第 1章 二次函数

二次函数物体运动的轨迹并不总是呈直线形的，有时会成为一条

曲线.例如在跳水比赛中，运动员在空中划过一道优美的曲

线，像这样的曲线与我们将要学习的二次函数的图象很相似.

那么什么是二次函数呢？二次函数的图象有什么特征？

二次函数具有哪些性质？学完本章知识，你将能回答上述问

题，并能运用二次函数的知识去解决一些实际问题.

第 章1

1

数学 九年级下册

二次函数1.1

学校准备在校园里利用围墙的一段和篱笆墙围成一个矩形植物园， 如图1-1 所示. 已知篱笆墙的总长度为100 m， 设与围墙相邻的一面篱笆墙的长度为 x（m）， 那么矩形植物园

的面积 Ｓ（m2） 与 x之间有何关系？图 1－１

由于与围墙相邻的一面篱笆墙的长度为 ｘ ｍ， 可知， 与围墙相对的一面篱笆墙的长度为（１００－２ｘ） ｍ．于是矩形植物园的面积 Ｓ与 ｘ 之间有如下关系：

Ｓ ＝ ｘ （ １００ － ２ｘ ）， ０ ＜ ｘ ＜ ５０ ，

即 Ｓ ＝ － ２ｘ２ ＋ １００ｘ， ０ ＜ ｘ ＜ ５０ . ①

①式表示植物园面积 Ｓ与围墙相邻的一面篱笆墙长度 x 之间的关系， 而且对于 x的每一个取值， S都有唯一确定的值与它对应， 即 S是 x的函数.

某型号笔记本电脑两年前的销售价为 ６ ０００ 元. 现降价销售， 若每年的

平均降价率为 ｘ， 怎样用 ｘ来表示该型号电脑现在的售价 y（元）？

为什么有 0 < x < 50？

笔记本电脑每次降价后的售价都是降价前的（1-x）倍， 于是我们得到售价ｙ 与平均降价率 x 之间有如下的关系：

ｙ ＝ ６ ０００ （ １ － ｘ ） ２ ， ０ ＜ ｘ ＜ １ ，即 ｙ ＝ ６ ０００ｘ２ － １２ ０００ｘ ＋ ６ ０００ ， ０ ＜ ｘ ＜ １ . ②②式表示两年后的售价 y 与平均降价率 x 之间的关系， 而且对于 x 的每一

个取值， y 都有唯一确定的值与它对应， 即 y 是 x 的函数.

2

第 1章 二次函数

像①、 ②式那样， 如果函数的表达式是自变量的二次多项式， 那么， 这样的函数称为二次函数（ｑｕａｄｒａｔｉｃ ｆｕｎｃｔｉｏｎ）， 它的一般形式是

其中 ｘ 是自变量， ａ， ｂ， ｃ 分别是函数表达式的二次项系数、 一次项系数和常数项.

二次函数的自变量的取值范围是所有实数． 但在实际问题中， 它的自变量的取值范围会有一些限制． 例如， 上面第一个例子中， ０ ＜ ｘ ＜ ５０ ， 在第二个例子中， ０ ＜ ｘ ＜ 1 .

例 1例 如图 1-2， 一块矩形木板， 长为 120 cm、 宽为 80 cm， 在木板 4 个角上各截去边长为 x（cm）的正方形， 求余下面积 S（cm2）与 x 之间的函数表达式.

分析 本问题中的数量关系是：木板余下面积 =矩形面积 -截去面积.

解 木板余下面积 S与截去正方形边长 x 有如下函数关系：S = 120 × 80 - 4 × x2 = - 4x2 + 9 600 ， 0 ＜ x≤ 40 .

3.

①式与②式有什么共同点？ 它们与一次函数的表达式有什么不同？

练习

写出下列函数的表达式， 并指出哪些是二次函数， 哪些是一次函数，哪些是反比例函数．

（１） 正方形的面积 Ｓ关于它的边长 ｘ的函数；（２） 圆的周长 C关于它的半径 ｒ的函数；（３） 圆的面积 Ｓ关于它的半径 ｒ的函数；（４） 当菱形的面积 Ｓ 一定时， 它的一条对角线的长度 ｙ 关于另一条对角

线的长度 ｘ的函数．

ｙ ＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ （ａ， ｂ， ｃ 是常数， ａ≠０）.

图 1－2

3

数学 九年级下册

习题 1.1

A组

１郾 下列函数中， 哪些是二次函数， 哪些是一次函数， 哪些是反比例函数？

（１） ｙ＝３ｘ＋１ ； （2） ｙ＝３ｘ２ ＋ ２ｘ＋１ ；

（３） ｙ＝３ｘ２ ＋ １ ； （４） ｙ＝－３ｘ２＋ ｘ ；

（５） ｙ＝ １３ｘ

； （６） ｙ＝ １３ｘ２ ．

2郾 一长方体水池深２ ｍ， 底面矩形的周长为８ ｍ， 设底面一边长为ｘ（ｍ），水池的容积为 ｙ（ｍ３）， 求 ｙ关于 ｘ的函数表达式.

3郾 如图， 一块矩形田地长 100 m， 宽 80 m，现计划在田地中修 2 条互相垂直且宽度为 x（m）的小路， 剩余面积种植庄稼， 设剩余面积为 y（m2）， 求y关于 x的函数表达式， 并写出自变量的取值范围.

B组

4. 如图为一隧道的截面示意图， 它的上部是一个半圆， 下部是一个矩形， 且矩形的竖直的边长为 ２．５ ｍ. 设隧道截面积为Ｓ（m2）， 截面半圆的半径为r（m）， 试写出 Ｓ关于 ｒ的函数表达式．

（第 4题图）

（第 3题图）

2.5 m

4