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第３章 余剰生産量モデル surplus production model

「水産資源学」 北海道大学水産学部

准教授 松石 隆

2

３．１ ラッセルの方程式

再生産機能を利用して、適正な漁獲を行おうとする考え方

Russell, E. S. (1931) Some theoretical considerations on the ‘overfishing’ problem. Journal du Conseil International pour l’Exploration de la Mer, 6, 3-20.

はじめの資源量P1, １年後の資源量P2

A:加入量 G：成長量 Y:漁獲量 M：死亡量

( ) ( )MYGAPP +−++= 12

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 12

12

12

PPMYGAPPMYGAPPMYGA

=+=++

3

3.2 シェーファーのモデル

ラッセルのモデルを変形し、持続漁獲量を算定

Ye 持続漁獲量 V:自然増加量 Vは資源量Pによって異なる

P=0ならば 明らかにV=0 これ以上資源が増大できないP∞ がありそこではV=0 P=0とP∞の間に最大自然増加量＝維持漁獲量を得るPがある

はず

最大維持漁獲量 Maximum Sustainable Yield / MSY

MGAVYe −+==

4

3.2.2 維持漁獲量と資源量

以下関係に基づき、Yeを計算しPとの関係を図示

放物線に当てはめてMSYを推定

過去にCPUEが270～280ポンドだったという情報あり

YPYYYPPPP

e

e

+∆=−=∆∆=− 12

Schaefer, M. B. (1954) Some aspects of the dynamics of populations important to the management of the commercial marine fisheries. Bulletin, Inter-American Tropical Tuna Commission, 1, 27-56.

5

3.2.3 余剰生産モデルの仮定

1. Equilibrium condition: 資源は平衡状態にあり環境が安定している

2. Single Population: 対象資源は独立した系群 3. Fishable population constant：年齢組成を無

視できる 4. Constant catchability: 漁獲効率が一定 5. No time lag: 自然増加量がその瞬間の資源量

によって決まる

6

3.2.4 漁獲が無い場合の個体群の増殖 増殖制限が無い場合 自然増加量の定式化

制限の無い増加（ねずみ算式）

( )PfPdtdP

⋅=

( )

rtePP

rPdtdP

rPf

0=

=

=

7

3.2.4 漁獲が無い場合の個体群の増殖 増殖制限が有る場合 制限がある場合

( )

( )011

1

1

0

ttrePK

KP

KPrP

dtdP

KPrPf

−−

−+

=

−=

−=

010

rta ePKe

−=

rtaeKP −+

=1

ここで

L=K

8

3.2.5 シェーファーのモデル 漁獲がある場合 基本式

r: 内的自然増加率 P:資源量 K：環境収容量 q：漁獲効率 X:漁獲努力量

漁獲量

持続漁獲量

このときCPUE uは

qXPY =qXP

KPrP

dtdP

−

−= 1

−==

=

KPPrPqXY

dtdP

ee 1

0

quPPqXYu e

/===

9

CPUEと努力量Xの関係

−=

−=

−=

−=

−==

rqXKP

rqX

KP

KP

rqX

KPrqX

KPPrPqXY

e

e

e

e

ee

1

1

1

1

1

ee

e

eee

eeee

XrKqqK

XYu

XrKqqKXY

rqXKqXPqXY

2

22

1

−==

−=

−==

10

努力量とSYの関係

−==

KPPrPqXY ee 1

11

維持漁獲量と資源量・努力量の関係

22

eee XrKqqKXY −=

努力量と維持漁獲量の関係

eY

eX

資源量と維持漁獲量の関係

−=

KPPrYe 1

P

eY

12

MSY

維持漁獲量の最大値がMSYであるので微分し

その時の維持漁獲量MSYは

qrX

XrKqqK

dXdY

Y

XrKqqKXY

MSY

ee

e

e

eee

2

02

MSY2

22

=

=−=

=

−=

の時

4

22

22

rKqr

rKq

qrqKMSY

=

−=

13

MSYを満たす平衡資源量

e

e

ee

qXYP

PqXY

=

= ( )( ) 22

4 Kqrq

rKqXYP

e

eMSY ===

qrX e 2

=

MSYのとき

4rKYe =

14

維持漁獲量と資源量・努力量の関係

22

eee XrKqqKXY −=

努力量と維持漁獲量の関係

eY

eX

資源量と維持漁獲量の関係

−=

KPPrYe 1

P

eY

K2K

4rK

qr 2

4rK

15

MSYの求め方

CPUEとＸの関係から回帰直線

e

eee

XrKqqKu

XrKqqKXY

2

22

−=

−=

bXau −=

brKqaqK=

=2

( )( )

( )b

aKq

rqKqrX

ba

rKqqKrKYMSY

221

2

444

2opt

2

2

2

max

=

==

====

baXbaY

24

opt

2max

==

16

補足：MEY Maximum Economical Yield

努力量X

持続漁獲高・コスト(\)

MEY

17

3.2.6 実例

King 1995

18

3.3 フォックスのモデル

シェーファーのモデルでは、自然増加がロジスティック曲線に従うと仮定

フォックスのモデルではゴンペルツ曲線に従うと仮定

19

3.3.1 概要

( ) PqXPLPKdtdP

−−= lnln

( ) ( )( ) ( )XKqqLueqLu XKq

−== −

lnln

( ) ( )XKqeqLXY −= qKX =opt

eKLY =max

eqLu =opt

努力量X

ln(C

PU

E) l

nu qL

( )Kq−

20

3.4 ペラ・トムリンソンモデル

KPHPdtdP m −=

−=

z

KPrP

dtdP

1

1

qXPKPHPY m =−=

11−

+=

m

HKqXqXY

11−

+==

m

HKqfq

XYu

( )mq

mKX −= 1opt1

1

opt

−

=

m

mHKP

11

1

max

−−

−

=

mmm

mHKK

mHKHY

21

22

3.5 r-, K-戦略

r-戦略：rを大きくすることによって資源を維持しようとする戦略 環境変動が大きい 餌を見つける能力が高い 餌が豊富にある 成熟が早い サンマ、マイワシ、ニシンな

どの浮魚類

K-戦略：Kを大きくすることによって資源を維持しようとする戦略 環境変動が小さい rが小さい 餌を見つける能力が低い 成熟が遅い カツオ、マグロ、カレイ、ヒラ

メ

NKNr

dtdN

−= 1

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まとめ

ラッセルの方程式：資源動態を表す シェーファーのモデル：ロジスティック曲線を用いて

MSY等を求めることができる

フォックスモデル、ペラトムリンソンモデル：シェーファーモデルの拡張

r-戦略：多産、浮魚に多い K-戦略：少産、底魚に多い

bXau −= baXbaY 2,4 opt2

max ==

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Vocabulary

Surplus Production Model Production Model

Recruitment overfishing Growth overfishing Natural Increase

MSY/ Maximum Sustainable Yield

Equilibrium condition Catchability Intrinsic rate of increase

Intrinsic growth rate

第３章 余剰生産量モデル� surplus production model３．１　ラッセルの方程式3.2 シェーファーのモデル3.2.2 維持漁獲量と資源量3.2.3 余剰生産モデルの仮定3.2.4　漁獲が無い場合の個体群の増殖�　　　　増殖制限が無い場合3.2.4　漁獲が無い場合の個体群の増殖�　　　　増殖制限が有る場合3.2.5 シェーファーのモデル�　　　　　漁獲がある場合CPUEと努力量Xの関係努力量とSYの関係維持漁獲量と資源量・努力量の関係MSYMSYを満たす平衡資源量維持漁獲量と資源量・努力量の関係MSYの求め方補足：MEY �Maximum Economical Yield3.2.6 実例3.3 フォックスのモデル3.3.1 概要3.4 ペラ・トムリンソンモデルスライド番号 213.5 r-, K-戦略まとめVocabulary