calendario de problemas matematicos

RIF

: J-

00

11

057

4-3

a a

b

v

vy vvx g

g H

Presentación del Calendario Matemático 2012

,\tlEl presente es el quinto Calendario Matemático que elaboramos con motivo del Programa de Olimpiadas Matemáticas, que lleva adelante la Asociación Vene- zolana de Competencias Matemáticas y la Fundación Para el Desarrollo de Competencias Matemáticas. El mismo tiene como objetivo facilitar a docentes y alumnos, un grupo de problemas de matemáticas recreativas, junto con una serie de pequeños artículos de divul- gación de temas científicos o sugerencias de trabajo en el aula. Para esto último contamos con la colaboración ele un grupo de colegas de varias instituciones nacionalese internacionales, quienes gustosamente nos ofrecen suapoyo todos los años.

Además de los trabajos de Einstein, encontramos tambien los de Lorentz y Minkowski. La termodinámica y la mecánica estadística, que describe los fenómenos mo- leculares y la transferencia de calor. En termodinámica encontramos los trabajos de Carnot, Kelvin y Clausius. La mecánica estadística se basa principalmente en los trabajos de Boltzmann.La mecánica cuántica, que trata los sistemas atómicos y subatómicos. Formula- da por Schrodinger, Heisenberg y Dirac, engloba la teoría cuántica establecida por Planck, Einstein y Bohr, y da las bases teóricas para la física, de la materia con- densada. Posteriormente se formula la Teoría Cuántica de Campos, que extiende la mecánica cuántica de acuerdo a la teoría de la relatividad especial, gracias en parte a los trabajos de Feynmann, Schwinger, Tomonaga y Dyson, quienes además formularon la electodinámica cuántica, es decir una teoría cuántica del espectro electromagnético.

El Calendario está estructurado de tal manera que proponemos un problema por día salvo los fines de semana y días festivos. Además intercalamos entre los problemas, fotos o dibujos que indican el terna para cada Calendario. Este año le rendimos ho- menaje a la ciencia natural que estudia las propiedades del espacio, el movimiento, el tiempo, la materia y la energía, así como sus interacciones, es decir, la Física.

En un principio la Física era tambien llamada filosofia natural, pues incluía los campos de la química, la biología, y la matemática. Durante la revolución científica del siglo XVII éstas disciplinas se separaron, considerándose cada una como una ciencia en particular. Sin embargo, la frontera entre la física y la matemática siempre ha sido difusa. No sólo la matemática es el lenguaje utilizado por la física, sino que también hay muchos desarrollos matemáticos que han sido llevado a cabo por físicos e inge- nieros. Más aún, resultados fundamentales en una y otra ciencia han sido conseguidos tanto por físicos que trabajan en matemáticas, como Edward Witten, así como por matemáticos que trabajaron en física, como Paul Dirac.

El campo de estudio de la física, tanto de la teórica como de la experimental, abarca desde las partículas fundamentales, hasta el nacimiento de estrellas, incluyendo por supuesto la gran incógni- ta acerca del origen de nuestro universo. Podemos agrupar sus diferentes áreas de estudio en cinco teorías centrales:La mecánica clásica, que describe el movimiento a escala macroscópica. Aquí se encuentran tanto los trabajos de Newton como los de Lagrange y Hamilton,

El electromagnetismo, que describe la interacción de partículas cargadas bajo la

acción de campos eléctricos y magnéticos. Se puede dividir en electroestática y elec- trodinámica. La teoría clásica se basa en los trabajos de Lorentz y Maxwell, mientras que los desarrollos más recientes se enmarcan dentro de la electrodinámica cuántica, área en la que fueron pioneros físicos como Dirac, Heisenberg y Pauli.La relatividad, que describe el espacio-tiempo y la interacción gravitatoria. Formu-

lada por Einstein, se divide en dos ramas: relatividad especial y relatividad general.

2007 Albert Fert Francia2007 Peter Grünberg Alemania2008 Makoto Kobayashi Japón2008 Toshihide Maskawa Japón2008 Yoichiro Nambu Japón/ USA2009 Charles K Kao Hong Kong/ USA/ Reino Unido2009 Williarn S. Boyle Canadá/ USA2009 George E. Srnith USA2010 Andre Geim Rusia/ Países Bajos2010 Konstantin Novoselov Rusia/ Reino Unido2011 Saul Perlmutter USA2011 Brian P. Schrnidt Australia/ USA2011 Adam G. Riess USA

En todo este proceso, los físicos han utilizado y desarrollado herramientas matemáticascada vez más sofisticadas. Esto ha hecho que ambas ciencias estén muy

vinculadas. Cabe mencionar que dos de los científicos citados anteriormente, Paul Dirac, matemá- tico de formación, y Edward Witten con formación en física, ganaron respectivamente el premio Nobel de Física, y la Medalla Fields (premio en Matemáticas), los galardones más prestigiosos en cada campo.

A continuación una lista de los premios Nobel en física entregados en los últimos 5 años:

Aprovechamos la oportunidad para agradecer a todos nuestros colaboradores, quienes desinteresadamente nos entregan año a año buenos artículos para enriquecer el Ca- lendario Matemático.

Para mayor información sobre las Olimpiadas Matemáticas puede visitar nuestro sitio de Internet, http://www.acm.ciens.ucv.ve.

José Alberto InfanteDepartamento de Matemáticas

Universidad Simón Bolívar

ORM ENERO 2012Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes

2 3 4 5 6

9 10 11 12

0 7

13

16 17 18 19 20

23 24 25 26 27

30 31

mC

2

El Problema de Malfatti: un Problema Elemental no tan Elemental

En 1803 el matemático italiano Gianfrancesco Malfatti (1731-1807) publicó una memoria en la cual planteaba y, supuestamente resolvía, un interesante problema. El problema en cuestión, en su versión original, se muestra en la Figura 2.

MEMORIA

lob y Richmond mostraron que una confIguración diferente de clrculos que

consiste del Incírculo y dos círculos empaquetados en los vértices del triángulo

resuelve la construcción de Malfatti (Figura S).

Figura 5

Figura 1

Figura 3

Figura 2

Dado un peda:.tode mármol con forma de prisma trianaular ¿cómo obtener tres

c.olumnas cUfndrlc.as.desperdidando la menorC!antidad posible de marmol?

La confiqunlclón de Lob y Rlchmond cubrla casi el 74·4 del área mientras que la de Maltattl cubrta menos del 13%.

Más aún, Goklbe ... (1967) most"ÓQue 101 clrculos de MalfaUi nunca son la mejor soludón pata el "problema del m'tmol" y Wells (1991) Ilustró taSos especlficos en donde soludoneulternltlvauon dltamente las óptimas.

Hubo que esperar casi dos siglos para obtener la respuesta general a. esta interesante cuestión. Zalgaller y Los dieron una completa solución al "problema del mármol" en1990.

Zalgaller y los establecieron (lo publicaron en 1991) que para un

triángulo ABe tal que LASLB sLe la solución del problema está

dada por los circulos el' ez y C~ donde el es el incirculo. Cz está inscrito en el LA y es tangente externamente a ClI mientras que Cl

es o bien el circulo inscrito en LB y tangente externamente a Cl obien el drculo Inscrito LA y tangente externamente a C2, dependiendo de si sen'A/2)~tan'B/2) o si sen'A/2)Stan'Bl2l.

Como es lógico de suponer, la altura de cada columna ha de coincidir con la del prisma. Luego, el problema queda reducido a uno en el plano, el de empaquetar dentro de un triángulo dado tres círculos con la mayor área total posible. Por supuesto, éstos no pueden traslaparse. En su solución Malfatti asumió que los tres círculos en el problemadel mármol debían ser tangentes entre sí y cada uno de ellos debía ser tangente a dos A

lados del triángulo (Figura 4). Estos círculos se denominan círculos de Malfatti.

AEn 19H lob y RIdwnond mostrafOl'l ~ un

conultllmplo Iy lo pulJltatOl'l tn 1930) que Atn ti uso de un trij~ tqulijttro

C

B

C1

C C C13 2 C2 C

C A 3

BC

BC

3

C1

C1

2 CC C

3A B

M!os.hM!l«gttf no $011 óptll'1'1O$tn.1te ntido de que elo$ no soIyc:!oQf!! ti

"prob4cma ck! Úmol".

Figura 6

Walter O. Beyer K.

B Figura 4 C Universidad Nacional [email protected]

ORM FEBRERO 2012Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes

1 2 3

6 7 8 9 10

13 14 16 16 17

20

Galileo Galilei (1564–1642)

21

Johannes Kepler (1571–1630)

22 23 24

27 28 29

Rithmomachia. La Batalla de los NúmerosCuando tenía 18 años y estudiaba matemática en la UCV comencé a leer el primer libro de historia de la matemática que se me atravesó en el camino. Se trataba del clásico de la editorial Dover de David Eugene Smith. Al comienzo, no se diferenciaba mucho del resto de los libros que tratan sobre el tema pero al llegar a la página198 me encontré con algo que definitivamente marcó mi vida como historiador dela matemática. Era una versión medieval del ajedrez que se llamaba Rithmomachia, Rithmomaquia o Rythmomachy en todas sus acepciones Rithmornachia significa en griego "La Batalla de los Números".

No se sabe con exactitud quien inventó eljuego pero, al parecer, hay un acuerdo entre los Historiadores en que fue Boecio o el mismísimo Pitágoras los posibles creadores de Rithmomachia. El juego cobró su fama en-

triángulos y cuatro para los cuadrados. Era común en todas las versiones no permitir el movimiento diagonal así como tampoco el cambio de movimiento en la trayectoria. Había cuatro tipos de capturas: por asedio, por encuentro, por emboscada y por asalto. Existían dos tipos de victorias: las menores que se formaban con las piezas capturadas del adversario denominadas De Corpore, De Bonis, De Lite, De Honore y De Honore Litique, combinando las dos últimas. Las victorias mayores eran practicadas por los jugadores avanzados. Éstas se formaban con las piezas capturadas del adversario y al menos una de las piezas propias. Las victorias mayores son: la Victoria Magna, que consistía en formar con un grupo de cuatro piezas una progresión aritmética, geométrica o armónica; la Victoria Mayor, cuando un grupo de cuatro piezas podían formar dos de las tres progresiones posibles. Pero, sin lugar a dudas, el clímax de los jugadores llegaba con la Victoria Excellentissima, cuando con un grupo de cuatropiezas podían combinarse para formar las tres progresiones posibles.-

Diagrama tomado del trabajo deBossiere, 1554-1556.

tre los siglos XII y XIII y era muy común ver entre los estudiantes de las primeras univer- sidades medievales donde se estudiaban las siete artes liberales, la práctica de Ríthmo- machia para desarrollar destreza numérica durante el curso del quadrivium (aritmética, geometría, música y astronomía). Se sabe que Roger Bacon ponía a sus estudiantes a jugar Rithmomachia. Los habitantes de la ciudad en la novela Utopía de Tomás Moro jugaban Rithmomachia al caer la tarde.

Recientemente encontré una fábrica de juegos exóticos antiguos llamada Gothic Green Oak en Leeds, Inglaterra, donde venden por 80.e esta hermosa. edición hecha en madera.

El juego se dispersó por Europa. Occidental principalmente entre Inglaterra, Francia y Alemania. Esto trajo como consecuencia que existieran diferentes variantes de las reglas así como de los movimientos de las piedras. El primero en registrar los orígenes del juego fue Hermann Contractus (1013-1054) quien dió el primer significado eti- mológico de Rythmimachie por "Jueqo de los Filósofos". El juego también es citado en un poema medieval llamado De Vetula.

"O utinam ludu» sciretur Rythmimachie Ludus Arithmeticae folium, fios fuctus et eius Gloria

laus et honor"

Gradualmente, las reglas se fueron recogiendo y ordenando por Contractus, Faber, Nemoriadus, Oresme, Asilo y de Bossíere. Por desgracia, perdió popularidad en el siglo XVII tanto que Leibniz conocía nada más el nombre pero nada de las reglas.El tablero era de 8x16 casillas de ajedrez y las piezas se disponían en los lados más pequeños. Cada jugador tenía 24 piezas (8 discos, 8 triángulos y 8 cuadrados). Las piezas blancas eran las pares y las negras, las impares. La distribución numérica de las piezas eran los primeros cuatro números pares 2, 4, 6 y 8 para las blancas y 3, 5, 7 Y 9 para las negras. Luego se formaban combinaciones de suma y potencias para el resto de las piezas. El movimiento era ortogonal: un espacio para los discos, tres para los

Versión moderna de Rithmomachia,

En las Jornadas Matemáticas del año 2010 expuse, en la sesión de historia de la matemática, una charla divulgativa sobre Rithmomachia y quisiera agradecer la ob- servación del profesor Douglas Jiménez, quien acotó que los numerales que proba- blemente fueron usados en este juego eran los romanos y no los arábigos, ya que la notación arábiga llegó a Europa luego del siglo XV. En la página web de los amigos de Gothic Green Oak aparece claramente cuando se inventó Rithmomachia y el hecho de que los numerales utilizados fueron los romanos y por ello, ponen a la venta tanto las fichas en números arábigos como en números romanos.

Tomás Guardia OrtegaCentro de Geometría

Universidad Central de Venezuela

Fuente del tablero de Rithmomachia: http://www.alexfedi.it/medioevo/risorse/rithmo-1.jpg

ORM MARZO 2012Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes

1 2

5 6 7 8 9

12 13 14 15

Canguro Matemático

16

19 20 21 22 23

26 27 28 29 30

La Notación Científica

En el mundo vivimos 7 x lOu personas. La masa de un protón os 1,67 x 10-27 kilogramos. La luz en el vacío recorre 9,46 x 101

;; nietros por año. E» ahnaccnamiento ele información. un terobute equivale a aproximadamente '1, '1 x 10LZbytes. En química, el número de Avogadro que representa. la cantidad de partícnlas básicas en mm mol de una substancia es (j.02'2141G x 1O~3.Aparecen números similares incluso en rcforon- cias como la televisión. recordando por ejemplo que en el capítulo Mi pvoblema con

los Popplers de la serie de caricaturas Fuiunmia se puede ver un cartel que habla de más de 3. x 1010 Popplcr« vendidos.¡,Pero qué quieren decir estos números? ¡,Qué- significa y para '1116 se usa la. estructuraa x lOb? Siu esa forma de escribir los uúiucros el párrafo anterior diría algo corno

En el mundo vi vi 1110::> 7000000000 personas. J ,<'1. masa de u 11

protón es 0.000000000000000000000000001 67 kilogramos, Lf1 luz en el vacío r('COITC9460000000000000 metros por año. En al maccnamicnto ([r infor- uiacióu, UIl terabyte equivale a aproxunudamcntc 1100000 (JOO000 uytes,811 química. el número de Avogadro que representa la cantidad de parl.lcu-

lASbásicas en una mol do una substancia es 602 214 150000000000000000, Aparecen números similares incluso en referencias COIllO la televisión, rocor- dando por ejemplo que cu el capítulo Mi probleuia con los Popplers ele la serie de caricaturas Fuiunnn« se puedo ver un cartel que habla de JII6s ele3 000000000 P07)ple1'S vendidos.

COIllO se puede ver, los números que estaban antes escritos ele la. forma a x LOb el.]

escribirse en la forma tradicional tienen una. enorme cantidad de ceros. lo que los hace difíciles de manejar COI! exactitud a simple vista. Ese es 11110 de los objetivos fundamentales de lo que llamaremos Notación científica, introducir una forma. conocida en todo el inundo para manejar números muy grandes o muy pequeños. Para esto es importante disf'ñAl' un sistema y darle ln,.,lS reglas (¡lle hAga que los 111'Lrneroqs He

ese sist('ma Illu('stra SN\n ll1all<.'jablcs y utili7.ables por todos los qlle lo conozc'¡ul.Las reglas del sistel1la dt' notación científica SOll las siguientes:

• Los lIúmeros seráll escritos ele la forma a x 10b,

• El n(1I11eroG srr~\ un número no menor }\ 1 .Y siemprc menor I'l. lO fli es positivo)o no mayor a -1 y siclllpre lllayor a-lO ¡.;ic¡'; IIc'gntivo,

• El lIúlllero U debe scr siempre L111I(lI11e1'oentero.

La primera de las cOlldiciones explica por qué Codos los IlLlIllerOs que a.parecen el1 el prill1('r p,írrafo ti('l1cn esa rstrllctura cn connín, La segunda y la tercera l'c'gla. GOlllhi-nadas ti('Hell dos objetivos, hacer que la esnitul'rt de cada lllílllero s('a ¡ínicH. .Y que las

científica el número 2012.2012 se puede escribir de muchas formas como el producto de Ull número y una potencia de 10, por ejemplo como 2012 x 10° o como 20120 x 10-1 o 20, 1.2 X 102

, enero otros. El beneficio de la notación cienufica E:'S que. según lasreglas de construcción, especialmente la. segunda de ellas ('11 este caso, ninguna de lasformas ele representación mostradas cumple las condiciones que se piden. Debido a las reglas segunda y tercera, es importante notar que 2012 es mayor que 1000 (lO:l) pero menor que '10 000 (J 04

). con lo que necesariamente se debe escribir 2 O] 2 como un n{1111el'(m) ultiplicado por 103, Para obtener el número que debe ser multiplicado hasta entonces tomar 2012 Y desplazar el marcador decimal (on oste caso no visible pero toóricsuucntc ubicado a. la derecha del dígito do las unidades) tres posiciones hacia la izquierda, llegando así a que la escritura correcta eu notación cientffica para 2012 es2,012 x LOa,La siguiente condición que se debo analizar, aunque esto depende totalmente de la in- tonc-ión cou la que' se use' la notacióu cicntífk:a, ('S la precisión <:011la quc se escriben los IJÍlulCl'OSen olla Así, c111l1111cro1234567 9 se podría escribir C01l10 1. 234567 9 x 108

lo que dad,t rápidamente la. idea de que es un número mayor que 100000000 (lO!» poro l1)r110rque 1 000000000 (109) P('!'O que os en muchos casos UI1 nivel de precisión posiblemente iucccsario, espec-ialmente si el objetivo ('S simplemente saber si el número os mayor o menor q UC' ot ro. Es cl uiomcnt o en el que aparece el concepto de cifras sig- nijical:¿'I)(Ls, refiriéndose a la cantidad ele cifras o dígitos que debe tener el número (1 que se usa ('11 la. notación c-ipntífica, Así por ejemplo. volviendo a los ejemplos iniciales. el número do Avogadro reducido ¡\. cuatro cifras significativas sería 6,022 x 102:3. ponion- do muchos 111('110dSecimales en a . 1)(' la misma forma. 1234567 9 reducido a. cuatro cifras significativas serÍl,t J \ 2;{4 x 10:;, donde las otras ('ifras se' eliminan por considerar

C[lICsu posicióu las hace 11 1('11 os decisivas que las demás debido a la naturaleza grandeo pequeña del número en cuestión.P ..1I'ft (-,lltellder r,1 illlpacto ele 1<1. Llot,<lciónciellt ífint ell la 1I0('Íc)ndel mundo <,Ir('dedor, plledc' dec-irsc por c'j('mplo quo. siemprr A. CIlf1trO ('ifrl'ls significatin,s. 20 personas I)\u'den fOl'lIHlr¡.;cC''ll IllI!t IÍlw¡j de uproximadanlC'l1tc 2, ·13:3x 1018 formas, ('S de('ir, l1uis<.le lUl lllillón de ILli1lólI <.le ndllOIlC::; (Ull trillóll ell la interpretación castellana de la pall'lbrn.), La clistanc-ia en kilómet.ros de la tierra a la estrella más cercana (diferenteal sol) q\lc' ('s Próxim¡.t Ccnt.ami ('S ~1proxil11l\dall1rntr .¡ X 101:1 kilómctros, qllr paradarse' llll<t idc¡t de' lo ('1101'111() ([l\e rs sigllifi<-aría ciar aproxillladamcnt<.' 1000000000 vuclta;,; alrededor de lu,tieITa (la circullferellcia de la Lierra es aproximadamente -1 x lO" k i l<Ín1('1 ros),Conlo puedr vel'~e una gran ("l'I!lLidad de nll11leroS de nll'lgllitud astronómica o mi- ('I'OSCÓpiC',p1llNle e!1('ont.rarsr r\1 notación científica. por lo C]uCu' n primN paso para üllt(')Idl~r lllllC;hosde lo¡.;datos qno se C1ICllcntl'l\non la. vida diaria es cnteneler cómo fun- ciolla este Illétodo de es(;riLura de Ilúllleros y CÓllIO se puede interpretar. Este pequeiLo

operaciolles para couSLruir la escritura ell nota<:ióll c;icllCífica de UIl númcro sua.u tun f¡kiles como mover el indicador de decilllales en UII senLido o en o~ro.

t.exto pllede SCI' 111) primcr p¡1S0 el1 ese sentido,

Osear BernalPara dar un ejemplo d(' cómo fundona la notac·jón cicntífiea. en lHl caRO de 1111 llIímel'opequeño y así dar Hna iclea general, nótese cómo se ha.ría para r¡.;cribil' en notadó11

U niversidad de los Andes, Bogotá, Colombia.

ORM ABRIL 2012Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes

2

Nicolás Copérnico (1473–1543)

3

Tycho Brahe (1546–1601)

4

Isaac Newton (1642–1727)

5

Jueves Santo

Robert Hooke (1635–1702)

6

Christiaan Huygens (1629–1695)

9 10 11 12 13

16 17

+1 -2 +3? 6

18 19

Robert Boyle (1627–1691)

20

23 24 25 26 27

30

F

Presión y Fluídos

Imaginemos por un momento un gigante que quiere tomar agua de un lago. Como es tan grande, se le hace muy dificil bajar a tomar agua directamente, por lo cual decide utilizar un pitillo gigante. ¿Cuál es la altura máxima desde la cual puede beber agua el gigante?

Para responder esto primero debemos ver qué ocurre cuando utilizamos un pitillo, y para esto debemos conocer algo sobre fluidos.

Cuando se sumerge un objeto en un fluido, como el agua y el aire, este fluido ejerce una fuerza sobre el objeto, perpendicular a la superficie. Esta fuerza por unidad de área se denomina presión. Así vemos que el aire alrededor de nosotros ejerce una presión sobre la superficie terrestre llamada presión atmosférica.

Resulta obvio ver que en una columna de líquido, la presión aumenta al aumentar la profundidad, ya

En la figura, vemos que la presión en el punto A es igual a Po + pgh, pero al mismo tiempo como la presión es constante a la misma profundidad, también es igual a la presión atmosférica PA. Igualando y despejando h tenemos

h = PA - Po (2)pg

En la ecuación anterior sólo pueden variar h y Po ya que la densidad del agua p,la presión atmosférica PA y la aceleración de gravedad 9 son constantes en un lugar específico. Entonces se tiene que el mayor valor que puede alcanzar h es cuando Po = O

Pes decir que hay un vacío absoluto dentro del pitillo. En este caso, h = ~ ~ 10m.

pgAsí que para que el gigante pueda tomar agua debe estar a una altura menor de 10m.

Estos principios también explican por qué funciona un sifón. Un sifón está formado básicamente por un tubo en U invertido, con un extremo en un reservorio de algún líquido. Si se llena mecánicamente el tubo con el líquido y se coloca el otro extremo del tubo a una altura menor que la superficie del reservorio, el líquido fluirá continuamente por el tubo y saldrá por el orificio inferior.

P0 que el peso del agua encima es mayor. Específica-

mente, el peso de una columna de agua es pAhg siendo p la densidad del líquido, g la aceleración de gravedad, A el área transversal de la columna y h la altura de la columna. Entonces la presión ejer-

h cida por la columna de agua será P = ji = phg.

PA

Esto sumado con la presión en la parte superior de la columna (Po) nos da la presión en la parte

A inferior:

P= Po+pgh (1)

Este fenómeno es interesante porque significa que el líquido debe subir primero por elTambién se puede ver de esto que a una mismaprofundidad, la presión es constante sin importar la forma del contenedor.

Cuando bebemos un líquido a través de un pitillo, lo que hacemos es extraer aire, disminuyendo la presión Po dentro del pitillo. Corno la presión justo debajo del pitillo es mayor a la presión dentro del pitillo, el agua es empujada hacia arriba.

tubo de la derecha en contra de la gravedad. Esto ocurre porque cuando el líquido sale por el orificio de la izquierda se crea una región de baja presión en la parte superior del tubo que contrarresta el peso del líquido en la columna de la derecha, causando el flujo.

Sofia TaylorEx-olímpica

Estudiante de la Licenciatura de Física Universidad Central de Venezuela

ORM MAYO 2012Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes

1

Thomas Young (1773–1829)

2 3 4

7 8 9 10 11

14 15 16 17

9 8 9

18

21 22 23 24 25

28 29 30 31

2

r

XIII Olimpiada Matemática de Centroamérica y El Caribe. OMCC 2011

La Olimpiada Matemática de Cen- troamérica y El Caribe, OMCC, es una competencia dirigida a estudiantes de escuela secundaria con poca o ninguna experiencia internacional previa en este tipo de eventos. Se organiza anualmente desde 1999 y en un comienzo, con el auspicio de la Organización de Estados Iberoamericanos para la Educación, la Ciencia y la Cultura, OEI, se convocó a todos los países de habla hispana de la región, a saber, Colombia, Costa Rica, Cuba, El Salvador, Guatemala, Honduras, México, Nicaragua, Panamá, Puerto Rico, República Dominicana y Venezuela. A partir del año 2010, se invitan tambiéna Jamaica, Islas Vírgenes y Trinidad yTobago.

Cada delegación asiste con un máximo de tres estudiantes y dos profesores. La orga- nización de la OMCC sigue el patrón de la Olimpiada Internacional de Matemáticas. Durante dos días consecutivos los estudiantes presentan dos exámenes, cada uno com- puesto por tres problemas inéditos. Los ganadores reciben medallas de oro, plata y bronce y menciones honoríficas. Las menciones se otorgan a cada alumno que haya dado una solución completa a un problema de los seis propuestos, pero no tenga la puntuación mínima necesaria para obtener una medalla de bronce. Es esta competencia también se da un premio, la Copa El Salvador, al equipo que haya mostrado un mayor avance durante dos años consecutivos.

Este año, del 16 al 26 de Junio se celebró en Colima, México, la XIII Olimpiada Matemática de Centroamérica y El Caribe, con la asistencia de 12 países y 33 estudiantes. Cuba fue el único ausente a la cita y Jamaica participó por segundo año consecutivo. Nuestra delegación estuvo integrada por los estudiantes Rubmary Rojas del colegio Divina pastora de Barquisimeto, Sergio Villarroel, del colegio San Lázaro de Cumané, y Evelin Hernao del colegio Altamira de Maracaibo, Rubmary Rojas ganó medalla de plata y Sergio Villarroel, ganó medalla de bronce. Los jóvenes estu- vieron acompañados del profesor José Nieto de la Universidad del Zulla, como jefe de la delegación y Carrnela Acevedo, estudiante de matemáticas, como tutora.

Terminamos mostrando los problemas de esta OMCC.

Primer Día

Problema 1. En cada uno de los vértices de un cubo hay una mosca. Al sonar unsilbato, cada una de las moscas vuela a alguno de los vértices del cubo situado en una misma cara que el vértice de donde partió, pero diagonalmente opuesto a éste. Al

sonar el silbato, ¿de cuántas maneras pueden volar las moscas de modo que en ningún vértice queden dos o más moscas?

Problema 2. Sean ABe un triángulo escaleno, D el pie de la altura desde A, E la intersección del lado Ae con la bisectriz del LABe, y F un punto sobre el lado AB. Sea O el circuncentro del triángulo ABe y sean X, Y, Z los puntos donde se cortan las rectas AD con BE, BE con Cl", eF con AD, respectivamente. Si XYZ es un triángulo equilátero, demuestra que uno de los triángulos OXY, OYZ, OZX es un triángulo equilátero.

Problema 3, Aplicar un desliz a un entero n 2:: 2 significa tomar cualquier primo

p que divida a n y reemplazar n por n~p . Se comienza con un entero cualquiera mayor o igual a 5 y se le aplica un desliz. Al número así obtenido se le aplica undesliz, y así sucesivamente se siguen aplicando deslices. Demuestra que, sin importar los deslices aplicados, en algún momento se obtiene el número 5.

Segundo Día

Problema 4 Encuentra todos los enteros positivos p, q y r, con p y q números primos, que satisfacen la igualdad

--1 +--

1 -

1

1

p+l q+1 (p+1)(q+1) =-

Problema 5. Los números reales positivos x, y, z son tales que

y z xx + - = y + - = z + - = 2.z x y

Determine todos los valores posibles de x + y + z,

Problema 6. Sea ABe un triángulo acutángulo y sean D, E y F los pies de las alturas desde A, B y e, respectivamente. Sean y y Z los pies de las perpendicularesdesde B y e sobre F D y DE, respectivamente. Sea FI la reflexión de F con respectoa E y sea El la reflexión de E con respecto a F. Si 3EF = F D + DE, demuestre queLBZF, = Ley El.Nota: La r·efiexión de un punto P respecto a un punto Q es el punto PI ubicado sobre

la recta PQ tal que Q queda entre P y PI, y PQ = QPI.

Rafael Sánchez LamonedaAsociación Venezolana de Competencias Matemáticas.

Universidad Central de Venezuela.

ORM JUNIO 2012Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes

1

4 5 6 7 8

11 12 13 14 15

XIV OMCC (Junio 15-23, El Salvador)

18 19 20 21 22

25 26 27 28 29

52a Olimpiada Internacional de Matemáticas. IMO 2011

International Mathematical Olympiad Am sterdam 2011

La Olimpiada Internacional de Matemáticas, IMO por sus siglas en inglés, es una competencia a la cual se dan cita los mejores estudiantes de matemáticasde escuela secundaria de todo el mundo. Fue en elaño 1959 cuando Rumania la organizó por primera vez y desde entonces, todos los años, a excepción de1980, más de cincuenta países de los cinco continentesacuden a la cita.La IMO se lleva a cabo durante doce días. Los cuatro primeros son de intensa actividad para el jurado internacional, que está conformado por los jefes de cadauna de las delegaciones participantes.

de cuatro enteros positivos distintos para los cuales se alcanza el mayor valor posible de nA.

Problema 2. Sea S un conjunto finito de dos o más puntos del plano. En S no hay tres puntos colineales. Un remolino es un proceso que empieza con una recta e que pasa por un único punto P E S, al cual llamaremos pivote. Se rota e en el sentido de las

manecillas del reloj con centro en el pivote P hasta que la recta encuentre por primera

vez otro punto de S al cual llamaremos Q. Con Q como nuevo centro, (pivote), se sigue rotando la recta en el sentido de las manecillas del reloj hasta que la recta encuentra otro punto de S. Este proceso continúa indefinidamente, siendo siempre el centro de rotación un punto de S.Demostrar que se puede elegir un punto P E S y una recta f que pasa por P tales que

Durante esos días es responsabilidad del jurado producir los dos exámenes de la competencia sobre la base de un banco de problemas inéditos que previamente ha conformado el país organizador con problemas que los países participantes han enviado con anterioridad. El resto de las delegaciones, estudiantes y profesores tutores, llegan el día antes del acto inaugural, el cual consiste en discursos de las autoridades del pais organizador, un vistoso desfile de todas las delegaciones y un acto cultural. Así la escena está lista para los dos días de competencia. Los jóvenes se enfrentan a dos exámenes, uno por día, cuya duración es de cuatro horas y media, y que constan, cada uno, de tres problemas. Finalizados los exámenes los estudiantes tienen una serie de actividades deportivas y recreativas, mientras los profesores corrigen las pruebas de sus alumnos y defienden esa calificación ante los tribunales de corrección, donde final- mente se determinan las puntuaciones de cada participante y se asignan los premios, medallas de oro, plata y bronce y menciones honoríficas. Las menciones se otorgan a cada alumno que haya dado una solución completa a un problema de los seis propuestos, pero no tenga la puntuación mínima necesaria para obtener una medalla de bronce. La IMO cierra con un día de excursión y el acto de prerniación, siempre vistosoy emotivo.El año pasado, la 52a IMO, se realizó en Amsterdam, del 12 al 24 de Julio, con la participación de 101 países y 564 estudiantes, cada delegación asiste con un máximo de seis estudiantes un jefe y un tutor. Se contó con la asistencia de dos nuevos países en calidad de observadores, Senegal y Uganda. Nuestra delegación la conformaron dos alumnos, Diego Peña Colaiocco del colegio Los Hipocampitos, estado Miranda y Carlos Lamas Bárconas del colegio Independencia do Barquisimcto. Ambos jóvenes ganaron mención honorífica. La tutora de la delegación fue la profesora Laura Vielma Herrero y el jefe el profesor Rafael Sánchez Lamoneda.Los problemas de esta IMO son los que mostramos a continuación.

Primer Día

el remolino que resulta usa cada punto de S como un centro de rotación un númeroinfinito de veces.

Problema 9. Sea f una función del conjunto de los números reales en si mismo que satisface

f(x + y) :5 yf(x) + f(J(x))

para todos los números reales x, y. Demostrar que f(x) = O para toda x :5 O.

Segundo Día

Problema 4. Sea Sea n > O un entero. Se dispone de una balanza de dos platillos

y de n pesas cuyos pesos son 2°, 21, ... , 2n-l. Se coloca cada una de las pesas en

la balanza, de una en una, mediante una sucesión de n movimientos. En el primer movimiento se elige una pesa y se coloca en el platillo izquierdo. En cada uno de los movimientos siguientes se elige una de las pesas restantes y se coloca en el platillo de la. izquierda o en el de la derecha. Determinar el número de formas de llevar a cabo estos n movimientos de manera tal que en ningún momento el platillo de la derecha tenga más peso que el platillo de la izquierda.

Problema 5. Sea f una función del conjunto de los enteros al conjunto de los enteros positivos. Se supone que para cualesquiera dos enteros m y n, la diferencia f(m) - f(n) es divisible por f(m-n). Demostrar que para tocios los enteros m y n con f(m) :5 f(n), el número f(n) es divisible por f(m).

Problema 6. Sea ABe un triángulo acutángulo cuya circunferencia circunscrita es r. Sean e una recta tangente a I', y sean ea, eb y ee las rectas que se obtienen al

reflejar e con respecto a las rectas Be, eA y AB, respectivamente. Demostrar que la circunferencia circunscrita del triángulo determinado por las rectas ea, eh y fe es tangente a la circunferencia r.

Problema. 1. Para cualquier conjunto A = {c., 0.2, 0.3, o.4} de cuatro enteros positivos distintos se denota la suma al + 0.2 + 0.3 + 0.4 por SA. Sea nA el número de parejas (i, j) con 1 :5 i < j :5 4 para las cuales a¡ + aj divide a SAo Encontrar todos los conjuntos A



OJM JULIO 2012Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes

2 3 4

53a IMO (Julio 4-16, Mar del Plata, Argentina)

5

Charles Coulomb (1736–1806)

6

9 10 11 12 13

16 17 18 19 20

23 24

Luigi Galvani (1737–1798)

25 26 27

30 31

7rAC

El Árbelos: Lienzo de los Geómetras

Cada uno de los subconjuntos del plano que se muestran en la figura 1 se llama árbelos. Son regiones del plano por demás hermosas que poseen propiedades muy interesantes. Matemáticos de distintas épocas han pintado sobre árbelos verdaderas obras maestras de la geometría.

Figura 1

La palabra árbelos proviene del griego y significa cuchilla de zapatero. Pero, geométricamente, ¿cómo se define un árbelos? En referencia. a las notaciones que se muestran en la. figura 2, sean A y B dos puntos distintos y C es un punto cualquiera de

• AB. Consideremos las semicircunferencias cuyos diámetros sonFigura 2 AB, AC y CB y que están a 1m mismo lado de AB. La región del

plano comprendida entre estas semicircunferencias es un árbelos.

Veamos algunas propiedades métricas de un árbelos. Determinemos, en primer lugar, su longitud L. Por definición, L es la suma de las longitudes de las semicircunferencias de diámetros AB, AC y CB. Recordemos que la longitud de una semicircunferencia es la mitad del producto de 7r y su diámetro. Por tanto,

7r AB 7r AC 7rCB 7r 7rL= -2- + -2- + -2- = '2 (AB+AC+CB) = '2 (AB+ AB) = 7rAB

En consecuencia, la longitud L del árbelos es igual a la longitud de la circunferencia. de diámetro AB y, ¿cuál es su área? Denotemos por S el área del árbelos. Por definición

Entonces, por el teorema de Pitágoras, tenemos que AD2 = AC2 + CD2 Y DB2

= CD2 + CB2 Y AB2 = AD2 + DB2. De estas igualdades, obtenemos AB2 =

AC2 + CB2 + 2CD2 (2). Sustituyendo (2) en (1), llegarnos a que

S = ~ (AC2 + CB2 + 2CD2 - AC2 _ CB2

) = ~CD2 = 7r

(CD)2842

En consecuencia, el área del árbelos es igual al área del círculo de diámetro C D. Arquímedes de Siracusa (287a.C. - 212a.C.) hizo un estudio sobre el árbelos en su obra Liber Asusnptorusti o Libro de los Lemas y, entre otras propiedades, expone la siguiente: los círculos inscritos en las regiones ADC y CDB tienen el mismo diámetro (ver figura 4), el cual es el cociente del producto de los diámetros de las semicircun-ferencias menores y el diámetro de la semicircunferencia mayor. Con las notaciones adoptadas en este artículo, significa que el diámetro de estos círculos es A~gB. En

la literatura actual sobre el tema, estos círculos se denominan Círculos Gemelos deArquímedes.

Figura 4

Pappus de Alejandría (290 - 350) escribió sobre el árbelos en el libro IV de su maravillosa obra Synagoge o la Colección Matemática. En él desarrolla una serie de lemas y teoremas que

de esta figura, S es la diferencia entre el área del semicírculo de diámetro AB y la. suma de las áreas de los semicírculos de diámetros AC y C B. Esto es,

S = 7r (;)2 _ [7r (;)2 + 7r (;)2]

Figura 5 sustentan la. construcción del círculo inscrito en un árbelos (figu-ra 5), llamado Oirculo de Pappus. Éste es el primero de una. sucesión infinita de círculos denominada Cadena de Pappus: cada círculo de esta sucesión es tangente al anterior y a los dos semicírculos mayores del árbelos, En la figura 6 se muestra una

= 7rAB2 _ 2

_ 7rCB2 = ~ (AB2 _ AC2 _ CB2)

(3)Figura 6

cadena de Pappus.

8 8 8 8 (4) Para saber más sobre el árbelos, recomendamos visitar:http:j jmathworld. wolfram.com/ Arbelos.htrnl

Figura 3

Consideremos el segmento C D perpendicular a AB, siendo Dpunto de la semicircunferencia de diámetro AB (ver figura 3). Por esta construcción, los triángulos 6ADC y 6BDC son triángulos rectángulos, cada uno con ángulo recto en el vértice C. Ahora bien, el triángulo 6ADB también es rectángulo con ángulo recto en el vértice D, ya que está inscrito en una circunferencia y uno de sus lados es un diámetro de ésta.

http://www.cut-the-knot.org/proofs/arbelos.shtml

Fabiola Irene Czwienczek MilerUniversidad Pedagógica Experimental Libertador

Instituto Pedagógico de Maracay

OJM AGOSTO 2012Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes

1 2 3

6 7 8 9 10

13 14 15 16 17

20 21 22 23 24

27 28 29 30 31

XII: n

XXIV Olimpiada Iberoamericana de Matemáticas. OIM 2011

La Olimpiada Iberoamericana de Matomáticas, OIM, es una competencia dirigida a estudiantes no mayores

de 18 de edad. Su origen data del año 1985 cuando Colombia y la Organización de Estados Iberoamericanos para la Educación, la Ciencia y la Cultura. OEI, con- vocaron a todos los países de habla hispana y por- tuguesa de América Latina así como a España y Por- tugal, a participar en la 1 OI~1. Los países que anualmente concurren a esta cita son: Argentina, Bolivia, Brasil, Chile, Colombia, Costa ruca, Cuba, Ecuador, El Salvador, España, Guatemala, Honduras, México, Nicaragua, Panamá, Paraguay, Perú, Portugal, Puerto Rico, República Dominicana, Uruguay y Venezuela. Ca- da delegación asiste con un máximo de cuatro estudiantes y dos profesores. La organización de la OIM sigue elpatrón de la Olimpiada Internacional de Matemáticas.

OLIMPIADAIBFROAMERlCANt\ oiMAIEMATICACtlHA ItlCA lOIl

Problema 2. Encontrar todos los enteros positivos n para los cuales existen tresnúmeros enteros no nulos z, y, z tales que

x + y + z = O Y ! +! + 1= l.

Problema 9. Sea ABC un triángulo y sean X, Y, Z los puntos de tangencia de su circunferencia inscrita con los lados BC, CA, AB, respectivamente. Suponga que el, C2 y C3 son circunferencias con cuerdas YZ, ZX, XY, respectivamente, tales que O, y C2 se corten sobre la, recta CZ y que Cl, C3 se corten sobre la recta BY. Supongaque CI corta a las cuerdas XY y ZX en J y !II respectivamente, que C2 corta a las cuerdas YZ y XY en Le!, respectivamente, y que C3 corta alas cuerdas YZ y ZX en K y N, respectivamente. demostrar que!, J, I<, L, M y N están sobre una misma circunferencia.

Segundo Día

Durante dos días consecutivos los estudiantes presentan dos exámenes, cada uno com- puesto por tres problemas inéditos. Los ganadores reciben medallas de oro, plata y bronce y menciones honoríficas. Las menciones se otorgan a cada alumno que haya dado una solución completa a un problema de los seis propuestos, pero que no alcance la puntuación mínima necesaria para obtener una medalla de bronce. En esta competencia. al igual que en la Olimpiada Matemática de Centroamérica y El Caribe, se otorga un premio al equipo que haya mostrado un mayor avance durante dos años consecutivos, la Copa Puerto Rico. Cabe señalar que históricamente esta copa es previa a la Copa El Salvador.

La OI~I 2011, se celebró en San José de Costa ruca, con la asistencia de veinte países, faltando Cuba y República Dominicana. Nosotros asistimos con tres estudiantes, Diego Peña del colegio Los Hipocampítos del Estado Miranda, Rubmary Rojas del colegio Divina Pastora de Barquisimcto y Sergio Villarroel del colegio San Lázaro, de

Cumaná. Diego ganó medalla de bronce y tanto Rubmary, como Sergio ganaron menciones honoríficas. La jefe de delegación fue la profesora Laura Vielma de la Academia Washington y la tutora Estefanía Ordaz, alumna de la licenciatura en matemáticasde la Universidad Simón Bolívar.

Los dejamos ahora con los problemas de esta OlMo

Primer Día

Problema l. En la pizarra está escrito el número 2. Ana y Bruno juegan alternada- mente, comenzando por Ana. Cada uno en su turno sustituye el número escrito por el que obtiene al aplicar exactamente una de las siguientes operaciones: multiplicarlo por 2, o multiplicarlo por 3, O sumarle 1. El primero que obtenga un resultado mayor o igual que 2011 gana. Hallar cuál de los dos tiene una estrategia ganadora. y describir dicha estrategia.

Problema 4. Sea ABC un triángulo acutángulo, con AB :f BC, y sea O su circuncentro. Sean P y Q puntos tales que BOAP y COPQ son paralelogramos. Demostrar que Q es el ortocentro de ABC.

Problema 5. Sean Xl, ... ,Xn números reales positivos. Demostrar que existen al, ... ,an E

{-1,1} tales que

Problema 6. Sean k y n números enteros positivos, con k ~ 2. En una línea recta se tienen kn piedras de k colores diferentes de tal forma que hay n piedras de cada color. Un paso consiste en intercambiar de posición dos piedras adyacentes. Encontrarel menor entero positivo m tal que siempre es posible lograr, con a lo sumo m pasos,que las 1'1, piedras de cada color queden seguidas si:

• n es par.

• 1'1, es impar y k = 3.



OJM SEPTIEMBRE 2012Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes

3 4 5 6 7

10 11 12 13 14

17 18 19 20 21

24 25 26 27 28

Elaboración de Modelos Didácticos para la Enseñanza de las Cónicas y de sus Propiedades

OJM OCTUBRE 2012Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes

1 2 3 4 5

8 9 10 11 12

Mychael Faraday (1791–1867)

15 16 17 18 19

22 23 24 25 26

29 30 31

¿j

°1

%"

°

Los Griegos y la Raíz Cuadrada de Dos

cuando se topó con los números irracionales; se presume que fue con 1Hace unos dos mil quinientos años, Pitágoras se quedó perplejo .

../2. Los griegos partían del sano principio de que todo segmento 1

rectilíneo se podía "medir", es decir, podía asocíársele un número 1que representase su longitud. Aplicando el teorema que lleva su •nombre a un triángulo isorrectángulo, cuyos catetos iguales se •

para x"' obtenemos:

Xo = 1 Xl = 2 y, para n;::: 1 : Xn+J = 2xn + Xn-l

Es claro que la sucesión {Xn} es de enteros positivos y estrictamente creciente. Sean p = 1 + V2 y q = 1 - ../2. Por tanto,

(6)

toman como unidad de medida, Pitágoras se percató de que la hipotenusa (../2) no podia "medirse" con la unidad y sus partes alícuotas. ¿Qué especie de número co-

p+q=2

Luego, la expresión (6) es lo mismo que

pq =-1

rrespondía pues a la longitud de la hipotenusa? A éste y a otros que no tardaron en aparecer se les llamó "irracionales", "inconmensurables"; nombres que sin duda reflejan el desconcierto que provocaron.Los griegos no lograron dilucidar el misterio de los "irracionales", aunque en las obras de algunos de ellos en la época Alejandrina, tales como Arquímedes y Eudoxo, unos trescientos años después, se observa una profunda intuición acerca de su naturaleza-como aproximaciones sucesivas de fracciones- que es premonitoria de su "construc- ción" rigurosa a partir de los racionales. Hubo que esperar hasta 1872, cuando el matemático alemán Richard Dedekind, discípulo de Gauss, "construyó" rigurosamenteel cuerpo de los números reales, por su método de las "cortaduras".Los antiguos griegos empleaban un algoritmo muy sencillo para calcular ../2, mediante aproximaciones por fracciones. Traducido a un lenguaje moderno, el algoritmo es como sigue. Se construyen las sucesiones {X'l}, {y,,} por el siguiente procedimientorecurrente:

X,,+I = (p + q) Xn - pq X,,_I

que da lugar a este par de expresiones

x,,+J - px" = q (x'l - px,,-J)

X,,+I - qX'l = P (xn - qXn-l)

O sea que las sucesiones {un} y {w,,}, definidas, para n;::: 1, como

Un,+J = Xn+l - P Xn Wn+J = xn+J - qXn

satisfacen la identidades

que indican que se trata de progresiones geométricas, entonces

n X" y" ya que tL) = q Y W] = p. Se infiere en consecuencia

1 1 Wn+1 - Un+1 = (X'l+1 - q xn) - (xn+J - pxn) = (p - q) x"2 3 =1

2 5 7::::::} (p - q) Xn W"+I - ~+l = p,,+l _ qn+l

p"'+1 _ q"+ I

3 12 17 ::::::} Xr¡ =p-q

4 29 41 Obtenemos entonces (aplicando (5),

5 70 99.Y-!:

= 1+ X ,,-] = 1+ pfl - q"1+ 1 - rn

Es decir, más brevemente, Xo = Yo = 1 y, para n ;:::1,

......... Xn Xn p",+J - qn+1 p - qr»

donde r = q/p, de modo que -1 < r < 0, o sea que rn -+ 0, es decir, r" se acercaindefinidamente a a medida que n crece. Se infiere que, para. n -+ 00,

x" = Xn-I + Yn-I y" = x" +Xn-l (5)11, m (Y-

n)Xr¡

= 1+- = v'2P

Los griegos observaron que las fracciones 1L!1. proporcionan una aproximación cada

vez mayor a ../2, a medida que n se hace más grande. Como expresaríamos hoy día:

lím(y,,/x,,) = ../2. No sabemos si los

griegos tenían una justificación teórica

para su

Empíricos o no, los griegos tenían razón.

Ignacio L. Iribarrenprocedimiento o si sólo se trataba de una apreciación empírica.Vamos a examinar la cuestión con el auxilio de la matemática actual.Se infiere de (5) que Yn-I = X,,_I + X,,-2, de modo que, sustituyendo en la expresión

Academia de Ciencias Físicas, Matemáticas y Naturalesy la Universidad Simón Bolívar

OJM NOVIEMBRE 2012Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes

1 2

5 6 7 8 9

12 13 14 15 16

19 20 21 22 23

26 27 28 29 30

¿El Uno es un Número Primo?

El conjunto de los números naturales es un conjunto fundamental en matemáticas. Gracias a la madurez que fue adquiriendo la matemática con el paso del tiempo, Eu- clides, un matemático griego, logró encontrar un conjunto que describía y representaba a cada uno de los números naturales, denominándolo el conjunto de los números primos. Logró demostrar en una prueba muy elegante mediante la reducción al absurdo, que existen infinitos números primos.

Consideremos la siguiente lista de números naturales:

1001! + 2, 1001! + 3, ... , 1001!+ 1001

Este es un conjunto de 1000 números naturales consecutivos en donde ninguno de ellos es primo. Note que el primer elemento de la lista es divisible por 2, el segundo elemento es divisible por tres y asi sucesivamente hasta el último que es divisible por1001. Claramente este resultado es posible generalizarlo mostrando, que a pesar de que hay infinitos números primos, existen espacios en los números naturales tan grandes como uno lo desee en donde no se encuentra ningún número primo.El conjunto de números primos siempre se ha considerado importante en la matemática, pero en el año 1970, se despertó nuevamente un grán interés por su estudio con el surgimiento de la criptografía de clave pública.

Uno de los mayores cuestionarnientos que se han hecho los matemáticos desde la antigüedad es determinar, si el número 1 debe o no considerarse como un número primo. A continuación enunciaremos algunas razones por las cuajes el número 1 no debe ser primo.Por definiciónConsideremos la siguiente definición:Definición: Un número entero mayor que 1 se denomina un número primo si s610 tiene como divisores positivos a sí mismo y a la unidad.Notemos que una de las condiciones que se tiene que satisfacer, es que el número sea entero mayor que 1, con lo cuál automáticamente el 1 queda excluido del conjunto de los números primos. Aunque esta no es una razón de fondo para descartar el 1 del conjunto de números primos, a continuación observaremos algunas razones con un mayor fundamento matemático para decidir no incluir el 1 en los números primos.Por su propósitoComo se hizo mención anteriormente, los números primos forman un conjunto que logr describir a cada uno de los enteros positivos. Uno de los teoremas que apoya matemáticamente esto es el Teorema Fundamental de la Arimética, el cuál establece que cualquier entero mayor que 1 puede escribirse como un producto de números primos y esta escritura es única salvo por el orden de los factores. Por ejemplo, el número 30 sólo puede expresarse como 2 x 3 x 5 según esa definición, y 29, que es un número primo, sólo como 29. Ahora. bien si cosiderararnos que el 1 fuera primo, se podrían construir ejemplos que invalidarían este teorema. Es decir, consideremos nuevamente el número 30, entonces, 30 = 1 x 2 x 3 x 5 pero también lo podríamos

expresar como 30 = 12 X 2 x 3 x 5 y así sucesivamente, razón por la cual violariamos la unicidad de la escritura.

Una forma simple de representar los números es usando cubitos, por ejemplo el número6, lo podemos representar mediate un rectángulo de 2 cubitos por 3 cubitos O viceversa. Mientras que si intenta.mos representar el número 5, la única forma de obtener un rectángulo es formándolo con 5 cubitos por 1 cubito. Así, empiricamente se podría concluir que la única forma para representar números primos de esta manera es siempre ubicándolos en una sola fila.

6 •••• • 5" I

Porque 1 es una unidadEsto tiene que ver con un tipo de números llamados las unidades o elementos in- vertibles. Primero definiremos a que se le conoce como unidad. En un conjunto de números, llamaremos unidad a aquel elemento que posee un inverso multiplicativo. Por ejemplo si se está trabajando en los números enteros, las únicas unidades que existen en este conjunto son el 1 y el -1, aunque en algunos otros conjuntos exiten infinitas unidades. Este concepto es vital en la razón que explicaremos a continuación. Por la definición generalizada de primo.En las matemáticas modernas, se define como anillo a un conjunto dotado con dos operaciones binarias que satisfacen ciertas propiedades. En este conjunto se definen y demuestran propiedades matemáticas que generalizan las características de los conjuntos usuales de números. Estas propiedades son en esencia el pilar sobre el cual se fundamentan operaciones tan basicas como la suma y la multiplicación, entre otras. Un ejemplo sencillo de lo que es un anillo son los números enteros con la suma y la multiplicación.Definición: En ciertas clases de anillos, un elemento distinto de cero que no es unidad se llama primo, si siempre que él sea un divisor del producto de dos elementos del anillo, entonces él es divisor de alguno de ellos.Esta definición es la generalización de la definición usual de número primo y abre laposibilidad de estudiar la validez del teorema fundamental de la aritmética en anillos diferentes del de los enteros. Como elles unidad en el conjunto de los enteros, entonces es natural descartarlo del conjunto de los números primos.

Luís Fernando Cáceres DuqueCésar A. Barreto González

Departamento de Ciencias MatemáticasUniversidad de Puerto Rico-RUM - Puerto Rico

OJM DICIEMBRE 2012Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes

3 4 5 6 7

10 11 12 13 14

17 18 19 20 21

14 25

Georg Ohm (1789–1854)

26 27 28

31

ORM Soluciones Enero - Junio

Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio

OJM Soluciones Julio - Diciembre

Julio Agosto Septiembre Octubre Noviembre Diciembre

Una actividad de:

Asociación Venezolanade Competencias Matemáticas UCV. Facultad de Ciencias. Escuela de

Matemáticas. Ofic. 331. Los Chaguaramos,Caracas 1020. Venezuela. Telefax: 0212 605.1512

E-mail: [email protected]

www.acm.ciens.ucv.ve

2011 ©Fundación Empresas Polar HECHO EL DEPÓSITO DE LEY

Depósito Legal CC259201135

Coordinación GeneralRafael Sánchez Lamoneda

Coordinación Nacional ORMJorge Salazar

Recopilación y solucionesLaura Vielma Herrero

Revisión académica José Heber Nieto

Saturnino Fermín

Edición y diseñoLaura Vielma Herrero

RIF: J-00110574-3

Olimpiada Recreativa de Matematica

http://olimpiadarecreativa.com

Colaboraciones José Alberto Infante

Walter BeyerTomás Guardia

Óscar Bernal Sofía Taylor

Fabiola Czwienczek Luis Núñez

Andreína Núñez Andrea Chávez

José Martínez Ana Vásquez

Ignacio Iribarren Luis Cáceres

Diseño de portada y montaje digital

Rogelio Paco Chovet

Producción editorialGustavo Suárez

calendario de problemas matematicos

Documents