cal2 118 59 3rd ch 03 06june2017...

บทท 3

ปรภมสามมต

ภาคฤดรอน ปการศกษา 2559

1

บทท 3 ปรภมสามมต

บทท 3



2

3.1 พกดฉากในปรภมสามมต

การบอกตาแหนงของจดในปรภมสามมตวธ เราใชทอางองเปน

เสนตรงสามเสน (เรยกวา แกน X แกน Y และแกน Z)

ซงตดและตงฉากซงกนและกนทจด O

เราเรยกแกนทงสามวา แกนพกดฉาก

เรยกจด O วา จดกาเนด

เรยกระนาบทผานแกน X และแกน Y วา ระนาบ XY

เรยกระนาบทผานแกน Y และแกน Z วา ระนาบ YZ

เรยกระนาบทผานแกน X และแกน Z วา ระนาบ XZ

และเรยกระนาบทงสามวา ระนาบพกดฉาก

ดงรปท 3.1.1

รปท 3.1.1

บทท 3



3

ระนาบพกดฉากจะตงฉากซงกนและกน

และแบงปรภมสามมตออกเปน 8 สวน

เรยกวา อฐภาค ดงรปท 3.1.2

รปท 3.1.2

บทท 3



4

การเลอกทศทางทเปนบวกบนแกนพกดฉาก เรานยมใช

กฎมอขวา

กลาวคอ

ถาเราวางมอขวาโดยใหนวหวแมมอ นวช และนวกลาง

อยในลกษณะตงฉากซงกนและกน

ให

น วหวแมมอ ชไปใน ทศทางทเปนบวกของแกน X

น วช ชไปใน ทศทางทเปนบวกของแกน Y

และ น วกลาง ชไปใน ทศทางทเปนบวกของแกน Z

ระยะบนแกนพกดฉากในทศทางทกลาวมานจะเปนบวก

และระยะบนแกนพกดฉากในทศทางทตรงขามกบทกลาวมาน

เปนลบ

ตวอยางดงรปท 3.1.3

เราจะใชแบบหนงแบบใดกไดตามความเหมาะสม

รปท 3.1.3

บทท 3



5

ให P เปนจดในปรภมสามมต

เราจะบอกตาแหนงของจด P ดวยลาดบของสามจานวนจรง (x,

y, z) เราเรยก x, y และ z วา สวนประกอบท 1, 2 และ 3

ของ (x, y, z) ตามลาดบ และเรยก (x, y, z) วาพกดฉาก ของ

จด P ซงเราจะหาสวนประกอบทงสามไดดงน

รปท 3.1.4

รปท 3.1.4 แสดงจด P ในปรภมสามมต

จากจด P ลากเสนขนานกบแกน Z พบระนาบ XY ทจด Q

ระยะ PQ = z

จากจด Q ลากเสนขนานกบแกน Y พบแกน X ทจด A

ระยะ OA = x

จากจด Q ลากเสนขนานกบแกน X พบแกน Y ทจด B

ระยะ OB = y

บทท 3



6

รปท 3.1.4

ขอสงเกต

1. จด Q คอ ภาพฉายของจด P บนระนาบ XY

และพกดของ Q คอ (x, y, 0)

2. จด A(x, 0, 0) คอ ภาพฉายของจด P บนแกน X

จด B(0, y, 0) คอ ภาพฉายของจด P บนแกน Y

จด C(0, 0, z) คอ ภาพฉายของจด P บนแกน Z

หมายเหต

เราใชสญลกษณ 3R แทนเซตของลาดบของสามจานวนจรง

หรอเซตของจดในปรภมสามมต

บทท 3



7

ตวอยาง 3.1.1

จงเขยนกราฟในปรภมสามมต แสดงตาแหนงของจด

1. P(5, 8, 7) 2. Q(–4, 6, –6)

3. S(–6, –9, –8) 4. T(4, –4, 4)

วธทา

1. การแสดงตาแหนงของจด P(5, 8, 7)

จากจด O ไปยงจด A ตามแนวแกน X ทางดานบวก

เปนระยะทาง 5 หนวย

จากจด A ไปยงจด B ขนานกบแกน Y ทางดานบวก


จากจด B ไปยงจด P ขนานกบแกน Z ทางดานบวก


รปท 3.1.5

บทท 3



8

2. การแสดงตาแหนงของจด Q(–4, 6, –6)

จากจด O ไปยงจด A ตามแนวแกน X ทางดานลบ


จากจด A ไปยงจด B ขนานกบแกน Y ทางดานบวก


จากจด B ไปยงจด Q ขนานกบแกน Z ทางดานลบ


รปท 3.1.6

บทท 3



9

3. การแสดงตาแหนงของจด S(–6, –9, –8)

จากจด O ไปยงจด A ตามแนวแกน X ทางดานลบ


จากจด A ไปยงจด B ขนานกบแกน Y ทางดานลบ


จากจด B ไปยงจด S ขนานกบแกน Z ทางดานลบ


รปท 3.1.7

บทท 3



10

4. การแสดงตาแหนงของจด T(4, –4, 4)

จากจด O ไปยงจด A ตามแนวแกน X ทางดานบวก


จากจด A ไปยงจด B ขนานกบแกน Y ทางดานลบ


จากจด B ไปยงจด T ขนานกบแกน Z ทางดานบวก


รปท 3.1.8

บทท 3



11

3.2 เวกเตอรในปรภมสามมต

3.2.1 ความหมายของเวกเตอรในปรภมสามมต

เวกเตอร คอ ปรมาณทมทงขนาดและทศทาง

เราใชสวนของเสนตรงทเชอมโยงระหวางจดสองจด และ มหว

ลกศรกากบแทนเวกเตอร

ใหความยาวของสวนของเสนตรงแทนขนาด และ หวลกศรบอก

ทศทางของเวกเตอร

เราใชสญลกษณ PQ แทนสวนของเสนตรงทมทศทาง หรอ

เวกเตอรทม P เปนจดเรมตน และ Q เปนจดสนสด มทศทาง

จากจด P ไปยงจด Q

ใชสญลกษณ || PQ || แทนความยาวของ PQ หรอขนาดของ PQ

เวกเตอรสองเวกเตอร เทากน

กตอเมอ เวกเตอรทงสองมขนาดเทากน และ มทศทางเดยวกน

บทท 3



12

รปท 3.2.1

เวกเตอรตางๆ ทเทากน ซงในบรรดาเวกเตอรเหลานจะมอย

เวกเตอรหนงเสมอทมจดเรมตนเปนจดกาเนด

เพราะฉะนน เราแทนเวกเตอรในปรภมสามมตไดดวย สวนของ

เสนตรงทมทศทางโดยมจดเรมตนเปนจดกาเนด

ในรปท 3.2.1 เวกเตอรเหลาน ถอวาคอ OA

เพราะวา บรรดาสวนของเสนตรงทมทศทางเหลาน ตางม

จดเรมตนทกาหนดไวแนนอนคอ จดกาเนด

เพราะฉะนนเราบอกแตละสวนของเสนตรงทมทศทางเชนนได

ดวยจดปลายของเวกเตอร

ขอตกลง เราใชสญลกษณ A แทน OA

บทท 3



13

ขอตกลง

สาหรบจด P ใดๆ ใน 3R เราจะใชสญลกษณ P

เขยนแทน OP

เพราะวาเราแทนจดใน 3R ดวยลาดบของสามจานวนจรง เชน

ถา P มพกดฉากเปน (x, y, z) เรากแทน P ไดดวย

เราจงอาจใช (x, y, z) แทน P กได

บทนยาม 3.2.1 ให A = ( 1a , 2a , 3a ) เปนเวกเตอรใน 3R

เราเรยก 1a , 2a , 3a วา สวนประกอบ ของ A

ตามแกน X แกน Y และแกน Z ตามลาดบ

รปท 3.2.2

โดยใชความสมพนธของดาน

ของรปสามเหลยมมมฉาก OPQ และ OAQ จะไดวา

ความยาวของ OA คอ 23

22

21 aaa ++

เพราะฉะนน || A || = 23

22

21 aaa ++

บทท 3



14

บทนยาม 3.2.2 เราเรยกเวกเตอรทมสวนประกอบทกตวเปน

ศนยวา เวกเตอรศนย

เขยนแทนดวยสญลกษณ O เพราะฉะนน O = (0, 0, 0)

บทนยาม 3.2.3 ให A = ( 1a , 2a , 3a ) ≠ O เปนเวกเตอรททา

มม α, β, γ กบแกน X แกน Y และแกน Z ทางดานบวก

ตามลาดบ โดยท α, β, γ มคาตงแต 0 ถง π

เราเรยก α, β, γ วา มมแสดงทศทางของ A

และเรยก cos α, cos β, cos γ วา โคไซนแสดงทศทางของ A

รปท 3.2.3

รปท 3.2.3 แสดง A ซงมมมแสดงทศทางเปน α, β, γ

พจารณารปสามเหลยม OAM จะเหนวา AMO เปนมมฉาก

เพราะฉะนน cos γ = ||||

||||

OAOM

= |||| A

a3

บทท 3



15

รปท 3.2.3

ลาก AP และ AQ

จากรปสามเหลยมมมฉาก OAP และ OAQ จะไดวา

cos α = |||| A

a1

และ cos β = |||| A

a2

เพราะฉะนน cos α = |||| A

a1

cos β = |||| A

a2

cos γ = |||| A

a3

และ α2cos + β2cos + γ2cos = 1

บทท 3



16

ตวอยาง 3.2.1 กาหนดให A = (–1, 2 , 1)

จงหาขนาดและมมแสดงทศทางของ A

วธทา

|| A || = 222 1)2()1( ++− = 4 = 2

ให A ทามม α, β, γ กบแกน X, แกน Y, แกน Z ทางดานบวก

ตามลาดบ

เราจะได

cos α = |||| A

a1 = – 21 เพราะฉะนน α = 3

2π

cos β = |||| A

a2 = 22 เพราะฉะนน β = 4

π

cos γ = |||| A

a3 = 21 เพราะฉะนน γ = 3

π

บทท 3



17

3.2.2 พชคณตเวกเตอร

บทนยาม 3.2.4

ให A = ( 1a , 2a , 3a ), B = ( 1b , 2b , 3b ) และ k ∈ R

1. A = B กตอเมอ 1a = 1b , 2a = 2b และ 3a = 3b

2. การบวกเวกเตอร A + B = ( 1a + 1b , 2a + 2b , 3a + 3b )

3. การคณเวกเตอรดวยสเกลาร kA = (k 1a , k 2a , k 3a )

หมายเหต 1. ถา D = A + B

แลว D จะแทนดวยสวนของเสนตรงทมทศทาง ซงเปนเสนทแยง

มมของรปสเหลยมดานขนานทม A และ B เปนดานประชด

รปท 3.2.4

2. ถา D = kA แลว D จะเปนเวกเตอรซงขนานกบ A

โดย มทศทางเดยวกบ A เมอ k > 0

และ มทศทางตรงขามกบ A เมอ k < 0

และ || kA || = | k | || A || ในกรณท k = –1 เราเรยก (–1)A วา นเสธ ของ A

และนยมเขยนแทนดวยสญลกษณ –A

บทนยาม 3.2.5 A – B = A + (–B)

บทท 3



18


กาหนดให A = (2, –1, 3)

และ B = (1, 2, –1)

จงหา 2A – B

วธทา 2A– B = 2(2, –1, 3) – (1, 2, –1)

= (4, –2, 6) + (–1, –2, 1)

= (4 – 1, –2 – 2, 6 + 1)

= (3, –4, 7)

ขอสงเกต AB = B – A

บทท 3



19

สมบตของการบวกเวกเตอรและการคณเวกเตอรดวยสเกลาร

ให A , B, C เปนเวกเตอรใน 3R และ c, k ∈ R

จะไดวา

1. A + B = B + A

2. (A + B) + C = A + (B + C)

3. A + O = A

4. A + (–A) = O

5. (ck)A = c(kA) = k(cA)

6. c(A + B) = cA + cB

7. (c + k)A = cA + kA

8. 1A = A

9. 0A = O

บทท 3



20

3.2.3 เวกเตอรหนวย

บทนยาม 3.2.6 เราเรยกเวกเตอรทมขนาดหนงหนวยวา

เวกเตอรหนวย

ให A เปนเวกเตอรใน 3R ซง A ≠ O

จะเหนไดวา |||| AA เปนเวกเตอรทมทศทางเดยวกบ A

และมขนาดเปน || |||| AA || = |||| A

1 || A || = 1

เพราะฉะนน เวกเตอรหนวยในทศทางของ A คอ |||| AA

และ เวกเตอรหนวยในทศทางตรงขามกบ A คอ – |||| AA

ตวอยาง 3.2.3 ให A(1, 2, –1) และ B(2, 4, 1) เปนจดใน

3R จงหาเวกเตอรหนวยในทศทางของ AB

วธทา AB = B – A

= (2, 4, 1) – (1, 2, –1)

= (1, 2, 2)

|| AB || = 222 221 ++ = 9 = 3

เพราะฉะนน เวกเตอรหนวยในทศทางของ AB คอ

|||| AB

AB = 3)2 ,2 ,1(

= (31 , 3

2 , 32)

บทท 3



21

เวกเตอรหนวยในทศทางบวก ของแกน X แกน Y และแกน Z

เวกเตอรหนวยทสาคญคอ เวกเตอรหนวยในทศทางบวกของ

แกน X แกน Y และแกน Z

และเราจะเขยนแทนดวยสญลกษณ i , j , k ตามลาดบ

กลาวคอ เราให

i = (1, 0, 0)

j = (0, 1, 0)

k = (0, 0, 1)

ให A = ( 1a , 2a , 3a ) เปนเวกเตอรใน 3R

เราจะไดวา

A = ( 1a , 2a , 3a )

= ( 1a , 0, 0) + (0, 2a , 0) + (0, 0, 3a )

= 1a (1, 0, 0) + 2a (0, 1, 0) + 3a (0, 0, 1)

= 1a i + 2a j + 3a k

ตวอยางเชน

(2, 3, 6) = 2 i + 3 j + 6k

(–3, 6, –12) = –3 i + 6 j – 12k

(0, 3, –1) = 3 j – k

บทท 3



22

3.2.4 ผลคณเชงสเกลาร


ให A = ( 1a , 2a , 3a ) และ B = ( 1b , 2b , 3b ) เปนเวกเตอรใน

3R

ผลคณเชงสเกลาร ของ A และ B

เขยนแทนดวยสญลกษณ A ⋅B มคาดงน

A ⋅B = 1a 1b + 2a 2b + 3a 3b

สมบตเกยวกบผลคณเชงสเกลาร มดงน

ให A , B, C เปนเวกเตอรใน 3R และ k ∈ R จะไดวา

1. A ⋅B = B⋅A

2. A ⋅(B + C) = A ⋅B + A ⋅C

3. k(A ⋅B) = (kA)⋅B = A ⋅(kB)

4. A ⋅A = || A ||2 ≥ 0

และ A ⋅A = 0 กตอเมอ A = O

5. ถา A ≠ O, B ≠ O และ θ เปนมมระหวาง A กบ B

จะไดวา A ⋅B = || A || || B || cos θ เมอ 0 ≤ θ ≤ π

หมายเหต ในกรณท θ = 2π เราจะกลาววา A ตงฉาก กบ B

ผลจากขอ 5. จะไดวา A ⋅B = 0 กตอเมอ A ตงฉากกบ B

บทท 3



23

ตวอยาง 3.2.4 ให A(1, 2, 0), B(0, 4, 2) และ

C(3, 2, –2) เปนจดมมของรปสามเหลยม ABC จงหา CAB

วธทา

รปท 3.2.5

CAB เปนมมระหวาง AB กบ AC

AB = B – A = (0, 4, 2) – (1, 2, 0) = (–1, 2, 2)

AC = C – A = (3, 2, –2) – (1, 2, 0) = (2, 0, –2)

|| AB || = 222 22)1( ++− = 9 = 3

|| AC || = 222 )2(02 −++ = 8 = 2 2

AB⋅AC = (–1, 2, 2)⋅(2, 0, –2)

= –1(2) + 2(0) + 2(–2)

= –6

เพราะวา AB⋅AC = || AB || || AC || cos CAB

เพราะฉะนน cos CAB = |||| |||| ACAB

ACAB ⋅

= )22)(3(

6−

= –2

1

เพราะฉะนน CAB = 43π

บทท 3



24

ตวอยาง 3.2.5 ให A = (1, 2, –1), B = (2, 1, 4)

และ C = (3, –2, 1) จงหาวาเวกเตอรคใดทตงฉากกน

วธทา

โดยใชเหตผลวา X ตงฉากกบ Y กตอเมอ X ⋅Y = 0

เพราะวา A ⋅B = (1, 2, –1)⋅(2, 1, 4) = 2 + 2 – 4 = 0

เพราะฉะนน A ตงฉากกบ B

เพราะวา

A ⋅C = (1, 2, –1)⋅(3, –2, 1) = 3 – 4 – 1 = –2 ≠ 0

เพราะฉะนน A ไมตงฉากกบ C


B⋅C = (2, 1, 4)⋅(3, –2, 1) = 6 – 2 + 4 = 8 ≠ 0

เพราะฉะนน B ไมตงฉากกบ C

บทท 3



25


ให A ≠ O, B ≠ O

และ θ เปนมมระหวาง A กบ B

ลากเสนตรงจากจด A มาตงฉากกบ OB ทจด C

รปท 3.2.6 (ก) รปท 3.2.6 (ข)

C เรยกวา ภาพฉายเวกเตอร ของ A บน B

ใชสญลกษณแทนดวย BA

และ || A || cos θ เรยกวา ภาพฉายสเกลารของ A บน B

เพราะวา A ⋅B = || A || || B || cos θ

เพราะฉะนน || A || cos θ = |||| BBA ⋅

เพราะฉะนน ภาพฉายสเกลารของ A บน B คอ |||| BBA ⋅

และ ภาพฉายเวกเตอรของ A บน B คอ 2|||| BBA ⋅ B

บทท 3



26

ตวอยาง 3.2.6 ให A = (2, 1, 4) และ B = (2, 3, 6)

จงหา ภาพฉายสเกลาร และ ภาพฉายเวกเตอรของ A บน B

วธทา

A ⋅B = (2, 1, 4)⋅(2, 3, 6) = 4 + 3 + 24 = 31

|| B || = 3694 ++ = 7

ภาพฉายสเกลารของ A บน B คอ |||| BBA ⋅ = 7

31

ภาพฉายเวกเตอรของ A บน B คอ

BA = 2|||| BBA ⋅ B

= 2731(2, 3, 6)

= ( 4962 , 49

93 , 49186)

บทท 3



27

3.2.5 ผลคณเชงเวกเตอร

บทนยาม 3.2.9 ให A = ( 1a , 2a , 3a )

และ B = ( 1b , 2b , 3b ) เปนเวกเตอรใน 3R

ผลคณเชงเวกเตอร ของ A และ B

แทนดวยสญลกษณ A × B มคาดงน

A × B = ( 2a 3b – 3a 2b , 3a 1b – 1a 3b , 1a 2b – 2a 1b )

สมบตเกยวกบผลคณเชงเวกเตอร

ให A , B, C เปนเวกเตอรใน 3R และ k ∈ R จะไดวา

1. A × B = –(B × A )

2. k(A × B) = (kA ) × B = A × (kB)

3. A × (B + C) = (A × B) + (A × C)

4. A × B = O กตอเมอม k ∈ R ททาให

A = kB หรอ B = kA (เพราะฉะนน A ขนานกบ B)

5. A ⋅(A × B) = 0 และ B⋅(A × B) = 0

เพราะฉะนน A × B ตงฉากกบ A และ B

บทท 3



28

ในกรณท A ไมขนานกบ B จะไดวาทศทางของ A × B

จะเปนไปตามกฎมอขวา กลาวคอ

ถา เราวางมอในลกษณะทให

นวหวแมมอชไปตาม A และ นวชชไปตาม B

แลว นวกลางซงวางใหตงฉากกบนวหวแมมอและนวช

นวกลางจะชไปในทศทางของ A × B

รปท 3.2.7

6. || A × B || = || A || || B || sin θ

เมอ θ เปนมมระหวาง A กบ B และ 0 ≤ θ ≤ π

7. || A × B || = พนทของรปสเหลยมดานขนานทมดาน

ประชดเปน A และ B

รปท 3.2.8

บทท 3



29

การหาคา A × B โดยใช determinant

ทบทวนสตร determinant

ให M = ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

zyxtsrcba

จะไดวา zyxtsrcba

= zyts a – zx

tr b + yxsr c

= (sz – ty)a – (rz – tx)b + (ry – sx)c

ให A = ( 1a , 2a , 3a ) และ B = ( 1b , 2b , 3b )

bbbaaakji

321321 = bb

aa

3232 i – bb

aa

3131 j + bb

aa

2121 k

= ( 2a 3b – 3a 2b ) i – ( 1a 3b – 3a 1b ) j + ( 1a 2b – 2a 1b )k

= ( 2a 3b – 3a 2b , 3a 1b – 1a 3b , 1a 2b – 2a 1b )

= A × B

เพราะฉะนน A × B = bbbaaakji

321321

2. ถา C ตงฉากกบ A และ C ตงฉากกบ B

แลว C ขนานกบ A × B

บทท 3



30

ตวอยาง 3.2.7 จงหาพนทของรปสามเหลยมทมจดมมเปน

A(2, 1, –1), B(3, 0, 1) และ C(1, 3, –2)

วธทา

รปท 3.2.9

เพราะวา AB = B – A = (1, –1, 2)

AC = C – A = (–1, 2, –1)

เพราะฉะนน AB × AC = 12 12 11 k j i

−−

−

= 12 2 1 −

− i – 112 1 −− j + 2 1

11 −− k

= (1 – 4) i – (–1 + 2) j + (2 – 1)k

= –3 i – j + k

เพราะวา พนทของ Δ ABC

= 21 พนทของรปสเหลยมดานขนานทมดานประชด

เปน AB และ AC

พนทของ Δ ABC = 21 || AB × AC ||

= 21)1()3( 222 +−+−

= 211 ตารางหนวย

บทท 3



31

3.2.6 ผลคณเชงสเกลารของสามเวกเตอร

บทนยาม 3.2.10 ให A , B, C เปนเวกเตอรใน 3R

ผลคณเชงสเกลารของสามเวกเตอร A , B, C คอ A ⋅B× C

และนยมเขยนแทนดวยสญลกษณ [A B C]


ให

A = ( 1a , 2a , 3a ), B = ( 1b , 2b , 3b ) และ C = ( 1c , 2c , 3c )

B × C = ( 2b 3c – 3b 2c , 3b 1c – 1b 3c , 1b 2c – 2b 1c )

A ⋅B × C

= ( 2b 3c – 3b 2c ) 1a – ( 1b 3c – 3b 1c ) 2a + ( 1b 2c – 2b 1c ) 3a

= ccbb

3232

1a – ccbb

3131

2a + ccbb

2121

3a

= cccbbbaaa

321321321

เพราะฉะนน A ⋅B × C = cccbbbaaa

321321321

หมายเหต A ⋅B×C = B⋅C×A = C⋅A×B

= B×C⋅A = C×A ⋅B = A×B⋅C

บทท 3



32

ความหมายทางเรขาคณตของ | [A B C] | | [A B C] | = ปรมาตรของรปทรงสเหลยมหนาขนาน

ซงมดานประชดเปน A , B และ C

รปท 3.2.10

ปรมาตรของรปทรงสเหลยมหนาขนาน

= พนทฐาน × สง

= || B × C || h

= || B × C || || A || | cos θ | เมอ θ เปนมมระหวาง A กบ B × C

= | B × C⋅A | = | A ⋅B × C | = | [A B C] |

บทท 3



33


กาหนดให A = i + j – k , B = 2 i + j และ C = j + 2k

จงหาปรมาตรของรปทรงสเหลยมหนาขนานทมดานประชดเปน

A , B และ C

วธทา

A ⋅B × C = 2 100 12111

−

= 2101 (1) – 20

02 (1) + 1012 (–1)

= (2 – 0)(1) – (4 – 0)(1) + (2 – 0)(–1)

= 2 – 4 – 2

= –4

เพราะฉะนน ปรมาตร = | A ⋅B × C | = 4 ลกบาศกหนวย

การคานวณผลคณเชงสเกลารของสามเวกเตอร

ดวย MATHCAD

111−

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

210

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

012

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

×⎡⎢⎢⎣

⎤⎥⎥⎦

⋅ 4−=

120

111

1−

02

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

4−→

บทท 3



34

3.2.7 การรวมเชงเสน และ อสระเชงเสน

บทนยาม 3.2.11 กาหนดให 1V , 2V , ... , nV เปนเวกเตอร

1c , 2c , ... , nc เปนจานวนจรง

เวกเตอร V = 1c 1V + 2c 2V + ... + nc nV

เรยกวา การรวมเชงเสน ของ 1V , 2V , ... , nV

ตวอยางเชน

1. 4 i + 5 j + 6k เปนการรวมเชงเสนของ i , j , k

2. 4(1, 1, 1) + 5(1, 1, 0) + 2(1, 2, 3) = (11, 13, 10)

(11, 13, 10) เปนการรวมเชงเสนของ (1, 1, 1),

(1, 1, 0) และ (1, 2, 3)

ตวอยาง 3.2.9 จงแสดงวา (5, 2, 1) เปนการรวมเชงเสนของ

(1, 0, 0), (1, 1, 0) และ (1, 1, 1)

วธทา ให a, b, c ∈ R โดยท

a(1, 0, 0) + b(1, 1, 0) + c(1, 1, 1) = (5, 2, 1)

(a + b + c, b + c, c) = (5, 2, 1)

เพราะฉะนน a + b + c = 5

b + c = 2

c = 1

เพราะฉะนน c = 1, b = 1 และ a = 3

เพราะฉะนน (5, 2, 1) เปนการรวมเชงเสนของ (1, 0, 0),

(1, 1, 0) และ (1, 1, 1)

บทท 3



35


จงพจารณาวา (2, –1, 4) เปนการรวมเชงเสนของ

(1, 0, 1), (1, –1, 2) และ (0, 1, –1) หรอไม

วธทา ให a, b, c ∈ R โดยท

(2, –1, 4) = a(1, 0, 1) + b(1, –1, 2) + c(0, 1, –1)

(2, –1, 4) = (a + b, –b + c, a + 2b – c)

เพราะฉะนน a + b = 2 ... (1)

–b + c = –1 ... (2)

a + 2b – c = 4 ... (3)

(2) + (3) ; a + b = 3 ... (4)

(4) – (1) ; 0 = 1 ซงเปนไปไมได

เพราะฉะนน (2, –1, 4) ไมเปนการรวมเชงเสนของ

(1, 0, 1), (1, –1, 2) และ (0, 1, –1)

บทท 3



36


เวกเตอร 1V , 2V , ... , nV เปนอสระเชงเสน

กตอเมอ

ถา 1c 1V + 2c 2V + ... + nc nV = O

แลว 1c = 2c = ... = nc = 0

ตวอยาง

1 (1, 0, 0) เปนอสระเชงเสน หรอไม

เพราะวา ถา

1c (1, 0, 0) = (0, 0, 0)

( 1c , 0, 0) = (0, 0, 0)

แลว 1c = 0

เพราะฉะนน (1, 0, 0) เปนอสระเชงเสน

2 (5, 0, 0), (0, 4, 0) เปนอสระเชงเสน หรอไม


ถา 1c (5, 0, 0) + 2c (0, 4, 0) = (0, 0, 0)

(5 1c , 4 2c , 0) = (0, 0, 0)

5 1c = 0 และ 4 2c = 0

แลว 1c = 0 และ 2c = 0

เพราะฉะนน (5, 0, 0), (0, 4, 0) เปนอสระเชงเสน

บทท 3



37

ตวอยาง 3.2.11 จงพจารณาวา (2, 1, 0), (1, 2, 0)

และ (0, 0, 3) เปนอสระเชงเสน หรอไม

วธทา สมมต

a(2, 1, 0) + b(1, 2, 0) + c(0, 0, 3) = (0, 0, 0)

(2a + b, a + 2b, 3c) = (0, 0, 0)

เพราะฉะนน 2a + b = 0 ... (1)

a + 2b = 0 ... (2)

3c = 0 ... (3)

จาก (3) ; c = 0

2 × (1) ; 4a + 2 b = 0 ... (4)

(4) – (2) ; 3a = 0

a = 0

จาก (1) ; b = –2a = 0

เพราะฉะนน a = b = c = 0

เพราะฉะนน (2, 1, 0), (1, 2, 0) และ (0, 0, 3)

เปนอสระเชงเสน

ขอควรจา

ถา ม a, b, c ไมเปนศนยพรอมกนททาให

a 1V + b 2V + c 3V = O

แลว 1V , 2V , 3V ไมเปนอสระเชงเสน

บทท 3



38

ตวอยาง 3.2.12 จงพจารณาวา (3, 2, –5), (2, 6, –1)

และ (–1, 0, 2) เปนอสระเชงเสน หรอไม

วธทา สมมต

a(3, 2, –5) + b(2, 6, –1) + c(–1, 0, 2) = (0, 0, 0)

(3a + 2b – c, 2a + 6b, –5a – b + 2c) = (0, 0, 0)

เพราะฉะนน 3a + 2b – c = 0 ... (1)

2a + 6b = 0 ... (2)

–5a – b + 2c = 0 ... (3)

2 × (1) ; 6a + 4b – 2c = 0 ... (4)

(3) + (4) ; a + 3b = 0 ... (5)

2 × (5) ; 2a + 6b = 0 ซงเหมอน (2)

จาก (5) ; b = –31a ... (6)

จาก (1) ; c = 3a + 2(–31a) = 3

7a

ให a = t เมอ t ∈ R จะได b = –31 t และ c = 3

7 t

แสดงวาม a ≠ 0, b ≠ 0 และ c ≠ 0 ททาให

a(3, 2, –5) + b(2, 6, –1) + c(–1, 0, 2) = (0, 0, 0)

เพราะฉะนน (3, 2, –5), (2, 6, –1) และ (–1, 0, 2)

ไมเปนอสระเชงเสน

หมายเหต จากสมการ (6) นสตสามารถเลอก a = 3

แลวจะได b = –1, c = 7 กเพยงพอ

บทท 3



39

3.3 เสนตรงใน 3R

3.3.1 สมการของเสนตรง


ให 0P เปนจดใน 3R และ A ≠ O เปนเวกเตอรใน 3R

เราจะเรยกเซตของจด P ใดๆ ซงทาให

PP0 ขนานกบ A วา เสนตรงทผานจด 0P และขนานกบ A

และ เรยก A วา เวกเตอรแสดงทศทาง ของเสนตรง

รปท 3.3.1


ถา A เปนเวกเตอรแสดงทศทางของเสนตรง L

แลว เวกเตอรใดๆ ทไมใชเวกเตอรศนย ซงขนานกบ A

เปนเวกเตอรแสดงทศทางของเสนตรง L ดวย

บทท 3



40

การหาสมการเสนตรง

เสนตรง L ซงผานจด 0P และม A เปนเวกเตอรแสดงทศทาง

ให P เปนจดใดๆ บนเสนตรง L

เพราะฉะนน PP0 ขนานกบ A

เพราะฉะนน จะม t ∈ R ททาให

PP0 = tA

P – 0P = tA

P = 0P + tA ... (3.3.1)

ใหจด P(x, y, z) และ 0P ( 0x , 0y , 0z ) และ A = (a, b, c)

สมการ (3.3.1) จะเขยนไดเปน

(x, y, z) = ( 0x , 0y , 0z ) + t(a, b, c) ... (3.3.2)

เราเรยกสมการ (3.3.1) หรอ (3.3.2) วา

สมการเวกเตอร ของเสนตรง L

สมการ (3.3.2)

เราอาจแยกเขยนสมการสาหรบแตละสวนประกอบไดเปน

⎪⎭

⎪⎬⎫

+=

+=

+=

ctzz

btyy

atxx

0

0

0

... (3.3.3)

เราเรยกสมการ (3.3.3) วา

สมการองตวแปรเสรม ของเสนตรง L

บทท 3



41

จากสมการ (3.3.3)

สาหรบคา a, b, c

ถาไมมคาใดเปนศนยเลย เราไดวา

t = axx 0−

, t = byy 0−

, t = czz 0−

เพราะฉะนน axx 0−

= byy 0−

= czz 0−

... (3.3.4)

เราเรยกสมการ (3.3.4) วา สมการสมมาตร ของเสนตรง L


ในกรณทมคาหนงใน a, b, c เปนศนย

เชน a = 0 จากสมการ (3.3.3)

เราจะเขยนสมการสมมาตรของเสนตรง L ไดเปน

x = 0x , byy 0−

= czz 0−

ในกรณทมสองคาใน a, b, c เปนศนย

เชน a = 0, b = 0

เราจะเขยนสมการสมมาตรของเสนตรง L ไดเปน

x = 0x , y = 0y , z = 0z + tc

บทท 3



42

ตวอยาง 3.3.1 จงหาสมการเวกเตอร สมการองตวแปรเสรม

และสมการสมมาตรของเสนตรง L ทผานจด

0P (1, 0, –2) และ ขนานกบ A = (2, –1, 3)

วธทา

ให P(x, y, z) เปนจดบนเสนตรง L

สมการเวกเตอรของเสนตรง L ทผานจด

0P (1, 0, –2) และขนานกบ A = (2, –1, 3) คอ

P = 0P + tA

หรอ (x, y, z) = (1, 0, –2) + t(2, –1, 3) เมอ t ∈ R

สมการองตวแปรเสรมของเสนตรง L คอ

x = 1 + 2t

y = –t

z = –2 + 3t

และสมการสมมาตรของเสนตรง L คอ

21x − = 1

y−

= 32z +

บทท 3



43

ตวอยาง 3.3.2 จงหาสมการเวกเตอร สมการองตวแปรเสรม

และสมการสมมาตรของเสนตรง L ผานจด 1P (–2, 1, 3)

และ 2P (1, 2, 1)

วธทา ให P(x, y, z) เปนจดใดๆ บนเสนตรงน L

เพราะวาจด 1P และ 2P อยบนเสนตรง L

เพราะฉะนน 21PP เปนเวกเตอรแสดงทศทางของเสนตรง L และ

21PP = 2P – 1P = (1, 2, 1) – (–2, 1, 3) = (3, 1, –2)

สมการเวกเตอรของเสนตรง L ทผานจด 1P (–2, 1, 3)

และ 2P (1, 2, 1) คอ

P = 1P + t 21PP

หรอ (x, y, z) = (–2, 1, 3) + t(3, 1, –2) เมอ t ∈ R

สมการองตวแปรเสรมของเสนตรง L คอ

x = –2 + 3t

y = 1 + t

z = 3 – 2t

และ

สมการสมมาตรของเสนตรง L คอ 32x + = 1

1y − = 2

3z−−

หมายเหต สมการของเสนตรงในตวอยาง 3.3.2

อาจจะเขยนเปนแบบอนได เชน P = 2P + t 21PP

บทท 3



44

3.3.2 จดกบเสนตรง

จด P(x, y, z) จะอยบนเสนตรง

กตอเมอ

พกด (x, y, z) ของจด P สอดคลองกบสมการของเสนตรง

เพราะฉะนนการตรวจสอบวาจด P(x, y, z) อยบนเสนตรง L

หรอไม

จงสามารถตรวจสอบโดยการแทนคา x, y, z

ลงในสมการของเสนตรง L

วาสอดคลองกบสมการของเสนตรง L หรอไม

บทท 3



45

ตวอยาง 3.3.3 จงพจารณาวาจด P(1, –2, 3)

อยบนเสนตรงตอไปนหรอไม

1. 1L : x = 3 – t, y = 2 – 4t, z = 3 + t

2. 2L : 21x + = 3

5y + = z – 2

วธทา 1. แทนคา x = 1, y = –2, z = 3 ในสมการของเสนตรง

1L จะได 1 = 3 – t ... (1)

–2 = 2 – 4t ... (2)

3 = 3 + t ... (3)

จาก (1) ได t = 2 ... (4)

จาก (2) ได t = 1 ... (5)

และ จาก (3) ได t = 0

จะเหนวาทงสามสมการใหคา t ขดแยงกน

จงไมมคา t ใดๆ ททาให (1) , (2) , (3) เปนจรง

แสดงวาพกดของจด P ไมสอดคลองกบสมการของเสนตรง 1L

เพราะฉะนน จด P ไมอยบนเสนตรง 1L

หมายเหต พบวา (4), (5) ขดแยงกนกสรปผลไดแลว

2. แทนคา x = 1 , y = –2, z = 3 ในสมการของเสนตรง 2L

จะได 211+ = 3

52 +− = 3 – 2

หรอ 1 = 1 = 1 ซงเปนจรง

แสดงวาพกดของจด P สอดคลองกบสมการของเสนตรง 2L

เพราะฉะนน จด P อยบนเสนตรง 2L

บทท 3



46


จงพจารณาวาจด A(2, 1, 0), B(3, 0, 2) และ C(1, 2, 3)

อยบนเสนตรงเดยวกนหรอไม

วธทา AB = B – A = (1, –1, 2)

เพราะฉะนน สมการสมมาตรของเสนตรงทผานจด A และ B

คอ 12x − = 1

1y−−

= 2z

แทนคา x = 1, y = 2, z = 3 ของพกดจด C ในสมการของ

เสนตรงน จะได

121− = 1

12−− = 2

3

หรอ –1 = –1 = 23 ซงไมเปนจรง

แสดงวา พกดของจด C

ไมสอดคลองกบสมการของเสนตรงทผานจด A และ B

เพราะฉะนน จด C ไมอยบนเสนตรงน

เพราะฉะนน จด A, B , C ไมอยบนเสนตรงเดยวกน


ถา AB และ AC ไมขนานกน

แลว จด A, B , C ไมอยบนเสนตรงเดยวกน

เพราะฉะนน

การแสดงวา จด A, B , C ไมอยบนเสนตรงเดยวกน

ตรวจสอบวา AB และ AC ไมขนานกน กเพยงพอ

บทท 3



47

ระยะทางจากจดไปยงเสนตรง คอ ความยาวของเสนตงฉากจาก

จดไปยงเสนตรง และจดบนเสนตรงทอยหางจากจดดงกลาวนอย

ทสดเราเรยกวา จดเชงเสนตงฉาก

สมมตให L เปนเสนตรงทผานจด 0P และม A เปนเวกเตอร

แสดงทศทาง ให B เปนจดใดๆ ทอยนอกเสนตรง L

สมมตวา M เปนจดบนเสนตรง L ซง BM ตงฉากกบเสนตรง L

เพราะฉะนน จด M เปน จดเชงตงฉาก

การหาความยาวของ BM และพกดของจด M

รปท 3.3.2

จากรปท 3.3.2 พจารณา ΔB 0P M

ให θ เปนมมระหวาง BP0 กบ MP0

เราจะไดวา sin θ = ฉาก

ขาม = ||||||||

BPBM

0

|| BM || = || BP0 || sin θ ... (1)

บทท 3



48

เพราะวา MP0 ขนานกบ A

เพราะฉะนน θ เปนมมระหวาง BP0 กบ A

จาก (1) จะได || BM || = |||||||| ||||

AsinAB0P θ

= ||||||||

AAB0P ×

เพราะฉะนนความยาวของ BM = ||||||||

AAB0P ×

การหาพกดของจด M

เพราะวา M อยบนเสนตรง L เพราะฉะนนจะม t ∈ R ททาให

M = 0P + tA ... (3.3.5)

เพราะวา BM = M – B

เพราะฉะนน BM = 0P + tA – B

BM ⋅A = ( 0P + tA – B)⋅A

= ( 0P – B)⋅A + t || A ||2 ... (2)

เพราะวา BM ⊥ MP0 เพราะฉะนน BM ⊥ A

เพราะฉะนน BM ⋅A = 0

จาก (2) จะได ( 0P – B)⋅A + t || A ||2 = 0

t = 20|||| A

A)PB( ⋅−

แทนคา t ในสมการ (3.3.5) จะได M = 0P + [ 20|||| A

A)PB( ⋅−] A

บทท 3



49

ตวอยาง 3.3.5 จงหาจดเชงเสนตงฉากของจด B(2, 1, –1)

บนเสนตรง L : 45x − = 2 – y = 3

4z −

พรอมทงหาระยะทางจากจด B ไปยงเสนตรง L

วธทา จากสมการเสนตรง L: 45x − = 2 – y = 3

4z −

หรอ 45x − = 1

2y−−

= 34z −

แสดงวา เสนตรง L ผานจด 0P (5, 2, 4)

และมเวกเตอรแสดงทศทาง A = (4, –1, 3)

ให M เปนจดเชงเสนตงฉากของจด B บนเสนตรง L

M = 0P + [ 20|||| A

A)PB( ⋅−]A

= (5, 2, 4) + [( )

222 3)1(4)3,1,4()4,2,5()1,1,2(

+−+

−⋅−−](4, –1, 3)

= (5, 2, 4) – (4, –1, 3)

= (1, 3, 1)

การหาระยะทางจากจด B ไปยงเสนตรง L

ระยะทางจากจด B ไปยงเสนตรง = ||||||||

AAB0P ×

BP0 = B – 0P

= (2, 1, –1) – (5, 2, 4)

= (–3, –1, –5)

บทท 3



50

BP0 × A = 3 14 513k j i

−

−−−

= 3151 −

−− i – 3453 −− j + 14

13 −−− k

= –8 i – 11 j + 7k

|| BP0 × A || = 222 7)11()8( +−+−

= 234 = 3 26

|| A || = 222 3)1(4 +−+

= 26

เพราะฉะนน ระยะทางจากจด B ไปยงเสนตรง L

= ||||||||

AAB0P ×

= 26263

= 3 หนวย

หมายเหต หา || BM || จะงายกวา และ ไดระยะทางเทากน

BM = M – B

= (1, 3, 1) – (2, 1, –1)

= (–1, 2, 2)

เพราะฉะนน || BM || = 222 22)1( ++− = 9 = 3

บทท 3



51

3.3.3 การตดกนของเสนตรง

ในปรภมสองมต เสนตรงสองเสน หากไมตดกน

กตองขนานกน อยางใดอยางหนงเทานน

แตในปรภมสามมต เสนตรง 1L และเสนตรง 2L

มความเปนไปไดดงตอไปน

1. ตดกน (รปท 3.3.3 (ก))

2. ไมตดกน โดยจาแนกเปน

2.1 ไมตดกน และ ไมขนานกน (รปท 3.3.3 (ข))

2.2 ไมตดกน และ ขนานกน (รปท 3.3.3 (ค))

รปท 3.3.3 (ก) รปท 3.3.3 (ข) รปท 3.3.3 (ค)

คาเตอน

ในการหาจดตด เสนตรง 1L และเสนตรง 2L ตองใชตวแปร

เสรมคนละตวกน

บทท 3



52

ตวอยาง 3.3.6 กาหนดให 1L , 2L เปนเสนตรงซงมสมการเปน

1L : x = 2 + s, y = 4 – s, z = 3 + 2s

และ 2L : x = 1 – t, y = 9 + 3t, z = 2 + t

จงแสดงวา 1L กบ 2L ไมตดกน

วธทา สมมต 1L ตดกบ 2L

เพราะฉะนนมจด 0P จดหนงซงอยทงบน 1L และ 2L

ใหจด 0P มพกดเปน ( 0x , 0y , 0z )

เพราะฉะนนคา 0x , 0y , 0z ตองสอดคลองสมการ 1L และ 2L

เพราะฉะนน ตองม 0s และ 0t ทาใหสมการตอไปนเปนจรง

⎪⎭

⎪⎬⎫

+=

−=

+=

s 3z

s 4y

s 2x

00

00

00

... (1)

และ

⎪⎭

⎪⎬⎫

+=

+=

+=

t 2z

3t 9 y

t 1x

00

00

00

... (2)

บทท 3



53

จาก (1) กบ (2) เราได 2 + 0s = 1 – 0t

4 – 0s = 9 + 3 0t

3 + 2 0s = 2 + 0t

หรอ 0s + 0t = –1 ... (3)

– 0s – 3 0t = 5 ... (4)

2 0s – 0t = –1 ... (5)

จาก (3) และ (4) หาคา 0s และ 0t

จะได 0s = 1 และ 0t = –2

เมอได 0s = 1 และ 0t = –2 แลวตองตรวจสอบกบสมการท

เหลอ ในทน คอสมการ (5)

แทนคา 0s และ 0t ใน (5) ได 4 = –1 ซงเปนไปไมได

แสดงวาไมมคา 0s และ 0t ททาใหคา

0x , 0y , 0z สอดคลองกบสมการของ 1L และ 2L

เพราะฉะนน 1L ไมตดกบ 2L

คาแนะนา

การหาคา 0s และ 0t เลอกจากสมการ (3), (4), (5) กได

เพราะฉะนนควรเลอกจากคของสมการทคดเลขงาย

บทท 3



54

ตวอยาง 3.3.7 กาหนดให 1L , 2L เปนเสนตรงซงมสมการเปน

1L : 2 – x = 3 – y = 21z −

และ 2L : 3x7 − = y = z – 1

จงพจารณาวา 1L และ 2L ตดกนหรอไม ถาตดกนจงหาจดตด

วธทา สมมต 1L ตดกบ 2L

เพราะฉะนนมจด 0P จดหนง ซงอยทงบน 1L และ 2L


เพราะฉะนน 0x , 0y , 0z ตองสอดคลองสมการของ 1L และ 2L

เพราะฉะนน 2 – 0x = 3 – 0y = 21z0 − ... (1)

และ 3x7 0−

= 0y = 0z – 1 ... (2)

จาก (1) เราได 2 – 0x = 3 – 0y

หรอ – 0x + 0y = 1 ... (3)

จาก (2) เราได 3x7 0−

= 0y

หรอ 0x + 3 0y = 7 ... (4)

จาก (3) และ (4) หาคา 0x และ 0y

จะได 0x = 1 และ 0y = 2

ตองนาคา 0x = 1, 0y = 2 ทไดตรวจสอบกบสมการทเหลอ

วาไดคา z ตวเดยวกนหรอไม

แทนคา 0y ใน (1) และ (2) จะไดคา 0z ทเทากนคอ 0z = 3

แสดงวา 1L ตดกบ 2L ทจด (1, 2, 3)

บทท 3



55

3.3.4 มมระหวางเสนตรงสองเสน


มมระหวางเสนตรงสองเสน คอ มมระหวางเวกเตอรแสดง

ทศทางของเสนตรงทงสอง

รปท 3.3.4

บทท 3



56

ตวอยาง 3.3.8.1 จงหามมระหวางเสนตรง 1L กบ 2L

เมอกาหนด 1L : 2x – 1 = y = 3z1−

2L : 4x = y – 1 = z

วธทา

เสนตรง 1L มสมการเปน 2x – 1 = y = 3z1−

หรอ

21

21x −

= 1y = 3

1z−−

เพราะฉะนน เวกเตอรแสดงทศทางของ 1L

คอ 1A = (21 , 1, –3)

จากสมการของ 2L จะไดวา

เวกเตอรแสดงทศทางของ 2L คอ 2A = (4, 1, 1)

เพราะวา 1A ⋅ 2A = (21 , 1, –3)⋅(4, 1, 1)

= 2 + 1 – 3

= 0

เพราะฉะนน 1A ตงฉากกบ 2A

เพราะฉะนน มมระหวาง 1A กบ 2A คอ 2π

เพราะฉะนน มมระหวางเสนตรง 1L กบ 2L คอ 2π

บทท 3



57

ตวอยาง 3.3.8.2 จงหามมระหวางเสนตรง 1L กบ 2L

เมอกาหนด 1L : x = 2 + s, y = 1 + 2s, 2z = 1 + 4s

2L : x = –3t, y = 2 + 4t, z = –1 + 5t

วธทา

เสนตรง 1L มสมการเปน

x = 2 + s, y = 1 + 2s, 2z = 1 + 4s

หรอ x = 2 + s, y = 1 + 2s, z = 21 + 2s

เพราะฉะนน เวกเตอรแสดงทศทางของ 1L คอ 1A = (1, 2, 2)

จากสมการของ 2L จะไดวา

เวกเตอรแสดงทศทางของ 2L คอ 2A = (–3, 4, 5)

ให θ เปนมมระหวาง 1A กบ 2A

cos θ = |||| |||| 21

21AA

AA ⋅

= 222222 54)3(221

)5,4,3()2,2,1(

++−++

−⋅

= )25(3

15

= 2

1

เพราะฉะนน θ = arccos(2

1 ) = 4π

เพราะฉะนน มมระหวาง 1L กบ 2L คอ 4π

บทท 3



58


1. ในกรณทมมระหวางเสนตรงสองเสน คอ 2π

เชน ตวอยาง 3.3.8 ขอ 1.

เราจะกลาววา 1L ตงฉาก กบ 2L

2. ในตวอยาง 3.3.8 ขอ 2.

ถาเราใชเวกเตอรแสดงทศทาง ของ 2L

คอ 2A = (3, –4, –5)

เราจะไดวา มมระหวาง 1L กบ 2L คอ 43π

โดยทวไป

ถา θ เปนมมระหวางเวกเตอรแสดงทศทาง

ของเสน ตรง 1L กบ 2L

แลว มมระหวางเสนตรง 1L กบ 2L กคอ θ หรอ π – θ

บทท 3



59

ตวอยาง 3.3.9 จงหาสมการของเสนตรงทผานจด

B(1, –1, 2) ซงตดและตงฉากกบเสนตรง x – 1 = 23y

−−

= –z

พรอมทงหาจดตดดวย

วธทา ให 1L เปนเสนตรงทมสมการเปน x – 1 = 23y

−−

= –z

เพราะฉะนน 1L มเวกเตอรแสดงทศทาง 1A = (1, –2, –1)

สมมตเสนตรงทงสองตดกนทจด M(a, b, c)

ให 2L เปนเสนตรงทผานจด B(1, –1, 2)

ซงตดและตงฉากกบ 1L ทจด M(a, b, c)

เพราะวา จด B และ M อยบน 2L

เพราะฉะนน เวกเตอรแสดงทศทางของ 2L คอ

BM = M – B

= (a – 1, b + 1, c – 2)

เพราะวา 1L ตงฉากกบ 2L

เพราะฉะนน 1A ⋅BM = 0

(1, – 2, –1) ⋅ (a – 1, b + 1, c – 2) = 0

(a – 1) – 2(b + 1) – (c – 2) = 0

a – 2b – c = 1 ... (1)

บทท 3



60

เพราะวาจด M อยบน 1L

เพราะฉะนน พกดของจด M ยอมสอดคลองกบสมการของ 1L

เพราะฉะนน a – 1 = 23b

−− = – c

จะไดวา a – 1 = – c และ 23b

−− = – c

หรอ a = 1 – c และ b = 2c + 3 ... (2)

แทนคา a, b ใน (1) ได (1 – c) – 2(2c + 3) – c = 1

–5 – 6c = 1

c = –1

แทนคา c ใน (2) ได a = 2 และ b = 1

เพราะฉะนน พกดของจดตดคอ (2, 1, –1)

2L เปนเสนตรงทผานจด B(1, –1, 2)

และมเวกเตอรแสดงทศทาง BM = (1, 2, – 3)

เพราะฉะนนเสนตรง 2L มสมการเปน

x – 1 = 21y + = 3

2z−−

หมายเหต ตวอยาง 3.3.9 อาจจะทาไดอกวธหนง

เพราะวาจด M เปนจดเชงเสนตงฉากของจด B บนเสนตรง 1L

เพราะฉะนน เราสามารถหาจด M ไดโดยใชสตร

M = 0P + [ 20|||| A

A)PB( ⋅−]A

และ หาสมการของ 2L ทผานจด B และ M ได

บทท 3



61

3.3.5 การขนานกนของเสนตรง

เสนตรงสองเสนจะขนานกน กตอเมอ เวกเตอรแสดงทศทางของ

เสนตรงทงสองขนานกน

ตวอยาง 3.3.10 จงหาสมการของเสนตรงทผานจด

(2, 1, –2) และขนานกบเสนตรงทมสมการเปน

x + 1 = 41y2 − = 3

z4 −

วธทา ให 1L เปนเสนตรงทมสมการเปน

x + 1 = 41y2 − = 3

z4 −

หรอ 11x + = 2

21y −

= 34z

−−

เพราะฉะนน 1L มเวกเตอรแสดงทศทาง 1A = (1, 2, –3)

ให 2L เปนเสนตรงทผานจด (2, 1, –2) และขนานกบ 1L

เพราะวา 1L ขนานกบ 2L

เพราะฉะนนเวกเตอรแสดงทศทางของ 2L ขนานกบ 1A

แสดงวา 1A กเปนเวกเตอรแสดงทศทางของ 2L ดวย

เพราะฉะนน 2L มสมการเปน x – 2 = 21y − = 3

2z−+


1. ถา เสนตรงสองเสนใน 3R ไมขนานกน

แลว เสนตรงทงสองไมจาเปนตองตดกน

เชน ในตวอยาง 3.3.6

2. มมระหวางเสนตรงทขนานกน คอ 0 หรอ π

บทท 3



62

3.3.6 การไขวตางระนาบของเสนตรง

เราจะเรยกเสนตรงสองเสนวา เสนไขวตางระนาบ

กตอเมอ

เราไมสามารถหาระนาบทเสนตรงทงสองอยในระนาบเดยวกนได

การจะพจารณาวาเสนตรงใดๆ สองเสนเปนเสนไขวตางระนาบ

หรอไม

ทาไดโดยแสดงใหเหนวาเสนตรงทงสอง

ไมตดกน และ ไมขนานกน

รปท 3.3.5

บทท 3



63

ตวอยาง 3.3.11.1 จงพจารณาวาเสนตรง 1L และ 2L เปนเสน

ไขวตางระนาบหรอไม เมอ 1L และ 2L มสมการเปน

1L : 2x – 1 = 2 – y = 3z

2L : 3x2 − = 6

y = 2

z1−

วธทา

จากสมการของ 1L 2x – 1 = 2 – y = 3z

หรอ

21

21x −

= 12y

−−

=

31z

จะไดวา 1L มเวกเตอรแสดงทศทาง 1A = (21 , –1, 3

1)

จากสมการของ 2L 3x2 − = 6

y = 2

z1−

หรอ 32x

−− = 6

y = 2

1z−−

จะไดวา 2L มเวกเตอรแสดงทศทาง 2A = (–3, 6, –2)

จะเหนวา 2A = –6 1A แสดงวา 1A ขนานกบ 2A

เพราะฉะนน 1L ขนานกบ 2L

เพราะฉะนน 1L และ 2L ไมเปนเสนไขวตางระนาบ

บทท 3



64

ตวอยาง 3.3.11.2 จงพจารณาวา 1L และ 2L เปนเสนไขวตาง

ระนาบหรอไม เมอ 1L และ 2L มสมการเปน

1L : x = 2y = z – 1 และ 2L : 2

1x + = y – 1 = 32z +

วธทา เวกเตอรแสดงทศทางของ 1L คอ 1A = (1, 2, 1)

เวกเตอรแสดงทศทางของ 2L คอ 2A = (2, 1, 3)

เพราะวา ไมมจานวนจรง k ททาให 1A = k 2A หรอ 2A = k 1A

เพราะฉะนน 1A ไมขนานกบ 2A

เพราะฉะนน 1L ไมขนานกบ 2L

สมมต 1L ตดกบ 2L เพราะฉะนนมจด 0P อยบน 1L และ 2L


เพราะฉะนน 0x , 0y , 0z สอดคลองทงสมการของ 1L และ 2L

เพราะฉะนน 0x = 2y0 = 0z – 1 ... (1)

และ 21x0 + = 0y – 1 = 3

2z0 + ... (2)

จาก (1) ; 0x = 2y0 หรอ 2 0x – 0y = 0 ... (3)

จาก (2) ; 21x0 + = 0y – 1 หรอ 0x – 2 0y = –3 ... (4)

จาก (3) และ (4) จะได 0x = 1 และ 0y = 2

ตองนาคา 0x = 1, 0y = 2 ตรวจสอบวาใหคา z เดยวกนหรอไม

แทนคา 0y ใน (1) และ (2) จะได 0z = 2 และ 0z = 1

ตามลาดบ ซงเปนไปไมได แสดงวา 1L ไมตดกบ 2L

เพราะฉะนน 1L และ 2L เปนเสนไขวตางระนาบ

บทท 3



65

3.3.7 ระยะทางระหวางเสนตรงสองเสน

บทนยาม 3.3.3 ระยะทางระหวางเสนตรงสองเสน

คอ ระยะทางทสนทสดระหวางเสนตรงทงสอง

ในการหาระยะทางระหวางเสนตรงสองเสน จะพจารณาโดยการ

แยกเปน 2 กรณ คอ

1. เสนตรงทงสองขนานกน

2. เสนตรงทงสองไมขนานกน

ระยะทางระหวางเสนตรงสองเสนทขนานกน

ให 1L และ 2L เปนเสนตรงสองเสนทขนานกน ซงผานจด 1P

และ 2P ตามลาดบ

ระยะทางระหวาง 1L กบ 2L คอ

ระยะทางจากจด 1P ไปยง 2L หรอระยะทางจากจด 2P ไปยง 1L

รปท 3.3.6

บทท 3



66

ระยะทางระหวางเสนตรงสองเสนทไมขนานกน

ให 1L และ 2L เปนเสนตรงทไมขนานกน

โดยท 1L ผานจด 1P และ มเวกเตอรแสดงทศทาง 1A

และ 2L ผานจด 2P และ มเวกเตอรแสดงทศทาง 2A

รปท 3.3.7

ให 1Q และ 2Q เปนจดปลายของสวนของเสนตรงทตงฉาก

กบ 1L และ 2L

โดยท 1Q อยบน 1L และ 2Q อยบน 2L

จะไดวา || 21QQ || เปนระยะทางระหวาง 1L กบ 2L

เพราะวา 1L ไมขนานกบ 2L


เพราะฉะนน 1A × 2A ≠ O

เพราะวา 21QQ ตงฉากกบทง 1A และ 2A

เพราะฉะนน 21QQ ขนานกบ 1A × 2A

บทท 3



67

รปท 3.3.7

จากรปท 3.3.7

|| 21QQ || = ขนาดของภาพฉายสเกลารของ 21PP

บน 1A × 2A


ระยะทางระหวาง 1L กบ 2L = ||||||

21

2121AA

)AA(PP×

×⋅

หมายเหต ในกรณท 1L ตดกบ 2L จะไดวา

ระยะทางระหวาง 1L กบ 2L เปนศนย

บทท 3



68

ตวอยาง 3.3.12.1 จงหาระยะทางระหวางเสนตรง

1L กบ 2L เมอ 1L และ 2L มสมการเปน

1L : x = 1 + s, y = 2 – 2s, z = –1 + 2s

2L : x = 2 – t, y = 1 + 2t, z = –2t

วธทา

1L ผานจด 1P (1, 2, –1)

และ มเวกเตอรแสดงทศทาง 1A = (1, –2, 2)

2L ผานจด 2P (2, 1, 0)

และ มเวกเตอรแสดงทศทาง 2A = (–1, 2, –2)

เพราะฉะนน 1A = – 2A

เพราะฉะนน 1A ขนานกบ 2A

เพราะฉะนน 1L ขนานกบ 2L


ระยะทางระหวาง 1L กบ 2L = ระยะทางจากจด 1P ไปยง 2L

= ||||||||

2

212A

APP ×

บทท 3



69

12PP = 1P – 2P

= (1, 2, –1) – (2, 1, 0)

= (–1, 1, –1)

12PP × 2A

= 221111k ji

−−−−

= 221 1 −

− i – 211 1 −−

−− j + 2111 −

− k

= (–2 + 2) i – (2 – 1) j + (–2 + 1)k

= – j – k

|| 12PP × 2A || = 22 )1()1( −+−

= 2

|| 2A || = 222 )2(2)1( −++−

= 9

= 3

เพราะฉะนน ระยะทางระหวาง 1L กบ 2L

= ||||||||

2

212A

APP ×

= 32 หนวย

บทท 3



70

ตวอยาง 3.3.12.2 จงหาระยะทางระหวางเสนตรง

1L : 21x − = – y = 2

z−

และ 2L : 3x

− = 2

1y − = z

วธทา 1L ผานจด 1P (1, 0, 0)

และ มเวกเตอรแสดงทศทาง 1A = (2, –1, –2)

2L ผานจด 2P (0, 1, 0)

และ มเวกเตอรแสดงทศทาง 2A = (–3, 2, 1)

เพราะวา ไมมจานวนจรง k ททาให 1A = k 2A หรอ 2A = k 1A


เพราะฉะนน 1L ไมขนานกบ 2L

แสดงวา ระยะทางระหวาง 1L กบ 2L = ||||||

21

2121AA

)AA(PP×

×⋅

21PP = 2P – 1P

= (0, 1, 0) – (1, 0, 0)

= (–1, 1, 0)

1A × 2A = 1 2 3212 k j i

−

−−

= 1 2 21 −− i – 1 3

22 −− j + 2 3

12 −− k

= (–1 + 4) i – (2 – 6) j + (4 – 3)k

= 3 i + 4 j + k

บทท 3



71

|| 1A × 2A || = 222 143 ++

= 26

| 21PP ⋅( 1A × 2A ) | = | (–1, 1, 0)⋅(3, 4, 1) | = | –3 + 4 + 0 | = 1


ระยะทางระหวาง 1L กบ 2L มคา

= ||||||

21

2121AA

)AA(PP×

×⋅

= 261 หนวย

บทท 3



72

03.4 ระนาบใน 3R

3.4.1 สมการของระนาบ


ให 0P เปนจดใน 3R และ N ≠ O เปนเวกเตอรใน 3R

เราจะเรยกเซตของจด P ใดๆ ซงทาให PP0 ตงฉากกบ N วา

ระนาบทผานจด 0P และตงฉากกบเวกเตอร N

และเรยก N วา เวกเตอรแนวฉาก ของระนาบ

รปท 3.4.1

รปท 3.4.1 แสดงกราฟของระนาบทผานจด 0P

และตงฉากกบเวกเตอร N


ถา N เปนเวกเตอรแนวฉากของระนาบ M

แลว เวกเตอรทไมใชเวกเตอรศนยซงขนานกบ N

เปนเวกเตอรแนวฉากของระนาบ M ดวย

บทท 3



73

การหาสมการของระนาบ M ซงผานจด 0P ( 0x , 0y , 0z )

และม N(a, b, c) เปนเวกเตอรแนวฉาก

ให P(x, y, z) เปนจดใดๆ บนระนาบ M

เพราะฉะนน PP0 ตงฉากกบ N

เพราะฉะนน PP0 ⋅N = 0

(P – 0P )⋅N = 0 ... (3.4.1)

P ⋅N = 0P ⋅N

((x, y, z) – ( 0x , 0y , 0z ))⋅(a, b, c) = 0 ... (3.4.2)

เราเรยกสมการ (3.4.1) หรอ (3.4.2) วา

สมการเวกเตอร ของระนาบ M

จากสมการ (3.4.2) เราจะได

(x – 0x , y – 0y , z – 0z )⋅(a, b, c) = 0

a(x – 0x ) + b(y – 0y ) + c(z – 0z ) = 0 ... (3.4.3)

ax + by + cz = a 0x + b 0y + c 0z

ax + by + cz = d ... (3.4.4)

เมอ d = a 0x + b 0y + c 0z = 0P ⋅N

เราจะเรยกสมการ (3.4.3) หรอ (3.4.4) วา

สมการคารทเซยน ของระนาบ M

ขอสงเกต สมประสทธของ x, y, z ในสมการ (3.4.4)

คอ สวนประกอบของเวกเตอรแนวฉากของระนาบ

บทท 3



74

ตวอยาง 3.4.1 จงหาสมการเวกเตอรและสมการคารทเซยนของ

ระนาบ M ทผานจด 0P (1, 2, –3)

และมเวกเตอรแนวฉาก N = (2, –1, 3)

วธทา

ให P(x, y, z) เปนจดบนระนาบน M

สมการเวกเตอรของระนาบ M ทผานจด 0P (1, 2, –3)

และมเวกเตอรแนวฉาก N = (2, –1, 3) คอ

(P – 0P )⋅N = 0

หรอ ((x, y, z) – (1, 2, –3))⋅(2, –1, 3) = 0

และสมการคารทเซยนของระนาบ คอ

2(x – 1) – (y – 2) + 3(z + 3) = 0

หรอ 2x – y + 3z = –9

ขอตกลง

โดยทวไปแลวเมอกลาวถงสมการของระนาบ

เราจะหมายถงสมการคารทเซยนของระนาบในรป

ax + by + cz = d

บทท 3



75

ตวอยาง 3.4.2 จงหาสมการของระนาบ M ผานจด

0P (1, –2, 3), 1P (2, 1, 1) และ 2P (2, –2, 2)

วธทา ให P(x, y, z) เปนจดบนระนาบ M

เพราะวา 0P , 1P , 2P อยบนระนาบ M

เพราะฉะนน 10PP และ 20PP ตงฉากกบเวกเตอรแนวฉากของ

ระนาบ M

เพราะฉะนน 10PP × 20PP ขนานกบเวกเตอรแนวฉากของ

ระนาบ M

เพราะฉะนน N ขนานกบ 10PP × 20PP

10PP × 20PP = ( 1P – 0P ) × ( 2P – 0P )

= (1, 3, –2) × (1, 0, –1)

= 1 01231k ji

−−

= 1023 −

− i – 1121 −

− j + 0131 k

= –3 i – j – 3k

เลอก N = (–3, –1, –3)

เพราะวาระนาบผานจด 0P (1, –2, 3)

เพราะฉะนน ระนาบมสมการเปน

–3(x – 1) – (y + 2) – 3(z – 3) = 0

หรอ 3x + y + 3z = 10

บทท 3



76

3.4.2 การเขยนกราฟของระนาบ

กราฟของระนาบทมสมการเปน z = 0 คอระนาบ XY

รปท 3.4.2

กราฟของระนาบทมสมการเปน z = 4

เปนระนาบทขนานกบระนาบ XY และ

ผานจด P(0, 0, 4)

รปท 3.4.3

บทท 3



77

ตวอยาง 3.4.3 จงเขยนกราฟของระนาบ 2x + y + 3z = 6

ในอฐภาคท 1

วธทา หาจดตดของระนาบกบแกนพกดฉากทงสาม

แทน y = 0, z = 0

ในสมการของระนาบ จะได x = 3

เพราะฉะนน จดตดของระนาบกบแกน X คอ A(3, 0, 0)

แทน x = 0, z = 0

ในสมการของระนาบ จะได y = 6

เพราะฉะนน จดตดของระนาบกบแกน Y คอ B(0, 6, 0)

แทน x = 0, y = 0

ในสมการของระนาบ จะได z = 2

เพราะฉะนน จดตดของระนาบกบแกน Z คอ C(0, 0, 2)

โยงจด 3 จดทเกดจากแกนพกดฉากตดกบระนาบ

จะไดรปสามเหลยมรปหนงซงเปนสวนหนงของระนาบทตองการ

รปท 3.4.4

บทท 3



78

ตวอยาง 3.4.4 จงเขยนกราฟของระนาบ x – y + 2z = 0

วธทา

แทน x = 0, y = 0 ในสมการของระนาบ

จะได z = 0 แสดงวาระนาบผานจดกาเนด

พจารณารอยตดของระนาบนกบระนาบ XY , YZ


ระนาบนตดระนาบ XY (คอระนาบ z = 0)

ตามแนวเสนตรง x – y = 0, z = 0

และ

ตดกบระนาบ YZ (คอระนาบ x = 0)

ตามแนวเสนตรง –y + 2z = 0, x = 0

เพราะฉะนนระนาบทตองการกคอ

ระนาบทผานเสนตรงทงสองน

รปท 3.4.5

บทท 3



79

ตวอยาง 3.4.5 จงเขยนกราฟของระนาบ x + 2y = 2

วธทา แทน y = 0, z = 0 ในสมการของระนาบ จะได x = 2

เพราะฉะนน จดตดของระนาบกบแกน X คอ (2, 0, 0)

แทน x = 0, z = 0 ในสมการของระนาบ จะได y = 1

เพราะฉะนน จดตดของระนาบกบแกน Y คอ (0, 1, 0)

แทน x = 0, y = 0 ในสมการของระนาบ จะได 0 = 2 ซงเปนไป

ไมได แสดงวา ระนาบไมตดกบแกน Z

พจารณารอยตดของระนาบน กบระนาบพกดฉาก

ระนาบนตดกบระนาบ XY ตามแนวเสนตรง x + 2y = 2, z = 0

ระนาบนตดกบระนาบ XZ ตามแนวเสนตรง x = 2, y = 0

ระนาบนตดกบระนาบ YZ ตามแนวเสนตรง y = 1, x = 0

เพราะฉะนนระนาบทตองการกคอระนาบทผานเสนตรงทงสามน

รปท 3.4.6

บทท 3



80

3.4.3 จดกบระนาบ

จดใดๆ จะอยบนระนาบ

กตอเมอ พกดของจดนนสอดคลองกบสมการของระนาบ

ตวอยางท 3.4.6 จงพจารณาวา จด P(1, 2, –1)

และ Q(2, 3, 1)

อยบนระนาบทมสมการเปน x – 2y – 4z = 1 หรอไม

วธทา

แทน x = 1, y = 2, z = –1 ในสมการของระนาบ จะได

1 – 2(2) – 4(–1) = 1

1 = 1 ซงเปนจรง

แสดงวาพกดของจด P สอดคลองกบสมการของระนาบ

เพราะฉะนนจด P อยบนระนาบ

แทน x = 2, y = 3, z = 1 ในสมการของระนาบ จะได

2 – 2(3) – 4(1) = 1

–8 = 1 ซงไมเปนจรง

แสดงวาพกดของจด Q ไมสอดคลองกบสมการของระนาบ

เพราะฉะนน จด Q ไมอยบนระนาบ

บทท 3



81

ตวอยาง 3.4.7 จงพจารณาวา 0P (1, 2, –1), 1P (2, 0, 1),

2P (3, 4, 1) และ 3P (1, 2, 3) อยบนระนาบเดยวกนหรอไม

วธทา ให M เปนระนาบทผานจด 0P , 1P และ 2P

10PP = 1P – 0P = (2, 0, 1) – (1, 2, –1) = (1, –2, 2)

20PP = 2P – 0P = (3, 4, 1) – (1, 2, –1) = (2, 2, 2)

เพราะวา 10PP × 20PP

= 22 2221kj i

−

= 22 22 − i – 22

21 j + 2 221 − k

= –8 i + 2 j + 6k

เพราะฉะนน M เปนระนาบทผานจด 0P

และมเวกเตอรแนวฉาก 10PP × 20PP

สมการระนาบ M จะมสมการเปน

–8(x – 1) + 2(y – 2) + 6(z + 1) = 0

–8x + 2y + 6z = –10

4x – y – 3z = 5

บทท 3



82

การตรวจสอบวา 3P (1, 2, 3) อยบนระนาบ M

แทน x = 1, y = 2, z = 3 ในสมการของระนาบ M

จะได

4(1) – 2 – 3(3) = 5

–7 = 5 ซงไมเปนจรง

แสดงวาพกดของ 3P ไมสอดคลองกบสมการของระนาบ M

เพราะฉะนนจด 3P ไมอยบนระนาบ M

สรป จด 0P , 1P , 2P และ 3P ไมอยบนระนาบเดยวกน


1. ถา 30PP ⋅( 10PP × 20PP ) ≠ 0

แลว 0P , 1P , 2P และ 3P ไมอยบนระนาบเดยวกน

2. ถา PPPPPP

30

20

10 ≠ 0

แลว 0P , 1P , 2P และ 3P ไมอยบนระนาบเดยวกน

บทท 3



83

ถาจดไมอยบนระนาบ เราหา ระยะทางระหวางจดกบระนาบ ได

โดยเรานยาม ระยะทางระหวางจดกบระนาบ วา คอ ระยะทาง

ตงฉากจากจดไปยงระนาบ

ให M : ax + by + cz = d และ 1P ( 1x , 1y , 1z )

เปนระนาบทมสมการเวกเตอรเปน (P – 1P )⋅N = 0

เพราะฉะนน M เปนระนาบทผาน 1P ม N เปนเวกเตอรแนวฉาก

ให 0P เปนจดทมไดอยบนระนาบ M

การลากเสนตงฉากจากจด 0P ไปยงระนาบ M

เราใชเวกเตอรแนวฉากของระนาบเปนหลกในการลากเสนตง

ฉาก กลาวคอ

ลากเสนตรงผานจด 0P ขนานกบ N พบกบระนาบ M ทจด Q

เพราะฉะนน QP0 ขนานกบ N

บทท 3



84

ระยะทางตงฉากจากจด 0P ไปยงระนาบ M คอ || QP0 || ซงคอระยะทางจากจด 0P ไปยงระนาบ M

(จด Q จะเปนจดบนระนาบ M ซงอยใกลจด 0P มากทสด)

รปท 3.4.7 (ก) รปท 3.4.7 (ข)

จากรปท 3.4.7 (ข) จะไดวา

|| QP0 || = ขนาดของภาพฉายสเกลารของ 01PP บน N

= ||||||

NNPP 01 ⋅

= ||||||

NN)PP( 10 ⋅−

บทท 3



85

เพราะวา M เปนระนาบทมสมการเปน ax + by + cz = d

ซงผานจด 1P ( 1x , 1y , 1z )

เพราะฉะนน a 1x + b 1y + c 1z = d ... (1)

และระนาบ M มเวกเตอรแนวฉาก N = (a, b, c)

ให 0P ( 0x , 0y , 0z ) เปนจดทไมไดอยบนระนาบ M


|| QP0 || = ||||||

NN)PP( 10 ⋅−

= 222101010

cba

)c ,b ,a()zz ,yy ,xx( ||

++

⋅−−−

= 222

111000

cba

)czbyax(czbyax ||

++

++−++

= 222

000

cba

dczbyax | |

++

−++ (จาก (1))

เพราะฉะนน ระยะทางระหวางจด 0P ( 0x , 0y , 0z )

กบระนาบ M คอ

D = 222

000

cba

dczbyax

++

−++

หมายเหต ในกรณทจด 0P อยบนระนาบ M

ระยะทางระหวางจด 0P กบระนาบ M เปนศนย

บทท 3



86

ตวอยาง 3.4.8 จงหาระยะทางระหวาง

จด 0P (4, 3, –1) กบระนาบ 2x – y – 2z = 1

วธทา

ให D เปนระยะทางระหวางจด 0P (4, 3, –1)

กบระนาบ 2x – y – 2z = 1

เพราะฉะนน D = 222 )2()1(2

|1)1(23)4(2|

−+−+

−−−−

= 36

= 2 หนวย

บทท 3



87

ตวอยาง 3.4.9 จงหาจดบนระนาบ M : 2x + y – 3z = –10

ซงอยใกลจด 0P (4, 2, 2) มากทสด

วธทา ระนาบ M มเวกเตอรแนวฉาก N = (2, 1, –3)

ให Q( 0x , 0y , 0z ) เปนจดทตองการ

เพราะฉะนน QP0 ขนานกบ N

เพราะฉะนน ม t ∈ R ททาให QP0 = tN

Q – 0P = tN

( 0x , 0y , 0z ) – (4, 2, 2) = t(2, 1, –3)

( 0x – 4, 0y – 2, 0z – 2) = (2t, t, –3t)

จะได 0x – 4 = 2t, 0y – 2 = t, 0z – 2 = –3t

หรอ 0x = 4 + 2t, 0y = 2 + t, 0z = 2 – 3t ... (1)

การหาคา t

เพราะวา Q( 0x , 0y , 0z )

อยบนระนาบ 2x + y – 3z = –10

เพราะฉะนน 2 0x + 0y – 3 0z = –10 ... (2)

จาก (1) แทนคา 0x , 0y , 0z ใน (2) จะได

2(4 + 2t) + (2 + t) – 3(2 – 3t) = –10

14t = –14

t = –1

แทนคา t = –1 ใน (1) จะได 0x = 2, 0y = 1, 0z = 5

เพราะฉะนน จดทตองการคอ (2, 1, 5)

บทท 3



88

3.4.4 ความสมพนธระหวางเสนตรงกบระนาบ

เสนตรงกบระนาบมความสมพนธกน 3 กรณ ดงน

1. เสนตรงกบระนาบมจดรวมกนเพยงจดเดยว

ในกรณนเรากลาววา เสนตรงตดกบระนาบ

และ เรยกจดรวมกนนวา จดตด ดงรปท 3.4.8

2. เสนตรงกบระนาบมจดรวมกนมากกวาหนงจด

ในกรณน เสนตรงยอมตองอยในระนาบทงเสน

ดงรปท 3.4.9

3. เสนตรงกบระนาบไมมจดรวมกนเลย ดงรปท 3.4.10

รปท 3.4.8 รปท 3.4.9 รปท 3.4.10

หากเสนตรงกบระนาบมความสมพนธกนในกรณท 2 หรอ 3

เรากลาววา เสนตรงขนานกบระนาบ


เสนตรงจะขนานกบระนาบ กตอเมอ

เวกเตอรแสดงทศทางของเสนตรงตงฉากกบเวกเตอรแนวฉาก

ของระนาบ

บทท 3



89

ตวอยาง 3.4.10.1 จงพจารณาวาเสนตรงกบระนาบท

กาหนดใหตดกนหรอขนานกน ถาตดกนจงหาจดตด

ถาขนานกน จงพจารณาวาเสนตรงอยในระนาบหรอไม

เสนตรง L : P = (1, 2, 3) + t(2, 1, –3)

กบ ระนาบ M : x + 4y + 2z = 5

วธทา ให Q มพกดเปน (1, 2, 3)

เสนตรง L ผานจด Q(1, 2, 3) และมเวกเตอรแสดงทศทาง

A = (2, 1, –3)

จากสมการของระนาบ M จะไดวา ระนาบมเวกเตอรแนวฉาก

N = (1, 4, 2)

เพราะวา A ⋅N = (2, 1, –3)⋅(1, 4, 2)

= 2(1) + 1(4) – 3(2)

= 0

เพราะฉะนน A ตงฉากกบ N

เพราะฉะนน เสนตรงขนานกบระนาบ

แทน x = 1, y = 2, z = 3 ในสมการของระนาบ จะได

1 + 4(2) + 2(3) = 5

15 = 5

ซงไมเปนจรง แสดงวาจด Q ไมอยบนระนาบ

แสดงวา เสนตรงขนานกบระนาบแตไมอยในระนาบ

บทท 3



90

ตวอยาง 3.4.10.2 จงพจารณาวาเสนตรงกบระนาบท

กาหนดใหตดกนหรอขนานกน ถาตดกนจงหาจดตด

ถาขนานกน จงพจารณาวาเสนตรงอยในระนาบหรอไม

เสนตรง L : x – 1 = 23y + = z

กบ ระนาบ M : 2x – y + z = 7

วธทา ให Q มพกดเปน (1, –3, 0)

เสนตรง L ผานจด Q(1, –3, 0) และมเวกเตอรแสดงทศทาง

A = (1, 2, 1)

M : 2x – y + z = 7 มเวกเตอรแนวฉาก N = (2, –1, 1)

เพราะวา A ⋅N = (1, 2, 1)⋅(2, –1, 1)

= 1(2) + 2(–1) + 1(1)

= 1

≠ 0

เพราะฉะนน A ไมตงฉากกบ N

เพราะฉะนน เสนตรงไมขนานกบระนาบ

เพราะฉะนน เสนตรงตดกบระนาบ

บทท 3



91

ให 0P ( 0x , 0y , 0z ) เปนจดตดของเสนตรงกบระนาบ

เพราะฉะนน พกดของจด 0P ตองสอดคลองกบสมการของ

เสนตรง L และสมการของระนาบ M

เพราะฉะนน 0x – 1 = 23y0 + = 0z ... (1)

และ 2 0x – 0y + 0z = 7 ... (2)

จาก (1) เราได 0y = 2 0x – 5 และ 0z = 0x – 1 ... (3)

แทน (3) ใน (2) ได

2 0x – (2 0x – 5) + ( 0x – 1) = 7

0x + 4 = 7

0x = 3

แทนคา 0x = 3 ใน (3) ได 0y = 1 และ 0z = 2

เพราะฉะนน จดตดของเสนตรงกบระนาบ คอ (3, 1, 2)

บทท 3



92

ตวอยาง 3.4.11 กาหนดเสนตรง L : x = y – 1 = 2z

และจด Q(1, 3, –1) ซงมไดอยบนเสนตรง L

จงหาสมการของระนาบ M ทผานเสนตรง L และจด Q

วธทา L ผานจด 0P (0, 1, 0) และมเวกเตอรแสดงทศทาง

A = (1, 1, 2)

จด Q ไมอยบน L เราจะหาสมการของระนาบทผาน L และจด Q

การหาเวกเตอรแนวฉาก N ของระนาบ M

รปท 3.4.11

เพราะวา L อยในระนาบ เพราะฉะนน L ขนานกบระนาบ M

เพราะฉะนน A ตงฉากกบเวกเตอรแนวฉากของระนาบ M

เพราะวาจด 0P และ Q อยบนระนาบ

เพราะฉะนน QP0 ตงฉากกบเวกเตอรแนวฉากของระนาบ M


A × QP0 ขนานกบเวกเตอรแนวฉากของระนาบ M

เพราะฉะนน N = A × QP0

เปนเวกเตอรแนวฉากของระนาบ M

บทท 3



93

QP0 = Q – 0P

= (1, 3, –1) – (0, 1, 0)

= (1, 2, –1)

N = A × QP0

= 1212 11k ji

−

= 122 1 − i – 11

2 1 − j + 2111 k

= –5 i + 3 j + k

ระนาบ M ผานจด Q(1, 3, –1) และมเวกเตอรแนวฉาก

N = (–5, 3, 1)

มสมการเปน

–5(x – 1) + 3(y – 3) + (z + 1) = 0

หรอ –5x + 3y + z = 3

บทท 3



94

ตวอยาง 3.4.12 จงหาสมการของระนาบ M ทผานจด

Q(2, –3, 1) และขนานกบเสนตรง 1L : x – 1 = 2y = z

และ 2L : 2x = y = 3

z

วธทา 1L มเวกเตอรแสดงทศทาง 1A = (1, 2, 1)

2L มเวกเตอรแสดงทศทาง 2A = (2, 1, 3)

เพราะวา 1L และ 2L ขนานกบระนาบ

เพราะฉะนน 1A และ 2A ตงฉากกบเวกเตอรแนวฉากของ

ระนาบ

แสดงวา 1A × 2A ขนานกบเวกเตอรแนวฉากของระนาบ


N = 1A × 2A เปนเวกเตอรแนวฉากเวกเตอรหนงของระนาบ

N = 312121kji

= 3112 i – 32

11 j + 1221 k

= 5 i – j – 3k

เพราะฉะนน ระนาบ M ผานจด Q(2, –3, 1) และมเวกเตอร

แนวฉาก N = (5, –1, –3)


5(x – 2) – (y + 3) – 3(z – 1) = 0

หรอ 5x – y – 3z = 10

บทท 3



95

บทนยาม 3.4.2 ถาเวกเตอรแสดงทศทางของเสนตรง L

ทามม θ กบเวกเตอรแนวฉากของระนาบ M

เราจะกลาววา มมระหวางเสนตรง L กบระนาบ M

คอ | 2π – θ |

รปท 3.4.12


1. ถา มมระหวางเสนตรงกบระนาบเปน 0

แลว เสนตรงขนานกบระนาบ

2. ถามมระหวางเสนตรงกบระนาบเปน 2π

แลว เสนตรงตงฉากกบระนาบ

เพราะฉะนน เสนตรงตงฉากกบระนาบ

กตอเมอ

เวกเตอรแสดงทศทางของเสนตรง

ขนานกบเวกเตอรแนวฉากของระนาบ

บทท 3



96

ตวอยาง 3.4.13 จงหามมระหวาง

เสนตรง 5x = 2

1y−−

= 5z กบระนาบ 2x + y – 7z = 1

วธทา เสนตรงมเวกเตอรแสดงทศทาง A = (5, –2, 5)

และระนาบมเวกเตอรแนวฉาก N = (2, 1, –7)

ให θ เปนมมระหวาง A กบ N

cos θ = |||| |||| NANA ⋅

= 222222 )7(125)2(5

)7,1,2()5,2,5(

−+++−+

−⋅−

= 545435210 −−

= –5427

= – 21

เพราะฉะนน θ = arccos(– 21) = 3

2π


มมระหวางเสนตรงกบระนาบ คอ | 2π – 3

2π | = 6π

จาไดกด –1 ≤ x ≤ 1

– 2π ≤ arcsin x ≤ 2

π

0 ≤ arccos x ≤ π

arcsin(–x) = – arcsin x

arccos(–x) = π – arccos x

บทท 3



97

ตวอยาง 3.4.14 จงหาสมการของระนาบ M ทผานจด

Q(3, –6, 3) และตงฉากกบเสนตรง L

L : (x, y, z) = (2, 0, 1) + t(3, –1, 1)

พรอมทงหาจดตดของเสนตรงกบระนาบ

วธทา เสนตรง L มเวกเตอรแสดงทศทาง A = (3, –1, 1)

เพราะวาเสนตรง L ตงฉากกบระนาบ M

เพราะฉะนน A ขนานกบเวกเตอรแนวฉากของระนาบ

เพราะฉะนน A เปนเวกเตอรแนวฉากของระนาบ M

เพราะฉะนนระนาบ M ผานจด Q(3, –6, 3) และมเวกเตอร

แนวฉาก A = (3, –1, 1)


3(x – 3) – (y + 6) + (z – 3) = 0

หรอ 3x – y + z = 18

บทท 3



98

ให 0P ( 0x , 0y , 0z ) เปนจดตดของเสนตรง L กบระนาบ M

เพราะฉะนน จดนยอมสอดคลองกบสมการเสนตรง L และ

สมการของระนาบ M เราจงไดวาม t ∈ R ซง

( 0x , 0y , 0z ) = (2, 0, 1) + t(3, –1, 1) ... (1)

และ 3 0x – 0y + 0z = 18 ... (2)

จาก (1) เราได ⎪⎭

⎪⎬

⎫

+=

−=

+=

t1 zt y

t32 x

0

0

0

... (3)

แทน (3) ใน (2) ได

3(2 + 3t) – (–t) + (1 + t) = 18

11t + 7 = 18

t = 1

แทนคา t = 1 ใน (3) จะไดจดตดคอ (5, –1, 2)

บทท 3



99

บทนยาม

ระยะทางระหวางเสนตรงกบระนาบ

คอ ระยะทางตงฉากระหวางเสนตรงกบระนาบ

ในกรณทเสนตรงตดกบระนาบ

ระยะทางระหวางเสนตรงกบระนาบจะเปนศนย

ในกรณทเสนตรงขนานกบระนาบ

ระยะทางระหวางเสนตรงกบระนาบ

คอ ระยะทางระหวางจดใดจดหนงบนเสนตรงกบระนาบ

ตวอยาง 3.4.15 จงหาระยะทางระหวาง

เสนตรง 21x − = y = 3

2z + กบระนาบ x + y – z = 9

วธทา เสนตรงผานจด Q(1, 0, – 2)

และมเวกเตอรแสดงทศทาง A = (2, 1, 3)

ระนาบมเวกเตอรแนวฉาก N = (1, 1, –1)

เพราะวา A ⋅N = (2, 1, 3)⋅(1, 1, –1) = 2 + 1 – 3 = 0

เพราะฉะนน A ตงฉากกบ N

เพราะฉะนน เสนตรงขนานกบระนาบ

เพราะฉะนน ระยะทางระหวางเสนตรงกบระนาบกคอ

ระยะทางระหวางจด Q กบระนาบซงเทากบ

222 )1(11

|9)2(01|

−++

−−−+ =

3|6| − = 2 3 หนวย

บทท 3



100

3.4.5 การขนานกนของระนาบ

ระนาบสองระนาบขนานกน กตอเมอ เวกเตอรแนวฉากของ

ระนาบทงสองขนานกน

ตวอยาง 3.4.16 จงหาสมการของระนาบ 1M ซงขนานกบ

ระนาบ 2M : 2x – 3y + 4z = 1 และผานจด (1, –2, 3)

วธทา

2M มเวกเตอรแนวฉาก N = (2, –3, 4)

เพราะวา 1M ขนานกบ 2M

เพราะฉะนน เวกเตอรแนวฉากของ 1M ขนานกบ N

เพราะฉะนน N เปนเวกเตอรแนวฉากของ 1M

เพราะฉะนน 1M เปนระนาบทผานจด (1, – 2, 3)

และมเวกเตอรแนวฉาก N = (2, –3, 4)


2(x – 1) – 3(y + 2) + 4(z – 3) = 0

หรอ 2x – 3y + 4z = 20

บทท 3



101


สมการของระนาบทขนานกบระนาบ ax + by + cz = 1d

เราจะเขยนไดในรป ax + by + cz = 2d


เราอาจหาสมการของ 1M ในตวอยาง 3.4.16 ไดดงน

เพราะวา 1M ขนานกบ 2M

เพราะฉะนน 1M มสมการเปน 2x – 3y + 4z = d

เพราะวา 1M ผานจด (1, –2, 3)

เพราะฉะนน 2(1) – 3(–2) + 4(3) = d

เพราะฉะนน d = 20

เพราะฉะนน สมการของระนาบ 1M คอ

2x – 3y + 4z = 20

บทท 3



102

ระยะทางระหวางระนาบสองระนาบ

การหา ระยะทางระหวางระนาบสองระนาบ ซงกคอ ระยะทาง

ตงฉากระหวางระนาบทงสอง

ระยะทางระหวางระนาบทขนานกน คอ

การหาระยะทางระหวางจดใดจดหนงบนระนาบหนงกบอก

ระนาบหนง

ให 1M และ 2M เปนระนาบทขนานกน

โดยท 1M มสมการเปน ax + by + cz = 1d

และ 2M มสมการเปน ax + by + cz = 2d

ให 0P ( 0x , 0y , 0z ) เปนจดใน 1M

และ D เปนระยะทางระหวาง 1M กบ 2M

D = ระยะทางระหวางจด 0P ( 0x , 0y , 0z ) กบระนาบ 2M

= 222

2000

cba

dczbyax ||

++

−++

เพราะวา 0P ( 0x , 0y , 0z ) เปนจดบน 1M

เพราะฉะนน a 0x + b 0y + c 0z = 1d

เพราะฉะนน D = 222

21

cba

dd ||

++

−

เพราะฉะนน ระยะทางระหวาง 1M กบ 2M = 222

21

cba

dd ||

++

−

หมายเหต ในกรณทระนาบสองระนาบไมขนานกน

เราจะไดวาระยะทางระหวางระนาบทงสองเปนศนย

บทท 3



103

ตวอยาง 3.4.17 จงหาระยะทางระหวางระนาบ

x – 2y + 2z = 1 กบระนาบ x – 2y + 2z = 7

วธทา

เพราะวา ระนาบ x – 2y + 2z = 1 และ x – 2y + 2z = 7

มเวกเตอรแนวฉากเหมอนกน คอ (1, –2, 2)

เพราะฉะนน ระนาบทงสองขนานกน

ให D เปนระยะทางระหวางระนาบทงสอง

เพราะฉะนน D = 222

21

cba

dd ||

++

−

= 222 2)2(1

71 ||+−+

−

= 36

= 2 หนวย

จาไดกด

A = ( 1a , 2a , ... , na ), B = ( 1b , 2b , ... , nb )

A ขนานกบ B

กตอเมอ 1a : 1b = 2a : 2b = ... = na : nb

เพราะฉะนน ถา ม ia : ib ≠ ja : jb

แลว A ไมขนานกบ B

บทท 3



104

ตวอยาง 3.4.18 จงหาสมการของระนาบทขนานกบ ระนาบ

x + 2 y – z = 1 และระยะทางระหวางระนาบเทากบ 3 หนวย

วธทา เพราะวาระนาบทตองการขนานกบระนาบ

x + 2 y – z = 1


ระนาบทตองการมสมการเปน x + 2 y – z = d

เพราะวาระยะทางระหวางระนาบทงสองเทากบ 3 หนวย


3 = 222 )1()2(1

1d ||−++

−

จะไดวา | d – 1 | = 6

เพราะฉะนน d = 7, – 5

แสดงวา ระนาบทตองการมสมการเปน

x + 2 y – z = 7

หรอ x + 2 y – z = –5

บทท 3



105

3.4.6 การตดกนของระนาบ

ระนาบทตดกนคอระนาบทไมขนานกน

การพจารณาวาระนาบคใดๆ ตดกนหรอไม

จงทาไดโดยการพจารณาวา เวกเตอรแนวฉากของระนาบทงสอง

ขนานกนหรอไม

ในกรณทระนาบตดกน รอยตดยอมเปนเสนตรง

รปท 3.4.13

บทท 3



106

ตวอยาง 3.4.19 กาหนดสมการของระนาบ 1M กบ 2M

1M : 2x – y + z = 1

2M : x + y – 2z = 5

จงพจารณาวา ระนาบทงสองตดกนหรอไม

ถาตดกน จงหาสมการสมมาตรของเสนตรงทเปนรอยตดนน

วธทา 1M มเวกเตอรแนวฉาก 1N = (2, –1, 1)

2M มเวกเตอรแนวฉาก 2N = (1, 1, –2)

เพราะวา 12 ≠ 1

1−

เพราะฉะนน 1N ไมขนานกน 2N

เพราะฉะนน 1M ตดกบ 2M

ให L เปนเสนตรงทเปนรอยตดของ 1M กบ 2M

เพราะวา L อยใน 1M และ 2M

เพราะฉะนน L ขนานกบ 1M และ 2M

แสดงวา 1N และ 2N ตงฉากกบเวกเตอรแสดงทศทางของ L

เพราะฉะนน 1N × 2N ขนานกบเวกเตอรแสดงทศทางของ L

เพราะฉะนน A = 1N × 2N

เปนเวกเตอรแสดงทศทางของ L

บทท 3



107

และ A = 21 11 12k j i

−

−

= 21 1 1 −

− i – 211 2 − j + 1 1

12 − k

= i + 5 j + 3k

แทนคา z = 0 ในสมการของ 1M และ 2M จะได

2x – y = 1 ... (1)

และ x + y = 5 ... (2)

(1) + (2) ได 3x = 6

x = 2

แทนคา x = 2 ใน (2) ได y = 3

แสดงวา จด (2, 3, 0) อยบน 1M และ 2M

เพราะฉะนน จด (2, 3, 0) อยบน L

เพราะฉะนน L เปนเสนตรงทผานจด (2, 3, 0)

และมเวกเตอรแสดงทศทาง A = (1, 5, 3)

มสมการสมมาตรเปน x – 2 = 53y − = 3

z

บทท 3



108

3.4.7 มมระหวางระนาบสองระนาบ

บทนยาม 3.4.3 มมระหวางระนาบสองระนาบ

คอ มมระหวางเวกเตอรแนวฉากของระนาบทงสอง

ตวอยาง 3.4.20 จงหามมระหวางระนาบ

1M : 2x + y + 2z = 0 กบ 2M : 5x – 3y + 4z = 1

วธทา 1M มเวกเตอรแนวฉาก 1N = (2, 1, 2)

และ 2M มเวกเตอรแนวฉาก 2N = (5, –3, 4)

ให θ เปนมมระหวาง 1N กบ 2N

cos θ = |||| |||| 21

21NN

NN ⋅

= 222222 4)3(5212

)4,3,5()2,1,2(

+−+++

−⋅

= )25)(3(

15 = 2

1

เพราะฉะนน θ = arccos(2

1 ) = 4π

เพราะฉะนน มมระหวาง 1M กบ 2M คอ 4π


1. ถา θ เปนมมระหวางเวกเตอรแนวฉากของสองระนาบ

แลว มมระหวางระนาบสองระนาบคอ θ หรอ π – θ

2. ถา มมระหวางระนาบสองระนาบคอ 2π

แลว ระนาบทงสอง ตงฉาก กน

3. มมระหวางระนาบทขนานกน คอ 0 หรอ π

cal2 118 59 3rd ch 03 06june2017...

Documents