

notée opt est obtenue par un algorithme d'optimisation itératif [HIM 72].

L'algorithme de Marquardt [MAR 63] offre un bon compromis entre robustesse et rapidité de

convergence. Les paramètres à estimer sont réactualisés de la manière suivante :

1

'' '

1 .i

i i J I J

(III.5)

Les algorithmes d'erreur de sortie différent surtout par la façon de gérer l'optimisation.

Pour notre part, nous avons opté pour le calcul du gradient par les fonctions de sensibilité

paramétrique. On utilise :

'

,

1

2i

K

kk

k

J

: Gradient.


58

''

, . ,

1

2i i

KT

k k

k

J

: Hessien dans l'approximation de Gauss Newton

0 : Paramètre de réglage.

, i

kk

i

y

: Fonctions de sensibilité paramétrique.

Cet algorithme, grâce au réglage du paramètre en cours de recherche, permet d'évoluer entre

une technique de gradient loin de l'optimum (alors 1 ) et une technique de Newton

(lorsque 0 ) qui permet d'accélérer la convergence au voisinage de l'optimum.

Cette procédure garantit une convergence robuste, même en présence d'une mauvaise

initialisation de la recherche.

III.4.2. Calcul des fonctions de sensibilité :

Les fonctions de sensibilité , ik constituent le point névralgique de toute la procédure

d'identification [RIC 71, TRI 88]. Ce sont les indicateurs essentiels du conditionnement de

l'identification car elles traduisent l'effet d'une variation d'un paramètre sur la sortie du système.

En effet, le développement en série de Taylor du 1er ordre de la sortie y t autour de l'espace

paramétrique donne :

, , , . ky t y t . (III.6)

Cette expression indique clairement que la variation de la sortie du modèle peut être projetée sur

la base des fonctions de sensibilité, dont les pondérations ne sont autres que la variation de

l'espace paramétrique ( ) [RIC 91]. En fait, au-delà de leur rôle essentiel dans le calcul, ces

fonctions sont l'équivalent des composantes du régresseur dans le cas linéaire par rapport

aux paramètres [MOR 99]. Par conséquent, l'identification devient très sensible au calcul de ces

coefficients.

Il est possible de procéder directement au calcul des fonctions de sensibilité par des méthodes de

dérivation numérique. Néanmoins, ces méthodes présentes l'inconvénient d'être consommatrices

de temps de calcul et surtout génératrices d'erreur systématique due aux approximations [TRI

99]. Il est donc judicieux de résoudre directement le système différentiel qui régit la dynamique


59

de ces variables déduit de la représentation d'état du modèle. En pratique, il convient de définir

deux sortes des fonctions de sensibilité :

, y

y

: vecteur des fonctions de sensibilité de dimension ( 1N ) calculées par

rapport à la sortie et utilisé dans les algorithmes de Programmation Non Linéaire.

, x

x

: matrice des fonctions de sensibilité de dimension ( n N )calculées par

rapport à l'état, telle que :

1 i N, , , , x x x x (III.7)

Pour chaque paramètre i on détermine , n ix à partir de l'équation

, ,x g x u

par intégration du système différentiel suivant :

i,

, , , ,x

i i i

g x u g x ux x

x

(III.8)

Alors, , n ix est solution du système différentiel non linéaire :

, ,

, , , ,i ix x

i

g x u g x u

x

(III.9)

Finalement, on obtient iy par dérivation partielle de l'équation (III.1), soit

i,

, , , ,T

x

i i

f x u f x uy

x

(III.10)

Le raisonnement précèdent se particularise à une sous classe importante de systèmes constituée

par les systèmes linéaires dans l'état.

T

x A x B u

y C x D u

(III.11)

On obtient alors


60

i i

i i

, ,

, ,

x x

i i

T

T

y x

i i

A BA x u

C DC x u

(III.12)

III.5 Inférence Bayésienne :

Il est recommandé d'initialiser l'algorithme de P.N.L. par une valeur proche de l'optimum, afin

d'accélérer la convergence et de réduire le temps de calcul.On utilise ainsi une connaissance

initiale pour chercher l'optimum, mais celui-ci ne conserve aucune trace de cette initialisation.

Au mieux, on évite de converger vers des optimums secondaires. Il est donc nécessaire

d'introduire explicitement cette connaissance initiale: cela est réalisé grâce a un critère

quadratique modifié ou composite. La meilleure justification de ce critère réside dans l'approche

Bayésienne Celle-ci revient a considérer le problème de l'estimation paramétrique dans un

contexte probabiliste.

Soit un ensemble de données expérimentales **

, (ou , )k ku y U Y ; on se propose d'estimer

en maximisant la densité de probabilité de conditionnellement aux données*

Y , soit

*P Y (ou densité a posteriori).On dispose par ailleurs d'une information a priori

sur caractériser par P Alors, on peut écrire d'après la relation de Bayes :

*

*

*

( )P PYP Y

PY

(III.13)

Comme *

PY ne dépend pas explicitement de

, La maximisation de*

P Y

est

équivalente à la maximisation de *P PY il s'agit là de la technique dite du maximum à

posteriori.

Des hypothèses sont nécessaires pour pouvoir traiter ce problème : habituellement on considère

que P et *PY sont des densités gaussiennes. Alors, on peut écrire :


61

* 1

0 00

* *1

1exp

2

1 , ,

2

T

T

b

P Y A M

Y Y U R Y Y U

(III.14)

Où :

-A : une constante

- 0 : connaissance initiale de

- 0M : covariance de 0

- bR : matrice de covariance de la perturbation stochastique.

Finalement, en considérant le logarithme népérien de cette expression, on montre facilement que

la maximisation de *P Y est équivalente à la minimisation du critère composite :

0

*

1

0 00

* *1

J

*

0

+ , ,

T

C

J

T

b

C

J M

Y Y U R Y Y U

J J J

(III.15)

En pratique, on ne dispose pas de la matrice de covariance du bruit et on remplace bR par

2

b I (ou 2

b est la variance du bruit). Alors, à 2

b prés, *J représente le critère quadratique

conventionnel, porteur de l'information expérimentale. Par contre, 0J est un deuxième critère

quadratique qui introduit une contrainte " élastique " dans la minimisation du critère global CJ :

en effet, il interdit à de trop s’éloigner de 0 , avec une " force de rappel " dépendant

de 0 .

III.5.1 1ntroduction de l'information a priori :

On définit le critère composite suivant :


62

0

2

1 *

0 00 21b

1,

KT

C k k

k

J

J M y y u

(III.16)

Ce nouveau critère est minimisé grâce à l'algorithme de Marquardt avec :

' 1

00 21b

'' 1

0 21b

12

12

C

K

kC k

k

KT

k k

k

J M

J M

(III.17)

Soit C la valeur de minimisant CJ , obtenue grâce à l'algorithme de P.N.L. Afin de

démontrer l'intérêt de l'information a priori, on se propose de mettre en évidence les liens

entre c , opt et 0 .

Pour cela, faisons l'hypothèse que opt et 0 sont voisins de C , c'est-à-dire que les fonctions

de sensibilité calculées pour ces trois valeurs de sont approximativement égales.

Alors, on peut écrire :

1

''

min

T

C CC CJ J J

(III.18)

1

00 2

'' 1

0 2

2

2

T

b

T

b

SJ M

S SJ M

(III.19)

Avec :

1

T

T

K

S

Lorsqu'on utilise l'algorithme de Newton pour déterminer le minimum de CJ à partir de la valeur

initiale 0 , on obtient cet optimum C en une seule itération CJ car est une forme quadratique

de Alors :

0

1'' '

0C J J

(III.20)


63

Avec

0

*'

02

2 T

b

SJ Y Y

Ce qui permet d'écrire explicitement :

1

*1

0 00 2 2

T T

C

b b

S S SM Y Y

(III.21)

Soit 1

2

T

opt

b

S SP

où optP représente la matrice de covariance relative au critère conventionnel

minimisé par opt Alors, on peut définir :

1 1 1

0 optP M P (III.22)

C’est-à-dire :

*

0 02

T

C

b

PSY Y

(III.23)

Qui s’écrit aussi :

*

0 0C K Y Y (III.24)

Où K est le gain d'un filtre de Kalman appliqué au système particulier

1

*,

i i

i i iY Y u b

(III.25)

Cette interprétation conforte l'approche probabiliste et stochastique précédente: à partir de 0 ,

on détermine la correction optimale pour passer à C , compte tenu du gain K et de l'information

apportée par le jeu de données *

Y (correspondant à opt ). De plus, compte tenu de (III.22),

l'estimée C est nécessairement plus précise que 0 ou opt .

III.5.2 Interprétation déterministe :

L'approche Bayésienne est confortée par l'interprétation du type Filtre de Kalman que l'on peut

aussi rapprocher d'une interprétation de type régularisation .Malheureusement, cette

interprétation est mise en défaut dans le cas de l'estimation des paramètres physiques à partir d'un

modèle de complexité réduite.


64

On constate en effet que la perturbation de sortie kb n'est pas véritablement aléatoire mais

déterministe : la partie essentielle de la perturbation de sortie est causée par l'erreur de

modélisation, elle est de plus déterministe car provoquée par l'excitation u .

Aussi, nous allons proposer une nouvelle interprétation, essentiellement basée sur la géométrie du

critère quadratique.

Soit 2

b la pseudo variance de la perturbation de sortie, calculée grâce à 2

/b optJ K Où

J est le critère conventionnel et K le nombre de données.

On notera que 2

*

1

,K

optopt k k k

k

J y f u

tient compte à la fois du bruit kb et de

l'erreur de modélisation, c'est-à-dire que 2

b est bien une pseudo variance.

Grâce à 2

b , on peut aussi définir une pseudo matrice de covariance :

2 1

TboptP S S

.

Au voisinage de opt , on peut alors écrire :

2 2 2

TTopt

opt opt

b b b

J JS S

Soit finalement :

1 1

0 00

T T

opt optC optJ M P K

Cette expression montre que CJ résulte de la composition de deux paraboloïdes, centrés en

0 et opt , dont l'ouverture respective est caractérisée par 0M et optP . CJ est donc un

unique paraboloïde, centré en C , tel que [MOR 99] :

1

1 1 1 1

0 00 0C optopt optM P M P

( C est le barycentre de 0 et opt ) et dont l'ouverture est conditionnée par CM , telle que :

1 1 1

0C optM M P

Soit 1T

C C CC C CJ M J

Interprétons ce résultat sur un exemple monovariable figure (III.1)


65

Figure III.2.Interprétation déterministe du critère

composite dans le cas monovariable [BAC02].

Lorsque 0 et opt sont voisins, le critère CJ est plus convexe que le critère conventionnel et

les optimums secondaires ont tendance à disparaître. En conséquence, l'introduction de

0 0, M Permet d'accélérer la convergence de l'algorithme de P.N.L. et l'estimation C est

en général plus précise que 0 ou opt car le paraboloïde CJ est moins " ouvert " que les

précédents.

Par ailleurs, si l'estimation opt est mal sensibilisée, c'est-à-dire si l'optimum est très plat, alors

l'optimum global C sera attiré par 0 qui joue dans ce cas le rôle d'une force de rappel

"élastique " (et d'autant plus que le paraboloïde 0J est " refermé").

Remarque : L'interprétation probabiliste conventionnelle va certainement constitué un frein à

l'utilisation de l'approche Bayésienne qui n'a donné lieu qu'à très peu d'applications concrètes. Au

contraire, l'interprétation déterministe montre le bénéfice apporté par cette technique en termes de

convergence de l'algorithme d'optimisation non linéaire et d'unicité de l'optimum.


66

Par ailleurs, il est important de signaler que les matrices de covariance de 0 et du bruit peuvent

être considérablement simplifiées, sans nuire notablement aux propriétés de cette technique.

Ainsi, la matrice 0M peut avantageusement se réduire à une forme diagonale, au besoin en

surestimant la valeur de chaque variance, comme on le verra dans les paragraphes consacrés aux

applications. D'autre part, la matrice de covariance du bruit peut se réduire à un seul coefficient

constitué par la variance de la perturbation, ce qui est plus particulièrement justifié lorsqu'on est

en présence d'erreur de modélisation.

III.5.3. Choix de l’information a priori :

Un choix judicieux de la matrice 0M permet de régulariser le problème du manque d'excitation

lorsque la matrice d'information est proche de la singularité, synonyme d'une excitation pauvre.

Deux situations différentes peuvent être envisagées pour le choix de 0 et 0M [TRI 99,

MOR99].

Si on dispose d'une connaissance au préalable, disponible soit par une expérimentation

élémentaire (essais électrotechniques conventionnels dans le cas des machines électriques) ou par

des données constructeur (paramètres électriques, incertitude, etc.), il serait judicieux de

construire notre information a priori à partir de cette base.

Cependant, il est indispensable de prendre quelques précautions quant à l'utilisation de ces

données issues généralement d'une expérimentation en régime stationnaire, éventuellement non

compatible avec le domaine de validité du modèle choisi. Il est donc préférable d'ajuster cette

connaissance par des estimations spécifiques selon le mode de fonctionnement.

En pratique, il est préférable de construire l'information a priori en partie par la connaissance

physique et par des estimations préalables. Plusieurs acquisitions de données correspondant à

différents modes de fonctionnement sont donc nécessaires.

En effet, afin de construire les intervalles d'incertitude, il faut envisager l'ensemble des situations

susceptibles de faire varier les paramètres (changement normal dans l'état du procédé).

III.6.Application au diagnostic de la machine asynchrone :

Au chapitre précèdent, nous avons proposé une méthodologie de diagnostic générale ainsi que

des modèles de défaut de la machine asynchrone à cage d'écureuil. Dans ce chapitre, nous


67

utilisons ces résultats pour la détection et la localisation des courts-circuits au stator et de la

rupture de barres au rotor. Nous nous intéressons donc uniquement à la partie expérimentale, en

définissant une méthodologie globale de diagnostic de la machine asynchrone par identification

paramétrique et en regroupant l'ensemble des résultats obtenus.

III.6.1. Choix des modèles pertinents : procédure de diagnostic :

La procédure de diagnostic peut être présentée par l’organigramme suivant. Cette procédure

sera appliquée par la suite pour l’étude de l’état de notre moteur.

Détermination des

variations de

Génération de signaux

potentiellement

indicateurs de défaut

Tests statistiques

Diagnostic

Localisation

Estimation

paramétrique

Estimation directe des

paramètres physiques

Modèle de

connaissance

Calcul des paramètres

physiques

u(t)

*y (t)

*y (t)

b(t)

y(t)

Processus

Modèle

M

Figure III.3.Procédure de diagnostic


68

Pour expliquer cette procédure du diagnostic en va appliquer le à notre modèle d’état du moteur

asynchrone.

III.6.2. Estimation de la machine saine :

Dans ce paragraphe, on se propose d'illustrer l'application des techniques du type erreur de sortie

avec information a priori au cas de la machine asynchrone "saine" en régime dynamique.Dans un

premier temps, il est nécessaire de préciser le modèle de la machine utilisée pour l'estimation

paramétrique. On présente ensuite l'identification de ce modèle à partir des données

expérimentales [BAC02] avec le type d'algorithme présentée au paragraphe précédent.

III.6.3. Modèle dynamique de la machine asynchrone

III.6.3.1 Modèle d'état continue d’ordre 4 :

Le principe de l'identification paramétrique exposé précédemment fait référence à un modèle

continu du processus sous représentation d'état. Il est donc nécessaire de mettre le modèle de la

machine asynchrone sous forme d'état. Pour rappel, notre choix de repère est celui lié aux axes

rotoriques, où les grandeurs sont les plus proches du continue.

La rigueur voudrait que le modèle continu de la machine asynchrone considéré la vitesse

mécanique comme une variable d'état, ce qui aurait pour conséquence d'augmenter l'ordre de la

représentation d'état. On obtiendrait donc un modèle non linéaire dans lequel apparaîtraient des

produits entre variables d'état pour la plupart des applications industrielles de la machine

asynchrone, l'inertie des parties tournantes est grande. Par conséquent, les variables mécaniques

sont généralement des grandeurs lentement variables devant les autres grandeurs électriques de la

machine [MOR 99a, DUR 99, TRI 99a]. La vitesse de rotation peut donc être considérée comme

constante entre deux instants d'échantillonnage. Ainsi, au lieu d'avoir un modèle d'ordre 5 non

linéaire, celui-ci est d'ordre 4 et non stationnaire car la vitesse est prise en compte en tant que

mesure.En associant le vecteur d'état qui contient les courants statoriques et les flux rotoriques

ainsi que l'entrée et la sortie du système correspondant respectivement aux tensions et courants

statoriques, on écrit le modèle d'état de la machine asynchrone [CAR 95, TRI 99a] :

( )x t A x t Bu t

y t Cx t

(III.26)


69

Avec

T

ds qs dr qrx i i : Vecteur d’état.

, ds ds

qs qs

U iu y

U i

: entrée et sortie de la machine.

0

0

0

0

s r r

f m f f

s r r

f f m f

rr

m

rr

m

R R R

L L L L

R R R

L L L LA

RR

L

RR

L

1 0

1 0

1 0 10 , ,

0 0

0 00 0

0 0

T

f

f

L

B CL

En résumé ce modèle est linéaire d’ordre 4 utilisé pour notre diagnostic pour l’estimation des

paramètres , , , s r m fR R L L .

Notons en plus que le modèle est celui d’une machine asynchrone à cage.

III.6.3.2 Identification par erreur de sortie :

III.6.3.2.1 Mise en œuvre :

Le système est multivariable, à deux entrées ds qsU etU et à deux sorties ds qsi et i On définit

l'erreur d'estimation (résidu d'identification noté ds sur l'axe d et qs sur l'axe q) entre la sortie

réelle (courants mesurés*

dqsi ) et la sortie simulée (estimée) dqsi

par :

*

*

sk sksk

sk sksk

d dd

d dq

i i

i i

(III.27)

Où *

skdi et *

skqi sont des mesures échantillonnées à la période Te = 0.7ms ( et kT , k variant de 1 à

K =6429 points). Les courants estimées skdi

etskqi

représentent la simulation du modèle sur la base

d'une estimation du vecteur paramètre ou :


70

s r m fR R L L

Le calcul des fonctions de sensibilité se déduit directement de la représentation d'état de la

machine asynchrone et la résolution du système différentiel ainsi obtenu s'effectue par la méthode

de l'exponentielle de matrice, comme pour le modèle de la machine asynchrone.

III.6.3.3 Introduction de l'information a priori :

On se propose d'estimer ces paramètres avec information a priori, constituée sur une moyenne de

dix enregistrements préalables pour différentes températures (correspondant à la connaissance du

fonctionnement «sain» de la machine Pour cela, on va minimiser le critère composite suivant :

0

2

1 *

0 00 21b

1,

KT

C k k

k

J

J M y y u

(III.28)

Avec

0

0

0

0

0

9.81

3.83

0.436

0.0762

s

r

m

f

R

R

L

L

2-3

2 -4

0 2 -7

2

0 0 0 2.10 0 0 0

0 0 0 0 2.10 0 0

0 0 0 0 0 6.10

0 0 0

s

s

m

m

R

R

L

L

M

-7

0

0 0 0 10

2 0.0639b

On minimise CJ par l'algorithme de Marquardt.

On peut constater sur le tableau (Tab.III.1) que les estimations sont beaucoup plus proches aux

estimations du vecteur 0 .On note aussi que les estimations des résistances sont légèrement

différentes de celles correspondant à 0 . Ceci est sans doute dû à la variance de l'information a

priori sur les inductances qui est plus faible que celle des résistances (précision meilleure).


71

Tab.III.1. Résultats d'estimation paramétrique obtenus en minimisant CJ

Paramètres 0 à Vide M .charge P.charge

9.81sR 9.9165 9.8523 9.8770

3.83rR 3.8355 3.8020 3.8293

0.436mL 0.4337 0.4341 0.4339

0.0762fL 0.0761 0.0757 0.0753

La figure (III.4) représente, l'évolution des paramètres en fonction des itérations : il est évident

que l'adjonction de l'information a priori a nettement accéléré la convergence de l'algorithme

(deux fois plus rapide que le critère simple) [BAC02].

0 5 10 15 20 259.81

9.815

9.82

9.825

9.83

9.835

9.84

9.845

9.85

9.855Rs

Rs

iterations 0 5 10 15 20 25

3.8

3.805

3.81

3.815

3.82

3.825

3.83

Rr

iterations

Rr

0 5 10 15 20 250.434

0.4345

0.435

0.4355

0.436

0.4365

Lm

iterations

Lm

0 5 10 15 20 25

0.0756

0.0757

0.0758

0.0759

0.076

0.0761

0.0762

0.0763

Lf

iterations

Lf


72

Figure III.4 Evolution des paramètres en fonction des itérations

On note également que les paramètres statoriques et s fR L sont moins sensibilisés par les

différents essais. En effet, on constate des disparités entre leur estimation, au contraire des

paramètres rotorique et r mR L qui sont quasiment voisins. Ce même constat a été établi dans

[MOR 99]. En fait, ce sont vraisemblablement les paramètres rotoriques qui sont les mieux

sensibilisés par le protocole d'excitation.

On représente à la figure (III.4) l'évolution de

en fonction des itérations pour un essai à

moyenne charge en 20 itérations.

L’algorithme converge vers l'optimum. La figure (III.5) représente la comparaison entre le

courant mesurée *

dsi et son estimée dsi

, on constate la bonne concordance de l'estimation du

courant avec le courant réel. Après un transitoire de simulation (environ 50 ms), le résidu

d'identification devient négligeable et ne dépasse pas 0.8 A.

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

-10

-5

0

5

10

Coura

nt

[A]

échantillons

Courants statoriques ids réel et ids estimé

réel

estmé


73

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

err

eur

du C

oura

nt

[A]

échantillons [s]

erreur entre ids réel et ids estimé

Figure III.5.Comparaison du courant réel et estimé d'axe d de Park

Dans la section suivante on va élargir notre étude, avec cette même philosophie, mais pour les cas

défaillant.

III.6.4 Diagnostic d'un défaut rotorique :

III.6.4.1. Modèle et stratégie de détection :

Un modèle de défaut rotorique paramétrée par les 6 coefficients 0 0 s r m fR R L L est exposé

en annexe B. En prenant les mêmes variables d'état que précédemment, la représentation d'état de

ce modèle est proche du modèle classique de Park, seule l'expression de la résistance rotorique

dans la matrice de transition est modifiée :

( )x t A x t Bu t

y t Cx t

(III.29)

Avec

T


T

, T

ds qs ds qsu U U y i i : entrée et sortie de la machine.


74

1 1 1

1

2

2

s eq f eq m f

eq eq m

R R L R L P LA

R R L P

0

1 0 0 0

1 0 0 0, , .

1 0 1 0 0 10 0 0

T

f

eq r

f

LB C R R I Q

L

L'angle de défaut0 permet la localisation de la barre cassée au rotor à l'aide d'un capteur absolu.

Afin d'obtenir sa valeur pour chaque essai, il est nécessaire d'introduire ce paramètre dans le

vecteur

et pouvoir ainsi l'identifier.

Figure III.6. Axes de recherche du défaut au rotor [BAC02a]

Le choix de cet angle de défaut est primordial lors de la procédure de diagnostic. En effet, ce

paramètre conditionne la direction de l'anomalie au rotor. En cherchant le taux de défaut 0 sur

une barre donnée, il est important d'indiquer la bonne direction de recherche. En plus, lorsqu'un

défaut sur plusieurs barres apparaît, il est évident que la recherche sur un seul axe ne peut plus

expliquer un tel déséquilibre. Il faut donc introduire autant de directions de recherche que de

nombre de barres en défaut (Figure. III.6).

En pratique, il est impossible de connaître au préalable le nombre de barres en défaut. Une

solution naturelle consisterait à identifier un modèle avec bn directions de recherche (où bn est le


75

nombre de barres).Il faudrait dédier à chaque encoche rotorique un paramètre 0k afin de

quantifier le taux de défaut dans chacune d'elles, ce qui aurait pour effet d'augmenter

considérablement le nombre de paramètres à estimer, et donc de fausser l’estimation

paramétrique. Cette solution est donc irréaliste en pratique. Une solution moins contraignante

consiste à procéder par étapes élémentaires :

1. On identifie la machine avec un modèle comportant un seul quadripôle de défaut, la

recherche du taux de défaut se fera donc sur une seule barre (un seul axe de recherche).

On définit le vecteur des paramètres à estimer : 0 0 T

s r m fR R L L

On calcule le nombre de barres cassées bcn

correspondant au taux de défaut sur l'axe de recherche

repéré par l'angle 0 :

Si le nombre de barres cassées bcn

est négligeable, alors le rotor est sain. Si le nombre de barres

cassées bcn

est proche de l'unité, alors le rotor comporte au moins un défaut dans une barre.

2. Si 1bcn

, alors le rotor comporte plus d'une barre cassée.

On introduit dans modèle deux paramètres 01

et 02

correspondant respectivement au taux de

défaut sur deux axes de recherche repérés par les angles 01 et 02 On définit alors nouveau

vecteur des paramètres à estimer : 01 02 01 02 T

s r m fR R L L

On calcule les paramètres bckn

correspondant aux taux de défaut sur les deux barres

3. Ce processus est réitéré si bckn

> 1.

Même si les angles de défaut ne permettent pas la localisation des barres cassées en absence d'un

capteur absolu, ils permettent néanmoins de connaitre leur répartition au rotor. En effet, en

situation de défaut sur deux barres, l'estimation de deux angles de défaut 01 et 02 permet d'avoir

le décalage angulaire entre les barres cassées:

02 01

En plus du suivi du paramètre bckn

afin de discriminer une rupture de barre de celle de plusieurs

barres, il est aussi judicieux d'effectuer un suivi de l'estimation de la variance du bruit 2

b


76

obtenue avec l'adjonction de l'information a priori. On a vu au chapitre 2 que ce paramètre reflète

l'importance de l'erreur de modélisation, une estimation avec un modèle inadapté donnera donc

une valeur erronée de cette variance. Ainsi, pour chaque essai, on compare la variance obtenue

avec la variance réelle 2

b :

Si 2

2b b , alors le nombre des axes choisis est égal au nombre réel de barres en défaut

Si 2

2b b , on doit augmenter le nombre d'axes de recherche afin de réduire l'erreur de

modélisation.

Remarque : En application industrielle, il est évident que la simple détection d'une barre cassée

est suffisante pour envisager soit le changement du rotor dans le cas des petites et moyennes

puissances, soit sa réparation pour les grandes puissances. Dans ce cas, le diagnostic sur un seul

axe est suffisant pour une maintenance prédictive de la machine. En plus, les fabricants de

moteurs électriques (Moteurs Leroy Somer) sont plus intéressés par un diagnostic en sortie de

chaîne de fabrication afin de détecter la présence d'anomalies dans les barres (bulles d'air),

synonyme d'une mauvaise phase de coulage de l'aluminium. Il est donc inutile, en pratique, de

réitérer le processus de recherche du nombre de barres cassées. C'est donc uniquement dans un

souci académique et de vérification de notre méthode que ce processus itératif est envisagé.

III.6.4.2. Détection d'une rupture de barre :

Avec un rotor possédant une barre cassée, trois essais ont été réalisés avec des conditions

expérimentales différentes pour montrer l'influence du mode de fonctionnement de la machine. Il

est évident que plus on charge la machine sollicitant ainsi le rotor, plus l'information "rupture de

barres" se manifeste fortement. D'ailleurs il est impossible jusqu' à présent d'envisager la

détection de défaut rotorique par analyse spectrale sans charger la machine (à vide), car les

fréquences parasites sont proportionnelles au glissement de la machine [ABE 99, BAG 97]. Nous

avons testé la procédure de diagnostic en présence d'une barre cassée dans les trois situations

suivantes :

1.Essai à vide

2. Essai en moyenne charge (puissance absorbée 520 Watts)

3. Essai en pleine charge (puissance absorbée 900 Watts)


77

Les trois modes de fonctionnement ont été effectués à température normale (35°C). nous

remplacerons directement le paramètre 0 par le nombre de barres cassées correspondant bcn .

Le tableau (Tab.III.2) présente les résultats d'identification pour une moyenne de dix

enregistrements différents. En premier, on peut remarquer que les paramètres électriques du

mode commun sont peu affectés par le défaut. Leurs variations dans l'ensemble des situations

sont négligeables.

En revanche, l'estimation du paramètre bcn indique la présence d'un déséquilibre au rotor.

Malgré l'initialisation à zéro de ce paramètre, le nombre de barres cassées estimé est proche de

l'unité sur l'ensemble des essais. On peut constater que plus le rotor est sollicité, plus l'estimation

est proche de la réalité, mettant ainsi l'accent sur l'importance de la charge lors du diagnostic des

défauts rotorique. Par conséquent, il est nécessaire pour une meilleure estimation du nombre de

barres cassées de charger suffisamment la machine.


Paramètres A vide M.charge P.charge

9.81sR 9.9879 9.7226 9.7319

3.83rR 3.8542 3.8466 3.8499

0.436mL 0.4374 0.4330 0.4345

0.0762fL 0.0768 0.0770 0.0772

1bcn 0.9787 0.9956 0.9933

2

0.0663b 0.0920 0.0789 0.0778

0 2* /15 0.4213 0.4188 0.4187

Cependant, si l'application ne le permet pas, les essais à vide peuvent malgré tout nous donner

une approximation suffisante et satisfaisante du taux de défaut.

On peut remarquer aussi, que le nombre de barres estimé n'excède pas l'unité. Il n'est donc pas

nécessaire de réitérer le processus sur deux axes de recherche. En plus, l'estimation de la variance


78

pour les deux types d'excitation est proche de sa valeur initiale ce qui permet de conclure quant

au bon choix du modèle, et par conséquent du nombre d'axes de défaut.

0 5 10 15 20 259.72

9.73

9.74

9.75

9.76

9.77

9.78

9.79

9.8

9.81

Rs

iterations

Rs

0 5 10 15 20 25

3.83

3.832

3.834

3.836

3.838

3.84

3.842

3.844

3.846

3.848

Rr

iterations

Rr

0 5 10 15 20 250.433

0.4335

0.434

0.4345

0.435

0.4355

0.436

0.4365

Lm

iterations

Lm

0 5 10 15 20 25

0.0762

0.0763

0.0764

0.0765

0.0766

0.0767

0.0768

0.0769

0.077

Lf

iterations

Lf

0 5 10 15 20 250.993

0.994

0.995

0.996

0.997

0.998

0.999

1

1.001

nbc

iterations

nbc

0 5 10 15 20 25

0.4188

0.4188

0.4188

0.4188

0.4188

0.4188

0.4188

0.4189

0.4189

0.4189

th0

iterations

th0

Figure III.7. Résultats d'estimation paramétrique en présence d'une rupture d’une

seule barre

La figure (III.7) représente l'évolution des paramètres lors de la procédure d'identification avec

information a priori relative à l'essai en moyenne charge. Pour le même essai, on représente à la

figure (III.8) la comparaison entre le courant réel et le courant estimée sur l'axe d de Park pour les

deux types d’excitations.


79

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000

-10

-5

0

5

10C

oura

nt

[A]

échantillons


réel

estmé

0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000-0.08

-0.06

-0.04

-0.02

0

0.02

0.04

0.06

0.08

err

eur

du C

oura

nt

[A]

échantillons [s]

erreur entre ids réel et ids estimé

Figure III.8.Comparaison du courant réel et estimé d'axe d de Park

III.6.4.3 Détection d'une rupture de deux barres

Pour la rupture de plusieurs barres au rotor, on peut envisager les situations suivantes :

1. Rotor avec deux barres cassées successives 2

28

1000 1005 1010 1015 1020 1025 1030 1035 1040 1045

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

Coura

nt [A]

Temps [s]



80

2. Rotor avec deux barres cassées décalées d'un angle 2.8

Pour ces essais, on se propose d'appliquer l'organigramme présenté précédemment pour obtenir le

nombre des barres cassées ainsi que l'angle qui les sépare.

a) Détection sur un seul axe :

Il s'agit dans un premier lieu d'estimer comme précédemment le vecteur des paramètres suivants :

0 0 T

s r m fR R L L .

Le tableau (III.3) récapitule la moyenne des estimations pour chaque essai :


Paramètres essai 1 Essai 1 Paramètres essai 2 Essai 2

9.81sR 10.0485 9.81sR 10.0629

3.83rR 3.8919 3.83rR 3.8981

0.436mL 0.4370 0.436mL 0.4370

0.0762fL 0.0759 0.0762fL

0.0758

2bcn 1.9740 2bcn 1.9529

2

0.0639b 0.0319 2

0.0639b 0.1053

0 2* / 28 0.2277 0 / 2.8 1.1275

Les résultats de l'identification font apparaître sur l'ensemble des essais l'existence d'une

défaillance au rotor. Il parait clair que le taux de défaut sur un seul axe est supérieur à l'unité. Par

conséquent, le nombre de barres en défaut est supérieur à une barre. De plus, on remarque que le

nombre de barres cassées estimé lorsque les défauts sont successifs (essai 1) est plus important

que pour des défauts décalés (essais 2). En fait, l'estimation paramétrique explique le déséquilibre

présent dans la machine en projetant les défauts sur un seul axe. Ainsi, plus les barres en défaut

sont proches l'une de l'autre, plus le taux de défaut estimé est important. Dans le cas particulier où


81

les défauts sont successifs, le nombre de barres cassées estimé sur un seul axe est

approximativement proche de la réalité.

D'ailleurs ceci se manifeste clairement sur la valeur de l'estimation de la variance 2

b :

Lorsque les barres cassées sont successives (essai 1), l'écart entre la variance estimée 2

b et sa

valeur initiale 2

b est de l'ordre de 50 %.

En fait, pour un défaut de deux barres successives, la projection sur un seul axe est adaptée à

l'explication du défaut. Lorsque les barres sont non successives (essais 2), la variation maximale

de l'estimation de la variance est de l'ordre de 160 %., mettant ainsi en évidence une importante

erreur de modélisation. Pour ce genre de défaut, il faut donc réitérer le processus sur un nombre

d'axes plus élevés.

b) Détection sur deux axes :

Comme l'estimation paramétrique précédente a détecté plus d'une barre cassée, il est donc

nécessaire d'effectuer une nouvelle identification en augmentant le nombre de directions de

défaut. On écrit l'expression du nouveau vecteur des paramètres à estimer :

01 02 01 02 T

s r m fR R L L

On rapporte sur le tableau (III.4) les estimations des paramètres électriques et le taux de défaut

sur chaque axe ainsi que le décalage angulaire.


Paramètres essai 1 Essai 1 Paramètres essai 2 Essai 2

9.81sR 9.8698 9.81sR 9.8698

3.83rR 3.8437 3.83rR 3.8437

0.436mL 0.4338 0.436mL 0.4338

0.0762fL 0.0754 0.0762fL

0.0754

1,2 2bcn 0.9952/ 0.9966 1,2 2bcn 0.9952/0.9970


82

2

0.0639b 0.0368 2

0.0639b 0.1171

2*28

0.2244 2.8

0.2842

La rupture de deux barres au rotor se manifeste sur les deux axes de défaut par un taux de défaut

proche de l'unité. En effet, pour l'ensemble des essais les taux de barres cassées 1bcn

et 2bcn

indiquent l'existence d'un déséquilibre sur les deux directions de défaut. Dans les essais 1 et 2, les

paramètres électriques sont peu affectés par le défaut. On a vu que sur un seul axe de défaut, la

variation de l'estimation de la variance 2

b était importante. En revanche, comme le montre le

tableau (III.4), l'estimation 2

b est proche de sa valeur initiale (0.0639). Ceci est une indication

quant au bon choix du nombre de directions de recherche.

Du fait de l'absence d'un capteur absolu, les angles 01 et 02 sont différents d'un essai à l'autre. Ils

ne permettent donc pas une localisation des barres cassées. Par contre, l'angle permet de

connaitre le décalage angulaire entre les deux barres en défaut. D'après l'estimation de cet écart,

on peut conclure que le rotor dans l'essai 1 possède deux barres successives, alors que les barres

cassées dans l’essai 2.

D’après les résultats de simulation trouvée au chapitre deux et dans ce chapitre on va faire une

comparaison entre les deux méthodes

III.7.Comparaison entre méthode ondelettes et Bayésienne :

Le tableau suivant présente une comparaison entre les deux méthodes :

Méthode ondelettes Méthode Bayésienne

Propose une analyse très fine des signaux et

permet de détecter la non-stationnarité dans les

signaux où cette particularité est non

disponible dans les techniques classiques

(FFT, STFT).

Propose une identification paramétrique mise

au point d'algorithmes dédiés à l'estimation

réaliste des paramètres physiques, en tenant

compte d'une connaissance a priori (loi de

Bayes) de la machine,elle permis une avancée

prometteuse du diagnostic par estimation


83

paramétrique.

Diagnostic est basé sur l'analyse des signaux à

niveau élevé obtenus à partir de la

décomposition en ondelettes (discrète) du

signal du courant statorique a donné une image

réelle sur les différents défauts rotoriques de

la machine asynchrone à cage. ainsi la

transformé d’ondelettes continue en trois

dimension a menée à des résultats très

significatifs en terme de défauts

Les algorithmes de type erreur d'équation ont

été abandonnés car ils sont biaisés et beaucoup

trop sensibles aux perturbations stochastiques

et aux erreurs de modélisation mais le LAII a

montré que l'adjonction d'une information a

priori en erreur de sortie, grâce à un critère

composite, permet d'introduire une

connaissance initiale, relative à la machine

saine par exemple, et ainsi d'accélérer et de

robustifier la convergence de l'algorithme de

Programmation Non Linéaire. (P.N.L)

Elles nous permettent d'effectuer une analyse

robuste et mènent à une multitude

d'applications. Contrairement à la transformée

de Fourier à court terme, la transformée en

ondelettes fait appel à la notion de temps-

échelle impliquant des fenêtres d'analyse de

longueurs dynamiques.

l'un des objectifs les plus importants, dans le

cadre du diagnostic, concerne la mise au point

de modèles mathématiques réellement

représentatifs d'un fonctionnement en défaut.

En modélisation orientée vers le diagnostic, il

est essentiel d'envisager deux modes ; un mode

commun et un mode différentiel.

Le mode commun doit correspondre au

modèle dynamique de la machine

asynchrone. Exprimé dans un repère

triphasé ou biphasé, il traduit le

fonctionnement sain de la machine.

Le mode différentiel a pour objectif de

traduire le dysfonctionnement

et ses paramètres doivent être essentiellement

sensibles au défaut

En modélisation orientée vers le diagnostic, il

est essentiel d'envisager deux modes ; un mode

commun et un mode différentiel.

Le mode commun doit correspondre au

modèle dynamique de la machine

asynchrone. Exprimé dans un repère

triphasé ou biphasé, il traduit le

fonctionnement sain de la machine.

Le mode différentiel a pour objectif de

traduire le dysfonctionnement

et ses paramètres doivent être

essentiellement sensibles au défaut


84

Les applications de la technique des ondelettes

ont couvert presque chaque aspect du

diagnostic de défaut, trois aspects principaux

dans ces applications : y compris l'analyse de

temps-fréquence des signaux, l'extraction de

dispositif de défaut, la détection de singularité

pour des signaux et l'extraction des signaux

faibles ainsi que la décomposition des signaux

et l'identification du défaut.

Le concept d’ondelette est émergé du concept

de la FFT et STFT.

La méthode de diagnostic par identication

paramétrique conduit à procéder à l'estimation

des paramètres du modèle complet. Ainsi, les

paramètres électriques du mode commun (avec

connaissance a priori), indiqueront l'état

dynamique de la machine et les paramètres du

mode différentiel permettront d'accéder à

l'information sur les défauts présents dans la

machine.

La surveillance de ces paramètres va

permettre la détection et la localisation du des

équilibre.

l'application de la transformée en ondelettes

discrète est optimisée, concernant le choix de

certains paramètres tels que la fréquence

d’échantillonnage, le type de l’ondelette,

l'ordre de l’ondelette ou le nombre de niveaux

de décomposition.

Le test sur la variance de l'erreur de sortie, en

liaison avec une connaissance a priori des

paramètres a estimé constitue un excellent

outil de diagnostic

III.8 Conclusion :

Dans ce chapitre, nous avons proposé une procédure de détection et de localisation des défauts

sur la machine asynchrone basée sur l'estimation paramétrique et sur l'utilisation de modèles

dédiés aux défauts statoriques et rotoriques. Cette procédure de diagnostic a été validée à partir

de défauts expérimentaux réels, dans les deux principaux modes de fonctionnement envisagés

Elle a permis la localisation et la quantification le nombre de barres cassées au rotor, Ceci est dû

à la puissance de l'algorithme d'identification avec information a priori et au modèle global de

défauts permettant d'expliquer un déséquilibre au rotor de la machine.

CONCLUSIONS GENERALES &

PERSPECTIVES


85


Le travail présenté dans ce mémoire expose l'apport des méthodes ondelettes et Bayésienne pour

le diagnostic des défauts des machines électriques et plus particulièrement celui de la machine

asynchrone à cage d'écureuil.

Pour aborder l'étude, nous avons établi un état de l'art des défauts pouvant intervenir dans la

machine asynchrone et des méthodes classiques permettant de les identifier. Ce travail

préliminaire a mis en évidence deux catégories d’approches en vue du diagnostic spécifique de la

machine asynchrone :

La première est basée sur la transformée en ondelettes et divisé en deux sections : transformé

d’ondelettes continue et transformée d’ondelettes discrète pour le diagnostic des défauts de

rupture des barres rotoriques et rupture des portions d’anneaux de court-circuit

La transformée en ondelettes continue est faite en trois dimensions (Temps échelle

Amplitude).

La transformée d’ondelettes discrète est basée sur l'analyse des signaux à niveau

élevé obtenus a partir de la décomposition en ondelettes du signal du courant

statorique. Elle est concentrée sur l'étude des signaux d'approximation et de détail

résultants de la décomposition en multi-niveau qui contiennent les informations des

défauts. Ces signaux permettent la détection de l'évolution des harmoniques

caractéristiques liées à la rupture pendant le fonctionnement en charge. Une

particularité de la technique des ondelettes, la détection de la non-stationnarité dans un

signal est exploitée à travers une décomposition du courant statorique lors de cassure

des barres et cassure d’un segment d’anneau.

La seconde traite la modélisation et l'identification paramétrique en vue de la surveillance de la

machine asynchrone à cage d'écureuil. Le point de départ dans cette partie a été le

perfectionnement de la méthodologie de surveillance par estimation paramétrique des procédés

industriels. Des investigations ont été menées en s'appuyant sur les algorithmes à erreur de sortie

afin d'établir une stratégie générale pour un diagnostic sûr des défauts. Cette nouvelle approche

nous a permis d'atteindre un second objectif, la surveillance généralisée de la machine


86

asynchrone à cage. A travers cet objectif, la modélisation des défauts statoriques et rotoriques de

la machine asynchrone ainsi que l'application des algorithmes récursifs dans le diagnostic des

défauts ont été considérés.

La méthode d'estimation paramétrique Bayésienne, à la différence des autres approches, permet

l'adjonction de la connaissance a priori. Ce-ci dit, la rend parfaitement adaptée à la surveillance

des procédés en génie électrique. Néanmoins, une difficulté de premier ordre, concerne la mise

au point d'une technique de discrimination entre une variation prévisible dans l'état paramétrique

et un mode de fonctionnement défectueux doit être pris en considération. Le test sur la variance

de l'erreur de sortie, en liaison avec une connaissance a priori des modes de fonctionnement sains

de la machine, constitue un excellent outil pour remédier à cette dite difficulté.

La validation, à partir d'essais expérimentaux, de ces modèles de défauts selon [ BAC02] et la

procédure d'identification a ainsi permis d'une part, la localisation au rotor de barres cassées dans

les axes de recherche et d’autre part la quantification du nombre de barres cassées au rotor (dans

le cas de notre machine). Ainsi, dans des situations de défauts réels, la procédure de diagnostic

par estimation paramétrique mise en place donne une image très réaliste du déséquilibre présent

dans la machine. Ceci est dû d'une part, à la puissance de l'algorithme d'identification avec

information a priori et d'autre part, au modèle global de défauts permettant d'expliquer un

déséquilibre au rotor de la machine. Un tableau de comparaison mettant en évidence les

particularités, avantages, inconvénients, apports et résultats de chacune des deux méthodes

(ondelettes et Bayésienne) est présenté à l’issue de ce chapitre.

Comme perspective nous sommes conscients de n'avoir étudié que certains points d'un sujet

d'étude très vaste qui nécessitera une investigation plus poussée et une meilleure compréhension

physique des phénomènes mis en jeu et l'utilisation d'outils appropriés.

En ce qui conçerne le moteur asynchrone, il est évident qu’il y a beaucoup de points à traiter,

d’autre défauts plus complexes comme un court circuit entre les spires et défauts d’excentricité

devront être bien traités.


87

Les approches proposées, basées sur la transformée en ondelettes discrète du signal, peuvent être

prolongées pour le diagnostic et la discrimination entre d'autres types de défauts dans les

machines électriques.

La prise en compte des pertes fer devient nécessaire, pour éviter que celles-ci se reportent sur les

paramètres résistifs faussant l'estimation paramétrique. Un modèle décrivant les courants de

Foucault dans les tôles magnétiques devient nécessaire.

ANNEXE A

ANNEXE A Modèle multi- enroulement de la MAS à cage

88

ANNEXE A: Modèle multi- enroulement de la MAS à cage

A.1 Introduction :

L'étude et la mise au point des méthodes de diagnostic des machines électriques nécessitent

l’aménagement d’un environnement expérimental riche. En effet, les méthodes élaborées

doivent être testées pour diverses conditions de fonctionnement et pour des machines de

caractéristiques différentes ce qui est rarement possible en pratique ; c'est pour cette raison

que la modélisation et la simulation des machines électriques constituent une étape

primordiale en matière du diagnostic. Elles permettent la compréhension du fonctionnement

défectueux et la vérification, sur un prototype virtuel, des algorithmes de détection et de

localisation des défauts.

Elles permettent aussi, de construire des bases de données sur les manifestations électriques et

magnétiques des défauts. Il est important donc, de synthétiser un modèle adapté au problème

à traiter, décrivant le comportement de la machine non pas de la façon moyenne, comme pour

la commande, mais d'une façon la plus fine possible. [ABE99]

Pour obtenir le modèle d'un système ; trois tâches doivent être accomplies :

Choisir le modèle ;

Déterminer ses paramètres;

Vérifier sa validité.

La modélisation décrite dans cette annexe, à pour objet de simuler la rupture de barres ou de

portions d'anneaux de court-circuit pour une machine asynchrone à cage. Pour ce faire nous

avons choit un modèle basé sur un circuit maillé représentant la cage rotorique car il s’adapte

bien au problème posé puisque il décrit chaque élément de la cage par un circuit électrique

équivalent [KHA09].

A.2 Modèle multi enroulements de la machine asynchrone triphasée à cage:

L'objectif est avant tout de posséder un modèle de la machine asynchrone qui met en évidence

l'influence des défauts étudiés sur les grandeurs mesurables de la machine (courants, vitesse,

couple, …), afin d'étudier les phénomènes mise en jeu.

Pour ce faire, on va modéliser le rotor de la machine par des mailles reliées entre elles

électriquement et couplées magnétiquement, afin de disposer d'un modèle mathématique où


89

les paramètres mesurables apparaissent explicitement et ne nécessitent pas d'outils de calcul

complexes. [BEL06]

On a introduit dans notre étude le modèle de la machine asynchrone où on considère le stator

de constitutions symétrique pour avoir une force magnétomotrice sinusoïdale dans l'entrefer et

le rotor à une structure de mailles.

A.2.1 Hypothèses simplificatrices :

Pour mettre en évidence l’influence des défauts électriques sur les grandeurs temporelles de la

machine asynchrone, il est indispensable de poser certaines hypothèses qui ont pour but de

faciliter la mise en équations des circuits électriques de la machine. Mais, il faut imposer un

minimum d’hypothèses si nous voulons que le vecteur de sortie soit le plus exploitable

possible.

Dans l’approche proposée, nous avons supposé que [KHA09] :

Circuit magnétique linéaire (la perméabilité du fer très grande devant 1).

Effet de peau négligeable.

Barres rotoriques isolées les unes des autres

Pertes fer, effets capacitifs et effets thermiques négligeables.

Effet d'excentricité absent.

Avec ces hypothèses et on supposant un stator sain les différents paramètres du modèle sont

comme suit [KHA09].

A.2.2 Calcul des inductances de la machine :

A.2.2.1 Partie Statorique :

En premier temps, on suppose que les enroulements statoriques sont idéalement distribués

autour du périphérique de l'entrefer de telle sorte que l'induction résultante puisse être

sinusoïdale, dans ce cas l'expression de la FMM sera [BEL06] :

2( ) cos( )s sN I

Fp

(A.1)

D'après le théorème d'Ampère on peut écrire :

( ) s sN IF Hdl

p (A.2)

La décomposition de l'induction sera :


90

02( ) cos( )s s

s

N IB

e p

(A.3)

Par conséquent, le flux magnétique dans l'entrefer est obtenu par l'intégration de l'expression

(A.3)

2

2

p

s s s

S

p

B dS B Rl d

On obtient :

0

2

4 ss s

N RlI

e p

(A.4)

Le flux total traversant l’enroulement de la phase « a » est :

2

0

2

2

2cos( )

p

ssa s s s s

p

N RlN N I p d

e p

(A.5)

Donc :

sa sp sL I

L’inductance principale (magnétisante) de la phase « a » statorique d’après (A.5) est donnée

par :

2

0

2

4 sN RlLsp Lms

e p

(A.6)

Le flux de fuite est donné par :

fs fs sL I (A.7)

L’inductance totale de la phase “a” est égale a la somme de l’inductance de magnétisation et

la l’inductance de fuite :

as sp fsL L L (A.8)

Puisque les enroulements statoriques sont symétriques, les inductances propres des trois

phases sont considérées égaux as bs cs sL L L L

A.2.2.2 Partie rotorique :

La figure A-1 illustre la modélisation du rotor par un schéma électrique équivalent, le rotor a

était décomposer en circuit élémentaire (mailles) constituer de deux barres et de deux portions


91

d’anneaux les reliant à chaque extrémité. Cette topologie de circuits rotoriques nous permettra

d’envisager la rupture de n’importe quelle barre ou de portion d’anneau.

Figure A.1 : Structure de la cage du rotor. [ALL09], [KHA09]

La figure A.2 représente en fonction de θ, l’allure de l’induction magnétique supposée radiale

produite par une maille rotorique dans l’entrefer on remarque que contrairement au stator, elle

ne peut se ramener au fondamental de sa décomposition en série de Fourier :

Figure A.2: Induction magnétique produite par une maille du rotor. [ALL09]


92

La distribution spatial du champ dû à la keme boucle de courant rotorique, est considérée

comme étant rectangulaire, l’inductance principale et l’inductance mutuelle d’une maille

rotorique sont données par l’expression du flux propre de la maille k. On a donc :

( 1)

01k a

rrpk rk

rka

NR lI d

N e

(A.9)

02

1 2rrpk rk

r

N RlI

N e

(A.10)

L’inductance propre d’une boucle rotorique est :

02

1 2r

r

NLrp Rl

N e

(A.11)

L’inductance totale de la keme maille rotorique est égale à la somme de son inductance

principale, des inductances de fuite des deux barres et des inductances de fuites de deux

portions d’anneaux de court circuit fermant la maille k

2 2rr rp b eL L L L (A.12)

Les mailles rotoriques sont magnétiquement couplées par l’intermédiaire du flux rotorique

d’entrefer, le flux traversant la emej

maille produit par le courant rkI circulant dans la maille k

est donné par :

( 1)

01j a

rj rk rk

rja

Rl I dN e

(A.13)

D’après l’équation (A.13) on obtient l’inductance mutuelle :

0

2

21

r

Mrr RlN e

(A.14)

A.2.2.3 Inductances mutuelles stator rotor :

L’induction produite par la bobine de la phase « n » dans la keme maille rotorique est donnée

par :

02 2cos

3

s smsr

N IB p n

e p

(A.15)

Avec n= (1, 2,3)

Le flux traversant la maille k, est donné par :

( 1)k a

rk a msr

ka

B Rl d

On obtient :


93

1( 1)

02 1 2sin

3

k ak a

rk a msr s s

ka ka

B Rl d N RlI p nep p

(A.16)

L’inductance mutuelle entre la phase « a » du stator et la maille rotorique est :

2cos

3rk a srM M p n k a

(A.17)

Avec 0

2

4 2sin ,

2

ssr

r

N Rl aM a p

ep N

Le tableau (A.1), résume les expressions des déférentes inductances de la machine asynchrone

à cage qu'on a l'utiliser [KHA09].

INDUCTANCES EXPRESSIONS

L'inductance principale d'une phase statorique.

2

0

2

4 sN RlLsp Lms

e p

L'inductance mutuelle entre phases statoriques. 2

LspMs

L'inductance totale d'une phase statorique. Lsa Lbs Lcs Ls Lsp Lsf

L'inductance principale d'une maille rotorique 02

1 2Lrp

NrRl

N e

L'inductance mutuelle entre mailles rotoriques non

adjacentes.

0

2

2

r

Mrr RlN e

L'inductance mutuelle entre mailles rotoriques

adjacentes. ( 1) ( 1)k k k k bMr Mr Mrr L

L'inductance mutuelle entre une maille rotorique et une

phase statorique "a".

cosrksa sr rM L t ka avec :

sr 2

4L sin

2

O sN Rl a

ep

Tableau A.1 - Inductances de la machine asynchrone à cage.

A.3 Mise en équations de la machine :


94

Nous recherchons l'ensemble des équations différentielles indépendantes de définissants le

modèle de la machine. Le but de la mise en équations est d'effectuer une simulation

numérique.

A.3.1 Equations des tensions statoriques :

L’équation de tension statorique se met sous la forme matricielle suivante :

abc s abc abc

abc s abc sr rk

dV R I

dt

L I M I

(A.18)

Avec :

T

abc a b cV V V V , vecteur de tensions statoriques.

T

abc a b cI I I I , vecteur de courants statoriques.

0 1 ( 1)... ...r

T

rk r R rk r NI I I I I , vecteur de courants dans les mailles rotoriques.

T

abc a b c , vecteur de flux statoriques.

sR : Matrice des résistances statoriques.

0

0 0

0 0

s

rs O

R rs

rs

(A.19)

sL : Matrice des inductances statoriques.

s

Las Ms Ms

L Ms Las Ms

Ms Ms Las

(A.20)

srM : matrice des inductances mutuelles entre phases statoriques et mailles rotoriques.

... cos( ) ...

2... cos( ) ...

3

4... cos( ) ...

3

sr r

sr sr r

sr r

L ka

M L ka

L ka

(A.21)


95

Où : 10,1,2,..., rK N

A.3.2 Equations de tensions au rotor :

La figure (A.4) représente le schéma équivalent d’une portion la cage rotorique.

Figure A.3 Schéma équivalent des mailles rotoriques [BEL06].

Sachant que :

bk ( 1)

ek rk e

rk r k

I I I

I I I

L'équation de tension pour une maille ' k ' de la cage rotorique est donnée par :

( 1) ( 1) ( 1)2 0e ebk r k b k bk rk bk r k e rk

r r

R R dR I R R I R I I

N N dt

(A.22)

Avec :

1

1 10

2 2

2 4cos cos cos

3 3

Nre e

rk rp b rk rr rg b r ek r kjr r

sr r r r abc

L LL L I M I L I I I

N N

L ka ka ka I

(A.23)

Cependant on doit compléter le système d'équations des circuits du rotor par celle de l'anneau

de court-circuit, on a alors :

1 1

0 0

0Nr Nr

e erk rk e e e e

k kr r

R L d dI I R L L I

N N dt dt

(A.24)


96

Ces équations (A.22) (A.23) constituent la mise en équation de la partie rotor.

A.3.3 Equation globale des tensions :

L'équation globale des tensions est donnée par :

d I d L

V R I L Idt dt

(A.25)

Avec :

0 0 .... 0 0T

a b cV V V V , vecteur global des tensions4rN , il contient les

trois tensions statoriques et les Nr tensions des mailles rotoriques ainsi que la tension de

l'anneau de court-circuit.

0 1 ( 1)... ....T

a b c r r rk r k eI I I I I I I I I , vecteur global des courants 4rN , il

contient les trois courants statoriques et les Nr courants des mailles rotoriques, ainsi que le

courant de l'anneau de court-circuit.

1

1 1 1

3 3 3

3

0

... ...

0

r

r r r

s N

rN N N

R

R

R

, matrice globale des résistances.

Avec :

rR : Matrice des résistances rotoriques de taille 4 4r rN N

0 ( 1) ( 1)

( 1) ( 1)

( 1) ( 2) ( 1)

2 0

2

2

r r

r r r

e eb r N r N

r r

er k bk r k rk

r

r

e er N R N r N

r r

e ee

r r

R RR R R

N N

RR R R R

N

R

R RR R R

N N

R RR

N N

(A.26)


97

1

1 1 1

3 3 3

3

r

r r r

s sr N

sr rN N N

L M

L

M L

Matrice globale des inductances.

( 1)

( 1) ( 1)

2 2

2 2

2 2

r

r r

e erp rb rr b rr r N

r r

err b rp rb rr b rr

r

r

e er N rr r N rp rb

r r

e ee

r r

L RL L M L M R

N N

LM L L L M L M

N

L

L RR M R L L

N N

R RR

N N

(A.27)

0

..... .....

0

sr

t

sr

d M

dtd L

dtd M

dt

, dérivée de la matrice globale des inductances.

On remarque que la matrice srM dépend du temps, ce qui nécessite l'inversion de la matrice

inductance sL , de dimension 4rN à chaque pas de calcul. Pour rendre cette matrice

constante, on applique la transformation de Park sur les équations de tensions statoriques. On

prend le référentiel lié au rotor.

La matrice de Park modifiée est définie par :

1cos( ) sin( )

2

2 1 2 2( ) cos( ) sin( )

3 3 32

1 4 4cos( ) sin( )

3 32

P

(A.28)

La matrice globale de Park de dimension 4 4r rN N est définie par :


98

1 1

0

..... .....

0 1r r

T

N N

P

T

(A.29)

[I] : est la matrice identité de dimension 4 4r rN N .

Sachant que :

trV T V , avec : 0 0..... 0 0T

tr os ds qsV V V V

trI T I , avec : 0 1 ( 1)..... .....T

tr os ds qs r r rk r Nr eI I I I I I I I I

Avec :

3cos( )

2

3sin( )

2

ds m s r

qs m s r

V V t

V V t

(A.30)

L'équation (A.29) devient :

1 tr

tr tr tr

d T I d LT V R T I L T I

dt dt

(A.31)

1 1 1 1 tr

tr tr

A DB C

d T d L d IV T R T T L T T I T L T

dt dt dt

(A.32)

Les termes A, B, C et D sont donnés par :

1

1

0

............................. ....

0

sP R P

A T R T

O

(A.33)

1

1

0

............................. ....

0

s

T

sr

d PP L

dtd T

B T Ldt

d PM

dt

(A.34)


99

1

1

0

............................. ...........................

0

sr

T

sr

d MP

dtd T

C T Tdt

d PM

dt

(A.35)

1 1

1............................. ...........................

s sr

T

sr r

P L P P M

D T L T

M P L

(A.36)

La mise en équations électriques du modèle de la machine, conduit à un système complet de

dimension 4rN :

0 00

0 0

1 1

( 1) ( 1)

0

0

0

0

0

s ss

ds dsds

qs qsqs

r r

r r

tr tr

k k

r Nr r Nr

e e

I IV

I IV

I IV

I I

I IdL R

dt

I I

I I

I I

(A.37)

trL et trR sont les matrices globales des inductances et des résistances obtenues après la

transformation de Park.

La matrice trL est donnée par :


100

2 0 0 0 0 0 0

3 3 30 0 cos( ) cos(( 1) ) 0

2 2 2

3 30 0 0 sin( ) sin(( 1) ) 0

2 2

............ .......... ............ ........ .................. ............. .......... ..............

s s

s s sr sr sr r

s s sr sr r

L M

L M L L a L N a

L M L a L N a

............ ...

3 e0 0 2 2

2

3 30 cos( ) sin( ) 2 2

2 2

3 30 cos(( 1) ) sin(( 1) ) 2 2

2 2

sr rr rr

r

sr sr rr rr

sr r sr r rr rr rr

Le LL Lrp Lb Mrr Lb M M Lb

Nr N

LeL a L a Mrr Lb Lrp Lb M Lb M

Nr

LeL N a L N a M Lb M M Lb Lrp Lb

N

e

............ ................... ...................... ............. ...................... .............. .............. ...........................

e0 0 0

r r

r r

L

N

L LeLe

N N

La matrice trR est donnée par :

0 0 0 0 0

3 3

0 ( ) sin( ) sin(( 1) ) 0

2 2

3 3 3

0 ( ) cos( ) cos(( 1) ) 0

2 2 2

0 0 0 20 ( 1)

0

0s r

s r

r

r

rs

rs r M Ls r L a rL N asr sr

r Ls M rs rL rL a rL N asr sr sr

Re

R R Rb b N b

N

00 ( 1)

0 2 0( 1) ( 1)

0 0 0 0 2( 1) ( 2) ( 1) ( 2)

0 0 0

r

r

r

r r r r

r r

r

Re

Rb N

N

Re

R R R Rb k bk b k bk

N

R Re e

R R R Rb N b N b N b N

N N

R Re e

N

Re

rN


101

A ces équations, on ajoute les équations électromécaniques afin d'avoir la vitesse électrique de

rotation et la position r du rotor.

0

1( )m m

dCe Cr k

dt J (A.38)

r r

d

dt (A.39)

L’expression de (Ce) sera présentée dans la section suivante.

A.3.4 Expression du couple électromagnétique :

Il faut d'abord, trouver les expressions des composantes biphasées ds, qs et du flux

statorique.

On a :

1 1

0 00 0

0 1 0 1

s srdqs dqs

T

krsr rkr

L M IP P

IM L

(A.40)

1 1

0 0s srdqs dqs

Tkrkr sr r

P L P P M I

IM P L

(A.41)

Après le calcul on obtient :

0 0

1

0

1

0

( 2 )

3( ) cos( )

2

3( ) sin( )

2

s s s s

Nr

ds s s ds sr rk

k

Nr

ds s s qs sr rk

k

L M I

L M I L I ka

L M I L I ka

(A.42)

Or, pour un moteur alimenté par une source triphasée, la puissance instantanée s'écrit :

( )T

s acb abcP t V I

0 0

T

dqs dqsP V P I (A.43)

0

T

Odqs dqsV I

Les équations de tensions dans un repère lié au rotor sont données par :


102

dsds s ds r qs

qs

qs s qs r ds

dV r I

dt

dV r I

dt

¨ (A.44)

En remplaçant les tensions dsV et qsV dans l'expression (A.44), on obtient :

2 2( ) ( ) ( )qsds

sa s ds qs ds qs r ds qs qs ds

ddP t r I I I I I I

dt dt

(A.45)

Le troisième terme, représente la puissance électromagnétique transmise au rotor à travers

l'entrefer par l'intermédiaire du champ tournant. Donc le couple électromagnétique est :

( )ds qs qs dsCe P I I (A.46)

En remplaçant ds et qs par leurs expressions, on obtient :

1 1

0 0

3cos( ) sin( )

2

r rN N

sr qs rk ds rk

k k

Ce PL I I ka i I ka

(A.47)

A.4 Prise en compte des défauts rotoriques dans le modèle :

Le type de défaut que nous étudions est la rupture d’une ou plusieurs barres rotoriques ou de

portions d’anneaux de court-circuit. Le circuit électrique rotorique donné à la figure (A.3)

doit être reconsidéré pour permettre la prise en compte du défaut rotorique dans le modèle de

la machine. La figure (A.4) représente le schéma des deux cas : état sain et en présence d’une

barre cassée.

Figure A.4. Schéma équivalent de la cage rotorique

(a) .état sain (b) avec une barre cassée


103

La simulation de ce type de défaillance peut être en utilisant deux méthodes différentes, le but

étant d’annuler le courant qui traverse la barre incriminée.

La première méthode de modélisation consiste à reconstituer totalement le circuit électrique

rotorique. Dans ce type d’approche, la barre rotorique défaillante est enlevée du circuit

électrique, ce qui oblige à recalculer les matrices des résistances rR et des

inductances rL de la machine asynchrone.

En effet, la suppression d’une barre de la cage nous donne des matrices rR et rL de rang

inférieur à celle développée pour la machine saine.

La seconde approche envisageable consiste à augmenter artificiellement la valeur de la

résistance de la barre ou de la portion d’anneau incriminée d’un facteur suffisant pour que le

courant qui la traverse soit le plus proche possible de zéro en régime permanent.

En comparaison avec la première méthode, la structure du circuit électrique rotorique n’est

pas modifiée car nous considérons, dans ce type de modélisation, qu’une rupture de barre

n’altère pas les inductances propres et mutuelles de la cage rotorique.

Par conséquent, le programme de simulation s’adaptera à cette nouvelle contrainte et nous

donnera l’évolution temporelle des différents signaux pour un fonctionnement de la machine

avec ce type de défaut.

De plus, la simulation d’une barre partiellement cassée (barre fissurée de moitié par exemple)

ne peut pas être envisagée si nous utilisons la première méthode de modélisation alors qu’elle

est tout à fait faisable avec la seconde [KHA09].

A.5 Conclusion :

Nous avons utilisé un modèle multi enroulement qui tient compte de la structure du rotor. Le

choix d’un tel modèle est imposé par l’objectif de pouvoir simuler une rupture de barre ou de

portion d’anneaux de court-circuit au rotor. Pour cela, nous avons représenté toutes les

équations des barres et les portions d’anneaux du rotor.

ANNEXE B

ANNEXE B Modèle d’état de défaut de la MAS à cage

104

ANNEXE B : Modèle d’état de défaut de la MAS à cage

L'objectif de cette annexe est l'élaboration de modèle de défaut de la machine asynchrone à

cage d'écureuil. Ce modèle doit permettre la détection et la localisation de rupture de barres

au rotor. En vue d'un diagnostic de la machine asynchrone par identification paramétrique,

cette modélisation doit obéir à deux objectifs contradictoires :

Le modèle obtenu doit être simple de mise en oeuvre, pour pouvoir l’identifier.

La représentation du défaut doit être fine et réaliste afin d'en détecter les plus faibles.

B.1 Introduction :

L'hypothèse fondamentale pour la surveillance d'un système par un suivi paramétrique est

qu'un défaut se traduit par la variation d'un (ou plusieurs) paramètre(s) caractéristique(s) du

système, constituant ainsi la signature de ce défaut. Intuitivement, diagnostiquer un défaut

revient donc à réaliser un suivi des paramètres d'un modèle de fonctionnement normal.

(Modèle de Park par exemple pour la machine asynchrone) et la simple variation

paramétrique [MOR 99, DUR 99] est une indication de la présence d'un défaut.

En fait, ce postulat peut facilement être mis en défaut par le fait que cette méthodologie de

base n'est pas capable de distinguer une variation paramétrique normale (due à un changement

dans l'état de la machine) de celle correspondant à un défaut d'apparition aléatoire. Il est

évident qu'un défaut a tendance à modifier le modèle normal, allant dans certains cas jusqu'à

modifier sa structure, mais presque toujours en introduisant une erreur de modélisation.

D'après [MOR 99, SCH 99], il paraît clair que l'utilisation de modèles simplifiés s'avère

inadaptée dans le cadre du diagnostic. D'où l'intérêt d'introduire des modes dans le modèle de

fonctionnement normal, sensibles uniquement au défaut.

Comme nous l'avons déjà signalé, la méthodologie de surveillance présentée précédemment

fait appel à une étude du comportement de la machine en régime défectueux. La

caractérisation des fonctionnements défaillants constitue ainsi une étape essentielle pour la

modélisation physique des défauts.

La machine asynchrone présente en plus d'un comportement dynamique conventionnel, un

comportement dû au défaut. Ainsi, notre étude consiste à élaborer des modèles permettant le

découplage des deux modes ; le mode commun qui n'est autre que le modèle dynamique de la

machine asynchrone. Ce mode, exprimé dans le repère triphasé ou dans le repère de Park et

paramétrisé par les composants électriques de la machine, est l'image du comportement de la

machine saine. Pour tenir compte du défaut, il faut cependant introduire le mode différentiel


105

qui traduit le dysfonctionnement. Les paramètres de ce mode doivent permettre la détection

et la localisation du défaut. Dans cette annexe, nous développons un modèle de défaut de la

machine asynchrone : un modèle de défaut rotorique de type rupture de barres. Une panne de

type rupture de barres au rotor apparaissant n'étant pas à exclure lors de grandes sollicitations

de la machine.

B.2.Modèle de défauts rotorique de la machine asynchrone :

Dans le cadre du diagnostic, la mise au point d'un modèle est surtout motivée par les

possibilités de simuler des défauts. [ABE 99, MAK 97, VAS 94] proposent une modélisation

multi-mailles du rotor de la machine asynchrone à cage d'écureuil faisant intervenir les

paramètres électriques des barres et de l'anneau. Outre leur complexité, l'inconvénient de ces

modèles est qu'ils nécessitent une connaissance approfondie des paramètres électriques de la

machine. Dans le cas d'une approche paramétrique, ces modèles sont inappropriés en raison

du nombre élevé des paramètres qui les régissent.

Dans notre cas, il est donc nécessaire d'élaborer un modèle de défaut rotorique qui explique le

déséquilibre à travers un minimum de paramètres. Ces paramètres doivent être l'image du

défaut présent dans la machine et permettre ainsi de le quantifier et de le localiser.

B.2.1 Modèle de défauts rotoriques :

La figure (B.1) illustre la modélisation conventionnelle du rotor par dipôles élémentaires avec

une barre cassée [ABE 99, MAN 96].

Figure B.1 Modélisation par dipôles élémentaires du rotor en défaut


106

On a considéré qu'une rupture de barre rotorique est à l'origine d'un champ 0H stationnaire par

rapport au rotor (ou plutôt d'une anomalie de champ, stationnaire par rapport au rotor) [BAC

02]. On suppose que le rotor en défaut est équivalent à un rotor sain, auquel on a adjoint un

bobinage supplémentaire parcouru par un courant fictif 0i de défaut.

Une panne au rotor est donc équivalente à un déséquilibre de champ traduit par un bobinage

en court-circuit, du fait de la cage d'écureuil, et dont le nombre de spires fictives est

proportionnel au taux de défaut. Pour tenir compte de cette anomalie de champ, ce bobinage

doit obligatoirement avoir la même direction que la barre en défaut. Par conséquent, le mode

différentiel introduit comporte deux paramètres de défaut permettant la détection et la

localisation des barres cassées :

1-L'angle électrique noté0 repérant le "bobinage"en défaut par rapport à l'axe d (axe de

l'encoche rotorique dont le courant induit est en phase avec la première phase statorique). Ce

paramètre permet la localisation de la barre en défaut.

2-Le rapport de défaut noté 0 égal au rapport du nombre de spires en défaut sur le nombre

total de spires dans une phase triphasée rotorique fictive sans défaut.

Ce paramètre permet de quantifier le déséquilibre et d'obtenir le nombre de barres cassées. Le

nombre de spires au rotor étant fictif, pour un rotor de bn barres, si on considère une spire

rotorique comme étant une maille constituée de deux barres court-circuitées par deux portions

d'anneaux [ABE 99, BAC 01a], alors le nombre total de spires rotoriques est égal au nombre

de barres au rotor. Une phase fictive est constituée donc de3

bn barres. Pour

bcn barres cassées

sur une phase, l'expression du rapport de défaut 0 est donnée par :

0

3 bc

b

n

n (B.1)

Remarque : On pourrait se poser des questions quant à la validité de la relation (B.1) dans

le cas d'un rotor à cage. En fait, cette expression permet un passage simple du rotor à cage au

rotor bobiné et traduit tout simplement une relation de proportionnalité entre le nombre de

barres cassées bcn et le taux de défaut au rotor.

B.2.2 Modélisation de la rupture de barres :

Les équations de tension et de flux de la bobine en défaut 0B exprimées dans le repère biphasé

d'axe d et q lié au rotor sont les suivantes :


107

00 00 r

dR i

dt

(B.2)

2

0 0 0 0 0 0

2 2cos( ) sin( )

3 3dqs dqrm mL i L i i (B.3)

Avec

0

Nombre de spires fictives en défaut

Nombre total de spires fictives sur une phase (B.4)

0 : angle repérant le défaut

Le courant 0i dans le bobinage représentant le défaut est donc à l'origine du champ

magnétique 0H stationnaire par rapport au rotor et dirigé selon l'axe

0 . Ce champ magnétique

est à l'origine du flux 0 . En projetant

0i et 0 sur les axes d et q de Park, on leur associe les

vecteurs stationnaires :

0 0

0 0 , 00

0 0

cos cos

sin sindq dq

i i

Les relations (B.2) et (B.3) deviennent des relations entre des vecteurs stationnaires par

rapport au rotor. Ainsi, dans le repère rotorique, l'ensemble des équations de la machine au

stator, au rotor et au bobinage 0B est donné par :

2dqs dqsS dqs dqs

dU R i P

dt

(B.5)

0

2

3dqs dqs dqr dqof mdqs

L i L i i i

(B.6)

0 dqrm dqr

dL i

dt (B.7)

0

2

3dqs dqr dqom mdqr

L i i L i (B.8)

00dqo

dqor

dR i

dt

(B.9)

0 0 0

2 2

3 3dqs dqr dqomdqo

L Q i i i

(B.10)


108

Avec

2

0 0 0

0 2

0 0 0

cos cos sin

cos sin sinQ

Par analogie avec l'étude du schéma équivalent ramené au primaire des transformateurs, les

équations de flux de la machine asynchrone en défaut rotorique deviennent :

~

dqs dqs dqr dqof mdqs dqf dqmL i L i i i

(B.11)

~

dqs dqr dqomdqr dqmL i i i

(B.12)

~

0 0dqo dqmQ (B.13)

De même, l'équation de tension du bobinage en défaut ramenée au primaire s'écrit :

~

100 0

2

3

dqm dqm

dqo

r

d di Q R

R dt dt

(B.14)

Figure B.2. Premier modèle de la machine avec défauts rotoriques

La figure (B.2) représente le schéma équivalent de la machine asynchrone en défaut de

rupture de barres dans le repère de Park lié au rotor.

B.2.3 Schéma électrique équivalent :

D'après l'équation (B.14), la bobine 0B représentant le défaut se ramène à un simple

quadripôle résistif mis en parallèle avec l'inductance magnétisante et la résistance rotorique.

Dans le repère de Park, la mise en équation d'état d'un tel système reste complexe il s'avère

plus judicieux d'établir le schéma équivalent de la machine avec résistance rotorique et

résistance de défaut totalisées au rotor. Ainsi, la résistance équivalente eqR est la mise en


109

parallèle de la résistance rotorique rR et la résistance de défaut

0R . L'expression de la matrice

résistance équivalente au rotor est alors obtenue comme suit :

1 1 1

0

1 1

0 0

2

3

eq r

r r

R R R

R R Q

(B.15)

En inversant, on obtient ainsi l'expression de la matrice résistance équivalente :

1 1

1

0 1

eq r défaut

r r

R R R

R Q R

(B.16)

Avec : 0

2

3

Ainsi, la résistance équivalente au rotor est la mise en série de la résistance saine rR et d'une

matrice résistance de défaut défautR . La figure (B.3) illustre le schéma équivalent de la machine

asynchrone avec défaut rotorique en régime dynamique avec fuite ramenée au stator

Figure B.3 Modèle de la machine avec défauts rotoriques

On pourrait se poser des questions quant au rôle de la matrice résistance défautR dans

l'explication du défaut rotorique. En effet, vu le caractère purement résistif de ce quadripôle, il

pourrait être légitime de le confondre avec la résistance rotorique rR . En fait, il suffit tout

simplement d'écrire les expressions respectives de la résistance saine rR et de la résistance de

défaut défautR pour pouvoir distinguer leur rôle respectif :

1 0

0 1r rR R

2

0 0 0

2

0 0 0

cos cos sin

1 cos sin sindéfaut rR R


110

On peut constater que la résistance de défaut, au contraire de la résistance saine, est non

équilibrée (i.e : non diagonale dont les termes sur la diagonale sont différents) et possède des

termes de couplage. Ainsi, l'introduction de cette matrice dans le schéma équivalent modifie

entièrement la structure de la machine. Lorsque la machine est saine donc( 0 ), la

résistance défautR devient nulle ce qui revient à court-circuiter le quadripôle de défaut. Le

schéma équivalent de la machine en défaut (Figure B.3) va donc correspondre au modèle

classique de Park lié au rotor. Lorsque le paramètre est non nul, la résistance défautR introduit

un déséquilibre dans les grandeurs rotoriques ainsi que des termes de couplage sur les deux

axes d et q du rotor. Par conséquent, de nouvelles composantes dont la pulsation est

proportionnelle au glissement de la machine sont introduites, et se retrouvent de ce fait dans

les courants statoriques, traduisant ainsi un déséquilibre rotorique.

L'angle0 permet d'effectuer un repérage absolu du bobinage en défaut par rapport à l'axe d

(Figure B.1) En effet, les courants réels induits dans les encoches rotoriques étant bn phases,

l'angle 0 est donc fixé par la position initiale du rotor par rapport au stator.

Pour localiser une barre cassée, il faut donc imposer au rotor une référence (un top zéro) qui

permet de repérer les barres selon l'angle 0 : il suffit pour cela d'effectuer la mesure de la

position du rotor grâce à un capteur absolu.

B.3. Validation en régime stationnaire :

Nous avons montré qu'un défaut rotorique en régime stationnaire est à l'origine de nouvelles

composantes de fréquences 1 2 skg f dans le courant statorique, qui induisent des

oscillations du couple [ABE 99, DID 01]. Ainsi, pour valider le modèle de défaut rotorique de

la machine asynchrone, il suffit de comparer les résultats expérimentaux aux résultats issus de

la simulation de ce modèle. Il s'agit donc de simuler le modèle de défaut en régime

stationnaire (tensions sinusoïdales) en présence de rupture de barres au rotor.

Le système global simulé est obtenu en introduisant l'équation électromécanique de la

machine Ainsi, la machine asynchrone en défaut de rupture de barre peut être décrite par le

système d'équations différentielles :

( )x t A x t Bu t

(B.17)


111

y t Cx t (B.18)

Avec

T


T

, T

ds qs ds qsu U U y i i : entrée et sortie de la machine.

1 1 1

1

2

2

s eq f eq m f

eq eq m

R R L R L P LA

R R L P

0

1 0 0 0

1 0 0 0, , .

1 0 1 0 0 10 0 0

T

f

eq r

f

LB C R R I Q

L

On excite la machine avec une entrée sinusoïdale sU et en régime établi, on introduit une

rupture d'une barre. La simulation nous permet d'obtenir le vecteur des courants statoriques si .

Sur le banc expérimental de 1.1 kW selon le référence [BAC02], on remplace le rotor sain par

un rotor avec une barre cassée. Le défaut est obtenu en trouant une encoche rotorique à l'aide

d'une perceuse.

B.4 Conclusion :

Cette annexe a été consacrée à l'élaboration de modèles dédiés à la simulation et à la détection

de défauts sur la machine asynchrone à cage d'écureuil. Une attention particulière a été

apportée au niveau méthodologique en s'inspirant de la notion de mode différentiel associé à

un mode commun.

ANNEXE C

ANNEXE C Paramètres des moteurs utilisés

112

C.1 Paramètres du moteur A utilisé [SAH04] :

450 wP Puissance nominale

127 vV Tension nominale de ligne

50 Hzsf Fréquence d'alimentation

1p Nombre de paire de pôle

75 mmD Diamètre moyen

60 mml Longueur de la machine

0.38 mme Epaisseur d'entrefer

27rN Nombre de barres

193sN Nombre de spires par phase

4.1 sr ohm Résistance d'une phase statorique

17.5 sfL mH Inductance de fuite statorique

74 ohmbR Résistance d'une barre rotorique

74 ohmeR Résistance d'un anneau de court circuit

0.33 bL H Inductance de fuite d'une barre rotorique.

0.33 eL H Inductance de fuite d'anneau de court circuit.

34.5.10 NmsJ Moment d'inertie.

6

0 5.10 Nmsk Coefficient de frottement.

C.2 Caractéristiques de la machine B utilisé [BAC02] :

Pour nos expérimentations, nous avons utilisé une machine LS90 de 1.1 kW à deux paires de

pôles, conçue par Moteurs Leroy Somer pour les besoins expérimentaux.

Ses caractéristiques détaillées sont données par la table suivante :

Tab. C.1 Caractéristiques de la machine

Puissance 1.1 kW

Tension nominale 230/400 V

Courant nominal 2.6/4.3 A

cos( ) 0.82/0.85

Vitesse nominale 1425 tr/min

ANNEXE C Paramètres des moteurs utilisés

113

Nombre de paires de pôles 2

Nombre d'encoches statoriques 48

Nombre de barres au rotor 28

Nombre de spires par phase 464

BIBLIOGRAPHIE

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Résumé :

Dans ce mémoire nous avons utilisé techniques des ondelettes et Bayésienne dans le but du

diagnostic des machines asynchrones à cage d’écureuil. La première technique qui offre une analyse

très fine des signaux unidimensionnels et bidimensionnels à travers une transformée d’ondelettes

continue et décomposition en ondelettes discrètes, et la deuxième s'appuie sur une modélisation de la

signature de défauts en associant un mode commun (modèle sain) et un mode différentiel (de défaut :

cassure des barres et cassure d’un segment d’anneau) et sur une méthodologie d'estimation

paramétrique permettant l'adjonction de l'expertise de l'utilisateur.

Ces deux technique sont performée à l’environnement Matlab, les résultats obtenus ont montré

l’efficacité de ces technique dans la détection des défauts électriques rotoriques même la détection de

la non-stationnarité dans la première. Ainsi extraire les informations nécessaires à partir du courant

moteur de la machine pour la deuxième.

Mots clés : cassure des barres, modélisation de la machine asynchrone à cage, technique des

ondelettes, information a priori, méthode Bayésienne.

Abstract:

In this thesis we used techniques of wavelet and Bayesian with the aim of the diagnosis of the

induction machines with squirrel cage. The first technique which offers a very fine analysis of the one

dimensional and two-dimensional signals through one transformed by continues wavelet and

decomposition by discreet wavelet, and the second approach on a modelling of the signature defects

by associating a common mode (healthy model) and a differential mode (of defect: broken bars and

broken segment of ring) and it is methodology of paramétrique estimation allowing the addition of the

expertise of the user.

This two technique are performed in Matlab environment, the obtained results showed the efficiency

of these techniques in the detection of the electric defects rotoriques even the detection of non-

stationnarité in the first one. So extract the necessary information from the common engine of the

machine for the second.

Keywords: Broken bars, modelling induction machine with squirrel cage, wavelet technique and

Bayesian method.

ملخص :

ذمحاي. اغش رىالرح راخ اإلطاس اىطىيالخ أعطاب اتهذف ذشخضواثاضح ذا اىداخ ذماسرخذ ازوشج لا تاف هز

و ذح اىداخ ارمطع ، أا سرش اي اىداخي يحىخعثش تعذ راخ تعذ و راخإلشاساخي ا ذرح إخشاء ذح دلك خذاألوى

ششحح وعطة لطع امضثا ذىسشبطع)و اىرج اعطىب (اس) اشتظ ت ذىلعا اىرج اعا عىج فرشذىضاثاارمح

ارائحMatlab ارمرا ذ إداصها ف تشدح هاذا. ضافح خثشاخ اسرخذتإ وره خترمذش اعطاطشمح ذسح ب (جقاح

وتارا األوى،ف اإلشاساخ غش اثاترح وشف ف احشن و وزا اىهشتائح وفاءج هز ارمح ف اىشف ع اعىبأثثرد جاحمك

. حشن ااوحخالي ذاساسرخالص اعىاخ االصح

ج اثاضح ذم اغش رىالرح راخ اإلطاس اىطىي،الخج اىداخ، ىرج ا ذم، امضثاذىسش: الكلمات الرئيسية

bourdim samia méthodes ondelettes et bayésiennes pour le

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