4 - 1 4 - 2 4.1 สมมติเราเปล ี่ยนตัวแปร...
TRANSCRIPT
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 1
บทท 4
อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
รองศาสตราจารย ดารงค ทพยโยธา ภาควชาคณตศาสตรและวทยาการคอมพวเตอร คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย
2301207 Calculus III 2561/1st
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 2
4.1 การเปลยนตวแปรสาหรบอนทกรลสองชน สมมตเราเปลยนตวแปรจาก x, y ไปเปน u, v โดยให x = X(u, v) y = Y(u, v) โดยบรเวณ S ในระนาบ XY เปลยนเปนบรเวณ T ในระนาบ UV จะไดจด (u, v) ในระนาบ UV ถกสงไปยงจด (x, y) ในระนาบ XY เพราะฉะนนมฟงกชน r : T S กาหนดโดย r(u, v) = (X(u, v), Y(u, v)) = (x, y) โดยท r เปนฟงกชนหนงตอหนง ถา u, v หาไดในพจนของ x, y โดยท u = U(x, y) และ v = V(x, y) จะไดม s : S T เปนฟงกชนผกผนของ r ซงกาหนดโดย s(x, y) = (U(x, y) V (x, y)) = (u, v) จะได
S
f(x, y) dxdy = T
f(X(u, v), Y(u, v)) J(u, v) dudv
เมอ X, Y มอนพนธอยางตอเนองบน T และ U, V มอนพนธอยางตอเนองบน S โดยท J(u, v) 0 บน T
เมอ J(u, v) = )v,u()Y,X(
=
vY
uY
vX
uX
คอ ดเทอรมแนนตจาโคเบยนของ X, Y เทยบกบ u, v
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 3
ตวอยาง 4.1.1 จงหาคาของ S
(x - y)2 yxe dA
เมอ S เปนบรเวณทปดลอมดวยเสนตรง x - y = 2, x + y = -2, x + y = 2 และ x - y = -2 วธทา
รปท 4.1.1 (ก) รปท 4.1.1 (ข) บรเวณ S คอบรเวณทแรเงาในรปท 4.1.1 (ก) ให u = U(x, y) = x + y และ v = V(x, y) = x - y เพราะฉะนน x = X(u, v) = 2
1(u + v) และ y = Y(u, v) = 2
1(u - v) ตวอยางเชน จด (0, 0) ในบรเวณ S ถกสงไปยงจด (0, 0) ในระนาบ UV
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 4
1. เสนตรง x + y = 2 ในระนาบ XY ถกสงไปยง เสนตรง u = 2 ในระนาบ UV 2. เสนตรง x + y = -2 ในระนาบ XY ถกสงไปยง เสนตรง u = -2 ในระนาบ UV 3. เสนตรง x - y = -2 ในระนาบ XY ถกสงไปยง เสนตรง v = -2 ในระนาบ UV 4. เสนตรง x - y = 2 ในระนาบ XY ถกสงไปยง เสนตรง v = 2 ในระนาบ UV เพราะฉะนนบรเวณ S ในระนาบ XY ถกสงไปยงบรเวณ T ในระนาบ UV โดยท T = {(u, v) -2 u 2, -2 v 2} ซงมกราฟดงรปท 4.1.1 (ข) จาโคเบยนของ X, Y เทยบกบ u, v คอ J(u, v) = )v,u(
)Y,X(
= vY
uY
vX
uX
= 21
21
21 2
1
= - 4
1 - 41 = - 1
2
เพราะฉะนน D
(x - y)2 yxe dA
= T
f(X(u, v), Y(u, v)) J(u, v) dudv
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 5
D
(x - y)2 yxe dA
= T
f(X(u, v), Y(u, v)) J(u, v) dudv
= T
2v ue - 21 dudv = 2
1
2
2
2
2
2v ue dudv
= 21
2
2
2v [ ue ] 2u2u
dv = 21
2
2
2v ( 2e - 2e ) dv
= 21( 2e - 2e )[ 3
v3 ] 2v2v
= 21( 2e - 2e )(3
8 + 38)
= 38( 2e - 2e )
หมายเหต เพราะวา )v,u()Y,X(
)y,x()V,U(
= 1
เพราะฉะนนในการหาจาโคเบยน J(u, v) = )v,u()Y,X(
เราสามารถใชสตร J(u, v) = )y,x()V,U(
1
จากตวอยางขางตน เพราะวา u = U(x, y) = x + y และ v = V(x, y) = x - y
จะได )y,x()V,U(
=
yV
xV
yU
xU
= 1111 = -1 - 1 = -2
เพราะฉะนน J(u, v) = )y,x()V,U(
1
= 21
= - 21
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 6
ตวอยาง 4.1.2 จงหาคาของ
S(x + 2y)2 cos( 4
1(2x - y)) dA
เมอ S = {(x, y) 2x - y และ x + 2y 2} วธทา
รปท 4.1.2 (ก) รปท 4.1.2 (ข) บรเวณ S คอบรเวณทแรเงาในรปท 4.1.2 (ก) ให u = U(x, y) = 2x - y และ v = V(x, y) = x + 2y ตวอยางเชน จด (0, 0) ในบรเวณ S ถกสงไปยงจด (0, 0) ในระนาบ UV 1. เสนตรง 2x - y = ในระนาบ XY ถกสงไปยง เสนตรง u = ในระนาบ UV
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 7
2. เสนตรง 2x - y = - ในระนาบ XY ถกสงไปยง เสนตรง u = - ในระนาบ UV 3 เสนตรง x + 2y = 2 ในระนาบ XY ถกสงไปยง เสนตรง v = 2 ในระนาบ UV 4. เสนตรง x + 2y = -2 ในระนาบ XY ถกสงไปยง เสนตรง v = -2 ในระนาบ UV เพราะฉะนนบรเวณ S ในระนาบ XY ถกสงไปยงบรเวณ T ในระนาบ UV โดยท T = {(u, v) - u , -2 v 2} ซงมกราฟดงรปท 4.1.2 (ข) จาโคเบยนของ X, Y เทยบกบ u, v คอ J(u, v) =
)y,x()V,U(
1
โดยท )y,x()V,U(
=
yV
xV
yU
xU
= 2112 = 4 + 1 = 5
เพราะฉะนน J(u, v) = 51
เพราะฉะนน S
(x + 2y)2 cos( 41(2x - y)) dA
= T
f(X(u, v), Y(u, v)) J(u, v) dudv
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 8
S
(x + 2y)2 cos( 41(2x - y)) dA
= T
f(X(u, v), Y(u, v)) J(u, v) dudv
= T
2v cos( 4u ) 5
1 dudv
= 51
2
2
2v cos( 4u ) dvdu
= 51
cos( 4u ) [ 3
v3 ] 2v
2v du
= 151
cos( 4u )(8 3 + 8 3 ) du
= 1516 3
cos( 4u ) du
= 1516 3 [ 4 sin( 4
u ) ]
uu
= 1516 3 (sin( 4
) - sin(- 4))
= 1516 3 (
21 +
21 ) = 15
264 3
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 9
ตวอยาง 4.1.3 จงหาคาของ 1
0y1
0yx (x - 2y)2 dxdy
วธทา ให u = U(x, y) = x + y และ v = V(x, y) = x - 2y ตวอยาง จด (2
1 , 41) ในบรเวณ S
ถกสงไปยงจด ( 43 , 0) ในระนาบ UV
บรเวณของการอนทเกรตคอ S = {(x, y) 0 x 1 - y, 0 y 1} ซงคอบรเวณทแรเงาในรปท 4.1.3 (ก)
รปท 4.1.3 (ก) รปท 4.1.3 (ข)
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 10
1. เสนตรง x + y = 1 ในระนาบ XY ถกสงไปยง เสนตรง u = 1 ในระนาบ UV 2. เสนตรง x = 0 ในระนาบ XY ถกสงไปยง เสนตรง v = -2u ในระนาบ UV 3 เสนตรง y = 0 ในระนาบ XY ถกสงไปยง เสนตรง v = u ในระนาบ UV เพราะฉะนนบรเวณ S ในระนาบ XY ถกสงไปยงบรเวณ T ในระนาบ UV โดยท T = {(u, v) 0 u 1, -2u v u} ซงมกราฟดงรปท 4.1.3 (ข) จาโคเบยนของ X, Y เทยบกบ u, v คอ J(u, v) =
)y,x()V,U(
1
โดยท )y,x()V,U(
=
yV
xV
yU
xU
= 2111 = -2 - 1 = -3
เพราะฉะนน J(u, v) = -31
เพราะฉะนน 1
0y1
0yx (x - 2y)2 dxdy
= T
f(X(u, v), Y(u, v)) J(u, v) dudv
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 11
1
0y1
0yx (x - 2y)2 dxdy
= T
u 2v -31 dudv = 3
1 1
0
u
u2u 2v dvdu
= 31
1
0u [ 3
v3 ] u2vuv
du
= 91
1
0u ( 3u + 8 3u ) du
= 1
0
27
u du = [ 92 2
9u ] 0u
1u = 9
2
Matlab
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 12
การเปลยนตวแปรระหวาง ระบบพกดฉาก (x, y) กบ ระบบพกดเชงขว (r, ) ฟงกชนแสดงความสมพนธของตวแปรคอ x = X(r, ) = r cos y = Y(r, ) = r sin เพราะวาจดบนระนาบในระบบพกดเชงขว สามารถเขยนพกดเชงขวไดมากกวาหนงแบบ เพอใหการสงจด (r, ) จากระบบพกดเชงขวไปยงจด (x, y) ในระบบพกดฉากเปนแบบหนงตอหนงเราจาเปนตองกาหนดขอบเขตคาของ r และ โดยให r 0 และ [ 0 , 0 + 2] หมายเหต นยมให 0 = 0 หรอ 0 = - 2
ความสมพนธของ r, ในพจนของ x, y คอ r = 22 yx และ tan = x
y เมอ x 0
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 13
การเปลยนตวแปรจากระบบพกดฉากเปนระบบพกดเชงขว มจาโคเบยนของ X, Y เทยบกบ r, คอ
J(r, ) = ),r()Y,X(
= Y
rY
XrX
= cos rsin rsincos
= r 2cos + r 2sin = r เพราะฉะนน J(r, ) = r เพราะฉะนน S
f(x, y) dxdy = T
f(r cos , r sin ) r drd
เมอ T = {(r, ) (r cos , r sin ) S}
ตวอยาง 4.1.4 จงหาคาของ
2
2
2x4
2x4
( 2x + 2y ) dydx
วธทา บรเวณของการอนทเกรตคอ S = {(x, y) - 2x4 y 2x4 , -2 x 2} จาก y = 2x4 จะได 2x + 2y = 4 บรเวณของการอนทเกรต S เปนวงกลมรศม 2 จดศนยกลางอยทจด (0, 0) ดงรปท 4.1.4 (ก) จากการเปลยนตวแปร x = r cos และ y = r sin
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 14
บรเวณของการอนทเกรต S จะเปลยนเปน บรเวณของการอนทเกรตในระบบพกดเชงขวคอ T = {(r, ) 0 r 2, 0 2} ดงรปท 4.1.4 (ข)
รปท 4.1.4 (ก) รปท 4.1.4 (ข)
เพราะฉะนน
2
2
2x4
2x4
( 2x + 2y ) dydx
= 2
02
0
2r r drd = 2
02
0
3r drd
= 2
0[ 4
r4 ] 0r2r
d =
2
04 d
= 4[ ] 02
= 8
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 15
หมายเหต ในการพจารณาลมตของการอนทเกรตในระบบพกดเชงขว จะเหนวาเราสามารถพจารณาคาของ r และ ไดจากบรเวณ S ในระนาบ XY โดยเปลยนสมการของเสนโคงซงปดลอมบรเวณ S ใหอยในระบบพกดเชงขว เราจงไมจาเปนตองเขยนรปของบรเวณ T ในระนาบ R
ตวอยาง 4.1.5 จงหาคาของ 2
2
22 4 y
22 4 y
2 2x y dxdy
วธทา บรเวณของการอนทเกรต คอ S = {(x, y) 2 - 24 y x 2 + 24 y , -2 y 2} จาก x = 2 24 y จะได x - 2 = 24 y หรอ (x - 2)2 + 2y = 4
รปท 4.1.5
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 16
จะเหนวา S เปนบรเวณทปดลอมดวยวงกลมรศม 2 จดศนยกลางอยทจด (2, 0) ดงรปท 4.1.5 โดยการเปลยนตวแปร ให x = r cos และ y = r sin เขยนสมการของวงกลม (x - 2)2 + 2y = 4 ในระบบพกดเชงขวไดเปน 2x + 2y - 4x = 0 2r - 4r cos = 0 r = 4 cos
เพราะฉะนน 2
2
22 4 y
22 4 y
2 2x y dxdy
= 2
2
4cos
0 r r drd
= 2
2
4cos
0 2r drd
= 2
2
[ 3r
3 ] r 4cosr 0 d
= 643 2
2
2cos d
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 17
= 643 2
2
2cos cos d
= 643
= 2
= 2
(1 - 2sin ) d(sin )
= 643 [ sin - 3sin
3 ] 2
2
= 643 [(sin( 2
) - 13
3sin ( 2 )) - (sin(- 2
) - 13
3sin (- 2 ))]
= 643 [ (1 - 1
3) - (-1 + 13) ]
= 643 ( 2
3 + 23 )
= 2569
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 18
ตวอยาง 4.1.6 จงหาคาของ S cos( 2x + 2y ) dA
เมอ S เปนบรเวณในจตภาคทหนง ซงปดลอมดวยวงกลม 2x + 2y = 4 เสนตรง y = 0 และ y = x วธทา บรเวณ S คอบรเวณทแรเงาในรปท 4.1.6
รปท 4.1.6 เขยนสมการของวงกลม 2x + 2y = 4 ในระบบพกดเชงขวไดเปน r = 2 และ เขยนสมการของเสนตรง y = x ในระบบพกดเชงขวไดเปน = 4
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 19
เพราะฉะนน S cos( 2x + 2y ) dA = 4
0
2
0 cos( 2r ) r drd
= 12 4
0
r 2
r 0
cos( 2r ) d( 2r ) d
= 12 4
0
[ sin( 2r ) ] r 2r 0 d
= 12 4
0
(sin 4 - sin 0) d
= 12 4
0
(sin 4) d
= 12 (sin 4)[ ] 2
0
= 8 (sin 4)
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 20
ขอสงเกต 1. การหาพนทของบรเวณ S ในระบบพกดเชงขว เมอ S เปนบรเวณในระนาบ XY ทาไดดงน เราทราบแลววา พนทของ S =
S 1 dA
โดยการเปลยนตวแปรเปนระบบพกดเชงขว สมมตวาบรเวณ S ในระนาบ XY เปลยนเปนบรเวณ T ในระนาบ R โดยท T = {(r, ) g() r f(), } ดงรปท 4.1.7
รปท 4.1.7
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 21
เพราะฉะนน พนทของ S = S 1 dA
= T r drd
=
f ( )
g( )
r drd
ในกรณท g() = 0 จะไดบรเวณ T = {(r, ) 0 r f(), } ดงรปท 4.1.8
รปท 4.1.8 เพราะฉะนน พนทของ T =
f ( )
0 r drd
=
12 (f())2d
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 22
2. ในกรณท z = f(x, y) = f(r cos , r sin ) 0 และ S เปนบรเวณในระนาบ XY ซงเปลยนเปนบรเวณ T = {(r, ) g() r f(), } ในระนาบ R จะไดวา
S f(x, y) dA =
f ( )
g( )
f(r cos , r sin ) r drd
เปนปรมาตรของรปทรงตนซง มฐานอยบนระนาบ XY (z = 0) เปนบรเวณ S และดานบนปดลอมดวยพนผว z = f(x, y) ในกรณทรปทรงตนมฐานอยบนระนาบ z = 0z ซงมภาพฉายบนระนาบ XY เปนบรเวณ S และดานบนปดลอมดวยพนผว z = f(x, y) จะไดวา ปรมาตร =
S (f(x, y) - 0z ) dA
=
f ( )
g( )
(f(r cos , r sin ) - 0z ) r drd
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 23
ตวอยาง 4.1.7 จงหาพนทของบรเวณในจตภาคทหนง ซงอยภายในวงกลม 2x + 2y = 1 และวงกลม 2x + 2y = 2y วธทา ให S เปนบรเวณในจตภาคทหนงซงอย ภายในวงกลม 2x + 2y = 1 และวงกลม 2x + 2y = 2y จาก 2x + 2y = 2y จะได 2x + (y - 1)2 = 1 เราสามารถเขยนรปแสดงบรเวณ S ดงบรเวณทแรเงาในรปท 4.1.9 (ก)
รปท 4.1.9 (ก) รปท 4.1.9 (ข) จะเหนวาเราตองแบงบรเวณของการอนทเกรตออกเปน 2 สวน คอ 1S และ 2S ดงรปท 4.1.9 (ข) เขยนสมการของวงกลม 2x + 2y = 1 ในระบบพกดเชงขวไดเปน r = 1 และเขยนสมการของวงกลม 2x + 2y = 2y ในระบบพกดเชงขวไดเปน r = 2 sin
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 24
หาจดตดระหวาง r = 1 และ r = 2 sin จะไดวา 2 sin = 1 หรอ sin = 1
2 ดงนน = 6
เพราะฉะนนบรเวณของการอนทเกรต 1S และ 2S จะเปลยนเปนบรเวณของการอนทเกรตในระบบพกดเชงขวคอ
1T = {(r, ) 0 r 2 sin , 0 6 }
2T ={(r, ) 0 r 1, 6 2
} เพราะฉะนน พนท =
1S 1 dA +
2S 1 dA
= 6
0
2sin
0 r drd + 2
6
1
0 r drd
= 6
0
[ 2r2 ] r 2sin
r 0 d + 2
6
[ 2r
2 ] r 1r 0 d
= 6
0
2 2sin d + 2
6
12 d
= 6
0
(1 - cos 2) d + 12 [ ] 6
0
= [ - 12 sin 2 ] 6
0
+ 1
2 ( 2 - 6
)
= ( 6 - 3
4 ) + 6
= 3 - 3
4 ตารางหนวย
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 25
ตวอยาง 4.1.8 จงหาปรมาตรของรปทรงตนเหนอระนาบ XY ซงดานบนปดลอมดวยพนผว z = 1 + 2x + 2y และปดลอมดานขางดวยทรงกระบอกตรงทมฐานเปนวงกลม r = 2 sin บนระนาบ XY วธทา รปท 4.1.10 แสดงบรเวณทเปนฐานของรปทรงตนซงปดลอมดวยเสนโคง r = 2 sin
รปท 4.1.10 เขยนสมการ z = 1 + 2x + 2y ในระบบพกดเชงขวไดเปน z = 1 + 2r เพราะฉะนนปรมาตรของรปทรงตน =
0 2sin
0 (1 + 2r ) r drd
= 0 [ 2r
2 + 4r4 ] r 2sin
r 0 d
= 0 (2 2sin + 4 4sin ) d
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 26
= 2 0 2sin d + 4
0 4sin d ... (1)
เพราะวา 0 2sin d =
0 1 cos2
2 d
= [ 12 - 1
4 sin 2 ] 0 = 2
... (2)
และ 0 4sin d =
0 (1 cos2
2 )2 d
= 14
0 (1 - 2 cos 2 + 2cos 2) d
= 14
0 (1 - 2 cos 2 + 1 cos4
2 ) d
= 14
0 ( 3
2 - 2 cos 2 + 12 cos 4) d
= 14 [ 3
2 - sin 2 + 18 sin 4 ] 0
= 38 ... (3)
เพราะฉะนนจาก (1), (2), (3) จะไดวาปรมาตรของรปทรงตน = 2( 2
) + 4(38 ) = 5
2 ลกบาศกหนวย
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 27
4.2 อนทกรลของฟงกชนของสามตวแปร บนโดเมนรปทรงสเหลยมมมฉาก ให 1a , 1b , 2a , 2b , 3a , 3b เปนจานวนจรง และ 1a 1b , 2a 2b และ 3a 3b ให D = {(x, y, z) 1a x 1b , 2a y 2b , 3a z
3b } = [ 1a , 1b ] [ 2a , 2b ] [ 3a , 3b ] จะได D เปนรปทรงสเหลยมมมฉากใน 3R ดงรปท 4.2.1
รปท 4.2.1 ให f : D R การหาคาอนทกรลของฟงกชนของสามตวแปร เราใชหลกการ เดยวกนกบการหาคาอนทกรลของฟงกชนของสองตวแปร แบง D ออกเปนรปทรงสเหลยมมมฉากยอย ๆ โดย แบง [ 1a , 1b ] ดวยจด 0x , 1x , 2x , ... , mx โดยท 1a = 0x 1x 2x ... mx = 1b
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 28
แบง [ 2a , 2b ] ดวยจด 0y , 1y , 2y , ... , ny โดยท 2a = 0y 1y 2y ... ny = 2b แบง [ 3a , 3b ] ดวยจด 0z , 1z , 2z , ... , pz โดยท 3a = 0z 1z 2z ... pz = 3b ให ijkD = [ 1ix , ix ] [ 1jy , jy ] [ 1kz , kz ] เปนสวนแบงยอยของ D ซงมปรมาตรเทากบ ijkV = ( ix )( jy )( kz ) เมอ ix = ix - 1ix เมอ i = 1, 2, 3, ... , m jy = jy - 1jy เมอ j = 1, 2, 3, ... , n kz = kz - 1kz เมอ k = 1, 2, 3, ... , p ให ( ijkx , ijky , ijkz ) ijkD f เปนฟงกชนคาจรงบนโดเมน D จะไดผลบวกรมนนของ f บน D คอ mnpS เมอ
mnpS =
m
1 i
n
1 j
p
1 k f( ijkx , ijky , ijkz ) ijkV
ถา
pnmlim mnpS มคา และมคาเทากน
สาหรบทก ๆ วธแบง D เปนรปทรงสเหลยมมมฉากยอย ๆ ในลกษณะทเสนทะแยงมมของทกรปทรงสเหลยมมมฉากยอย มคาเขาสศนย เมอ m, n และ p มคาเขาสอนนต แลว เรากลาววา f เปน ฟงกชนทอนทเกรตไดบน D
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 29
คาลมตทหาไดน เรยกวา อนทกรลสามชนของ f บน D หรอเรยกสน ๆ อนทกรลของ f บน D ซงเขยนแทนดวยสญลกษณ
Df,
Df dV,
D
f(x, y, z) dV หรอ D
f(x, y, z) dxdydz
D เรยกวา โดเมนของการอนทเกรต หรอ บรเวณของการอนทเกรต เพราะฉะนน ถา f อนทเกรตไดบน D แลว จะได
D
f dV =
pnmlim
m
1 i
n
1 j
p
1 k f( ijkx , ijky , ijkz ) ijkV
ทฤษฎบทตอไปนจะบอกใหเราทราบวา ฟงกชนในแบบใดจะเปนฟงกชนทอนทเกรตไดบนโดเมน D ทฤษฎบท 4.2.1 ให f : D R เมอ D = {(x, y, z) 1a x 1b , 2a y 2b , 3a z 3b } = [ 1a , 1b ] [ 2a , 2b ] [ 3a , 3b ] ถา f มความตอเนองบน D หรอ บรเวณท f ไมมความตอเนองมปรมาตรเปนศนย (เชน เซตของจดจานวนจากดจด) แลว จะได f เปนฟงกชนทอนทเกรตไดบน D
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 30
การคานวณคา D
f dV
ใชวธซงเรยกวา อนทเกรตซอน โดยการอนทเกรตเทยบกบตวแปรทละตวเชน ขนท 1. อนทเกรตเทยบกบ z กอน โดยถอวา x และ y
มคาคงตว จะได 3b
3af(x, y, z) dz = g(x, y)
ผลลพธทไดจะเปนฟงกชนของ x และ y ตอไปกอนทเกรตเทยบกบ y หรอ x ขนท 2. อนทเกรต g(x, y) เทยบกบ y
โดยถอวา x มคาคงตว จะได 2b
2ag(x, y) dy = h(x)
ขนท 3. อนทเกรต h(x) เทยบกบ x จะได 1b
1ah(x) dx = A
จากขนท 1. ถง ขนท 3. คา A เรยกวา อนทกรลซอนของ f เทยบกบ z, y และ x ตามลาดบ
และเขยนแทนดวยสญลกษณ 1b
1a2b
2a3b
3af(x, y, z) dzdydx
เพราะฉะนน 1b
1a2b
2a3b
3af(x, y, z) dzdydx
= 1b
1a[
2b
2a[
3b
3af(x, y, z) dz] dy] dx
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 31
ในทานองเดยวกนการอนทเกรตซอน D
f dV
เราสามารถหาอนทกรลซอนของ f เทยบกบตวแปร x, y และ z ในลาดบตาง ๆ ไดทงหมด 6 แบบ คอ 1. อนทกรลซอนของ f เทยบกบ x, y และ z ตามลาดบ
เขยนแทนดวย 3b
3a2b
2a1b
1af(x, y, z) dxdydz
2. อนทกรลซอนของ f เทยบกบ x, z และ y ตามลาดบ
เขยนแทนดวย 2b
2a3b
3a1b
1af(x, y, z) dxdzdy
3. อนทกรลซอนของ f เทยบกบ y, x และ z ตามลาดบ
เขยนแทนดวย 3b
3a1b
1a2b
2af(x, y, z) dydxdz
4. อนทกรลซอนของ f เทยบกบ y, z และ x ตามลาดบ
เขยนแทนดวย 1b
1a3b
3a2b
2af(x, y, z) dydzdx
5. อนทกรลซอนของ f เทยบกบ z, x และ y ตามลาดบ
เขยนแทนดวย 2b
2a1b
1a3b
3af(x, y, z) dzdxdy
6. อนทกรลซอนของ f เทยบกบ z, y และ x ตามลาดบ
เขยนแทนดวย 1b
1a2b
2a3b
3af(x, y, z) dzdydx
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 32
โดยทวไปคาอนทกรลซอนของ f เทยบกบตวแปร x, y, z ในลาดบทตางกน ไมจาเปนตองมคาเทากน แตในกรณท f เปนฟงกชนทอนทเกรตไดบน D จะไดอนทกรลซอนทงหกแบบขางตนจะมคาเทากนและมคาเทากบอนทกรลสามชนของ f บน D ซง ในบทน เราจะกลาวถงการหาคาอนทกรลสามชนของฟงกชนทอนทเกรตไดบนโดเมนทกาหนดใหเทานน โดยเราสามารถหาคาอนทกรลไดดวยวธอนทเกรตซอน
ขอสงเกต คาอนทกรลสามชนของ f บน D คอคาลมตของผลบวกทางพชคณตของผลคณระหวางคาของฟงกชน ณ จดใดๆ ในรปทรงสเหลยมมมฉากยอย ijkD กบ ปรมาตรของ ijkD เพราะฉะนน 1. ถา f(x, y, z) คอความหนาแนนของวตถ D ณ จด (x, y, z) แลว
Df dV คอมวลของ D
2. ถา f(x, y, z) = 1 ทก (x, y, z) D แลว
Df dV คอปรมาตรของ D
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 33
ตวอยาง 4.2.1 ให f(x, y, z) = 3 2x z + 2y และ D = [1, 2] [1, 3] [2, 3] จงหาคาอนทกรลสามชนของ f บน D
วธทา D
f dV = 2
13
23
1(3 2x z + 2y) dydzdx
(เลอกอนทเกรตเทยบกบ y, z และ x ตามลาดบ)
= 2
13
2[ 3 2x zy + 2y ] 1y
3y dzdx
= 2
13
2(3 2x z(3 - 1) + (9 - 1)) dzdx
= 2
13
2(6 2x z + 8) dzdx
= 2
1[ 3 2x 2z + 8z ] 2z
3z dx
= 2
1[3 2x (9 - 4) + 8(3 - 2)] dx
= 2
1(15 2x + 8) dx
= [ 5 3x + 8x ] 1x2x
= (40 + 16) - (5 + 8) = 43
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 34
ตวอยาง 4.2.2 จงหาคาของ
2
03
04
0(24 - 2x - 3y - 4z) dxdydz
วธทา 2
03
04
0(24 - 2x - 3y - 4z) dxdydz
= 2
03
0[24x - 2x - 3yx - 4zx] 0x
4x dydz
= 2
03
0(24(4 - 0) - (16 - 0) - 3y(4 - 0) - 4z(4 - 0)) dydz
= 2
03
0(80 - 12y - 16z) dydz
= 2
0[ 80y - 6 2y - 16 zy ] 0y
3y dydz
= 2
0(80(3 - 0) - 6(9 - 0) - 16z(3 - 0)) dz
= 2
0(186 - 48 z) dz
= [186 z - 24 2z ] 0z2z
= 186(2 - 0) - 24(4 - 0) = 276
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 35
4.3 อนทกรลของฟงกชนของสามตวแปรบนโดเมนทวไป ในหวขอนจะพจารณาอนทกรลของฟงกชนของสามตวแปร f เมอบรเวณของการอนทเกรตเปนรปทรงตนซงลอมรอบดวยพนผวใน 3R ให f : S R เมอ S 3R โดยท S เปนเซตปดและมขอบเขต ดงรปท 4.3.1 (ก) สรางรปทรงสเหลยมมมฉาก D = [ 1a , 1b ] [ 2a , 2b ] [ 3a , 3b ] ครอบคลม S ดงรปท 4.3.1 (ข)
รปท 4.3.1 (ก) รปท 4.3.1 (ข)
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 36
ให f~ เปนฟงกชนทนยามบน D โดยมคาดงน
f~(x, y, z) =
Sz) y, (x,0
Sz) y, (x,z) y, x,(f
เมอ
เมอ
ถา f~ เปนฟงกชนทอนทเกรตไดบน D เราจะกลาววา f เปนฟงกชนทอนทเกรตไดบน S โดยนยามวา อนทกรลของ f บน S มคาเทากบ
Df~(x, y, z) dV
และเขยนแทนดวยสญลกษณ S
f, S
f dV,
S
f(x, y, z) dV หรอ S
f(x, y, z) dxdydz
โดยเรยก S วา โดเมนของการอนทเกรต หรอ บรเวณของการอนทเกรต เพราะฉะนน
Sf dV =
Df~ dV
เมอ f~ เปนฟงกชนทอนทเกรตไดบน D
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 37
ตอไปเราจะพจารณาบรเวณ S ซงกาหนดโดย S = {(x, y, z) 1a x 1b , 1 (x) y 2 (x) และ g(x, y) z h(x, y)} โดยท 1 , 2 ตอเนองบน [ 1a , 1b ] และ g, h ตอเนองบนเซต R เมอ R = {(x, y) 1a x 1b และ 1 (x) y 2 (x)} เพราะฉะนน S เปนทรงตนทปดลอม ดานบนและดานลางดวย พนผว z = h(x, y) และ z = g(x, y) ปดดานขางดวยทรงกระบอก y = 1 (x) และ y = 2 (x) และ ปดดานหนาและดานหลงดวย ระนาบ x = 1b และ x = 1a ดงรปท 4.3.2
รปท 4.3.2
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 38
ให f : S R เปนฟงกชนตอเนองบน S ให D = [ 1a , 1b ] [ 2a , 2b ] [ 3a , 3b ] เปนรปทรงสเหลยมมมฉากซงครอบคลมเซต S
กาหนด f~(x, y, z) =
Sz) y, (x,0
Sz) y, (x,z) y, x,(f
เมอ
เมอ
จะไดบรเวณท f~ ไมตอเนอง คอพนผวทลอมรอบเซต S ซงมปรมาตรเปนศนย เพราะฉะนนอนทกรลสามชนของ f~ บน D มคา จงไดวา อนทกรลสามชนของ f บน S มคา และ
DS dV =
Df~ dV
เพราะวา D ครอบคลมเซต S เพราะฉะนน แผนสเหลยมผนผา [ 1a , 1b ] [ 2a , 2b ] บนระนาบ XY จะครอบคลมเซต R ดงรปท 4.3.3
รปท 4.3.3
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 39
R = {(x, y) 1a x 1b และ 1 (x) y 2 (x)} เพราะวา ถา (x, y) R แลว จะม z ททาให (x, y, z) S เพราะฉะนน f~(x, y, z) = f(x, y, z) และ ถา (x, y) R แลว จะไมม z ททาให (x, y, z) S เพราะฉะนน f~(x, y, z) = 0 เพราะฉะนน คาอนทกรลสามชนของ f~ บนบรเวณท (x, y) R มคาเปนศนย สาหรบ (x, y) R
3b
3af~(x, y, z) dz
= )y,x(g
3af~(x, y, z) dz +
y) h(x,
y) g(x,f~(x, y, z) dz +
3b
)y,x(hf~(x, y, z) dz
= )y ,x(g
3a0 dz +
y) h(x,
y) g(x,f(x, y, z) dz +
3b
)y,x(h0 dz
= y) h(x,
y) g(x,f(x, y, z) dz
= F(x, y)
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 40
เพราะฉะนน D
f dV = R
F(x, y) dxdy
= 1b
1a
)x(2
)x(1
F(x, y) dydx
= 1b
1a
)x(2
)x(1
[ y) h(x,
y) g(x,f(x, y, z) dz] dydx
เพราะฉะนน
S
f dV = 1b
1a
)x(2
)x(1
y) h(x,
y) g(x,f(x, y, z) dzdydx ... (*)
ซงอนทกรลทางขวามอของสมการ (*) กคอ อนทกรลซอนของ f เทยบกบ z, y และ x ตามลาดบ
บทนยาม 4.3.1 S 3R ภาพฉายของ S บนระนาบ XY = {(x, y) ม z ซง (x, y, z) S} ภาพฉายของ S บนระนาบ YZ = {(y, z) ม x ซง (x, y, z) S} ภาพฉายของ S บนระนาบ XZ = {(x, z) ม y ซง (x, y, z) S}
ขอสงเกต การพจารณาบรเวณ S ตามทกาหนดขางตน เปนการพจารณาโดยกาหนดให S มภาพฉายบนระนาบ XY เปนบรเวณ R ในกรณเชนนเราจะหาคาอนทกรลสามชนโดยอนทเกรตเทยบกบ z กอน แลวจงอนทเกรตผลทไดเทยบกบ y แลวตามดวย x
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 41
หมายเหต 1. ถา f ตอเนองบน S แลว S
f dV มคา
2. ถา บรเวณท f ไมตอเนองมปรมาตรเปนศนย (เชน จดหนงจด) แลว
Sf dV มคา
3. ถา f(x, y, z) = 1 ทก (x, y, z) S แลว
Sf dV คอปรมาตรของ S
ลาดบของการอนทเกรต ให f : S R เมอ S 3R และ f เปนฟงกชนตอเนองบน S การหาคา
Sf dV โดยการอนทเกรตเทยบกบตวแปร x, y, z
ดวยลาดบของ x, y, z ทตาง ๆ กน มทงหมด 6 แบบคอ 1. ในกรณท S สามารถเขยนไดเปน S = {(x, y, z) 3a z 3b , 1 (z) y 2 (z), g(y, z) x h(y, z)} โดยท 1 , 2 ตอเนองบน [ 3a , 3b ] และ g, h ตอเนองบน R เมอ R เปนภาพฉายของ S บนระนาบ YZ ซง R = {(y, z) 3a z 3b , 1 (z) y 2 (z)}
จะได S
f dV = 3b
3a
)z(2
)z(1
z) h(y,
z) g(y,f(x, y, z) dxdydz
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 42
2. ในกรณท S สามารถเขยนไดเปน S = {(x, y, z) 2a y 2b , 1 (y) z 2 (y), g(y, z) x h(y, z)} โดยท 1 , 2 ตอเนองบน [ 2a , 2b ] และ g, h ตอเนองบน R เมอ R เปนภาพฉายของ S บนระนาบ YZ ซง R = {(y, z) 2a y 2b , 1 (y) z 2 (y)}
จะได S
f dV = 2b
2a
)y(2
)y(1
z) h(y,
z) g(y,f(x, y, z) dxdzdy
3. ในกรณท S สามารถเขยนไดเปน S = {(x, y, z) 3a z 3b , 1 (z) x 2 (z), g(x, z) y h(x, z)} โดยท 1 , 2 ตอเนองบน [ 3a , 3b ] และ g, h ตอเนองบน R เมอ R เปนภาพฉายของ S บนระนาบ XZ ซง R = {(x, z) 3a z 3b , 1 (z) x 2 (z)}
จะได S
f dV = 3b
3a
)z(2
)z(1
z) h(x,
z) g(x,f(x, y, z) dydxdz
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 43
4. ในกรณท S สามารถเขยนไดเปน S = {(x, y, z) 1a x 1b , 1 (x) z 2 (x), g(x, z) y h(x, z)} โดยท 1 , 2 ตอเนองบน [ 1a , 1b ] และ g, h ตอเนองบน R เมอ R เปนภาพฉายของ S บนระนาบ XZ ซง R = {(x, z) 1a x 1b , 1 (x) z 2 (x)}
จะได S
f dV = 1b
1a
)x(2
)x(1
z) h(x,
z) g(x,f(x, y, z) dydzdx
5. ในกรณท S สามารถเขยนไดเปน S = {(x, y, z) 2a y 2b , 1 (y) x 2 (y), g(x, y) z h(x, y)} โดยท 1 , 2 ตอเนองบน [ 2a , 2b ] และ g, h ตอเนองบน R เมอ R เปนภาพฉายของ S บนระนาบ XY ซง R = {(x, y) 2a y 2b , 1 (y) x 2 (y)}
จะได S
f dV = 2b
2a
)y(2
)y(1
y) h(x,
y) g(x,f(x, y, z) dzdxdy
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 44
6. ในกรณท S สามารถเขยนไดเปน S = {(x, y, z) 1a x 1b , 1 (x) y 2 (x), g(x, y) z h(x, y)} โดยท 1 , 2 ตอเนองบน [ 1a , 1b ] และ g, h ตอเนองบน R เมอ R เปนภาพฉายของ S บนระนาบ XY ซง R = {(x, y) 1a x 1b , 1 (x) y 2 (x)}
จะได S
f dV = 1b
1a
)x(2
)x(1
y) h(x,
y) g(x,f(x, y, z) dzdydx
เนองจากทง 6 รปแบบของอนทกรลซอนของ f บนบรเวณของการอนทเกรต S จะมคาเทากน เพราะฉะนนในการหาคาอนทกรลสามชนของ f บน S เราจงควรเลอกเขยน S ในรปแบบทเหมาะสม เพอใหงายตอการคานวณ
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 45
ตวอยาง 4.3.1 จงหาคาของ S
4( 2x + 3 2y ) dV
เมอ S = {(x, y, z) 0 x 4, 0 y 2x, 0 z 4 - 4x2 }
วธทา
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 46
เราจะหาคา S
4( 2x + 3 2y ) dV
โดยเปลยน dV เปน dzdydx รปท 4.3.4 (ก) แสดงบรเวณของการอนทเกรต S และ รปท 4.3.4 (ข) แสดงภาพฉายของ S บนระนาบ XY รปท 4.3.4 (ก) รปท 4.3.4 (ข) ภาพฉายของ S บนระนาบ XY คอ {(x, y) 0 x 4, 0 y 2x} เพราะฉะนน
S
4( 2x + 3 2y ) dV = 4
0x2
0 4
2x 4
04( 2x + 3 2y ) dzdydx
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 47
S
4( 2x + 3 2y ) dV = 4
0x2
0 4
2x 4
04( 2x + 3 2y ) dzdydx
= 4
0x2
04( 2x + 3 2y )[ z ] 0z
4x4z
2
dydx
= 4
0x2
04( 2x + 3 2y )(4 -
4x 2 - 0) dydx
= 4
0x2
0(16 - 2x )( 2x + 3 2y ) dydx
= 4
0(16 - 2x )[ 2x y + 3y ] 0y
x2y dx
= 4
0(16 - 2x )[ 2x (2x - 0) + (8 3x - 0)] dx
= 4
0(16 - 2x )(10 3x ) dx
= 10 4
0(16 3x - 5x ) dx
= 10[ 4 4x - 6x6 ] 0x
4x
= 10( 54 - 646 )
= 10( 54 )(4 - 32)
= 310240
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 48
Matlab
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 49
ตวอยาง 4.3.2 จงหาคาของ S
(4 + 2z ) dV
เมอ S เปนรปทรงตนในอฐภาคทหนง ซงปดลอมดวยทรงกระบอก 2x + 2z = 4 และ 2y + 2z = 4 วธทา
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 50
เราจะหาคา S
(4 + 2z ) dV
โดยเปลยน dV เปน dxdydz รปท 4.3.5 (ก) แสดงบรเวณของการอนทเกรต S และ รปท 4.3.5 (ข) แสดงภาพฉายของ S บนระนาบ YZ รปท 4.3.5 (ก) รปท 4.3.5 (ข) บรเวณของการอนทเกรต S = {(x, y, z) 0 z 2, 0 y 2z4 , 0 x
2z4 } ภาพฉายของ S บนระนาบ YZ คอ {(y, z) 0 z 2, 0 y 2z4 }
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 51
S
(4 + 2z ) dV = 2
0 2z4
0
2z4
0(4 + 2z ) dxdydz
= 2
0 2z4
0(4 + 2z )[ x ] 0x
z4x 2
dydz
= 2
0 2z4
0(4 + 2z ) 2z4 dydz
= 2
0(4 + 2z ) 2z4 [ y ] 0y
z4y 2
dz
= 2
0(4 + 2z ) 2z4 2z4 dz
= 2
0(4 + 2z )(4 - 2z ) dz
= 2
0(16 - 4z ) dz
= [ 16z - 5z5 ] 0z
2z
= 32 - 532
= 5128
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 52
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 53
ตวอยาง 4.3.3 จงหาปรมาตรของรปทรงตน ทลอมรอบดวยพนผว z = 2x + 2y และ z = 8 - 2x - 2y วธทา
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 54
ให S เปนรปทรงตนทกาหนดให ซงแสดงไดดงรปท 4.3.6 (ก) รปท 4.3.6 (ก) รปท 4.3.6 (ข) รอยตดของพนผว z = 2x + 2y ... (1) และ z = 8 - 2x - 2y ... (2) หาไดจาก 2x + 2y = 8 - 2x - 2y 2 2x + 2 2y = 8 2x + 2y = 4 เพราะฉะนนภาพฉายของ S บนระนาบ XY เปนวงกลม 2x + 2y = 4 ดงรปท 4.3.6 (ข)
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 55
ปรมาตร = S
1 dV
=
2
2
2x4
2x4
2y2x8
2y2x
1 dzdydx
=
2
2
2x4
2x4
[ z ] 22
22
yxzyx8z
dydx
=
2
2
2x4
2x4
[(8 - 2x - 2y ) - ( 2x + 2y )] dydx
=
2
2
2x4
2x4
(8 - 2 2x - 2 2y ) dydx ... (1)
(อานขอสงเกตทายตวอยาง)
=
2
2[ 8y - 2 2x y - 3
2 3y ] 2
2
x4yx4y
dx
=
2
22[8 2x4 - 2 2x 2x4 - 3
2(4 - 2x ) 2x4 ] dx
=
2
2[4(4 - 2x ) 2x4 - (4 - 2x )3
4 2x4 ] dx
= 38
2
2(4 - 2x ) 2x4 dx
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 56
การหา
2
2 (4 - 2x ) 2x4 dx
ให x = 2 sin จะได dx = 2 cos d เมอ x = -2 จะได = - 2
เมอ x = 2 จะได = 2
เพราะฉะนน
2
2(4 - 2x ) 2x4 dx
=
2
2
(4 - 4 2sin ) 2sin44 2 cos d
=
2
2
(4 2cos )(2 cos )(2 cos ) d
= 16
2
2
4cos d
= 16
2
2
( 22cos1 )2 d
= 4
2
2
(1 + 2 cos 2 + 2cos 2) d
= 4
2
2
(1 + 2 cos 2 + 24cos1 ) d
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 57
=
2
2
(6 + 8 cos 2 + 2 cos 4) d
= [ 6 + 4 sin 2 + 21 sin 4 ]
2
2
= (3 + 0 + 0) - (-3 + 0 + 0) = 6 เพราะฉะนน ปรมาตร = 3
8(6) = 16
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 58
ขอสงเกต จาก (1) ในตวอยางขางตน
2
2
2x4
2x4
(8 - 2 2x - 2 2y ) dydx
เปนอนทกรลสองชนทมบรเวณของการอนทเกรตเปนรปวงกลม และตวถกอนทเกรตอยในรป 8 - 2 2x - 2 2y = 8 - 2( 2x + 2y ) ซงจะคานวณคาอนทกรลสองชนไดสะดวกขนเมอใชการอนทเกรตในระบบพกดเชงขว จะไดผลดงน
2
2
2x4
2x4
(8 - 2 2x - 2 2y ) dydx
= 2
02
0(8 - 2 2r ) r drd
= 2
02
0(8r - 2 3r ) drd
= 2
0[ 4 2r - 2
r4 ] 0r2r
d
= 2
0(16 - 8)d
= 8[ ] 02
= 16
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 59
ตวอยาง 4.3.4 จงหาคาของ S
48xyz dV
เมอ S เปนบรเวณปดลอมดวยทรงกระบอก z = 2 - 2x2
ระนาบ z = 0, y = x และ y = 0 โดยกาหนดลาดบของการอนทเกรตดงน 1. dzdydx 2. dydxdz วธทา บรเวณของการอนทเกรต S มภาพดงรปท 4.3.7 (ก) รปท 4.3.7 (ก) รปท 4.3.7 (ข) รปท 4.3.7 (ค)
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 60
1. เราจะหาคา S
48xyz dV
โดยอนทเกรตเทยบกบ z, y และ x ตามลาดบ ภาพฉายของ S บนระนาบ XY มกราฟดงรปท 4.3.7 (ข) S
48xyz dV
= 2
0x
0 2
2x 2
048xyz dzdydx
= 2
0x
024xy[ 2z ] 0z
2x2z
2
dydx
= 2
0x
024xy(2 - 2
x2 )2 dydx
= 2
012x(2 - 2
x2 )2[ 2y ] 0yxy
dx
= 2
012 3x (2 - 2
x2 )2 dx
= 2
012 3x (4 - 2 2x + 4
x4 ) dx
= 2
0(48 3x - 24 5x + 3 7x ) dx
= [ 12 4x - 4 6x + 83 8x ] 0x
2x
= 12( 42 ) - 4( 62 ) + 83( 82 )
= 32
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 61
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 62
2. เราจะหาคา S
6xyz dV
โดยอนทเกรตเทยบกบ y, x และ z ตามลาดบ ภาพฉายของ S บนระนาบ XZ มกราฟดงรปท 4.3.7 (ค) S
48xyz dV
= 2
0 z24
0
x
048xyz dydxdz
= 2
0 z24
024xz [ 2y ] 0y
xy dxdz
= 2
0 z24
024z 3x dxdz
= 2
06z [ 4x ] 0x
z24x
dz
= 2
06z(4 - 2z)2 dz
= 242
0z(2 - z)2 dz
= 242
0(4z - 4 2z + 3z ) dz
= 24[ 2 2z - 4( 3z3 ) + 4
z4 ] 0z2z
= 24(8 - 332 + 4)
= 32
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 63
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 64
ตวอยาง 4.3.5 จงเปลยนลาดบของการอนทเกรต
3
0 )x26(3
1
0
y3x26
0f(x, y, z) dzdydx เปน dydxdz
วธทา บรเวณของการอนทเกรต คอ S = {(x, y, z) 0 x 3, 0 y 3
1(6 - 2x), 0 z 6 - 2x - 3y} จากเงอนไขของ S จะได ฐานของ S อยบนระนาบ z = 0 และ ดานบนปดดวยระนาบ z = 6 - 2x - 3y เพราะฉะนนบรเวณ S มกราฟดงรปท 4.3.8 (ก) รปท 4.3.8 (ก) รปท 4.3.8 (ข) ภาพฉายของ S บนระนาบ XZ ปดลอมดวย แกน X แกน Z และเสนตรง x = 2
1(6 - z) ภาพฉายของ S บนระนาบ XZ มกราฟดงรปท 4.3.8 (ข)
เพราะฉะนน 3
0 )x26(3
1
0
y3x26
0f(x, y, z) dzdydx
= 6
0 )z6(2
1
0
)zx26(31
0f(x, y, z) dydxdz
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 65
4.4 การเปลยนตวแปรสาหรบอนทกรลสามชน กาหนดให เปลยนตวแปรจาก x, y, z ไปเปน u, v, w โดยให x = X(u, v, w) y = Y(u, v, w) และ z = Z(u, v, w) โดยทบรเวณ S ในปรภม XYZ เปลยนเปนบรเวณ T ในปรภม UVW จะไดจด (u, v, w) ในปรภม UVW ถกสงไปยงจด (x, y, z) ในปรภม XYZ เพราะฉะนนมฟงกชน r : T S กาหนดโดย r(u, v, w) = (X(u, v, w), Y(u, v, w), Z(u, v, w)) = (x, y, z) โดยท r เปนฟงกชนหนงตอหนง ถา u, v, w หาไดในพจนของ x, y, z โดยท u = U(x, y, z) v = V(x, y, z) และ w = W(x, y, z)
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 66
จะไดวามฟงกชน s : S T เปนฟงกชนผกผนของ r ซงกาหนดโดย s(x, y, z) = (U(x, y, z), V (x, y, z), W(x, y, z)) = (u, v, w) เราจะได
Sf(x, y, z) dxdydz
= T
f(X(u,v,w),Y(u,v,w),Z(u,v,w)) J(u, v, w) dudvdw
เมอ X, Y, Z มอนพนธอยางตอเนองบน T และ U, V, W มอนพนธอยางตอเนองบน S โดยท J(u, v, w) 0 บน T
เมอ J(u, v, w) = )w,v,u()Z,Y,X(
=
wZ
vZ
uZ
wY
vY
uY
wX
vX
uX
คอ ดเทอรมแนนตจาโคเบยนของ X, Y, Z เทยบกบ u, v, w การเปลยนตวแปรทสาคญและใชกนมาก ในการหาคาอนทกรลสามชนคอ ตวแปรในระบบพกดทรงกระบอก และ ตวแปรในระบบพกดทรงกลม
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 67
4.4.1 ความสมพนธระหวาง ระบบพกดฉาก กบ ระบบพกดทรงกระบอก ระบบพกดทรงกระบอกเปนระบบทกาหนด จด P(x, y, z) ในระบบพกดฉาก ดวยจดในพกดทรงกระบอก (r, , z) เมอ (r, ) เปนพกดเชงขวของ (x, y) ซงเปนภาพฉายของจด P บนระนาบ XY ฟงกชนแสดงความสมพนธของตวแปรคอ x = X(r, , z) = r cos y = Y(r, , z) = r sin z = Z(r, , z) = z ความสมพนธของ r, , z ในพจนของ x, y, z คอ r = 22 yx tan = x
y เมอ x 0 ซงเงอนไขสาหรบ r, คอ กาหนด r 0 และ [ 0 , 0 + 2] เมอ 0 = 0 หรอ 0 = - 2
รปท 4.4.1
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 68
ตวอยางเชน ระบบพกดฉาก ระบบพกดทรงกระบอก
จด (1, 1, 4) ( 2 , 4 , 4)
ทรงกระบอก 2x + 2y = 16
r = 4
ระนาบ y = x = 4
ครงทรงกลม z = 22 yx1 z = 2r1 พาราโบลอยด z = 2x + 2y z = 2r ครงกรวย z = 22 yx z = r ระนาบ x = 4 r cos = 4 ระนาบ y = 2 r sin = 2 ทรงกระบอกปดลอมดวย
2x + 2y = 4, z = 1, z = 4 r = 2, z = 1, z = 4
ขอสงเกต ในระบบพกดทรงกระบอก จะสงเกตไดวา 1. r = c เปนสมการของทรงกระบอกกลม ทมแกน Z เปนแกนของทรงกระบอก 2. = 0 เปนสมการทมแกน Z บนระนาบ และเสนตรงทเปน รอยตดของระนาบนน กบ ระนาบ XY ทามม 0 กบแกน X
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 69
การเปลยนตวแปรจากระบบพกดฉากเปนระบบพกด ทรงกระบอกม จาโคเบยน ของ X, Y, Z เทยบกบ r, , z คอ J(r, , z) = )z,,r(
)Z,Y,X(
=
zZZ
rZ
zYY
rY
zXX
rX
= 1000cos rsin0sinrcos
= r เพราะฉะนน J(r, , z) = r เพราะฉะนน S
f(x, y, z) dxdydz = T
f(r cos , r sin , z) r dzdrd
เมอ T = {(r, , z) (r cos , r sin , z) S}
การหา T ซงเปนพสยของ S ภายใตการเปลยนตวแปรนสามารถทาได โดยการเปลยนสมการของพนผวทลอมรอบทรงตน S ใหอยในระบบพกดทรงกระบอก แลว พจารณาคา r, และ z จากบรเวณของการอนทเกรต กจะไดบรเวณของการอนทเกรต T ในระบบพกดทรงกระบอก
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 70
ตวอยาง 4.4.1 ให S เปนทรงตนปดลอมดวยทรงกระบอก 2x + 2y = 4 และ ระนาบ z = 0 และ z = 5
จงหาปรมาตรของ S วธทา รปท 4.4.2 (ก) แสดงบรเวณ S และ รปท 4.4.2 (ข) แสดงภาพฉายของ S บนระนาบ XY รปท 4.4.2 (ก) รปท 4.4.2 (ข) ดวยการอนทเกรตในระบบพกดฉาก จะได ปรมาตร =
S1 dV
จากการเปลยนตวแปร x = r cos y = r sin และ z = z
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 71
1. สมการทรงกระบอก 2x + 2y = 4 ในระบบพกดฉาก เปลยนเปนสมการในระบบพกดทรงกระบอกไดเปน 2r = 4 เพราะฉะนน r = 2 บรเวณของการอนทเกรตในระบบพกดทรงกระบอกคอ T = {(r, , z) 0 2, 0 r 2, 0 z 5} เพราะฉะนน ปรมาตร =
S1 dV
= 2
02
05
01 r dzdrd
= 2
02
05
0r dzdrd
= 2
02
0r [ z ] 0z
5z drd
= 2
02
05r drd
= 2
05 [ 2
r2 ] 0r2r
d
= 2
010 d
= 10 [ ] 02
= 20
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 72
ตวอยาง 4.4.2 ให S เปนทรงตนในอฐภาคทหนงซงปดลอมดวยทรงกระบอก 2x + 2y = 4, 2x + 2y = 9 ระนาบ y = x, y = 3x, z = 0 และ ระนาบ z = 5 จงหาปรมาตรของ S วธทา ปรมาตร =
S1 dV
จากการเปลยนตวแปร x = r cos y = r sin z = z 1. สมการทรงกระบอก 2x + 2y = 4 ในระบบพกดฉาก เปลยนเปนสมการในระบบพกดทรงกระบอกไดเปน r = 2 2. สมการทรงกระบอก 2x + 2y = 9 ในระบบพกดฉาก เปลยนเปนสมการในระบบพกดทรงกระบอกไดเปน r = 3 3. สมการระนาบ y = x ในระบบพกดฉาก เปลยนเปนสมการในระบบพกดทรงกระบอกไดเปน = 4
4. สมการระนาบ y = 3x ในระบบพกดฉาก เปลยนเปนสมการในระบบพกดทรงกระบอกไดเปน = 3
เพราะฉะนน
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 73
บรเวณของการอนทเกรตในระบบพกดทรงกระบอก T คอ T = {(r, , z) 4
3 , 2 r 3, 0 z 5}
รปท 4.4.3 (ก) แสดงบรเวณ S และ รปท 4.4.3 (ข) แสดงภาพฉายของ S บนระนาบ XY รปท 4.4.3 (ก) รปท 4.4.3 (ข)
ปรมาตร = S
1 dV =
3
4
3
25
01 r dzdrd
=
3
4
3
2r [ z ] 0z
5z drd =
3
4
3
25r drd
=
3
4
5 [ 2r2 ] 2r
3r d =
3
4225 d
= 225 [ ]
4
3
= 225( 3
- 4)
= 2425
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 74
ตวอยาง 4.4.3 จงหาคาของ S
22 yx2 dV
เมอ S เปนทรงตนในอฐภาคทหนงซงอยภายในทรงกระบอก 2x + 2y = 1 และ ภายในทรงกลม 2x + 2y + 2z = 2
วธทา
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 75
รปท 4.4.4 (ก) แสดงบรเวณ S และ รปท 4.4.4 (ข) แสดงภาพฉายของ S บนระนาบ XY รปท 4.4.4 (ก) รปท 4.4.4 (ข) เปลยนสมการในระบบพกดฉาก เปน สมการในระบบพกดทรงกระบอกโดยใชความสมพนธ x = r cos y = r sin z = z 1. สมการทรงกระบอก 2x + 2y = 1 ในระบบพกดฉาก เปลยนเปนสมการในระบบพกดทรงกระบอกไดเปน 2r = 1 เพราะฉะนน r = 1
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 76
2. สมการทรงกลม 2x + 2y + 2z = 2 ในระบบพกดฉาก เปลยนเปนสมการในระบบพกดทรงกระบอกไดเปน 2r + 2z = 2 เพราะฉะนน z = 2r2 เพราะฉะนน บรเวณของการอนทเกรตในระบบพกดทรงกระบอกคอ T = {(r, , z) 0 2
, 0 r 1, 0 z 2r2 } เพราะฉะนน
S
22 yx2 dV = T
2r2 r dzdrd
= 2
01
0 2r2
0
2r2 r dzdrd
= 2
01
0r 2r2 [ z ] 0z
r2z 2
drd
= 2
01
0r 2r2 ( 2r2 - 0) drd
= 2
01
0(2r - 3r ) drd =
2
0[ 2r - 4
r4 ] 0r1r
d
= 2
043 d = 4
3 [ ] 02
= 43( 2
- 0) = 83
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 77
4.4.2 ความสมพนธระหวาง ระบบพกดฉาก กบ ระบบพกดทรงกลม ระบบพกดทรงกลมเปนระบบทกาหนดจด P(x, y, z) ในระบบพกดฉาก ดวยพกด (, , ) เมอ คอ ขนาดของเวกเตอร OP คอ มมทภาพฉายของ OP ทากบแกน X คอ มมท OP ทากบแกน Z ฟงกชนแสดงความสมพนธของตวแปรคอ x = X(, , ) = sin cos y = Y(, , ) = sin sin z = Z(, , ) = cos จากความสมพนธขางตนจะได = 222 zyx เงอนไขสาหรบ , , คอ 0, [ 0 , 0 + 2) เมอ 0 = 0 หรอ - 2
และ [0, ]
รปท 4.4.5 รปท 4.4.5 แสดงความสมพนธของ x, y, z และ , ,
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 78
ตวอยางเชน
ระบบพกดฉาก ระบบพกดทรงกลม จด (1, 1, 1) ( 3, 4
, arccos3
1 ) จด (0, 1, 1) ( 2 , 2
, 4)
ระนาบ y = x = 4
ระนาบ y = 3x = 3
ทรงกลม 2x + 2y + 2z = 2a = a ครงกรวย z = 22 yx = 4
ขอสงเกต ในระบบพกดทรงกลม จะสงเกตไดวา 1. = a คอทรงกลมรศมเทากบ a จดศนยกลางอยทจด (0, 0, 0) 2. = 0 เปนสมการทมแกน Z บนระนาบ และเสนตรงทเปน รอยตดของระนาบนน กบ ระนาบ XY ทามม 0 กบแกน X
3. = 0 คอครงกรวยทมจดยอดอยทจด (0, 0, 0) เจนเนอเรเตอรทามม 0 กบแกน Z
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 79
การเปลยนตวแปรจากระบบพกดฉากเปนระบบพกดทรงกลม มจาโคเบยนของ X, Y, Z เทยบกบ , , คอ
J(, , ) = ),,()Z,Y,X(
=
ZZZ
YYY
XXX
= sin0cos
sincoscossinsinsin cos cos sin sin cossin
= - 2 sin เพราะฉะนน J(, , ) = 2 sin เพราะฉะนน
Sf(x, y, z) dxdydz
= T
f( sin cos , sin sin , cos ) 2 sin ddd
เมอ T = {(, , ) sin cos , sin sin , cos ) S} คาแนะนา การหา T ซงเปนพสยของ S ภายใตการเปลยนตวแปรน สามารถ ทาไดโดยการเปลยนสมการของพนผวทลอมรอบทรงตน S ใหอยในระบบพกดทรงกลม แลว พจารณาคา , และ จากบรเวณของการอนทเกรต S กจะไดบรเวณของการอนทเกรต T ในระบบพกดทรงกลม
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 80
ตวอยาง 4.4.4 จงหาคาของ S
222 zyx2
dV
เมอกาหนดให S เปนทรงตนในอฐภาคทหนง ซงลอมรอบดวย ทรงกลม 2x + 2y + 2z = 16 ทรงกลม 2x + 2y + 2z = 25 กรวย z = )yx(3 22 กรวย 3z = 22 yx ระนาบ y = x และ ระนาบ y = 3x วธทา เปลยนสมการของพนผวในระบบพกดฉาก เปน สมการในระบบพกดทรงกลม โดยใชความสมพนธ x = sin cos y = sin sin z = cos 1. สมการทรงกลม 2x + 2y + 2z = 16 ในระบบพกดฉาก เปลยนเปนสมการในระบบพกดทรงกลมไดเปน 2 = 16 เพราะฉะนน = 4 2. สมการทรงกลม 2x + 2y + 2z = 25 ในระบบพกดฉาก เปลยนเปนสมการในระบบพกดทรงกลมไดเปน 2 = 25 เพราะฉะนน = 5
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 81
3. สมการกรวย z = )yx(3 22 ในระบบพกดฉาก เปลยนเปนสมการในระบบพกดทรงกลมไดเปน cos = 22 sin3 tan =
31
เพราะฉะนน = 6
4. สมการกรวย 3z = 22 yx ในระบบพกดฉาก เปลยนเปนสมการในระบบพกดทรงกลมไดเปน 3 cos = 22 sin tan = 3 เพราะฉะนน =
3
5. สมการระนาบ y = x ในระบบพกดฉาก เปลยนเปนสมการในระบบพกดทรงกลมไดเปน sin sin = sin cos tan = 1 เพราะฉะนน = 4
6. สมการระนาบ y = 3x ในระบบพกดฉาก เปลยนเปนสมการในระบบพกดทรงกลมไดเปน sin sin = 3 sin cos tan = 3 เพราะฉะนน = 3
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 82
รปท 4.4.6 (ก) แสดงบรเวณ S และ รปท 4.4.6 (ข) แสดงภาพฉายของ S บนระนาบ XY รปท 4.4.6 (ก) รปท 4.4.6 (ข) บรเวณของการอนทเกรตในระบบพกดทรงกลม คอ T = {(, , ) 4
3 , 6
3 , 4 5}
เพราะฉะนน S
222 zyx2
dV =
T(2 ) 2 sin ddd
S
222 zyx2
dV =
3
4
3
6
5
42 sin ddd
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 83
S
222 zyx2
dV =
3
4
3
6
(sin ) [ 2 ] 45
dd
=
3
4
3
6
9 sin dd
=
3
4
9 [ -cos ] 6
3
d
=
3
4
-9(21 - 2
3) d
=
3
4
9( 213 ) d
= 9( 213 )[ ]
4
3
= 9( 213 )( 3
- 4)
= 9( 213 )(12
) = ( 2
13 )( 43)
= 8)13(3
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 84
ตวอยาง 4.4.5 จงหาคาของ S
222 zyx dV
เมอ S คอทรงตนทปดลอมดวยครงทรงกลม z = 22 yx4 และ ระนาบ z = 1 วธทา
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 85
เปลยนสมการของพนผวในระบบพกดฉาก เปน สมการในระบบพกดทรงกลม โดยใชความสมพนธ x = sin cos y = sin sin z = cos 1. สมการครงทรงกลม z = 22 yx4 ในระบบพกดฉาก จะได 2x + 2y + 2z = 4 เปลยนเปนสมการในระบบพกดทรงกลมไดเปน 2 = 4 เพราะฉะนน = 2 ... (1) 2. สมการระนาบ z = 1 ในระบบพกดฉาก เปลยนเปนสมการในระบบพกดทรงกลมไดเปน cos = 1 เพราะฉะนน = sec ... (2) ตอไปเราจะหามม ทครงทรงกลมตดกบระนาบ จาก (1) และ (2) จะได sec = 2 เพราะฉะนน cos = 2
1 เพราะฉะนน มม ทครงทรงกลมตดกบระนาบคอ 3
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 86
รปท 4.4.7 (ก) แสดงบรเวณ S และ รปท 4.4.7 (ข) แสดงภาพฉายของ S บนระนาบ XY รปท 4.4.7 (ก) รปท 4.4.7 (ข) บรเวณของการอนทเกรตในระบบพกดทรงกลม คอ T = {(, , ) 0 2, 0
3 , sec 2}
เพราะฉะนน S
222 zyx dV = T
() 2 sin ddd
= 2
0
3
0
2
sec() 2 sin ddd
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 87
S
222 zyx dV = 2
0
3
0
2
sec() 2 sin ddd
= 2
0
3
0(sin ) [ 4
4 ]
sec2 dd
= 2
0
3
0(sin ) [ 4
4 ]
sec2 dd
= 2
0
3
0(sin )(4 - 4
sec4 ) dd
= 2
0
3
0(4 sin - 4
1 sin 4cos ) dd
= 2
0[ -4 cos + 4
13
cos 3
] 0
3
d
= - 2
0[ (2 + 3
2) - (4 + 121 ) ] d
= 2
01217 d
= 1217 [ ] 0
2
= 6
17
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 88
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 89
ตวอยาง 4.4.6 จงหาปรมาตรของรปทรงตน S ทลอมขางบนดวยครงทรงกลม z = 1 + 22 yx1 และลอมขางลางดวยกรวย z = 22 yx วธทา
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 90
เปลยนสมการของพนผวในระบบพกดฉาก เปน สมการในระบบพกดทรงกลม โดยใชความสมพนธ x = sin cos y = sin sin z = cos 1. สมการครงทรงกลม z = 1 + 22 yx1 ในระบบพกดฉาก จะได 2x + 2y + (z - 1)2 = 1 2x + 2y + 2z = 2z เปลยนเปนสมการในระบบพกดทรงกลมไดเปน 2 = 2 cos เพราะฉะนน = 2 cos
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 91
2. สมการกรวย z = 22 yx ในระบบพกดฉาก 2x + 2y = 2z เปลยนเปนสมการในระบบพกดทรงกลมไดเปน 2 2sin 2cos + 2 2sin 2sin = 2 2cos 2sin ( 2cos + 2sin ) = 2cos 2sin = 2cos 2tan = 1 เพราะฉะนน = 4
รปท 4.4.8 (ก) แสดงบรเวณ S และ รปท 4.4.8 (ข) แสดงภาพฉายของ S บนระนาบ XY รปท 4.4.8 (ก) รปท 4.4.8 (ข) บรเวณการอนทเกรตในระบบพกดทรงกลม คอ T = {(, , ) 0 2, 0
4 , 0 2 cos
}
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 92
T = {(, , ) 0 2, 0 4 , 0 2 cos }
เพราะฉะนนปรมาตร = S
1 dV
= T
2 sin ddd
= 2
0
4
0cos2
0
2 sin ddd
= 2
0
4
0(sin ) [ 3
3 ] 0cos2
dd
= 2
0
4
038 sin 3cos dd
= 2
038 [ - 4
cos4 ] 04
d
= 2
0- 3
2( 41 - 1) d
= 2
021 d
= 21 [ ] 0
2
=
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 93
4.5 ประโยชนของอนทกรลสามชน ให S เปนวตถรปทรงตนซงแทนไดดวยบรเวณใน 3R และ f(x, y, z) เปนความหนาแนนของวตถตอหนวยปรมาตรทจด (x, y, z) จะไดวา 1. ปรมาตรของ S คอ V =
S 1 dV
2. มวลของ S คอ M = S f(x, y, z) dV
3. โมเมนตของ S รอบระนาบ XY คอ xyM = S z f(x, y, z) dV
โมเมนตของ S รอบระนาบ YZ คอ yzM = S x f(x, y, z) dV
โมเมนตของ S รอบระนาบ XZ คอ xzM = S y f(x, y, z) dV
4. พกดของจดศนยถวงของ S คอ (x , y, z)
เมอ x = yzMM , y = xzM
M และ z = xyMM
ถา f(x, y, z) เปนฟงกชนคงตว แลว เราจะเรยกจด (x , y, z) วาจดเซนทรอยดของ S 5. โมเมนตของความเฉอยของ S รอบเสนตรง L คอ LI =
S
2 (x, y, z) f(x, y, z) dV
เมอ (x, y, z) เปนระยะทางจากจด (x, y, z) ใน S ไปยงเสนตรง L
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 94
โมเมนตของความเฉอยของ S รอบแกน X คอ xI =
S ( 2y + 2z ) f(x, y, z) dV
โมเมนตของความเฉอยของ S รอบแกน Y คอ yI =
S ( 2x + 2z ) f(x, y, z) dV
โมเมนตของความเฉอยของ S รอบแกน Z คอ zI =
S ( 2x + 2y ) f(x, y, z) dV
โมเมนตของความเฉอยของ S รอบระนาบ XY คอ xyI =
S
2z f(x, y, z) dV
โมเมนตของความเฉอยของ S รอบระนาบ YZ คอ yzI =
S
2x f(x, y, z) dV
โมเมนตของความเฉอยของ S รอบระนาบ XZ คอ xzI =
S
2y f(x, y, z) dV
โมเมนตของความเฉอยของ S รอบจดกาเนด คอ 0I =
S ( 2x + 2y + 2z ) f(x, y, z) dV
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 95
ตวอยาง 4.5.1 ให f(x, y, z) = xyz เปนความหนาแนนของวตถตอหนวยปรมาตร ทจด (x, y, z) ใน S โดยท S เปนวตถรปทรงตนซงปดลอมดวยระนาบ x + 2y + z = 6 และระนาบพกดฉาก จงหา 1. ปรมาตรของ S 2. มวลของ S วธทา รปท 4.5.1 (ก) แสดงรปทรงของวตถ S ในการคานวณคาเราเลอกระบบพกดฉากซงภาพฉายของ S บนระนาบ XY เปนดงรปท 4.5.1 (ข) รปท 4.5.1 (ก) รปท 4.5.1 (ข)
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 96
1. ปรมาตรของ S = S 1 dV
= 6
0
1(6 x)2
0
6 x 2y
0
1 dzdydx
= 6
0
1(6 x)2
0
[ z ] z 6 x 2y
z 0 dydx
= 6
0
1(6 x)2
0
(6 - x - 2y) dydx
= 6
0 [ 6y - xy - 2y ] 1y (6 x)2
y 0
dx
= 6
0 (3(6 - x) - x( 1
2 (6 - x)) - ( 12 (6 - x))2) dx
= 6
0 (9 - 3x + 1
42x ) dx
= [ 9x - 32
2x + 112
3x ] x 6x 0
= 54 - 54 + 18 = 18 ลกบาศกหนวย
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 97
2. มวลของ S = S f(x, y, z) dV
= 6
0
1(6 x)2
0
6 x 2y
0
xyz dzdydx
= 6
0
1(6 x)2
0
xy [ 2z
2 ] z 6 x 2yz 0 dydx
= 6
0
1(6 x)2
0
12 xy (6 - x - 2y)2 dydx
= 6
0
1(6 x)2
0
(18xy - 6 2x y - 12x 2y + 1
23x y
+ 2 2x 2y + 2x 3y ) dydx = 6
0 [ 9x 2y - 3 2x 2y - 4x 3y + 1
43x 2y
+ 23
2x 3y + 12 x 4y ] 1y (6 x)2
y 0
dx
= 6
0 ( 27
2 x - 9 2x + 94
3x - 14
4x + 196
5x ) dx
= [ 274
2x - 3 3x + 916
4x - 120
5x + 1576
6x ] x 6x 0
= 243 - 648 + 729 - 19445 + 81
= 815
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 98
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 99
ตวอยาง 4.5.2 ให f(x, y, z) = 2 2x y เปนความหนาแนนของวตถตอหนวยปรมาตร ทจด (x, y, z) ใน S โดยท S เปนวตถรปทรงตนซงปดลอมดวยระนาบ z = 8 และ กรวย z = 2 24(x y ) จงหา 1. มวลของ S 2. โมเมนตของ S รอบระนาบ XY วธทา รอยตดของกรวย z = 2 24(x y ) กบระนาบ z = 8 คอวงกลม 2x + 2y = 16, z = 8 รปท 4.5.2 (ก) แสดงรปทรงของวตถ S ในการคานวณคาเราเลอกทจะใชระบบพกดทรงกระบอกซงภาพฉายของ S บนระนาบ XY เปนดงรปท 4.5.2 (ข) รปท 4.5.2 (ก) รปท 4.5.2 (ข)
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 100
1. มวลของ S คอ M= S f(x, y, z) dV
= S
2 2x y dV
= 2
0 4
0 8
2r r r dz drd
= 2
0 4
0
2r [ z ] z 8z 2r drd
= 2
0 4
0
2r (8 - 2r) drd
= 2
0 4
0 (8 2r - 2 3r ) drd
= 2
0 [ 8
3 3r - 12 4r ] r 4
r 0 d
= 2
0 (512
3 - 128) d
= 2
0 128
3 d
= 1283 [ ] 2
0
= 2563
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 101
2. โมเมนตของ S รอบระนาบ XY = S z f(x, y, z) dV
= S z 2 2x y dV
= 2
0 4
0 8
2r zr r dz drd
= 2
0 4
0
2r [ 2z2 ] z 8
z 2r drd
= 2
0 4
0 2r (32 - 2 2r ) drd
= 2
0 4
0 (32 2r - 2 4r ) drd
= 2
0 [ 32
3 3r - 25 5r ] r 4
r 0 d
= 2
0 ( 2048
3 - 20485 ) d
= 2
0 4096
15 d
= 409615 [ ] 2
0
= 819215
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 102
ตวอยาง 4.5.3 ให f(x, y, z) = k เปนความหนาแนนของวตถตอหนวยปรมาตร ทจด (x, y, z) ใน S โดยท S เปนวตถรปทรงตนซงปดลอมดวยพนผว 2x + 2y + 2z = 16 และระนาบ XY, YZ, XZ ในอฐภาคทหนง จงหาจดเซนทรอยดของวตถ S วธทา รปท 4.5.3 (ก) แสดงรปทรงของวตถ S ในการคานวณคาเราเลอกทจะใชระบบพกดทรงกระบอกซงภาพฉายของ S บนระนาบ XY เปนดงรปท 4.5.3 (ข)
รปท 4.5.3 (ก) รปท 4.5.3 (ข)
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 103
มวลของ S คอ M = S f(x, y, z) dV
= S k dV
= 2
0
4
0
216 r
0 k r dz drd
= k 2
0
4
0 r [ z ] 2z 16 r
z 0
drd
= k 2
0
4
0 r 216 r drd
= k 2
0
[ -13 (16 - 2r )
32 ] r 4
r 0 d
= k 2
0
643 d
= 64k3 [ ] 2
0
= 32k3
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 104
โมเมนตของ S รอบระนาบ XY คอ xyM = S z f(x, y, z) dV
= S z k dV
= 2
0
4
0
216 r
0 k z r dz drd
= k 2
0
4
0 r [ 2z
2 ] 2z 16 rz 0
drd
= k2 2
0
4
0 r(16 - 2r ) drd
= k2 2
0
[ 8 2r - 4r4 ] r 4
r 0 d
= k2 2
0
64 d
= 32k [ ] 20
= 16k
เพราะฉะนน z = xyMM = 16k
32k( )3
= 32
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 105
โมเมนตของ S รอบระนาบ XZ คอ xzM =
S y f(x, y, z) dV
= S y k dV
= 2
0
4
0
216 r
0 (r sin ) k r dz drd
= k 2
0
4
0 2r sin [ z ] 2z 16 r
z 0
drd
= k 2
0
4
0 (sin ) 2r 216 r drd ... (1)
พจารณา 4
0 2r 216 r dr
ให r = 4 sin จะไดวา dr = 4 cos d เมอ r = 0 จะได = 0 และ เมอ r = 4 จะได = 2
เพราะฉะนน 4
0 2r 216 r dr
= 2
0
(16 2sin )(4 cos ) 4 cos d
= 256 2
0
( sin 22 )2 d
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 106
= 64 2
0
1 cos4
2 d
= 32 [ - 14 sin 4 ] 2
0
= 16 ... (2) เพราะฉะนนจาก (1) และ (2) จะได โมเมนตของ S รอบระนาบ XZ คอ
xzM = k 2
0
16 sin d
= 16k 2
0
sin d
= 16k [ -cos ] 20
= 16k เพราะฉะนน y = xzM
M = 16k32k( )3
= 32
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 107
โมเมนตของ S รอบระนาบ YZ คอ yzM =
S x f(x, y, z) dV
= S x k dV
= 2
0
4
0
216 r
0 (r cos ) k r dz drd
= k 2
0
4
0 2r cos [ z ] 2z 16 r
z 0
drd
= k 2
0
4
0 (cos ) 2r 216 r drd
= k 2
0
(cos ) 4
0 2r 216 r drd
= 16k 2
0
cos d
(จาก (2) 4
0 2r 216 r dr = 16 )
= 16k [ sin ] 20
= 16k
เพราะฉะนน x = yzMM = 16k
32k( )3
= 32
ดงนนจดเซนทรอยดของ S คอจด ( 32 , 3
2 , 32 )
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 108
ตวอยาง 4.5.4 ให S เปนวตถรปทรงตนซง ปดลอมดวยครงทรงกลม z = 2 29 x y และระนาบ XY และ f(x, y, z) = k เปนความหนาแนนของวตถตอหนวยปรมาตรทจด (x, y, z) ใด ๆ จงหา 1. โมเมนตของความเฉอยของ S รอบแกน X 2 โมเมนตของความเฉอยของ S รอบระนาบ XY 3 โมเมนตของความเฉอยของ S รอบจดกาเนด วธทา รปท 4.5.4 (ก) แสดงรปทรงของวตถ S ในการคานวณคาเราเลอกทจะใชระบบพกดทรงกลม ซงภาพฉายของ S บนระนาบ XY เปนดงรปท 4.5.4 (ข) รปท 4.5.4 (ก) รปท 4.5.4 (ข)
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 109
1. โมเมนตของความเฉอยของ S รอบแกน X คอ xI =
S ( 2y + 2z ) f(x, y, z) dV
= S ( 2y + 2z )k dV
= k2
0 2
0
3
0 ( 2 2sin 2sin + 2 2cos ) 2 sin ddd
= k 2
0 2
0
3
0 ( 2sin 2sin + 2cos ) (sin ) 4 ddd
= k 2
0 2
0
( 2sin 2sin + 2cos )(sin) [ 5
5 ] 3
0 dd
= 243k5 2
0 2
0
( 2sin 2sin + 2cos ) sin dd
= 243k5
2
0 2
0
((1 - 2cos ) 2sin + 2cos )d(-cos)d
= 243k5 2
0 2
0
-( 2sin - 2sin 2cos + 2cos )d(cos)d
= 243k5
2
0 -[ 2sin cos - 2sin (
3cos3 ) +
3cos3 ] 2
0
d
= 243k5 2
0 ( 2sin - 1
32sin + 1
3) d
= 243k5 2
0 ( 2
32sin + 1
3) d
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 110
= 81k5 2
0 (2 2sin + 1) d
= 81k5 2
0 (1 - cos 2 + 1) d
= 81k5 2
0 (2 - cos 2) d
= 81k5 [ 2 - 1
2 sin 2 ] 20
= 324k5
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 111
2. โมเมนตของความเฉอยของ S รอบระนาบ XY คอ xyI =
S
2z f(x, y, z) dxdydz
= S
2z k dV
= k 2
0 2
0
3
0 ( 2 2cos ) 2 sin ddd
= k 2
0 2
0
3
0 ( 2cos sin) 4 ddd
= k 2
0 2
0
( 2cos sin) [ 5
5 ] 3
0 dd
= 243k5 2
0 2
0
2cos sin dd
= 243k5 2
0 2
0
2cos d(-cos)d
= 243k5 2
0 [ -
3cos3 ] 2
0
d
= 243k5 2
0 1
3 d
= 81k5 2
0 1 d
= 81k5 [ ] 2
0
= 162k5
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calculus III 2561/1st
4 - 112
3. โมเมนตของความเฉอยของ S รอบจดกาเนด คอ 0I =
S ( 2x + 2y + 2z ) f(x, y, z) dxdydz
= S ( 2x + 2y + 2z ) k dV
= k 2
0 2
0
3
0 ( 2 ) 2 sin ddd
= k 2
0 2
0
3
0
4 sin ddd
= k 2
0 2
0
(sin ) [ 5
5 ] 3
0 d d
= 243k5 2
0 2
0
sin d d
= 243k5 2
0 [-cos ] 2
0
d
= 243k5 2
0 1 d
= 243k5 [ ] 2
0
= 486k5
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calcuus III 2561/1st
4 - 113
แบบฝกหด 4.1
1. จงหาคาของ 4
01 2
y
2y
( 2yx2 ) 4 dxdy โดยการเปลยนตวแปร u = 2
yx2 , v = 2y
2. จงหาคาของ 1
0 x 1
0sin(x + y) cos(y - 2x) dydx โดยการเปลยนตวแปร u = x + y, v = y - 2x
3. จงหาคาของ S
(x - y) 2 (2x + y) 3 dA เมอ S เปนบรเวณทอยภายในรปสามเหลยมบนระนาบ XY ทมจดยอด
เปน (0, 0), (1, 1) และ (1, -2) โดยการเปลยนตวแปร u = x - y, v = 2x + y 4. จงหาคาของ
S(3x + 2y) 2 (x + 4y) dA เมอ S เปนบรเวณทปดลอมดวย แกน X แกน Y และ เสนตรง x + y = 1
โดยการเปลยนตวแปร u = 3x + 2y, v = x + 4y 5. จงหาคาของ
S(3 2x + 14xy + 8 2y ) dA เมอ S เปนบรเวณทปดลอมดวย เสนตรง 3x + 2y = 2, 3x + 2y = 6,
x + 4y = 0 และ x + 4y = 4 โดยการเปลยนตวแปร u = 3x + 2y, v = x + 4y
6. จงหาคาของ S
( yx + x
y ) dA เมอ S เปนบรเวณทปดลอมดวยเสนโคง xy = 1, xy = 9, y = x และ y = 4x
เฉพาะสวนทอยในจตภาคทหนงโดยการเปลยนตวแปร x = vu , y = uv
7. จงหาคาของ 32
0 y2 2
y(x + 2y) x ye dxdy โดยการเปลยนตวแปร u = x + 2y, v = y - x
8. จงหาคาของ 2
0
2
4 y
2y
3 2y (2x - y) 2)y x2(e dxdy โดยการเปลยนตวแปร u = 2x - y, v = y
9. จงหาคาของอนทกรลตอไปน 9.1
S(x - y) 2 cos( 2
yx ) dA
เมอ S เปนบรเวณทอยภายในรปสเหลยมดานขนานทมจดยอดเปน (, 0), (2, ), (, 2) และ (0, ) 9.2
S
2sin (x - y) 2cos (x + y) dA เมอ S = {(x, y) x 0, y 0, x + y }
9.3 S
(x - y) 2 yxe dA
เมอ S เปนบรเวณทอยภายในรปสเหลยมดานขนานทมจดยอดเปน (0,0), (1, 1), (2, 0) และ (1, -1) 9.4
S
y xe cos(x - y) dA เมอ S = {(x, y) x 0, y 0, x + y }
9.5 S
(2 2y + x)(x - 2y ) xye dA
เมอ S เปนบรเวณทปดลอมดวยเสนโคง xy = 1, xy = 4, x - 2y = 1 และ x - 2y = 4 10. จงเขยนอนทกรลตอไปนใหอยในระบบพกดเชงขวพรอมทงเขยนรปแสดงบรเวณของการอนทเกรต
10.1 1
0
2y 1
y 1f(x, y) dxdy 10.2
1
1 2x 1
0f(x, y) dydx
10.3
2
2 2y 4
|y |f(x, y) dxdy 10.4
1
11
2x
f(x, y) dydx
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calcuus III 2561/1st
4 - 114
11. จงเขยนอนทกรลตอไปนใหอยในระบบพกดฉาก พรอมทงเขยนรปแสดงบรเวณของการอนทเกรต
11.1
2
0cos
0
3r drd 11.2
2
3
θ 2cosec
θ cosecr cos drd
12. จงหาคาของ S
f(x, y) dA เมอ
12.1 f(x, y) = 22 y4x41 และ S เปนบรเวณในจตภาคทหนงซงปดลอมดวยวงกลม 2x + 2y = 4 12.2 f(x, y) =
22 yx
1
และ S เปนบรเวณทอยภายในวงกลม 2x + 2y = 4x และภายนอกวงกลม 2x + 2y = 4
12.3 f(x, y) = x + y และ S เปนบรเวณซงปดลอมดวยครงวงกลม x = 24 y เสนตรง y = 3 x และ y = 0 12.4 f(x, y) = y 22 yx และ S เปนบรเวณซงปดลอมดวยครงวงกลม y = 2xx2 และแกน X 13. จงหาคาของอนทกรลตอไปนดวยการเปลยนตวแปรในระบบพกดเชงขว
13.1 1
0 2y 2
y
2y dxdy 13.2 4
0 2x 16
0
)2y 2x(e dydx
13.3 4
1
x 3
022 yx
1
dydx 13.4
4
0 2y y4
02xy dxdy
13.5 6
0
2 x x6
2 x x6
x dydx 13.6 2
0 2y 4
02 21
1 x y dxdy
13.7
1
1 2 x 1
022 yx1
1
dydx 13.8
2
0
2 x 4
2 x 4
322 )yx( dydx
13.9 1
0 2y 1
0sin(( 2x + 2y )) dxdy 13.10
5
5 2 x 25
0(25 - 2x - 2y ) dydx
13.11 1
0y
y
22 yx dxdy 13.12 2
1x
022 yx
1
dydx
13.13 1
0 2y y2
0( 2x + 2y ) 2 dxdy 13.14
21
0
2x x
2x x
x dydx
14. จงหาพนทของบรเวณตามขอกาหนดตอไปน 14.1 บรเวณทปดลอมดวยวงกลม 2x + 2y = 1 เสนตรง x = 3, y = x และ y = 0 14.2 บรเวณทอยภายในวงกลม 2x + 2y = ax และภายนอกวงกลม 2x + 2y = ay เมอ a 0 14.3 บรเวณทอยภายในวงกลม 2x + 2y = 4y เมอ y 3 14.4 บรเวณทปดลอมดวยวงกลม 2x + 2y = 4x เสนโคง y = x2 และแกน X 15. จงหาปรมาตรของรปทรงตนตามขอกาหนดตอไปน 15.1 ดานบนปดลอมดวยพนผว z = 2 - y และฐานปดลอมดวยเสนโคง 2x + 2y - 2x = 0 บนระนาบ z = 0 15.2 ดานบนปดลอมดวยพนผว x + z = 4 และฐานปดลอมดวยเสนโคง r = 1 + sin บนระนาบ z = 0 15.3 ดานบนปดลอมดวยพนผว x + z = 5 และฐานปดลอมดวยครงวงกลม x = 24y y และเสนตรง y = x บนระนาบ z = 0 15.4 ดานบนปดลอมดวยพนผว z = 4 - 2x - 2y และฐานปดลอมดวยวงกลม 2x + 2y = 1 เมอ x 0 บนระนาบ z = 0
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calcuus III 2561/1st
4 - 115
15.5 ดานบนปดลอมดวยพนผว z = 4 + 2x + 2y และฐานปดลอมดวยเสนโคง r = 2 sin บนระนาบ z = 0 15.6 ดานบนปดลอมดวยพนผว z = 3 + x + y และฐานปดลอมดวยเสนโคง 2x + 2y = 4 บนระนาบ z = 0 15.7 ดานบนปดลอมดวยพนผว z = 6 + x + y และฐานปดลอมดวยเสนโคง 2x + 2y - 6y = 0 เมอ x 0 บนระนาบ z = 0 15.8 ดานบนปดลอมดวยพนผว z = 4 + 2x และฐานปดลอมดวยเสนโคง 2x + 2y = 4 ในจตภาคทหนง บนระนาบ z = 0 16. จงหาปรมาตรของรปทรงตนเหนอระนาบ XY ซงอยภายใตพนผว z = 1 - 2x - 2y และปดลอมดานขางดวยพนผว 2x + 2y - x = 0 17. จงหาปรมาตรของรปทรงตนในอฐภาคทหนงซงปดลอมดานขางดวยพนผว 2x + 2y = 4y และสวนบนปดดวยพนผว z = 22 yx 18. จงหาปรมาตรของรปทรงตนทอยภายในทรงกลม 2x + 2y + 2z = 2a และ พนผว 2x + 2y = 2b เมอ 0 b a 19. จงหาปรมาตรของรปทรงตนเหนอระนาบ XY ซงปดลอมดานขางดวยพนผว 2x + 2y = 1 และสวนบนปดดวยระนาบ z = 4 + x + 2y แบบฝกหด 4.2 1. จงหาคาอนทกรลซอนตอไปน
1.1 1
02
04
16x 2y 3z dxdydz 1.2
2
03
11
0(3 2x + 4y 3z ) dzdydx
1.3
1
1
2
24
1( 2x + 2y + 2z ) dydxdz 1.4
0
4
0
0sin(x + y + z) dzdydx
1.5
1
1
2
2
4
4( 2x + 2 2y + 3z) dxdydz 1.6
1
02
03
0xz ye dxdzdy
1.7 2
04
01
0x(y + z) dydxdz 1.8
0
2
0
0x cos(y + z) dzdydx
1.9
1
12
03
1
2x (y + zx) dydxdz 1.10
0
4
0
0sin(x + y) cos(x + z) dzdydx
2. จงหาคาอนทกรลสามชนตอไปนบนบรเวณของการอนทเกรต D ทกาหนดให 2.1
D
(x + y - z) dV เมอ D = {(x, y, z) -1 x 1, 0 y 2, 0 z 1}
2.2 D
2)1xy(yz
dV
เมอ D เปนรปทรงสเหลยมมมฉากทปดลอมดวยระนาบ x = 0, x = 1, y = 0, y = 1, z = 0 และ z = 2 2.3
D
xyz 2x1 dV เมอ D = [0, 1] [0, 2] [0, 3]
2.4 D
cos x sin(y + z) dV เมอ D = {(x, y, z) 0 x 2 , 0 y 2
, 0 z 4 }
2.5 D
)z1)(y1(x
dV เมอ D = [0, 1] [0, 1] [0, 2]
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calcuus III 2561/1st
4 - 116
แบบฝกหด 4.3 1. จงหาคาของอนทกรลซอนตอไปน
1.1 1
0x
0y
0xyz dzdydx 1.2
1
0y
0z
0(1 + xy) dxdzdy
1.3 1
0
x
x
zx
zx(x + y + z) dydzdx 1.4
2
0 2z4
0z2
0y dxdydz
1.5 1
0z
0 2z2y
0xy dxdydz 1.6
4
01
02y
0y cos x dzdydx
1.7 1
0y12
0y1
0xz dzdxdy 1.8
1
0x
0zx
0
2x dydzdx
2. จงเปลยนลาดบของอนทกรลซอนทกาหนดใหตามลาดบทระบไว และเขยนรปบรเวณของการอนทเกรต
2.1 4
0 )4
x 1(5
0
)5y 4
x 1(6
0f(x, y, z) dzdydx เปลยนลาดบการอนทเกรตเปน dydxdz
2.2
3
1
2
2 2x 4
0f(x, y, z) dzdxdy เปลยนลาดบการอนทเกรตเปน dydzdx
2.3
2
2
42x 13
42x 13
9
2y 42x 14
9
2y 42x 14
f(x, y, z) dzdydx เปลยนลาดบการอนทเกรตเปน dxdzdy
2.4
2
2
42x 13
42x 13
1
9
2y 42x
f(x, y, z) dzdydx เปลยนลาดบการอนทเกรตเปน dxdydz
2.5 1
0 z33
0 z22
0f(x, y, z) dxdydz เปลยนลาดบการอนทเกรตเปน dydzdx
2.6 2
0 2x 4
0
)2z 2x 4(21
0f(x, y, z) dydzdx เปลยนลาดบการอนทเกรตเปน dzdxdy
3. จงเขยนอนทกรลซอนทง 6 แบบของฟงกชน f(x, y, z) บนบรเวณ S ในอฐภาคทหนงซงปดลอมดวยพนผว 2y + 2z = 1 และ ระนาบ y = x, z = 0, x = 0 4. จงหาคาของ
Sf dV เมอกาหนด f และ S ดงตอไปน
4.1 f(x, y, z) = z, S เปนบรเวณทปดลอมดวยระนาบพกดฉากทงสาม และระนาบ x + y + z = 6 4.2 f(x, y, z) = x, S เปนบรเวณในอฐภาคทหนงซงปดลอมดวยพนผว z = 22 yx1 และระนาบ z = 0 4.3 f(x, y, z) = 2x + 2z, S เปนบรเวณทปดลอมดวยพนผว y = 2x ระนาบ z = 0 และ y + z = 1 4.4 f(x, y, z) = yz, S เปนบรเวณในอฐภาคทหนงซงปดลอมดวยพนผว z = 2x + 2y และ z = 22 yx 4.5 f(x, y, z) = x + 2y + 3z, S เปนบรเวณทปดลอมดวยระนาบ x = 0, x= 1, z = 0, y + z = 2 และ y = z
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calcuus III 2561/1st
4 - 117
5. จงหาปรมาตรของรปทรงตนทกาหนดดงตอไปน 5.1 ปดลอมดวยระนาบ 2x + 5y + 7z = 70 และระนาบพกดฉากทงสาม 5.2 ปดลอมดวยทรงกระบอก 2x + 2z = 4 และระนาบ y + z = 6 เฉพาะในอฐภาคทหนง 5.3 ปดลอมดวยทรงกระบอก 2y + 2z = 1 ระนาบ y = x, z = 0 และ x = 0 เฉพาะในอฐภาคทหนง 5.4 ปดลอมดวยพาราโบลอยด z = 2x + 2y และระนาบ z = y + 2 5.5 ปดลอมดวยทรงกระบอก x = 2y ระนาบ z = 0 และ x + z = 1 5.6 ปดลอมดวยระนาบ z = x + y, y = 2x, z = 0, x = 0 และ y = 2 5.7 ปดลอมดวยพนผว y = 2x ระนาบ z = 0 และ y + z = 9 5.8 ปดลอมดวยระนาบ x = 0, x= 4, z = 0, y + z = 2 และ y = z 5.9 อยในอฐภาคทหนงและปดลอมดวยพนผว z = 4 - 2x - 2y ระนาบ x = 1 และระนาบ YZ 5.10 ปดลอมดวยพนผว 2x + 2y = 4, 2x + 2z = 4 และระนาบ XY แบบฝกหด 4.4 1. จงเขยน
Sf(x, y, z) dV
ในรปของอนทกรลซอนในระบบพกดทรงกระบอกเมอกาหนดให f และ S ดงตอไปน (ไมตองอนทเกรต) 1.1 f(x, y, z) = 1, S เปนรปทรงตนทอยภายในทรงกลม 2x + 2y + 2z = 25 และทรงกระบอก 2x + 2y = 16 1.2 f(x, y, z) = 2z , S เปนรปทรงตนทอยภายในทรงกลม 2x + 2y + 2z = 16 และทรงกระบอก 2x + 2y = 2x 1.3 f(x, y, z) = 2x + 2y + 2z , S เปนรปทรงตนทอยภายในทรงกลม 2x + 2y + 2z = 20 และพาราโบลอยด z = 2x + 2y 1.4 f(x, y, z) = 1, S เปนรปทรงตนทอยภายในพาราโบลอยด z = 29 - 2x - 2y และอยเหนอระนาบ z = 4 1.5 f(x, y, z) = z, S เปนรปทรงตนทอยภายในทรงกระบอก 2x + 2y = 4y และอยระหวางระนาบ z = 0 กบระนาบ x + y + z = 10 2. จงหาคาของอนทกรลทกาหนดใหโดยการเปลยนเปนตวแปรในระบบพกดทรงกระบอก 2.1
S( 2x + 2y ) dV เมอ S เปนรปทรงตนทปดลอมดวยพนผว 2x + 2y = 3z และระนาบ z = 3
2.2 S
2 2 364
(x y ) dV
เมอ S เปนรปทรงตนในอฐภาคทหนงซงปดลอมดวยพนผว z = 2x + 2y ทรงกระบอก 2x + 2y = 1 และระนาบ x + y = 4 2.3
S1 dV เมอ S เปนรปทรงตนทปดลอมดวยพนผว z = 22 y4x432 และพนผว z = 2x + 2y
2.4 S
1 dV เมอ S เปนรปทรงตนทปดลอมดวยพนผว z = 2x + 2y และพนผว z = 8 - 2x - 2y
2.5 S
1 dV เมอ S เปนรปทรงตนทอยภายในพนผว 2x + 2y + 2z = 16 และอยภายนอกทรงกระบอก 2x + 2y = 1
3. จงหาคาของอนทกรลทกาหนดใหโดยการเปลยนเปนตวแปรในระบบพกดทรงกระบอก
3.1 1
0 2x1
0 2y2x1
0
2z dzdydx 3.2 2
0 2y4
0 2y2x8
0x dzdxdy
3.3 4
0 2y y4
0 2y 2x
0z dzdxdy 3.4
2
0 2x x2
0 2y 2x 4
0y dzdydx
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calcuus III 2561/1st
4 - 118
3.5 3
0 2x 9
0 2y 2x
01 dzdydx 3.6
3
0 2x 9
0 2y 2x 9
0
2 29 x y dzdydx
3.7 4
0 2x x4
0 2y 2x
01 dzdydx 3.8
1
0 2x 1
0 2y 2x
0
2x dzdydx
4. จงเขยน S
f(x, y, z) dV
ในรปของอนทกรลซอนในระบบพกดทรงกลมเมอกาหนดให f และ S ดงตอไปน (ไมตองอนทเกรต) 4.1 f(x, y, z) = 2x + 2y + 2z , S เปนรปทรงตนทปดลอมดวยทรงกลม 2x + 2y + 2z = 1 4.2 f(x, y, z) = x, S เปนรปทรงตนทอยภายในทรงกลม 2x + 2y + 2z = 9 และ กรวย z = 22 yx 4.3 f(x, y, z) = 2x + 2y , S เปนรปทรงตนในอฐภาคทหนงและอยภายในทรงกลม 2x + 2y + 2z = 16 4.4 f(x, y, z) = 22 yx , S เปนรปทรงตนทอยภายในกรวย z = 22 yx และอยใตระนาบ z = 7 4.5 f(x, y, z) = 222 zyx , S เปนรปทรงตนทอยภายในทรงกลม 2x + 2y + 2z = 4z และอยใตระนาบ z = 2 5. จงหาคาของอนทกรลทกาหนดใหโดยการเปลยนเปนตวแปรในระบบพกดทรงกลม 5.1
S( 2x + 2y + 2z ) dV เมอ S เปนรปทรงตนในอฐภาคทหนงทปดลอมดวยพนผว 2x + 2y + 2z = 4
5.2 S
( 2x + 2y ) dV
เมอ S เปนรปทรงตนทปดลอมดานบนดวยพนผว 2x + 2y + 2z = 1 และปดลอมดานลางดวยกรวย z = 22 yx 5.3
S
222 zyx dV
เมอ S เปนรปทรงตนทปดลอมดานบนดวยทรงกลม 2x + 2y + 2z = 4 และปดลอมดานลางดวยระนาบ z = 1 5.4
S222 zyx1
1
dV เมอ S เปนรปทรงตนทปดลอมดวยทรงกลม 2x + 2y + 2z = 1
5.5 S
( 2x + 2y + 2z ) dV
เมอ S เปนรปทรงตนทปดลอมดวยกรวย z = 2 22 yx ทรงกระบอก 2x + 2y = 4 และระนาบ z = 0 6. จงหาคาของอนทกรลทกาหนดใหโดยการเปลยนเปนตวแปรในระบบพกดทรงกลม
6.1 1
0 2x 1
0 2y 2x 1
0( 2x + 2y + 2z ) dzdydx 6.2
1
0 2y 1
0
2y 2x 4
)2y 2x(3
222 zyx dzdxdy
6.3 1
0 2y 1
0
2y 2x 1 1
2y 2x 1 1
22 yx dzdxdy 6.4 1
0 2x 1
0
2y 2x 1 1
2y 2x
( 2x + 2y ) dzdydx
6.5 2
0 2x 4
0 2y 2x 4
0z 22 yx4 dzdydx 6.6
3
0 2x 3
0 2y 2x 3
0( 2x + 2y + 2z ) dzdydx
7. จงหาปรมาตรของรปทรงตน S ทกาหนดใหตอไปน 7.1 S อยภายในทรงกลม 2x + 2y + 2z = 2a 7.2 S อยภายในทรงกลม 2x + 2y + 2z = 4z 7.3 S อยภายในทรงกลม 2x + 2y + 2z = 36 และกรวย z = 22 yx 7.4 S อยภายในทรงกลม 2x + 2y + 2z = 25 และทรงกระบอก 2x + 2y = 16 7.5 S อยภายในทรงกลม 2x + 2y + 2z = 20 และพาราโบลอยด z = 2x + 2y 7.6 S อยภายในทรงกระบอก 2x + 2y = 4y และอยระหวางระนาบ z = 0 กบระนาบ x + y + z = 10
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calcuus III 2561/1st
4 - 119
แบบฝกหด 4.5 1. ให f(x, y, z) = xy เปนความหนาแนนของวตถตอหนวยปรมาตร ทจด (x, y, z) ใน S โดยท S เปนวตถรปทรงตนซงปดลอมดวยระนาบ 2x + y + z = 4 และระนาบพกดฉากทงสาม จงหา 1.1 ปรมาตรของ S 1.2 มวลของ S 2. ให f(x, y, z) = 22 yx เปนความหนาแนนของวตถตอหนวยปรมาตร ทจด (x, y, z) ใน S โดยท S เปนวตถรปทรงตนซงปดลอมดวยระนาบ z = 8 และ กรวย z = )yx(4 22 จงหา 2.1 โมเมนตของความเฉอยของ S รอบแกน Z 2.2 โมเมนตของความเฉอยของ S รอบระนาบ XY 3. ให f(x, y, z) = k เปนความหนาแนนของวตถตอหนวยปรมาตร ทจด (x, y, z) ใน S โดยท S เปนวตถรปทรงตนซงปดลอมดวยพนผว 2x + 2y + 2z = 16 และระนาบ XY, YZ, XZ ในอฐภาคทหนง จงหา 3.1 โมเมนตของความเฉอยของ S รอบแกน Z 3.2 โมเมนตของความเฉอยของ S รอบระนาบ YZ 3.3 โมเมนตของความเฉอยของ S รอบจดกาเนด 4. ให S เปนวตถรปทรงตนซงปดลอมดวยครงทรงกลม z = 2 29 x y และระนาบ XY และ f(x, y, z) = k เปนความหนาแนนของวตถตอหนวยปรมาตรทจด (x, y, z) ใน S จงหา 4.1 โมเมนตของ S รอบระนาบ XY 4.2 โมเมนตของ S รอบระนาบ YZ 4.3 โมเมนตของ S รอบระนาบ XZ 4.4 มวลของ S และ จดเซนทรอยดของ S 5. ใหทรงตน S ปดลอมดวยทรงกระบอก z = 1 - 2y ระนาบ z = 0, x = 0 และ x = 2 และ f(x, y, z) = k เปนความหนาแนนของวตถตอหนวยปรมาตรทจด (x, y, z) ใน S จงหา 5.1 มวลของ S 5.2 โมเมนตของความเฉอยของ S รอบแกน X 5.3 โมเมนตของความเฉอยของ S รอบแกน Y 5.4 โมเมนตของความเฉอยของ S รอบแกน Z 6. ใหทรงตน S อยในอฐภาคทหนง ดานบนปดดวยพนผว z = 2x + 2y และดานขางปดลอมดวยทรงกระบอก 2x + 2y = 1 และ f(x, y, z) = z เปนความหนาแนนของวตถตอหนวยปรมาตรทจด (x, y, z) ใน S จงหา 6.1 มวลของ S 6.2 โมเมนตของความเฉอยของ S รอบระนาบ XY 6.3 โมเมนตของความเฉอยของ S รอบระนาบ YZ 6.4 โมเมนตของความเฉอยของ S รอบระนาบ XZ 6.5 โมเมนตของความเฉอยของ S รอบจดกาเนด 7. ใหทรงตน S อยในอฐภาคทหนง มฐานวางอยบนระนาบ XY ผวดานขางเปนทรงกระบอก 2x + 2y = 1 ดานบนเปนพนผว
2x + 2y + z = 2 และ f(x, y, z) = 2x + 2y เปนความหนาแนนของวตถตอหนวยปรมาตรทจด (x, y, z) ใน S จงหา 7.1 มวลของ S 7.2 โมเมนตของ S รอบระนาบ XY 7.3 โมเมนตของ S รอบระนาบ YZ 7.4 โมเมนตของ S รอบระนาบ XZ 7.5 จดเซนทรอยดของ S 8. ใหทรงตน S มฐานวางอยบนจตภาคทหนงผวดานขางเปนทรงกระบอก 2x + 2y = 2x ดานบนเปนพนผว z = 4 - 2x - 2y และ f(x, y, z) = 2x + 2y + 2z เปนความหนาแนนของวตถตอหนวยปรมาตรทจด (x, y, z) ใน S จงหา 8.1 ปรมาตรของ S 8.2 มวลของ S 8.3 โมเมนตของความเฉอยของ S รอบแกน Z 8.4 โมเมนตของความเฉอยของ S รอบระนาบ XY 9. ใหทรงตน S ปดลอมดวยพนผว z = 2x + 2y และ z = 8 - 2x - 2y และ f(x, y, z) = 2x + 2y เปนความหนาแนนของวตถตอหนวยปรมาตรทจด (x, y, z) ใน S จงหา 9.1 ปรมาตรของ S 9.2 มวลของ S 9.3 โมเมนตของ S รอบระนาบ XY 9.4 โมเมนตของความเฉอยของ S รอบแกน Z 10. ให S เปนวตถรปทรงตนในอฐภาคทหนงซงอยภายในทรงกลม 2x + 2y + 2z = 2z และกรวย z = 2 2x y และ f(x, y, z) = 2 2 2x y z เปนความหนาแนนของวตถตอหนวยปรมาตรทจด (x, y, z) ใน S จงหา 10.1 ปรมาตรของ S 10.2 มวลของ S 10.3 โมเมนตของ S รอบระนาบ YZ 10.4 โมเมนตของความเฉอยของ S รอบระนาบ XZ
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calcuus III 2561/1st
4 - 120
คาตอบแบบฝกหด 4.1
1. 2
0
1
0 4u (2) dudv = 5
4 2. 1
0
u
2u (sin u cos v)( 3
1 ) dvdu = - 61 sin(1)cos(1) + 6
1 + 92 3sin (1)
3. 3
0
3 v
0
2u 3v ( 31 ) dudv = 140
243 4. 2
0
2u
u3
( 2u v)( 101 ) dvdu +
3
2
10 3u
u3
( 2u v)( 101 ) dvdu = 12
35
5. 6
2
4
0 uv( 10
1 ) dvdu = 564 6.
2
1
3
1 ( v
1 + v)( vu2 ) dudv = 12
7. 2
0
0
u (u ve )( 3
1 ) dvdu = 31 + 2e 8.
4
0
2
0 (3 2v u 2ue )( 2
1 ) dvdu = 2 16e - 2
9. 9.1 2
( 2u cos( 2
v ))( 21 ) dudv = - 4
33 9.2
0
v
v ( 2sin u 2cos v)( 2
1 ) dudv = 2
8
9.3 2
0
2
0 2u ve ( 2
1 ) dudv = 34 ( 2e - 1) 9.4
0
v
v ( ve cos u)( 2
1 ) dudv = 2e1
9.5 4
1
4
1 v ue dudv = 2
15 ( 4e - e)
10. 10.1
2
0
1
cossin1
f(r cos , r sin ) r drd
10.2
01
0f(r cos , r sin ) r drd
10.3
4
4 2
0f(r cos , r sin ) r drd
10.4
4
0
tansec
0f(r cos , r sin ) r drd +
43
4
θ cosec
0f(r cos , r sin ) r drd +
4
3
tansec
0f(r cos , r sin ) r drd
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calcuus III 2561/1st
4 - 121
11. 11.1
1
0 2x x
0( 2x + 2y ) dydx
11.2
2
13
y
022 yx
x
dxdy
12. 12.1 24
(17 17 - 1) 12.2 34 (3 3 - ) 12.3 3
4 ( 3 + 1) 12.4 54
13. 13.1
4
02
0( 2r 2sin ) r drd = 8
- 41 13.2
2
04
0( 2re ) r drd = 4
(1 - 16e )
13.3
3
0
sec4
sec( r
1 ) r drd = 3 n(2 + 3 ) 13.4
2
0sin4
0(2 r cos r sin ) r drd = 3
64
13.5
2
2
cos6
0(r cos ) r drd = 27 13.6
2
02
0( 2r1
1
) r drd = 4 n 5
13.7
01
0(
2r1
1
) r drd = ( 2 - 1) 13.8
2
2
2
0( 3r ) r drd = 5
32
13.9
2
01
0sin( 2r ) r drd = 2
1 13.10
05
0(25 - 2r ) r drd = 4
625
13.11 4
0
sec tan
0
(r) r drd = 452 ( 2 + 1) 13.12
4
0
2sec
sec
( 2
1r
) r drd = 4 n 2
13.13 4
0
2sin
0
( 4r ) r drd + 2
4
2cosec
0
( 4r ) r drd = 65 - 15
32
13.14
4
2
cos
0
(r cos ) r drd +
4
4
sec2
0
(r cos ) r drd + 2
4
cos
0
(r cos ) r drd = 16 - 12
1
14. 14.1 29 - 8
ตารางหนวย 14.2 4a2 ( 2
+ 1) ตารางหนวย 14.3 34 - 3 ตารางหนวย 14.4 + 3
8 ตารางหนวย
15. 15.1 2 ลกบาศกหนวย 15.2 6 ลกบาศกหนวย 15.3 5 - 334 ลกบาศกหนวย 15.4 4
7 ลกบาศกหนวย 15.5 2
11 ลกบาศกหนวย 15.6 12 ลกบาศกหนวย 15.7 18 + 281 ลกบาศกหนวย 15.8 4 + 3
16 ลกบาศกหนวย
16. 325 ลกบาศกหนวย 17. 9
128 ลกบาศกหนวย 18. 34 [ 3a - ( 2a - 2b ) 2
3
] ลกบาศกหนวย 19. 4 ลกบาศกหนวย
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calcuus III 2561/1st
4 - 122
คาตอบแบบฝกหด 4.2 1. 1.1 30 1.2 24 1.3 208 1.4 2 2 - 4 1.5 512 1.6 9e - 9 1.7 24 1.8 2 1.9 3
64 1.10 -2
2. 2.1 2 2.2 2 - 2 n 2 2.3 3 2.4 1 2.5 21 (n 2)(n 3)
คาตอบแบบฝกหด 4.3 1. 1.1 48
1 1.2 51 1.3 3
4 1.4 310 1.5 40
3 1.6 24
1 1.7 31 1.8 10
3
2. 2.1 6
0 )6
z 1(4
0 )4
x 6z 1(5
0f(x, y, z) dydxdz 2.2
2
2 2x 4
0
3
1f(x, y, z) dydzdx
2.3
3
3
9
2y 14
9
2y 14
162z 9
2y 12
162z 9
2y 12
f(x, y, z) dxdzdy 2.4 1
0
z3
z3
9
2y z2
9
2y z2
f(x, y, z) dxdydz
2.5 2
0
2
x2
0 z3 3
0f(x, y, z) dydzdx 2.6
2
0 y2 4
0 y2 2x 4
0f(x, y, z) dzdxdy
3. 3.1 1
01
x 2y 1
0f(x, y, z) dzdydx 3.2
1
0y
0 2y 1
0f(x, y, z) dzdxdy
3.3 1
0 2z 1
0y
0f(x, y, z) dxdydz 3.4
1
0 2y 1
0y
0f(x, y, z) dxdzdy
3.5 1
0 2x 1
0 2z 1
xf(x, y, z) dydzdx 3.6
1
0 2z 1
0 2z 1
xf(x, y, z) dydxdz
4. 4.1 54 4.2 16 4.3 21
8 4.4 351 4.5 2
7 5. 5.1 3
2450 ลกบาศกหนวย 5.2 6 - 38 ลกบาศกหนวย 5.3 3
1 ลกบาศกหนวย 5.4 32
81 ลกบาศกหนวย 5.5 158 ลกบาศกหนวย 5.6 3
5 ลกบาศกหนวย
5.7 5648 ลกบาศกหนวย 5.8 4 ลกบาศกหนวย 5.9 3
2 + 233 ลกบาศกหนวย 5.10 6 ลกบาศกหนวย
คาตอบแบบฝกหด 4.4
1. 1.1 2
04
0
2r 25
2r 25
r dzdrd 1.2
2
2 cos2
0
2r 16
2r 16
2z r dzdrd
1.3 2
02
0 2r 20
2r
( 2r + 2z ) r dzdrd 1.4 2
05
0
229 r
4
r dzdrd 1.5
0sin4
0
sinr cosr 10
0zr dzdrd
2. 2.1 2
03
03
32r
3r dzdrd = 281 2.2
2
0
4sin cos
1
2r
05
64r
dzdrd = 15 - 2
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calcuus III 2561/1st
4 - 123
2.3 2
02
0 2r4 32
2r
r dzdrd = 3)56264( 2.4
2
02
0 2r 8
2r
r dzdrd = 16
2.5 2
04
1
2r 16
2r 16
r dzdrd = 20 15
3. 3.1
2
01
0 2r 1
0
2z r dzdrd = 30 3.2
2
02
0 2r8
0
2r cos dzdrd = 15224
3.3
2
0sin4
0r
0z r dzdrd = 6 3.4
2
0cos2
0 2r 4
0
2r sin dzdrd = 58
3.5
2
03
0r
0r dzdrd = 2
9 3.6
2
03
0 2r9
0
29 r r dzdrd = 818
3.7
2
0cos4
02r
0r dzdrd = 12 3.8
2
01
02r
0
3r 2cos dzdrd = 24
4. 4.1 2
0
01
0
4 sin ddd 4.2 2
0
4
03
0
3 2sin cos ddd
4.3
2
0
2
04
0
4 3sin ddd 4.4 2
0
4
0sec7
0
3 2sin ddd
4.5 2
0
4
0sec2
0
3 sin ddd + 2
0
2
4
cos4
0
3 sin ddd
5. 5.1
2
0
2
02
0
4 sin ddd = 516 5.2
2
0
4
01
0
4 3sin ddd = ( 154 - 6
2 )
5.3 2
0
3
0
2
sec
3 sin ddd = 617 5.4
2
0
01
021
1
2 sin ddd = 4 - 2
5.5 2
02
) 21 arctan(
2cosec
0
4 sin ddd = 15896
6. 6.1
2
0
2
01
0
4 sin ddd = 10 6.2
2
0
6
02
0
3 sin ddd = (2 - 3 )
6.3
2
0
2
0cos2
0
3 2sin ddd = 162 6.4
2
0
4
0cos2
0
4 3sin ddd = 12011
6.5
2
0
2
02
0( cos )( 22 sin4 ) 2 sin ddd = 5
8 6.6
2
0
2
03
0
4 sin ddd = 10
39
บทท 4 อนทกรลของฟงกชนหลายตวแปร
2301207 Calcuus III 2561/1st
4 - 124
7. 7.1 8
2
0
2
0a
0
2 sin ddd = 34 3a 7.2
2
0
2
0cos4
0
2 sin ddd = 332
7.3 2
0
4
06
0
2 sin ddd = (144 - 72 2 ) 7.4 2
04
0
2r 25
2r 25
r dzdrd = 3392
7.5 2
02
0 2r 20
2r
r dzdrd = 3)152580( 7.6
0sin4
0
sinr cosr 10
0r dzdrd = 32
คาตอบแบบฝกหด 4.5 1. 1.1 V = 3
16 ลกบาศกหนวย 1.2 M = 1532 2. 2.1 zI = 15
8192 2.2 xyI = 932768
3. 3.1 zI = 15k1024 3.2 yzI = 15
k512 3.3 0I = 5k512
4. 4.1 xyM = 81k4 4.2 yzM = 0 4.3 xzM = 0 4.4 M = 18k, (0, 0, 8
9 ) 5. 5.1 M = 3
k8 5.2 xI = 7k8 5.3 yI = 315
k1312 5.4 zI = 45k184
6. 6.1 M = 24 6.2 xyI = 80
6.3 yzI = 64 6.4 xzI = 64
6.5 0I = 1607
7. 7.1 M = 6 7.2 xyM = 96
11 7.3 yzM = 359 7.4 xzM = 35
9 7.5 (35
54 , 35
54 , 1611 )
8. 8.1 V = 45 ลกบาศกหนวย 8.2 M = 24
125 8.3 zI = 40197 8.4 xyI = 15
436
9. 9.1 V = 16 ลกบาศกหนวย 9.2 M = 364 9.3 xyM = 3
256 9.4 zI = 3128
10. 10.1 V = 4 ลกบาศกหนวย 10.2 M = (8 2)
20 10.3 yzM = 142 2
525 10.4 xzI = (64 11 2)756