Wavelets: come e perch

Primi fondamenti di signal processing1780 - 1830

Pierre Simon Laplace Jean Baptiste Fourier Augustine CauchyLalgoritmo FFT oggi viene attribuito a Gauss!

Probabilit

Teoria dei segnali casuali

Predizione Filtro di Wiener

Teoria dellInformazione

Teorema del campionamentoRisultati moderni

Signal processing

Produzione di DSP Ricadute industriali

Time Frequency Analysis

WAVELETS!

Architetture VLIW

Applicazioni nelle Telecomunicazioni

Esplosione dei servizi MultimediaStoria di oggi

Trasformata di Fourier

Segnale stazionario

Analisi ambiguaSegnale variabile nel tempo

Un altro segnale stazionario

Un altro segnale non stazionario

I due segnali nel dominio delle frequenze

Contiene solo informazioni sulla frequenza Crea problemi per segnali non stazionariTrasformata di Fourier variabile nel tempo Le informazioni sul tempo vengono perse Funziona bene per segnali stazionariProblemi con la Trasformata di Fourier

Analisi in tempo-frequenza

Funzioni finestraTrasformata di Fourier Short-time (STFT)

Come si legge la STFT

FinestraPiccolaMediaLarga(frequenza)(tempo)

Problemi con la STFT Scelta di una finestra appropriata Finestra troppo grande cattiva risoluzione nel tempo (violazione della condizione di stazionariet)Risoluzioni diverse a frequenze diverse Finestra troppo piccola cattiva risoluzione in frequenza

Si sceglie una wavelet e ne si fa variare la scalaSi analizza la risposta del segnale alle varie scaleTrasformata wavelet

La scaladiminuisceLa frequenza diminuisceFrequenze

Analisi tempo-frequenza per le waveletPrincipio di indeterminazione di HeisenbergDt Df C

SegnalePasso 1Passo 2Passo NTrasformata wavelet**

Scala bassa

Scala media

Scala alta

Come si legge la Trasformata waveletCWT

Come si calcola la trasformata wavelet (discreta) in modo veloce- Haar wavelet -Funzione waveletFunzione di scaling (Haar)(t) (t)

Algoritmo piramidale10 2 8 4 6 2 4 0 6 6 4 2

6 3

4.5

4 2 2 20 1 4 2 2 21.5 0 1 4 2 2 2

O(N) operations10 2 8 4 6 2 4 0Veloce!

Ridondanza delle rappresentazioni10 2 8 4 6 2 4 06 6 4 2 4 2 2 2 4.5 1.5 0 1 4 2 2 26 3 0 1 4 2 2 2DatiScalingWavelet

Filter Bank

Algoritmo di Mallat

Altre funzioni wavelet

Segnali(1D)Segnale

Wavelet

Scaling

Rappresentazione trasformata discretaScaling Wavelet

Immagini(2D)

Applicazioni De-noising Compressione Equazioni a derivate parziali Classificazione Analisi serie temporali Problemi inversi

De-Noising

Compressione - Immagini

Compressione - Telerilevamento

Compressione - FBI

Strumenti di lavoro Notiziaro: Wavelet Digest - http://www.wavelets.org

Software di base: Wavelab per Matlab http://www-stat.stanford.edu/~wavelab/

Per divertirsi e impratichirsi -http://www.mathtools.net/MATLAB/Wavelets/Java/index.html Letteratura - http://www.mathsoft.com/wavelets.html

Altro software -http://www.mathtools.net/MATLAB/Wavelets/index.html