c. s. “m. r. g.”
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C. S. “M. R. G.”
Autor: Prof. Saúl Enrique Zamaniego – Colegio Secundario “Manuel Ramón González”
Año: 2020 Localidad: San Lorenzo
e-mail: [email protected] Pág. 2
Criterios de divisibilidad
Para saber si un número es divisible por otro sin hacer las cuentas del caso, podemos utilizar los
siguientes criterios de divisibilidad …
Criterio de divisibilidad por 2
� Un número es divisible por 2 , si termina en cero o cifra par.
� Ejemplos: 24 ; 238 ; 1024 ; 243506 ... son divisibles por 2
� Contraejemplos: 29 ; 231 ; 1027 ; 243509 … NO son divisibles por 2
Criterio de divisibilidad por 3
� Un número es divisible por 3, si la suma de todos sus dígitos es múltiplo de 3.
� Ejemplos: 72 ; 564 ; 2040 ; 482502 … son divisibles por 3
72 7 + 2 = 9 y 9 es múltiplo de 3 entonces 72 es divisible por 3
564 5 + 6 + 4 = 15 y 15 es múltiplo de 3 entonces 564 es divisible por 3
2040 2 + 0 + 4 + 0 = 6 y 6 es múltiplo de 3 entonces 2040 es divisible por 3
482502 4 + 8 + 2 + 5 + 0 + 2 = 21 y 21 es múltiplo de 3 entonces 482502 es divisible por 3
� Contraejemplos: 67 ; 254 ; 3052 ; 572992 … NO son divisibles por 3
67 6 + 7 = 13 y 13 no es múltiplo de 3 entonces 67 NO es divisible por 3
254 2 + 5 + 4 = 11 y 11 no es múltiplo de 3 entonces 254 NO es divisible por 3
3052 3 + 5 + 0 + 2 = 10 y 10 no es múltiplo de 3 entonces 3052 NO es divisible por 3
572992 5 + 7 + 2 + 9 + 9 + 2 = 34 y 34 no es múltiplo de 3 entonces 572992 NO es divisible
por 3
Criterio de divisibilidad por 4
� Un número es divisible por 4, si sus dos últimas cifras son ceros o múltiplo de 4 ...
� Ejemplos: 36 ; 300 ; 1048 ; 243576 ... son divisibles por 4
� Contraejemplos: 39 ; 201 ; 1046 ; 353594 ... NO son divisibles por 4
Autor: Prof. Saúl Enrique Zamaniego – Colegio Secundario “Manuel Ramón González”
Año: 2020 Localidad: San Lorenzo
e-mail: [email protected] Pág. 3
OTRA POSIBILIDAD para este caso…
� Un número es divisible por 4, si la cifra de las unidades más el doble de la cifra de las
decenas es un múltiplo de 4 ...
� Ejemplos:
Decena Unidad
36 6 + 2 . 3 = 6 + 6 = 12 y 12 es múltiplo de 4 entonces 36 es divisible por 4
300 0 + 2 . 0 = 0 + 0 = 0 y 0 es múltiplo de 4 entonces 300 es divisible por 4
1048 8 + 2 . 4 = 8 + 8 = 16 y 16 es múltiplo de 4 entonces 1048 es divisible por 4
243576 6 + 2 . 7 = 6 + 14 = 20 y 20 es múltiplo de 4 entonces 243576 es divisible por 4
� Contraejemplos:
Decena Unidad
39 9 + 2 . 3 = 9 + 6 = 15 y 15 no es múltiplo de 4 entonces 39 NO es divisible por 4
201 1 + 2 . 0 = 1 + 0 = 1 y 1 no es múltiplo de 4 entonces 201 NO es divisible por 4
1046 6 + 2 . 4 = 6 + 8 = 14 y 14 no es múltiplo de 4 entonces 1046 NO es divisible por 4
353594 4 + 2 . 9 = 4 + 18 = 22 y 22 no es múltiplo de 4 entonces 353594 NO es divisible
por 4
Criterio de divisibilidad por 5
� Un número es divisible por 5, si la cifra de las unidades es cero o cinco.
� Ejemplos: 35 ; 170 ; 1095 ; 203810 ... son divisibles por 5
� Contraejemplos: 29 ; 231 ; 1027 ; 243509 … NO son divisibles por 5
Criterio de divisibilidad por 6
� Un número es divisible por 6, si es divisible por 2 y también es divisible por 3.
� Ejemplos: 72 ; 324 ; 2400 ; 505002 ... son divisibles por 6
72 es divisible por 2 y …
72 7 + 2 = 9 y 9 es múltiplo de 3 entonces 72 es divisible por 3 …
Autor: Prof. Saúl Enrique Zamaniego – Colegio Secundario “Manuel Ramón González”
Año: 2020 Localidad: San Lorenzo
e-mail: [email protected] Pág. 4
POR LO TANTO… 72 es divisibles por 6
324 es divisible por 2 y …
324 3 + 2 + 4 = 9 y 9 es múltiplo de 3 entonces 324 es divisible por 3 …
POR LO TANTO… 324 es divisibles por 6
2400 es divisible por 2 y …
2400 2 + 4 + 0 + 0 = 6 y 6 es múltiplo de 3 entonces 2400 es divisible por 3 …
POR LO TANTO… 2400 es divisibles por 6
505002 es divisible por 2 y …
505002 5 + 0 + 5 + 0 + 0 + 2 = 12 y 12 es múltiplo de 3 entonces 505002 es
divisible por 3 …
POR LO TANTO… 505002 es divisibles por 6
� Contraejemplos: 82 ; 239 ; 5024 ; 243509 … NO son divisibles por 6
82 es divisible por 2 pero …
82 8 + 2 = 10 y 10 no es múltiplo de 3 entonces 82 NO es divisible por 3 …
POR LO TANTO… 82 NO es divisibles por 6
239 NO es divisible por 2 …
POR LO TANTO… 239 ya NO es divisibles por 6
5024 es divisible por 2 pero …
5024 5 + 0 + 2 + 4 = 11 y 11 no es múltiplo de 3 entonces 5024 NO es divisible
por 3 …
POR LO TANTO… 5024 NO es divisibles por 6
243509 NO es divisible por 2 …
POR LO TANTO… 243509 ya NO es divisibles por 6
Autor: Prof. Saúl Enrique Zamaniego – Colegio Secundario “Manuel Ramón González”
Año: 2020 Localidad: San Lorenzo
e-mail: [email protected] Pág. 5
Criterio de divisibilidad por 7
� Un número es divisible por 7, si la diferencia entre el número sin la cifra de las unidades y
el doble de la cifra de las unidades es un múltiplo de 7.
� Ejemplos: 105 ; 616 ; 4424 ; 31948 ... son divisibles por 7
105 10 – 2 . 5 = 10 – 10 = 0 y 0 es múltiplo de 7 entonces 105 es divisible por 7
616 61 – 2 . 6 = 61 – 12 = 49 y 49 es múltiplo de 7 entonces 616 es divisible por 7
4424 442 – 2 . 4 = 442 – 8 = 434 … repetimos el mismo procedimiento ahora con 434
para 434 43 – 2 . 4 = 43 – 8 = 35 y 35 es múltiplo de 7
entonces finalmente 4424 es divisible por 7
31948 3194 – 2 . 8 = 3194 – 16 = 3178 … repetimos el mismo procedimiento ahora con 3178
para 3178 317 – 2 . 8 = 317 – 16 = 301 ahora aplicamos la misma técnica con 301
para 301 30 – 2 . 1 = 30 – 2 = 28 y 28 es múltiplo de 7
entonces finalmente 31948 es divisible por 7
� Contraejemplos: 132 ; 1121 ; 7246 ; 63243 … NO son divisibles por 7
132 13 – 2 . 2 = 13 – 4 = 9 y 9 no es múltiplo de 7 …
POR LO TANTO… 132 NO es divisibles por 7
1121 112 – 2 . 1 = 112 – 2 = 110 … repetimos el mismo procedimiento ahora con 119
para 110 11 – 2 . 0 = 11 – 0 = 11 y 11 no es múltiplo de 7
POR LO TANTO… 1121 NO es divisibles por 7
7246 724 – 2 . 6 = 724 – 12 = 712 … repetimos el mismo procedimiento ahora con 712
para 712 71 – 2 . 2 = 71 – 4 = 67 y 67 no es múltiplo de 7
POR LO TANTO… 7246 NO es divisibles por 7
Autor: Prof. Saúl Enrique Zamaniego – Colegio Secundario “Manuel Ramón González”
Año: 2020 Localidad: San Lorenzo
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63243 6324 – 2 . 3 = 6324 – 6 = 6318 … repetimos el mismo procedimiento ahora con 6318
para 6318 631 – 2 . 8 = 631 – 16 = 615 ahora aplicamos la misma técnica con 615
para 615 61 – 2 . 5 = 61 – 10 = 51 y 51 no es múltiplo de 7
POR LO TANTO… 63243 NO es divisibles por 7
Criterio de divisibilidad por 8
� Un número es divisible por 8 cuando la suma entre la cifra de las unidades, el doble de la
cifra de las decenas y el cuádruple de la cifra de las centenas es un múltiplo de 8.
� Ejemplos: 184 ; 688 ; 3816 ; 55984 ... son divisibles por 8
decena
centena unidad
184 4 + 2 . 8 + 4 . 1 = 4 + 16 + 4 = 24 y 24 es múltiplo de 8
entonces 184 es divisible por 8
688 8 + 2 . 8 + 4 . 6 = 8 + 16 + 24 = 48 y 48 es múltiplo de 8
entonces 688 es divisible por 8
3816 6 + 2 . 1 + 4 . 8 = 6 + 2 + 32 = 40 y 40 es múltiplo de 8
entonces 3816 es divisible por 8
55984 4 + 2 . 8 + 4 . 9 = 4 + 16 + 36 = 56 y 56 es múltiplo de 8
entonces 55984 es divisible por 8
� Contraejemplos: 166 ; 1226 ; 7242 ; 63994 … NO son divisibles por 8
166 6 + 2 . 6 + 4 . 1 = 6 + 12 + 4 = 22 y 22 no es múltiplo de 8
POR LO TANTO… 166 NO es divisibles por 8
Autor: Prof. Saúl Enrique Zamaniego – Colegio Secundario “Manuel Ramón González”
Año: 2020 Localidad: San Lorenzo
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1226 6 + 2 . 2 + 4 . 2 = 6 + 4 + 8 = 18 y 18 no es múltiplo de 8
POR LO TANTO… 1226 NO es divisibles por 8
7242 2 + 2 . 4 + 4 . 2 = 2 + 8 + 8 = 18 y 18 no es múltiplo de 8
POR LO TANTO… 7242 NO es divisibles por 8
63994 4 + 2 . 9 + 4 . 9 = 4 + 18 + 36 = 58 y 58 no es múltiplo de 8
POR LO TANTO… 63994 NO es divisibles por 8
Criterio de divisibilidad por 9
� Un número es divisible por 9 cuando la suma de todos sus dígitos es un múltiplo de 9.
� Ejemplos: 225 ; 711 ; 8019 ; 87948 ... son divisibles por 9
225 2 + 2 + 5 = 9 y 9 es múltiplo de 9
entonces 225 es divisible por 9
711 7 + 1 + 1 = 9 y 9 es múltiplo de 9
entonces 711 es divisible por 9
8019 8 + 0 + 1 + 9 = 18 y 18 es múltiplo de 9
entonces 8019 es divisible por 9
87948 8 + 7 + 9 + 4 + 8 = 36 y 36 es múltiplo de 9 entonces 87948 es divisible por 9
� Contraejemplos: 176 ; 1619 ; 9658 ; 74323 … NO son divisibles por 9
176 1 + 7 + 6 = 14 y 14 no es múltiplo de 9
entonces 176 NO es divisible por 9
1619 1 + 6 + 1 + 9 = 17 y 17 no es múltiplo de 9
entonces 1619 NO es divisible por 9
9658 9 + 6 + 5 + 8 = 28 y 28 no es múltiplo de 9
entonces 9658 NO es divisible por 9
Autor: Prof. Saúl Enrique Zamaniego – Colegio Secundario “Manuel Ramón González”
Año: 2020 Localidad: San Lorenzo
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74323 7 + 4 + 3 + 2 + 3 = 19 y 19 no es múltiplo de 9 entonces 74323 NO es divisible por 9
Criterio de divisibilidad por 10
� Un número es divisible por 10 cuando la cifra de las unidades es 0.
� Ejemplos: 190 ; 3700 ; 8000 ; 87940 ... son divisibles por 10
� Contraejemplos: 179 ; 1618 ; 9656 ; 74323 … NO son divisibles por 10
Criterio de divisibilidad por 11
� Un número es divisible por 11 cuando la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan
los lugares impares y la de los pares es un múltiplo de 11.
� Ejemplos: 121 ; 539 ; 7579 ; 86801 ... son divisibles por 11
lugares impares suma de lugares impares
121 ( 1 + 1 ) – 2 = 2 – 2 = 0 y 0 es múltiplo de 11
entonces 121 es divisible por 11
lugares pares suma de lugares pares
539 ( 5 + 9 ) – 3 = 14 – 3 = 11 y 11 es múltiplo de 11 entonces 539 es divisible por 11
7579 ( 5 + 9 ) – ( 7 + 7 ) = 14 – 14 = 0 y 0 es múltiplo de 11
entonces 7579 es divisible por 11
86801 ( 8 + 8 + 1) – ( 0 + 6 ) = 17 – 6 = 11 y 11 es múltiplo de 11
entonces 86801 es divisible por 11
Autor: Prof. Saúl Enrique Zamaniego – Colegio Secundario “Manuel Ramón González”
Año: 2020 Localidad: San Lorenzo
e-mail: [email protected] Pág. 9
� Contraejemplos: 179 ; ; 2896 ; 10998 ; 248576 … NO son divisibles por 11
lugares impares suma de lugares impares
179 ( 1 + 9 ) – 7 = 10 – 7 = 3 y 3 no es múltiplo de 11
entonces 179 NO es divisible por 11
lugares pares suma de lugares pares
2896 ( 8 + 6 ) – ( 2 + 9 ) = 14 – 11 = 3 y 3 no es múltiplo de 11 entonces 2896 NO es divisible por 11
10998 ( 1 + 9 + 8 ) – ( 0 + 9 ) = 18 – 9 = 9 y 9 no es múltiplo de 11
entonces 10998 NO es divisible por 11
248576 ( 4 + 5 + 6 ) – ( 2 + 8 + 7 ) = 16 – 17 = – 1 y – 1 no es múltiplo de 11 entonces 248576 NO es divisible por 11
Criterio de divisibilidad por 25
� Un número es divisible por 25 cuando sus dos últimas cifras son ceros o un múltiplo de 25
� Ejemplos: 300 ; 525 ; 750 ; 86875 ... son divisibles por 25
� Contraejemplos: 401 ; ; 999 ; 100024 ; 240051 … NO son divisibles por 25
Criterio de divisibilidad por 125
� Un número es divisible por 125 cuando sus tres últimas cifras son ceros o un múltiplo de
125.
� Ejemplos: 3000 ; 6125 ; 12500 ; 86625 ; 973750 ... son divisibles por 125
� Contraejemplos: 401 ; ; 1999 ; 100124 ; 240051 … NO son divisibles por 125