3 - 1 3.1 และเวกเตอร์เกรเดียนต์ บทที่ 3 p(...

บทท 3 อนพนธของฟงกชนหลายตวแปร 3 - 1

บทท 3

อนพนธของฟงกชนหลายตวแปร

รองศาสตราจารย ดารงค ทพยโยธา ภาควชาคณตศาสตรและวทยาการคอมพวเตอร คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

2301207 Calculus III 2561/1st


3.1 อนพนธของฟงกชนในทศทางของเวกเตอร และเวกเตอรเกรเดยนต P( 1x , 2x , ... , nx ) ซงเปนสมาชกของ nR มความหมายได 2 แบบ คอ P( 1x , 2x , ... , nx ) เปนจดใน nR หรอ P( 1x , 2x , ... , nx ) เปนเวกเตอรใน nR

ในกรณท f : D R เมอ D nR เราจะใชสญลกษณแทนคาของฟงกชน f ทจด P ไดทงสองแบบ คอ f(P) หรอ f(P

) ตามความเหมาะสม

อนพนธของฟงกชนในทศทางของเวกเตอร ตอไปเราจะใหความหมายของอนพนธของฟงกชนของหลายตวแปรซงเกยวของกบเวกเตอรใน nR ให f : D R เมอ D nR A เปนจดภายในของ D V

เปนเวกเตอรใน nR L = {X = A + tV t R} เปนเซตของจดบนเสนตรง ใน nR ทผานจด A และ ขนานกบ V

ให X = A + hV

เมอ h เปนจานวนจรงใด ๆ เพราะฉะนน X เปนจดบนเสนตรง L ทผานจด A และขนานกบ V

และ X - A = h V ... (1)


เพราะวา A เปนจดภายในของ D เพราะฉะนนมจานวนจรงบวก r ททาให B(A ; r) D ถาเราเลอกให V

เปนเวกเตอรหนวย และ เลอก h ททาให h r จาก (1) จะไดวา X - A r เพราะฉะนน X D และ f(X) มคา

รปท 3.1.1 จาก X = A + hV

f(X) = f(A + hV

) f(X) - f(A) = f(A + hV

) - f(A) h

)A(f)X(f = h)A(f)V hA(f

f(X) - f(A) เรยกวาคาทเปลยนแปลงของ f จาก A ไปยง X

h)A(f)X(f เรยกวาคาเฉลยของคาทเปลยนแปลงของ f

จาก A ไปยง X เทยบกบเวกเตอร V


บทนยาม 3.1.1 ให f : D R เมอ D nR A เปนจดภายใน D และ V

เปนเวกเตอรใน nR ถา

0hlim h

)A(f)V hA(f

มคา แลว เราเรยกคาลมตนวา อนพนธของ f ทจด A เทยบกบ V

เขยนแทนดวยสญลกษณ f (A ; V

) เพราะฉะนน f (A ; V

) = 0h

lim h

)A(f)V hA(f

ถาลมตมคา

ให u = |||| V

V

f (A ; u ) เรยกวา อนพนธของ f ทจด A ในทศทางของ V

เพราะฉะนน f (A ; u ) =

0hlim h

)A(f)u hA(f ถาลมตมคา


ตวอยาง 3.1.1 ให f(x, y) = 2x + 3y จงหา 1. อนพนธของ f ทจด (1, 2) เทยบกบเวกเตอร (3, 4) 2. อนพนธของ f ทจด (1, 2) ในทศทางของเวกเตอร (5, 12) 3. อนพนธของ f ทจด (1, 2) เทยบกบเวกเตอร (1, 0) 4. อนพนธของ f ทจด (1, 2) เทยบกบเวกเตอร (0, 1) วธทา 1. อนพนธของ f ทจด (1, 2) เทยบกบเวกเตอร (3, 4) คอ f ((1, 2) ; (3, 4)) =

0hlim h

)2 1,(f)4) 3,(h2) 1,((f ถาลมตมคา

= 0h

lim h

)2 1,(f)h42 ,h31(f

= 0h

lim h

7)h42(3)h31( 2

= 0h

lim h

7h126h9h61 2

= 0h

lim h

h9h18 2 =

0hlim

(18 + 9h) = 18


2. อนพนธของ f ทจด (1, 2) ในทศทางของเวกเตอร (5, 12) คอ f ((1, 2) ; (13

5 , 1312))

= 0h

lim h

)2 1,(f))1312 ,13

5(h2) 1,((f ถาลมตมคา

= 0h

lim h

)2 1,(f)h13122 ,h13

51(f

= 0h

lim h

7)h13122(3)h13

51( 2

= 0h

lim h

7h13366h169

25h13101 2

= 0h

lim h

h16925h

1346 2

= 0h

lim

(1346 +

16925 h) = 13

46

3. อนพนธของ f ทจด (1, 2) เทยบกบเวกเตอร (1, 0) คอ f ((1, 2) ; (1, 0)) =

0hlim h

)2 1,(f)0) ,1(h2) 1,((f ถาลมตมคา

= 0h

lim h

)2 1,(f)2 ,h1(f

= 0h

lim h

7)2(3)h1( 2

= 0h

lim h

hh2 2 =

0hlim

(2 + h) = 2


4. อนพนธของ f ทจด (1, 2) เทยบกบเวกเตอร (0, 1) คอ f ((1, 2) ; (0, 1)) =

0hlim h

)2 1,(f)1) ,0(h2) 1,((f ถาลมตมคา

= 0h

lim h

)2 1,(f)h2 ,1(f

= 0h

lim h

7)h2(312

= 3 ขอสงเกต 1. f ((1, 2) ; (1, 0)) กคอ อนพนธของ f เทยบกบ x ทจด (1, 2) โดยถอวา y เปนคาคงตว 2. f ((1, 2) ; (0, 1)) กคอ อนพนธของ f เทยบกบ y ทจด (1, 2) โดยถอวา x เปนคาคงตว


ตวอยาง 3.1.2 ให f(x, y, z) = 6 + x + 2y + 3z จงหา 1. อนพนธของ f ทจด (2, 4, 3) เทยบกบเวกเตอร (1, 0, 0) 2. อนพนธของ f ทจด (2, 4, 3) เทยบกบเวกเตอร (0, 1, 0) 3. อนพนธของ f ทจด (2, 4, 3) เทยบกบเวกเตอร (0, 0, 1) 4. อนพนธของ f ทจด (2, 4, 3) เทยบกบเวกเตอร (6, 2, 3) 5. อนพนธของ f ทจด (2, 4, 3) ในทศทางเวกเตอร (6, 2, 3) วธทา 1. อนพนธของ f ทจด (2, 4, 3) เทยบกบเวกเตอร (1, 0, 0)คอ f ((2, 4, 3) ; (1, 0, 0)) =

0hlim h

)3 4, 2,(f)0) 0, 1,(h3) 4, , 2((f ถาลมตมคา

= 0h

lim h

)3 4, 2,(f)3 ,4 ,h2(f

= 0h

lim h

5134)h2(6 32 = 0h

lim h

h = 1 2. อนพนธของ f ทจด (2, 4, 3) เทยบกบเวกเตอร (0, 1, 0) คอ f ((2, 4, 3) ; (0, 1, 0)) =

0hlim h

)3 4, 2,(f)0) 1, ,0(h3) 4, , 2((f ถาลมตมคา

= 0h

lim h

)3 4, 2,(f)3 ,h4 ,2(f

= 0h

lim h

513)h4(26 32

= 0h

lim h

hh8 2 = 0h

lim

(8 + h) = 8


3. อนพนธของ f ทจด (2, 4, 3) เทยบกบเวกเตอร (0, 0, 1) คอ f ((2, 4, 3) ; (0, 0, 1)) =

0hlim h

)3 4, 2,(f)1) 0, ,0(h3) 4, , 2((f ถาลมตมคา

= 0h

lim h

)3 4, 2,(f)h3 ,4 ,2(f

= 0h

lim h

51)h3(426 32

= 0h

lim h

hh9h27 32 = 0h

lim

(27 + 9h + 2h ) = 27

4. อนพนธของ f ทจด (2, 4, 3) เทยบกบเวกเตอร (6, 2, 3) คอ f ((2, 4, 3) ; (6, 2, 3)) =

0hlim h

)3 4, 2,(f)3) 2, 6,(h3) 4, , 2((f ถาลมตมคา

= 0h

lim h

)3 4, 2,(f)h33 ,h24 ,h62(f

= 0h

lim h

51)h33()h24()h62(6 32

= 0h

lim h

h27h85h103 32 =

0hlim

(103 + 85h + 27 2h ) = 103

5. อนพนธของ f ทจด (2, 4, 3) ในทศทางเวกเตอร (6, 2, 3) คอ f ((2, 4, 3) ; (7

6 , 72 , 7

3))

= 0h

lim h

)3 4, 2,(f))73 ,7

2 ,76(h3) 4, , 2((f



= 0h

lim h

)3 4, 2,(f)7h33 ,7

h24 ,7h62(f

= 0h

lim h

51)7h33()7

h24()7h62(6 32

= 0h

lim h

h34327h49

85h7103 32

=

0hlim

(7

103 + 4985h +

34327 2h )

= 7

103

ขอสงเกต 1. f ((2, 4, 3) ; (1, 0, 0)) คอ อนพนธของ f เทยบกบ x ทจด (2, 4, 3) โดยถอวา y, z เปนคาคงตว 2. f ((2, 4, 3) ; (0, 1, 0)) คอ อนพนธของ f เทยบกบ y ทจด (2, 4, 3) 3. f ((2, 4, 3) ; (0, 1, 0)) คอ อนพนธของ f เทยบกบ z ทจด (2, 4, 3)


อนพนธยอย อนพนธของ f เทยบกบเวกเตอรหนวยตามแนวพกด จะเปนอนพนธของ f เทยบกบตวแปรเพยงตวเดยว โดยถอวาตวแปรทเหลอเปนคาคงตว กลาวคอ ถา f : D R เมอ D 2R และ ( 0x , 0y ) เปนจดภายในของ D เราไดวา f (( 0x , 0y ) ; i

) คออนพนธของ f เทยบกบ x ทจด ( 0x , 0y ) โดยถอวา y เปนคาคงตว และ f (( 0x , 0y ) ; j

) คออนพนธของ f เทยบกบ y ทจด ( 0x , 0y ) โดยถอวา x เปนคาคงตว

ถา f : D R เมอ D 3R และ ( 0x , 0y , 0z ) เปนจดภายในของ D เราไดวา f (( 0x , 0y , 0z ) ; i

) คออนพนธของ f เทยบกบ x ทจด ( 0x , 0y , 0z ) โดยถอวา y, z เปนคาคงตว

f (( 0x , 0y , 0z ) ; j) คออนพนธของ f เทยบกบ y

ทจด ( 0x , 0y , 0z ) โดยถอวา x, z เปนคาคงตว

f (( 0x , 0y , 0z ) ; k ) คออนพนธของ f เทยบกบ z

ทจด ( 0x , 0y , 0z ) โดยถอวา x, y เปนคาคงตว


บทนยาม 3.1.2 เวกเตอรหนวยตามแนวแกนพกดท k เขยนแทนดวย ke กาหนดโดย ke = (0, 0, ... , 0, 1, 0, ..., 0)

kตาแหนงท

ตวอยาง ใน 2R ; 1e = (1, 0) = i

, 2e = (0, 1) = j

ใน 3R ;

1e = (1, 0, 0) = i , 2e = (0, 1, 0) = j

, 3e = (0, 0, 1) = k

บทนยาม 3.1.3 ให f : D R เมอ D nR โดยท z = f( 1x , 2x , ... , nx ) และ A เปนจดภายในของโดเมนของ f f (A ; ke ) เรยกวา อนพนธยอยของ f เทยบกบ kx ทจด A เขยนแทนดวยสญลกษณ

kxf

(A), kxf (A), kf (A), kD f(A) หรอ

A k

xz

จากบทนยาม 3.1.3 เราจะเหนวา การหาอนพนธยอยกคอ การหาอนพนธของฟงกชนของหนงตวแปรนนเอง เพราะฉะนนเราสามารถนาสตรของการหาอนพนธของฟงกชนของหนงตวแปรมาใชได


ตวอยาง 3.1.3 จงหาอนพนธยอยของฟงกชน f(x, y, z) = sin(4x + 2 2y + 3z ) วธทา xf (x, y, z) = x

(sin(4x + 2 2y + 3z )) = cos(4x + 2 2y + 3z ) x

(4x + 2 2y + 3z ) = (cos(4x + 2 2y + 3z ))(4) = 4 cos(4x + 2 2y + 3z )

yf (x, y, z) = y

(sin(4x + 2 2y + 3z ))

= cos(4x + 2 2y + 3z ) y

(4x + 2 2y + 3z )

= (cos(4x + 2 2y + 3z ))(4y) = 4y cos(4x + 2 2y + 3z ) และ zf (x, y, z) = z

(sin(4x + 2 2y + 3z )) = cos(4x + 2 2y + 3z ) z

(4x + 2 2y + 3z ) = (cos(4x + 2 2y + 3z ))(3 2z ) = 3 2z cos(4x + 2 2y + 3z )


ตวอยาง 3.1.3.2 ให f(x, y) = 3 4x 2y - 4 2x + 5y - 8 จงหาคาของ xf (1, 2) และ yf (1, 2) วธทา xf (x, y) =

x (3 4x 2y - 4 2x + 5y - 8)

= 12 3x 2y - 8x เพราะฉะนน xf (1, 2) = 12(1)3(2)2 - 8(1) = 40 yf (x, y) =

y (3 4x 2y - 4 2x + 5y - 8)

= 6 4x y + 5 เพราะฉะนน yf (1, 2) = 6(1)4(2) + 5 = 17


ตวอยาง 3.1.4 จงหาอนพนธยอยของฟงกชน f( 1x , 2x , 3x , 4x ) = 2

1x 22x 4

3x + x3e cos(2 1x + 3 4x ) วธทา

1D f( 1x , 2x , 3x , 4x ) =

1x

( 21x 2

2x 43x +

x3e cos(2 1x +3 4x ))

= 2 1x 22x 4

3x - 2 x3e sin(2 1x + 3 4x ) 2D f( 1x , 2x , 3x , 4x ) =

2x

( 21x 2

2x 43x +

x3e cos(2 1x + 3 4x ))

= 2 21x 2x 4

3x 3D f( 1x , 2x , 3x , 4x ) =

3x

( 21x 2

2x 43x +

x3e cos(2 1x + 3 4x ))

= 4 21x 2

2x 33x + x3e cos(2 1x + 3 4x )

และ 4D f( 1x , 2x , 3x , 4x ) =

4x

( 21x 2

2x 43x +

x3e cos(2 1x + 3 4x ))

= -3 x3e sin(2 1x + 3 4x )


ตวอยาง 3.1.4.2 จงหาอนพนธยอยของ f(x, y) = y4x5y3x2

วธทา xf (x, y) = x (

y4x5y3x2

)

= 2)y4x5(

)y4x5(x)y3x2()y3x2(x)y4x5(

= 2)y4x5()5)(y3x2()2)(y4x5(

= -

2)y4x5(y23

และ yf (x, y) = y (

y4x5y3x2

)

= 2)y4x5(

)y4x5(y)y3x2()y3x2(y)y4x5(

= 2)y4x5()4)(y3x2()3)(y4x5(

=

2)y4x5(x23


ตวอยาง 3.1.5 จงหาอนพนธยอยของฟงกชน f(x, y, z, u, v, w) = 3 sin(xy) + 4yz + cos(z + uv 2w ) วธทา 1D f = x

(3 sin(xy) + 4yz + cos(z + uv 2w )) = 3y cos(xy)

2D f = y

(3 sin(xy) + 4yz + cos(z + uv 2w )) = 3x cos(xy) + 4z

3D f = z

(3 sin(xy) + 4yz + cos(z + uv 2w )) = 4y - sin(z + uv 2w )

4D f = u

(3 sin(xy) + 4yz + cos(z + uv 2w )) = -v 2w sin(z + uv 2w )

5D f = v

(3 sin(xy) + 4yz + cos(z + uv 2w )) = -u 2w sin(z + uv 2w ) และ 6D f = w

(3 sin(xy) + 4yz + cos(z + uv 2w )) = -2uvw sin(z + uv 2w )


ตวอยาง 3.1.5.2 ให f(x, y, z) = 2x + 4 2y + 4z + 2xy + 4xz + 8 จงหาคาของ xf (2, 1, 4), yf (2, 1, 4) และ zf (2, 1, 4) วธทา การหา xf (x, y, z) ใชสตรการหาอนพนธของ f โดยคด วา f เปนฟงกชนของตวแปร x และถอวา y, z เปนคาคงตว เพราะฉะนน xf (x, y, z) =

x ( 2x + 4 2y + 4z + 2xy + 4xz + 8)

= 2x + 2y + 4z เพราะฉะนน xf (2, 1, 4) = 22 การหา yf (x, y, z) ใชสตรการหาอนพนธของ f โดยคดวา f เปนฟงกชนของตวแปร y และถอวา x, z เปนคาคงตว เพราะฉะนน yf (x, y, z) =

y ( 2x + 4 2y + 4z + 2xy + 4xz + 8) = 8y + 2x

เพราะฉะนน yf (2, 1, 4) = 12 การหา zf (x, y, z) ใชสตรการหาอนพนธของ f โดยคดวา f เปนฟงกชนของตวแปร z และถอวา x, y เปนคาคงตว เพราะฉะนน zf (x, y, z) =

z ( 2x + 4 2y + 4z + 2xy + 4xz + 8)= 4 3z + 4x

เพราะฉะนน zf (2, 1, 4) = 264


การมอนพนธของฟงกชน และ เวกเตอรเกรเดยนต ทบทวน การมอนพนธของฟงกชนของหนงตวแปร ให f เปนฟงกชนของหนงตวแปรทมอนพนธทจด a จะได f (a) =

0hlim h

)a(f)ha(f เพราะฉะนน ถา h มคานอยมาก แลว เราสามารถประมาณคา h

)a(f)ha(f ดวย f (a)

การขยายแนวคดเรองอนพนธไปยงฟงกชนของหลายตวแปร จากสมบตของการมอนพนธของฟงกชนของหนงตวแปร ให aE : R R กาหนดโดย

aE (h) =

0h 0

0h )a(fh)a(f)ha(f

เมอ

เมอ

เพราะฉะนน 0h

lim

aE (h) = 0 และ aE มความตอเนองทจด h = 0 และ f(a + h) = f(a) + f (a) h + h aE (h)


จากสมการ f(a + h) = f(a) + f (a) h + h aE (h) ขอใหสงเกตวาฟงกชน L ซงกาหนดโดย L(h) = f (a) h คอ คาเชงอนพนธของ f ทจด x = a โดยท L มสมบตดงน L( 1k 1h + 2k 2h ) = f (a)( 1k 1h + 2k 2h ) = f (a) 1k 1h + f (a) 2k 2h = 1k f (a) 1h + 2k f (a) 2h = 1k L( 1h ) + 2k L( 2h ) ... (*) เมอ 1h , 2h , 1k , 2k เปนจานวนจรง ซง 1h 0 และ 2h 0

หมายเหต ฟงกชนทมสมบต (*) เรยกวา ฟงกชนเชงเสน

จากทกลาวมาขางตน สาหรบฟงกชนของหนงตวแปร f ซงมอนพนธทจด a จะตองมฟงกชน L และ ฟงกชน aE ซง f(a + h) = f(a) + L(h) + h aE (h) โดยท

0hlim

aE (h) = 0 และ L มสมบตเชงเสน


การมอนพนธของฟงกชนของหลายตวแปร บทนยาม 3.1.1 ให f : D R เมอ D nR และ A เปนจดภายในของ D โดยท r เปนจานวนจรงบวก ททาให B(A ; r) D ถา 1. มฟงกชน AT : nR R ททาให AT ( 1c X + 2c Y) = 1c AT (X) + 2c AT (Y) ทก X, Y nR และ ทกคา 1c , 2c R และ 2. มฟงกชน AE : nR R ททาให f(A + V) = f(A) + AT (V) + V AE (V) เมอ V r โดยท

OVlim

AE (V) = 0 แลว เรากลาววา f มอนพนธทจด A ฟงกชน AT เรยกวา คาเชงอนพนธรวมของ f ทจด A เขยนแทนดวยสญลกษณ df(A) และเรยก df(A)(V) เรยกวา คาเชงอนพนธรวมของ f ทจด A คานวณคาทจด V สาหรบ S D เรากลาววา 1. f มอนพนธบน S กตอเมอ f มอนพนธททกจดใน S 2. f มอนพนธ กตอเมอ f มอนพนธททกจดในโดเมนของ f


ทฤษฎบท 3.1.1 ให f : D R เมอ D nR เปนฟงกชนทมอนพนธทจด A ซงเปนจดภายในของ D และ AT เปนคาเชงอนพนธรวมของ f ทจด A จะได 1. f (A ; Y

) = AT (Y ) ทก Y

nR 2. f (A ; Y

) = ( 1D f(A), 2D f(A), ... , nD f(A)) Y

ทก Y nR

บทพสจน 1. กรณท 1. Y = 0

AT (Y ) = AT (0

) = AT (0u + 0Y

) = 0 AT (u ) + 0 AT (Y ) = 0

และ f (A ; 0) =

0hlim h

)A(f)0 hA(f

= 0

เพราะฉะนน f (A ; Y ) = AT (Y

) กรณท 2. Y

0

f (A ; Y ) =

0hlim h

)A(f)Y hA(f


= 0h

lim h

)A(f)VA(f

(V = hY

)

= 0h

lim h

)V(T)V(E||V|| AA

(เพราะวา f มอนพนธทจด A)

= 0h

lim h

)Yh(T)V(E||Y h|| AA

= 0h

lim h

)Y(hT)V(E||Y || |h| AA

เพราะฉะนน f (A ; Y ) =

0hlim h



เพราะวา 0h

lim

V =

0hlim

hY = 0 และ

OVlim

AE (V ) = 0

เพราะฉะนน 0h

lim h


= AT (Y )

เพราะฉะนน f (A ; Y ) = AT (Y

)

2. ให Y = ( 1y , 2y , ... , ny )

AT (Y ) = AT ( 1y , 2y , ... , ny )

= AT ( 1y 1e + 2y 2e + ... + ny ne ) = 1y AT ( 1e ) + 2y AT ( 2e ) + ... + ny AT ( ne ) = 1y f (A ; 1e ) + 2y f (A ; 2e ) + ... + ny f (A ; ne ) = 1y 1D f(A) + 2y 2D f(A) + ... + ny nD f(A) = ( 1D f(A), 2D f(A), ... , nD f(A)) Y

บทนยาม 3.1.2 ให f : D R เมอ D nR เปนฟงกชนทมอนพนธทจด A ซงเปนจดภายในของ D เวกเตอร ( 1D f(A), 2D f(A), ... , nD f(A)) เรยกวา เวกเตอรเกรเดยนต ของฟงกชน f ทจด A เขยนแทนดวยสญลกษณ f(A) หรอ grad f(A)

เพราะฉะนนจากผลของทฤษฎบท 3.1.1 จะได f (A ; Y

) = AT (Y ) = f(A) Y

ทก Y nR

โดยท f(A) = ( 1D f(A), 2D f(A), ... , nD f(A))


ตวอยาง 3.1.6 ให f(x, y) = 2x + 4xy + 4y จงหาเวกเตอรเกรเดยนตของ f ทจด (2, 1) วธทา จาก f(x, y) = 2x + 4xy + 4y จะได f(x, y) = ( x

f , y

f )

= (2x + 4y, 4x + 4 3y ) เพระฉะนนเวกเตอรเกรเดยนตของ f ทจด (2, 1) คอ f(2, 1) = (6, 8)

ตวอยาง 3.1.7 ให f(x, y, z) = 2x 4y + 4xyz + 4x 2z จงหาเวกเตอรเกรเดยนตของ f ทจด (1, 0, 2) วธทา จาก f(x, y, z) = 2x 4y + 4xyz + 4x 2z จะได f(x, y, z) = ( x

f , y

f , z

f )

= (2x 4y + 4yz + 4 3x 2z , 4 2x 3y + 4xz, 4xy + 2 4x z) เพระฉะนนเวกเตอรเกรเดยนตของ f ทจด (1, 0, 2) คอ f(1, 0, 2) = (16, 8, 4)

จากความรเกยวกบฟงกชนของหนงตวแปรเราทราบวา ถา f มอนพนธทจด A แลว f จะมความตอเนองทจด A สาหรบฟงกชนของหลายตวแปร ขอความนยงคงเปนจรงดงทฤษฎบทตอไปน


ทฤษฎบท 3.1.2 ให f : D R เมอ D nR และ A เปนจดภายในของ S ถา f มอนพนธทจด A แลว f จะมความตอเนองทจด A บทพสจน เราตองแสดงวา

AXlim

f(X) = f(A) เพราะวา f มอนพนธทจด A เพราะฉะนนจากบทนยาม 3.4.1 จะได f(A + V) = f(A) + AT (V) + V AE (V) เมอ V r โดยท

O Vlim

AE (V) = 0 ถา V

= X - A

จะได f(X) = f(A) + AT (X

- A ) + X - A

AE (X

- A )

= f(A) + f(A) (X

- A ) + X - A

AE (X

- A )

= f(A) + f(A) (X

- A ) + V AE (V

) และ เมอ X A จะได V O เพราะฉะนน

AXlim

f(X) = f(A)

เพราะฉะนน f มความตอเนองทจด A

หมายเหต จากทฤษฎบท 3.4.1 จะเหนวา ถา f มอนพนธทจด A แลว เราสามารถหา f(A) ไดเสมอ แตในทางกลบกน มบางฟงกชนท f(A) หาได แต f ไมมอนพนธทจด A


การตรวจสอบวา f มอนพนธทจด A ใชผลของทฤษฎบทตอไปน

ทฤษฎบท 3.4.3 ให f : D R เมอ D nR และ A เปนจดภายในของ D ถา 1. มจานวนจรงบวก r ททาให 1D f, 2D f, ... , nD f มคาทกจดใน B(A ; r) D และ 2. 1D f, 2D f, ... , nD f มความตอเนองทจด A แลว f มอนพนธทจด A

บทนยาม 3.4.3 ให f : D R เมอ D nR และ A เปนจดภายในของ D ถา 1. มจานวนจรงบวก r ททาให 1D f, 2D f, ... , nD f มคาทกจดใน B(A ; r) D และ 2. 1D f, 2D f, ... , nD f มความตอเนองทจด A แลว เราจะกลาววา f มอนพนธอยางตอเนองทจด A

ขอสงเกต ฟงกชนพหนามของ n ตวแปร เปนฟงกชนทหาอนพนธยอยไดททกจดใน nR ตวอยาง f(x, y) = 2x + 4xy + 4y เปนฟงกชนทมอนพนธอยางตอเนองททกจดใน 2R


ตวอยาง 3.1.8 ให f(x, y) = sin(2x + 3y) จงหา 1. เวกเตอรเกรเดยนตของ f ทจด (x, y) 2. เวกเตอรเกรเดยนตของ f ทจด ( 2

, 3)

3. อนพนธของ f ทจด ( 2 , 3

) เทยบกบเวกเตอร (4, 3) วธทา 1. จาก f(x, y) = sin(2x + 3y) จะได f(x, y) = ( x

f , y

f )

= (2 cos(2x + 3y), 3 cos(2x + 3y)) 2. เวกเตอรเกรเดยนตของ f ทจด ( 2

, 3)

คอ f( 2 , 3

) = (2, 3) 3. อนพนธของ f ทจด ( 2

, 3) เทยบกบเวกเตอร (4, 3) คอ

f (( 2 , 3

) ; (4, 3)) = f( 2 , 3

) (4, 3) = (2, 3) (4, 3) = 8 + 9 = 17


ตวอยาง 3.1.9 ให f(x, y, z) = 2x + 3y + 4z + 8xyz จงหา 1. เวกเตอรเกรเดยนตของ f ทจด (x, y, z) 2. เวกเตอรเกรเดยนตของ f ทจด (-1, 0, 1) 3. อนพนธของ f ทจด (-1, 0, 1) ในทศทางของเวกเตอร (2, 3, 6) วธทา 1. จาก f(x, y, z) = 2x + 3y + 4z + 8xyz จะได f(x, y, z) = ( x

f , y

f , y

z )

= (2x + 8yz, 3 2y + 8xz, 4 3z + 8xy) 2. เวกเตอรเกรเดยนตของ f ทจด (-1, 0, 1) คอ f(-1, 0, 1) = (-2, -8, 4) 3. อนพนธของ f ทจด (-1, 0, 1) ในทศทางของเวกเตอร (2, 3, 6) คอ f ((-1, 0, 1) ;

222 6321

(2, 3, 6))

= f ((-1, 0, 1) ; 71(2, 3, 6))

= f(-1, 0, 1) 71(2, 3, 6)

= (-2, -8, 4) 71(2, 3, 6)

= 71(-4 - 24 + 24)

= -74


การหาคาสงสด และ คาตาสด ของ f (A ; Y )

จาก f (A ; Y ) = f(A) Y

= f(A) Y cos

เมอ เปนมมระหวาง f(A) กบ Y

ให u = ||Y||

Y

จะได f (A ; u ) = f(A) u = f(A) u cos = f(A) (1) cos = f(A) cos เพราะฉะนน เราสรปไดวา 1. อนพนธของฟงกชน f ทจด A ในทศทางของ Y

มคามากทสด เทากบ f(A) เมอ = 0 เพราะวา = 0 เมอ f(A) และ u มทศทางเดยวกน เพราะฉะนน อนพนธของฟงกชน f ทจด A ในทศทางของ Y

มคามากทสด เทากบ f(A) เมอ f(A) และ Y

มทศทางเดยวกน

เพราะฉะนนฟงกชน f จะม อตราการเปลยนแปลงเพมขนมากทสด ในทศทางของ f(A) และอตราการเปลยนแปลงทมากทสดนนมคา = f(A)


2. อนพนธของฟงกชน f ทจด A ในทศทางของ Y

มคานอยทสด เทากบ - f(A) เมอ =

เพราะวา = เมอ f(A) และ u มทศทางตรงกนขาม เพราะฉะนน อนพนธของฟงกชน f ทจด A ในทศทางของ Y

มคานอยทสด เทากบ - f(A) เมอ f(A) และ Y

มทศทางตรงกนขาม

เพราะฉะนนฟงกชน f จะม อตราการเปลยนแปลงลดลงนอยทสดในทศทางของ - f(A) และอตราการเปลยนแปลงทนอยทสดนนมคา = - f(A)

3. อนพนธของฟงกชน f ทจด A ในทศทางของ Y

มคาเทากบ 0 เมอ = 2

เพราะวา = 2 เมอ f(A) และ u ตงฉากกน

เพราะฉะนน อนพนธของฟงกชน f ทจด A ในทศทางของ Y

มคาเทากบ 0 เมอ f(A) และ Y ตงฉากกน

เพราะฉะนนฟงกชน f จะม อตราการเปลยนแปลงเปน 0 ในทศทางของทตงฉากกบ f(A)


ตวอยาง 3.1.10 ให f(x, y) = x ye จงหาทศทางซงอตราการเปลยนแปลงของ f มคาลดลงนอยทสด ทจด (-2, 0) และ จงหาอตราการเปลยนแปลงทนอยทสดนน วธทา f(x, y) = ( x

f , y

f ) = ( ye , x ye )

f(-2, 0) = (1, -2) เพราะฉะนนฟงกชน f จะมอตราการเปลยนแปลงลดลงนอยทสด ในทศทางของ - f(-2, 0) = (-1, 2) และอตราการเปลยนแปลงทนอยทสด = - f(-2, 0) = - 41 = - 5

ตวอยาง 3.1.11 ให f(x, y, z) = 2x 3y + 2yz จงหาทศทางซงอตราการเปลยนแปลงของ f มคาเพมขนมากทสดทจด (1, 1, -1) และจงหาอตราการเปลยนแปลงทมากทสดนน วธทา f(x, y, z) = (

xf ,

yf ,

zf )

= (2x 3y , 3 2x 2y + 2z, 2y) เพราะฉะนน f(1, 1, -1) = (2, 1, 2) เพราะฉะนนฟงกชน f จะมอตราการเปลยนแปลงเพมขนมากทสดในทศทางของ f(1, 1, -1) = (2, 1, 2) และอตราการเปลยนแปลงทมากทสด = f(1, 1, -1) = 414 = 3


3.2 อนพนธยอยของฟงกชนทนยามโดยปรยาย การหาอนพนธยอยของฟงกชนในหวขอทผานมา ฟงกชนทตองการหาอนพนธยอยเปนฟงกชนทกาหนดสตร ในรปแบบทแนนอน เชน z = 2x + 2y + xy หรอ w = x + y + z แลวแตวาตวแปรใดจะเปนตวแปรตามหรอตวแปรอสระ แตในหวขอนจะกาหนดฟงกชน z เปนฟงกชนของ x, y ในรปสมการ F(x, y, z) = c ... (*) (c เปนคาคงตว) ซงแสดงความสมพนธระหวางตวแปร x, y และ z มาให จากสมการ (*) นน เราจะเขยน z ในรปของ x, y บางครงกคอนขางยาก ตวอยางเชน 3x + 2y + z + 6 = 0 ... (1) 2z = 2x + 2y ... (2) ถาให z เปนฟงกชนของ x, y เราจะหาสตรของฟงกชนในรป z = f(x, y) จากสมการ (1) เขยน z ในพจนของ x, y ไดเปน z = 6 - 3x - 2y เพราะฉะนน สตรของฟงกชนคอ z = f(x, y) = 6 - 3x - 2y จากสมการ (2) เขยน z ในพจนของ x, y ไดเปน z = 22 yx เพราะฉะนน จากสมการทกาหนดนเขยนสตรของฟงกชนไดแบบ


ใดแบบหนงในสองแบบ คอ 1f (x, y) = 22 yx และ 2f (x, y) = - 22 yx เพราะฉะนน ถา x, y และ z มความสมพนธในรป F(x, y, z) = c เมอ c เปนคาคงตว โดยนยาม z เปนฟงกชนของ x และ y เราจะกลาววา z เปน ฟงกชนทนยามโดยปรยาย (implicit function) ดวยสมการ F(x, y, z) = c และถาเราเขยนสมการใหอยในรปแบบ z = f(x, y) เราจะเรยก z วาเปน ฟงกชนทนยามโดยชดแจง (explicit function) ในหวขอนเราจะศกษาเกยวกบ การหาอนพนธยอยของ ฟงกชนของหลายตวแปร ซงนยามโดยปรยายโดยไมจาเปนตอง เขยนสตรฃองฟงกชนออกมาอยางชดแจง เชน


ตวอยาง 3.2.1 ให z เปนฟงกชน f(x, y) ทนยามโดยปรยาย ดวยสมการ 2x + xyz - 2z 2y = 1 จงหา x

z และ y

z ทจด (x, y, z) ใด ๆ และทจด (1, 2, 0)

วธทา จาก 2x + xyz - 2z 2y = 1 จะได x

( 2x + xyz - 2z 2y ) = 0 x 2x + x

(xyz) - x ( 2z 2y ) = 0

2x + yz + xy xz - 2y 2z x

z = 0

xz (xy - 2 2y z) = -2x - yz

xz =

zy2xyyzx22

เพราะฉะนน ทจด (1, 2, 0) จะได xz = -1

จาก 2x + xyz - 2z 2y = 0 จะได y

( 2x + xyz - 2z 2y ) = 0 y

2x + y (xyz) - y

( 2z 2y ) = 0 xz + xy y

z - 2y 2z y

z - 2y 2z = 0

yz (xy - 2 2y z) = -xz + 2y 2z

yz =

zy2xyyz2xz2

2

เพราะฉะนน ทจด (1, 2, 0) จะได yz = 0


การหาอนพนธยอย xz และ y

z ของฟงกชนทนยามโดยปรยาย

ทาไดอกวธหนงดงน ให F(x, y, z) = 0 ... (1) เปนความสมพนธของตวแปร x, y, z ทนยาม z = f(x, y) โดยปรยาย แทนคา z = f(x, y) ใน (1) จะได F(x, y, f(x, y)) = 0 ... (2) ให g(x, y) = F(x, y, f(x, y)) 1u (x, y) = x 2u (x, y) = y 3u (x, y) = f(x, y) = z เพราะฉะนน g(x, y) = F( 1u (x, y), 2u (x, y), 3u (x, y)) = 0 โดยกฎลกโซจะได x

g =

1uF

( 1u (x, y), 2u (x, y), 3u (x, y)) x

u1 (x, y)

+

2uF

( 1u (x, y), 2u (x, y), 3u (x, y)) x

u2 (x, y)

+

3uF

( 1u (x, y), 2u (x, y), 3u (x, y)) x

u3 (x, y) ... (3)

เพราะวา xg (x, y) = 0 x

u1 (x, y) = 1

xu2 (x, y) = 0 x

u3 (x, y) = x

f (x, y)

1u

F = x

F

2uF

= y

F

3uF

= z

F


โดยกฎลกโซจะได 0 = x

F ( 1u (x, y), 2u (x, y), 3u (x, y))(1)

+ yF ( 1u (x, y), 2u (x, y), 3u (x, y))(0)

+ zF ( 1u (x, y), 2u (x, y), 3u (x, y)) x

f (x, y)

0 = xF (x, y, f(x, y)) + 0 + z

F (x, y, f(x, y)) x

f (x, y)

0 = xF (x, y, z) + z

F (x, y, z) x

f (x, y)

เพราะฉะนน xf (x, y) = -

)z ,y ,x(zF

)z ,y ,x(xF

เมอ zF (x, y, z) 0

หรอโดยยอ xf = -

zFxF

เมอ zF 0

ในทานองเดยวกน

เพราะฉะนน yf (x, y) = -

)z ,y ,x(zF

)z ,y ,x(yF

เมอ zF (x, y, z) 0

หรอโดยยอ yf = -

zFyF

เมอ zF 0

หมายเหต การหาคา xF , y

F , z

F ในการคานวณขางตน เรา

คานวณโดยพจารณาวา F เปนฟงกชนของตวแปรอสระ x, y, z โดยไมตองคดวา z เปนฟงกชนของ x, y


โดยใชแนวคดขางตนกบ ตวอยาง 3.2.1 ให F(x, y, z) = 2x + xyz - 2z 2y - 1 = 0 x

F = 2x + yz, y

F = xz - 2y 2z , z

F = xy - 2 2y z

เพราะฉะนน ทจด (1, 2, 0)

xz = -

zFxF

= -zy2xy

yzx22

= -1, y

z = -

zFyF

= -zy2xy

yz2xz2

2

= 0

ในกรณทวไปเราสรปเปนทฤษฎบทตอไปน

ทฤษฎบท 3.2.1 ให F : D R เมอ D nR ให F( 1x , 2x , ... , nx ) = 0 และนยาม nx เปนฟงกชนทนยามโดยปรยายของตวแปร 1x , 2x , ... , 1nx โดย nx = f( 1x , 2x , ... , 1nx ) เมอ f : S R เมอ S 1nR ถา f มอนพนธทจด ( 1y , 2y , ... , 1ny ) และ F มอนพนธทจด ( 1y , 2y , ... , 1ny , f( 1y , 2y , ... , 1ny ))

แลว kx

f = -

n

k

xF

xF

เมอ kx

F มคาทกคา k = 1, 2, ... , n - 1 และ

nxF

0

ทจด ( 1y , 2y , ... , 1ny , f( 1y , 2y , ... , 1ny ))


ตวอยาง 3.2.2 ให w = f(x, y, z) ทนยามโดยปรยาย ดวยสมการ xyz + 2yzw + 4zwx + 20 = 0 จงหา x

w , y

w และ z

w ทจด (x, y, z, w) ใด ๆ

และทจด (1, 2, -2, 1) วธทา F(x, y, z, w) = xyz + 2yzw + 4zwx + 20 = 0 x

F = yz + 4zw y

F = xz + 2zw

zF = xy + 2yw + 4wx w

F = 2yz + 4zx

เพราะฉะนน ทจด (x, y, z, w)

จะได xw = -

wFxF

= - zx4yz2zw4yz

yw = -

wFyF

= - zx4yz2zw2xz

zw = -

wFzF

= - zx4yz2wx4yw2xy

เพราะฉะนน ทจด (1, 2, -2, 1) จะได

xw = -

wFxF

= - 1612

= -4

3 , yw = -

wFyF

= - 166

= -8

3

zw = -

wFzF

= - 1610 = 8

5


จาโคเบยนของการเปลยนตวแปร บทนยาม 3.2.1 ให 1f , 2f , ... , nf เปนฟงกชน ของตวแปร 1x , 2x , ... , nx และ อนพนธยอย

ji

xf

มคา

ทกคา i = 1, 2, ... , n และ j = 1, 2, ... , n จาโคเบยนดเทอรมแนนท ของ 1f , 2f , ... , nf

หรอเรยกโดยยอวา จาโคเบยน ของ 1f , 2f , ... , nf เทยบกบตวแปร 1x , 2x , ... , nx

หมายถงคาของ ดเทอรมแนนท

xf...x

fxf

::::xf...x

fxf

xf...x

fxf

nn

2n

1n

n2

22

12

n1

21

11

สญลกษณทใชแทนจาโคเบยน ของ 1f , 2f , ... , nf เทยบกบตวแปร 1x , 2x , ... , nx แทนดวย )x, ... , x,x(

)f, ... ,f ,f(n21

n21

เพราะฉะนน )x, ... , x,x()f, ... ,f ,f(

n21n21

=

xf...x

fxf

::::xf...x

fxf

xf...x

fxf

nn

2n

1n

n2

22

12

n1

21

11


ตวอยาง 3.2.3 ให 1f ( 1x , 2x ) = 2 1x + 3 2x และ 2f ( 1x , 2x ) = 5 1x - 4 2x จงหา จาโคเบยน ของ 1f , 2f เทยบกบตวแปร 1x , 2x วธทา เพราะวา 1f ( 1x , 2x ) = 2 1x + 3 2x และ 2f ( 1x , 2x ) = 5 1x - 4 2x เพราะฉะนนจาโคเบยน ของ 1f , 2f เทยบกบตวแปร 1x , 2x

) x,x()f ,f(

2121

=

xf

xf

xf

xf

22

12

21

11

= 453 2 = (2)(-4) - (3)(5) = -8 - 15 = -23


ตวอยาง 3.2.4 ให x = r cos และ y = r sin จงหาจาโคเบยน ของ x, y เทยบกบตวแปร r, วธทา x = 1f (r, ) = r cos และ y = 2f (r, ) = r sin จาโคเบยนของ x, y เทยบกบตวแปร r,

) ,r()y ,x(

= ) ,r(

)f ,f( 21

= sinrsinrr

cosrcosrr

= cosrsinsinrcos

= r 2cos + r 2sin = r


กรณศกษาแบบท 1 การหาอนพนธยอยของฟงกชนทนยามโดยปรยาย ดวยสมการ 2 สมการ และมตวแปร 3 ตว โดยม x เปนตวแปรอสระ u, v เปนตวแปรตาม ซงกาหนดดวยสมการ F(x, u, v) = 0 ... (1) และ G(x, u, v) = 0 ... (2) ในกรณทเราสามารถแกสมการ (1) และ (2) ไดคา u, v ในพจนของ x กลาวคอได u = u(x) และ v = v(x) เรากจะหา du

dx และ dv

dx ได แตถาเราไมสามารถแกสมการดงทกลาวมาได เราสามารถหา du

dx และ dvdx โดยใชแนวคดดงตอไปน

ให f(x) = F(x, u(x), v(x)) ... (3) และ g(x) = G(x, u(x), v(x)) ... (4) เพราะฉะนนเราสามารถหา f (x) และ g (x) ได ให 1u (x) = x, 2u (x) = u(x), 3u (x) = v(x) เพราะฉะนน 1du

dx = 1, 2dudx = du

dx , 3dudx = dv

dx ดงนน จาก (3) และ (4) จะได f(x) = F( 1u (x), 2u (x), 3u (x)) = 0 และ g(x) = G( 1u (x), 2u (x), 3u (x)) = 0 หรอเขยนโดยยอเปน f = F( 1u , 2u , 3u ) ... (5) และ g = G( 1u , 2u , 3u ) ... (6)


จาก (5) จะได f (x) = 1

Fu

1dudx +

2F

u

2dudx +

3Fu

3dudx

0 = Fx

(1) + Fx

dudx + F

v

dvdx

หรอ Fx

dudx + F

v

dvdx = - F

x

... (7)

จาก (6) จะได g (x) = 1

Gu

1dudx +

2Gu

2dudx +

3Gu

3dudx

0 = Gx

(1) + Gu

dudx + G

v

dvdx

หรอ Gu

dudx + G

v

dvdx = - G

x

... (8) จาก (7) และ (8) โดยใชกฎของคราเมอรกบระบบสมการ 2 สมการ 2 ตวแปร ซงตวแปรคอ du

dx และ dvdx

จะได

dudx =

F Fx vG Gx v

F Fu vG Gu v

= –

F Fx vG Gx vF Fu vG Gu v

= –(F,G)(x,v)(F,G)(u,v)

และ dvdx =

F Fu xG Gu xF Fu vG Gu v

= –


= –(F,G)(u,x)(F,G)(u,v)


ตวอยาง 3.2.5 ให u และ v เปนฟงกชนของ x นยามโดยปรยายดวยสมการ 2u + 2xu + 2v = 0 และ 2x + xuv + 3v = 0 จงหา du

dx และ dvdx

วธทา ให F(x, u, v) = 2u + 2xu + 2v และ G(x, u, v) = 2x + xuv + 3v จะได

dudx = –

(F,G)(x,v)(F,G)(u,v)

= –


= 2

2

2u 2v2x uv xu 3v2u 2x 2v

xv xu 3v

= - 2

2(2u)(xu 3v ) (2v)(2x uv)(2u 2x)(xu 3v ) (2v)(xv)

= 2 22 2 2 22xu 4uv 4vx

2xu 6uv 2x u 4xv

และ dvdx = –

(F,G)(u,x)(F,G)(u,v)

= –


= 2

2u 2x 2uxv 2x uv

2u 2x 2vxv xu 3v

= - 2(2u 2x)(2x uv) (2u)(xv)

(2u 2x)(xu 3v ) (2v)(xv)

= 2 22 2 2 2

4xu 2u v 4x2xu 6uv 2x u 4xv


กรณศกษาแบบท 2. สมมตให u, v เปนตวแปรตาม และ x, y เปนตวแปรอสระ โดยกาหนดฟงกชนนยามโดยปรยายเปน F(x, y, u, v) = 0 ... (1) G(x, y, u, v) = 0 ... (2)

ให u = U(x, y) และ v = V(x, y) กรณท 1. ในกรณทเราสามารถแกสมการจากสมการ (1) และ (2) ไดคา u ในเทอมของ x, y กลาวคอ u = U(x, y) และ ไดคา v ในเทอมของ x, y กลาวคอ v = V(x, y) เรากจะหา x

U , y

U , x

V , y

V ได

กรณท 2. ในกรณทเราไมสามารถแกสมการ (1) และ (2) เพอหาสตรของ u = U(x, y) และ v = V(x, y) เราสามารถหาอนพนธยอย

xU , y

U , x

V , y

V โดยใชแนวคดดงน

ให f(x, y) = F(x, y, U(x, y), V(x, y)) ... (3) g(x, y) = G(x, y, U(x, y), V(x, y)) ... (4) เพราะฉะนนเราหาอนพนธยอยของ f, g เทยบกบ x, y ได ให 1u (x, y) = x, 2u (x, y) = y, 3u (x, y) = U(x, y), 4u (x, y) = V(x, y)


เพราะฉะนน xu1 = 1 x

u2 = 0

xu3 = x

U x

u4 = x

V

เพราะฉะนนจาก (3) และ (4) จะได f(x, y) = F( 1u (x, y), 2u (x, y), 3u (x, y), 4u (x, y)) = 0 g(x, y) = G( 1u (x, y), 2u (x, y), 3u (x, y), 4u (x, y)) = 0 หรอเขยนโดยยอเปน f = F( 1u , 2u , 3u , 4u ) ... (5) g = G( 1u , 2u , 3u , 4u ) ... (6) จาก (5) จะได x

f =

1uF

xu1 +

2uF

xu2 +

3uF

xu3 +

4uF

xu4

0 = 1u

F (1) +

2uF

(0) +

3uF

xU +

4uF

xV

0 = xF (1) + y

F (0) + u

F

xU + v

F

xV

uF

xU + v

F

xV = - x

F ... (7)

จาก (6) จะได x

g =

1uG

xu1 +

2uG

xu2 +

3uG

xu3 +

4uG

xu4

0 = 1u

G (1) +

2uG

(0) +

3uG

xU +

4uG

xV

0 = xG (1) + y

G (0) + u

G

xU + v

G

xV

uG

xU + v

G

xV = - x

G ... (8)


พจารณาสมการ (7) และ (8) เปนระบบสมการ 2 ตวแปร x

U , x

V 2 สมการ

uF

xU + v

F

xV = - x

F ... (7)

uG

xU + v

G

xV = - x

G ... (8)

เมอ vG

uG

vF

uF

0 โดยกฎของคราเมอรจะได

xu = x

U = -

vG

uG

vF

uF

vG

xG

vF

xF

= -)v,u()G,F()v,x()G,F(

และ xv = x

V = -

vG

uG

vF

uF

xG

uG

xF

uF

= -)v,u()G,F()x,u()G,F(


ในทานองเดยวกน จะได

yu = y

U = -

vG

uG

vF

uF

vG

yG

vF

yF

= -)v,u()G,F()v,y()G,F(

และ yv = y

V = -

vG

uG

vF

uF

yG

uG

yF

uF

= -)v,u()G,F()y,u()G,F(

เมอ vG

uG

vF

uF

0


ตวอยาง 3.2.6 ให u, v เปนฟงกชนของ x, y นยามโดยปรยายดวยสมการ 2x + 2y + uv = 0 ... (1) และ 2y + 3x + u + v = 0 ... (2) จงหา x

u , x

v , y

u และ y

v

วธทา แบบท 1. ใชผลของสตรขางตน ให F(x, y, u, v) = 2x + 2y + uv G(x, y, u, v) = 2y + 3x + u + v เพราะฉะนน

xu = -

)v,u()G,F()v,x()G,F(

= -

vG

uG

vF

uF

vG

xG

vF

xF

= - 11

uv

13ux2

= - uvu3x2

เมอ v - u 0


ในทานองเดยวกน เมอ v - u 0 จะได

xv = -

)v,u()G,F()x,u()G,F(

= -

vG

uG

vF

uF

xG

uG

xF

uF

= - 11

uv

31x2v

= - uvx2v3

yu = -

)v,u()G,F()v,y()G,F(

= -

vG

uG

vF

uF

vG

yG

vF

yF

= - 11

uv

1y2u2

= - uvyu22

yv = -

)v,u()G,F()y,u()G,F(

= -

vG

uG

vF

uF

yG

uG

yF

uF

= - 11

uv

y212v

= - uv2yv2


แบบท 2. ใชการหาอนพนธยอยและการจดรปพชคณต จาก (1) หาอนพนธยอยเทยบกบ x 2x + 2y + uv = 0 x

( 2x + 2y + uv) = 0 x

( 2x ) + x (2y) + x

(uv) = 0 2x + 0 + v x

u + u x

v = 0

v xu + u x

v = -2x ... (3)

จาก (2) หาอนพนธยอยเทยบกบ x 2y + 3x + u + v = 0 x

( 2y + 3x + u + v) = 0 x ( 2y ) + x

(3x) + xu + x

v = 0

0 + 3 + xu + x

v = 0

xu + x

v = -3 ... (4)

จาก (3) และ (4) และดวยการใชกฎของคราเมอรจะได

xu =

11uv

13ux2

= - 11

uv

13ux2

= - uvu3x2

เมอ v - u 0

xv =

11uv

31x2v

= - 11

uv

31x2v

= - uvx2v3

เมอ v - u 0


จาก (1) หาอนพนธยอยเทยบกบ y 2x + 2y + uv = 0 y

( 2x + 2y + uv) = 0 y

( 2x ) + y (2y) + y

(uv) = 0 0 + 2 + v y

u + u y

v = 0

v yu + u y

v = -2 ... (5)

จาก (2) หาอนพนธยอยเทยบกบ y 2y + 3x + u + v = 0 y

( 2y + 3x + u + v) = 0 y

( 2y ) + y (3x) + y

u + y

v = 0

2y + 0 + yu + y

v = 0

yu + y

v = -2y ... (6)

จาก (5) และ (6) และดวยการใชกฎของคราเมอรจะได

yu =

11uv

1y2u2

= - 11

uv

1y2u2

= - uvyu22

เมอ v - u 0

yv =

11uv

y212v

= - 11

uv

y212v

= - uv2yv2

เมอ v - u 0


กรณทวไปเปนการกาหนดฟงกชนดวยสมการ m สมการ และมตวแปร n ตว เมอ n m โดยม 1x , 2x , ... , n mx เปนตวแปรอสระ และ n m 1x , n m 2x , ... , nx เปนตวแปรตามซงกาหนดดวยสมการ 1F ( 1x , 2x , ... , n mx , n m 1x , n m 2x , ... , nx ) = 0 ... (1) 2F ( 1x , 2x , ... , n mx , n m 1x , n m 2x , ... , nx ) = 0 ... (2)

: mF ( 1x , 2x , ... , n mx , n m 1x , n m 2x , ... , nx ) = 0 ... (m) ให n m 1x = 1u ( 1x , 2x , ... , n mx ) n m 2x = 2u ( 1x , 2x , ... , n mx ) : nx = mu ( 1x , 2x , ... , n mx ) สาหรบ i = 1, 2, ... , m และ j = 1, 2, ... , n - m

จะไดวา ij

ux

= - 1 2 i m

n m 1 n m 2 j n

1 2 i mn m 1 n m 2 n m i n

(F ,F ,...,F ,...,F )(x ,x ,..., x ,..., x )

(F ,F ,...,F ,...,F )(x ,x ,..., x ,..., x )

เมอ 1 2 i mn m 1 n m 2 n m i n

(F ,F ,...,F ,...,F )(x ,x ,..., x ,..., x )

0

หมายเหต การเปลยนชอฟงกชน 1F , 2F , 3F , ... เปน F, G, H, ... ตามลาดบ อาจจะชวยใหเราสามารถหาคาของอนพนธดงกลาวไดสะดวกขน


ตวอยาง 3.2.7 ให u, v เปนฟงกชนของ x, y, z นยามโดยปรยายดวยสมการ 2x + 3y + 2z + uv = 0 ... (1) และ 3x + 7y + 3z + 2u + 3v = 0 ... (2) จงหา x

v , y

v , z

v , x

u , y

u , z

u

วธทา ให F(x, y, z, u, v) = 2x + 3y + 2z + uv และ G(x, y, z, u, v) = 3x + 7y + 3z + 2u + 3v โดยทฤษฎบท 3.2.2 จะได

xv = -

)v,u()G,F()x,u()G,F(

= -

vG

uG

vF

uF

xG

uG

xF

uF

= - 32

uv

322v

= - u2v34v3

เมอ 3v - 2u 0


ในทานองเดยวกน เมอ 3v - 2u 0 จะได

yv

= -(F,G)(u, y)(F,G)(u,v)

= -

F Fu yG Gu yF Fu vG Gu v

= - 32

uv

723v

= - u2v36v7

zv

= -(F,G)(u,z)(F,G)(u,v)

= -

F Fu zG Gu zF Fu vG Gu v

= - 32

uv

322zv

= - u2v3z4v3

xu

= -(F,G)(x,v)(F,G)(u,v)

= -


= - 32

uv

33u2

= - u2v3u36


yu

= -(F,G)(y,v)(F,G)(u,v)

= -

F Fy vG Gy vF Fu vG Gu v

= - 32

uv

37u3

= - u2v3u79

zu

= -(F,G)(z,v)(F,G)(u,v)

= -

F Fz vG Gz vF Fu vG Gu v

= - 32

uv

33u2z

= - u2v3u3z6


ตวอยาง 3.2.8 ให u, v, w เปนฟงกชนของ x, y, z นยามโดยปรยายดวยสมการ x + 2y + 3z + 5u + v + 2w = 0 ... (1) 4x + 2y + 5z + uv + w = 0 ... (2) และ 2x + 4y + 5z + u + 2v + 5w = 0 ... (3) จงหา x

u

วธทา ให F(x, y, z, u, v, w) = x + 2y + 3z + 5u + v + 2w G(x, y, z, u, v, w) = 4x + 2y + 5z + uv + w H(x, y, z, u, v, w) = 2x + 4y + 5z + u + 2v + 5w โดยทฤษฎบท 3.2.2 จะได

เมอ 23u - v - 9 0 จะได xu = -

(F,G,H)(x,v,w)(F,G,H)(u,v,w)


= -

F F Fx v wG G Gx v wH H Hx v wF F Fu v wG G Gu v wH H Hu v w

= -

5211uv215

5221u4211

= - 9vu234u


ตวอยาง 3.2.9 ให z เปนฟงกชนของ x, y นยามโดยปรยาย ดวยสมการ x + 2y + 4z = 0 ... (1) และ u เปนฟงกชนของ x, y, z นยามโดยปรยายกาหนดดวย สมการ 4x + 3y + 3z + 4u = 0 ... (2) จงหา x

u และ y

u โดยใชกฎลกโซ

วธทา จากสมการ (1) ให F(x, y, z) = x + 2y + 4z

จะได xz = -

zFxF

= - 3z41 ... (3)

และ yz = -

zFyF

= - 3z4y2 ... (4)

การหา xu

จากสมการ (2) จะได x ( 4x + 3y + 3z + 4u ) = 0

4 3x + 0 + 3 2z xz + 4 3u x

u = 0

4 3x + 3 2z xz + 4 3u x

u = 0

จากสมการ (3) จะได 4 3x + 3 2z (- 3z41 ) + 4 3u x

u = 0

4 3x - z43 + 4 3u x

u = 0

เพราะฉะนน xu = 3

3

u4z4

3x4

= zu16

3zx163

3


การหา yu

จากสมการ (2) จะได y

( 4x + 3y + 3z + 4u ) = 0 0 + 3 2y + 3 2z y

z + 4 3u y

u = 0

3 2y + 3 2z yz + 4 3u y

u = 0

จากสมการ (4) จะได 3 2y + 3 2z (- 3z4

y2 ) + 4 3u yu = 0

3 2y - z23 y + 4 3u y

u = 0

yu = 3

2

u4

yz23y3

= zu8

y3zy63

2


3.3 ระนาบสมผสและเสนนอรมลของพนผว ให S เปนพนผวใน 3R ซงกาหนดดวยสมการ F(x, y, z) = 0 ให A( 0x , 0y , 0z ) เปนจดบนพนผว S ให C เปนเสนโคงบนพนผว S ซงผานจด A โดยมสมการ องตวแปรเสรมเปน x = x(t) y = y(t) z = z(t) เมอ t เปนจานวนจรง เพราะฉะนนม 0t ททาให 0x = x( 0t ) 0y = y( 0t ) 0z = z( 0t ) เพราะวา C เปนเสนโคงบนพนผว S เพราะฉะนน F(x(t), y(t), z(t)) = 0 เพราะฉะนน

dtd F(x(t), y(t), z(t)) = 0

xF

dtdx +

yF

dtdy +

zF

dtdz = 0

เมอ t = 0t จะได

xF (A)

dtdx ( 0t ) +

yF (A) dt

dy( 0t ) + zF (A)

dtdz ( 0t ) = 0

(xF (A),

yF (A),

zF (A))(

dtdx ( 0t ), dt

dy( 0t ), dtdz ( 0t )) = 0

F(A)(dtdx ( 0t ), dt

dy( 0t ), dtdz ( 0t )) = 0

F( 0x , 0y , 0z )(dtdx ( 0t ),

dtdy( 0t ),

dtdz ( 0t )) = 0


เพราะฉะนน เวกเตอร F( 0x , 0y , 0z ) ตงฉากกบเวกเตอร (

dtdx ( 0t ), dt

dy( 0t ), dtdz ( 0t ))

เพราะวา (dtdx ( 0t ),

dtdy( 0t ),

dtdz ( 0t )) เปนเวกเตอรสมผส

เสนโคง C ทจด A( 0x , 0y , 0z ) เพราะฉะนน F( 0x , 0y , 0z ) ตงฉากกบ เวกเตอรสมผสเสนโคง C บนพนผว S ทจด A( 0x , 0y , 0z )

รปท 3.3.1 รปท 3.8.1 1L , 2L เปนตวอยางเสนสมผสเสนโคง C ณ จด A ซงตงฉากกบ F(A) โดยทวไปจะไดวา ทกเสนโคง C ทผานจด A เสนสมผสเสนโคง C ณ จด A ตองตงฉากกบ F(A) ซงหมายความวาเสนสมผสเหลานนตางกอยบนระนาบ M เดยวกน โดยทระนาบ M นนตงฉากกบ F(A) ระนาบ M ทกลาวมานเรยกวา ระนาบสมผส ของพนผว S ทจด A


เสนตรงทผานจด A และขนานกบ F(A) เรยกวา เสนนอรมล หรอ เสนแนวฉาก ของพนผว S ทจด A เวกเตอรทขนานกบ F(A) เรยกวา เวกเตอรนอรมล หรอ เวกเตอรแนวฉาก ของพนผว S ทจด A เพราะฉะนน เวกเตอร v ใด ๆ ตงฉากกบพนผว S กตอเมอ v เปน เวกเตอรนอรมล หรอ เวกเตอรแนวฉาก ของพนผว S ทจด A

รปท 3.3.2 รปท 3.3.2 แสดงระนาบสมผส M ของพนผว S ทจด A


สรป เมอ S เปนพนผวใน 3R ซงกาหนดดวยสมการ F(x, y, z) = 0 และ A( 0x , 0y , 0z ) เปนจดบนพนผว S

ระนาบสมผส ของพนผว S ทจด A มสมการเปน

xF (A)(x – 0x ) +

yF (A)(y – 0y ) +

zF (A)(z – 0z ) = 0

เสนนอรมล หรอ เสนแนวฉาก ของพนผว S ทจด A มสมการองตวแปรเสรมเปน x = 0x +

xF (A) t

y = 0y + yF (A) t

z = 0z + zF (A) t

เรากลาววา เวกเตอร v ตงฉากกบพ นผว S ทจด A กตอเมอ v เปนเวกเตอรแนวฉากของ S ทจด A

พ นผว 1S และ 2S สมผสกนทจด A กตอเมอ ระนาบสมผสของ 1S ทจด A และ ระนาบสมผส 2S ทจด A เปนระนาบเดยวกน


ตวอยาง 3.3.1 กาหนดใหพนผว S มสมการเปน 2x + 3 2y = 4z + 5 และ A(1, –2, 2)

จงหา สมการของระนาบสมผส และ สมการของเสนแนวฉาก ของพนผว S ทจด A วธทา ให F(x, y, z) = 2x + 3 2y – 4z – 5 = 0 F(x, y, z) = (

xF ,

yF ,

zF )

= (2x, 6y, –4) F((1, –2, 2)) = (2, –12, –4) สมการของระนาบสมผส ของพนผว S ทจด A(1, –2, 2) คอ

xF (A)(x – 0x ) +

yF (A)(y – 0y ) +

zF (A)(z – 0z ) = 0

(2)(x – 1) + (–12)(y + 2) + (–4)(z – 2) = 0 2x – 12y – 4z – 18 = 0 สมการของเสนแนวฉาก ของพนผว S ทจด A(1, –2, 2) คอ x = 0x +

xF (A) t = 1 + 2 t

y = 0y + yF (A) t = –2 – 12 t

z = 0z + zF (A) t = 2 – 4 t


ตวอยาง 3.3.2 กาหนดใหพนผว S มสมการเปน 2z + 2x + 2y + 4xy + yz + 2zx = 0 จงหาเวกเตอร v (x, y, z) ทตงฉากกบพนผว S ทจด (x, y, z) วธทา ให F(x, y, z) = 2z + 2x + 2y + 4xy + yz + 2zx = 0 จะได F(x, y, z) = (

xF ,

yF ,

zF )

= (2x + 4y + 2z, 2y + 4x + z, 2z + y + 2x) เพราะวา F(x, y, z) = (2x + 4y + 2z, 2y + 4x + z, 2z + y + 2x) เปนเวกเตอรตงฉากกบพนผว S ทจด (x, y, z) เพราะฉะนน เวกเตอร v (x, y, z) ทตงฉากกบพนผว S ทจด (x, y, z) คอ k(2x + 4y + 2z, 2y + 4x + z, 2z + y + 2x) เมอ k เปนจานวนจรงใด ๆ เสนสมผสเสนโคงทเกดจากการตดกนของพ นผวสองพ นผว ในปรภมสามมต พนผว 1S และ 2S ตดกนมรอยตดเปน เสนโคง C และ A เปนจดบนเสนโคง C เราสามารถหาสมการ ของเสนสมผส T ของเสนโคง C ทจด A ได


ตวอยาง 3.3.3 ใหพนผว 1S มสมการเปน 2 2x + 3 2y + 2z = 12 และ พนผว 2S มสมการเปน 3 2x + 2y - 7y + 3z = 23 จงพจารณาวา 1S และ 2S สมผสกนหรอไมทจด (2, -1, 1) วธทา ให F(x, y, z) = 2 2x + 3 2y + 2z - 12 และ G(x, y, z) = 3 2x + 2y - 7y + 3z - 23 จะไดวา F(2, -1, 1) = 0 และ G(2, -1, 1) = 0 ดงนน จด (2, -1, 1) อยบนพนผว 1S และ 2S จะไดวา F(x, y, z) = (4x, 6y, 2z) G(x, y, z) = (6x, 2y - 7, 3) เพราะฉะนน F(2, -1, 1) = (8, -6, 2) และ G(2, -1, 1) = (12, -9, 3) จะไดวา F(2, -1, 1) = ( 2

3 ) G(2, -1, 1) ดงนน F(2, -1, 1) ขนานกบ G(2, -1, 1) เพราะฉะนนระนาบสมผสของ 1S ทจด (2, -1, 1) และระนาบสมผสของ 2S ทจด (2, -1, 1) ยอมเปนระนาบเดยวกน นนคอ พนผว 1S และ 2S สมผสกนทจด (2, -1, 1)


เสนสมผสเสนโคงทเกดจากการตดกนของพ นผวสองพ นผว ในปรภมสามมต ถาพนผว 1S และ 2S ตางกผานจด A แตไมสมผสกนทจด A เรายอมไดวาพนผว 1S และ 2S ตดกน โดยมรอยตดเปนเสนโคง C และจด A อยบนเสนโคง C ซงเราสามารถหาสมการของเสนสมผสของเสนโคง C ทจด A ไดดงน ใหพนผว 1S มสมการเปน F(x, y, z) = 0 และพนผว 2S มสมการเปน G(x, y, z) = 0 เนองจาก C เปนเสนโคงบนพนผว 1S และ 2S ทผานจด A เพราะฉะนน C มสมการเปน F(x, y, z) = 0, G(x, y, z) = 0 ให T เปนเสนสมผสของเสนโคง C ทจด A( 0x , 0y , 0z ) เพราะฉะนนเวกเตอรแสดงทศทางของ T ตงฉากกบ F( 0x , 0y , 0z ) และ G( 0x , 0y , 0z ) ดงนน เวกเตอรแสดงทศทางของ T ขนานกบ F( 0x , 0y , 0z ) G( 0x , 0y , 0z ) ให a i

+ b j + ck

เปนเวกเตอรทขนานกบ F( 0x , 0y , 0z ) G( 0x , 0y , 0z ) เพราะฉะนนสมการของเสนสมผส T ของเสนโคง C ทจด A( 0x , 0y , 0z ) คอ x = 0x + a t y = 0y + b t z = 0z + c t


ตวอยาง 3.3.4 ใหพนผว 1S มสมการเปน 2x + 2y = z + 2 และ 2S มสมการเปน 2x + 2y + 2z + 2xy = 18 จงหาสมการของเสนสมผส T ของเสนโคง C ซงเปนรอยตดของพนผว 1S และ 2S ทจด A(1, 2, 3) วธทา ให F(x, y, z) = 2x + 2y – z – 2 F(x, y, z) = (2x, 2y, –1) F(1, 2, 3) = (2, 4, –1) G(x, y, z) = 2x + 2y + 2z + 2xy – 18 G(x, y, z) = (2x + 2y, 2y + 2x, 2z) G(1, 2, 3) = (6, 6, 6) F(1, 2, 3) G(1, 2, 3) = (2, 4, –1) (6, 6, 6)

= 666142

kji

= (24 + 6) i – (12 + 6) j

+ (12 - 24)k

= 30 i – 18 j

– 12k = 6(5 i

– 3 j – 2k

) เลอกเวกเตอรแสดงทศทางของเสนสมผส T เปน (5, –3, –2) เพราะฉะนน สมการของเสนสมผส T ของเสนโคง C ทจด A(1, 2, 3) คอ x = 1 + 5 t y = 2 – 3 t z = 3 – 2 t


ตวอยาง 3.3.5 ใหพนผว 1S มสมการพนผวเปน xy + z = 0 และ 2S มสมการพนผวเปน 2x + 2y + 2z = 9 และ C เปนสวนตดกนของพนผว 1S และ 2S จงหาสมการของเสนสมผส T ของเสนโคง C ทจด A(2, 1, –2) วธทา ให F(x, y, z) = xy + z = 0 G(x, y, z) = 2x + 2y + 2z – 9 = 0 เพราะวา F(x, y, z) = (y, x, 1) เพราะฉะนน F(2, 1, –2) = (1, 2, 1) เพราะวา G(x, y, z) = (2x, 2y, 2z) เพราะฉะนน G(2, 1, –2) = (4, 2, –4) เพราะฉะนน F(2, 1, –2) G(2, 1, –2)

= (1, 2, –1) (4, 2, –4) = 424

121kji

= (–8 – 2) i – (–4 – 4) j

+ (2 – 8)k

= –10 i + 8 j

– 6k = –2(5 i

+ 4 j – 3k

) เลอกเวกเตอรแสดงทศทางของเสนสมผส T เปน (5, –4, 3) เพราะฉะนน สมการของเสนสมผส T ของเสนโคง C ทจด A(2, 1, –2) คอ x = 2 + 5 t y = 1 – 4t z = –2 + 3 t


3.4 สตรของเทยเลอรของฟงกชนของสองตวแปร 1. f(a, b) + xf (a, b)(x - a) + yf (a, b)(y - b) เรยกวา พหนามเทยเลอรดกร 1 ของ f รอบจด (a, b) 2. f(a, b) + xf (a, b)(x - a) + yf (a, b)(y - b) + 1

2!( xxf (a, b)(x - a)2 + 2(x - a)(y - b) xyf (a, b) + yyf (a, b)(y - b)2) เรยกวา พหนามเทยเลอรดกร 2 ของ f รอบจด (a, b) ตวอยาง 3.4.1 ให f(x, y) = sin(2x)cos(3y) จงหาพหนามเทยเลอรดกร 1 ของ f รอบจด ( 6

, 12 )

วธทา f(x, y) = sin(2x) cos(3y) f( 6 , 12

) = ( 32 )( 2

2 ) = 64

xf (x, y) = 2 cos(2x) cos(3y),

xf ( 6 , 12

) = 2( 12 )( 2

2 ) = 22

yf (x, y) = -3 sin(2x) sin(3y),

yf ( 6 , 12

) = -3( 32 )( 2

2 ) = -3 64

พหนามเทยเลอรดกร 1 ของ f รอบจด ( 6 , 12

) คอ f( 6

, 12 ) + xf ( 6

, 12 )(x - 6

) + yf ( 6 , 12

)(y - 12 )

= 64 + 2

2 (x - 6 ) - 3 6

4 (y - 12 )


ตวอยาง 3.4.2 ให f(x, y) = 3x 2ye จงหาพหนามเทยเลอรดกร 2 ของ f รอบจด (0, 0) วธทา f(x, y) = 3x 2ye , f(0, 0) = 1

xf (x, y) = 3 3x 2ye , xf (0, 0) = 3 yf (x, y) = 2 3x 2ye , yf (0, 0) = 2

xxf (x, y) = 9 3x 2ye , xxf (0, 0) = 9 xyf (x, y) = 6 3x 2ye , xyf (0, 0) = 6

yyf (x, y) = 4 3x 2ye , yyf (0, 0) = 4 พหนามเทยเลอรดกร 2 ของ f รอบจด (0, 0) คอ f(0, 0) + xf (0, 0)x + yf (0, 0)y + 1

2!( xxf (0, 0) 2x + 2xy xyf (0, 0) + yyf (0, 0) 2y ) = 1 + 3x + 2y + 1

2! (92x + 2xy(6) + 4 2y )

= 1 + 3x + 2y + 6xy + 92

2x + 2 2y


3.5 คาสดขดของฟงกชนของหลายตวแปร บทนยาม 3.5.1 ให f : D R เมอ D nR และ A S D เราจะกลาววา

1. f(A) เปน คาสงสด ของ f บน S กตอเมอ f(A) f(X) สาหรบทก X S ในกรณนเรากลาววา f มคาสงสดบน S ท A

2. f(A) เปน คาตาสด ของ f บน S กตอเมอ f(A) f(X) สาหรบทก X S ในกรณนเรากลาววา f มคาตาสดบน S ท A

3. f(A) เปน คาสดขด ของ f บน S กตอเมอ f(A) เปนคาสงสดของ f บน S หรอ f(A) เปนคาตาสดของ f บน S


ตวอยาง 3.5.1 ให f(x, y) = 2x + 2y + 4 จงพจารณาวา f มคาสงสดและคาตาสดบน 2R หรอไม วธทา เพราะวา f(x, y) = 2x + 2y + 4 4 = f(0, 0) ทก (x, y) 2R เพราะฉะนน f(0, 0) = 4 เปนคาตาสดของ f บน 2R เพราะวาทกจานวนจรงบวก M จะม f( M , 0) ททาให f( M , 0) = M + 4 M เพราะฉะนน {f(x, y) (x, y) 2R } เปนเซตทไมมขอบเขตบน เพราะฉะนน f ไมมคาสงสดบน 2R

วอยาง 3.5.2 ให f(x, y) = 22 yx25 จงพจารณาวา f มคาสงสดและคาตาสดบน S = {(x, y) 2x + 2y 25} หรอไม วธทา เพราะวา f(x, y) = 22 yx25 5 = f(0, 0) ทก (x, y) S เพราะฉะนน f(0, 0) = 5 เปนคาสงสดของ f บน S เพราะวา f(x, y) = 22 yx25 0 = f(5, 0) ทก (x, y) S เพราะฉะนน f(5, 0) = 0 เปนคาตาสดของ f บน S


การหาคาสดขดสมพทธ

บทนยาม 3.5.2 ให f : D R เมอ D nR และ A S D เราจะกลาววา 1. f(A) เปน คาสงสดสมพทธ ของ f บน S กตอเมอ ม r 0 ททาให f(A) f(X) สาหรบทก X S B(A ; r) ในกรณเชนนเรากลาววาf มคาสงสดสมพทธบน S ท A ในรปท 3.5.1 f(A) เปนคาสงสดสมพทธ

รปท 3.5.1


2. f(A) เปน คาตาสดสมพทธ ของ f บน S กตอเมอ ม r 0 ททาให f(A) f(X) สาหรบทก X S B(A ; r) ในกรณเชนนเรากลาววา f มคาตาสดสมพทธบน S ท A ดงรปท 3.5.2 f(A) เปนคาตาสดสมพทธ

รปท 3.5.2 3. f(A) เปน คาสดขดสมพทธ ของ f บน S กตอเมอ f(A) เปนคาสงสดสมพทธของ f บน S หรอ f(A) เปนคาตาสดสมพทธของ f บน S


หมายเหต 1. คาสงสดสมพทธของฟงกชน f ทจด A บนเซต S หมายถง คาของ f ทสงสดเมอเทยบกบคาของ f บนบรเวณใกล เคยงบรเวณหนงของ A โดยไมจาเปนตองเปนคาสงสดทแทจรงบน S จากรป 3.5.1 f(A) f(P)

รปท 3.5.1 เพราะฉะนน f(A) เปนคาสงสดสมพทธ และ f(A) ไมเปนคาสงสด


2. คาตาสดสมพทธของฟงกชน f ทจด A บนเซต S หมายถง คาของ f ทตาสดเมอเทยบกบคาของ f บนบรเวณใกล เคยงบรเวณหนงของ A โดยไมจาเปนตองเปนคาตาสดทแทจรงบน S จากรป 3.5.2 f(A) f(P)

รปท 3.5.2 เพราะฉะนน f(A) เปนคาสงสดสมพทธ และ f(A) ไมเปนคาสงสด 3. คาสงสดของ f บน S จะเปนคาสงสดสมพทธของ f บน S 4. คาตาสดของ f บน S จะเปนคาตาสดสมพทธของ f บน S


ขอตกลง คาสงสด คาตาสด และ คาสดขดของ f บน S เรยกวา คาสงสดสมบรณ คาตาสดสมบรณ และ คาสดขดสมบรณ ของ f บน S ตามลาดบ เพอใหเขาใจความหมายของคาวา คาสงสดสมพทธ คาตาสด สมพทธ คาสดขดสมพทธ คาสงสด คาตาสด และ คาสดขด ขอใหพจารณาจากตวอยางกราฟของฟงกชน f ในรปท 3.5.3

รปท 3.5.3 จากรปท 3.5.3 ให f เปนฟงกชนบนโดเมน S 1. f( 1A ), f( 2A ), f( 3A ), f( 4A ) คาสงสดสมพทธ ของ f บน S 2. f( 5A ), f( 6A ) คาตาสดสมพทธ ของ f บน S 3. f( 2A ) คาสงสดสมบรณ ของ f บน S 4. f( 5A ) คาตาสดสมบรณ ของ f บน S


ทฤษฎบท 3.5.1 ให f : D R เมอ D 2R ให f เปนฟงกชนทมอนพนธบนเซต S D และ A(a, b) เปนจดภายในของ S ถา f(A) เปนคาสงสดสมพทธท A แลว f(A) = 0

บทพสจน ให 1C เปนรอยตดของ พนผว z = f(x, y) และ ระนาบ y = b ให g(x) = f(x, b) เปนสมการของเสนโคง 1C เพราะวา g(a) = f(a, b) เปนคาสงสดสมพทธ เพราะฉะนนในความหมายของฟงกชนหนงตวแปร จะได g(a) = f(a, b) เปนคาสงสดสมพทธของฟงกชน g เพราะฉะนน g(a) = 0 เพราะวา

xf (x, b) = g(x)

เพราะฉะนน xf (a, b) = g(a) = 0

รปท 3.5.4


ให 2C เปนรอยตดของ พนผว z = f(x, y) และ ระนาบ x = a ให h(y) = f(a, y) เปนสมการของเสนโคง 2C เพราะวา h(b) = f(a, b) เปนคาสงสดสมพทธ เพราะฉะนนในความหมายของฟงกชนหนงตวแปร จะได h(b) = f(a, b) เปนคาสงสดสมพทธของฟงกชน h เพราะฉะนน h(b) = 0 เพราะวา

yf (a, y) = h(y)

เพราะฉะนน yf (a, b) = h(b) = 0

เพราะฉะนน f(A) = 0

ดวยการพสจนทาเดยวกนกบทฤษฎบทขางตน จะได 1. ให f : D R เมอ D 2R f เปนฟงกชนทมอนพนธบนเซต S D และ A เปนจดภายในของ S ถา f(A) เปนคาตาสดสมพทธท A แลว f(A) = 0

2. ให f : D R เมอ D 3R f เปนฟงกชนทมอนพนธบนเซต S D และ A เปนจดภายในของ S ถา f(A) เปนคาสงสดสมพทธท A แลว f(A) = 0


3. ให f : D R เมอ D 3R f เปนฟงกชนทมอนพนธบนเซต S D และ A เปนจดภายในของ S ถา f(A) เปนคาตาสดสมพทธท A แลว f(A) = 0

สาหรบฟงกชนของหลายตวแปรจะได ทฤษฎบท 3.5.2 ให f : D R เมอ D nR ให f เปนฟงกชนทมอนพนธบนเซต S D และ A เปนจดภายในของ S ถา f(A) เปนคาสดขดสมพทธท A แลว f(A) = 0

หมายเหต บทกลบของทฤษฎบท 3.5.2 ไมจรง ตวอยางเชน f(x, y) = 2x - 2y เพราะวา f(x, y) = (

xf ,

yf ) = (2x, -2y)

เพราะฉะนน f(0, 0) = (0, 0) แต f(0, 0) f(r, 0) และ f(0, 0) f(0, r) ทกคา r 0 เพราะฉะนน f(0, 0) ไมเปนคาสดขดสมพทธ


บทนยาม 3.5.3 ให f : D R เมอ D nR และ A เปนจดภายในของ S เรากลาววา A เปน จดวกฤต ของ f กตอเมอ f(A) = 0

หรอ f(A) ไมมคา และ จดวกฤตของ f ทไมเปนจดสดขดสมพทธ เรยกวา จดอานมา

เพราะฉะนน สาหรบ f(x, y) = 2x - 2y จะได (0, 0) เปนจดอานมา

รปท 3.5.5 ตวอยาง 3.5.3 จงหาจดวกฤตของ f(x, y) = 2x + 2y - 4x - 2y + 8 วธทา เพราะวา xf (x, y) = 2x - 4 = 0 เมอ x = 2 และ yf (x, y) = 2y - 2 = 0 เมอ y = 1 เพราะฉะนน (2, 1) เปนจดวกฤตของ f


ทฤษฎบท 3.5.3 ให f : D R เมอ D 2R P(a, b) เปนจดวกฤตของ f โดยท

xf (a, b) = 0,

yf (a, b) = 0

และอนพนธยอยอนดบทสองของ f มความตอเนอง บนแผนกลมเปด B(P) ให A = xxf (a, b) B = xyf (a, b) C = yyf (a, b) จะได 1. ถา AC - 2B 0 และ A 0 แลว f(a, b) เปนคาตาสดสมพทธของ f 2. ถา AC - 2B 0 และ A 0 แลว f(a, b) เปนคาสงสดสมพทธของ f 3. ถา AC - 2B 0 แลว (a, b) เปนจดอานมา 4. ถา AC - 2B = 0 แลว เราสรปไมได


หมายเหต ตวอยางเสรมความเขาใจกรณท 4. 1. f(x, y) = 2x + 2y ให A = xxf (0, 0) = 0, B = xyf (0, 0) = 0, C = yyf (0, 0) = 0 AC - 2B = 0 แต f(x, y) = 2x + 2y 0 = f(0, 0) ทก (x, y) 2R เพราะฉะนน (0, 0) เปนจดทใหคาตาสดสมพทธ

2. f(x, y) = -( 2x + 2y ) ให A = xxf (0, 0) = 0, B = xyf (0, 0) = 0, C = yyf (0, 0) = 0 AC - 2B = 0 แต f(x, y) = -( 2x + 2y ) 0 = f(0, 0) ทก (x, y) 2R เพราะฉะนน (0, 0) เปนจดทใหคาสงสดสมพทธ

3. f(x, y) = 2x - 2y ให A = xxf (0, 0) = 0, B = xyf (0, 0) = 0, C = yyf (0, 0) = 0 AC - 2B = 0 แต f(0, 0) f(r, 0) และ f(0, 0) f(0, r) ทกคา r เพราะฉะนน (0, 0) ไมเปนจดทใหคาสงสดสมพทธ และ (0, 0) ไมเปนจดทใหคาตาสดสมพทธ เพราะฉะนน (0, 0) เปนจดอานมา


ตวอยาง 3.5.4 จงหาคาสดขดสมพทธของ f(x, y) = xy - 2y - 2x - 2x - 2y + 6 (ถาม) วธทา โดเมน f คอ 2R และทกจดใน 2R เปนจดภายในโดเมนของ f xf (x, y) = y - 2x - 2 yf (x, y) = x - 2y - 2 การหาจดวกฤต xf (x, y) = y - 2x - 2 = 0 ... (1) และ yf (x, y) = x - 2y - 2 = 0 ... (2) จาก (1) และ (2) จดวกฤตคอ (-2, -2) การตรวจสอบวาจดวกฤตใหคาสดขดสมพทธแบบใด xxf (x, y) = -2 A = xxf (-2, -2) = -2 xyf (x, y) = 1 B = xyf (-2, -2) = 1 yyf (x, y) = -2 C = yyf (-2, -2) = -2 เพราะวา A 0 และ AC - 2B = (-2)(-2) - 1 = 3 0 เพราะฉะนน (-2, -2) เปนจดทใหคาสงสดสมพทธ และ คาสงสดสมพทธทจด (-2, -2) คอ f(-2, -2) = 10


ตวอยาง 3.5.5 จงหาคาสดขดสมพทธของ f(x, y) = 4xy + 3 (ถาม) วธทา โดเมน f คอ 2R และทกจดใน 2R เปนจดภายในโดเมนของ f xf (x, y) = 4y yf (x, y) = 4x การหาจดวกฤต xf (x, y) = 4y = 0 ... (1) และ yf (x, y) = 4x = 0 ... (2) จาก (1) และ (2) จดวกฤตคอ (0, 0) การตรวจสอบวาจดวกฤตใหคาสดขดสมพทธแบบใด xxf (x, y) = 0 A = xxf (0, 0) = 0 xyf (x, y) = 4 B = xyf (0, 0) = 4 yyf (x, y) = 0 C = yyf (0, 0) = 0 เพราะวา AC - 2B = (0)(0) - 16 = -16 0 เพราะฉะนน (0, 0) เปนจดอานมา


ตวอยาง 3.5.6 จงหาคาสดขดสมพทธของ f(x, y) = 3x + 3x 2y + 3 2y - 15x + 2 (ถาม) วธทา โดเมน f คอ 2R และทกจดใน 2R เปนจดภายในโดเมนของ f xf (x, y) = 3 2x + 3 2y - 15 yf (x, y) = 6xy + 6y การหาจดวกฤต xf (x, y) = 3 2x + 3 2y - 15 = 0 ... (1) และ yf (x, y) = 6xy + 6y = 0 ... (2) จาก (2) จะได 6y(x + 1) = 0 y = 0 หรอ x = -1 จาก (1) เมอ y = 0 จะได x = 5 จาก (1) เมอ x = -1 จะได y = 2 เพราะฉะนนจดวกฤตคอ ( 5 , 0), (- 5 , 0), (-1, 2), (-1, -2)


การตรวจสอบวาจดวกฤตใหคาสดขดสมพทธแบบใด A = xxf (x, y) = 6x B = xyf (x, y) = 6y C = yyf (x, y) = 6x + 6 จากตารางขางตนสรปไดวา 1. f มคาตาสดสมพทธทจด ( 5 , 0) และ คาตาสดสมพทธทจด ( 5 , 0) คอ f( 5 , 0) = 2 - 10 5 2. f มคาสงสดสมพทธทจด (- 5 , 0) และ คาสงสดสมพทธทจด (- 5 , 0) คอ f(- 5 , 0) = 2 + 10 5 3. จด (-1, 2) และ (-1, -2) เปนจดอานมา


ตวอยาง 3.5.7 จงหาคาสดขดสมพทธของ f(x, y) = xy + x

1 + y1

วธทา โดเมนของ f คอ D = {(x, y) x 0 และ y 0} และทกจดใน D เปนจดภายในของโดเมน f xf (x, y) = y - 2x

1

yf (x, y) = x - 2y1

การหาจดวกฤต xf (x, y) = y - 2x

1 = 0 ... (1)

และ yf (x, y) = x - 2y1 = 0 ... (2)

จาก (1) จะได 2x y - 1 = 0 2x y = 1 ... (3) จาก (2) จะได x 2y - 1 = 0 x 2y = 1 ... (4) จาก (3) และ (4) จะได 2x y = x 2y เพราะวา x 0, y 0 เพราะฉะนน x = y ... (5) จาก (3) และ (5) จะได x = 1 และ y = 1 เพราะฉะนนจดวกฤตคอ (1, 1)


การตรวจสอบวาจดวกฤตใหคาสดขดสมพทธแบบใด xxf (x, y) = 3x

2 A = xxf (1, 1) = 2

xyf (x, y) = 1 B = xyf (1, 1) = 1 yyf (x, y) =

3y2 C = yyf (1, 1) = 2

เพราะวา A 0 และ AC - 2B = (2)(2) - 1 = 3 0 เพราะฉะนน (1, 1) เปนจดทใหคาตาสดสมพทธ และคาตาสดสมพทธทจด (1, 1) คอ f(1, 1) = 3

หมายเหต ทกลาวมาทงหมดขางตน เราพจารณาเฉพาะจด P(a, b) ทเปนจดภายในของโดเมน f เทานน โดยท ถา f มคาสดขดสมพทธทจด P(a, b) และ อนพนธยอย xf (a, b) และ yf (a, b) มคา แลว xf (a, b) = 0 และ yf (a, b) = 0 ซงจะเหนวา ถา อนพนธยอย xf (a, b) และ yf (a, b) มคา แต มคาไมเทากบศนย แลว จด (a, b) ไมเปนจดสดขดสมพทธของ f


ในบางกรณทเราพบวามจดบางจด (a, b) ในโดเมน f ทมสมบต 1. (a, b) ไมเปนจดภายในของโดเมน f 2. อนพนธยอย xf ไมมคาทจด (a, b) หรอ อนพนธยอย yf ไมมคาทจด (a, b) แตจด (a, b) อาจเปนจดสดขดสมพทธของ f ตวอยางเชน f(x, y) = 22 yx

รปท 3.5.7 จะได จด (0, 0) เปนจดภายในของโดเมน f

xf และ yf ไมมคาทจด (0, 0) แต f(0, 0) = 0 22 yx = f(x, y) ทก (x, y) 2R เพราะฉะนน f(0, 0) = 0 เปนคาตาสดสมพทธ และ เปนคาตาสดสมบรณของ f ดวย


ทฤษฎบท 3.5.4 ถา f เปนฟงกชนของหลายตวแปรทมความตอเนองบนเซต D และ D เปนเซตปดและมขอบเขต แลว f มทงคาสงสดสมบรณและคาตาสดสมบรณบน D

ขอสงเกต 1. คาสดขดสมบรณของ f บน D อาจเกดทจดขอบ หรอ จดภายในของ D กได 2. ถาคาสดขดสมบรณของ f บน D อาจเกดทจดภายใน แลว จดนนตองเปนจดวกฤต 3. ขนตอนในการหาจดสดขดสมบรณควรทาดงน 3.1 หาจดวกฤตของ f 3.2 หาจดขอบทงหมดของ D ทอาจใหคาสดขดสมบรณ 3.3 เปรยบเทยบคาของ f ทจดซงหาไดในสองขนตอนแรก คาทมากทสดจะเปนคาสงสดสมบรณ คาทนอยทสดจะเปนคาตาสดสมบรณ


ตวอยาง 3.5.8 จงหาคาสดขดสมบรณของ f(x, y) = 3xy - 6x - 3y + 7 บนบรเวณ S บนระนาบ XY ซงเปนรปสามเหลยม ทมจดยอดท (0, 0), (3, 0) และ (0, 5) (ถาม) วธทา

รปท 3.5.8 เพราะวา D เปนเซตปดและมขอบเขต และ f มความตอเนองบน D เพราะฉะนน f มทงคาสงสดสมบรณ และ คาตาสดสมบรณ บนเซต D f(x, y) = 3xy - 6x - 3y + 7 xf (x, y) = 3y - 6 yf (x, y) = 3x - 3 การหาจดวกฤต xf (x, y) = 3y - 6 = 0 ... (1) และ yf (x, y) = 3x - 3 = 0 ... (2) จาก (1) และ (2) จดวกฤตคอ (1, 2) ตอไปเราจะพจารณาทจดขอบของ D เพราะวาขอบของเซต D ประกอบดวยสวนของเสนตรง 3 เสน


1. บนสวนของเสนตรง 1L ทเชอมระหวางจด (0, 0) และ (3, 0) เพราะฉะนน บนสวนของเสนตรง 1L คา y = 0 ให u(x) = f(x, 0) = -6x + 7 เมอ 0 x 3 เพราะวา u(x) = -6 0 เพราะฉะนน คาสดขดสมบรณของ u เกดทจดปลายของชวง คอท x = 0 และ x = 3 เพราะฉะนนจดบนสวนของเสนตรง 1L ทใหคาสดขดสมบรณของ f คอ (0, 0) และ (3, 0)

2. บนสวนของเสนตรง 2L ทเชอมระหวาง จด (0, 0) และ (3, 0) เพราะฉะนน บนสวนของเสนตรง 2L คา x = 0 ให v(y) = f(0, y) = -3y + 7 เมอ 0 y 5 เพราะวา v(x) = -3 0 เพราะฉะนน คาสดขดสมบรณของ v เกดทจดปลายของชวง คอท y = 0 และ y = 5 เพราะฉะนนจดบนสวนของเสนตรง 2L ทใหคาสดขดสมบรณของ f คอ (0, 0) และ (0, 5)

3. บนสวนของเสนตรง 3L ทเชอมระหวาง จด (3, 0) และ (0, 5) เพราะฉะนน บนสวนของเสนตรง 3L จะได 3

x + 5y = 1

y = -35 x + 5 เมอ 0 x 3

เพราะฉะนนบนสวนของเสนตรง 3L จะได


f(x, y) = 3x(-35 x + 5) - 6x - 3(-3

5 x + 5) + 7 = -5 2x + 14x - 8 ให w(x) = -5 2x + 14x - 8 เมอ 0 x 3 w(x) = -10x + 14 และ w(x) = -10x + 14 = 0 เมอ x = 5

7 บนสวนของเสนตรง 3L เมอ x = 5

7 จะได y = 38

เพราะฉะนนคาสดขดสมบรณของ w อาจจะเกดทจด x = 5

7 หรอทจดปลายชวงคอ x = 0, x = 3 บนสวนของเสนตรง 3L เมอ x = 0 จะได y = 5 เมอ x = 3 จะได y = 0 เพราะฉะนนจดบน 3L ทใหคาสดขดสมบรณของ f คอ (5

7 , 38), (3, 0) และ (0, 5)

สรปจดทจะใหคาสดขดสมบรณมทงหมด 5 จดคอ (1, 2), (0, 0), (3, 0), (0, 5) และ (5

7 , 38)

ตอไปเปรยบเทยบคาของ f(x, y) ทแตละจดซงหาไวขางตน f(1, 2) = 1 f(0, 0) = 7 f(3, 0) = -11 f(0, 5) = -8 f(5

7 , 38) = 5

9 เพราะฉะนน f มคาตาสดสมบรณ = -11 ทจด (3, 0) f มคาสงสดสมบรณ = 7 ทจด (0, 0)


ตวอยาง 3.5.9 จงหาคาสดขดสมบรณของ f(x, y) = 2 2x + 2y บนบรเวณ D เมอ D = {(x, y) 2x + 2y 1} วธทา

รปท 3.5.9 เพราะวา D เปนเซตปดและมขอบเขต และ f มความตอเนองบน D เพราะฉะนน f มทงคาสงสดสมบรณ และ คาตาสดสมบรณ บนเซต D xf (x, y) = 4x yf (x, y) = 2y การหาจดวกฤต xf (x, y) = 4x = 0 ... (1) และ yf (x, y) = 2y = 0 ... (2) จาก (1) และ (2) จดวกฤตคอ (0, 0)


ตอไปเราจะพจารณาทจดขอบของ D เพราะวาขอบของเซต D ประกอบจดบนวงกลม 2x + 2y = 1 เพราะฉะนน f(x, y) = 2 2x + 2y = 2x + ( 2x + 2y ) = 2x + 1 ให h(x) = 2x + 1 เมอ -1 x 1 เพราะวา h(x) = 2x เพราะฉะนน h(x) = 0 เมอ x = 0 เพราะฉะนนคาสดขดของ h อาจเกดท x = 0 หรอ ทจดปลายชวงคอ x = -1, x = 1 เพราะฉะนนจดบนขอบของ D ทอาจจะใหคาสดขดสมบรณ ของ f คอ (0, 1), (0, -1), (-1, 0), (1, 0) สรป มจดทงหมด 5 จดทมความเปนไปไดทจะให คาสดขดสมบรณของ f คอ (0, 1), (0, -1), (-1, 0), (1, 0) และ (0, 0) ตอไปเปรยบเทยบคา f(x, y) จาก 5 จดขางตน เพราะวา f(0, 0) = 0 f(0, 1) = 1 f(0, -1) = 1 f(-1, 0) = 2 f(1, 0) = 2 เพราะฉะนน f มคาตาสดสมบรณทจด (0, 0) และ คาตาสดสมบรณ = 0 f มคาสงสดสมบรณทจด (1, 0), (-1, 0) และ คาตาสดสมบรณ = 2


ตวอยาง 3.5.10 จงหาขนาดของกลองรปทรงสเหลยมมมฉากไมมฝาปด ซงมปรมาตร 32 ลกบาศกเซนตเมตร และ มพนทผวนอยทสด วธทา ให A เปนพนทผวของกลอง x เปนความกวางของกลอง y เปนความยาวของกลอง และ z เปนความสงของกลอง เพราะฉะนน A = xy + 2xz + 2yz = xy + 2(x + y)z เพราะวา กลองมปรมาตร 32 ลกบาศกเซนตเมตร เพราะฉะนน xyz = 32 หรอ z =

xy32

เพราะฉะนน A = xy + 2(x + y)xy32

= xy + y

64 + x64

เพราะฉะนน A เปนฟงกชนของสองตวแปร x, y โดยท x 0, y 0 ให f(x, y) = xy +

y64 + x

64

เมอ D = {(x, y) x 0, y 0} เพราะวา D เปนเซตไมมขอบเขต เราจงไมทราบวา f จะมคาตาสดสมบรณหรอไม แตถามคาตาสดสมบรณ ตองเกดทจดวกฤตของ f


เพราะฉะนนเราจะเรมตนคนหาคาตาสดสมบรณดวยการหาจดวกฤตของ f จาก f(x, y) = xy +

y64 + x

64

จะได xf (x, y) = y - 2x64

yf (x, y) = x - 2y64

การหาจดวกฤต xf (x, y) = y - 2x

64 = 0 ... (1)

และ yf (x, y) = x - 2y64 = 0 ... (2)

จาก (1) y = 2x64 ... (3)

แทนคาใน (2) จะได x - 64x 4 = 0

เพราะวา x 0 เพราะฉะนน 1 - 64x3 = 0

x = 4 จาก (3) จะได y = 4 เพราะฉะนนจดวกฤตคอ (4, 4)


การตรวจสอบวาจดวกฤตใหคาสดขดแบบใด xxf (x, y) = 3x

128 A = xxf (4, 4) = 34128 = 2

xyf (x, y) = 1 B = xyf (4, 4) = 1 yyf (x, y) = 3y

128 C = yyf (4, 4) = 34

128 = 2

เพราะวา AC - 2B = (2)(2) - 1 = 3 0 และ A 0 เพราะฉะนน f(4, 4) เปนคาตาสดสมพทธของ f จาก x = 4, y = 4 เพราะวา z =

xy32

เพราะฉะนน z = 2 เพราะฉะนน กลองทตองการ มขนาด กวาง 4 cm ยาว 4 cm และ สง 2 cm

หมายเหต ในตวอยางน เราไมไดแสดงวาจด (4, 4) เปนจดตาสดสมบรณของ f กเพราะวาสาหรบฟงกชนของสองตวแปรนน การแสดงวาจดสดขดสมพทธเปนจดสดขดสมบรณในบางปญหาหรอบางฟงกชน เปนเรองทคอนขางซบซอน อยางไรกตามสาหรบปญหาทเปนการประยกตในลกษณะเชนน โดยมาก จดสดขดสมพทธ เปน จดสดขดสมบรณ โดยอาศยการพจารณาในเชงเรขาคณต


ตวอยาง 3.5.11 จงหาระยะสนทสดจากจด (0, 0, 0) ไปยงพนผว xy 2z = 32 และจดบนพนผว xy 2z = 32 ทอยใกลจด (0, 0, 0) มากทสด วธทา ให d = ระยะทางจากจด (0, 0, 0) ไปยง (x, y, z) บนพนผว xy 2z = 32 เพราะฉะนน d = 222 zyx เพราะฉะนน 2d = 2x + 2y + 2z แทนคา 2z =

xy32 เพราะฉะนน 2d = 2x + 2y +

xy32

ให f(x, y) = 2x + 2y + xy32

การหาจดวกฤต xf (x, y) = 2x - yx

322

= 0 ... (1)

และ yf (x, y) = 2y - 2xy32 = 0 ... (2)

เพราะวา xy 2z = 32 เพราะฉะนน x 0, y 0 เพราะฉะนนจาก (1) จะได 2 3x y - 32 = 0 3x y = 16 ... (3) เพราะฉะนนจาก (2) จะได 2x 3y - 32 = 0 x 3y = 16 ... (4) จาก (3) และ (4) จะได 3x y - x 3y = 0 เพราะวา x 0, y 0 เพราะฉะนน x - y = 0 y = x ... (5) จาก (3) และ (5) จะได (x = 2, y = 2), (x = -2, y = -2) เพราะฉะนนจดวกฤตของ f คอ (2, 2) และ (-2, -2)


การตรวจสอบวาจดวกฤตใหคาสดขดสมพทธแบบใด xxf (x, y) = 2 +

yx643 A = xxf (2, 2) = 6

xyf (x, y) = 22 yx

32 B = xyf (2, 2) = 2

yyf (x, y) = 2 + yx

643 C = yyf (2, 2) = 6

เพราะวา A 0 และ AC - 2B = (6)(6) - 2 = 20 0 เพราะฉะนน (2, 2) เปนจดทใหคาตาสดสมพทธของ f ในทานองเดยวกน (-2, -2) เปนจดทใหคาตาสดสมพทธของ f โดยใชเหตผลทางเรขาคณตระยะทางสนทสด จากจด (0, 0, 0) ไปยงพนผว xy 2z = 32 มไดคาเดยวเทานน เพราะวา f(2, 2) = 4 + 4 + 8 = 16 f(-2, -2) = 4 + 4 + 8 = 16 เปนคาตาสดสมพทธของ f เพราะฉะนนคาตาสดสมบรณของ f คอ 16 เพราะฉะนน ระยะทางสนทสดจากจด (0, 0, 0) ไปยงพนผว xy 2z = 32 มเทากบ 4 และ จดบนพนผว xy 2z = 32 ทใกลจด (0, 0, 0) มากทสดคอ จด (2, 2, 2 2 ), (2, 2, -2 2 ), (-2, -2, 2 2 ), (-2, -2, -2 2 )


การตรวจสอบ คาสงสด และ ตาสด ของฟงกชน n ตวแปร P เปนจดวกฤตของ f โดยท if = 0 ทจด P ทก i = 1, 2, ... , n และอนพนธยอยอนดบทสองของ f มความตอเนองบนแผนกลมเปด B(P)

ให k =

f...fff:...:::

f...ffff...ffff...fff

kk3k2k1k

k3333231k2232221k1131211

เมอ k = 1, 2, ... , n

ตวอยางเชน

1 = f 11 , 2 = ffff 22211211 , 3 =

fffffffff

333231232221131211 , ... ,

และ n =

f...ffkf:...:::

f...ffff...ffff...fff

nn3n2n1n

n3333231n2232221n1131211

สรป 1. ถา 1 0, 2 0, 3 0, 4 0, ... ( i มคาเปนบวกทก i = 1, 2, 3, ... , n) แลว f(P) เปนคาตาสดสมพทธของ f 2. ถา 1 0, 2 0, 3 0, 4 0 ... ( i เมอ i = 1, 2, 3, ... , n มคาเปนเปนบวก และลบสลบกน เรมตนดวย 1 0) แลว f(P) เปนคาสงสดสมพทธของ f


3.6 ตวคณลากรานจ กอนศกษาการหาสดขดของฟงกชนหลายตวแปร ขอใหศกษาการหาคาสดขดของปญหานกอน ตวอยาง 3.6.1 จงหาคาสดขดของ xy เมอ x, y เปนจานวนจรงบวก ภายใตเงอนไข x + y = 4 วธทา แทนคา y = 4 - x ใน xy จะได xy = x(4 - x) = 4x - 2x ให f(x) = 4x - 2x เมอ 0 x 4 f (x) = 4 - 2x เพราะฉะนน จดวกฤตคอ x = 2 เพราะวา f (x) = -2 0 เพราะฉะนน f(2) = 4 เปนคาสงสดสมพทธ เพราะวา f (x) 0 เมอ 0 x 2 เพราะฉะนน f เปนฟงกชนเพมบนชวง (0, 2) เพราะวา f (x) 0 เมอ 2 x 4 เพราะฉะนน f เปนฟงกชนลดบนชวง (2, 4) เพราะฉะนน f(2) = 4 เปนคาสงสดสมบรณของ f เพราะฉะนน คาสงสดของ xy เมอ x, y เปนจานวนจรงบวก ภายใตเงอนไข x + y = 4 จะมคาสงสดสมบรณเทากบ 4


ในการหาคาสดขดขางตนเราใชการ แทนคา y ดวย 4 - x เพอเปลยน xy เปนฟงกชนของหนงตวแปร f(x) จากนนจงใชวธหาคาสดขดของฟงกชนหนงตวแปร ซงถาเงอนไขบงคบของฟงกชนมความซบซอน การใชวธการนมาแกปญหาอาจจะทาไดไมงายนก เพราะฉะนนในหวขอนเราจะขอแนะนาอกวธการหนงซงงายกวา สาหรบการแกปญหาลกษณะน มชอวา วธตวคณลากรานจ โดยใชผลของทฤษฎบทตอไปน

ทฤษฎบท 3.6.1 ให f, g เปนฟงกชนของสองตวแปร ซงอนพนธยอยมความตอเนองบนเซตเปดทครอบคลมเสนโคง g(x, y) = 0 โดยท g(x, y) 0

ทกจด (x, y) บนเสนโคงน ถา f มคาสดขดสมพทธทจด (a, b) ซงเปนจดภายในของเสนโคงน แลว เวกเตอรเกรเดยนต f(a, b) และ เวกเตอรเกรเดยนต g(a, b) ขนานกน นนคอ มจานวนจรง ททาให f(a, b) = g(a, b)

หมายเหต จานวนจรง เรยกวา ตวคณลากรานจ และ เรยกวธการหาคาสดขดโดยใชทฤษฎบทนวา วธตวคณลากรานจ


ตวอยาง 3.6.2 จงหาคาสดขดของ f(x, y) = xy เมอ x, y เปนจานวนจรงบวก ภายใตเงอนไข x + y = 4 โดยวธตวคณลากรานจ วธทา ให f(x, y) = xy เมอ x 0, y 0 g(x, y) = x + y - 4 = 0 ... (1) จากสมการ f(x, y) = g(x, y) ... (2) (

xf ,

yf ) = (

xg ,

yg )

(y, x) = (1, 1) = (, ) เพราะฉะนน y = และ x = จาก (1) จะได + - 4 = 0 = 2 เพราะฉะนน x = 2, y = 2 เพราะฉะนนจด (x, y) ทงหมดทสอดคลอง (1) และ (2) คอ (2, 2) เพราะวา f(x, y) = xy = x(4 - x) = 4x - 2x = 4 - (2 - x)2 4 = f(2, 2) เพราะฉะนน f(2, 2) = 4 เปนคาสงสดสมบรณ


ตวอยาง 3.6.3 จงหาคาสดขดของ f(x, y) = xy ภายใตเงอนไข 2x + 2y = 1 โดยวธตวคณลากรานจ วธทา ให f(x, y) = xy g(x, y) = 2x + 2y - 1 = 0 ... (1) จากสมการ f(x, y) = g(x, y) ... (2) (

xf ,

yf ) = (

xg ,

yg )

(y, x) = (2x, 2y) = ( 2x, 2y) เพราะฉะนน y = 2x และ x = 2y =

x2y และ =

y2x

เพราะฉะนน x2y =

y2x เพราะฉะนน 2x = 2y

จาก (1) จะได 2x + 2x - 1 = 0 เพราะฉะนน x = 2

1 เพราะฉะนนจด (x, y) ทงหมดทสอดคลอง (1) และ (2) คอ (

21 ,

21 ), (

21 , -

21 ), (-

21 ,

21 ) และ (-

21 , -

21 )

เพราะวา f(2

1 , 2

1 ) = 21 f(

21 , -

21 ) = -2

1 f(-

21 ,

21 ) = - 2

1 f(-2

1 , -2

1 ) = 21

เพราะฉะนน คาสงสดของ f คอ 2

1 เกดท (2

1 , 2

1 ), (-2

1 , -2

1 )

คาตาสดของ f คอ - 21 เกดท (

21 , -

21 ), (-

21 ,

21 )


ตวอยาง 3.6.4 จงหาขนาดของรปสเหลยมผนผาซงเสนรอบรปมความยาว 100 เซนตเมตร และมพนทมากทสด โดยวธตวคณลากรานจ วธทา ให x = ความยาวของรปสเหลยมผนผา y = ความกวางของรปสเหลยมผนผา และ A = พนทของรปสเหลยมผนผา เพราะฉะนน A = xy และ ความยาวเสนรอบรป = 2x + 2y = 100 ให f(x, y) = xy เมอ x 0, y 0 g(x, y) = x + y - 50 = 0 ... (1) ปญหาขณะนจงเปน การหาคาสงสดของ f(x, y) = xy ภายใตเงอนไข g(x, y) = 0 โดยวธตวคณลากรานจ จากสมการ f(x, y) = g(x, y) ... (2) (

xf , y

f ) = (

xg , y

g )

(y, x) = (1, 1) = (, ) เพราะฉะนน x = และ y = จาก (1) จะได + - 50 = 0 = 25 เพราะฉะนน x = y = 25


เพราะฉะนนจด (x, y) ทงหมดทสอดคลอง (1) และ (2) คอ (25, 25) เพราะวา f(x, y) = xy = x(50 - x) = 50x - 2x = 625 - (25 - x)2 625 = f(25, 25) เพราะฉะนน f(25, 25) = 625 เปนคาสงสดสมบรณ ทฤษฎบท 3.6.2 ให f, g เปนฟงกชนของสามตวแปร ซงอนพนธยอย มความตอเนองบนเซตเปดทครอบคลมพนผว g(x, y, z) = 0 โดยท g(x, y, z) 0

ทกจด (x, y, z) บนพนผวน ถา f มคาสดขดสมพทธทจด (a, b, c) ซงเปนจดภายในของพนผวน แลว เวกเตอรเกรเดยนต f(a, b, c) และ เวกเตอรเกรเดยนต g(a, b, c) ขนานกน นนคอมจานวนจรง ททาให f(a, b, c) = g(a, b, c)


ตวอยาง 3.6.5 จงหาคาสดขดของ 2x + 4y + 3 2z ภายใตเงอนไข 2x + 2y + 2z = 1 วธทา ให f(x, y, z) = 2x + 4y + 3 2z และ g(x, y, z) = 2x + 2y + 2z - 1 = 0 ... (1) จากสมการ f(x, y, z) = g(x, y, z) ... (2) จะได ( f

x

, fy

, fz

) = ( gx

, gy

, gz

)

(2, 4, 6z) = (2x, 2y, 2z) = (2 x, 2 y, 2 z) เพราะฉะนน 2 = 2 x ... (3) 4 = 2 y ... (4) 6z = 2 z ... (5) จาก (5) จะได z = 0 หรอ = 3 กรณท 1 z = 0 จาก (3) จะได x = 1

และ จาก (4) จะได y = 2

แทนคา x, y, z ใน (1) จะได ( 1

)2 + ( 2

)2 + 0 - 1 = 0 2

5

= 1

= 5


ถา = 5 แลว x = 15

, y = 25

ถา = - 5 แลว x = - 15

, y = - 25

ดงนน ในกรณท 1 นจด (x, y, z) ทสอดคลอง (1) และ (2) คอ ( 1

5, 2

5, 0) และ (- 1

5, - 2

5, 0)

กรณท 2 = 3 จาก (3) จะได x = 1

3 และ จาก (4) จะได y = 23

แทนคา x, y ใน (1) จะได 19 + 4

9 + 2z - 1 = 0 2z = 4

9 z = 2

3 ดงนน ในกรณท 2 นจด (x, y, z) ทสอดคลอง (1) และ (2) คอ (1

3 , 23 , 2

3 ) และ (13 , 2

3 , - 23 )

จากทงสองกรณจด (x, y, z) ทงหมดทสอดคลอง (1) และ (2) คอ ( 1

5, 2

5, 0), (- 1

5, - 2

5, 0), (1

3 , 23 , 2

3 ) และ (1

3 , 23 , - 2

3 ) เพราะวา f( 1

5, 2

5, 0) = 10

5, f(- 1

5, - 2

5, 0) = - 10

5,

f(13 , 2

3 , 23 ) = 14

3 , f(13 , 2

3 , - 23 ) = 14

3 เพราะฉะนน คาสงสดของ f คอ 14

3 ซงเกดทจด (1

3 , 23 , 2

3 ) และ (13 , 2

3 , - 23 )

และ คาตาสดของ f คอ - 105

ซงเกดทจด (- 15

, - 25

, 0)


แบบฝกหด 3.1 1. จงหาเวกเตอรเกรเดยนตของฟงกชน f ทกาหนดใหตอไปน 1.1 f(x, y) = 2x 2y + 2xy + y xe 1.2 f(x, y) = n( 2x + xy + 2y )

1.3 f(x, y) = 2cos (2x + 3y) 1.4 f(x, y, z) = zyyx

2. จงหาอนพนธของฟงกชน f ทจด A ทกาหนดให ในทศทางของเวกเตอร V ทกาหนดใหตอไปน

2.1 f(x, y) = 2x + 3xy + 4y ; A(1, 2) ; V = (3, 4)

2.2 f(x, y) = sin(x + y) cos(x - y) ; A( 3 , 4

) ; V = (-5, 12)

2.3 f(x, y) = x 2y yx ; A(2, 1) ; V = ( 3 , 1)

3. กาหนดให f(x, y) = 3xy จงหาอนพนธของ f ทจด (2, 2) ในทศทางททามม 45 องศากบแกน X ทางดานบวก

4. กาหนดให f(x, y) = 22

2

yxxy25

จงหาอนพนธของ f ทจด (1, 2) ในทศทางจากจด (2, 3) ไปยงจด (5, 7)

5. กาหนดให f(x, y, z) = y4yzzx 22 จงหาอนพนธของ f ทจด (2, 1, 3) ในทศทางจากจด (1, 1, 1) ไปยงจด (4, -1, -5) 6. กาหนดให f(x, y, z) = 2x y ze จงหาอนพนธของ f ทจด (1, 2, 0) เทยบกบเวกเตอร (3, -1, 2) 7. กาหนดให f(x, y) = 4 2x y + n(xy) จงหาทศทางซงทาใหอตราการเปลยนแปลงของ f มคาเพมขนมากทสดทจด (1, 1) และ จงหาอตราการเปลยนแปลงทมากทสดนน 8. กาหนดให f(x, y) =

22 yx

x

จงหาทศทางซงทาใหอตราการเปลยนแปลงของ f มคาลดลงนอยทสดทจด (3, 4) และ จงหาอตราการเปลยนแปลงทนอยทสดนน 9. กาหนดให f(x, y) = sin(x + 2y)cos(2x + y) จงหาทศทางซงทาใหอตราการเปลยนแปลงของ f มเทากบศนยทจด ( 6

, 2 )

10. กาหนดให f(x, y, z) = xy zxy ) จงหาทศทางซงทาใหอตราการเปลยนแปลงของ f มคาเพมขนมากทสดทจด (1, 1, 3) และ จงหาอตราการเปลยนแปลงทมากทสดนน 11. กาหนดให f(x, y, z) = xy + n( 2x + 2y 2z ) จงหาทศทางซงทาใหอตราการเปลยนแปลงของ f มคาลดลงนอยทสดทจด (1, 1, 1) และ จงหาอตราการเปลยนแปลงทนอยทสดนน เฉลยแบบฝกหด 3.1 1. 1.1 f = (2x 2y + 2y + y xe , 2 2x y + 2x + xe ) 1.2 f = ( 22 yxyx

yx2

, 22 yxyxy2x

)

1.3 f = (-4 cos(2x + 3y) sin(2x + 3y), -6 cos(2x + 3y) sin(2x + 3y)) 1.4 f = ( zy

1

, 2)zy(zx

, 2)zy(

yx

)

2. 2.1 5164 2.2 26

5 2.3 23 + 3

3. 2 2 4. 552 5. - 7

5 6. 15

7. (9, 5), 106 8. (-16, 12), - 254 9. (-7, 5) หรอ (7, -5) 10. (9, 9, 1), 4

163 11. (-2, -2, -1), -3


แบบฝกหด 3.2 1. กาหนดให y เปนฟงกชน x ทนยามโดยปรยาย จงหาสตร dx

dy และคา dxdy ทจดกาหนดให

1.1 2x + 4xy + 2y = -2 ทจด (1, -1) 1.2 sin(x + 2y) + cos(2x + y) = 1 ทจด ( 6

, 6 )

2. กาหนดให z เปนฟงกชนของตวแปร x, y ทนยามโดยปรยาย จงหาสตร x

z และ y

z และคาของ x

z และ y

z ทจดกาหนด

2.1 2x + 2 2y + 2z + 3xyz - 4 = 0 ทจด (1, 2, -1) 2.2 sin(x + z) + cos(y + 2z) = 1 ทจด ( 3

, 6 , 6

)

2.3 zyzx

+ zx

zy = 2

5 ทจด (6, 1, 4)

2.4 yx + z

y + xz = 5 ทจด (1, 2, 4)

2.5 z xe + 2z ye + xy = 3 ทจด (0, 0, 1) 3. กาหนดให x, y เปนฟงกชนของ z ทนยามโดยปรยายดวยสมการ จงหาสตรของ dz

dx และ dzdy ทจดใด ๆ และคาของ dz

dx และ dzdy ทจดกาหนดให

3.1 2x + 2y + z = 4 และ 2x + 3y + 4z = 13 ทจด (1, 1, 2) 3.2 xy + z + x = 4 และ xz + xy - x = 2 ทจด (1, 2, 1) 3.3 2x + 2y + z = 4 และ x + 2y + z = 3 ทจด (2, 1, -1) 4. กาหนดให u, v เปนฟงกชนของ x, y นยามโดยปรยายดวยสมการ 2x + 3y + u + v = 9 และ 3x + 4y + uv = 5 จงหา x

u , x

v , y

u และ y

v เมอ x = 1, y = 2, u = -2, v = 3

5. กาหนดให u, v เปนฟงกชนของ x, y นยามโดยปรยายดวยสมการ u cos v +x - 3 = 0 และ u sin v + y - 2 3 = 0 จงหา x

u , x

v , y

u และ y

v เมอ x = 2, y = 3 , u = 2, v = 3

6. กาหนดให u, v, w เปนฟงกชนของ x, y, z นยามโดยปรยายดวยสมการ u cos v - x = 0 u sin v - y = 0 และ z - w = 0 จงหา x

u , y

u , z

u เมอ x = 1, y = 3 , z = 4, u = 2, v = 3

, w = 4


เฉลยแบบฝกหด 3.2 1. 1.1 dx

dy = - yx2y2x

dx

dy1) (1, = 1

1.2 dxdy = - )yx2sin()y2xcos(2

)yx2sin(2)y2xcos( dx

dy)6 , 6( = -2

2. 2.1 xz = - xy3z2

yz3x2 y

z = - xy3z2

xz3y4

xz

1) 2, (1, = 1 yz

1) 2, (1, = -1.25

2.2 xz = - )z2ysin(2)zxcos(

)zxcos(

yz = )z2ysin(2)zxcos(

)z2ysin(

xz

)6 , 6 , 3( = 0 yz

)6 , 6 , 3( = -0.5

2.3 xz = yx

zy y

z = - yx

zx

xz

4) 1, (6, = 1 yz

4) 1, (6, = -2

2.4 xz =

)zxy(xy)yzx(z

2

22

yz = -

)zxy(y)yxz(xz

22

2

xz

4) 2, (1, = 4 yz

4) 2, (1, = 0

2.5 xz = - yx

x

e2eyze

yz = - yx

y

e2exze2

xz

1) 0, (0, = - 31 y

z

1) 0, (0, = - 32

3. 3.1 dzdx = - y4x6

y83 dz

dy = - y4x62x8

dzdx

2) 1, (1, = 25 dz

dy2) 1, (1, = -3

3.2 dzdx = - xzx2

xx 2

dz

dy = - xzx21yzxxy

dzdx

1) 2, (1, = 0 dzdy

1) 2, (1, = -1

3.3 dzdx = - y2x4

y22 dz

dy = - y2x41x2

dzdx

1) 1, (2, = 0 dzdy

1) 1, (2, = -0.5

4. xu = -1.4, x

v = -0.6, y

u = -2, y

v = -1

5. xu = -0.5, x

v = 4

3 , yu = - 2

3 , yv = -0.25

6. xu = 2

1 , yu = 2 3 , z

u = 0


แบบฝกหด 3.3 จงหา สมการของระนาบสมผส และ สมการของเสนแนวฉาก ของพนผว S ทจด A ตามทกาหนดให 1. พนผว 2x + 2y – 4z = 1 ทจด A(1, 2, 1) 2. พนผว 3x + 3y + 3z – 8xy = 0 ทจด A(4, 2, 3) 3. พนผว y

x + zy2 + x

z3 = 6 ทจด A(2, 1, 2)

4. พนผว 4x + 4xy + 4y - 4z + 7 = 0 ทจด A(–2, 1, 2) 5. พนผว 2x + 2z + 4y = 0 ทจด A(0, –1, 2) 6. พนผว 2x + 2y + 2z – 6z + 7 = 0 ทจด A(0, –1, 2) 7. พนผว 2x + 2y – 2z + 2x 2y = 13 ทจด A(3, 2, 6) 8. พนผว xy + 3yz + 2zx – xyz = 9 ทจด A(1, 1, 2) จงหา สมการของเสนสมผสเสนโคง C ทเกดจากพนผว 1S และ 2S ตดกนทจด A ตามทกาหนดให 9. 1S : 2x + 2y = z + 9, 2S : z = xy + 2yz – 4xz + 2 = 0 ทจด A(2, 3, 4) 10. 1S : y = 2x – 15, 2S : z = 2y + 1 ทจด A(4, 1, 2) 11. 1S : z = 4 2x – 9, 2S : x = 34 – 2 2y ทจด A(2, 4, 7) 12. จงแสดงวา พนผว 2x + 2y + 4z = 0 และ 2x + 2y + 2z + 6z + 1 = 0 สมผสกนทจด (0, 2, –1) 13. ให A เปนจดบนพนผวทรงกลม 2x + 2y + 2z = 25 จงแสดงวา เสนแนวฉาก ของพนผว S ทจด A ผานจด (0, 0, 0) 14. ให A เปนจดบนพนผวทรงกลม (x – 1) 2 + (y – 2) 2 + (z – 3) 2 = 25 จงแสดงวา เสนแนวฉาก ของพนผว S ทจด A ผานจด (1, 2, 3) เฉลยแบบฝกหด 3.3 1. สมการของระนาบสมผส x + 2y – 2z = 3 สมการของเสนแนวฉาก x = 1 + t, y = 2 + 2 t, z = 1 – 2 t 2. สมการของระนาบสมผส 32x – 20y + 27z = 169 สมการของเสนแนวฉาก x = 4 + 32 t, y = 2 – 20 t, z = 3 + 27 t 3. สมการของระนาบสมผส x + 2y – 2z = 0 สมการของเสนแนวฉาก x = 2 – t, y = 1 – 2 t, z = 2 + 2 t 4. สมการของระนาบสมผส 7x + y + 8z = 3 สมการของเสนแนวฉาก x = –2 + 7 t, y = 1 + t, z = 2 + 8 t 5. สมการของระนาบสมผส y + z = 1 สมการของเสนแนวฉาก x = 0, y = –1 + t, z = 2 + t 6. สมการของระนาบสมผส y + z = 1 สมการของเสนแนวฉาก x = 0, y = –1 + t, z = 2 + t 7. สมการของระนาบสมผส 15x + 20y – 6z = 49 สมการของเสนแนวฉาก x = 3 + 15 t, y = 2 + 20 t, z = 6 – 6 t 8. สมการของระนาบสมผส 3x + 5y + 4z = 16 สมการของเสนแนวฉาก x = 1 + 3 t, y = 1 + 5 t, z = 2 + 4 t 9. สมการของเสนสมผส x = 2 – 2 t, y = 3 + 21 t, z = 4 + 118 t 10. สมการของเสนสมผส x = 4 + t, y = 1 + 8 t, z = 2 + 16 t 11. สมการของเสนสมผส x = 2 – 16 t, y = 4 + t, z = 7 - 256 t


แบบฝกหด 3.5 1. จงหาจดวกฤตของฟงกชนตอไปน 1.1 f(x, y) = 2x - 4y - 4x - 12 2y 1.2 f(x, y) = 16 - 20y6x4yx 22 2. จงหาคาสดขดสมพทธของฟงกชนตอไปน (ถาม) 2.1 f(x, y) = 2x + xy + 2y - 3x + 3y + 24 2.2 f(x, y) = 18 2x - 32 2y - 36x - 128y - 110 2.3 f(x, y) = 2x + xy + 2y - 3x 2.4 f(x, y) = 3xy - 3x - 3y 2.5 f(x, y) = 2x + 2 2y - 2x y 2.6 f(x, y) = 4 + 4x + 4y + 2xy - 5 2x - 2 2y 2.7 f(x, y) = 4xy - 4x - 4y 2.8 f(x, y) = y

1 - x1 - 4x + y

2.9 f(x, y) = 2 2x + 2y + yx

22

3. จงหาคาสดขดสมพทธของฟงกชนตอไปน (ถาม) f(x, y) = sin(x + y) + sin x + sin y เมอ 0 x 2

, 0 y 2

4. จงหาคาสดขดสมบรณของฟงกชน f บนเซต D ทกาหนดใหในแตละขอตอไปน (ถาม) 4.1 f(x, y) = 48xy - 32 3x - 24 2y D = {(x, y) 0 x 1, 0 y 1} 4.2 f(x, y) = xy - x - 3y D เปนบรเวณสามเหลยมทมจดยอดเปน (0, 0), (0, 4) และ (5, 0) 4.3 f(x, y) = 2x - 3 2y - 2x + 6y D เปนบรเวณสเหลยมทมจดยอดเปน (0, 0), (0, 2), (2, 2), (2, 0) 4.4 f(x, y) = 2x + 2 2y - x D = {(x, y) 2x + 2y 4} 5. จงหาจานวนจรงบวกสามจานวนซงรวมกนได 27 และผลบวกกาลงสองมคานอยทสด 6. สามเหลยมทมเสนรอบรปยาวคงท จะมพนททสดเมอเปนสามเหลยมชนดใด 7. จงหาจานวนจรงบวกสามจานวนซงรวมกนได 50 และผลคณมคามากทสด 8. จงหาระยะทางใกลทสดจากจดกาเนดไปยงพนผว 2x - yz = 5 9. จงหาจดบนพนผว xyz = 1 ทอยใกลจดกาเนดมากทสด 10. จงหาจดบนระนาบx - y + 3z = 7 ทอยใกลจด (2, -1, 4) มากทสด พรอมทงหาระยะทางทใกลทสดนน 11. จงหาจดในอฐภาคท 1 ซงอยบนระนาบ x + y + z = 50 และทาให f(x, y, z) = x 2y 3z มคามากทสด 12. กลองรปทรงสเหลยมมมฉากมฝาปดใบหนงมปรมาตร 16 ลกบาศกเมตร ทามาจากวสดสองชนด กนกลองและฝากลอง

ทาจากวสดทมราคา 10 บาทตอตารางเมตร สวนดานขางของกลองทาจากวสดทมราคา 5 บาทตอตารางเมตร จงหาขนาดของกลองททาใหเสยคาวสดนอยทสด


เฉลยแบบฝกหด 3.5 1. 1.1 (2, 0) 1.2 (2, 3) 2. 2.1 f(3, -3) = 15 เปนคาตาสดสมพทธ 2.2 (1, -2) เปนจดอานมา 2.3 f(2, -1) = -3 เปนคาตาสดสมพทธ 2.4 (0, 0) เปนจดอานมา และ f(1, 1) = 1 เปนคาสงสดสมพทธ 2.5 (2, 1), (-2, 1) เปนจดอานมา f(0, 0) = 0 เปนคาตาสดสมพทธ 2.6 f( 3

2 , 34 ) = 8 เปนคาสงสดสมพทธ

2.7 f(1, 1) = f(-1, -1) = 2 เปนคาสงสดสมพทธ และ (0, 0) เปนจดอานมา 2.8 f( 2

1 , -1) = -6 เปนคาสงสดสมพทธ f(- 2

1 , 1) = 6 เปนคาตาสดสมพทธ ( 2

1 , 1), (- 21 , -1) เปนจดอานมา

2.9 f(1, 1), f(-1, 1) = 5 เปนคาตาสดสมพทธ

3. f( 3 , 3

) = 233 เปนคาสงสดสมพทธ

4. 4.1 f(1, 0) = -32 เปนคาตาสดสมบรณ f( 21 , 2

1 ) = 2 เปนคาสงสดสมบรณ 4.2 f(0, 4) = -12 เปนคาตาสดสมบรณ f(0, 0) = 0 เปนคาสงสดสมบรณ 4.3 f(1, 0) = f(1, 2) = -1 เปนคาตาสดสมบรณ f(0, 1) = f(2, 1) = 3 เปนคาสงสดสมบรณ 4.4 f( 2

1 , 0) = - 41 เปนคาตาสดสมบรณ

f(- 21 , 2

15 ) = f(- 21 , - 2

15 ) = 433 เปนคาสงสดสมบรณ

5. 9, 9, 9 6. สามเหลยมดานเทา 7. 3

50 , 350 , 3

50 8. 5 9. (1, 1, 1), (-1, -1, 1), (-1, 1, -1), (1, -1, -1) 10. ( 11

14 , - 113 , 11

20 ), 118

11. ( 325 , 3

50 , 25) 12. กวาง 2 เมตร ยาว 2 เมตร และสง 4 เมตร


แบบฝกหด 3.6 1. จงหาคาสดขดของ f ภายใตเงอนไขทกาหนดใหในแตละขอตอไปน 1.1 f(x, y) = xy ภายใตเงอนไข 4 2x + 8 2y = 16 1.2 f(x, y) = 4 3x + 2y ภายใตเงอนไข 2 2x + 2y = 1 1.3 f(x, y) = 25 - 2x - 2y ภายใตเงอนไข 2x + 2y - 4y = 0 1.4 f(x, y, z) = 2x + y - 2z ภายใตเงอนไข 2x + 2y + 2z = 4 1.5 f(x, y, z) = 2x + 2y + 2z ภายใตเงอนไข 3x - 2y + z - 4 = 0 1.6 f(x, y, z) = 3x + 3y + 3z ภายใตเงอนไข 2x + 2y + 2z = 9 1.7 f(x, y, z) = xy + z ภายใตเงอนไข 2x + 2y + 2z = 1 2. จงหาจดบนเสนตรง y = 2x + 3 ซงอยใกลจด (4, 2) มากทสด 3. จงหาจดบนระนาบ 4x + 3y + z = 2 ซงอยใกลจด (1, -1, 1) มากทสด 4. จงหาคาสงสดของ f(x, y) = 2y - x บนเสนโคง y = sin x เมอ 0 x 2 5. จงหาจดบนพนผว xyz = 25 ททาให f(x, y, z) = 3x + 5y + 9z มคานอยทสด 6. จงหาจดในอฐภาคทหนงซงสอดคลองกบสมการ x + 2y + 3z = 24 และทาให f(x, y, z) = xy 2z มคามากทสด พรอมทงหาคามากทสดน 7. จงหาจดบนทรงกลม 2x + 2y + 2z = 36 ซงอยใกลทสด และไกลทสดจากจด (1, 2, 2) 8. จงหาจดบนทรงกลม 2x + 2y + 2z = 1 ททาให f(x, y, z) = xyz มคาสดขด 9. จงหาขนาดของกลองรปทรงสเหลยมมมฉากทมปรมาตรมากทสด และสามารถบรรจ

ในพนผว 22

ax + 2

2

by + 2

2

cz = 1 เมอ a, b และ c เปนจานวนจรงบวก

10. จงหาระยะทางทใกลทสดและไกลทสด

จากจดกาเนดไปยงพนผว 9x2 + 4

y2 + 2z = 1


เฉลยแบบฝกหด 3.6 1. 1.1 คาสงสด = 2 เกดท ( 2 , 1) และ (- 2 , -1) คาตาสด = - 2 เกดท (- 2 , 1) และ ( 2 , -1) 1.2 คาสงสด = 2 เกดท (

21 , 0)

คาตาสด = - 2 เกดท (-2

1 , 0)

1.3 คาสงสด = 25 เกดท (0, 0) คาตาสด = 9 เกดท (0, 4) 1.4 คาสงสด = 6 เกดท ( 3

4 , 32 , - 3

4 ) คาตาสด = -6 เกดท (- 3

4 , - 32 , 3

4 ) 1.5 คาตาสด = 49

56 เกดท ( 76 , - 7

4 , 72 )

1.6 คาสงสด = 27 เกดท (3, 0, 0), (0, 3, 0), (0, 0, 3) คาตาสด = -27 เกดท (-3, 0, 0), (0, -3, 0), (0, 0, -3) 1.7 คาสงสด = 1 เกดท (0, 0, 1) คาตาสด = -1 เกดท (0, 0, -1) 2. ( 5

2 , 519 )

3. (1, -1, 1) 4. 3 - 3

เกดท ( 3 , 2

3 ) 5. (5, 3, 3

5 ) 6. (6, 3, 4), 288 7. จดทอยใกลทสดคอ (2, 4, 4) และจดทอยไกลทสดคอ (-2, -4, -4)

8. คาสงสด = 93

เกดท (3

1 , 3

1 , 3

1 ), (3

1 , -3

1 , -3

1 ), (-3

1 , 3

1 , -3

1 )

และ (-3

1 , -3

1 , 3

1 )

คาตาสด = - 93

เกดท (3

1 , 3

1 , -3

1 ), (3

1 , -3

1 , 3

1 ), (-3

1 , 3

1 , 3

1 )

และ (-3

1 , -3

1 , -3

1 )

9. (3a2 ,

3b2 ,

3c2 )

10. ระยะใกลทสด = 1 เกดท (0, 0, 1) และ (0, 0, -1) ระยะไกลทสด = 3 เกดท (3, 0, 0) และ (-3, 0, 0)

3 - 1 3.1 และเวกเตอร์เกรเดียนต์ บทที่ 3 p(...

Documents