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7/26/2019 CAP2editable

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2 . Fundamentos

matemticos

PALABRAS CLAVE Y TEMAS

. . . Variables complejas . . . Ecuaciones de estado

. . . Transformada de Laplace . . . Ecuaciones en diferencias

. . . Expansin en fracciones parciales . . . Teora de matrices

. . . Ecuaciones diferenciales . . . Transformadaz

2-1 IntroduccinLos estudios de los sistemas de control dependen fuertemente del uso y aplicacin de las

matemticas. Uno de los propsitos principales de los estudios de sistemas de control, es

desarrollar un conjunto de herramientas analticas, de tal forma que el diseadorpueda llegar

a diseos razonablementepredecibles y confiables, sin dependerpor completo de la experi-

mentacin o de una extensa simulacin en computadora.

Para el estudio de la teora clsica de control, que representa una buena parte de este

libro, los antecedentes matemticos requeridos incluyen temas tales como la teora de la

variable compleja, ecuaciones diferenciales y en diferencias, transformada de Laplace y

transformada z, etctera. Por otro lado, la teora de control moderna requiere de un mayor

apoyo matemtico. Adems de los temas anteriormente citados, la teora de control moderna


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Seccin 2-3 Ecuaciones diferencia les 25

2-3-

1Ecuaciones dife

renciales o

rdinarias lineales

2-3-2 Ecuaciones di

f

erenciales no

lineales

(2-6)

(2-5). di(t) 1 f

Rl(t) + Ldt+ C i(t) dt = e(t)

d"y(t) d"-1y(t) dy(t)---;;;-+a,,_ d

t"-I

+ + a

dt+ aoy(t)

=f(

t)

en dondeR es la resistencia, L la inductancia, C la capacitancia, i(t) la corriente en la red ye(t) el voltaje aplicado. En este caso, e(t) es la funcin de excitacin, t la variable indepen-diente e i(t) la variable dependiente o desconocida que ser determinada al resolver la ecuacin

diferencial.

La ecuacin (2-5) se denomina como una ecuacin diferencial de segundo orden, y se

hace referencia al sistema como un sistema de segundo orden. Estrictamente hablando, la

ecuacin (2-5) se debe nombrar como una ecuacin integrodiferencial, ya que involucra una

integral.

En general, la ecuacin diferencial de un sistema de n-simo orden se escribe como:

Una gran variedad de sistemas en ingeniera se modelan matemticamente mediante

ecuaciones diferenciales. Estas ecuaciones generalmente involucran derivadas e integrales

de variables dependientes con respecto a la variable independiente. Por ejemplo, un circuitoelctrico RLC en serie (resistencia-inductancia-capacitancia) se puede representar por laecuacin diferencial:

que tambin se conoce como ecuacin diferencial ordinaria lineal si los coeficientes a0, a

1,

... , a0_

1no son funciones dey(t).

En este libro, debido a que se trata slo con sistemas deparmetros concentrados, todas

las ecuaciones diferenciales son del tipo ordinario. Para sistemas conparmetros distribui-

dos, tales como los sistemas de transferencia de calor, se emplean las ecuaciones en deriva-

das parciales.

Muchos sistemas fsicos son no lineales y se deben describir mediante ecuaciones diferen-

ciales no lineales. Por ejemplo, la ecuacin diferencial que describe el movimiento de un

pndulo que se muestra en la Fig. 2-3 es:

2-3 Ecuaciones diferenc iales

J


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. & . El estado de un

sistema se refiere alpasado, presente yfuturo del sistema.

. & . Las variables de

estado deben

siempre ser un

conjunto mnimo.

Seccin 2-3 Ecuaciones diferenciales 27

En forma similar,para la ecuacin (2-6), se define:

X1(t) =y(t)

Xz(t) = dy (t)dt

(2-12)

d"-1y(t)x(r)---

" - dr:'

Entonces la ecuacin diferencial de n-simo orden se descompone en n ecuaciones diferen-

ciales de primer orden:

dx 1(t)--- =Xz(t)

dxz(t)

-

-=xJ(t)dt

(2-13)

dxnCt)--= -aoxi(t) - a1xzCt) - -a 11-2Xn-1Ct) - Gn-1Xn(t) +f(t)dt

Observe que la ltima ecuacin se obtiene al igualar el trmino de la derivada de mayor

orden en la ecuacin (2-6) con el resto de los trminos. En la teora de los sistemas de

control, el conjunto de ecuaciones diferenciales de primer orden de la ecuacin (2-13) se

conoce como ecuaciones de estado, y X,x2, ... ,xn, son llamadas variables de estado.

Definicin de las variables de estado

El estado de un sistema se refiere a las condicionespasadas,presentes y futuras del siste-

ma. Desde un sentido matemtico, es conveniente definir un conjunto de variables de esta-

do y ecuaciones de estadopara modelar sistemas dinmicos. Las variablesx1(t), x,iSt), ... ,

x/t) definidas en la ecuacin (2-12) son las variables de estado de un sistema de n-simoorden descrito por la ecuacin (2-6), y las n ecuaciones diferenciales de primer orden son

las ecuaciones de estado. En general, existen algunas reglas bsicas relacionadas con la

definicin de una variable de estado y lo que constituye una ecuacin de estado. Las varia-

bles de estado deben satisfacer las siguientes condiciones:


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30 Captulo 2 Fundamentos matemticos

Ejemplo2-1

{

u,(t) = 1f(t)

o

La transformada de Laplace def(t) se obtiene como:

t>O

t


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En general, para las derivadas de orden superior def(t),

C D [ d" j t ) ] . [ n-,. n-2df(I) d"-1f {t)]J.., -- = s"F(s) - hm s f(t) + s --- + +-----

dt" H . . dt ar: l

= s"F(s) -s"-1

f(O) - s"-2

J


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(2-33)

(2-34)

. . .

(2-32)

(2-35)

(2-36)

wF(s)=-

-s2 + w2

F(s) =--,---5--s(s2 + s + 2)

5 5limf(t) = limsF(s) = lim

2 2 2t--+ C tJ 1--+0 s--+0 S + S +

pi.. mf(t) = lim

sF(s)-00 S-+

Seccin 2-4 Transformada de Laplace 33

Si la transformada de Laplace def(t) esF(s), y sisF(s) es analtica sobre el eje imaginario y enel semiplano derecho del planos, entonces:

.A . Teorema 7. Teorema del valorfinal

.A . Teorema 8. Traslacin compleja

El teorema del valor final es muy tilpara el anlisis y diseo de sistemas de control, ya

queproporciona el valor final de una funcin de tiempo mediante el conocimiento del com-

portamiento de su transformada de Laplace ens = O. El teorema del valor final no es vlido sisF(s) contiene algnpolo cuyaparte real es cero opositiva, lo que equivale al requisito deque sF(s) sea analtica en el semiplano derecho como se especifica en el enunciado delteorema. Los siguientes ejemplos ilustran el cuidado que debe tomarse en la aplicacin de

este teorema.

Considere la funcin:

Debido a quesF(s) es analtica sobre el eje imaginario y en el semiplano derecho del planos,el teorema del valor final puede ser aplicado. Utilizando la ecuacin (2-32), se tiene:


lo cual es la transformada de Laplace def(t) = sen on . Debido a que la funcinsF(s) tiene dospolos sobre el eje imaginario del planos, en este caso el teorema del valor final nopuede seraplicado. En otras palabras, an cuando el teorema del valor final pudiese arrojar un valor

cero como el valor final def(r), el resultado es errneo. . A .

La transformada de Laplace def(t) multiplicadapor e+' , donde a es una constante, es

igual a la transformada de LaplaceF(s), con s remplazada por s a; esto es:

.t. El teorema del

valor final es vlido

slo si sF (s) no tiene

polos sobre e l ejejwo en el semiplano

derecho del plano s.

Ejem p lo2-3

Ejem p lo2-4


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expresin de la funcin de transferencia G(s). A continuacin se proporciona una corrida

tpica en CSAD para la funcin de transferencia:

G(s) = 2 0(s

+10)

s(s + 2)2(s2 + lOs + 100)

pfede CSAD

Al introducirpfe en elprompt de MATLAB . elprograma responde:

Enter Nwnerator polynomial vector >20*[1 10]

Enter Denominator polynomial vector > ( [ 1 O J , [ 1 2 J , [ 1 2 J , [ 1 10 100 J )

La respuesta de pfe es:

Terma in the partial fraction expaneion are:

Complex Conjugate Pole at: -5.000 +/- j8.660

(0.02721)(S+5

(S+5 )"2+(8.66 )"2

(0.003928) (8.66)

(S+5 )"2+(8.66 )"2

Time Domain: 0.02721exp(-5t)coe(8.66t)u(t)

+ 0.003828exp(-5t)ein(8.66t)u(t)

Double pole on Real Axis at: -2.000

-0.5272 + -0.9524

S + 2 (S + 2 )"2

Time Domain: -0.5272exp(-2t)u(t)

-0.9524texp(-2t)u(t)

Pole at the origin:

0.5

s

Time Domain: 0,5*u(t)

Partial Fraction Expaneion Complete

Observe que CSAD tambin regresa la transformada inversa de Laplace de G(s).

(2-75)


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(2-92)

(2-90)

(2-91)

(2-89)

(2-93)

(2-94)

(2-95)

(2-96)

t 2: o

t 2: o

t 2: o

K0 K + K Y(s) =_+ -a Jw + -a-1ws s + a -jw s + a +jw

-j


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en donde:

(2-1 13)

y O es una matriz nula de 3 x 1. El determinante de A es O,por lo que la matriz A es singular.

En este caso los renglones de A son dependientes. .A.

Transpuesta de una matriz. La transpuesta de una matriz Ase define como la matriz queseobtiene al intercambiar los renglones y columnas correspondientes en A. Sea A una matriz denx m que est representadapor:

A= [a ..]IJ n.m

La transpuesta de A, denotadapor A' est dadapor:

A'= transpuesta de A= [aij]m,n

Observe que el orden de A es nx m, pero el orden de A' es mx n.

(2-1 14)

(2-115)

Ejemplo

2-12

Considere la matriz de 2x 3:

A = [ 2

- 1 ] (2-116)

La transpuesta de A se obtiene mediante el intercambio de los renglones y las columnas.

(2-117)


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Seccin 2-1 O Ecuaciones en diferencias 57

(2-1 66)

(2-165)

(2-1 67)

(2-1 68)x(k + 1) =Ax(k) + Bu(k)

xn(k + 1) = -aox1(k) - a1xz(k) - -an-1xnCk) +J(k)

y(k + n) + n-rY(k + n - 1) + + a.ytk + 1) + a0y(k) =f(k)

Xn-r(k) = Xn-2(k + 1) = y(k + n - 2)x,lk) =Xn-1(k + 1 ) = y(k + n - 1)

X(k) = y(k)

xz(k) =X(k + 1) = y(k + 1 )

Debido a que los controladores digitales se utilizan frecuentemente en sistemas de control, es

necesario establecer ecuaciones que relacionen seales digitales y en tiempo discreto. Comolas ecuaciones diferenciales se usanpara representar sistemas con seales analgicas, las ecuaciones

en diferencias se utilizanpara sistemas en tiempo discreto otligitales. Las ecuaciones en diferen-

cias tambin se usan para aproximar ecuaciones diferenciales, ya que las primeras son ms

fciles deprogramar en una computadora digital y son ms fciles de resolver.

Una ecuacin en diferencias lineal del n-simo orden con coeficientes constantes se

puede escribir como:

en donde y(i), i = k, k + 1, ... , k + n, denotan la variable dependiente discreta y en el -simoinstante si la variable independiente es el tiempo. En general, la variable independientepuede

ser cualquier cantidad real.

En forma similar al caso de los sistemas analgicos, es conveniente utilizar un conjunto

de ecuaciones en diferencias deprimer orden, o de ecuaciones de estado, para representar una

ecuacin en diferencias de orden alto. Para la ecuacin en diferencias de la ecuacin (2-165),

se tiene:

entonces al igualar el trmino de orden ms alto al resto de los trminos, la ecuacin se es,

cribe como:

Las primeras n -I ecuaciones de estado se toman directamente de las ltimas n -I

ecuaciones de la ecuacin (2-166), y la ltima est dadapor la ecuacin (2-1 67). Las n ecuacionesde estado se escriben en forma matricial como:

2-1 O Ecuaciones en diferencias


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Seccin 2-11 La transformada z 65

(2-200)

(2-202)

(2-201)

(2-203)

(2-199)

(2-205)

(2-204)

k = O, l , 2, ...

Y(z) = _z_ - __z_Z - l Z - eaT

(l - e"r)zY(z) = - (z--'- - 1)-(z---e""----"r-)

Y(z)=-----z Z - 1 Z - eaT

l lY(z)=-----z - 1 z - e-ar

(t -e"T)Y(z) =-(z--l)-(z----'-e--a-r)

y(kT) = 1 - ea kT

Dada la funcin de la transformada z:

Para esto, primero se debe expandir Y(z)/z en fracciones y despus multiplicar por z para

obtener la expresin final. El siguiente ejemplo ilustra este procedimiento.

ligera diferencia entre los procedimientos de la transformada z y los de la transformada deLaplace. Con referencia a la tabla de transformadas z. se observa queprcticamente todas las

funciones de la transformada z tienen el trmino zen el numerador. Por tanto, Y(z) se expande

en la forma:

se desea encontrar la transformada z inversa. Al expandir Y(z)/z mediante fracciones parcia-

les, se obtiene:

La expresin final expandidapara Y(z) es:

De la tabla de transformadas z del Apndice C, la transformada inversa z correspondiente deY(z) es:

Debe sealarse que si Y(z) no contiene algn factor dez en el numerador, esto normal-mente significa que la secuencia de tiempo tiene un retraso, y la expansin en fracciones

parciales de Y(z) se debe realizar sin dividirprimero la funcin entre z. El siguiente ejemplo

ilustra esta situacin.


la cual no contiene ninguna potencia de z como factor en el numerador. En este caso, la

expansin en fraccionesparciales de Y(z) se realiza directamente. Se tiene:

.._ Si Y(z) no tiene

ningn polo enz =O, entonces

obtenga la

expansin en

fracciones

pa rciales de Y(z)

en forma directa.

.._ Si Y(z) tiene al

menos un cero enz

= O, la expansin en

fracciones parciales

de Y(z)/z se debe

rea lizar primero.

Ejem p lo2-26

Ejemp lo2-27


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Referencias

zF1(z) =--

1z-Fz(z) = z 1

. . . . .d

16. Se puede aplicar la condicin de rango a una matriz que no es cuadrada?

17. Puede una matriz no cuadrada ser simtrica?

18. Defina la transformadaz en trminos del operador de Laplaces.

19. Proporcione la transformada z de la funcin escaln unitario, u,(t).

20. Proporcione la transformada z de la funcin rampa unitaria, tu,(t).

21. Expliquepor qu la transformada z inversa de F(z) no esf(t).

22. Haga una lista de todos los mtodos que conozcapara realizar la transformada z inversa.

23. Si la funcin F(z) tiene por lo menos un cero en z = O , qupaso se debe seguir antes de realizar

la expansin en fracciones parciales?

24. Cul es la diferencia notoria entre las secuencias de tiempo que corresponden a las siguientes

dos funciones?

Variables complejas, transformadas de Laplace, y lgebra de matrices

l. F. B. HILDEBRAND,Methods ofAppliedMathematics, 2nd ed., Prentice Hall, EnglewoodCliffs, NJ, 1965.

2. R. BELLMAN, lntroduction toMatrixAnalysis. McGraw-Hill Book Company,New York,1960.

3. F. AYRES, JR., Theory and Problems ofMatrices, Schaum's Outline Series, McGraw-Hill Book Company, New York, 1 962.

4. B. C.KVO,LinearNetworks and Systems, McGraw-Hill Book Company,New York, 1967.

5. C. R. WYLIE, JR., Advanced Engineering Mathematics, 2nd ed., McGraw-Hill BookCompany, New York, 1960.

Expansin en fraccionesparciales

6. C. POTTLE, "On the Partial Fraction Expansion of a Rational Function with MultiplePoles by Digital Computer," IEEE Trans. Circuit Theory, Vol. CT-ll, pp 161-162, Mar.1964.

7. B. O. WATKINS, "A Partial Fraction Algorithm."IEEE Trans. Automatic Control, Vol.AC-16, pp. 489-491 , Oct. 1 971.

Transformadas z

8. B. C. KUO, Digital Control Systems, 2nd ed., Saunders College Publishing, New York,1992.

9. E. l. JURY, Theory andApplication of the z-TransformMethod, Robert E. Krieger Publish-ing Co., Huntington, NY, 1973.


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2-15. Realice la expansin en fracciones parciales de las siguientes funciones, si es que es aplica-

ble, y despus encuentre las transformadas z utilizando la tabla de transformadas z.

Resuelva las siguientes ecuaciones en diferencias por medio de la transformada z.

l O z

F(z) = (z - l)(z + 1)

zF(z) = (z - l)(z - 1.5)

(b)

(d)

zF(z) =-(z---1)- (z- 2_+_z_+_l)

F(z) = l O(z - l)(z - 0.5)

(d)

(b)

F(s) = s3(s + 1)

5F(s) = s(s2 + 2)

(b) f(k) = k sen 2k(d) f(k) = k2e-21

(b)

(d)

1

F(s) = (s + 5)3

10F(s) = s(s + 5)2

F(z) = lOz(z - l)(z - 0.2)

zF(z) = (z - l)(z + 0.85)

F(z) = 0.368z(z - l)(z2 - 1.364z + 0.732)

z2F(z) =-(z---1)-(z---0- .- 5)

Determine las transformadas z de las siguientes secuencias.

Encuentre las transformadas z de las siguientes funciones.

(e)

(a)

(a) f(kT) = kT sen 2kT

{

1 k = O, 2, 4, 6, ... , enteros paresf(k) =

-1 k = 1, 3, 5, 7, ... , enteros impares

(e)

Encuentre las transformadas z inversas,f(k), de las siguientes funciones. Aplique la expan-sin en fracciones parciales de F(z) y despus utilice la tabla de transformadas z.

(b)

(a) f(k) = ke-31

(e) f(k) = e-21 sen 3k

(a)

Dado que [f(k)J = F(z), encuentre el valor def(k) en cuanto k tiende a infinito, sin obtenerla transformada z inversa deF(z). Utilice el teorema del valor final de la transformada z, si se

aplica.

(e)

Compruebe las respuestas mediante la divisin larga de F(z) y exprese dicha divisin en una

serie depotencias de z :'.

(a) x(k + 2) -x(k + 1) + 0.lx(k) = u,(k) x(O) = x(l) = O

(b) x(k + 2) - x(k) = O x(O) = 1, x(l) = O

(a)

2-13.

2-14.

2-17.

2-16.

2-18.

Expansin en

fracciones parciales,

transformadaz

Transformadasz

Transformadas z

Transformadazinversa

Transformadaz,teorema del valor

final

Solucin

mediantetransformadaz

,1


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