8/17/2010

1

BKTP.HCM TRƯỜNGĐẠI HỌC BÁCH KHOA TP. HỒCHÍ MINH

CƠ HỌC LÝ THUYẾTPHẦN II: ĐỘNG HỌC

CƠ HỌC LÝ THUYẾT

BộmônCơ KỹThuậtTp. HồChí Minh, 01/ 2007PGS. TS. TRƯƠNG Tích Thiện

PHẦN II: ĐỘNG HỌC

- Động học là một phần của cơ học lý thuyết nhằm khảo sát các quy luật củavật rắn trong không gian theo thời gian mà không quan tâm đến cácnguyên nhân sinh ra các quy luật chuyển động ấy.

- Đối tượng của động học gồm có hai loại: chất điểm và hê nhiều chất điểmđược nối cứng với nhau. Chất điểm là một chất điểm thuộc vật rắn cho nên nó sẽ có khối lượng va vật rắn được xem là một hê gồm có vô sô chất điểmđược nối cứng với nhau.

- Khi kích thước của vùng không gian mà vật rắn chuyển động chiếm đượcrất lớn so với kích thước của vật thi toàn vật rắn sẽ được xem là một chấtđiểm và được gọi là vật điểm. Khối lượng của vật điểm bằng khối lượngcủa toàn vật.

8/17/2010

2

CHƯƠNG 3: ĐỘNG HỌC CHẤT ĐIỂM

§ 1: Các Đặc Trưng Chuyển Động Của Chất Điểm

Đê khảo sát được chuyển động của điểm M, ta cần chọn trước một vật làmvật quy chiếu Trên vật quy chiếu ta chọn một điểm tùy ý làm điểm gốc O

Chú ý rằng vật được chọn làm vật quy chiếu phải thỏa tiên đê quán tínhcủa Galiléo.

vật quy chiếu. Trên vật quy chiếu ta chọn một điểm tùy ý làm điểm gốc O.Vị trí của M sẽ được xác định bởi vectơ định vị (hình 3.1).rr

Với một sai sô có thê chấp nhận được, người ta thường chọn trái đất làmvật quy chiếu đê khảo sát các loại chuyển động thông thường của chất điểm.ậ q y ạ y ộ g g g

Đê xác định đầy đu chuyển động của một điểm ta cần xác định ba đặc trưngchuyển động của điểm. Đó là phương trình chuyển động của điểm, vận tốccủa điểm và gia tốc của điểm.

ʓ

M

OMO ≡*

O yjr

kr

)(C

rr

arvr

Hình 3.1

xy

ir

j

8/17/2010

3

1. 1 Phương trình chuyển động của điểm:

Định nghĩa: Phương trình chuyển động của điểm là một phương trìnhtoán giúp xác định vị trí của điểm trong không gian theo thời gian. Dạngtổng quát của phương trình chuyển động điểm như sau:

• Quy tích của M trong không gian được gọi là quỹ đạo (C) của điểm.Phương trình toán biểu diễn đường cong quy đạo (C) được gọi làphương trình quỹ đạo của điểm.

• Ở mỗi điểm trên đường cong quỹ đạo (C) ta sẽ luôn có một mặt phẳngmật tiếp với đường cong tại điểm đo

( )1)(trOMr rr==

• Vòng tròn lớn nhất có khả năng tiếp xúc với đường cong, trên mặt phẳngmật tiếp của đường cong tại điểm đang xét được gọi là đường tròn mậttiếp với đường cong tại điểm ấy. Bán kính của đường tròn mật tiếp đượcgọi là bán kính cong ρ của quỹ đạo.

mật tiếp với đường cong tại điểm đo.

( )2)/()( smtvrdtrdv r&rr

r===

1.2 Vận tốc của điểm.Định nghĩa: Vận tốc của điểm là một đại lượng vector biểu diễn sư biến thiên vector định vị theo t. rr

• Vận tốc của điểm được ký hiệu và xác định như sau:

• Vector vận tốc của điểm phản ánh phương, chiều và tốc đô thay đổi vị trícủa điểm. Vận tốc luôn có tính chất tiếp tuyến với quỹ đạo và hướng theochiều chuyển động của điểm trên quỹ đạo.

dt

Định nghĩa: Gia tốc của điểm là một đại lượng vector biểu diễn sư biếnthiên của vector vận tốc t theo thời gian t.vr

1.3 Gia tốc của điểm:

• Vector gia tốc của điểm có hai tính chất:– Nằm trong mặt phẳng mật tiếp với quỹ đạo tại điểm đang xét.– Luôn hướng vê phía lõm của quỹ đạo.

( )3)/()( 2smtarvdtvda r&&r&rr

r====

• Gia tốc của điểm được ký hiệu và xác định như sau:

8/17/2010

4

§ 2: Các Phương Pháp Khảo Sát Chuyển Động Của Điểm

2. 1 Phương pháp tọa độ Descartes• Theo phương pháp tọa đô Descartes ta sẽ dựng tại gốc O tại một hê trục

tọa đô Descartes 3 chiều thuận Oxy để khảo sát chuyển động điểm M.1. Phương trình chuyển động của điểm.

... ++== kjyixOMrrrrr

Gọi M (x,y,ʓ ⇒ ʓ

Vị trí của điểm M sẽ được xác định hoàn toàn nếu ta xác định được hê baphương trình (4). Do đo hê 3 phương trình (4) được gọi là phương trình

( )4)()()(

...⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

⇒++=trtyrtxr

krjrirr

jy

y

x

yx

rrrr

ọ ( ,y,ʓ

Mà:

ʓ ʓʓ

p g ( ) p g ( ) ợ gọ p gchuyển động của điểm theo phương pháp tọa đô Descartes .

• Khử biến thời gian t trong hê ba phương trình (4) ta sẽ được một một hàmhai biến ở dưới dạng (6 ).

• Phương trình (6 ) được gọi là phương trình của quy đạo ( C).

[ ] ( )521222 ++=⇒ yxrr ʓ

( )6),( yx= ʓʓ

2. Vận tốc của điểm. • Theo định nghĩa (2) ta sẽ biễu diễn vận tốc của điểm theo phương pháp

tọa đô Descartes như sau:

)(

..)..()(

⎧

++=++=== kjyixkjyixdtdr

dtdrv

rr&

r&

rrrr&rrʓʓ

Muốn xác định đô lớn vận tốc v ta dùng định lý Pitago.

( )7)()()(

...⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

⇒++=tvtyvtxv

kvjvivv y

x

yx &

&rrrr

ʓ

ʓ

Mà:

ʓ

( ) [ ] ( )87 21222 ++=⇒ yxv &&

r ʓ

3. Gia tốc của điểm.

( ) [ ] ( )87 ++=⇒ yxv ʓ

Theo định nghĩa (3) gia tốc của điểm sẽ được xác định theo phương phápDescartes như sau:

kjyixvdtvda

rr&&

r&&&r

rr ... ++=== ʓ

8/17/2010

5

Mà : kajaiaa yx

rrrr ... ++= ʓ

Do đó:

( )9)()()(

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

tatyatxa

y

x

&&

&&

ʓ ʓ 1( ) [ ] ( )109 21222 ++=⇒ yxa &&&&

rʓ

Bán kính cong của quỹ đạo:

( ) ( )112

1222

23222

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

++

++=

xyyx

yx

&&

&

&&

&

&&&&

&&

&&ρ

ʓ ʓʓ ʓ

ʓ

2. 2 Phương pháp tọa đô tư nhiên:

⎥⎦⎢⎣ xyyx ʓ ʓ

Chỉ được sử dụng nếu đã biết trước quỹ đạo (C) của điểm.

1. Phương trình chuyển động của điểm. • Phương pháp tọa đô tư nhiên sẽ sử dụng quỹ đạo đã biết của điểm làm

trục tọa đô cong. Trên trục cong này ta chọn tùy ý một điểm làm điểmgốc O* (thường chọn điểm gốc O* trùng vị trí ban đầu MO của điểm M)(hình 3.2).

MOMO ≡* rraτr

)(Car

vrt

nO

nar

τaηr

• Chọn chiều dương cho trục tọa đô cong theo chiều chuyển động của điểm.• Phương trình chuyển động của điểm là một phương trình đại sô xác định

đoạn đường mà điểm đã đi được trên quỹ đạo.( )12)(* tsMOs =≡

Hình 3.2

nO

8/17/2010

6

• Đê xác định được vector vận tốc và vector gia tốc của điểm ta cần phảidựng thêm một hê trục tọa đô vuông góc Mtn chuyển động cùng với điểm

2. Vận tốc của điểm.

• Quan hệ giữa tọa độ tự nhiên và tọa độ Descartes:

( )∫ ++=t

dtyxs0

222 13.&& ʓ

dựng thêm một hê trục tọa đô vuông góc Mtn chuyển động cùng với điểmM như sau:

+ Điểm gốc là điểm M đang chuyển động. + Trục tiếp tuyến t tiếp tuyến với quỹ đạo và có chiều dương hướng theo

chiều chuyển động của điểm. Trên trục tiếp tuyến này ta dựng một vectorđơn vị .τr

Chú ý rằng, sẽ có phương thay đổi theo chuyển động của điểm M.τr

+ D t há t ế đặt t i M ằ t ặt hẳ ật tiế ới + Dựng trục pháp tuyến n đặt tại M, nằm trong mặt phẳng mật tiếp với quy đạo tại M, vuông góc với trục tiếp tuyến t và có chiều (+) hướng vê phíalõm của quỹ đạo. Trên trục pháp tuyến này ta dựng một vector đơn vị .η

r

• Vận tốc của điểm M sẽ được xác định theo công thức như sau:

( ) τττ rr

r&

rr&

r

↑↑⇒⎭⎬⎫

≥====

vsmvhcsv

vsv

t ,0)(..

Với:

(14)

3. Gia tốc của điểm: • Theo định nghĩa (3):

).(...).()( ηρ

ττττrr

&r

rrrrr vvvdtdv

dtdvav

dtdv

dtda +=+=⇔==

( )15.. nn aaaaa rrrrr+=+=⇒ ττ ητ

Ta có: ⎪⎩

⎪⎨⎧

==

===

ηηρ

τττττ

rrr

r&&

r&

rr

..

...2

nn ava

svaa : thành phần gia tốc tiếp.

: thành phần gia tốc pháp.

Với:

: M chuyển động nhanh dần.

: M chuyển động đều

0 0 00 0 0

a v s a va v aτ τ⎧ > ⇔ > ⇔ > ⇔ ↑↑

⎪ = ⇔ = ⇔ =⎨

r r& &&

rr&

∞→⇔=⇔>

ρρ

00

n

n

aa hữu hạn ⇔ (C) là đường cong.

⇔ (C) là đường thẳng.

Với: : M chuyển động đều.

: M chuyển động chậm dần.

0 0 00 0

a v aa v a vτ τ

τ τ

⇔ ⇔⎨⎪ < ⇔ < ⇔ ↑↓⎩

r r&

8/17/2010

7

§3: Bậc Tự Do Và Tọa Độ Suy Rộng

3.1 Bậc tư do (dof )1. Định nghĩa: • Bậc tư do của một cơ hê là sô thông sô độc lập cần dùng đê có thê khảo sátđược chuyển động của toàn hê.

Thi d (hì h 3 3)• Thi dụ: (hình 3.3)

- Để có thể khảo sát được chuyển động của toàn hệ tacần xác định 2 thông sô độclập cần dùng (φ1) và (φ2).

d f 2

y

A1ϕ

O

⇒ dof = 2

Hình 3.3x

B

2ϕ

2. Xác định dof của vật rắn tự do hoàn toàn.a. Trong không gian 2 chiều. (hình 3.4).

o Xét hệ có hai chất điểm nối cứng và tự do hoàn toàn trong không gian hai chiều. Ta cần xác định 4 tọa độ. Ta có một ràng buộc:

o Xét hệ có một chất điểm tự do hoàn toàn trong không gian 2 chiều. Cần xác định hai tọa độ x1 , y1 . Đây là hai thông số độc lập. Vậy dofhệ = 2

Do đó số thông số độc lập cần dùng là: 4 - 1 = 3Vậy bậc tự do của hệ gồm hai điểm là 3: dofhệ = 3o Xét hê có 3 chất điểm

không thẳng hàng, đượcnối cứng tư do hoàn toàn

4M

3My

( ) ( ) constyyxxd =−+−= 212

21212

trong mặt phẳng chứa 3điểm. Cần xác định 6 tọađô. Ta có 3 ràng buộc ⇒sô thông sô độc lập cầndùng: 6 – 3 = 3 hay dofhệ= 3!!! O

1M2M

x1x1y 12d

Hình 3.4

8/17/2010

8

• Khi khảo sát chuyển động của một vật rắn trong không gian hai chiều takhông cần khảo sát chuyển động của tất cả các điểm thuộc vật mà chỉ cầnkhảo sát chuyển động của một mô hình gồm có hai chất điểm bất kỳ đượcối ứ th ộ ật là đủ

Kết luận : • Bậc tư do của 1 vật rắn tư do hoàn trong 2D sẽ bằng dof của 1 mô hình

gồm có 2 chất điểm bất kỳ, được nối cứng thuộc vật rắn. Do đó DofVR = 3

nối cứng thuộc vật là đủ.b. Trong không gian 3 chiều: 3D (hình 3.5).o Hệ có một điểm tự do hoàn toàn trong không gian 3 chiều.Cần xác định 3 tọa độ cho điểm này. Ba tọa độ này là 3 thông số độc lập. Do đó hệcó: dofhệ = 3

4M3M

ʓ

hệ

o Hệ gồm 2 điểm được nối cứng và tự do hoàn toàn trong không gian 3 chiều. Ta cần xác định 6 tọa độ cho hệ.Ta có một ràng buộc nối cứng:

O1M

2M

y

x

12d

Hình 3.5

Do đo, sô thông sô độc lập cần dùng là 6 (tọa đô) – 1 (ràng buộc): 6 - 1= 5Vậy bậc tư do của hê: dofhê = 5.

o Hê gồm 3 điểm không thẳng hàng được nối cứng với nhau va tư do hoàntoàn trong không gian 3 chiều. Cần xác định 9 tọa đô. Ta có 3 ràng buộc. D đ ô thô ô độ lậ ầ dù h hê là 9 3 6 Vậ bậ t d ủ

( ) ( ) ( ) constyyxx =−+−+−= 212

212

21212d ʓ ʓ

Do đo, sô thông sô độc lập cần dùng cho hê là: 9 - 3= 6. Vậy bậc tư do củahê: dofhê = 6.

o Hê gồm 4 điểm không đồng phẳng được nối cứng với nhau va tư do hoàntoàn trong không gian 3 chiều. Cần xác định 12 tọa đô . Ta có 6 ràng buộc. Do đo sô thông sô độc lập cần dùng là: 12 - 6= 6Vậy bậc tư do của hê: dofhê = 6 !!!Kết luận :

• Khi khảo sát vật rắn trong 3D ta chỉ cần khảo sát chuyển động của một môhình gồm có 3 chất điểm không thẳng hàng, được nối cứng thuộc vật là đủ.

Kết luận : • Bậc tư do của một vật rắn (hê gồm vô sô chất điểm được nối cứng) tư do

hoàn toàn trong không gian 3 chiều (3D) sẽ bằng với dofhê của một hê gồm có 3 chất điểm bất kỳ, không thẳng hàng, được nối cứng thuộc vật.⇒ dofhê = 6

8/17/2010

9

3. 2 Tọa độ suy rộng của cơ hệ: 1. Định nghĩa:

Tọa độ suy rộng của cơ hệ là số thông số độc lập được chọn để khảo sát chuyển động cho toàn cơ hệ ấy. Số tọa độ suy rộng của cơ hệ sẽ bằng bậc tự do của cơ hệ. Với mỗi cơ hệ ta có nhiều cách để chọn các tọa độ suy rộng.2. Thí dụ:

Khảo sát chuyển động của vật phẳng (S) trong mặt phẳng chứa nó.Dựng hệ trục tọa độ descartes hai chiều Oxy để khảo sát chuyển động của vật. Do vật rắn chỉ chuyển động trong 2D nên bậc tự do của toàn vật là: DofVR= 3.

a. Thí dụ 1:(hình 3.6)

Mô hình khảo sát chuyển động cho toàn vật là một hệ gồm hai điểm A B tùy ý được nối cứng

y( )SB

điểm A B tùy ý được nối cứngthuộc vật. Ta cần xác định 4 tọa độ cho hệ: xA , yA , xB , yBTa có 3 thông số độc lập trong 4 tọa độ. Do đó có 3 tọa độ suy rộng:

Hình 3.6xO

ϕA l

Ta có thể chọn các bộ 3 tọa độ suy rộng :

( ) ( ) ( ) ( )

( )⎩⎨⎧

⇒+−−=→B

BAABB

ABBABBBAABAA

yy

yxxly

xyxyyxyyxxyx

&&

&22

,,,,,,,,,,,

( )⎩⎨⎧

+=−+=

⇒⎩⎨⎧

+=+=

⇒ϕϕϕϕ

ϕϕ

&&&

&&&

.cos..sin.

sin.cos.

lyylxx

lyylxx

AB

AB

AB

AB

Đơn giản nhất ta nên chọn 3 tọa độ suy rộng như sau: ϕ,, AA yx

⎪⎧ = )(txx AA

Hê phương trình biểu diển sư biến thiên của các tọa đô suy rộng đa chọntheo thời gian t được gọi là phương trình chuyển động của toàn vật.

Hê ba phương trình biến thiên theo thời gian t:⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

)()()(

ttyy AA

AA

ϕϕ

8/17/2010

10

b. Thí dụ 2:

o Định nghĩa chuyển động của vật rắn quay quanh trục quay cố định:

Khảo sát chuyển động của một vật rắn quay quanh một trục cô định, chọn cáctọa đô suy rộng cho vật rắn này (hình 3.7).

Chuyển động của vật rắn được gọi là chuyển động quay quanh trụcquay cô định nếu trong quá trình chuyển động của vật rắn có tối thiểu

ể ẳ ố ề ể ấ

− Mô hình khảo sát chuyển động cho toàn vật là một hê gồm 3 chất điểm bấtkỳ không thẳng hàng được nối cứng thuộc vật. Ta chọn mô hình gồm 3điểm A, B và M.

− Do 2 điểm A va B đứng yên nên ta chỉ khảo sát chuyển động của điểm M.− Ta cần xác định tọa đô cho điểm M ta lại có 2 ràng buộc giữa điểm M với

2 điểm thuộc vật đứng yên. Đường thẳng nối liền 2 điểm đứng yên ấyđược gọi là trục quay cô định của vật.

Ta cần xác định tọa đô cho điểm M, ta lại có 2 ràng buộc giữa điểm M vớiđiểm A va điểm B. Do đó, sô thông sô độc lập cần dùng cho mô hình là:3 tọa đô – 2 ràng buộc = 1. Vậy dogVR = 1.

− Hệ có một tọa độ suy rộng được chọn như sau:+ Dựng một mặt phẳng P chứa điểm M và trục quay cô định của vật. Mặt

phẳng này sẽ gắn liền với vật va cùng chuyển động quay với vật quanhtrục quay cô định.

+ Dựng mặt phẳng π chứa trục quay cố định và trùng với vị trí ban đầu của mặt phẳng. Mặt phẳng này là mặt phẳng cố định và được gọi là mặt phẳng quy chiếu.

ϕB ( )Vʓ

π

tn ηr

τrvrMnar

Maτr

arM

kr

ω

ε

( )C

H*O ϕ

+ Gọi φ là góc nhị diện hợp bởi 2 mặt phẳng P và π: φ = [(P), (π)]Chọn φ làm tọa độ suy rộng duy nhất cho toàn vật rắn và phương trình chuyển động cho toàn vật sẽ có dạng như sau: φ = φ(t).

Hình 3.7

Pωr

εrA

8/17/2010

11

CHƯƠNG 4: ĐỘNG HỌC VẬT RẮN.

Có rất nhiều chuyển động của vật rắn trong không gian từ đơn giản đến phức tạp. Một chuyển động phức tạp bất kỳ của vật rắn bao giờ cũng được chứng minh là kết quả của việc tổ hợp 2 chuyển động cơ bản đồng thời: chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay quanh một trục cố định.

§1 H i Ch ể Độ C Bả Củ Vật Rắ§1. Hai Chuyển Động Cơ Bản Của Vật Rắn.

1.1. Chuyển động tịnh tiến của vật rắn.1. Định nghĩa: Chuyển động tịnh tiến của vật rắn là loại chuyển động sao cho mọi đoạn thẳng thuộc vật điều chuyển động song song với chính nó.(hình 4.1)

BB ( )V( )0V ( )BC

∀(AB) ⊂ (V): AB // A0B0, ∀t

0B

0AA

( )

( )ACHình 4.1

2. Tính chất.Khi vật rắn chuyển động tịnh tiến ta sẽ có 2 tính chất sau:• Quỹ đạo của các diểm thuộc vật là giống nhau.• Vector vận tốc và vector gia tốc của tất cả các điểm thuộc vật bằng nhau.3. Nhận xét.• Mô hình khảo sát cho vật rắn tịnh tiến là 1 diểm tùy ý thuộc vật (thường

chọn khối tâm (C) của vật làm mô hình.• Bậc tư do của vật rắn chuyển động tịnh tiến trong không gian 3 chiều:

DofVR = 31.2 Chuyển động của vật rắn quay quanh 1 trục cố định.1. Định nghĩa: (Xem lại thí dụ 2 của chương 3).

Chuyển động của vật rắn được gọi là chuyển động quay quanh trục quay ố ế ể ắ ố ể ể

2. Khảo sát chuyển động của toàn vật.• Phương trình chuyển động của toàn vật là: φ = φ(t).• Vận tốc toàn vật - vận tốc góc.

cố định nếu trong quá trình chuyển động của vật rắn có tối thiểu 2 điểm thộc vật có tối thiểu 2 điểm thuộc vật đứng yên. Đường thẳng nối liền 2 điểm đứng yên ấy được gọi là trục quay cố định của vật.

8/17/2010

12

Trên trục quay cô định ta chọn 1 điểm tùy ý làm điểm gốc O. Dựng 1 vector đơn vị tại gốc O có phương nằm trên trục quay cô định và có chiềuđược xác định theo quy tắc bàn tay phải so với chiều quay của vật.

Vận tốc góc của vật rắn là 1 đại lượng vector được ký hiệu và xác địnhnhư sau:

Chọn trục tọa đô ʓ có phương trùng với trục quay và có chiều (+) trùngvới chiều của .k

r

như sau:

Gia tốc toàn vật - gia tốc góc.

10. .

,k k k

rad s s−⎫ω= ϕ =ω ⇒ω↑↑⎬ω= ϕ≥ = ⎭

r rr rr&

&Với:

. . .d k k kωε = = ϕ =ω = ε

r r r rr &&&

0 0

0 0 00 0

dtϕ

⎧> ⇔ω> ⇔ ε ↑↑ω⎪

ε = ω= ϕ = ⇔ω= ⇔ ε =⎨⎪< ⇔ω< ⇔ ε ↑↓ω⎩

r r&

rr& && &r r

&

Với:

: vật quay nhanh dần.

: vật quay đều.

: vật quay chậm dần.

ϕ

B ( )Vʓ

π

tn ηr

τrvr

Mnar

Maτr

ar Mkr

ω

ε

( )C

H*O

ϕ

Hình 4.2 P

ωr

εrA

8/17/2010

13

• Khảo sát chuyển động của điểm M thuộc vật rắn (V) và mặt phẳng (P)đang quay quanh trục ʓ cô định. Tư điểm M ta dựng đường cao MHvuông góc với trục quay cô định. Khi vật rắn quay thi đoạn thẳng HM sẽchuyển động tạo ra một hình tròn tâm H bán kính HM = R nằm trongmặt phẳng vuông góc với trục quay ʓ.

i * l i điể i đ ( ) hẳ ( )

3. Khảo sát chuyển động của một điểm thuộc vật.

Gọi O* là giao điểm giữa đường tròn (C ) và mặt phẳng (π)

• Do ta đã biết được quỹ đạo của điểm M lả đường tròn (C) nên ta sẽ dùngphương pháp tọa đô tư nhiên đê khảo sát chuyển động cho điểm này.

a). Phương trình chuyển động của điểm M.o Lấy đường tròn quỹ đạo C của điểm M là trục tọa độ cong và chọn O* làm

{ } ( ) ( ) ϕπ =⇒∩= HMOCO **

y g q ỹ ạ ụ ọ ộ g ọđiểm gốc.

o Vị trí của điểm M trên quỹ đạo sẽ được xác định bởi phương trình chuyển động có dạng như sau:

b). Vận tốc của điểm M.* ( ) . ( ), :s O M s t R t rad= = = ϕ ϕ

ττωτϕτ rrr&

r&

r .)..()..(. vRRsv ====

⎩⎨⎧ ⊥

⇒

↑↑⇒≥=

vHMv

vsmRv

r

r

rr τω ,0.Với:

Chiều : quay quanh tâm H theo chiều . ωc). Gia tốc của điểm M:

Mn

MM aaa rrr+= τ

M⎧ ↑↑r r

⎪⎩

⎪⎨⎧

==

⊥

εετ

τ

.. RHMa

HMaM

M

r

r

Với: εvà chiều của quay quanh tâm H theo chiềuMaτ

r

2 2. .

M

M

Mn

Mn

a va v

a MH

a HM R

τ

τ

⎧ ↑↑⎨

↑↓⎩⎧ ↑↑⎪⎨

= ω = ω⎪⎩

r r

r r

uuuurr

r

: nếu vật quay nhanh dần.

: nếu vật quay chậm dần.

8/17/2010

14

2.1 Chuyển động phức hợp của điểm.1. Khái niệm:

Khi một chất điểm thực hiện đồng thời từ hai chuyển động trở lên thì chuyển động của chất điểm sẽ được gọi là chuyển động phức hợp.Khả át h ể độ ủ điể M t khô i ủ hê t O

§2. Chuyển Động Phức Hợp Của Vật Rắn.

• Khảo sát chuyển động của điểm M trong không gian của hê trục O1x1y1ʓ1. Đồng thời hê trục 1 lại mang cả không gian gắn liền với nó chuyển độngtrong không gian của hê trục cô định O2x2y2ʓ2. (hình 4.3).

M

1y

ʓ 2ʓ 1

• Chuyển động của điểm Mtrong không gian của hêtrục tọa đô động 1 được gọi là chuyển động tương

2y

1x

2x2O

1O

Hình 4.3

đối. Chuyển động của hêtrục tọa đô động 1 cùng vớikhông gian gắn liền với nóđối với hê trục cô định 2được gọi là chuyển độngkéo theo.

• Vận tốc và gia tốc của điểm M đối với hê trục tọa đô động 1 được gọi làvận tốc và gia tốc tương đối của điểm M.

• Vận tốc và gia tốc của điểm M đối với hê trục tọa đô cô định 2 được gọi là

Chuyển động của điểm M đối với hê trục cô định 2 được gọi là chuyển độngtuyệt đối.

+ Ký hiệu: Mr

Mr av rr ,

Vận tốc và gia tốc của điểm M đối với hê trục tọa đô cô định 2 được gọi làvận tốc và gia tốc tuyệt đối của điểm M.

• Một điểm cô định trong hê động 1 đang trùng với điểm M chuyển độngtrong hê động ấy sẽ được gọi là trùng điểm M* của điểm M.Vận tốc và gia tốc của trùng điểm M* đối với hê trục cô định được gọi làvận tốc và gia tốc kéo theo của điểm M

+ Ký hiệu: ,M Ma av ar r

vận tốc và gia tốc kéo theo của điểm M.

⎩⎨⎧

≡≡

*

*

Ma

Me

Ma

Me

aavvrr

rr

Với:

Me

Me av rr ,+ Ký hiệu:

8/17/2010

15

b). Định lý hợp gia tốc.

2. Định lý hợp chuyển động. (xem hình 4.3)a). Định lý hợp vận tốc:

Mr

Me

Ma vvv rrr

+=

Mc

Mr

Me

Ma aaaa rrrr

++= crea

( )2M Mc e r

e

a v= ω ∧ω

rr r

r: gia tốc Coriolis của M

: vận tốc góc trong chuyển động kéo theo của hệ động 1 đối với hệ cố định 2.

hệ động 1 tịnh tiến0⇒ω = ⇔rr

eωr

MvrM

α

hệ động 1 tịnh tiến.0e⇒ω = ⇔

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

⊥

αω

ω

sin..2:

),(

Mre

Mc

Mc

Mre

Mc

vaRHRa

vmpa

r

r

rrr

Chiều

Hình 4.4

rv

Mcar

M⊕

2.2. Chuyển động song phẳng của vật rắn.

00//

eMr

Me r

vv

⎧ω =⎪⇔ =⎨⎪ω⎩

rrrr

r r0M

ca =rr

thì:

: hệ động 1 tịnh tiến.

: điểm M đứng yên trong hệ 1.

1. Định nghĩa: Chuyển động của vật rắn được gọi là chuyển động song phẳng nếu trong quá trình chuyển động của vật mỗi điểm thuộc vật chỉ chuyển động trongmột mặt phẳng song song với mặt phẳng quy chiếu cô định (π) đa chọntrước. (hình 4.5)

(P) là mặt phẳng chuyển động của điểm M: (P) // (π) P M

(V) (S)

của điểm M: (P) // (π). (Q) là mặt phẳng chuyển động của điểm N: (Q) // (π). ⇒ (Q) // (P).

( ) ( )VNMconsthconsth

N

M ∈∀⎩⎨⎧

==

,,

P

Q

π

NhMh N

Hình 4.5

8/17/2010

16

• Gọi (S) = P ∩ (V) là tiết diện giao giữa (P) và (V). Chọn (S) làm mô hình khảo sát chuyển động (hình 4.6).

• Do tiết diện (S) chỉ chuyển động trong mặt phẳng (P) chứa nó nên tiết diện(S) chuyển động trong không gian 2 chiều. Lúc này ta chọn lại mô hìnhkhảo sát là 1 hê gồm 2 điểm A, B tùy ý được nối cứng thuộc tiết diện (S). Đ thẳ AB hỉ h ể độ t ặt hẳ (P)

2. Mô hình khảo sát.

Đoạn thẳng AB chỉ chuyển động trong mặt phẳng (P).• Dựng hệ trục tọa độ

vuông góc cố định Oxytrong mặt phẳng (P) để khảo sát chuyển động của đoạn thẳng AB.

X l i thí d 1 h 3

y

2x2y

1y

B

( )S

⎪⎩

⎪⎨

⎧

===

)()()(

ttyytxx

AA

AA

ϕϕ

- Xem lại thí dụ 1 chương 3.- DofVR = 3 ⇒ có 3 tọa độ suy rộng.

O x

A1xϕ

Ax

Ay

Hình 4.6

ể ế ố ố

3. Phân tích chuyển động song phẳng.• Để phân tích được chuyển động song phẳng ta cần dựng thêm 2 hệ trục tọa

độ vuông góc cùng chuyển động với điểm M như sau:

11 1 2 2 2

1

Ax OxAx y v Ax y Ax AB

Ay Oy//

: ://

⎧⊃⎨

⎩à

⇒ Hệ Ax1y1 chuyển động tịnh tiến đối với hệ trục cố định Oxy.• Chuyển động song phẳng của mô hình AB cũng chính là chuyển động

song phẳng của hệ trục động Ax2y2. Vì hệ trục 2 gắn liền với đoạn thẳng AB sẽ được phân tích là hợp của 2 chuyển động đồng thời:

o Chuyển động kéo theo là chuyển động tịnh tiến của hê động 1 đối với hê trục cô định Oxy ⇒

0 0Mr rr r0 0M

e ca⇒ω = ⇒ =r r

o Chuyển động tương đối là chuyển động quay của hê động 2 quanh tâm A đối với hê động 1 với ω = .φ

4. Khảo sát chuyển động của 1 điểm M thuộc tiết diện (S).Khảo sát chuyển động của M ∈ (S). Ta cần xác định vận tốc tuyệt đối và gia tốc tuyệt đối cho điểm này.

8/17/2010

17

a). Bài toán vận tốc.Có 2 cách xác định vận tốc tuyệt đối của điểm M:a.1) Cách 1: (hình 4.7).• Chọn một điểm đã biết vận tốc thuộc tiết diện (S) làm điểm cực A.• Sử dụng định lý hợp vận tốc.

MMM vvv rrr+=∗ rea vvv +=∗

Với Aa

Ma

Me vvv rrr

=≡ *

(M* là 1 điểm cố định trong hệ trục động Ax1y1 đang trùng với điểm M thuộc hệ trục động Ax2y2).

(Vì A , M* cùng nằm trên hê trục Ax1y1 tịnh tiến.

v AM⎧ ⊥r

:MAMr vv rr=∗

ωMavr

MAvr

:.

MA

MA

MA

v AMv

v AM

⎧ ⊥⎪⎨⎪ = ω⎩

r

rChiều quay quanh A theo chiều ω

MAA

aMa vvv rrr

+=Vậy: A

M

Aavr

Aavr

Hình 4.7

a.2) Cách 2:• Ở mỗi thời điểm khảo sát luôn tồn tại 1 điểm thuộc tiết diện (S) có vận

tốc tuyệt đối bằng 0. Điểm ấy được gọi là tâm vận tốc tức thời của tiếtdiện (S) tại thời điểm khảo sát.

• Ký hiệu tâm vận tốc tức thời là P.• Nếu chọn P là điểm cực thay thế cho điểm cực A thì vận tốc tuyệt đối của

ểđiểm M sẽ được xác định đơn giản hơn như sau:

MPMPPa

Ma vvvv rrrr

=+=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

⊥⇒

ω:

PMvvPMv

M

Ma

Ma

r

r

r

Chiều quay quanh P theo ω.

• Nếu chọn tâm vận tốc tức thời P làm cực đê dựng 2 hê trục tọa đô 1 và 2 thi chuyển động song phẳng của mô hình AB sẽ được phân tích gồm chỉ có 1 chuyển động duy nhất là quay quanh tâm vận tốc tức thời P.Chú ý rằng: tâm quay tức thời P của chuyển động song phẳng liên tụcthay đổi vị trí theo thời gian.

⎩ = ω.PMva

8/17/2010

18

o Trường hợp 1: Khi vật rắn lăn không trượt trên bê mặt cô định. Đây là 1 trường hợp đặc biệt của chuyển động song phẳng, tâm vận tốc tức thời P là 1 điểm thuộc vật vắn đang trùng với bê mặt cô định. (hình 4.8).

• Xác định vị trí của P tại thời điểm khảo sát.

ω( )SLr

o Trường hợp 2: Khi chúng ta biết được phương vận tốc của 2 điểm trên vật

( )

KavrP

Lavr

KL

Hình 4.8

o Trường hợp 2: Khi chúng ta biết được phương vận tốc của 2 điểm trên vật.

Hình 4.9

Bavr

P

Aavr B

A

o Trường hợp 3: Biết được phương, vận tốc của 2 điểm AB và 2 phương nàysong song với nhau. (hình 4.10)

BA

aBa vv rr //A

aBa vv rr //

A

B

P

AAavr

b)

Aavr

∞→P

A

a)

Ba

Aa

Aa

Ba aavv rrrr

≠= ;

Khi P→∞ thì vật tịnh tiến tức thời, ta có:

)(0)(0

2

1

−

−

≠

=

ss

ε

ωHình 4.10

))

8/17/2010

19

b). Bài toán gia tốc. (hình 4.11).• Chọn 1 điểm trên tiết diện (S) đã biết gia tốc làm điểm cực A:

• Áp dụng định lý hợp gia tốc: Mc

Mr

Me

Ma aaaa rrrr

++=

Với:

*M M Ae e a

M MA MA MAr n

a a aa a a aτ

⎧ ≡ =⎪

= = +⎨

r r r

r r r r M

Aaarε

2 0( )r n

M Mc e ra v

τ⎨⎪ = ω ∧ =⎩

rrr r

( )M A MA MAa a na a a aτ= + +r r r r

Vậy:

Với: :

MA

MA

a AMa

ττ

⎧ ⊥⎪⎪⎨

r

rChiều quay quanh A theo chiều ε

MAaτr

MA

ω

.MA

MAa AMτ

⎨⎪ = ε⎪⎩r

q y q

2.

MAnMAn

a MAa AM

⎧ ↑↑⎪⎨ = ω⎪⎩

uuurr

r: (hướng tâm A)

Hình 4.11A

Maar

MAar

MAnar

Aaar

2.3. Động học hê nhiều bánh răng.1. Hệ nhiều bánh răng thường.a). Định nghĩa:

Hê nhiều bánh răng thường là hê nhiều vật rắn có dạng đĩa tròn tiếp xúclăn không trượt với nhau va chúng quay quanh các tâm quay cô định trùngvới các tâm đường tròn. Các đĩa tròn này được gọi là các bánh răng.

Bậc tư do của hê nhiều bánh răng thường:Dofhê = + 1 > 0 (chứng tỏ hê có khả năng chuyển động ).b). Động học hê nhiều bánh răng thường(hình 4.12).• Gọi rk, là bán

kính và vận tốc góc của bánh ă hứ k

kω

O

2ω3ω 4ωr 3r

①nrăng thứ k trong

hệ. được xem là dương nếubánh răng thư kquay cùng chiều(+) đa chọn.

kω 1O2O

3O

4O nO

1ω nω

1r2r 3r

4r nrL

④②

③

n

Hình 4.12

8/17/2010

20

Định nghĩa tỷ sô truyền:

o Nếu tỷ sô truyền ijk > 0 thi bánh răng thứ j và k quay cùng chiều.o Nếu ijk < 0 thi bánh răng thứ j và k quay ngược chiều.o Nếu⏐i ⏐> 1 thi bánh răng thứ j quay nhanh hơn bánh răng thứ k Lúc này

o Tỷ số truyền từ bánh răng thứ j đến bánh răng thứ k trong hê như sau:j

jkk

iω

=ω

o Nếu⏐ijk⏐> 1 thi bánh răng thứ j quay nhanh hơn bánh răng thứ k. Lúc nàybô truyền sẽ giảm tốc tứ bánh răng thứ j đến bánh răng thứ k.

o Nếu⏐ijk⏐=1 thi bô truyền sẽ đẳng tốc từ bánh răng thứ j k.o Nếu ⏐ijk⏐<1 thi bô truyền sẽ tăng tốc từ bánh răng thứ j k.• Do các bánh răng lăn không trượt đối với nhau nên ta có kết quả như sau:

Tỷ sô truyền từ bánh răng thứ j đến bánh răng thứ k: ( )1 mj jjk

ri .

ω= = −

Với m là số lần tiếp xúc ngoài, tính từ bánh răng thứ j đến bánh răng thứ k.Thí dụ:

( )jkk krω

( ) ( ) 0.10.14

1

4

12

1

441

1

4

1

42

4

114 >+=−==>+=−==

rr

rri

rr

rri

ωω

ωω

hoặc:

2. Hệ bánh răng hành tinh và vi sai.a). Định nghĩa:

Là một hê nhiều vật rắn có dạng các đĩa tròn lăn không trượt với nhausao cho tối thiểu có 1 đĩa tròn có tâm quay chuyển động. Vật rắn mangtâm quay của các bánh răng chuyển động được gọi là cần và cần sẽ cóchuyển động quay xung quanh tâm O1 cô định. Bánh răng có cùng tâmquay cô định với cần được gọi là bánh răng trung tâm 1 Cần và bánhquay cô định với cần được gọi là bánh răng trung tâm 1. Cần và bánhrăng trung tâm 1 có dạng chuyển động cơ bản : quay quanh tâm quay côđịnh O1. Hai chuyển động quay của 2 vật rắn này hoàn toàn độc lập vớinhau. Các bánh răng còn lại sẽ có dạng chuyển động song phẳng. (hình4.13).

O

1ω ①③

ω1O 2O

3O

②

1εcε

cω

cần

Hình 4.13

8/17/2010

21

• Nếu bánh răng trung tâm 1 được giữ cố định thì hệ được gọi là hệ bánh răng hành tinh. Bậc tự do của hệ bánh răng hành tinh = +1. Dofht = +1

• Nếu cần được giư cô định thi hê bánh răng sẽ trơ thành hê bánh răng thường.• Nếu bánh răng trung tâm 1 có chuyển động quay quanh tâm quay O1 cô địnhđộc lập với chuyển động quay của cần thi hê se được gọi là hê bánh răng visai. DofVS = +2VS

3. Động học hệ bánh răng hành tinh và vi sai.• Đê có thê sư dụng được công thức tính động học của hê bánh răng thường ta

cần phải chọn 1 hê qui chiếu mới sao cho đối với hê qui chiếu mới này tất cả các tâm của các bánh răng trong hê đều cô định. Ta chọn cần làm hê quichiếu mới, lúc này vận tốc góc tương đối của bánh răng thứ k đối với cần sẽđược tính như sau:

kr

k ωωω −= ckk ωωω =• Tỷ sô truyền tương đối của bánh răng thứ j đối với bánh răng thứ k.

( )j

km

ck

cjr

k

rjr

jk rri .1−=

−

−==

ωωωω

ωω

Đây là công thức Willis cho bài toán vận tốc.Công thức Willis cho bài toán gia tốc:

Đạo hàm 2 vê của công thức Willis cho bài toán vận tốc theo thời gian ta sẽ được công thức Willis cho bài toán gia tốc :

( ) ( )ckj

kmcj r

r ωωωω −−=− ..1⇔

được công thức Willis cho bài toán gia tốc :

Ghi chú:

Chọn: ⎨⎧ > 0cω

( ) ( )ckj

kmcj r

r εεεε −−=− ..1⇔

ọ⎩⎨ > 0cε

8/17/2010

22