wavelets de haar

Transformada de Haar Rafael Molina 1

Wavelets de Haar

Rafael MolinaDepto de Ciencias de la Computación

e IA.Universidad de Granada


Contenidos1. Introducción2. La Transformada de Haar

1. La Transformada de Haar de nivel 13. Conservación y Compactación de la Energía

1. Conservación de la Energía2. Transformada de Haar, niveles múltiples3. Justificación de la Conservación de la Energía

4. Wavelets de Haar5. Análisis Multiresolución

1. Análisis Multiresolución, múltiples niveles6. Compresión de Señales• Bibliografía


I. IntroducciónLa wavelet de Haar es la forma más simple de wavelet.

Este tipo de wavelet está relacionado con una operación matemática llamada la transformada de Haar que sirve además como prototipo para otro tipo de transformaciones wavelets.

Una característica muy importante de la transformada de Haar es su sencillez y su fácil cálculo manual.

En este tema veremos como la transformada de Haar puede utilizarse para comprimir audio.


En estos temas vamos a trabajar fundamentalmente con señales discretas que normalmente expresaremos de la forma

II. La transformada de Haar

donde N es un número positivo par (la longitud de f)

Al igual que todas las transformadas wavelets, la transformada de Haar descompone una señal discreta f en dos subseñales que tienen tamaño N/2.

Una subseñal contiene la tendencia, la otra las fluctuaciones.

f = (f1, f2, . . . , fN)


Comencemos con la primera tendencia

Sus elementos se calculan como pares de medias multiplicados luego por la raíz cuadrada de dos, o dicho de otra forma, sumamos los dos valores y dividimos por la raíz cuadrada de dos

y en general

a1 = (a1, a2, . . . , aN/2)

a1 =f1 + f2√

2

a2 =f3 + f4√

2

am =f2m−1 + f2m√

2

m = 1, 2, . . . , N/2


Veamos un ejemplo. Supongamos que

Entonces la primera tendencia viene dada por

La otra subseñal se llama la primera fluctuación

Sus elementos se calculan como pares de diferencias medias y multiplicados luego por la raíz cuadrada de dos o dicho de otra forma, restamos los dos valores y dividimos por la raíz cuadrada de dos.

d1 = (d1, d2, . . . , dN/2)

f = (4, 6, 10, 12, 8, 6, 5, 5)

a1 = (5√2, 11√2, 7√2, 5√2)


y en general

d1 =f1 − f2√

2

d2 =f3 − f4√

2

dm =f2m−1 − f2m√

2

m = 1, 2, . . . , N/2Supongamos de nuevo que

f = (4, 6, 10, 12, 8, 6, 5, 5)

Entonces la primera fluctuación viene dada por

d1 = (−√2,−√2,√2, 0)


La transformada de Haar se realiza a varios niveles. El primer nivel es la aplicación H1 definida por

que transforma una señal discreta f en su primera tendencia a1 y su primera fluctuación d1 . Para el ejemplo anterior

II.1 La Transformada de Haar, nivel 1

H1 : f −→ (a1|d1)

H1 : (4, 6, 10, 12, 8, 6, 5, 5) −→(5√2, 11√2, 7√2, 5√2|−

√2,−√2,√2, 0)


La aplicación H1 anterior tiene inversa (y esto es muy importante). Su inversa aplica (transforma) la señal (a1 |d1 ) en la señal original mediante la fórmula siguiente

En otras palabras, como

f1 =a1 + d1√

2

f2 =a1 − d1√

2

f3 =a2 + d2√

2

f4 =a2 − d2√

2

y así sucesivamente

f =

µa1 + d1√

2,a1 − d1√

2, . . . ,

aN/2 + dN/2√2

,aN/2 − dN/2√

2

¶

am =f2m−1 + f2m√

2

m = 1, 2, . . . , N/2

dm =f2m−1 − f2m√

2

m = 1, 2, . . . , N/2


Puede comprobarse fácilmente que

se transforma en

(4, 6, 10, 12, 8, 6, 5, 5)

(5√2, 11√2, 7√2, 5√2|−

√2,−√2,√2, 0)

que era nuestra señal original

¿Cuáles son las grandes ventajas de realizar la transformación de Haar?.


Todas las ventajas de realizar esta transformación, que serán más prominentes en la transformaciones de Daubechies que veremos en el capítulo siguiente se basan en:

Rasgo de Pequeñas Fluctuaciones: Las magnitudes de los valores de la subseñal de fluctuación son frecuentemente significativamente menores que las magnitudes de la señal original

Observa que este rasgo se cumple con el ejemplo que hemos desarrollado, veamos ahora otro ejemplo.


-1

1

0

0 10.5

A la izquierda tenemos la representación de la señal

En el intervalo [0,1)

g(x) = 20x2(1− x)4 cos(12πx)

A la derecha tenemos la representación de 1 nivel de su transformada de Haar.La tendencia está representada en [0,0.5) y la fluctuación en [0.5,1) -1

1

0

0 10.5


De la transformación de Haar de nivel 1 es claro que:

1. la parte de las fluctuaciones está cercana al cero y, 2. la señal original se parece bastante a la tendencia

aunque reducida en su tamaño a la mitad.

Observa que si el muestreo es rápido, si tenemos en cuenta que

esperamos que estos valores sean cercanos a cero. Por la misma razón

dm =g(t2m−1)− g(t2m)√

2

am =g(t2m−1) + g(t2m)√

2≈√2g(t2m)


El Rasgo de Pequeñas Fluctuaciones es importante, entre otras razones, por su aplicación a compresión.

En nuestro ejemplo podríamos pensar en transmitir sólo la subseñal de tendencia y luego realizar la transformada de Haar inversa (considerando cero las fluctuaciones).

Tendríamos una aproximación de la señal original y puesto que su longitud es la mitad podríamos decir que alcanzamos el 50% de compresión.

Veremos con posterioridad estos conceptos con más detenimiento.


III. Conservación y Compactación de la Energía

Vamos ahora a discutir las dos propiedades más importantes de la transformada de Haar de nivel 1:

1. Conserva la energía de la señal.

2. Compacta la energía de la señal.


III.1 Conservación de la EnergíaRecordemos que la energía de una señal f se define como

Para nuestro ejemplo inicial

f = (4, 6, 10, 12, 8, 6, 5, 5)

Su energía vale

Si consideramos su transformación Haar de nivel 1

(a1|d1) = (5√2, 11√2, 7√2, 5√2|−

√2,−√2,√2, 0)

su energía vale

Ef = f21 + f22 + . . .+ f2N

Ef = 42 + 62 + . . .+ 52 = 446

E(a1|d1) = 25× 2 + 121× 2 + . . .+ 2 + 0 = 446


Conservación de la Energía: La transformada de Haar de nivel 1 conserva la energía. Es decir, para cualquier señal f

E(a1|d1) = Ef

Con posterioridad veremos la demostración.

Aunque la conservación de la energía es importante, es incluso más importante estudiar como la transformada de Haar redistribuye la energía, llevándose la mayor parte a la subseñal de tendencia.


Recuerda de nuevo, para nuestro ejemplo inicial

f = (4, 6, 10, 12, 8, 6, 5, 5)Su energía vale

Ef = 42 + 62 + . . .+ 52 = 446La energía de la tendencia

a1 = (5√2, 11√2, 7√2, 5√2)

vale

mientras que la del detalle o fluctuación

d1 = (−√2,−√2,√2, 0)

vale

Ea1 = 25× 2 + 121× 2 + 49× 2 + 25× 2 = 440

Ed1 = 2 + 2 + 2 = 6


Observa que la energía de la tendencia corresponde a

440/446=98.7%

En otras palabras la transformada de Haar de nivel 1 redistribuye la energía de la señal de forma que la tendencia recoge el 98% de la energía (en nuestro ejemplo).

Por razones obvias el principio recibe el nombre de compactación de la energía.


Normalmente se cumple el siguiente principio general (piensa cuando no se cumple)

Compactación de la energía. La energía de la subseñal tendencia a1 recoge un alto

porcentaje de la energía de la señal transformada (a1|d1).


III.2 Transformada de Haar, niveles múltiples

Una vez que hemos realizado la transformada de Haar de nivel uno, es fácil repetir el proceso y calcular la transformada de Haar de varios niveles.

Dada una señal f :

1. Calculamos su primera tendencia a1 y su primera fluctuación d1,

2. El segundo nivel de la transformada de Haar se obtiene calculando: la segunda tendencia a2 y la segunda fluctuación d2 de la primera tendencia a1


Por ejemplo, si f = (4, 6, 10, 12, 8, 6, 5, 5)

sabíamos quea1 = (5

√2, 11√2, 7√2, 5√2)

Para calcular la segunda tendencia, calculamos la tendencia de a1, es decir, a2

y para calcular la segunda fluctuación, calculamos la fluctuación de a1, es decir d2

d2 = (−6,−2)de modo que la descomposición de Haar nivel 2 de f es

a2 = (16, 12)

d1 = (−√2,−√2,√2, 0)

(a2|d2|d1) = (16, 12|− 6,−2|−√2,−√2,√2, 0)


Si a partir de

(a2|d2|d1) = (16, 12|− 6,−2|−√2,−√2,√2, 0)

Queremos calcular la descomposición de Haar de nivel 3 tenemos

(a3|d3|d2|d1) = (14√2|2√2|− 6,−2|−

√2,−√2,√2, 0)

Observa que

Casi el 90% de la energía (2/8 del tamaño de la señal)

Casi el 88% de la energía (1/8 del tamaño de la señal)

Ea2 = 400

Ea3 = 392


0

-1.5

1.5

0

-1.5

1.5

0 2

0 2

A la izquierda tenemos la función (4096 puntos)

A la derecha la descomposición de Haar de nivel 2 de dicha función

g(x) = 50x(1− x)6 cos(12πx)× (0 < x < 1)

+ 80(1− x)2(2− x)8 sin(20πx)× (1 < x < 2)


En la transparencia siguiente vamos a dibujar el:

Perfil acumulado de la energía de una señal f que en cada punto representa

µf21Ef,f21 + f

22

Ef,f21 + f

22 + f

23

Ef, . . . , 1

¶


0

-1.5

1.5

0 2

2

1

0

0

-1.5

1.5

2

1

0

Señ

alFr

acci

ón a

cum

ulad

a de

la

Ene

rgía

Tot

al

Haa

r con

2 n

ivel

es


III.3 Justificación de la conservación de la Energía

Vamos a terminar esta sección justificando brevemente la conservación de la energía de la transformada de Haar.

Recuerda que

y en general

Por tanto

a21 + d21 =

µf1 + f2√

2

¶2+

µf1 − f2√

2

¶2= f21 + f

22

a2m + d2m = f

22m−1 + f

22mPN/2

k=1(a2k + d

2k) =

PNk=1 f

2k


IV. Wavelets de HaarEn esta sección vamos a discutir la wavelet más simple, la wavelet de Haar. Este tipo de wavelets nos servirá para introducir las wavelets de Daubechies que son más sofisticadas y aparecerán en el tema siguiente.

Comenzamos discutiendo las wavelets de Haar de nivel uno. Están definidas mediante

W11 =

µ1√2,−1√2, 0, 0, . . . , 0

¶W1

2 =

µ0, 0,

1√2,−1√2, 0, 0, . . . , 0

¶...

W1N/2 =

µ0, 0, . . . , 0,

1√2,−1√2

¶Tienen energía uno y

son rápidas fluctuaciones con

media 0


Todas las wavelets anteriores son muy similares, son traslaciones por un número par de ceros de la wavelet W1

1

Con estos wavelets vemos ahora que podemos expresar las fluctuaciones de nivel 1 de la subseñal de las secciones anteriores de una forma muy sencilla.

Recuerda que

Producto escalar: el producto escalar f.g de las señales f=(f1 ,f2 ,…,fN ) y g=(g1 ,g2 ,…,gN ) se define mediante

f · g = f1g1 + f2g2 + . . .+ fNgN


Tiene valores y

en las posiciones 2m-1 y 2m

Utilizando la transformada wavelets de nivel uno podemos obtener la primera fluctuación de la señal como producto escalar. Por ejemplo:

En general tendremos

d1 =f1 − f2√

2= f ·W1

11√2

− 1√2

recuerda que

dm =f2m−1 − f2m√

2m = 1, 2, . . . , N/2

y por tanto

dm = f ·W1m m = 1, 2, . . . , N/2

dm =1√2f2m−1 +

1√2f2m = f ·W1

m


Tenemos la siguiente versión más precisa del Rasgo de Pequeñas Fluctuaciones.

Propiedad 1. Si una señal f es (aproximadamente) constante sobre el soporte de una wavelet de nivel 1 de Haar, entonces el valor de la fluctuación dk =f.Wk

1 es aproximadamente cero.

El conjunto de índices donde una señal es no nula recibirá el nombre de soporte de la señal, por ejemplo, el soporte de (0,0,5,7,-2,0,2,0) incluye las posiciones 3,4,5 y 7. El soporte de la wavelets de Haar W2

1 son los índices 3 y 4.


Además de las fluctuaciones también podemos expresar la tendencia como producto escalar de la señal con algunas funciones elementales. Estas funciones elementales reciben el nombre de señales de Haar de escala y se definen como

V11 =

µ1√2,1√2, 0, 0, . . . , 0

¶V12 =

µ0, 0,

1√2,1√2, 0, 0, . . . , 0

¶...

V1N/2 =

µ0, 0, . . . , 0,

1√2,1√2

¶Vm

1 tiene valores y en las posiciones 2m-1 y 2m 1√2

− 1√2


De la misma forma obtenemos

Las señales de escala de Haar son muy similares a los wavelets de Haar, tienen energía 1 y su soporte es siempre dos índices consecutivos. Sin embargo, en este caso la media, como ves, no es cero.

¿Cómo extendemos las ideas anteriores a otros niveles?

Por simplicidad restringiremos el estudio al segundo nivel. Las señales de escala de nivel 2 de Haar se definen como

am = f ·V1m m = 1, 2, . . . , N/2


Esta señales de escala son todas traslaciones múltiplos por cuatro unidades de tiempo de la primera señal de escala de segundo nivel, todas tienen energía 1 y su valor medio es ½. Además la tendencia de segundo nivel cumple

En general

a2 =³f ·V2

1, f ·V22, . . . , f ·V2

N/4

´

V21 =

µ1

2,1

2,1

2,1

2, 0, 0, . . . , 0

¶=

1√2V11 +

1√2V12

V22 =

µ0, 0, 0, 0,

1

2,1

2,1

2,1

2, 0, 0, . . . , 0

¶=

1√2V13 +

1√2V14

...

V2N/4 =

µ0, 0, . . . , 0,

1

2,1

2,1

2,1

2

¶=

1√2V1N−1 +

1√2V1N

V2m =

1√2V12m−1 +

1√2V12m


Estas wavelets son todas traslaciones múltiplos por cuatro unidades de tiempo de la primera wavelet de segundo nivel, todas tienen energía 1 y su valor medio es 0. Además la fluctuación de segundo nivel cumple

De la misma forma tenemos para los wavelets de Haar de segundo nivel

En general

W21 =

µ1

2,1

2,−12,−12, 0, 0, . . . , 0

¶=

1√2V11 −

1√2V12

W22 =

µ0, 0, 0, 0,

1

2,1

2,−12,−12, 0, 0, . . . , 0

¶=

1√2V13 −

1√2V14

...

W2N/4 =

µ0, 0, . . . , 0,

1

2,1

2,−12,−12

¶=

1√2V1N−1 −

1√2V1N

d2 =³f ·W2

1, f ·W22, . . . , f ·W2

N/4

´W2

m =1√2V12m−1 −

1√2V12m


Observa que en la construcción de los vectores hemos estado haciendo lo siguiente. De

V01 = (1, 0, 0, . . . , 0)

V02 = (0, 1, 0, 0, . . . , 0)

...

V0N = (0, 0, . . . , 0, 1)

hemos construido

en general V1m =

1√2V02m−1 +

1√2V02m

V11 =

1√2V01 +

1√2V02

V12 =

1√2V03 +

1√2V04

...

V1N/2 =

1√2V0N−1 +

1√2V0N

W11 =

1√2V01 −

1√2V02

W12 =

1√2V03 −

1√2V04

...

W1N/2 =

1√2V0N−1 −

1√2V0N

en general W1

m =1√2V02m−1 −

1√2V02m


Para el segundo nivel

W2m =

1√2V12m−1 −

1√2V12m

V2m =

1√2V12m−1 +

1√2V12m

m=1,2,…,N/4

y así sucesivamente


V. Análisis MultiresoluciónEn la sección anterior discutimos como la transformada de Haar puede describirse como producto escalar con wavelets de Haar y señales de escala.Discutiremos ahora como la transformada de Haar inversa puede describirse también en términos de estas mismas señales elementales. Veremos, por tanto, como:

Una señal puede sintetizarse comenzando por una señal de muy baja resolución y añadirle detalles para crear versiones de mayor resolución para

terminar con la síntesis de la señal a la resolución más fina.

Es el llamado análisis multiresolución (MRA) que es la base del análisis wavelet.


Para hacer estas ideas precisas recordemos que dadas dos señales de la misma longitud

Podemos calcular:

La suma

La diferencia

La multiplicación por una constante c

cf = (cf1, cf2, . . . , cfN)

f = (f1, f2, . . . , fN )

g = (g1, g2, . . . , gN )

f + g = (f1 + g1, f2 + g2, . . . , fN + gN )

f − g = (f1 − g1, f2 − g2, . . . , fN − gN )


Observemos que si aplicamos repetidamente la suma y multiplicación por un escalar podemos escribir

Esta fórmula que es muy natural nos permite expresar nuestra señal a partir de las señales elementalesV01 = (1, 0, 0, . . . , 0)

V02 = (0, 1, 0, 0, . . . , 0)

...

V0N = (0, 0, . . . , 0, 1)

f = (f1, f2, . . . , fN)

= (f1, 0, . . . , 0) + (0, f2, . . . , 0)

+ . . .+ (0, 0, . . . , 0, fN)

= f1(1, 0, . . . , 0) + f2(0, 1, . . . , 0)

+ . . .+ fN(0, 0, . . . , 0, 1)

mediante f =

NXn=1

fiV0i

Desarrollo natural de una señal f en función de la base natural V0

1 , V0

2 , …, V0N .


En la sección anterior vimos como expresar la transformada de Haar de nivel 1 en términos de las señales wavelets y de escala.

Veremos ahora que también es posible expresar la inversa de la transformada de Haar de primer nivel en función de estas señales elementales. Esto conduce al primer nivel del MRA de Haar.Recuerda que teníamos

f =

µa1 + d1√

2,a1 − d1√

2, . . . ,

aN/2 + dN/2√2

,aN/2 − dN/2√

2

¶=

µa1√2,a1√2,a2√2,a2√2. . . ,

aN/2√2,aN/2√2

¶+

µd1√2,−d1√2,d2√2,−d2√2, . . . ,

dN/2√2,−dN/2√

2

¶


que podemos reescribir como

f = A1 +D1

donde

A1 =

µa1√2,a1√2,a2√2,a2√2. . . ,

aN/2√2,aN/2√2

¶D1 =

µd1√2,−d1√2,d2√2,−d2√2, . . . ,

dN/2√2,−dN/2√

2

¶

primera señal promedio primera señal detalle

que podemos reescribir como

A1 = a1V11 + a2V

12 + . . .+ aN/2V

1N/2

D1 = d1W11 + d2W

12 + . . .+ dN/2W

1N/2


y puesto que

tendremos

A1 = (f ·V11)V

11 + (f ·V1

2)V12 + . . .+ (f ·V1

N/2)V1N/2

D1 = (f ·W11)W

11 + (f ·V1

2)W12 + . . .+ (f ·W1

N/2)W1N/2

Estas fórmulas muestran que:

1. la señal promedio es una combinación de las funciones de escala de Haar con los valores de la primera tendencia como coeficientes.

2. La señal de detalle es una combinación de wavelets de Haar con los valores de las fluctuaciones como coeficientes.

am = f ·Vm, dm = f ·W1m m = 1, 2, . . . , N/2


Veamos un ejemplo. Consideremos la señal

Sabíamos quef = (4, 6, 10, 12, 8, 6, 5, 5)

a1 = (5√2, 11√2, 7√2, 5√2)

d1 = (−√2,−√2,√2, 0)

A1 =

µa1√2,a1√2,a2√2,a2√2. . . ,

aN/2√2,aN/2√2

¶D1 =

µd1√2,−d1√2,d2√2,−d2√2, . . . ,

dN/2√2,−dN/2√

2

¶y de las ecuaciones

obtenemos A1 = (5, 5, 11, 11, 7, 7, 5, 5)

D1 = (−1, 1,−1, 1, 1,−1, 0, 0)Obviamente f = A1 +D1


Si ahora queremos expresar A1 y D1 en función de las funciones de escala y wavelets, recordamos que

f = (4, 6, 10, 12, 8, 6, 5, 5)

a1 = (5√2, 11√2, 7√2, 5√2)

d1 = (−√2,−√2,√2, 0)

y como

obtenemos

A1 = a1V11 + a2V

12 + . . .+ aN/2V

1N/2

D1 = d1W11 + d2W

12 + . . .+ dN/2W

1N/2

A1 = 5√2V1

1 + 11√2V1

2 + 7√2V1

2 + 5V14

D1 = −√2W1

2 −√2W1

2 +√2W1

3 + 0W14


V.1 Análisis Multiresolución, varios nivelesLas ideas discutidas en la sección anterior pueden extenderse a más niveles, tantos como el número de veces que la longitud de la señal puede ser dividida por dos.

El segundo nivel del MRA de una señal f significa expresar f como

f = A2 +D2 +D1

donde A2 es la segunda señal media y D2 es la segunda señal de detalle. Si comparamos esta ecuación con

f = A1 +D1

obtenemosA1 = A2 +D2


La fórmula anterior expresa que para calcular la segunda señal promedio A2 y la segunda señal de detalles D2, sólo tenemos que realizar el primer nivel MRA de la señal A1. Por tanto tendremos

A2 = (f ·V21)V

21 + (f ·V2

2)V22 + . . .+ (f ·V2

N/4)V2N/4

D2 = (f ·W21)W

21 + (f ·W2

2)W22 + . . .+ (f ·W2

N/4)W2N/4

Como

Para la señal f = (4, 6, 10, 12, 8, 6, 5, 5)

V21 =

µ1

2,1

2,1

2,1

2, 0, 0, 0, 0

¶V22 =

µ0, 0, 0, 0,

1

2,1

2,1

2,1

2

¶A2 = 16

µ1

2,1

2,1

2,1

2, 0, 0, 0, 0

¶+ 12

µ0, 0, 0, 0,

1

2,1

2,1

2,1

2

¶= (8, 8, 8, 8, 6, 6, 6, 6)


como

De nuevo para la señal f = (4, 6, 10, 12, 8, 6, 5, 5)

Teniendo en cuenta que

D2 = (f ·W21)W

21 + (f ·W2

2)W22 + . . .+ (f ·W2

N/4)W2N/4

W21 =

µ1

2,1

2,−12,−12, 0, 0, 0, 0

¶W2

2 =

µ0, 0, 0, 0,

1

2,1

2,−12,−12

¶

D2 = −6µ1

2,1

2,−12,−12, 0, 0, 0, 0

¶+ 2

µ0, 0, 0, 0,

1

2,1

2,−12,−12

¶= (−3,−3, 3, 3, 1, 1,−1,−1)


Lo que teniendo en cuenta que para

f = (4, 6, 10, 12, 8, 6, 5, 5)

hemos obtenido

y por tanto

A2 = (8, 8, 8, 8, 6, 6, 6, 6)

D2 = (−3,−3, 3, 3, 1, 1,−1,−1)

f = A2 +D2 +D1

= (8, 8, 8, 8, 6, 6, 6, 6) + (−3,−3, 3, 3, 1, 1,−1,−1)+ (−1, 1,−1, 1, 1,−1, 0, 0)

D1 = (−1, 1,−1, 1, 1,−1, 0, 0)


La fórmula anterior ilustra la idea del MRA. La señal f se descompone como la suma de una señal de muy baja resolución (A2), la primera suma complemente esta resolución con detalle (D2), y la segunda suma añade más detalle hasta obtener la señal original.

En general si el número N de valores de la señal es divisible k veces por 2, entonces el MRA de k niveles es

f = Ak +Dk + . . .+D2 +D1


g(x) = 50x(1− x)6 cos(12πx)× (0 < x < 1)

+ 80(1− x)2(2− x)8 sin(20πx)× (1 < x < 2)

con 1024 puntos

Original

A1

A3

A4

A5

A2


VI. Compresión de la SeñalEn este tema hemos visto como la transformada de Haar puede utilizarse para localizar la energía de la señal en sus subseñales más cortas.

Veamos como esta idea puede utilizarse para comprimir señales de audio y en general otros tipos de señales digitalizadas.

Para ilustrar en este tema los principios generales de la compresión basada en wavelets examinaremos como la transformada de Haar puede usarse para comprimir algunas señales test.


Consideremos la señal que se muestra en la página siguiente, consiste en 1024 puntos muestreados sobre el intervalo [0,20).

Muchos de sus valores son constantes sobre intervalos largos y por eso es compresible utilizando la transformada de Haar, otras señales requerirán transformaciones wavelets más sofisticadas.

Pasos de la compresión basada en wavelets:

1. Realizar la transformada wavelets de la señal.2. Hacer cero todos los valores transformados que sean

insignificantes (menores que un umbral).3. Transmitir sólo los significativos.4. En el receptor realizar la transformada inversa, asignando

antes cero a los valores que no fueron transmitidos.


-4

0

-4

0 5 10 15 20-20

0

-20

0 5 10 15 20

-1 200

1

2

-4

0

-4

0 5 10 15 20

Seña

l orig

inal

Tran

sfor

mad

a de

Haa

r, 10

ni

vele

s

Ene

rgía

acu

mul

ada,

co

efic

ient

es o

rden

ados

Rec

onst

rucc

ión

con

los

52

coef

icie

ntes

de

may

or e

nerg

ía


Veamos los pasos anteriores con algún detenimiento.

En la página anterior hemos realizado la transformada de Haar de nivel 10 de la señal original.

Para elegir un umbral en el paso 2, primero ordenamos las magnitudes de la transformada de Haar en orden decreciente

L1 ≥ L2 ≥ L3 ≥ . . . ≥ LNA continuación calculamos el perfil de energía acumuladaµ

L21Ef,L21 + L

22

Ef,L21 + L

22 + L

23

Ef, . . . , 1

¶


Usando FAWAV vemos que

Además como L51 =0.3536, si elegimos este umbral tenemos casi el 100% de la energía de la señal.

Como el tamaño de la señal es N y tenemos N coeficiente en el paso 3 tendremos que transmitir el llamado significance map que es una hilera de tamaño N de ceros y unos y nos dice que coeficientes son significativos (unos en la hilera).

En el paso 4 insertamos ceros en la transformada en las posiciones no significativas y con los coeficientes transmitidos obtenemos, al calcular la transformada inversa, la aproximación comprimida de la señal original.

L21 + L22 + L

23 + . . . L

251

Ef= 0.999996


Mientras que en este ejemplo hemos alcanzado una compresión de, podríamos decir, 1024:51 es decir aproximadamente 20:1.

Cuando la señal se complica la transformada de Haar no funciona igual de bien. En la página siguiente tenemos la representación de la señal

En el intervalo [0,2) con 4096 puntos. Su versión comprimida cuando se conserva el 99.6% de la energía (se utilizan 322 coeficientes) se representa en la parte inferior izquierda. Compresión cercana a 12:1. Si queremos reproducir la señal al 99.99% de energía necesitaríamos 1782 valores (aproximadfamente 2.3:1)

f(x) = 40x2(1− x)4 cos(12πx)[0 < x < 1)+ 40(x− 1)2(2− x)8cos(48πx)[1 < x < 2]+ 80(x− 1)12[2− x]2sin(80πx)[1 < x < 2]


Seña

l orig

inal

Ene

rgía

acu

mul

ada,

co

efic

ient

es o

rden

ados

Rec

onst

rucc

ión

con

los

el

99.6

% d

e la

ene

rgía

Tran

sfor

mad

a de

Haa

r, 12

ni

vele

s

0 1 2 0 1 2

0 1 2 0 1 2

-2

0

2

0.99

0

1.01-11

0

11


Bibliografía

James S. Walker , A Primer on Wavelets and Their Scientific Applications, Chapman & Hall/CRC; 2 edition (January 29, 2008)

wavelets de haar

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